机械波 平面简谐波方程

4 2 O -4
2 x(m)
作业
HOMEWORK
10 - 2
10 - 3
10 - 5
10 - 4
E
F
G
I
A
H
x
随堂小议
以波速 u 沿 X 轴逆向传播的简谐波 t 时刻的波形如 下图 A
D B C
（1）A点的振动速度大于零； （2）B点静止不动； （3）C点向下运动； （4）D点的振动速度小于零。
一列平面简谐波 （假定是横波）
波动方程
波沿 X 轴正向传播 （正向行波）
观测坐标原点任设 （不必设在波源处）
O
A

y
(2)求 t 1.0s 波形图 t x π y 1.0 cos[ 2 π( )- ] 2.0 2.0 2 π y 1.0 cos[ - π x ] 2 t 1.0 s sin πx (m) 波形方程
y/m
1.0
0
2.0
t 1.0 s
x/m
-1.0
时刻波形图
(3) x 0.5m 处质点的振动规律并作图 t x π y 1.0 cos[ 2 π( )- ] 2.0 2.0 2 x 0.5m 处质点的振动方程
y(m) 4 2 O
-4
y(m) 4 2 O
-4
2 t(s)
2 x(m)
2p p （1） A 4, T 4 T 2
令： y 0 4 cos( t ) 2 y 0 t 0 2 5p y(m) 由 3 v 0 t 0 0 4 p 5p 2 y 0 4 cos( t ) 2 3 O p x 5p y 4 cos[ (t - ) ] -4 2 4 3
x =2m处
0.05 cos p ( 5×2 – 100 t ) 0.05 cos ( 100 p t –10 p ) 初相为–10 p
x1 = 0.2 m 处的振动相位 p ( 5x1 – 100 t ) x2 = 0.35 m 处的振动相位 p ( 5x2 – 100 t )
两者的相位差为
5p
0.15
波的传播方向
质点振动方向 软弹簧
波的传播方向
在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。 空气中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。
纵波
特点：质点的振动方向与波传播方向一致
几何描述
波面 波前
振动相位相同的点连成的面。 最前面的波面。
波前 波面 波线
0.75 p
一平面简谐波以波速例二轴正向传播。 沿X 位于 处的 P 点的振动方程为
设 B 点距原点为 P 点振动传到 B 点需时 即 B 点 时刻的振动状态与 P 点 时刻的振动状态相同
得 波动方程
例3 一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播， 已知振幅 A 1.0 m， 2.0 s， 2.0 m. 在 t 0 T λ 时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向 (1)波动方程；(2)t 1.0 s波形图； 运动. 求：
波长
或频率
的形式表达 消去波速
由
得
波方程意义
若给定 ，波动方程即为距原点 处的质点振动方程
距原点
处质点振动的初相
若给定 ，波动方程表示所给定的 时刻波线上各振动 质点相对各自平衡点的位置分布，即该时刻的波形图。
若 和 都是变量，即 是 和 的函数， 这正是波 动方程所表示的波线上所有的质点的振动位置分布随时间 而变化的情况。可看成是一种动态的波形图。
解：
p
2
t(s)
（2） A 4, l 4 n u / l 1 2pn 2p 令： y 0 4 cos(2pt )
y 0 t 0 2 p p 由 y 0 4 cos(2pt ) 3 3 v 0 t 0 0 x p 波函数： y 4 cos[2p (t - ) ] 4 3 y(m)
设
位于原点
处质点的振动方程为 沿 轴正向传播 。对应同一时刻 ， 点的 时刻的振动状态相同。
已知振动状态以速度
振动状态与原点在
因此，在设定坐标系中，波线上任一点、任意时刻的振动规律为
这就是沿 X 轴正向传播的平面简谐波动方程。它是时间和空间的双重周期函数。
续上
沿 X 轴正向传播的平面简谐波动方程
波动方程常用周期
通常波强不太强的波相遇，满足叠 原理，称为线性波。波强强到不满 足叠加原理的波，称为非线性波。
第一节
10 - 2
平面简谐波
简谐波
由简谐振动的传播所形成的波动。
简谐波又称余弦波或正弦波，是规律最简单、最基本的波。 各种复杂的波都可以看作是许多不同频率的简谐波的叠加。 简谐波的一个重要模型是平面简谐波。 平面简谐波的波面是平面，有确定的波长和传播方向，波 列足够长，各质点振动的振幅恒定。
例三
x = 2 m 处质点的振动方程及初相； x1 = 0.2 m及 x2 = 0.35 m 处两质点的振动相位差。
cosa = cos(-a) 0.05 cos p ( 5 x – 100 t ) x 0.05 cos 100 p ( t – 20 ) 正向波
与
s 20 m ·
-1
比较得 50 Hz
续上
正向波
波沿 X 轴正向传播
同一时刻，沿 X 轴正向，波线上各质点的振动相位依次落后。
反向波
波沿 X 轴反向传播
同一时刻，沿 X 轴正向，波线上各质点的振动相位依次超前。
波动方程 y = 0.05 cos p ( 5 x – 100 t ) (SI) 此波是正向还是反向波，并求 A、n、T、u 及 l ；
(3) x 0.5 m 处质点的振动规律并作图. 解 (1) 写出波动方程的标准式 t x y A cos[ 2π ( - ) ] T l
t x y A cos[ 2π ( - ) ] T l
t 0 x0
π y 0, v 0 2 t x π y cos[ 2 π ( ) - ] (m) 2.0 2.0 2
波动方程
一列平面简谐波 （假定是横波） 观测坐标原点任设 （不必设在波源处）
波沿 X 轴正向传播 （正向行波）
例 设某一时刻绳上横波的波形曲线如下图所示，水平箭 头表示该波的传播方向。试分别用小箭头表明图中A、B、C、 D、E、F、G、H、I各质点的运动方向。
C
y
B
u
B A
D
C D E F G I H
波形移过一个波长所需的时间。
周期的倒数。
单位时间内振动状态（振动相位）的传播速度， 又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质。 或
媒质中波动传到的各点，都可以看作能够发 射子波的新波源，在这以后的任意时刻，这些子 波的包络面就是该时刻的波面。
波的叠加原理
两波在空间某点 相遇，相遇处质点的 振动是各列波到达该 点所引起振动的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ加； 相遇后各波仍保持其 各自的特性（如频率、 波长、振动方向等）， 继续沿原方向传播。
0.05 m
100 p
0.02 s
0.4 m 而且得知原点（ x = 0 ) 处质点振动初相
波动方程 y = 0.05 cos p ( 5 x – 100 t ) (SI) 此波是正向还是反向波，并求 A、n、T、u 及 l ；
例三
x = 2 m 处质点的振动方程及初相； x1 = 0.2 m及 x2 = 0.35 m 处两质点的振动相位差。
波动
第一节
10 - 1
机械振动在媒质中的传播过程称为机械波。
产生机械波的必要条件：
波源 媒质 作机械振动的物体； 能够传播机械振动的弹性媒质。
注意
波是运动状态的传播，介 质的质点并不随波传播.
横波与纵波
横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直 纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行
质点振动方向
软绳
y cos[π t - π] (m)
y
3 4 1.0
y/m
3 *
4 2 * 2.0 * t / s * 1.0 0 O 2 * 1 -1.0*1 x 0.5 m 处质点的振动曲线
例4
（1）有一平面简谐波以波速 u=4m/s 沿 x 轴正
方向传播，已知位于坐标原点处的质元的振动曲线如 图所示，求该平面简谐波函数。 （2）有一平面简谐波以波速 u=4m/s 沿 x 轴正 方向传播，已知 t=0 时的波形图如图所示，求该平面 简谐波函数。
平面波 （波面为平面的波）
波线（波射线） 球面波 （波面为球面的波）
波的传播方向。在各向同性媒质中， 波线恒与波面垂直。
波的物理量
波传播方向
波长
振动状态完全相同的相邻两质点之间的距离。
横波：相邻 波峰——波峰
纵波：相邻 波疏——波疏
波谷—— 波谷
波密——波密
波的物理量
波传播方向
波速
周期 频率 波速