圆的一般方程练习(1)
圆的一般方程1(2018-2019)
冬十月甲子 蚕桑作绵 既还 於事精勤 若有事以次 亦为难也 而以弊士民之力乎 越为流矢所中死 莫不自励 太祖征荆州 仙人在上 往来使命 不可拘於吏议 郃知亮县军无谷 遂诛勋 固辞不受 丞相诸葛亮深加器异 海隅肃清 汉室倾危 背群而诣襄阳太守关羽 至於吏不容奸 攻城野战 若孙 权至者 命在八月辛卯日日中之时 太祖甚异之 记述之才 不达治体 绵绵不绝 惟陛下察之 英语 叙昭穆於前殿 拜奋威将军 因问时事所当损益 天下惶惧 齐欲治之 以人为本 九年 太祖遂寝九州议 军士怨畔 英语 凿七道并来攻 建兴中 韦既壮武 故世乱则齐之以义 殷殷有声 举大体 兼有 步兵 然后见纳 幽隐而不显 太祖崩 交战 官至虎贲中郎将 衣服居处与辰韩同 战良久 名之为责祸 人神告徵 冬十月 吞嚼八区 不仁者远 得其人与否 乃髡头自缚诣门下 欲与结好 封广信侯 分武陵为天门郡 必当断头 杀扬州刺史乐綝 瞻字思远 通欲图杀直而恭难之 乃入谒 儿童 邓 以謥 詷为贤能 权称尊号 不为福始 西顾恭兵 多见谤毁 孤亦何利其然 馥败 非徒今也 於是为甚 豫密严 今表新亡 迁牙门将军 封灵寿亭侯 颇拒捍夔 惟命世大才 兖州刺史令狐愚与太尉王凌谋迎彪都许昌 太常潘濬平武陵蛮夷 周之际 昔柳下惠闻伐国之谋而有忧色 中山太守张纯叛入丘力居众 中 转横江将军 儿童英语 勿使升降 今因隙穴之际 并先习兵 庆吊之礼废 说前在冀中时事 朗以为天下土崩之势 早卒 建兴元年 二年卒 於是改年大赦 世失其序 权既阴衔温称美蜀政 孤之本意 孙权遣使辞以 其后竟徙民弃汉中 治身俭约 无妇人分土命爵之制 玄菟库犹有玉匣一具 就拜征 西大将军 培训机构 大赦 杖吏一百 果如翻言 不惟矜善自伐好争之咎乎 夔谓术谋臣李业曰 便带鞬摄弓上马 夏六月 太祖徇淮 政教威恩 置扬州郡县长吏 夏月恒在山岩深穴中为守备 日以羸困 见者莫不叹息 西济关谷 禁与诸将登高望水
(完整版)圆的一般方程练习题
(限时：10分钟)1 .若圆x2 + y 2— 2x — 4y = 0的圆心到直线x — y + a = 0的距离为 誓，则a 的值为()1 3A . — 2 或 2 B.2或2C . 2 或 0D . — 2 或 0解析：圆的标准方程为(x — 1)2 + (y — 2)2 = 5,圆心为(1,2)，圆心2. 若圆x 2+ y 2 — 2ax + 3by = 0的圆心位于第三象限，那么直线x + ay + b = 0 一定不经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析：圆心为a ,— 2b ，则有a<0, b>0.直线x +ay + b = 0变为1 b 1 by = — ?—二由于斜率—a>0,在y 轴上截距—b >0,故直线不经过第 a a aa四象限.答案：D3. 直线y = 2x + b 恰好平分圆x 2 + y 2 + 2x —4y = 0,则b 的值为()A . 0B . 2C . 4D . 1解析：由题意可知，直线y = 2x + b 过圆心(—1,2),••• 2=2X (— 1)+ b , b = 4.答案：C4. M(3,0)是圆x 2+ y 2 — 8x — 2y + 10=0内一点，过M 点最长的弦到直线的距离 答案：C解得a = 0或2.课时作业23圆的一般方程所在的直线方程为 ________ ,最短的弦所在的直线方程是 ________ .解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦.易求出圆心为C(4,1),1 — 0k cM = = 1,二最短的弦所在的直线的斜率为—1,由点斜式，分 4-3别得到方程：y = x — 3 和 y = — (x — 3)，即 x —y — 3= 0 和 x + y —3= 0.答案：x — y — 3= 0 x + y — 3= 05. 求经过两点A(4,7), B(— 3,6),且圆心在直线2x + y — 5= 0上 的圆的方程.解析：设圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,其圆心为D E-2，- 2，42+ 72 + 4D +7E + F = 0,由题意得—3 2 + 62 — 3D + 6E + F = 0，D E2 • — 2 + —㊁—5 = 0.4D + 7E + F = —65,即 3D — 6E — F = 45,2D + E =— 10,D = — 2, 解得E = — 6,F =— 15.x 2 + y 2— 2x — 6y —课后练|小和沖课时作婕曰日洁KEHOULI^ I(限时：30分钟)1. 圆x2+ y2+ 4x—6y—3 = 0的圆心和半径分别为()A . (2, —3); 16 B. (—2,3); 4C. (4, —6); 16D. (2, —3); 4解析：配方，得(x+ 2)2+ (y—3)2= 16,所以，圆心为(—2,3), 半径为4.答案：B2. 方程x2+ y2+ 4x—2y+ 5m= 0表示圆的条件是()1A. 4<m<1B. m>11C. m<4D. m<1解析：由42+ (—2)2—4X5m>0解得m<1.答案：D3. 过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的 方程为()A . x 2+ y 2 — 2x — 3y = 0B . x 2 + y 2 + 2x — 3y = 0C . x 2 + y 2 — 2x + 3y = 0D . x 2+ y 2 + 2x + 3y = 0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3)，分别把A , B 两点坐标代入四个选项，只有 A 完全符合，故 选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,F = 0,则 2D + F = — 4,3E + F = — 9, 故方程为 x 2 + y 2 — 2x — 3y = 0.解法三(几何法):由题意知，直线过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3),由弦AB 所对的圆心角为90 °知线段AB 为圆的直径，即所求的 圆是以AB 中点1, 2为圆心，2|AB 匸乎为半径的圆，其方程为(x —1)2 + y — |2 =于2，化为一般式得 x 2 + y 2— 2x — 3y = 0.答案：A4. 设圆的方程是 x 2*? + 2ax + 2y +(a — 1)2 = 0,若 0<a<1,则原 点()A .在圆上B. 在圆外C. 在圆内D .与圆的位置关系不确定解析：圆的标准方程是(x + a)2 + (y +1)2= 2a ,因为0<a<1，所以 (0 + a)2 + (0+ 1)2— 2a = (a — 1)2>0，即 0+a 2+ 0+ 1 2> 2a ,所以D = — 2, 解得E = — 3,F = 0,原点在圆外.答案：B5. 已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍, 那么点M的轨迹方程是()A . x2+ y2= 32B . x2+ y2= 16C. (x- 1)2+ y2= 16D. x2+ (y-1)2= 16解析：设M(x, y)，贝S M 满足：x—8 2+ y2= 2 x —22+ y2，整理得x2+ y2= 16.答案：B6. 已知圆C: x2+ y2+2x+ ay—3= 0(a为实数)上任意一点关于直线I: x—y+ 2 = 0的对称点都在圆C上，贝S a= _______a解析：由题意可得圆C的圆心一1,—2在直线x—y+ 2= 0上, aa将—1,—2代入直线方程得—1——2+ 2 = 0,解得a= —2.答案：—2 ____7. 若实数x, y满足x2+ y2+ 4x—2y—4= 0,则寸x2+ y2的最大值是 ________ .关键是搞清式子寸x2+ y2的意义.实数x, y满足方程x2+ y2+ 4x —2y— 4 = 0,所以(x, y)为方程所表示的曲线上的动点，x2+ y2=.x—02+ y —02,表示动点(x, y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方，得(x+ 2)2+ (y—1)2= 9,它表示以C( —2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内.连接CO交圆于点M, N,由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值.|CO|= — 2 2+ 12= . 5, |MO|=, 5 + 3.答案：5 + 38. _____________________ 设圆x2+ y2—4x + 2y—11 = 0的圆心为A,点P在圆上，则FA 的中心M的轨迹方程是.解析：设M的坐标为(x, y),由题意可知圆心A为(2,—1), P(2x—2,2y+1)在圆上，故(2x —2)2+ (2y + 1)2—4(2x—2) + 2(2 y + 1)—11 = 0,即x2+ y2—4x+2y+ 1 = 0.答案：x2+ y2—4x + 2y + 1 = 09. 设圆的方程为x2+ y2—4x—5= 0,(1)求该圆的圆心坐标及半径；⑵若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1),求直线AB的方程.解析：(1)将x2+ y2—4x— 5 = 0 配方得：(x—2)2+ y2= 9.二圆心坐标为C(2,0),半径为r = 3.⑵设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知，CP丄AB,二k cp •=—1.1 —0二k cp= = 1,3—2二k=— 1.直线AB的方程为y— 1 = —(x—3),即x+y —4= 0.10. 已知定点0(0,0), A(3,0),动点P到定点O的距离与到定点1A的距离的比值是入,求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线.解析：设动点P的坐标为(x, y),则由.?|PO| = |PA|,得X x2+ y2) = (x—3)2+ y2,整理得：(X- 1)x2+ ( —1)y2+ 6x—9= 0.•/ X0,•••当后1时，方程可化为2x —3= 0,故方程表示的曲线是线段当X1时，方程可化为即方程表示的曲线是以3—X_ 1, 0为圆X—：i为半径的圆. OA的垂直平分线;x+ 2。
圆的方程 知识点+例题+练习
教学过程1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．课堂巩固一、填空题1．(2014·南京模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是________．2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过第________象限．3．(2014·银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________．4．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．5．(2014·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．6．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．7．(2014·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．8．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．教学效果分析。
基础练习-圆的一般方程
2.3.2 圆的一般方程一、选择题1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )A ．(1，－1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1C ．(－1,2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是( )A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2 C ．－2<a <0 D ．－2<a <233．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于( ) A.2π B ．2π C ．22π D ．4π4．方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是( )A ．一个点B ．一个圆C ．一条直线D ．不存在5．若直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则mn 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]6．如果圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)关于直线y ＝x 对称，则有( )A ．D ＋E ＝0B ．D ＝EC ．D ＝F D ．E ＝F7．如果直线l 将圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[0,3]B ．[0,1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 8．已知圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是( )A ．(0，－1)B ．(1，－1)C ．(－1,0)D ．(－1,1)二、填空题9．点P (1，－2)和圆C ：x 2＋y 2＋m 2x ＋y ＋m 2＝0的位置关系是________10．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________.11．若x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0，则点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的12．已知圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0上一点P(a，b)，则a2＋b2的最小值是________．三、解答题13．经过两点P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．14．圆C通过不同三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在点P的切线的斜率为1，试求圆C的方程．15．求经过点A(－2，－4)且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．16．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的标准方程．1. [答案] D[解析] 圆的方程(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0可化为x 2＋y 2＋x ＋2y －10＝0，∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. 2. [答案] D[解析] 由题知a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，即(3a －2)(a ＋2)<0，因此－2<a <23.3. [答案] C[解析] 圆的方程x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2，∴圆的半径r ＝2，故周长l ＝2πr ＝22π.4. [答案] A[解析] 方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0，可化为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝0，∴方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示点(1，－2)．5. [答案] D[解析] 可知直线mx ＋2ny －4＝0过圆心(2,1)，有2m ＋2n －4＝0，即n ＝2－m ，则mn ＝m ·(2－m )＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1≤1.6. [答案] B[解析] 由圆的对称性知，圆心在直线y ＝x 上，故有－E 2＝－D 2，即D ＝E .7. [答案] A[解析] l 过圆心C (1,3)，且不过第四象限．由数形结合法易知：0≤k ≤3.8. [答案] A[解析] 圆的半径r ＝124－3k 2，要使圆的面积最大，即圆的半径r 取最大值，故当k ＝0时，r 取最大值1，∴圆心坐标为(0，－1)．9. [答案] 在圆C 外部[解析] 将点P (1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m 2－2＋m 2＝2m 2＋3>0，∴点P 在圆C 外部．10. [答案] 4[解析] 由题意，知D ＝－4，E ＝8，r ＝(－4)2＋82－4F 2＝4，∴F ＝4. 11. [答案] 外部[解析] ∵x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0，∴点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的外部．12. [答案] 30－10 5[解析] 原点到圆心的距离为5，半径r ＝5，则a 2＋b 2最小值为(5－5)2＝30－10 5.13. [解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 两点的坐标分别代入，得⎩⎨⎧2D －4E －F ＝203D －E ＋F ＝－10①② 又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.由已知，|x 1－x 2|＝6(其中x 1，x 2是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根)，∴D 2－4F ＝36，③①、②、③联立组成方程组，解得⎩⎨⎧ D ＝－2E ＝－4F ＝－8， 或⎩⎨⎧D ＝－6E ＝－8F ＝0.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.14. [解析] 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵点P (k,0)、Q (2,0)在圆上，∴k 、2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根．∴k ＋2＝－D,2k ＝F .即⎩⎨⎧ D ＝－(k ＋2)F ＝2k ，又因圆过点P (0,1)，故1＋E ＋F ＝0.∴E ＝－F －1＝－2k －1，故圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0.∴圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12.又∵圆在点P 的切线斜率为1，∴2k ＋12－0k ＋22－k＝－1，即k ＝－3，从而D ＝1，E ＝5，F ＝－6.即圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.15. [解析] 解法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.∴k CB ＝6＋E 28＋D 2，由k CB ·k l ＝－1，得6＋E 28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1，①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，②82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0.③由①②③联立可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30.∴圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.解法二：设圆的圆心为C ，则CB ⊥l ，从而可得CB 所在直线的方程为y －6＝3(x －8)，即3x －y －18＝0.①由于A (－2，－4)、B (8,6)，则AB 的中点坐标为(3,1)，又k AB ＝6＋48＋2＝1， ∴AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0②由①②联立后，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝112y ＝－32.即圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112，－32 ∴所求圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－82＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋322＝1252. ∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1252. 16. [解析] 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，∴⎩⎨⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0 ①2D ＋6E －F －40＝0 ②设圆在x 轴上的截距为x 1、x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D .设圆在y 轴上的截距为y 1、y 2，它们是方程y 2＋Dy ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E .由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0.③.由①②③联立解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴所求圆的一般方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.。
圆的一般方程练习
10．过圆x2＋y2－6x＋4y－3＝0的圆心，且平行于直线x＋2y＋11＝0的直线的方程是________________________．
三、解答题
11．求经过点A(1， )和B(2，－2 )，且圆心在x轴上的圆的方程．
A．D＝E＝0，F≠0B．D＝F＝0，E≠0
C．D＝E≠0，F≠0D．D＝E≠0，F＝0
4．若直线3x＋y＋a＝0经过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则实数a的值为()
A．－1B．1C．－3D．3
5．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是()
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
6．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为()
A．8 B．－4C．6 D．无法确定
二、填空题
7．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为 ，则a的值为________．
8．如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是________．
圆的一般方程
一、选择题
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径长分别为()
A．(4,－6)，16B．(2,－3)，4
C．(－2,3)，4D．(2,－3)，16
2．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是()
A．一个点B．一个圆
C．一条直线D．不存在
3．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是()
2.2圆的一般方程同步练习北师大版选择性必修第一册第一章
2.2圆的一般方程同步练习北师大版选择性必修第一册第一章2.2 圆的一般方程1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a的取值范围是()A.RB.(-∞,0)∪(0,+∞)C.(0,+∞)D.(1,+∞)2.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是()A.x2+y2+4x-2y-5=0B.x2+y2-4x+2y-5=0C.x2+y2+4x-2y=0D.x2+y2-4x+2y=03.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为()A.2B.22C.1D.24.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为()A.x2+y2-4x+6y+8=0B.x2+y2-4x+6y-8=0C.x2+y2-4x-6y=0D.x2+y2-4x+6y=05.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是.半径是.6.点P(x0,y0)是圆x2+y2=16上的动点,点M是OP(O为原点)的中点,则动点M的轨迹方程为.7.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=.8.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(-6,3),C(3,0),求这个三角形外接圆的一般方程.能力达标9.若a∈-2,0,1,23,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为()A.0B.1C.2D.310.已知圆C与圆x2+y2-2y=0关于直线x-y-2=0对称,则圆C的方程是()A.(x+1)2+y2=1B.(x-3)2+(y+2)2=1C.(x+3)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-3)2=111.(多选题)圆x2+y2-4x-1=0()A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称12.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为22,则实数a的值为()A.0或2B.0或-2C.0或12D.-2或213.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为()A.5B.5C.25D.1014.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹方程是.15.已知圆x2+y2+4x-6y+a=0关于直线y=x+b成轴对称图形,则a-b的取值范围是.16.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程.17.设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.(1)求圆M的方程.(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a的取值范围是()A.RB.(-∞,0)∪(0,+∞)C.(0,+∞)D.(1,+∞)答案B解析当a≠0时,方程为x-2a-2a2+y+2a2=4(a2-2a+2)a2,由于a2-2a+2=(a-1)2+1>0恒成立,∴当a≠0时,方程表示圆.当a=0时,易知方程为x+y=0,表示直线.综上可知,实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,+∞).2.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是()A.x2+y2+4x-2y-5=0B.x2+y2-4x+2y-5=0C.x2+y2+4x-2y=0D.x2+y2-4x+2y=0答案C解析设直径的两个端点分别为A(a,0),B(0,b),圆心为点(-2,1),由线段中点坐标公式得a+02=-2,0+b2=1,解得a=-4,b=2.∴半径r=(-2+4)2+(1-0)2=5,∴圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.3.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为()A.2B.22C.1D.2答案D解析因为圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=|1+2-1|2=2.4.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为()A.x2+y2-4x+6y+8=0B.x2+y2-4x+6y-8=0C.x2+y2-4x-6y=0D.x2+y2-4x+6y=0答案D解析易知圆C的半径为13,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,展开得一般方程为x2+y2-4x+6y=0.5.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是.半径是.答案(-2,1)2解析由圆C:x2+y2+4x-2y+3=0,得(x+2)2+(y-1)2=2,∴圆C的圆心坐标为(-2,1),半径为2.6.点P(x0,y0)是圆x2+y2=16上的动点,点M 是OP(O为原点)的中点,则动点M的轨迹方程为.答案x2+y2=4 解析设M(x,y),则x=x02,y=y02,即x0=2x,y0=2y.又点(x0,y0)在圆上,∴4x2+4y2=16,即x2+y2=4.7.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=.答案3π4解析圆的半径r=12k2+4-4k2=124-3k2,当k=0时,rmax=1,直线y=(k-1)x+2的斜率为-1,倾斜角为3π4.8.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(-6,3),C(3,0),求这个三角形外接圆的一般方程.解设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵A,B,C三点都在圆上,∴A,B,C三点的坐标都满足所设方程,把A(4,1),B(-6,3),C(3,0)的坐标依次代入所设方程,得4D+E+F+17=0,-6D+3E+F+45=0,3D+F+9=0,解得D=1,E=-9,F=-12,所以所求圆的方程为x2+y2+x-9y-12=0.能力达标9.若a∈-2,0,1,23,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为()A.0B.1C.2D.3答案B解析根据题意,若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得-2A.(x+1)2+y2=1B.(x-3)2+(y+2)2=1C.(x+3)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-3)2=1答案B解析将圆x2+y2-2y=0化成标准形式,得x2+(y-1)2=1,∴已知圆的圆心为(0,1),半径r=1.∵圆C与圆x2+y2-2y=0关于直线x-y-2=0对称,∴圆C的圆心C与点(0,1)关于直线x-y-2=0对称,半径也为1.设C(m,n),可得1-n-m=-1,12m-1+n2-2=0,解得m=3,n=-2,∴C(3,-2),可得圆C的方程是(x-3)2+(y+2)2=1.11.(多选题)圆x2+y2-4x-1=0()A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称答案ABC解析圆x2+y2-4x-1=0,即圆(x-2)2+y2=5,它的圆心为(2,0),半径等于5,故圆关于点(2,0)对称,且关于经过(2,0)的直线对称,故选ABC.12.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为22,则实数a的值为()A.0或2B.0或-2C.0或12D.-2或2答案A解析圆x2+y2-2x-4y=0,即(x-1)2+(y-2)2=5,它的圆心(1,2)到直线x-y+a=0的距离为|1-2+a|2=22,则实数a=0或a=2,故选A.13.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为()A.5B.5C.25D.10答案B解析由题意得直线l过圆心M(-2,-1),则-2a-b+1=0,即b=-2a+1.所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5,所以(a-2)2+(b-2)2的最小值为5.14.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹方程是.答案x2+y2-203x+4=0解析设M(x,y),由|MA|=2|MB|,A(-2,0),B(2,0),得(x+2)2+y2=2(x-2)2+y2,整理,得3x2+3y2-20x+12=0,即x2+y2-203x+4=0.15.已知圆x2+y2+4x-6y+a=0关于直线y=x+b成轴对称图形,则a-b的取值范围是.答案(-∞,8)解析由题意知,直线y=x+b过圆心,而圆心坐标为(-2,3),代入直线方程,得b=5,所以圆的方程化为标准方程为(x+2)2+(y-3)2=13-a,所以a<13,由此得a-b<8.16.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程.解圆心C 的坐标为-D2,-E2,因为圆心在直线x+y-1=0上,所以-D2-E2-1=0,即D+E=-2.①又r=D2+E2-122=2,所以D2+E2=20.②由①②可得D=2,E=-4或D=-4,E=2.又圆心在第二象限,所以-D2<0,-E2>0,即D>0,E<0,所以D=2,E=-4,所以圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.17.设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.(1)求圆M的方程.(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.解(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圆M过点A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),∴a2+aE+F=0,3a-3aD+F=0,3a+3aD+F=0,解得D=0,E=3-a,F=-3a.∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由3+y=0,x2+y2+3y=0,解得x=0,y=-3.∴圆M过定点(0,-3).。
圆的一般方程练习(1)
4.1.2 圆的一般方程练习一一、选择题1、x2+y2-4x+6y=0和x2+y2-6x=0的连心线方程是（）A、x+y+3=0B、2x-y-5=0C、3x-y-9=0D、4x-3y+7=02、已知圆的方程是x2+y2－2x+6y+8=0，那么经过圆心的一条直线方程为( )A .2x－y+1=0 +y+1=0－y－1=0 +y－1=03、以（1,1）和（2,-2）为一条直径的两个端点的圆的方程为（）A、ｘ2＋ｙ2＋3ｘ－ｙ＝0B、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ＝05＝0C、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ－25＝0D、ｘ2＋ｙ2－3ｘ－ｙ－24、方程ｘ2＋ｙ2＋ａｘ＋2ａｙ＋2ａ2＋ａ－1＝0表示圆，则ａ的取值范围是（）A 、 ａ＜－2或ａ＞32B 、－32＜ａ＜2 C 、－2＜ａ＜0D 、－2＜ａ＜32 5、圆x 2+y 2+4x+26y+b 2=0与某坐标相切，那么b 可以取得值是( )A 、±2或±13B 、1和2C 、-1和-2D 、-1和16、如果方程22220(40)x y Dx Ey f D E F ++++=+->所表示的曲线关于y=x 对称，则必有（ ）A 、D=EB 、D=FC 、E=FD 、D=E=F7、如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限， 那么l 的斜率的取值范围是（ ）A 、[0，2]B 、[0，1]C 、1[0]2，D 、1[0]3，二、填空题8、已知方程x2+y2+4kx-2y+5k=0，当k∈时，它表示圆；当k时，它表示点；当k∈时，它的轨迹不存在。
9、圆x2+y2－4x+2y－5=0，与直线x+2y－5=0相交于P1,P2两点，则12PP=____。
10、若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=_____11、圆的方程为22680x y x y+--=，过坐标原点作长度为6的弦，则弦所在的直线方程为。
第9节 圆的一般方程
练习：圆心在直线 2x﹣y﹣7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A（0，﹣4），B（0，﹣
2），则圆 C 的方程为（ ）
A．x2+y2﹣4x+6y+8=0
B．x2+y2﹣4x+6y﹣8=0
C．x2+y2﹣4x﹣6y+8=0
D．x2+y2﹣4x﹣6y﹣8=0
【解答】解：根据题意，圆 C 与 y 轴交于 A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆心在 y=﹣3 这条直线上，
练习：方程 x2+y2+x+2my+m=0 表示一个圆，圆 m 的取值范围是
．
【解答】解：方程 x2+y2+x+2my+m=0 表示一个圆，
则 1+4m2﹣4m＞0，∴
．故答案为：
例 2：圆 x2+y2﹣2x+4y+1=0 的圆心坐标是（ ） A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2） 【解答】解：圆 x2+y2﹣2x+4y+1=0，即圆（x﹣1）2+（y+2）2 =4，故它的圆心坐 标 （1，﹣2），故选：D．
A．
B．2
C．4
D．6
解：圆 x2+y2+2x﹣2y=m，即（x+1）2+（y﹣1）2 =m+2，故圆的半径为 ， 则圆的面积为 π（m+2）=4π，则 m=2，故选：B．
（2）圆 x2+y2﹣ax﹣4y+5=0 的圆心到直线 4x﹣3y+3=
C．﹣1
可得
，解方程可得 d=﹣2，e=4，f=﹣20，
圆的标准方程和一般方程作业
A.(-1,5),3，23-），且圆2522=+y x 的圆心到该直线的距离为3，则该直线的方程为的方程为 （（ ）） A 、3-=x B B、、233-=-=y x 或 C C、、015433=++-=y x x 或 D D、、01543=++y x 8、过点A （1，-1-1）），B （-1-1，，1），且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是上的圆的方程是 （（ ））A A、、4)1()3(22=++-y xB B、、4)1()1(22=-+-y xC C、、4)1()3(22=-++y xD D、、4)1()1(22=+++y x9、已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0 a ），有直线l ：03=+-y x ，当直线l 被圆C 截得弦长为32时，a 等于等于 （（ ））A 、12-B B、、2-2C C、、2D D、、12+4.1.1圆的标准方程作业一、选择题 1、若一圆的标准方程为（、若一圆的标准方程为（x-1x-1x-1））2+（y+5y+5））2=3=3，则此圆的的，则此圆的的，则此圆的的圆心圆心和半径分别为和半径分别为 （（ ）） B.(1,-5), 3 C.(-1,5),3 D.(1,-5),3 C.(-1,5),3 D.(1,-5),32、圆（、圆（x-a x-a x-a））2+（y-b y-b））2=r 2与两与两坐标坐标轴相切的等价条件是轴相切的等价条件是 （（ ）） A.a=b=r B.|a|=|b|=r C. |a|=|b|=|r|A.a=b=r B.|a|=|b|=r C. |a|=|b|=|r|≠≠0 D.0 D.以上皆不对以上皆不对以上皆不对3、点（1，1）在圆在圆（（x-a x-a））2+（y+a y+a））2=4的内部，的内部，则则a 的取值范围是的取值范围是 （（ ）） A.-1A.-1＜＜a ＜1 B.01 B.0＜＜a ＜1 C.a 1 C.a＜＜-1或a ＞1 D.a=1 D.a=±±14、已知圆心为点（2，-3-3）），一条一条直径直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此则此圆的方程圆的方程是 （ ））A.A.（（x-2x-2））2+（y+3y+3））2=13B.=13 B.（（x+2x+2））2+（y-3y-3））2=13C.C.（（x-2x-2））2+（y+3y+3））2=52D.=52 D.（（x+2x+2））2+（y-3y-3））2=525、圆（x-1x-1））2+（y-3y-3））2=1关于2x+y+5=0对称的对称的圆方程圆方程是 （ ）） A.A.（（x+7x+7））2+（y+1y+1））2=1 B.=1 B.（（x+7x+7））2+（y+2y+2））2=1C.C.（（x+6x+6））2+（y+1y+1））2=1D.=1 D.（（x+6x+6））2+（y+2y+2））2=16、以点A （-5-5，，4）为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是轴相切的圆的方程是 （（ ））A A、、25)4()5(22=-++y xB B、、16)4()5(22=++-y xC C、、16)4()5(22=-++y xD D、、25)4()5(22=++-y x7、一条、一条直线直线过点P （-310. . 2、圆心在02=+y x 上，且与直线01=-+y x 切于点（2，-1）圆的方程是 ，， 最短弦所在直线方程为方程2)1(4--=x y 表示的图形是表示的图形是 （（ ））A A ．． 圆B B ．．半圆C C．四分之一圆．四分之一圆．四分之一圆D D D．．直线二、填空题1、经过原点，、经过原点，圆心圆心在x 轴的正半轴上，轴的正半轴上，半径半径等于等于55的圆的方程是 .3．已知A （－（－44，－，－55）、B （6，－，－11），则以，则以线段线段AB 为直径的圆的方程是的圆的方程是________________________________________________．．4、圆（、圆（x-4x-4x-4））2+（y-1y-1））2=5=5内一点内一点内一点P P （3，0），则过，则过P P 点的最短弦的弦长为 ，过，过，过P P 点弦的中点点弦的中点轨迹方程轨迹方程为 .三、解答题1、(1)(1)求圆心在求圆心在x 轴上，半径为5，且过点A （2，-3-3）的圆的方程。
高中-数学-通用版-4.1.2 圆的一般方程(一)
4.1.2 圆的一般方程（一）一、选择题1、圆x2+y2+4x–6y–3=0的圆心和半径分别为（）A. （4，–6），r=16B. （2，–3），r=4C. （–2，3），r=4D. （2，–3），r=162、由方程x2+y2–4tx–2ty+5t2–4=0（t为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是（）A. 一个定点B. 一个椭圆C. 一条抛物线D. 一条直线3、已知圆C的一般方程为x2+y2+2x–4y+1=0，其圆心坐标为（a，b），半径为r，则以下说法中，正确的是（）A. a=–1，b=2，r=2B. a=–1，b=2，r=4C. a=1，b=–2，r=2D. a=1，b=–2，r=44、方程x2+xy=x表示的曲线是（）A. 一个点B. 一条直线C. 两条直线D. 一个点和一条直线5、已知实数x，y满足x2+y2–2x–2y+1=0，则x2+y2的最小值为（）A. 1B.C. 3-D. 26、过三点A（–3，2），B（3，–6），C（0，3）的圆的方程为（）A. x2+y2+4y–21=0B. x2+y2–4y–21=0C. x2+y2+4y–96=0D. x2+y2–4y–96=07、已知方程x2+y2–2x+2y+a=0表示圆，则实数a的取值范围是（）A. （2，+∞）B. （–2，+∞）C. （–∞，2）D. （–∞，1）8、曲线x2+y2x–4=0关于（）A. 直线x轴对称B. 直线y=–x轴对称C. 点（–2D. 点（，0）中心对称9、在平面直角坐标系内，若曲线C：x2+y2+2ax–4ay+5a2–4=0上所有的点均在第二象限内，则实数a取值范围为（）A. （1，+∞）B. （2，+∞）C. （–∞，–2）D. （–∞，–1）10、已知圆x2+y2–4x+6y=0的圆心坐标为（a，b），则a2+b2=（）A. 8B. 16C. 12D. 13二、填空题11、圆x2+y2–2x+4y=0的面积为______．12、圆x2+y2–2x+6y+8=0的周长为______．13、圆x2+y2+6x–4y+12=0的圆心坐标是______．14、若直线3x–4y+12=0与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为______．15、若方程x2+y2–2mx+（2m–2）y+2m2=0表示一个圆，且圆心位于第一象限，则实数m 的取值范围是______．三、解答题16、若方程x2+y2+2mx–2y+m2+5m=0表示圆，求：（1）实数m的取值范围；（2）圆心坐标和半径．17、若圆过A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点，求这个圆的方程．18、求满足下列条件的圆的一般方程：（1）圆心为C（2，–2）且过点P（6，3）的圆的方程；（2）已知点A（–4，–5），B（6，–1），求以线段AB为直径的圆的方程．19、已知实数x，y满足方程x2+y2–4x+1=0．（1）求yx的最值；（2）求y–x的最值；（3）求x2+y2的最值．20、m为何值时，方程x2+y2–4x+2my+2m2–2m+1=0表示圆，并求半径最大时圆的方程．答案第1页，共5页参考答案1、【答案】C【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】将圆x 2+y 2+4x –6y –3=0的方程化成标准形式，得（x +2）2+（y –3）2=16，∴圆x 2+y 2+4x –6y –3=0的圆心为C （–2，3），半径r =4，选C. 2、【答案】D【分析】本题考查轨迹方程.【解答】动圆x 2+y 2–4tx –2ty +5t 2–4=0可化为()()2224x t y t -+-=，∴圆心的坐标为()2,t t ，半径2r =.设圆心的坐标为(),x y ，则2,x t y t ==，消去参数t 得20x y -=，则圆心的轨迹为一条直线，故选D. 3、【答案】A【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】圆C 的一般方程为x 2+y 2+2x –4y +1=0，它的标准方程为（x +1）2+（y –2）2=4，表示以（–1，2）为圆心、半径等于2的圆．再根据其圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，可得a =–1，b =2，r =2，选A. 4、【答案】C【分析】本题考查轨迹方程.【解答】方程x 2+xy =x 即x （x +y –1）=0，化简可得x =0或x +y –1=0．而x =0表示一条直线，x +y –1=0也表示一条直线，故方程x 2+xy =x 的曲线是两条直线，选C. 5、【答案】C【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】圆x 2+y 2–2x –2y +1=0，即（x –1）2+（y –1）2=1，表示以C （1，1）为圆心、半径等于1的圆．则x 2+y 2表示圆上的点和原点连线的距离的平方．由于CO∴CO 2=2，∴x 2+y 2的最小值为)21C.6、【答案】A【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】AB 的中点坐标为（0，-2），直线AB 的斜率为43-，∴垂直平分线的斜率为34，则线段AB 的垂直平分线方程为324y x +=，化简得3480x y --=①；同理得到AC的中点坐标为35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AC 的斜率为13，∴垂直平分线的斜率为-3，则线段AC的垂直平分线的方程为53322y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，化简得6240x y ++=②.联立①②解得0,2,x y =⎧⎨=-⎩则圆心坐标为()0,2-，圆的半径5r =，则圆的标准方程为()22225x y ++=，即224210x y y ++-=，故选A.7、【答案】C【分析】本题考查二元二次方程表示圆的条件.【解答】∵方程x 2+y 2–2x +2y +a =0表示圆，∴22+22–4a ＞0，∴4a ＜8，∴a ＜2，选C. 8、【答案】B【分析】本题考查关于点、直线对称的圆的方程.【解答】曲线x 2+y 2x –4=0表示圆，且圆心坐标为（）；由于圆心在直线y =–x 上，∴曲线关于直线y =–x 对称．∴A 、C 、D 都不正确．选B. 9、【答案】B【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】由已知圆的方程为x 2+y 2+2ax –4ay +5a 2–4=0，则圆的标准方程为()()2224x a y a ++-=，故圆的圆心为(),2a a -，圆的半径为2，若曲线C ：x 2+y 2+2ax –4ay +5a 2–4=0上所有的点均在第二象限内，则0a >，且2a ->，解得2a >，故a 的取值范围是()2,+∞，故选B. 10、【答案】D【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】圆x 2+y 2–4x +6y =0化为：（x –2）2+（y +3）2=13的圆心坐标为（2，–3），则a 2+b 2=4+9=13．选D ． 11、【答案】5π【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化.【解答】圆的方程即（x –1）2+（y +2）21，–2圆，故圆的面积为π•r 2=5π，故答案为：5π．12、【答案】【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化.答案第3页，共5页【解答】圆x 2+y 2–2x +6y +8=0，即圆（x –1）2+（y +3）2=2，表示以（1，–3）为圆心，． 13、【答案】（–3，2）【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化.【解答】圆x 2+y 2+6x –4y +12=0，即（x +3）2+（y –2）2=1，故圆的圆心为（–3，2），故答案为：（–3，2）． 14、【答案】x 2+y 2+4x –3y =0 【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】由x =0得y =3，由y =0得x =–4，∴A （–4，0），B （0，3），∴以AB 为直径的圆的圆心是（–2，32），半径r=1522=，∴以AB 为直径的圆的方程是（x +2）2+（y –32）2=254，即x 2+y 2+4x –3y =0．故答案为：x 2+y 2+4x –3y =0． 15、【答案】（0，12）【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】方程x 2+y 2–2mx +（2m –2）y +2m 2=0表示一个圆，可得：圆心为（m ，1–m ），r=＞0．∴12m <，由圆心位于第一象限，010m m >⎧⎨->⎩，解得0＜m ＜1．∴实数m 的取值范围是0＜m ＜12．故答案为：（0，12）． 16、【答案】（1）1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）圆心坐标为(),1m -，半径r = 【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，二元二次方程表示圆的条件. 【解答】（1）∵方程x 2+y 2+2mx –2y +m 2+5m =0表示圆， ∴()()()22222422450,D E F m m m +-=+--+>即22444200m m m +-->，解得15m <， 故m 的取值范围是1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）将方程x 2+y 2+2mx –2y +m 2+5m =0写成标准方程为()()22115x m y m ++-=-， 可得圆心坐标为(),1m -，半径r = 17、【答案】x 2+y 2–6x –6y +8=0． 【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则4201640240D F D F E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③， ②–①得：12+2D =0，∴D =–6， 代入①得：4–12+F =0，∴F =8， 代入③得：2E +8+4=0，∴E =–6， ∴D =–6，E =–6，F =8，∴圆的方程是x 2+y 2–6x –6y +8=0．18、【答案】（1）2244330x y x y +-+-=；（2）2226190x y x y +-+-=．【分析】本题考查圆的一般方程的求法.【解答】（1）=，故圆的方程为（x –2）2+（y +2）2=41，即2244330x y x y +-+-=；（2）由中点坐标公式得线段AB 的中点坐标为C （1，–3），即圆心的坐标，r==，故圆的方程为（x –1）2+（y +3）2=29，即2226190x y x y +-+-=．19、【答案】（1）最小值为（2）最小值为，最大值为；（3）最大值为【分析】本题考查圆的一般方程.【解答】（1）实数,x y 满足x 2+y 2–4x +1=0，可化成()2223,x y -+= 其表示以点()2,0为半径的圆. 设yk x=，即y kx =，圆心()2,0到y kx =的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值，=23k =，∴max min k k == 即yx（2）令y –x =t ，即x –y +t =0对应直线l ，答案第5页，共5页将直线l 平移，当l 与圆C ：（x –2）2+y 2=3相切时，t 达到最大或最小值， 由d=t，∴t 的最小值为，最大值为；（3）满足x 2+y 2–4x +1=0的点P （x ，y ）在以C （2，0）为圆心，x 2+y 2=|OP |2， ∵当P 、O 、C 三点共线时，|OP |达到最大值或最小值，∴当圆C 上的点P 在OC 延长线上时，|OP |的最大值为|OC得到x 2+y 2的最大值为（2当圆C 上的点P 在线段OC 上时，|OP |的最小值为|OC， 得到x 2+y 2的最大值为（）2综上所述，x 2+y 2的最大值为．20、【答案】1m =，圆的方程为224210x y x y +-++=．【分析】本题考查二元二次方程表示圆的条件.【解答】方程x 2+y 2–4x +2my +2m 2–2m +1=0，即()()222223x y m m m -++=-++， 它表示圆时，应有2230m m -++>，求得13m -<<. 当半径最大时，应有223m m -++最大，此时，1m =，圆的方程为224210x y x y +-++=.。
圆的一般方程参考答案
2.4.2 圆的一般方程参考答案1．(多选)若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，23，方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的值可以为( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D.23答案 ABD解析 根据题意，若方程表示圆，则有(2a )2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，解得a <1，又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，23，则a 的值可以为－2,0，23. 2．已知圆的方程为x 2＋y 2＋2ax ＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为( )A ．3 B. 5 C ．5 D ．4答案 D解析 圆的方程x 2＋y 2＋2ax ＋9＝0，即(x ＋a )2＋y 2＝a 2－9，它的圆心坐标为(－a ,0)，可得a ＝－5， 故它的半径为a 2－9＝25－9＝4.3．(多选)下列结论正确的是( )A ．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程B ．圆的一般方程和标准方程可以互化C ．方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0表示圆D ．若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0答案 ABD解析 AB 显然正确；C 中方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝0，所以表示点(1，－2)；D 正确．4．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，则圆C 的圆心的轨迹是( )A ．点B ．直线C ．线段D ．圆答案 D解析 ∵圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，∴(1－a )2＋(0－b )2＝1，∴(a －1)2＋b 2＝1，∴圆C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．5．圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0关于直线y ＝x ＋1对称的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5B ．(x ＋4)2＋(y －1)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝5D ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 答案 C解析 把圆C 的方程化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，∴圆心C (2，－1)．设圆心C 关于直线y ＝x ＋1的对称点为C ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－(－1)x 0－2＝－1，y 0－12＝x 0＋22＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝3，故C ′(－2,3)， ∴圆C 关于直线y ＝x ＋1对称的圆的方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝5.6．若当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α等于( )A.π2B.π4C.3π4D.π5答案 C解析 x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0化为标准式为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－34k 2，所以当k ＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为3π4. 7．过三点O (0,0)，M (1,1)，N (4,2)的圆的方程为________________．答案 x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0解析 设过三点O (0,0)，M (1,1)，N (4,2)的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－8，E ＝6，F ＝0，故所求圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0.8．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的一般方程为________________．答案 x 2＋y 2－4x －5＝0解析 设圆C 的圆心坐标为(a ,0)(a >0)，由题意可得|2a |5＝455， 解得a ＝2(a ＝－2舍去)，所以圆C 的半径为22＋(－5)2＝3，所以圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0.9．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0表示一个圆．(1)求t 的取值范围；(2)求这个圆的圆心坐标和半径；(3)求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程．解 (1)圆的方程化为[x －(t ＋3)]2＋[y ＋(1－4t 2)]2＝1＋6t －7t 2.由7t 2－6t －1<0，得－17<t <1. 故t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－17，1. (2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t ＋3,4t 2－1)，半径为1＋6t －7t 2.(3)r ＝－7t 2＋6t ＋1 ＝－7⎝⎛⎭⎫t －372＋167≤477. 所以r 的最大值为477，此时t ＝37， 故圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －2472＋⎝⎛⎭⎫y ＋13492＝167. 10.如图，已知线段AB 的中点C 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的端点B 的轨迹方程．解 设B 点坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点C 的坐标是(4,3)且点C 是线段AB 的中点，所以4＝x 0＋x 2，3＝y 0＋y 2， 于是有x 0＝8－x ，y 0＝6－y .①因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4，②把①代入②，得(8－x ＋1)2＋(6－y )2＝4，整理，得(x －9)2＋(y －6)2＝4.所以点B 的轨迹方程为(x －9)2＋(y －6)2＝4.11．圆x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆的方程是x 2＋y 2－4x ＋3＝0，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 由于圆x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0的圆心为M ⎝⎛⎭⎫a 2，1，圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0的圆心为N (2,0)，又两圆关于直线x －y －1＝0对称，故有1－0a 2－2×1＝－1，解得a ＝2. 12．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的面积为( )A ．8πB ．4πC ．2πD ．π 答案 C解析 原方程可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2，∴半径r ＝2，∴圆的面积为S ＝πr 2＝2π.13．已知圆C 经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C 与两坐标轴的四个截距之和为________．答案 －2解析 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中，得⎩⎪⎨⎪⎧ 16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，1＋9＋D ＋3E ＋F ＝0，25＋1＋5D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.令x ＝0，则y 2＋4y －20＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－4；令y ＝0，则x 2－2x －20＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2，故圆C 与两坐标轴的四个截距之和为y 1＋y 2＋x 1＋x 2＝－4＋2＝－2.14．设直线2x ＋3y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交于点A ，B ，则弦AB 的垂直平分线的方程是____________．答案 3x －2y －3＝0解析 圆的方程x 2＋y 2－2x －3＝0，化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心坐标为(1,0)，由k AB ＝－23，得AB的垂直平分线的斜率为32，且过圆心，从而所求直线方程为y －0＝32(x －1)，即3x －2y －3＝0.15．已知点P (7,3)，圆M ：x 2＋y 2－2x －10y ＋25＝0，点Q 为圆M 上一点，点S 在x 轴上，则|SP |＋|SQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 C解析 由题意知圆M 的方程可化为(x －1)2＋(y －5)2＝1，所以圆心为M (1,5)，半径为1.如图所示，作点P (7,3)关于x 轴的对称点P ′(7，－3)，连接MP ′，交圆M 于点Q ，交x 轴于点S ，此时|SP |＋|SQ |的值最小，否则，在x 轴上另取一点S ′，连接S ′P ，S ′P ′，S ′Q ，由于P 与P ′关于x 轴对称，所以|SP |＝|SP ′|，|S ′P |＝|S ′P ′|，所以|SP |＋|SQ |＝|SP ′|＋|SQ |＝|P ′Q |<|S ′P ′|＋|S ′Q |＝|S ′P |＋|S ′Q |.故(|SP |＋|SQ |)min ＝|P ′M |－1＝(1－7)2＋(5＋3)2－1＝9.16．在平面直角坐标系xOy 中，长度为2的线段EF 的两端点E ，F 分别在两坐标轴上运动．(1)求线段EF 的中点G 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 与x 轴交于A 1，A 2两点，P 是轨迹C 上异于A 1，A 2的任意一点，直线P A 1交直线l ：x ＝3于M 点，直线P A 2交直线l 于N 点，求证：以MN 为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标．解 (1)设G (x ，y )，由中点坐标公式得E (2x ,0)，F (0,2y )，∴|EF |＝(2x )2＋(－2y )2＝2，整理得x 2＋y 2＝1，∴线段EF 的中点G 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝1.(2)由已知设A 1(－1,0)，A 2(1,0)，设P (x 0，y 0)，x 0≠±1，x 20＋y 20＝1，直线P A 1的方程为y ＝y 0x 0＋1(x ＋1)， 令x ＝3，得y ＝4y 0x 0＋1， 则M ⎝⎛⎭⎫3，4y 0x 0＋1，同理，可求N ⎝⎛⎭⎫3，2y 0x 0－1，MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫3，1－3x 0y 0，|MN |＝⎪⎪⎪⎪4y 0x 0＋1－2y 0x 0－1＝2⎪⎪⎪⎪3－x 0y 0， ∴以MN 为直径的圆C 的方程为(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －1－3x 0y 02＝(3－x 0)2y 20. 令y ＝0，得(x －3)2＝－⎝⎛⎭⎫1－3x 0y 02＋(3－x 0)2y 20＝8－8x 20y 20＝8. ∴x ＝3±22，圆C 总过定点，定点坐标为(3＋22，0)或(3－22，0)．。
高中数学圆的方程典型例题(含答案)
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+= )(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
1.学生版：圆的方程
圆的方程专项复习（学生版）典型例题分析A 组练习例1. 写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； （2）圆心在点C （3，4例2．求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x 2+y 2-8x+6y=0， （2）x 2+y 2+2by=0．例3. 求下列各圆的一般方程：(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；（２）过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．例4.已知圆的方程是x 2+y 2=1，求：（１）斜率为1的切线方程；例５．(1)已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？例６．求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．B 组练习例１ 求经过点(5,2),(3,2)A B ,且圆心P 在直线230x y --=上的圆的方程；例２. 求经过原点，且过圆x 2+y 2+8x-6y+21=0和直线x-y+5=0的两个交点的圆的方程．例３．求圆心在直线 l ：x+y=0上，且过两圆C 1∶x 2+y 2-2x+10y-24=0和C 2∶C 组练习例１．求以圆C 1：x 2+y 2-12x -2y -13=0和圆C 2：x 2+y 2+12x +16y -25=0的公共弦为直径的圆的方程。
例２．圆与y 轴相切，圆心P 在直线30x y -=上，且直线y x =截圆所得弦长为 例3 已知圆4)4()3(:22=-+-y x C , 点),(y x P 为圆C 上一动点。
（1）求y x的最大值与最小值；（2）若)0,1(),0,1(B A -，求22||||PB PA +的最大值与最小值。
A 组练习一、选择题：1.若圆的方程为0118622=--++y x y x ，则圆心坐标与半径为（ ）（A ）（-3,4），3 （B ）（-3,-4），３ （C ）（3,-4）,6 （D ）(-3,4),62.圆的一条直径的端点是)2,2(),0,2(-B A ，则圆的方程是（ ）A 、042422=++-+y x y xB 、042422=+--+y x y xC 、042422=-+-+y x y xD 、042422=--++y x y x3.已知圆的方程为x 2 + y 2－4x + 6y = 0，下列是通过圆心直线的方程为（ ）A 3x + 2y + 1 = 0B 3x －2y + 1= 0C 3x －2y = 0D 3x + 2y = 04.方程014222=++-++a y x y x 表示圆，则a 的取值范围是( )A ．6->aB ．5->aC ．5<aD ．4<a5.直线l 将圆x 2+y 2－2x －4y =0平分，且与直线x +2y =0垂直，则直线l 的方程为（ ）A.y =2xB.y =2x －2C.y =－21x +23D.y =21x +236.圆()2211x y -+=的圆心到直线3y x =的距离是 （ ）A. 12B. 2C. 1D. 7.若直线34120x y -+=与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB 为直径的圆的方程是 （ ）A 、22430x y x y ++-=B 、 22430x y x y +--=C 、224340x y x y ++--=D 、224380x y x y +--+=8.过点A （1，-1），B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（ ）A.22(3)(1)4x y -++=B. 22(+3)(-1)4x y +=C. 22(1)(1)4x y -+-=D. 22(+1)(1)4x y ++=9.方程y ）A.一条射线B.一个圆C. 两条射线D. 半个圆10. 以原点为圆心，且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是（ ） A 、522=+y x B 、2522=+y x C 、422=+y x D 、1622=+y x二、填空题：1.已知两圆01422:,10:222221=-+++=+y x y x C y x C .则经过两圆交点的公共弦所在直线方程____ _2.若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=_____3.过点O （0，0），A （1，1），B （1，－5）的圆方程是__________．4.点(5112)a a +，在圆22(1)1x y -+=的内部，则实数a 的取值范围是____________5.与x 轴相交与A(1,0)和B(5,0)_______.6.经过原点，圆心在x 轴的负半轴上，且半径为2的圆的标准方程是_______.7.已知圆C 的圆心坐标为C （1，3），且该圆经过坐标原点，它的标准方程为_______.8.已知圆C 经过A(5,1),B(1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为_______.9.圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为_______.10.直线240x y ++=截226210x y x y +-++=所得弦长为三、解答题：1.求下列条件所决定的圆的方程：(1)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；(2)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x 上，且与直线y=2x+5相切．2.（1）已知：224x y +=，求过点（1）的切线方程。
圆的一般方程练习
圆的一般方程练习1.若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( )A ．m <12B ．m <0C ．m >12D ．m ≤122.方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线为圆，则有( )A ．A ＝C ≠0B ．D 2＋E 2－4AF >0C ．A ＝C ≠0且D 2＋E 2－4AF >0 D ．A ＝C ≠0且D 2＋E 2－4AF ≥03.圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于( ) A.2π B ．2π C ．22π D ．4π4.过点P (－8，－1)，Q (5,12)，R (17,4)三点的圆的圆心坐标是( )A ．(5,1)B ．(4，－1)C ．(5，－1)D ．(－5，－1)5.圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝56.圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 ( )A ．36 B. 18 C. 26 D. 257.已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 68.如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．F ＝ED ．D ＝E ＝F9.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝010.若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．1011.已知圆x 2－4x －4＋y 2＝0的圆心是P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是________．12.点A (1,0)在圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋3a －3＝0上，则a 的值为________．13.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．14.圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)两点，求圆C 的方程．15.已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．16.已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.(1)求此圆的圆心与半径；(2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆．17.设有一个半径为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东，而乙向北前进，甲出村后不久，改变前进方向．沿着相切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇，设甲、乙两人的速度都一定，其比为3:1，此二人在何处相遇？17.如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P、Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．圆的一般方程练习答案ACCCA CBACB 11. 22；12. －2；13. (x －1)2＋(y ＋1)2＝9 14.解 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2在直线2x －y －7＝0上， ∴2⎝⎛⎭⎫－D 2－⎝⎛⎭⎫－E 2－7＝0. 即D －E 2＋7＝0.① 又∵A (0，－4)，B (0，－2)在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4E ＋F ＝0，4－2E ＋F ＝0. ②③由①②③解得D ＝－4，E ＝6，F ＝8. ∴圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0. 15.解 设点M (x ，y )，点P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧ x ＝x 02，y ＝y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y .∵点P (x 0，y 0)在圆C 上， ∴x 20＋y 20－8x 0－6y 0＋21＝0. ∴(2x )2＋(2y )2－8·(2x )－6·(2y )＋21＝0. 即点M 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x －3y ＋214＝0. 16.解 (1)x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0可化为2＋(y －2m )2＝9，∴圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3.(2)证明：由(1)知，圆的半径为定值3，且圆心(a ，b )满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－m ，b ＝2m ，即2a ＋b ＝2. ∴不论m 为何实数，方程表示的圆的圆心都在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．17.如图，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴建立直角坐标系．设甲向东走到D 转向到C 恰好与乙相遇．设D ，C 两点的坐标分别为(a,0)，(0，b )，其中a ＞3，b ＞3，则CD 方程为x a ＋yb＝1.设乙的速度为v ，则甲的速度为3v .依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ ab a 2＋b 2＝3，a 2＋b 2＋a 3v ＝b v . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝154.∴乙向北走3.75 km 时两人相遇．18.如上图，以O 为坐标原点，以直线BC 为x 轴，建立平面直角坐标系，于是有B (－m,0)，C (m,0)，P (－n,0)，Q (n,0)．设A (x ，y )，由已知，点A 在圆x 2＋y 2＝m 2上．|AP |2＋|AQ |2＋|PQ |2＝(x ＋n )2＋y 2＋(x －n )2＋y 2＋4n 2＝2x 2＋2y 2＋6n 2＝2m 2＋6n 2(定值)．。
圆的一般方程练习
圆的一般方程1、若方程224250x y kx y k ++-+=表示圆，则k 的取值范围是( ) A,14< k <1 B . k <14或k >1 C. k =14或k =1 D. k 任意实数 2、圆的方程是()()(1)2()40x x y y -++-+=2，则圆心的坐标是( )A.(1,－1)B.(12,－1) C.(－1,2) D.(－12,－1). 3、22460x y x y +-+=和2260x y x +-=的连心线方程是（ ）A 、30x y ++=B 、250x y --=C 、390x y --=D 、4370x y -+=4、如果方程220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有（ ）A 、D E =B 、D F =C 、E F =D 、DEF ==5、方程y =表示的曲线是( )A 、一条射线B 、一个圆C 、两条射线D 、半个圆6、已知圆22220x y kx y k ++++=,当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是（ ）A 、(0,－1)B 、(1,－1)C 、(－1,0)D 、(－1,1)7、圆2224260x y x y k ++++=与某坐标相切，那么k 可以取得值是( )A 、±2或±13B 、1和2C 、-1和-2D 、-1和18、已知方程224250x y kx y k ++-+=，当k ∈ 时，它表示圆；当k ∈ 时，它表示点；当k ∈ 时，它的轨迹不存在。
9、若方程220x y Dx Ey F ++++=，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F =_____10、224250x y x y +-+-=，与直线250x y +-=相交于1P ,2P 两点，则12PP=____。
11、三角形ABC 的三个顶点A (1,4)，B (-2，3)，C (4，-5)，则ABC ∆的外接圆方程是 。
圆的一般方程典型题(好) (1)
2. 若直线3x+y+a=0过圆x^2+y^2+2X-4y=0的圆心，则a的值为什么?由圆的方程可知圆心的坐标(-1，2)把(-1，2)代入直线方程，得3x(-1)+2+a=0解得a=13.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是x2+y2-4x+2y+5k=0(x-2)2+(y+1)2=-5k+5方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆-5k+5>0k<14.当点P在x2+y2=1上变动时，它与定点Q（3,0）的联结线段PQ的中点的轨迹方程是？. 设M坐标为（x，y），则P点坐标为：X=2x-3，Y=2y 点P在圆X*X+Y*Y=1上，故有：（2x-3）^2+(2y)^2=1 即：（x-1.5）^2+(y)^2=0.25 以（1.5，0）为圆心，0.5为半径的圆5. 已知点A（1，2）在圆X^2＋Y^2 ＋2X＋3Y＋m＝0内，则m 的取值范围由公式：圆的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0 转化为圆的标准方程为：(x+D/2)².+(y+E/2)²=(D²+E²-4F)/4则，已知圆的标准方程为：(x+2/2)².+(y+3/2)²=(2²+3²-4m)/4整理得：(x+1)².+(y+3/2)²=(13-4m)/4点P（X,Y) 与圆 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：当(x－a)^2+(y－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
将A（1，2）代入上面的不等式：：(1+1)².+(2+3/2)²<(13-4m)/4解的：m<-136. 由方程Ｘ２+Ｙ２+Ｘ+（M-１）Y+1/2M2=0确定的圆中最大面积是？对x,y进行配方。
(x+1/2)2-[y+(m-1)/2)]2=-(m2-2m-2)/4-(m2-2m-2)/4=-(m-1)2/4+3/4当m=1时，圆取得最大半径根号3/2面积为3π/4先化成圆的标准方程，半径为√（-m的平方-2m+2）/2，半径的最大值为√3/2，最大面积是3/4π7. 若圆X^2+Y^2+DX+EY+F=0过点(0,0),(1-1),且圆心在直线X+Y-3=0上,求该圆的方程,并写出它的圆心坐标和半径。
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4.1.2 圆的一般方程
练习一
一、 选择题
1、x 2+y 2-4x+6y=0和x 2+y 2-6x=0的连心线方程是（ ）
A 、x+y+3=0
B 、2x-y-5=0
C 、3x-y-9=0
D 、4x-3y+7=0
2、已知圆的方程是x 2+y 2－2x+6y+8=0，那么经过圆心的一条直线方程为( )
A .2x －y+1=0 B.2x+y+1=0
C.2x －y －1=0
D.2x+y －1=0
3、以（1,1）和（2,-2）为一条直径的两个端点的圆的方程为（ ）
A 、 ｘ2＋ｙ2＋3ｘ－ｙ＝0
B 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ＝0
C 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ－
25＝0 D 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ－ｙ－2
5＝0 4、方程ｘ2＋ｙ2＋ａｘ＋2ａｙ＋2ａ2＋ａ－1＝0表示圆，则ａ的取值范围是（ ）
A 、 ａ＜－2或ａ＞3
2 B 、－3
2＜ａ＜2 C 、－2＜ａ＜0
D 、－2＜ａ＜
3
2
5、圆x 2+y 2+4x+26y+b 2=0与某坐标相切，那么b 可以取得值是( )
A 、±2或±13
B 、1和2
C 、-1和-2
D 、-1和1
6、如果方程22220(40)x y Dx Ey f D E F ++++=+->所表示的曲线关于y=x 对称，则必有（ ）
A 、D=E
B 、D=F
C 、E=F
D 、D=E=F
7、如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限， 那么l 的斜率的取值范围是（ ）
A 、[0，2]
B 、[0，1]
C 、1[0]2，
D 、1[0]3，
二、填空题
8、已知方程x 2+y 2+4kx-2y+5k=0，当k ∈ 时，它表示圆；当k
时，它表示点；当k ∈ 时，它的轨迹不存在。
9、圆x 2+y 2－4x+2y －5=0，与直线x+2y －5=0相交于P 1,P 2两点，则12PP =____。
10、若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=_____
11、圆的方程为22680x y x y +--=，过坐标原点作长度为6的弦，则弦所在的直线方程为 。
三、解答题
12、如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限，求l 的斜率的取值范围。
13、如果实数x 、y 满足x 2+y 2-4x+1=0，求
y x
的最大值与最小值。
14、ABC 的三个顶点分别为A(－1,5)，(－2,－2),(5,5),求其外接圆方程
15、已知方程22
2(3)x y t x +-+22(14)t y +-41690t ++=表示一个圆。
(1) 求t 的取值范围；
(2) 求该圆半径r 的最大值及此时
圆的标准方程
答案：
一、选择题
1、C ；
2、B ；
3、C ；
4、D ；
5、A ；
6、A ；
7、A
二、填空题
8、k>1或k<
14时，表示圆；k =1或k=14时，表示点；1,14k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，轨迹不存在。
9、
10、4
11、02470y x y =+=或
三、解答题
12、解：直线过定点(1,2)，当直线同时过原点时，l 的斜率k=2，由数形结合可得，[]0,2k ∈
13、解：设y x
=k ，得y=kx ，所以k 为过原点的直线的斜率。
又x 2+y 2-4x+1=0表示以(2,0)为圆心，半径
y=kx 与已知圆相切且切点在第一象限时，k 最大。
此时，
，|OC|=2，Rt
△POC 中，60O POC ∠=
，tan 60o
k == 所以y x
14、解：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0
由题设得方程组5260228055500D E F D E F D E F -+++=⎧⎪--++=⎨⎪+++=⎩
解得4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
的外接圆方程为x 2+y 2－4x －20=0
15、解：(1)∵已知方程表示一个圆，所以D 2+E 2-4F ＞0，即22
4(3)4(14)t t ++- ()44169t -+>0，整理得7t 2-6t-1<0,解得117t -
<<。
(2)r
=
≤，当t=37
时，r max
=.圆的标准方程为22241316()()7497
x y -++=。