第二节洛必达法则

第二节洛必达法则
人物介绍：洛必达（L'Hospital）（1661—1704）法国数学家
“第一本微积分课本出版于1696年，它是由洛必达写的.”
──伊夫斯
“求分子分母同趋于零的分式极限的‘洛必达法则’是约翰·伯努利1694年告诉洛必达的.”
──摘自梁宗巨编著的《世界数学史简编》
洛必达是法国数学家.1661年生于巴黎；1704年2月2日卒于巴黎. 洛必达出生于法国贵族家庭，他拥有圣梅特（Saimte Mesme）侯爵昂特尔芒（d′Entremont）伯爵的称号.青年时期一度任骑兵军官，因眼睛近视而自行告退，转向从事学术研究.
洛必达很早即显示出其数学才华，15岁时解决了帕斯卡所提出的一个摆线难题.他是莱布尼茨微积分的忠实信徒，并且是约翰·伯努利（Johann Bernoulli）的高徒，成功地解答过约翰·伯努利提出的“最速降线”问题.他是法国科学院院士.
洛必达最大的功绩是撰写了世界上第一本系统的微积分教程──《用于理解曲线的无穷小分析》，因此，美国史学家伊夫斯（Eves）说：“第一本微积分课本出版于1696年，它是由洛必达写的.”后来多次修订再版，为在欧洲大陆，特别是在法国，普及微积分起了重要作用.
这本书追随欧几里得和阿基米德古典范例，以定义和公理为出发点.在这本书中，先给出了如下定义和公理：“定义1，称那些连续地增加或减少的量为变量，……”“定义2，一个变量在其附近连续地增加或减少的无穷小部分称为差分（微分），……”然后给出了两个公理，第一个说，几个
仅差无穷小量的量可以相互代替；第二个是说，把一条曲线看作是无穷多段无穷小直线的集合，……在这两个公理之后，给出了微分运算的基本法则和例子.第二章应用这些法则去确定曲线在一个给定点处的斜率，并给出了许多例子，采用了较为一般的方法.第三章讨论极大、极小问题，其中包括一些从力学和地理学引来的例子，接着讨论了拐点与尖点问题，还引入了高阶微分.以后几章讨论了渐屈线和焦散曲线等问题.
洛必达这本书中的许多内容是取材于他的老师约翰·伯努利早期的著作.
其经过是这样的：约翰·伯努利在1691年─1692年间写了两篇关于微积分的短论，但未发表.不久以后，他答应为年轻的洛必达侯爵讲授微积分，定期领取薪金，作为报答.他把自己的数学发现传授给洛必达，并允许他随时利用.于是洛必达根据约翰·伯努利的传授和未发表的论著以及自己的
学习心得，撰写了《用于理解曲线的无穷小分析》.这部著作不但普及了微积分，而且帮助约翰·伯努利完成并传播了平面曲线的理论.
特别值得指出，在这部书的第九章中有求分子分母同趋于零的分式极限的法则，即所谓“洛必达法则”：
如果是可微函数，且在右端的极限存在或为无穷的情况下.但当时洛必达的论证没有使用函数的符号，是用文字叙述的，相当于断言，他的结论是：如果把给定曲线的纵坐标“表示为一个分式，且x取到极限时分子和分母都等于零”，那么“如果求出分子的微分，再除以分母的微分，最后在其中令自变量去极限，便得到值”.这个法则实际上是约翰·伯努利在1694年7月22日写信告诉他的.至于现在一般微积分教材上用来解决其他未定式求极限的法则，是后人对洛必达法则所作的推广（例如，后几个未定式的法则就是后来欧拉（Euler）给出的），但现在都笼统地叫做“洛必达法则”.
洛必达曾计划出版一本关于积分学的书，但在得悉莱布尼茨也打算撰写这样一本书时，就放弃了自己的计划.他还写过一本关于圆锥曲线的书——《圆锥曲线分析论》，此书在他逝世之后16年才出版.
洛必达豁达大度，气宇不凡.由于他与当时欧洲各国主要数学家都有交往，从而成为全欧传播微积分的著名人物.
一、00
型未定式
定理1、（法则一）设函数)(x f ，)(x g 满足：
（1）在点0x 的某去心邻域内可导，且0)('≠x g ；
（2）)(lim 0x g x x →0)(lim 0
==→x f x x ； （3）)(')('lim 0x g x f x x →存在或为无穷大， 则有)()(lim 0x g x f x x →)(')('lim 0x g x f x x →=。

证明：分别对)(x f ，)(x g 做延拓。

令
⎩⎨⎧=≠=,,0,),()(00x x x x x f x F ⎩
⎨⎧=≠=,,0,),()(00x x x x x g x G 对)(x F ，)(x G 在],[0x x 或],[0x x 上用柯西中值定理即可。

如果)()(lim 0x g x f x x →为无穷大，利用它的倒数关
系，也有)()(lim 0x g x f x x →)(')('lim 0x g x f x x →=。

推论：设函数)(x f ，)(x g 满足：
（1）当x 足够大时，)('x f 和)('x g 存在，且0)('≠x g ；
（2）)(lim x g x ∞→0)(lim ==∞
→x f x ； （3）)(')('lim x g x f x ∞→存在或为无穷大， 则有)()(lim x g x f x ∞→)(')('lim x g x f x ∞→=。

例1、x x x sin lim 0→
例2、64lim 22
2-+-→x x x x
例3、x x x e e x x x sin 2lim 0----→
例4、20arcsin ln lim x
x
x x → 二、∞∞
型未定式
定理2、（法则二）设函数)(x f ，)(x g 满足：
（1）在点0x 的某去心邻域内可导，且0)('≠x g ；
（2）)(lim 0x g x x →∞==→)(lim 0
x f x x ； （3）)(')('lim 0x g x f x x →存在或为无穷大， 则有)()(lim 0x g x f x x →)(')('lim 0x g x f x x →=。

当∞→x ，+∞→x ，-∞→x 也有类似的结果。

例5、x n
x e x λ+∞→lim （+∈Z n ，+∈R λ）
例6、n m
x x x )(ln lim +∞→（+∈Z n m ,）
由以上两例说明了当+∞→x 时， 例7、x x x x sin 1sin lim 2
0→
此例说明洛必达法则是函数极限存在的 条件。

三、其它未定式
（1）∞⋅0型：00100=∞=∞⋅或∞∞=∞=∞⋅010 （2）∞
1型：01ln 1⋅∞⋅∞∞==e e （3）0
0型：
（4）0∞型：
（5）21∞-∞型：
说明：对于以上的极限过程，都可以推广到单侧极限过程。

例8、x x n x ln lim 0
+→（0>n ） 例9、()
x x x tan sec lim 2-→π
例10、x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→πarctan 2lim
6、继续上述过程，优先用等价无穷小代换，直至求出最后结果。

练习题
1、x x x +→0
lim 2、x x x 1lim +∞→⇒n
n n ∞
→lim 3、x
b a x x x -→0lim )0,(>b a 4、x
x x x x 30sin cos sin lim -→ 5、a x a x x
x x -+∞→ln lim 6、2tan )1(lim 1x x x π-→ 7、x
x x m ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→cos lim 8、2
10sin lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→
9、)1ln(ln lim 1
x x x -⋅-→ 10、x x x x b a 302lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→ 11、)21ln(arctan lim 30x x x x +-→
12、⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x tan 11lim 20 13、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→2220cos sin 1lim x x x x。