第四章流体动力学基本方程
流体动力学基本方程
例题1求流体作用于闸门上的力。（设渠宽） 解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的方向分量方程。
闸门受合力＝ 代入动量方程方程得 故 注：求时可直接设。 注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如 下： 其中，因而得到
。 上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变 化率之和。 另外，， 综上可得，再考虑到系统大小形状的任意性可得。 尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求 解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知 道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅 需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。 3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程
4工程流体力学 第四章流体动力学基础
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
流体动力学基本方程
流体动力学基本方程
“流体动力学基本方程”是将质量、动量和能量守恒定律用于流体运动所得到的联系流体速度、压力、密度和温度等物理量的关系式。
对于系统和控制体都可以建立流体动力学基本方程。
系统是确定不变的物质的组合；而控制体是相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称为控制面。
流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体建立的。
主要有连续方程、动量方程、动量矩方程和能量方程。
1、连续方程：ρ1v1A1=ρ2v2A2，式中ρ1、v1、ρ
2、v2分别为A1和A2截面上的流体平均密度和速度。
2、动量方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制面和控制体上的外力之和，等于控制体内动量的增加。
3、动量矩方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制体和控制面上的外力对某一参考点的动量矩之和，等于控制体内对同一点的动量矩的增加。
4、能量方程：单位时间内，流入控制体的各种能量与外力所作的功之和，等于控制体内能量的增加。
流体力学的基本方程式
流体力学的基本方程式流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。
它主要研究流体的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其相互关系。
流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。
下面将逐一介绍这些方程式及其应用。
1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒规律。
它基于质量守恒原理，即在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。
连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。
连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气流动力学、河流的水量和水质传输等。
2. 动量方程动量方程描述了流体的运动规律。
它基于牛顿第二定律，即流体的运动是由外力和内力共同作用的结果。
动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。
其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
动量方程是解决流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中的水流、航空航天中的气体流动等。
3. 能量方程能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。
它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。
能量方程的数学表达式是：ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。
其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。
能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃烧室的工作原理等。
流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研究提供指导。
在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。
流体动力学基础和方程讲解
① 理想 ② 不可压缩均质流体 ③ 在重力作用下 ④ 作恒定流动 ⑤ 并沿同一流线（或微元流束）流动。
第4章 流体动力学基础
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.2 元流伯努利方程的物理意义和几何意义
1、物理意义
z
p
g
u2 2g
c0
位能—— z 压力能—— p
g
势能—— z p
动能—— u 2 2g
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.1 无黏性流体运动微分方程的伯努利积分
理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。 在下列几个假定条件下：
(1)不可压缩理想流体的恒定流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。 即可求得理想流体微元流束的伯努利方程
§4.2 元流的伯努利方程
(p1 pdx) 2 x
(p1 pdx) 2 x
§4.1 流体的运动微分方程
受力分析： 1、表面力：
p p dx p p dx
x 2
x 2
(p1 pdx) 2 x
x轴正方向 x轴负方向
PM
(p 1 2
p dx)dydz x
PN
(p
1 2
p x
dx)dydz
2、质量力： FBxXdxdydz
§4.2 元流的伯努利方程
元流能量方程的应用——毕托管测速原理。
pA
u
2 A
pB
+0
g 2g g
uA2 pB pA h
2g g g
机械能—— z p u 2 2g
Bernoulli方程表明，对于理想流体，其位置能、压力能和动能可以互相 转换，但总和不变。Bernoulli方程为能量守恒方程在理想液体中的应用或 表现形式。
流体力学
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
第4章流体动力学基础1
2、连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性 、连续性微分方程有哪几种形式？ 微分方程说明了什么问题？ 微分方程说明了什么问题？ 质量守恒
第二节 元流的伯努利方程
欧拉运动微分方程组各式分别乘以 ， ， （ 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距 各式分别乘以 ds的坐标分量）： 的坐标分量）： 的坐标分量
1 ( Xdx +Ydy + Zdz) − ρ ( ∂p dx + ∂p dy + ∂p dz) = dux dx + ∂x ∂y ∂z dt duy dt
dy + duz dz dt
<I> 考虑条件 、 考虑条件 1、恒定流
<II>
<III>
一、在势流条件下的积分
∂p ∂p =0 ∂t
∂ux ∂uy ∂uz = = =0 ∂t ∂t ∂t
∂ux ∂y ∂uy ∂z ∂ux ∂z
= = =
∂uy ∂x ∂uz ∂y ∂uz ∂x
积分得：
z+γ +
p
u2 2g
=c
•
理想势流（无黏性） 理想势流（无黏性）伯努利方程
z+γ +
p
或
u2 2g
=c
p2 u22 2g
z1 + γ +
p1
u12 2g
= z2 + γ +
在同一恒定不可压缩流体重力势流 恒定不可压缩流体重力势流中 物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，各点的总比能值相等 即在整个势流场中，伯努利常数 均相等。（应用条件 均相等。（应用条件： 即在整个势流场中，伯努利常数C均相等。（应用条件：“——”所示） ”所示）
流体力学第四章ppt课件
对于定常无旋运动，式（4－3）括弧内的函数
不随空间坐标ｘ，ｙ，ｚ和时间ｔ变化，因此
它在整个流场为常数。精选课件
10
U p V2 C
2
(通用常数)
对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的 定常无、旋运动，因Ｕ＝－ｇｚ，上式可写成
p V2
z
C
(通用常数)
2g
上式为上述条件下的拉格朗日积分式，Ｃ在
整个流场都适用的通用常数，因此它在整个流场
建立了速度和压力之间精的选课件关系。
11
若能求出了流场的速度分布（理论或实验的 方法），就能用拉格朗日积分式求流场的压力分 布，再将压力分布沿固体表面积分，就可求出流 体与固体之间的相互作用力。
应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物
理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行
U 2
2
g
近似代替 20
适用于有限大流束的伯努利方成为：
z p U2 const
2g
或
z1p1U 21g2 z2p2
U22 2g
方程适用条件：
（13） （14）
（１）理想流体，定常流动；
（２）只有重力的作用；
（３）流体是不可压缩的；
（4）１.２截面处流动须是渐变流。但1.2两断
面间不必要求为渐变流精动选课件。
驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引
的“船吸现象”；以及在浅水航道行驶的船舶为
什么会产生“吸底现象”等等。
精选课件
12
讨论： 1. 如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流
动且只有重力作用时，同一水平面上的两 点，其速度和压力的关系如何？ 2. 两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产 生互相吸引的“船吸现象”。
流体运动基本方程
4.1 流体的系统与控制体
• 以系统为着眼点来研究流体的运动，其优点是，可以直接应用物理学 的基本定律及其原始的数学表达式，在物理上直观易懂；其缺点是， 所得到的运动方程是用拉格朗日变量来描述的，应用起来并不方便， 因为在大多数流体力学问题中，人们感兴趣的往往是流体物理量的空 间分布，而不是单个流体系统。
• 基本方程的积分形式和微分形式都是需要的，因为它们既互有联系又 各有用途。对于那些只要求流体的总体特性的量，如果求流体与固体 间的总作用力、总作用力矩、总体的能量交换情况，则采用积分形式 方程比较简单；如果要求流场细节，例如求速度和压力等物理量的分 布，则必须用微分形式的方程。
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4.2 连续方程
• 式中，ρV = ρ ui + ρ vj + ρ wk 可被看作流过单位面积的质量流量， 它的散度 ▽· (ρV)表示流出单位体积控制体的质量流量。V 可被看 作流过单位面积的体积流量，速度散度则表示流出单位体积控制体的 体积流量。
• 微分形式的方程在每一时刻对流场的每一点上成立。它在应用过程中， 也可根据实际流动条件作适当简化，例如：
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4.1 流体的系统与控制体
• ③ 能量守恒定律——常用热力学第一定律。 • 2. 反应流体本身物质特性的基本定律 • ① 流体的本构方程——反映运动流体中应力张量之间固有关系的方
程，在本书中，主要使用牛顿流体的本构方程； • ② 流体的状态方程——反映运动流体固有的热力学性质方程。
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4.3 动量方程
• 对于不可压缩流体有连续方程
• 引入拉普拉斯算子
，
• 则式（4.22）右边第三项可分别表示为▽2u 、▽2v、▽2w。因此， 式（4.22）的三个方程可用矢量形式统一表示为
第4章粘性流体动力学基础
流体力学研究所 张华
du A B dy
n
1
2 3
1
4
0
du dy
1 . =0+µ du/dy，binghan流体，泥浆、血浆、牙膏等 2 . =µ du/dy）0.5 ，伪塑性流体，尼龙、橡胶、油漆等 （ 3 . =µ du/dy ，牛顿流体，水、空气、汽油、酒精等 4 . =µ (du/dy)2，胀塑性流体，生面团、浓淀粉糊等 5 . ＝0，µ 0，理想流体，无粘流体。 ＝
的影响 （2）圆柱绕流 理想流体绕过圆柱时的流动特点：
流体力学研究所 张华
• 在流体质点绕过圆柱的过程中，只有动能、压能的相互 转换，而无机械能的损失。在圆柱面上压强分布对称， 无阻力存在。（达朗贝尔疑题）
20/59
EXIT
2. 流体的粘滞性对流动的影响 粘性流体绕圆柱时的绕流特点：
• 雷诺数的物理意义： 雷诺数代表作用在流体微团上的惯性力与粘性力之比。
28/59
EXIT
4.2、雷诺实验、层流与湍流
流体力学研究所 张华
雷诺数正比于惯性力与粘性力之比的说明：
•
惯性力正比于质量乘加速度：
～ ρ V2 L2
•
粘性力正比于剪应力乘面积：
～ μVL
•
VL Re 因此惯性力与粘性力之比正比于：～
VL Re ,
其中L是特征长度 如板长 ,
27/59
EXIT
4.2、雷诺实验、层流与湍流
流体力学研究所 张华
• 实验发现，随着雷诺数增加而呈现的不同流态(层流或湍 流)对于流动的摩擦阻力、流动损失、速度分布等影响很 大。
• 雷诺数之所以对粘性流体运动的流态及其他相关特性起 着重要作用，在于雷诺数具有很明显的物理意义。
流体力学第四章
1.渐变流及其特性
渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于
平行直线的流动。均匀流是渐变流的极限。
动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强
按静压强的规律式分布，即
注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上 的 各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。
选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀 流断面上。
即J=JP。 5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段
的流速水头。
6.如果测压管水头线在总流中心线以上，压强就 是正职；如相反，则压强为负值，则有真空。
4.总流能量方程在推导过程中的限制条件
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流；
（3）质量力只有重力，所研究的流体边界是静止 的（或处于平衡状态）；
取管轴0-0为基准面，测压管所在断面
1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形
心点为计算点，对断面1,2写能量方程（4-
15），由于断面1，2间的水头损失很小，
可视
，取α1=α2=1，得
由此得：
故可解得：
式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流 量计常数。
实际流量 ： μ——文丘里流量计系数，随流动情况和管
流体力学
第四章 流体动力学基础
本章是工程流体力学课程中最重要的一 章。本章建立了控制流体运动的微分方程， 即理想流体运动微分方程和实际流体的运 动微分方程；并介绍了求解理想流体运动 微分方程的伯努利积分形式；构建了工程 流体力学中应用最广的恒定总流运动的三 大基本方程：连续性方程、伯努利方程 （即能量方程）和动量方程。通过本章的 学习要培养综合运用三大基本方程分析、 计算实际总流运动问题的能力。
道收缩的几何形状而不同。
流体动力学基本方程
流体动力学基本方程流体动力学基本方程000【本章重点】（1）稳定活动与不稳定活动的概念；（2）连续性方程式的推导及其应用；（3）柏努利方程式的推导及其应用。
【本章难点剖析】（1）流体动量通量的概念动量通量，特别是粘性动量通量是一个比较抽象而又难于理解的概念，这一概念又是纳维-斯托克斯方程推的重要基础，因此，必须讲深讲透。
此概念涉及到通量、动量、粘性力、切应力（粘性应力）、层流、紊流等基本概念和牛顿粘性定律等基础知识。
讲述此概念时，首先可以从同学们所熟悉的物理学中磁通量的概念进手，引出通量（即单位时间通过单位面积传递的量）的概念，再推演出动量通量的概念，即单位时间通过单位面积传递的动量。
然后在温习前面所学的层流与紊流以及紊流的脉动性和时均化等概念的基础上，引出对活动量通量（由流体的宏观运动引起，传递方向与流体运动方向一致）和粘性动量通量（包括层流粘性动量通量和紊流粘性动量通量，前者由层流过程流体的分子运动而引起，后者由紊流过程流体微团的横向脉动引起，它们的传递方向都与流体的宏观活动方向垂直）的概念。
值得指出的是，从量纲考虑，粘性动量通量与应力的量纲一致（kgm-1s-2），故层流粘性动量通量可以用切应力来表示，即可以用牛顿粘性定律来描述；但紊流粘性动量通量比较复杂。
（2）欧拉方程和纳维-斯托克斯方程的推导前面的流体静力学基本方程、连续性方程等的推导为欧拉方程和纳维-斯托克斯方程的推导打下了良好的微分法推导基础。
在此基础上比较轻易导出欧拉方程。
但纳维-斯托克斯方程的推导既有一定难度，又有一定深度，而且比较繁琐。
"难"，难在三维粘性动量通量的概念；"深"，深在二阶微分的运算和变换等数学基础；"繁"，繁在数学符号多，上下标多。
因此，在讲述推导过程时，需留意上述题目。
【本章主要内容】3.1流体活动的基本概念3.1.1流场的概念及其表示方法流场是指布满运动流体的空间。
流体力学-第四章 流体动力学基础
Dt t CV
CS
单位质量流体的能量 e (u V 2 gz) 流体系统的总能量
2
DE ed eV ndS
Dt t CV
CS
E ed
初始时刻系统与控制体重合
Q WSYS Q WCV
ed eV ndS Q W
t CV
CS
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
§4.1 系统和控制体，雷诺输运定理
雷诺输运定理：
举例：动量定理运用于流体系统
F Dk Dt
F 是外界作用系统的合力，K 是系统的动量，
k Vd
由于系统不断改变位置、形状大小，组成系统的流体质点的密度和速度随
时间也是变化的，所以系统的动量也是变化的，求其对时间的变化率，即
求该流体系统体积分的物质导数。
取 N M 单位体积的质量
DM 0 Dt
d V ndS 0
t CV
CS
d V ndS 0
t CV
CS
积分形式的连续性方程
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
非定常流动情况下：
d V ndS 0
t CV
CS
即单位时间内控制体内流体质量的增加或减少等于同时间内通过控制面流入 或流出的净流体质量。如果控制体内的流体质量不变，则必然同一时间内流 入与流出控制体的流体质量相等。
左端第一项——是控制体内流体动量随时间变化而产生的力，它反映流体运动的非定常性
左端第二项——是单位时间内流体流入和流出控制体的动量之差，它表示流入动量与流出动量
不等所产生的力。
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
定常流动条件：
F
FB FS
VV ndS
CS
VV ndS
第4章流体动力学微分形式的基本方程
x方向质量的变化 流入的质量 流出的质量
dmx
x
dx 2
u
x
ux x
dx 2
dtdydz
x
dx 2
u
x
ux x
dx 2
dtdydz
ux
ux x
dx 2
ux
x
（2）方程的推导 依据牛顿第二定律。 六面体流体元中心点M的坐标为 x，y，z， 应力状态为σ，可求出各面中心点的应力。
以x方向为例 ：
Fx max
外力的 x 向分量 Fx ：
质量力的x向分量：Xxyz
表面力的 x 向分量：
(
xx
x) y z
x
(
yx
y、z 向质量净通率分别为： (uy ) yzx
y
和 (uz)zxy
z
体积内的质量减少率 ：
则有：
xyz
t
( x u x) ( y u y) ( z u z) x y z t x y z
yx
u (
y
u x )
x
y
yz
zy
(u z y
u y ) z
zx
xz
u (
x
u z )
z
流体力学_04_流体动力学-1
质量力 时变加速度
u x u x u x 1 p u x X ux uy uz x t x y z
表面力
Y
1 p ux uy uz y t x y z
速度水头
p
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ伯 努 利 方 程
****************
u2 H z 2g
总水头
14
第四节 伯诺里方程的能量意义和几何意义
总机械能不变，并 不是各部分能量都保 持不变。三种形式的 能量可以各有消长， 相互转换，但总量不 会增减。 伯努利方程是能量守恒原理在流体力 学中的具体体现，故被称之为能量方程。 伯努利方程在流线上成立，也可认为 在元流上成立，所以伯努利方程也就是 理想流体恒定元流的能量方程。
u2 gz Cl 2 p
流线
2
1 o o
或
u2 z Cl 2g p
对同一流线上任意两点 1 和 2 利用 伯努利积分，即有 伯 努 p1 u12 p2 u22 利 z1 z2 2g 2g 方 程 这是流体力学中普遍使用的方程。
10
第三节 理想流体的伯诺里方程
**************** 实际使用中，在测得 h，计算流速 u 时，还 要加上毕托管修正系数 c，即 u c 2 gh
实用的毕托管常将测压 管和总压管结合在一起。
Ⅱ管 Ⅰ管 Ⅰ管测压孔
Ⅱ管测压孔
18
第四节 伯诺里方程的能量意义和几何意义
补充例题一 测量流速的皮托管如图所示，设被测流 体密度为ρ，测压管内液体密度为ρ1，测压管中液面高 差为h。试证明所测流速 p
第4章流体动力学基本方程
h ——单位重量粘性流体沿流线从1点到2点的 机械能损失，称为元流的水头损失，m。
' w
1 2
1 2
注意： 1. 无粘性流体流动的总水头线为水平线； 2. 粘性流体流动的总水头线恒为下降曲线； 3. 测压管水头线可升、可降、可水平。 4. 总水头线和测压管水头线之间的距离为速度水头。
五、粘性总流的伯努利方程
p1 v1 p2 v 2 ' ( z1 )gdQ ( z 2 hw )gdQ g 2 g g 2 g
2 2
Байду номын сангаас
表示单位时间通过元流过流断面的能量守恒。
由连续性方程 dQ v 1dA1 v 2 dA2 ，上式可写作
p1 v1 p2 v 2 ' ( z1 )gv 1 dA1 ( z 2 hw )gv 2 dA2 g 2 g g 2 g
p Hp z g
—测压管水头
p u2 H z —总水头 g 2 g
理想流体伯努利方程的意义
p v2 z C g 2 g
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理 想流体作定常流动时，位置水头，压强水头，速 度水头之和即总水头为一常数。 对于有旋流动，同 一流线上各点的总水 头相同，见左图。
p z g
——单位重量流体的势能 ——单位重量流体具有的机械能
p v2 z g 2 g
理想流体伯努利方程的意义
p v2 z C g 2 g
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理想 流体作定常流动时，单位重量流体的位能、压能、 动能在流动过程中可以相互转化，但它们的总和 不变，即单位重量流体的机械能守恒。 因此，伯努利方程又称为能量方程。
2019/3/6
工程流体力学-第四章
p
p x
dx
dydz
X
dxdydz
dxdydz
dux dt
X 1 p dux
x dt
X 1 p dux
x dt Y 1 p duy
y dt Z 1 p duz
z dt
——Euler运动方程Βιβλιοθήκη f 1 p u (u )u
t
（1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表 面力之代数和等于其加速度。 （2）适用条件：理想流体。
z p C
g
急变流：流动参量沿流程急剧变化的总流。
例如：
缓变流断面：
1－1、4－4
急变流断面：
2－2、3－3
这样，即可得到：
1
gQ
A (z
p )gudA g
1
gQ
(z
p
g
)
A
gudA
z
p
g
动能修正系数
引入目的： 解决积分
1，
u 2 gudA
gQ A 2g
代之以 V 表达的关系式。
因为总流有效断面上的速度分布是不均匀的，设各点
2gQ
A
u3A 2gQ
1
3
u
A
2
dA
u2A
u2 2g
1 3
u
A
2
dA
u2A
动能修正
系数
则
1
u 2 gudA u 2
gQ A 2g
2g
令
hw12
1
gQ
A2 A1
hw 12 gudA
则（2）式变成：
z1
p1
g
1
u12 2g
理想流体动力学基本方程
三、恒定总流能量方程应用 四、恒定总流动量方程与能量方程
的综合应用
3
，致使所研究的问题比较复杂。 理想流体：指粘性为零的流体，实际上并不存在，但在有些问题
中，粘性的影响很小，可以忽略不计，致使所研究的 问题简单化。 理想流体动力学规律可以应用于粘性的影响很小的实 际流体中，所以本章的研究具有实际意义。
C点（六面体的中心点）:
坐标：x、y、z
平均密度：ρ 动压强：p 速度： ux、uy、uz
方向沿坐标轴的正向
11
x 轴方向受到的表面压力：
p p dx dydz p p dx dydz p dxdydz
x 2
x 2
x
单位质量力为：
f fx i fy j fz k
流体微团受到 x 轴 方向的质量力：
动量的增量对总流过流断面进行积分，得：
dK
A2
dA2u2
dtu2
A1 dA1u1dtu1
dt[
A2 dA2u2u2
A1 dA1u1u1]
用过流断面的平均流速 v 来代替上式中未知的点速 u 分布，
主要内容
动量方程：反映了流体的动量变 化与外力之间的关系
能量方程：机械能守恒定理
4
粘性流体：实际流体都具有粘性。既有粘性切应力，又有法向压应力。
0
理想流体：理想流体可忽略粘性。即无粘性切应力，只有法向压应力。
0
粘性流体：
理想流体：
5
一、动量方程——流体的运动方程
1、积分形式的动量方程——流体的运动方程
质量力：用 f 表示，具有加速度的量纲
f d
( v)d
第四章 流体动力学微分形式的基本方程
第四章流体动力学微分形式的基本方程§4-1运动流体中的应力张量流体中的应力一、运动流体中的应力张量作微元四面体，如图()cos ,x n nA A n x A Δ=Δ=Δx n ()cos ,y n nA A n y A Δ=Δ=Δy n ()cos ,z n nA A n z A Δ=Δ=Δz n00当()00,0,0dv dx dy dz →→→→n x y zA A A A Δ=Δ+Δ+Δn x y z p p p p n x n y n z nA n A n A n A Δ=Δ+Δ+Δn x y z p p p pn n n =++x y zxx xy xzp p p =++n x y z x p p p p p i j k yx yy yzzx zy zzp p p p p p =++=++y z p i j k p i j k y 分量公式：nx ny nzp p p =++n p i j k nx x xx y yx z zxp n p n p n p =++ny x xy y yy z zynz x xz y yz z zz p n p n p n p p n p n p n p =++=++⎛xx xy xz p p p ⎞⎜⎟=为对称张量yxyyyz zxzy zz P p p p p p p ⎜⎟⎜⎟⎝⎠ 为对称张量P =++x y z ip jp kp x y z n n n P=++=i 依赖于通过某点的面元方位P是的函数n x y z p p p p n (),t 依赖于通过某点的面元方位，P是的函数.n p r二、理想流体中的应力00p αβαβ≠⎧=⎨1111222233330= nn nn nn p n n p p n n p p n n p βαβ≠⎩===112233nn p p p p ∴===理想流体任一方向应力分量都相等p P p δ=−=−n p n+∇i V =0()t ρ∂t∂:适用惯性坐标系,非惯性坐标系,理想流体和非理想流体.⎛()()200v e ,t ,A A t 2φφφττ⎞==×=+==⎜⎟⎝⎠V, r V ，d d 00D D Dt Dt ττρτρτ=∫∫∫∫∫∫V VD ∫∫∫∫∫∫∫∫ A Dt ττD ⎛⎞V ∴0d Dt τρρτ−−∇=⎜⎟⎝⎠∫∫∫f P i1yz xz zz z P P w w w w P u v w f t x y z x y z ρ∂⎛⎞∂∂∂∂∂∂+++++⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠=+各项物理意义y x dx dy ∂⎛⎞∂⎛⎞⎟⎟P P z dxdydz+dydz+dxdz x y D +dz dxdy dxdydz ρρ⎜⎜∂∂⎝⎠⎝⎠∂⎛⎞ =f P V （牛顿第二定律）z Dt ⎜⎟∂⎝⎠2Dt ⎝⎠()()()221122R V V e e +q T t λρρ⎛⎞⎛⎞∂++∇+=∇+∇∇⎜⎟⎜⎟∂i i i i i V f V +P V 或⎝⎠⎝⎠§4-5 方程组的封闭性三大方程连续方程动量方程（个）能量方程：连续方程、动量方程（3个）、能量方程。
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zx dz zx
zyz
xz
xz x
dx
x
z
o
dx pyy
应用动量定理
在流场中取如图所示的流体系 统,其体积为Vs，边界面为As， 作用在该系统内单位质量流体 上的质量力为 f ，作用在单位
界面面积上的表面力为 n .
n
n
dA
VS
AS
图2-3 流体系统
d
dx
注意:
A
o
yx x
z
1.法向应力的合力都与取矩的中心轴线相交，力矩为0.
2.在切向应力中，第一个角标为z的切向应力与取矩的中心
轴线相交；第二个角标为z的切向应力与取矩的中心轴
线平行，因此其力矩为0. 3.质量力作用在矩形六面体的质心M，力矩为0.
4.转动惯性力矩与转动惯量成正比，为四阶小量 ，可忽略.
①定常流动的伯努利积分
②定常无旋流动的欧拉积分
两个积分的前提条件是：
(1) 定常流
x y z 0
t t t
0
t
(2) 质量力有势，即满足
fx
x
f y
y
fz
z
(3) 正压性流体，即流体的密度只与压强有关 f ( p) ( p)
九个应力分量描述了A点的的应力状态
pyy
pyy y
dy
dz
y dy
yz
yz y
dy
zx
yx
yx
pzz
xy
xy x
dx
pxx
xz
zy
zy z
dz
fz
zy
M fx
pxx
pxx x
dx
y
dy
xy AA
pzz
pzz z
dz
fy
x2
2 x
y 2
2 x
z 2
dx
dt
fy
1
p y
v
2 y
x2
2 y
y 2
2 y
z 2
d y
dt
fz
1
p z
v
2 z
x2
2 z
y 2
2 z
z 2
x
(
PF
2
2
)
0
y
(
PF
2
2
)
0
z
(
PF
2
2
)
0
物理意义为：
将上式分别乘以流场中任
意微元线段ds的三个分量 dx, dy, dz，相加，再积
pm
1 3
(
pxx
pzz
pyy )
p
2 3
( x
x
y
y
z
z
)
对于不可压缩流体， 0 pm p（p 为热力学压强）
对于温度不太高的双原子气体（如空气）和压强不太高的单原子气体， 上述结果是正确的。
法向应力与线变形速度之间的关系
pxx
pm
2
z 2
d y
dt
fz
1
p z
v
2 z
x2
2z
y 2
2 z
z 2
dz
dt
对于理想流体 无粘性
fx
1
p x
dx
dt
fy
1
p y
= d y
dt
fz
1
p z
r
r
r
r
2
r
z
r
z
f
1
r
p
t
r
r
r
r
r
z
z
fz
1
p z
z
t
r
z
r
r
z
z
z
z
欧拉运动微分方程适用于理想流体的任何运动， 但该方程中只有表示平移运动的线速度,而没有表示
旋转运动的角速度x, y, z
兰姆运动微分方程
fx
x
2
( 2
)
1
p x
x
t
2(zy
yz )
fy
y
( 2
2
)
1
p y
y
t
2(xz
zx )
fz
z
2
( ) 2
1
p z
z
t
2( yx
xy )
压强计
§4-2 实际流体中的运动微分方程
pyy
pyy y
dy
dz
yz
yz y
dy
zx
yx
yx y pzz
dy
xy
xy x
dx
y
pxx
dy
xz
zy
zy z
dz
fy
zy
xy A
pzz
pzz z
dz
fz
fx
zx
zx z
x j
(i j， = 0)
§4－3 理想流体的运动微分方程
N-S方程
fx
1
p x
v
2 x
x2
2 x
y 2
2 x
z 2
dx
dt
fy
1
p y
v
2 y
x2
2 y
y 2
2 y
dz
dt
纳维尔—斯托克斯方程 写成矢量形式为
[ ( ) ] f p 2
t
f 1 p v2 d
dt t
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
,
i j k x y z
dz
dt
理想流体的运动微分方程(欧拉运动微分方程),适用于可压 缩流体和不可压缩流体的运动
写成矢量形式为：
f 1 p ( )
t
当流体处于静止状态时
1 p
fx x 0
fy
1
p 0 y
fz
1
p z
0
问题
• 广义牛顿内摩擦定律能否归纳出一个简洁的表达式？ • 在何条件下 pxx pyy pzz p • N-S方程的适用条件？ • 讨论题：
两平行平板间不可压缩定常层流运动的解 速度分布？ 切应力分布？
ij
( i
x j
j
xi
)
(i j)
pij
p
2
i
x x y y z z
对不可压均质流体 const 则有：
PF
1
p
PF
dp ( p)
p
对等温流动的可压缩流体，由
p RT
则有：PF
dp ( p)
dp p
RT0 ln p
绝热可逆流动的可压缩流体，由
p k
C1
1
Cpk
dz
xz
xz x
dx
yx
yz
o
x
z
dx
pyy
pxx
pxx x
dx
fx
1
pxx x
1
yx
y
zx
z
dx
dt
fy
1
pyy y
1
zy
z
xy
x
d y
dt
fz
2
2
2
2
2
兰姆方程的推导 (以x方向为例)
fx
1
p x
x t
x
x x
y
x y
z
x z
y
y x
z
z x
x t
x
x x
x x