数学思想方法的应用

数学思想方法的应用

徐英

数学思想是解决数学问题的灵魂，在初中数学中蕴含着丰富的数学思想方法.需要我们去挖掘并实施于解题过程.

数形结合思想指把数量和图形结合起来进行综合分析解决问题的一种数学思想方法.在解决数学问题时，我们可以把代数知识应用到解决几何问题中，也可以用图形来解决代数问题，

例1如图1（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合.设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y 2

m .

（1）写出y 与x 的函数关系式；

（2）当x ＝2，3.5时，y 分别是多少？

（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？

图1 图2

分析：解决问题需要根据图形进行分析，找出y 与x 之间的关系式.如图2，设移动x 秒后点C 移动点C ，三角形与正方形重叠部分为△DCC ′，由图形数据可知△DCC ′为等腰直角三角形，且CC ′=CD=2x ，根据三角形的面积可以写出y 与x 之间的关系式. 解：（1）因为CC ′=2x ，CD=2x ，所以S △CDC ′=

21×2x ×2x=2x 2,所以y ＝2x 2 （2）当x=2,时y=8；当x=3.5时,y=24.5

（3）由2x 2=2

1×10×10=50,解得x 1=5,x 2=-5(舍去). 所以当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了5秒.

评注：本题通过图形分析找到y 与x 之间的数量关系，是对数形结合思想方法掌握情况的考查.

所谓建模思想，就是从实际问题中建立数学模型，将实际问题转化为数学问题解决的一种数学思想.根据实际问题建立方程模型立方程模型、建立函数模型等等都是建模思想的重要体现.

例2甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价9折优惠．设顾客预计累计购物x 元（x >300）．

(1) 请用含x 代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；

(2) 试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．

分析：本题是一道与购物有关的实际问题，要判断顾客到哪家 图3 超市购物更优惠，我们可以从实际问题构构建函数模型，通过函数的图象比较如何选择，才使购物更实惠。

解：(1)设在甲超市购物的所付的费用为y 甲，在乙超市所付的购物费用为y 乙，

则y甲=300+(x-300)×80%=0.8x+60,y乙=200+(x-200)×90%=0.9x+20.(x>300)

(2)在同一坐标系内画出两个函数的图象(如图3),从图象可以看出当x=400时,y甲=y乙;当x<400时, y甲>y乙;当x>400时, y甲