第一章 线性空间与线性变换

则必有 r +1 V 且 r +1 W ，使得
α1 , α2 , L , αr , αr+ 1
线性无关。
否则 r +1 W ，此即 r = n 。得证。
或者对任意 β ? V W ，都有 性相关。这样 β 可由 α , α , L
β Î W 。与 β 的取法矛盾。
重复上述过程，直至得到
(M1) 数乘的结合律： k( l ) ( kl ) (M2) 数乘的单位元： 1 (D1) 分配律1: k( ) k k (D2) 分配律2: ( k l ) k l
2 R 根据线性代数的知识，二维空间 显然可推广到 n 维向量空间 R n 。并且数乘所依赖的实数域 R 也可 推广到复数域 C 。相应的向量空间分别称为实向量
几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数 学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段。
§1、线性空间
线性空间是线性代数最基本的概念之一， 是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向 量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。 线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多 项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉 的一般运算，也可以是各种特殊的运算。
对、、 R2，k、l R, 成立
(A1) 加法交换律： ， (A2) 加法结合律： ( ) ( )，
(A3) 具有加法单位元（零向量） R 2 ，使得

(A4) 具有加法逆元（负向量） R 2 ，使得 ( )
23 1 18 ( x 2) 4 ( x 2) 23 1 18 2 4 3
2
所以所求坐标分别为 (1, 0, 0)T , ( 2, 1, 0)T , (4, 4, 1)T 和
( 23, 18, 4)T .
五、基变换(change of basis)和坐标变换
V span{1 ,2 ,
, r }
（3）个数与线性空间 V 的维数相等的线性无 关组都是 VFra Baidu bibliotek的基. （4）不存在有限个基向量的线性空间称为无限 维线性空间.
（ 5）
R
3
的 0 维子空间是{ } ，1 维子空间是经
过原点的任意直线，2 维子空间是经过原点的任意 平面，3 维子空间是它自身。 （ 6）
注意：这里我们不再关心元素的特定属性，而
且我们也不用关心这些线性运算（加法和数乘）
的具体形式。
例2 所有 m n 阶的实（复）矩阵按矩阵的加法和 m n m n 数乘，构成线性空间 R (C ) 。
例3
闭区间 [a , b] 上的所有实值连续函数按通常函 数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间 C[a, b]
的坐标表示，就转化为研究向量空间
R
n
。
例14 向量空间 C 是实数域 R 上的二维空间，其 基可取为 {1, i } ，即
C span{1, i } { a 1 b i | a, b R}
同时向量空间 C 也是复数域 C 上的一维空间，其 基可取为 {1} ，即
C span{1} { k 1 | k C }
定理15
数域 F 上的线性空间 V 给定基下的坐标是唯一的。
中的任意向量在
定理16 （基的扩张定理） 数域 F 上的 n 维线性空 间 V 中的任意一个线性无关向量组
α1 , α2 , L , αr
(1 ＃ r
n)
都可以扩充成 V 的一组基。
定理 16 的证明
令 W º span{ α1 , α2 , L , αr }
或矩阵 A 的核空间或零空间，即
N ( A) { x R | Ax ,
n
A R
mn
}
Ker ( A)
例7
所有矩阵向量积 Ax 的集合构成数域 R 上的
线性空间 R( A) ， 称为矩阵 A 的列空间或值域，
也称为矩阵 A 的像 ， 即
R( A) { y R | y Ax, x R , A R
R
n
中，不经过原点的任意直线的集合M 显然
可看成某个经过原点的直线集合 V （ V 显然是 1 维子 n x ¡ 空间）适当平移而来，即存在 0 和 v V ，使 称
M
为
R
n
m x0 v , m M
中的一个线性流形（linear Manifold）
（7）研究
n
维向量空间 V ，通过它的基及向量
空间和复向量空间。(Grassmann,1844;Cayley,1845)
我们知道，向量是特殊的矩阵。所有 m n 阶的实矩 阵的集合 R mn 对矩阵的加法和数乘封闭，并且也满
足上述8条运算律。因此也是“实向量空间”。 不过这里的“向量”是实矩阵！！
二、线性空间(Linear Space)的概念
定义13
11 + +r r 则向量组 1 , , r 就称为 V 的一组基，系数 1 , ,r 就称为向量 在此基下的坐标，基中的
向量个数 r 称为线性空间 V 的维数，记为 dimV r
几点说明
（1）若把线性空间V 看作无穷个向量组成的向 量组，那么 V 的基就是向量组的最大无关组, V 的 维数就是向量组的秩. （2）若向量组 1 , 2 , , r是线性空间 V 的一 个基，则 V 可表示为
例9
集合 V { x x [ x1 , x2 ,1]T , x1 , x2 R} 不是
一个线性空间。因为加法不封闭。
例10 线性非齐次方程组 Ax b 的解集
V { R | C11
n
Cnrnr , A R
mn
}
不构成线性空间，这里 1 , 个特解。
数乘 k
2 1 ( k1 , k 2 + 2 k ( k 1)1 )
判断 V 是否构成 R 上的线性空间.
是的！
三、线性空间的几个基本性质
定理12 如果 V 是数域 F 上的线性空间，则
(1) 线性空间 V 中的零向量 是唯一的。 (2) 线性空间 V 中的每个向量的负向量 是唯一的。
1
过渡矩阵是以新基的各向量在旧基下的坐标为列向量
构成的矩阵。它一定是可逆的！！
设基 1 , , n 在基 1 , , n 下的坐标矩阵为 P ，
[ 1 , , n ] [1 , , n ]P
若矩阵 P 不可逆，则以 P 为系数矩阵的齐次线性方 程组有非零解 ( k1 , ,kn )T ，因此
定义18
设 1 , , n 和 1 , , n 是 n 维向量空
间 V 的两个基，且存在可逆矩阵 P ，使得
[ 1 , , n ] [1 , , n ]P
则称上式为基变换公式，矩阵 P 为基 1 , , n
到基 1 , , n 的过渡矩阵。对于向量空间 V，有
P [1 , , n ] [ 1 , , n ]
第一章 线性空间与线性变换
本章中线性空间比较抽象。学习时一定要注意思想的 来源，并联系所讨论的问题在平面和空间直角坐标系 中的原型，要将抽象的代数概念几何直观化。 “用几何语言代替代数语言几乎总能做到相当的简化， 并使掩埋在一大堆错综复杂计算中未被察觉的性质显 现出来。”（让-迪厄多内，法国数学家）。 “抽象不能单独起作用。在几何富有成果的科学思维 中，直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，1949 年诺贝尔物理奖获得者）。
例4 次数小于 n 的所有实系数多项式按通常多项式 加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 P[ x ]n 例5 所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数乘， 构成线性空间 l 。
例6 齐次线性方程组 Ax 的所有解的集合构成数 域 R 上的线性空间 N ( A) ，称为 Ax 的解空间，
基向量是 多项式！
2
(3, 2, 4)T .
证明 1 1, 2 ( x 2), 3 ( x 2) 也是 P[ x ]3 的基,并求 1 , 2 , 3 及 在此基下的坐标。
分析：
容易验证 1 , 2 , 3 线性无关，因此 也是 P[ x]3 的基。
m n
mn
}
Im( A)
例8
n 阶常系数线性微分方程
dny d n 1 y dy L( y( t )) n an1 n1 a1 a0 y, a0 , a1 , , an1 C dt dt dt
的解集
S { y(t ) | L( y(t )) 0}
是域 C 上的线性空间。
, nr 是对应齐次方程 组 Ax 的一个基础解系， 为 Ax b 的一
例11
设数域为
R
，集合 V 为
V { | (1 , 2 ), 1、 2 R }
对于
(1 , 2 ), =(1 , 2 ) 及 k R ，定义
加法 (1 +1 , 2 + 2 +11 )
k1 1 +
+kn n ( 1 , , n )
( , , n ) P ( , , n )
因此 1 , , n 线性相关。出现矛盾。所以 P 可逆。
n 维向量空间 V 中，任意 n 个线性无关的向量都可以作为 V 的一组基。
由高等数学中的泰勒公式，可知
1 1 1 0 ( x 2) 0 ( x 2) 1 1 0 2 0 3
2
2 2 1 1 ( x 2) 0 ( x 2)2 2 1 1 2 0 3 3 4 1 4 ( x 2) 1 ( x 2)2 4 1 4 2 1 3
1
2
α1 , α2 , L , αr , β 线 , αr 线性表示，即
V 的基 α1 , α2 , L , αn
例17 在线性空间 P[ x ]3 中，显然
1 1, 2 x , 3 x
是 P[ x ]3 的一组基，此时多项式
2
3 2x 4x2
在这组基下的坐标就是
定义1 如果非空集合 V 对于加法及数乘两种运算 封闭，并且对于加法和数乘满足下面8条运算律，那 么就称集合 V 为数域 F 上的线性空间或向量空间：
对、、 V，k、l F 或F C , 成立
(A1) 加法交换律： ， (A2) 加法结合律： ( ) ( )，
线性代数中关于向量的线性组合、线性
表示、线性相关、线性无关、基、坐标 等的定义和结论都可以推广到一般线性 空间。尤其是坐标，能够将一般线性
空间的问题转化成向量空间的问题， 是一个十分有力的工具。
一、从向量谈起
对于平面 R 2 中的任意向量，我们已定义过加法及数 乘两种运算，而且这两种运算是封闭的，即运算后的 结果仍在 R 2 中。 而且这两种运算满足下面8条运算律：
(A3) 具有加法单位元（零向量） V ，使得

(A4) 具有加法逆元（负向量） V ( )
，使得
(M1) 数乘的结合律： k( l ) ( kl ) (M2) 数乘的单位元： 1 (D1) 分配律1: k( ) k k (D2) 分配律2: ( k l ) k l
(3) 0 , k (4) 当 k 时，有 k 0 或 (5) 当
时，有

四、线性空间的基(basis)、坐标(coordinate) 和维数(dimension)
给定线性空间 V ，如果存在 V 中的一组 向量 1 , , r ，满足： （1） 1 , , r 线性无关； （2）V 中任意向量 都能由 1 , , r 线性表 示。即存在数 1 , ,r F ，使