[考研类试卷]考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷17.doc

[考研类试卷]考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷17
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 方程y(4)一2y"'一3y"=e-3x一2e-x+x的特解形式是(其中a，b，c，d为常数) ( ) （A）axe-3x+bxe-x+cx3
（B）ae-3x+bxe-x+cx+d
（C）ae-3x+bxe-x+cx3+dx2
（D）axe-3x+be-x+cx3+dx
2 设线性无关的函数y1(x)，y2(x)，y3(x)均是方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该方程的通解是 ( )
（A）C1y1+C2y2+y3
（B）C1y1+C2y2一(C1+C2)y3
（C）C1y1+C2y2一(1一C1一C2)y3
（D）C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3
3 函数(其中C是任意常数)对微分方程而言 ( )
（A）是通解
（B）是特解
（C）是解，但既非通解也非特解
（D）不是解
4 微分方程y"一6y’+8y=e x+e2x的一个特解应具有的形式为(其中a，b为常数)( ) （A）ae x+be2x
（B）ae x+bxe2x
（C）axe x+be2x
（D）axe x+bxe2x
5 微分方程y"+2y’+2y=e-x sin x的特解形式为(其中A，B为常数) ( )
（A）e-x(Acos x+Bsin x)
（B）e-x(Acos x+Bx sin x)
（C）xe-x(Acosx+Bsinx)
（D）e-x(Axcosx+Bsinx)
6 微分方程的通解是(其中C为任意常数)
( )
7 微分方程y"一4y’+4y=x2+8e2x的一个特解应具有形式(其中a，b，c，d为常数) ( ) （A）ax2+bx+ce2x
（B）ax2+bx+c+dx2e2x
（C）ax2+bx+cxe2x
（D）ax2+(bx2+cx)e2x
8 微分方程y"+y’+y=的一个特解应具有形式(其中a，b为常数)
( )
9 微分方程y"+2y’+y=sh x的一个特解应具有形式(其中a，b为常数) ( ) （A）ash x
（B）ach x
（C）ax2e-x+be x
（D）axe-x+be x
10 设f(x)连续，且满足f(x)=+ln 2，则f(x)= ( )
（A）e x ln 2
（B）e2x ln 2
（C）e x+ln 2
（D）e2x+ln 2
11 设f(x)，f’(x)为已知的连续函数，则方程y’+f’(x)y=f(x)f’(x)的通解是 ( ) （A）y=f(x)+Ce-f(x)
（B）y=f(x)+1+Ce-f(x)
（C）y=f(x)一C+Ce-f(x)
（D）y=f(x)一1+Ce-f(x)
12 微分方程y"一y=e x+1的一个特解应具有形式(其中a，b为常数) ( )
（A）ae x+b
（B）axe x+b
（C）ae x+bx
（D）axe x+bx
13 微分方程(x＞0)满足y(1)=0的特解是
( )
14 设以下的A，B，C为某些常数，微分方程y"+2y’一3y=e x sin2x有特解形如 ( )
（A）e x(A+Bcos 2x+Csin 2x)
（B）e x(Ax+Bcos 2x+Csin 2x)
（C）e x(A+Bx COS 2z+Cx sin 2z)
（D）xe x(A+Bcos 2x+Csin 2x)
15 已知y1=xe x+e2x和y2=xe x+e-x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )
（A）y"一2y’+y=e2x
（B）y"一y’一2y=xe x
（C）y"一y’一2y=e x一2xe x
（D）y"一y=e2x
二、填空题
16 设y1=e x，y2=x2为某二阶齐次线性微分方程的两个特解，则该微分方程为
________．
17 微分方程y’+ytan x=cosx的通解为y=_______．
18 微分方程y"一4y=e2x的通解为y=________．
19 微分方程3e x tan ydx+(1一e x)sec2ydy=0的通解是_______．
20 微分方程y'tan x=yln y的通解是_________．
21 微分方程(6x+y)dx+xdy=0的通解是_______．
22 微分方程的通解是_______．
23 微分方程的通解是________．
24 微分方程y"一7y’=(x—1)2由待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是_______.
25 以y=cos 2x+sin 2x为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是_______．
26 微分方程的通解是________．
27 微分方程(1一x2)y—xy’=0满足初值条件y(1)=1的特解是_______．
28 微分方程y"一2y’=x2+e2x+1由待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是
________.
29 微分方程xdy—ydx=ydy的通解是______．
30 以y=7e3x+2x为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是________．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

31 设a＞0，函数f(x)在[0，+∞)上连续有界．证明：微分方程y’+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界．
32 已知曲线y=y(x)经过点(1，e-1)，且在点(x，y)处的切线在y轴上的截距为xy，求该曲线方程的表达式．
33 求微分方程xy’+y=xe x满足y(1)=1的特解．
34 求微分方程y"+4y’+4y=e-2x的通解．
35 求微分方程y"+2y’一3y=e-3x的通解．
36 求微分方程y"+5y’+6y=2e-x的通解．
37 求微分方程(3x2+2xy—y2)dx+(x2一2xy)dy=0的通解．
38 已知某商品的需求量x对价格p的弹性η=一3p3，而市场对该商品的最大需求量为1万件，求需求函数．
39 某商品市场价格p=p(t)随时间变化，p(0)=p0．而需求函数Q A=b一ap(a，b＞0)，供给函数Q B=一d+cp(c，d＞0)，且p随时间变化率与超额需求Q A—Q B成正比．求价格函数p=p(t)．
40 设Y t，C t，I t分别是第t年的国民收入、消费和投资，三者之间有如下关系
求Y t．。