24 第25讲微分的概念与一阶微分形式不变性

,d | ,∆ . .
【解】 由于
因此
1 ′=
1− 1+ 1+
− 1 + − (1 − )
1
∙
=−
,
1+
1+
1
d = d =−
d,
1+
1
1
d|
=− d , d | 2
,∆
.
= − ∙ 0.01 = −0.005 . 2
例25.5 设函数 = sin + 1，求 d .
【解法一】 由定义可知， d = (sin + 1) d = cos
d ln
+=
1 d
+
+ =
1
1
⋅
d( + )
+ 2+
1 2 d +2 d
d+ d
=
⋅
=
.
+
2+
+
1 d ln = d
d− d
d− d
=⋅
=
.
例25.7 设 = (ln ) ( )，其中函数 可微，求微分 d .
【解】由一阶微分形式不变性及微分运算法则，可得
d = d ln ⋅ ( ) + ln ⋅ d ( )
= ln d ln ⋅ ( ) + (ln ) ⋅ ( )d ( )
=
ln
1 ⋅d ⋅
( )+
ln
⋅
( )⋅
d
= ( ) 1 ln + ln
d.
例25.8 设 φ( ) 在 = 0 处连续，试求 = ( ) 在 = 0 处的微分.
【解】 由定义可知，函数 在点 = 0 处的微分为
d | = 0d ,
而
0 = lim
→
−0
()
= lim
= lim ( ) = 0 .
→
→
因此
d | =φ 0 d .
再 见！
2
cos + 1
+1⋅
d=
d.
2 +1
+1
【解法二】 利用一阶微分形式不变性，有
d = d (sin + 1) = cos + 1 ⋅ d + 1
= cos
2
cos + 1
+1⋅
d=
d.
2 +1
+1
例25.6 设 , 都是 的可微分且满足所需条件的函数，求 d ln d ln .
+,
【解】由一阶微分形式不变性及微分运算法则， 可得
d−d
1
d
d=
, 特别地，d = − .
一阶微分形式不变性 设函数 = ( )可微， 则
d=′ d， 其中 不论是自变量还是中间变量，以上微分形式保持不变.
ln 例25.1 设 ( ) = ，求 d ( ), d ( )| .
【解】由于
(ln ) ⋅ − ln ⋅ ( ) 1 − ln
( )=
=
,
微分的几何意义 微分d | 在几何上表示曲线 = ( )在点
, ( ) 处的切线当自变量增量为 时对应的纵坐标的增量.
微分与导数的关系 d =
d.
2、微分的运算
四则运算 设 ( ), ( )为可微函数，则
d( + ) = d + d ；
d = d + d , 特别地，若 为常数，则d( ) = d ；
(C)为∞
(D)可能不存在
【解】因函数 = ( )在点 处可导， 故它在 处可微，且d = ( ) .
由于
=d + (
) ，所以当 → 0时，
−d
lim
= lim
→
→
− =(
() = 0,
)，从而
故选项(B)正确.
例25.3 设函数 = ( ) 有 = 处的微分 d 是（ ）.
1 = ， 则当∆ → 0时，该函数在
2
(A) 与∆ 等价的无穷小 (B) 与∆ 同阶的无穷小
(C) 比∆ 低阶的无穷小 (D) 比∆ 高阶的无穷小
【解】函数 = ( )在点 =
故选项(B)正确.
d|
lim
→
处的微分 d =
1
= lim 2 ∆
1 =,
→
2
= ∆ . 从而
1−
例25.4 设函数 = arctan
，求 d , d |
1+
高等数学典型例题与解法（一） 第25讲 微分的概念与 一阶微分形式不变性 理学院 周 敏 教授
主要内容
内容提要 典型例题解析
1、微分的概念
微分的定义 设函数 = ( )在 的某邻域内有定义，如果
= ( + ) − ( )= + ( )( → 0)， 则称函数 = ( )在 处可微分，并把关于 的线性部分 称作函数 = ( ) 在 处的微分，记作d | = .
故由函数微分的定义知
d=
1 − ln
d=
d,
而函数在点 = 2 处的微分为
1 − ln
d |=
|
1 − ln2
d=Hale Waihona Puke Baidu
d.
4
例25.2 设函数 = ( ) 在点 处可导，当自变量 由 变到 + 时，
−d
记 为函数 = ( ) 的增量，d 为 ( )的微分，则 lim
（ ）.
→
(A) 等于1 (B)等于0