动点问题最值三角形性质专练
人教版初中数学三角形动点问题专题练习
1.如图1，在平面直角坐标系中，A(0,a) ,C(b,0),B(-2,0)且()02272≤--+-+b a b a 。
（1）求ABC S ∆的值。
（2）若点P 的坐标是(m,4)，且ABC ABP S S ∆∆≥，求m 的取值范围。
（3）如图2，D 为线段OA 上一个动点（不与O,A 重合），直线BD 交AC 于E 点，BEA DAE ∠∠,的平分线交于F 点，过O 点作AOC ∠的平分线与DBO ∠的平分线交于G 点，在（1）的条件下，下列结论：（1）BGO AFE ∠-∠的值不变。
（2）BGO AFE ∠+∠的值不变，其中有且只有一个是正确的 ，请选出正确的结论，并给出证明x2.如图，设一个三角形的三边分别是3 ,1-3m ,8。
（1）求m 的取值范围；（2）是否存在整数m 使三角形的周长为偶数，若存在，求出三角形的周长，若不存在，说明理由； （3）如图，在（2）的条件下，当AB=8,AC=1-3m ,BC=3时，若D 是AB 的中点，连CD ，P 是CD 上一动点（不与C,D 重合，当P 在线段CD 上运动时，有两个式子：（1）BPD APC ABC S S S ∆∆∆+;(2)ABPBPA +。
其中有一个的值不变，另一个的值改变。
问题：A.请判断出谁不变，谁改变；B.若不变的求出其值，若改变的求出变化的范围。
A BCD P3.如图1，在平面直角坐标系中，A(-a, 0),B(2,b),且0162)4(2≤-+++-b a b a ，点C 是OB 上一点，AC 交y 轴于点D 。
（1）求ABO S ∆；（2）若︒=∠-∠∠=∠14,B CAO BOD BAC ，求ACO ∠的度数；（3）如图2，点M 是y 轴负半轴上一点，MG//AC 交x 轴于点N ，CDO ∠与ONG ∠的角平分线交于点P 。
当点M 运动时，问P ∠的大小是否发生变化？若不变，求其度数；若变化，请说明理由。
O C x y 图1BA O Cx y G 图2N M PDB A4.已知，如图1，A(4,4) , B(8,0) , 点C 在y 轴的正半轴上。
七年级数学上册 三角形上的动点问题专题训练
七年级数学上册三角形上的动点问题专题训练在七年级数学上册的研究中，我们将会遇到许多与三角形上的动点问题有关的题目。
本文档将为同学们提供一些专题训练，帮助大家更好地理解和解决这类问题。
一、什么是三角形上的动点问题？三角形上的动点问题是指在一个三角形内部或边上存在一个或多个移动的点，通过观察这些点的运动和变化，我们可以得到一些有关三角形的性质和关系的信息。
二、为什么要训练三角形上的动点问题？训练三角形上的动点问题可以帮助我们更好地理解和掌握三角形的性质和相关知识。
通过解决这类问题，我们可以培养逻辑思维和分析问题的能力，并且提高解决复杂问题的能力。
三、训练题目1.设三角形 ABC 中，D 为边 BC 上的一个动点，在边 AB、AC 上分别分别作线段DE、DF，使得三角形DEF 是一个等边三角形。
证明：线段 AE=AF。
2.在一个等边三角形 ABC 中，点 D 在边 BC 上移动。
若线段AD 的长度为 a，线段 AC 的长度为 b，则线段 BD 的长度为多少？3.在三角形 ABC 中，点 D 在边 AC 上移动，点 E 在边 BC 上移动。
若线段 AD 的长度为 a，线段 CE 的长度为 b，则线段 BD 的长度可以表示为多少？4.在三角形 ABC 中，点 D 在边 BC 上移动，点 E 在边 AC 上移动。
若线段 AD 的长度为 a，线段 CE 的长度为 b，则线段 DE 的长度可以表示为多少？5.在三角形 ABC 中，点 D 在边 BC 上移动，点 E 在边 AC 上移动。
若线段 AD 的长度为 a，线段 CE 的长度为 b，则直线 DE 经过定点 F，请问点 F 在哪条边上？以上是一些三角形上的动点问题的训练题目，希望同学们通过解答这些题目，提高对三角形的理解和运用能力。
四、总结通过训练三角形上的动点问题，我们可以深入理解和掌握三角形的性质和相关知识。
同时，这类问题也能够培养我们的逻辑思维和解决问题的能力。
中考数学高频考点三角形动点问题
中考九年级数学高频考点专题训练--三角形-动点问题一、单选题1．如图，正方形ABCD和等腰直角三角形EFG，斜边EF与AD在一条直线上，AB=6，EG=4，△EFG沿射线DA方向运动（点E从点D出发），设ED=x，△EFG与正方形ABCD重叠部分的面积为y．若y=7，则x的值为（）A．3√2或4√2B．3√2或6+√2C．6+√2或6−√2D．3√2或6−√22．如图，在等边△ABC中，AB=2 √3，点D在△ABC内或其边上，AD=2，以AD为边向右作等边△ADE，连接CD，CE．设CE的最小值为m；当ED的延长线经过点B时，∠DEC=n∘，则m，n的值分别为（）A．√3，55B．√3，60C．2 √3-2，55D．2 √3-2，603．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为（）A．5B．10C．20D．25 4．如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D在AB边上，AD＝4，E为AC中点，P为△ABC内一点，且∠BPD＝90°，则线段PE的最小值为（）A．3 √3﹣2B．4√3−2C．2 √13﹣4D．4 √13﹣85．如图，线段AB的长为8，点D在AB上，ΔACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（）A．5B．4C．4√3D．5√3 6．如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值（）A．3√2B．3+ √2C．3√3D．3+ √3 7．如图，直角三角形ABC中，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，动点M、N同时从A点出发，以相同的速度分别沿A→C→B和A一B→C方向运动，并在边BC上的点E相遇，连接AE，①AE平分△ABC的周长，②AE是△ABD的角平分线，③AE是△ABD的中线.以上结论正确的有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③8．正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿EF折叠，使点A 落在A′处，点B落在B′处，A′B′交BC于G．下列结论错误的是（）A．当A′为CD中点时，则tan∠DA′E=34B．当A′D：DE：A′E=3：4：5时，则A′C=163C．连接AA′，则AA′=EFD．当A′（点A′不与C、D重合）在CD上移动时，△A′CG周长随着A′位置变化而变化二、填空题9．如图，△ABC中．AC=BC，∠ACB=100°，点D在线段AB上运动（D不与A、B重合），连接CD，作∠CDE=30°，DE交BC于点E，若△BDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，边AB上有一动点P，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得△DEC，点P的对应点为P′，连接PP′，则PP′长的最小值为．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝3∠B，AB＝20cm，点D是AB中点，点M从点A出发，沿线段AB运动到点B，点P始终是线段CM的中点．对于下列结论：①CD＝10cm；②∠CDA＝60°；③线段CM长度的最小值是5 √2cm；④点P运动路径的长度是10cm．其中正确的结论是（写出所有正确结论的序号）．12．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y= √33x﹣√33与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B22作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是．13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC 上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为.14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，P是DE上的动点，Q是BD上的动点，则BP+PQ的最小值为．三、综合题15．如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+16x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M （0，﹣1）．已知AM=BC．（1）求二次函数的解析式；（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线l过D且l⊥BD，分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N，求1BP+1BQ的值；16．在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E．（1）如图①，连结CD，AE，求证：CD＝AE；（2）如图②，若AB＝1，BC＝2，求DE的长；（3）如图③，将图②中的正三角形BEC绕B点作适当的旋转，连结AE，若有DE2+BE2＝AE2，试求∠DEB的度数．17．如图，△ABC中，AB =BC=AC =6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动.（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间.（3）点M、N运动几秒后，可得到直角三角形△BMN？18．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C分别是x轴和y轴上的一动点．（1）如图1．若点B的横坐标为﹣4，求点C的坐标；（2）如图2，BC交x轴于点D，若点B的纵坐标为3，A（5，0），求点C的坐标；（3）如图3，当A（5，0），C（0，﹣2）时，以AC为直角边作等腰直角△ACE，（﹣2，0）为F点坐标，连接EF交y轴于点M，当点E在第一象限时，求S△CEM：S△ACO的值．19．已知ΔABC是边长为8cm的等边三角形，动点P,Q同时出发，分别在三角形的边或延长线上运动，他们的运动时间为t(s)．（1）如图1，若P点由A向B运动，Q点由C向A运动，他们的速度都是1cm/s，连接PQ．则AP=，AQ=，（用含t式子表示）；（2）在(1)的条件下，是否存在某一时刻，使得ΔAPQ为直角三角形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）如图2，若P点由A出发，沿射线AB方向运动，Q点由C出发，沿射线AC方向运动，P的速度为3cm/s,Q的速度为．acm/s是否存在某个a的值，使得在运动过程中ΔBPO恒为以BP为底的等腰三角形？如果存在，请求出这个值，如果不存在，请说明理由．20．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=4，BD=3，DC=8，点P是BC边上一点（不与点B、D、C重合），过点P作PQ⊥BC交AB或AC于点Q，作点Q关于直线AD的对称点M，连结QM，过点M作MN⊥BC交直线BC 于点N．设BP=x，矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的周长为y．（1）直接写出PQ的长（用含x的代数式表示）．（2）求矩形PQMN成为正方形时x的值．（3）求y与x的函数关系式.（4）当过点C和点M的直线平分△ADC的面积时，直接写出x的值．答案解析部分1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】D9．【答案】50º或80º或110º 10．【答案】√6 11．【答案】①③④ 12．【答案】22017−1213．【答案】251214．【答案】815．【答案】（1）解：∵二次函数y=ax 2+16x+c 的图象经过点B （-3，0），M （0，-1），∴{9a +16×(−3)+c =0c =−1， 解得a=16，c=-1． ∴二次函数的解析式为：y=16x 2+16x-1．（2）证明：∵二次函数的解析式为：y=16x 2+16x-1，令y=0，得0=16x 2+16x-1，解得x 1=-3，x 2=2， ∴C （2，0）， ∴BC=5； 令x=0，得y=-1， ∴M （0，-1），OM=1． 又AM=BC ， ∴OA=AM-OM=4， ∴A （0，4）．设AD ∥x 轴，交抛物线于点D ，如图1所示， 则y D =16x 2+16x −1=OA =4，解得x 1=5，x 2=-6（位于第二象限，舍去） ∴D 点坐标为（5，4）． ∴AD=BC=5， 又∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形．即在抛物线F 上存在点D ，使A 、B 、C 、D 四点连接而成的四边形恰好是平行四边形．设直线BD 解析式为：y=kx+b ， ∵B （3，0），D （5，4），∴{−3k +b =05k +b =4， 解得：k=12，b=32，∴直线BD 解析式为：y=12x+32．（3）解：在Rt △AOB 中，AB =√OA 2+OB 2=5， 又AD=BC=5， ∴▱ABCD 是菱形．①若直线l ∥BD ，如图1所示． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ， ∴AC ∥直线l ，∴BA BP =BC BQ =BN BD =12，∵BA=BC=5， ∴BP=BQ=10，∴1BP +1BQ =110+110=15．16．【答案】（1）证明：∵△ABD 是等边三角形，∴AB=BD ，∵△BCE 是等边三角形， ∴BC=BE ，∵∠ABD=∠CBE=60°， ∴∠ABE=∠CBD ， ∴△ABE ≌△DBC （SAS ）， ∴CD=AE ；（2）解： 取BE 的中点F ，连接DF ，∵BD=BF=1，∠DBF=60°，∴△BDF为等边三角形，∴DF=1，∴FD=FE=FB=1,∴△BED为直角三角形，即∠BDE=90°，∴DE=√BE2−BD2=√3；（3）解：如图，连接DC，∵△ABD和△ECB都是等边三角形，∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC= 60°，∴∠ABE=∠DBC，∴AB=BD，在△ABE和△DBC中，AB=AD，∠ABE =∠DBC，BE=BC，∴△ABE≌△DBC ( SAS) ,∴AE=DC，∴DE2+BE2=AE2，BE=CE ,∴DE2+CE2=CD2 ,∴∠DEC=90° ,∴∠BEC=60° ,∴∠DEB=∠DEC-∠BEC=30° .17．【答案】（1）解：设M、N运动t秒后，M、N两点重合，依题可得，t×1+6=2t，解得：t=6.答：点M、N运动6秒后，M、N两点重合.（2）能得到以MN为底边的等腰△AMN，①当点M在AC上，点N在AB上，如图①所示：设运动时间为t秒，依题可得，AM=t，AN=6-2t，∵△AMN是以MN为底边的等腰三角形，∴AM=AN，∴t=6-2t，解得：t=2；②当点M、N都在BC上时，如图②所示：设运动时间为t秒，依题可得，CM=t-6，BN=18-2t，∵△AMN是以MN为底边的等腰三角形，∴AM=AN，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C，AC=AB，在△ACM和△ABN中，{∠AMC=∠ANB∠C=∠BAC=AB，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM=BN，即t-6=18-2t，解得：t=8；综上所述：能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时，M、N的运动时间为2秒或8秒.（3）解：①当∠BNM=90°时，如图所示：设M、N运动时间是t秒，依题可得：BN=2t，AN=6-2t，AM=t，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，∴∠AMN=30°，∴AM=2AN，即t=2（6-2t），解得：t=2.4；②当点M、N都在AC上时，当∠BNM=90°时，如图所示：设M、N运动时间是t秒，依题可得：AN=2t-6，∴CN=6-AN=12-2t，∵△ABC为等边三角形，∴∠C=60°，∴∠CBN=30°，∴BC=2CN，即6=2（12-2t），解得：t=4.5；③当点M、N都在AC上时，当∠BMN=90°时，如图所示：设M、N运动时间是t秒，依题可得：AM=t，∴CM=6-AM=6-t，∵△ABC为等边三角形，∴∠C=60°，∴∠CBM=30°，∴BC=2CM，即6=2（6-t），解得：t=3；综上所述：当点M、N运动2.4秒或3秒或4.5秒时，可得到直角△BMN. 18．【答案】（1）解：如图1中，作BH⊥y轴于H．∵∠BHC＝∠BCA＝∠AOC＝90°，∴∠BCH＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，∴∠BCH＝∠OAC，∵BC＝AC，∴△BHC≌△COA（AAS），∴OC＝BH，∵点B的横坐标为−4，∴BH＝4，∴OC＝4，∴C（0，−4）；（2）解：如图2中，作BH⊥y轴于H．由（1）可知△BHC≌△COA∴OC＝BH，OA＝CH，∵若点B的纵坐标为3，A（5，0），∴OA＝CH＝5，OH＝3，∴BH＝OC＝2，∴C（0，−2）；（3）解：如图3中，由题意点E在第一象限，作EH⊥OA于H．同法可证：△AHE≌△COA（AAS），∴AH ＝OC ，AO ＝EH ， ∵A （5，0），C （0，−2）， ∴EH ＝OA ＝5，OC ＝AH ＝2， ∴E （3，5），设直线 FE 的解析式为： y =kx +b ， 则 {0=−2k +b 5=3k +b ，解得 {k =1b =2 ，∴直线 FE 的解析式为： y =x +2 ， 令 x =0 ，则 y =2 ， ∴OM ＝2，∴S △CEM ：S △ACO ＝ (12×4×3)：(12×2×5)=6：5 ．19．【答案】（1）tcm ；（6-t ）cm（2）解：存在 t =83s 或16s时，使得 ΔAPQ 为直角三角形，理由是①当 PA ⊥AB 时，由题意有 2t =8−t ，解得 t =83s②当 PQ ⊥AC 时，由题意有 t =2(8−t), 解得 t =163s∴ 综上所述，存在 t =83s 或16s时，使得 ΔAPQ 为直角三角形（3）解：存在 a =3cm/s 时， ΔBPQ 恒为以 BP 为底的等腰三角形，理由是： 作 QM ⊥BP 于M ，如图2所示由题意得： AP =3t,CQ =at ，则 AQ =8+at,BP =|8−3t|∵PQ =BQ,QM ⊥BP ∴PM =BM =12BP∵ΔABC 是等边三角形，∴∠A ＝60° ∴∠AQM ＝30° ∴AQ ＝2AM ，①当 t ≤83 时，由题意有 2(3t +8−3t2)=8+at ，解得 a =3cm/s ，②当 t ≥83 时，由题意有 2(3t −3t−82)=8+at ，解得 a =3cm/s ，∴ 综上所述，存在 a =3cm/s 时， ΔBPQ 恒为以 BP 为底的等腰三角形．20．【答案】（1）解：①当PQ 交AB 于点Q 时，0<x<3，∵AD ⊥BC ，AD=4，BD=3，∴tan ∠B= 43，∵PQ ⊥BC ， ∴PQ BP =43， ∴当0<x<3时，PQ= 43x ；②当PQ 交AC 于点Q 时，3<x<11， ∵AD ⊥BC ，AD=4，CD=8， ∴tan ∠C= 12 ，∵PQ ⊥BC ，∴PQ PC =12，PC=11-x ， ∴当3<x<11时，PQ= 11−x 2；（2）解：①当PQ 交AB 于点Q 时，0<x<3， ∵四边形PQMN 为正方形， ∴PQ=QM=MN=NP ， ∵QM=2（3-x ）， ∴43x=2（3-x ）， 解得x= 95；②当PQ 交AC 于点Q 时，3<x<11， ∵四边形PQMN 为正方形，∴PQ=QM=MN=NP ， ∵QM=2（x-3）， ∴(11−x)2=2（x-3），解得x= 235（3）解：y=PQ+MN+QM+PN ， =2× 43x+2×2（3-x ），=12- 43x ；（4）解：如图，连接CM 交AD 于O ，由题可知： AE =DE =12AD =2 ，∵QP =ED =43x ，∴OE =OD −DE =2−43x ， EM =QE =PD =3−x ，∵QM ∥BC ， ∴△OME ∼△OCD ， ∴EO DO =EM DC， ∴2−43x 2=3−x 8， 化简得： 4(2−43x)=3−x ，∴x =1513．。
动点问题产生的最值综合训练(培优)
动点问题产生的最值综合训练（培优）一．试题（共30小题）1．如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形A′B′C′D′的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC＝，则正方形移动的距离AA′为（）A．B．1C．﹣1D．1﹣2．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是（）A．8B．6C．4D．23．一次函数y＝kx﹣2k的大致图象是（）A．B．C．D．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以1cm/秒的速度向终点B移动，动点Q从点B出发以2cm/秒的速度向终点C移动，则移动第到秒时，可使△PBQ的面积最大．5．如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，﹣6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5．若P是⊙C上的一个动点，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是．6．如图，已知A（2，0）、B（0，5），⊙C的圆心坐标为C（﹣1，0），半径为1，若D是⊙C上一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是．7．函数y＝的图象如图所示，在同一平面直角坐标系内，如果将直线y＝﹣x+1沿y轴向上平移2个单位后，那么所得直线与函数y＝的图象的交点共有个．8．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC 上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；（2）设DE＝x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值．9．如图1，在▱ABCD中，AH⊥DC，垂足为H，AB＝4，AD＝7，AH＝．现有两个动点E，F同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动，在点E，F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG 与△ABC在射线AC的同侧，当点E运动到点C时，E，F两点同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求线段AC的长；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；（3）当等边△EFG的顶点E到达点C时，如图2，将△EFG绕着点C旋转一个角度α（0°＜α＜360°），在旋转过程中，点E与点C重合，F的对应点为F′，G的对应点为G′，设直线F′G′与射线DC、射线AC分别相交于M，N两点．试问：是否存在点M，N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形？若存在，请求出CM的长度；若不存在，请说明理由．10．如图所示，在矩形OCBD中，OD＝1，OC＝3，∠DOC的角平分线交DB于A，动点P 从O点出发，沿射线OC方向以每秒1个单位长度的速度移动，过点P作PQ⊥射线OA，垂足为Q，设点P移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．（1）求S与t的函数关系式；（2）画出S与t的函数图象．11．如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y＝4﹣x于C、D两点．抛物线y＝ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x＝﹣，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连接OA、OB、OD、BD．（1）求该二次函数的解析式；（2）求点B的坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的？13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（﹣4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D、点E同时从点O出发以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴正半轴，y轴正半轴向点A、点B方向移动，当点D运动到点A时，点D、E同时停止移动．过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，交AB于点G，作点E关于直线DF的对称点E′，连接FE′，射线DE′交AB于点H．设运动时间为t秒．①t为何值时点E′恰好在抛物线上，并求此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积；②点P是平面内任意一点，若点D在运动过程中的某一时刻，形成以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，那么请直接写出点P的坐标．14．在△AOB中，OA＝OB＝8，∠AOB＝90°，矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上．（1）如图1，若C、D恰好是边AO、OB的中点，则此时矩形CDEF的面积为；（2）如图2，若＝，求矩形CDEF面积的最大值．15．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．（1）求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？16．两个反比例函数和（k1＞k2＞0）在第一象限内的图象如图所示，动点P 在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B．（1）求证：四边形P AOB的面积是定值；（2）当时，求的值；（3）若点P的坐标为（5，2），△OAB、△ABP的面积分别记为S△OAB′S△ABP．设S＝S﹣S△ABP′△OAB①求k1的值；②当k2为何值时，S有最大值，最大值为多少？17．在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E．（1）设点E，F的坐标分别为：E（x1，y1），F（x2，y2），△AOE与△FOB的面积分别为S1，S2，求证：S1＝S2；（2）若y2＝1，求△OEF的面积；（3）当点F在BC上移动时，△OEF与△ECF的面积差记为S，求当k为何值时，S有最大值，最大值是多少？18．如图，矩形OABC的长OA＝，宽OC＝1，将△AOC沿AC翻折得△APC．（1）填空：∠PCB＝度，P点坐标为；（2）若P、A两点在抛物线上，求b，c的值；（3）若直线y＝kx+m平行于CP，且于（2）中的抛物线有且只有一个交点，求k，m的值；（4）在（2）中抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在求此时M的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求直线AC的解析式；（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（3，0），B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值．21．已知反比例函数的图象经过点（4，），若一次函数y＝x+1的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，m）．（1）求平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标；（2）求平移后的一次函数图象与反比例函数的图象的交点坐标．22．已知抛物线F：y＝ax2+bx+c的顶点为P．（Ⅰ）当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，求该抛物线与x轴公共点的坐标；（Ⅱ）设抛物线F：y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，过点P作PD⊥x轴于点D．平移该抛物线使其经过点A、D，得到抛物线F：y＝a′x2+b′x+c′（如图所示）．若a、b、c满足了b2＝2ac，求b：b′的值；（Ⅲ）若a＝3，b＝2，且当﹣1＜x＜1时，抛物线F与x轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围．23．已知关于x的一元二次方程x2+（4﹣m）x+1﹣m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）此方程有一个根是﹣3，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2+（4﹣m）x+1﹣m向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y＝x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b的值．24．已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1＝0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝2x2+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数得到图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象讨论直线y＝x+b （b＜k）与此图象交点个数，并求出相应的b的取值范围．25．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过两点C（﹣2，5）与D（0，﹣3），且与x 轴相交于A、B两点，其顶点为M．（1）求b和c的值；（2）在二次函数图象上是否存在点P，使S△P AB＝S△MAB？若存在，求出p点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点D作直线l∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线l翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象直接写出当m为何值时直线y＝x+m与此图象只有两个公共点．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+n与x轴交于A、B两点，点A 的坐标为（﹣2，0）．（1）求B点坐标；（2）若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于﹣5，求m的取值范围．（3）直线y＝x+4m+n经过点B．①求直线和抛物线的解析式；②设抛物线与y轴的交点为C，过点C作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，请你结合新图象回答：当直线y＝x+b与新图象只有一个公共点P（x0，y0）且y0≤8时，求b的取值范围．27．已知点A（2，﹣3）在抛物线y＝x2﹣2x+m上，求经过点A且与抛物线只有一个公共点的直线解析式．28．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k﹣1＝0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x的二次函数y＝x2﹣3x+k﹣1的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于y轴左侧的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G．当直线y＝5x+b与图象G有3个公共点时，请你直接写出b的取值范围．29．已知，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于A（﹣1，0）和B两点，与y轴交于点C，其顶点为M．（1）求a的值和M的坐标；（2）将抛物线平移，使其顶点在射线CB上，且A点的对应点为A′，若S△A'AC＝9，求平移后的抛物线的解析式；（3）如图2，将原抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方得到新图象，当直线y ＝kx﹣2k+5与新图象有三个公共点时，求k的值．30．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2﹣a2（a＞0）经过点B（1，0），顶点为A（1）求抛物线C1的解析式；（2）如图2，先将抛物线C1向上平移使其顶点在原点O，再将其顶点沿直线y＝x平移得到抛物线C2，设抛物线C2与直线y＝x交于C、D两点，求线段CD的长；（3）在图1中将抛物线C1绕点B旋转180°后得到抛物线C3，直线y＝kx﹣2k+4总经过一定点M，若过定点M的直线l与抛物线C3只有一个公共点，求直线l的解析式．。
2023年中考数学高频考点提升练习--三角形的动点问题
2023年中考数学高频考点提升练习--三角形的动点问题一、单选题1．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2cm/s的速度向点A运动，当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是（）A．3s或4.8s B．3s C．4.5s D．4.5s或4.8s2．如图，在平面直角坐标系中，等边△OBC的边OC在x轴正半轴上，点O为原点，点C坐标为(12，0)，D是OB上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥OB于点G.当G与D重合时，点D的坐标为()A．(1，√3)B．(2，2√3)C．(4，4√3)D．(8，8√3)3．如图，在等腰三角形ACB中，AC=BC=5，AB=8，D为底边AB上一动点（不与点A，B重合），DE△AC，DF△BC，垂足分别为E，F，则DE+DF的值等于（）A．125B．3C．245D．64．如图，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连结DE，点F为DE的中点，连结CF.若AB＝2a（a为常数，a＞0），当点C在线段AB上运动时，线段CF的长度l的取值范围是（）A．√3a3≤l≤√3a2B．√3a2≤l≤aC．a2≤l≤√3a3D．√3a3≤l≤a5．如图，在等边△ABC中，BC=12,D、E是BC边上的两点，BD=CE=2，点M,N,P分别是线段AB,AC,DE上的一动点，连接MN、AP,MN与AP交于点G，若四边形AMPN是平行四边形，则点P由点D移动到点E的过程中，下列结论正确的是（）①MG=NG；②△NPC∼△ABC；③当P运动到BC中点时，四边形AMPN是菱形，且菱形面积为18√3；④点P由点D移动到点E的过程中，点G所走的路径长为4A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是（）A．5B．4C．3D．07．在四边形ABCD中，△A＝45°，△D＝90°，AD△BC，BC＝1，CD＝3．点P，Q同时从点A出发，点P以√2个单位长度/秒向点B运动，到达点B停止运动；点Q以2个单位长度/秒沿着AD→DC向点C运动，到达点C停止运动．设点Q运动时间为ts，△APQ的面积为S，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．8．如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（）A．y=﹣2x+1B．y=﹣x+2C．y=﹣3x﹣2D．y=﹣x+2二、填空题9．在△ABC中，AB=AC，BC=5，∠BAC=90°，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE，A、E两点间的最小距离为．10．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝6，△B＝30°，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．11．如图，在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为3和2，点E在CD上，点F在AB的延长线上，且EC=BF，连接FC。
初中数学动点问题及练习题附参考答案
初中数学动点问题及练习题附参考答案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。
专题1.2 三角形中四类重要的最值模型 专题讲练(原卷版)
专题1.2 三角形中四类重要的最值模型专题讲练三角形中重要的四类最值模型（将军饮马模型、瓜豆模型（动点轨迹）、胡不归模型、费马点模型等）在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
特殊三角形中的分类讨论则体现了另一种数学思想，希望通过本专题的讲解让大家对这两类问题有比较清晰的认识。
重要模型模型1：将军饮马模型【模型图示】将军饮马拓展型：1）点P位定点，在直线1l，2l上分别找点M，N，使PMN△周长（即MNPNPM++）最小操作：分别作点P关于直线1l，2l的对称点’P和”P，连结”’PP与直线1l，2l的交点为M，N，()”’最小值△PPCPMN=求”’P P 长度通法：如上图，一般会给一个特殊角（15°，30°，45°，60°，75°）A ，连结’AP ，AP ，”AP ，由对称性可求A AP P ∠=∠2”’也为特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），”’AP AP AP ==，可得特殊等腰”’△P AP ，利用三边关系求出”’P P 2）点P ，Q 为定点，直线1l ，2l 上分别找M ，N ，使PQMN 周长（即MN PN PM PQ +++）小操作：分别作点P ，Q 关于直线1l ，2l 的对称点’P 和’Q ，连结’’Q P 与直线1l ，2l 的交点为M ，N ，()’’最小值四边形Q P PQ C PQMN +=例1．（2022·广东·九年级专题练习）已知点(1,1)A ，(3,5)B ，在x 轴上的点C ，使得AC BC +最小，则点C 的横坐标为_______．变式1．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）如图，等边ABC D 的边长为4，点E 是AC 边的中点，点P 是ABCD 的中线AD 上的动点，则EP CP +的最小值是_____．例2．（2022·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知()0,1A ，()4,2B ，PQ 是x 轴上的一条动线段，且1PQ =，当AP PQ QB ++取最小值时，点Q 坐标为______.变式2．（2022·成都市·八年级专题练习）如图，四边形ABCD 是平行四边形，4AB =，12BC =，60ABC ∠=°，点E 、F 是AD 边上的动点，且2EF =，则四边形BEFC 周长的最小值为______．例3．（2022·安徽·八年级期末）已知在平面直角坐标系中，点A（－1，－2），点B（4，12），试在x轴上找一点P，使得｜PA－PB｜的值最大，求P点坐标为_________．变式3．（2022·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．例4．（2022·江苏·无锡市东林中学八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°变式4．（2022·安徽·合肥市八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB 上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为___．例5．（2022·湖北武汉市·八年级期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9变式5．（2022·湖北黄冈·八年级期末）已知，如图，30AOB ∠=°，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ a ∠=，PQN b ∠=，当MP PQ QN ++最小时，则b a -=______．模型2：瓜豆原理 （动点轨迹）【解题技巧】1）动点轨迹为直线时，利用“垂线段最短”求最值。
动点最值题经典例题
动点最值问题通常涉及在给定条件下寻找动点的位置，以使得某个特定的函数或表达式达到最大值或最小值。
下面给出一个经典的动点最值问题例题：
例题：在直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)。
动点P在线段AB上运动，求线段OP（O为坐标原点）长度的最小值。
解：线段AB的长度可以根据勾股定理求出，为4√2。
由于点P在线段AB上运动，因此线段OP的长度最小值为O到AB的距离。
为了找到这个距离，可以过O作AB的垂线，交AB于点C。
由于△AOB是等腰直角三角形，所以OC = AC = BC = 2√2。
因此，线段OP的最小值为2√2。
这个问题考察了动点最值问题的基本思路和方法，即通过寻找动点的位置来使得某个特定的函数或表达式达到最大值或最小值。
同时，这个问题也涉及到了几何、代数和三角函数等多个数学知识点，需要综合运用这些知识点来解决问题。
专题 三角形中的动点问题(强化题型)(学生版)
专题12三角形中的动点问题1．（2022春•和平区校级月考）如图1，7AB cm =，AC BD ⊥，BD AB ⊥，垂足分别为A 、B ，5AC cm =，点P 在线段AB 上以2/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在射线BD 上运动，它们运动的时间为t 秒．（当点P 运动结束时，点Q 运动随之结束）（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当1t =时，ACP ∆与BPQ ∆是否全等，并判断此时线段PC 和线段P Q 的位置关系，请分别说明理由；（2）如图2，若“AC AB ⊥，BD AB ⊥”改为“CAB DBA ∠=∠”，点Q 的运动速度为x /cm s ，其他条件不变，当点P 、Q 运动到何处时有ACP ∆与BPQ ∆全等，则x 的值为．（直接写出x 的值）2．（2022秋•潢川县校级期末）已知：如图，在梯形ABCD 中，12AB DC cm ==，15BC cm =，B C ∠=∠，点E 为边AB 上一点，且5AE cm =．点P 在线段BC 上以每秒3cm 的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CD 上由点C 向点D 运动．设点P 运动时间为t 秒，请回答下列问题：（1）线段BP ，C P 的长可用含t 的式子分别表示为：B P =，CP =．（2）若某一时刻B P E ∆与CQP ∆全等，求此时t 的值和线段B P 的长3．（2022秋•洮北区校级月考）如图，已知正方形ABCD 中，边长为10cm ，点E 在AB 边上，6BE cm =．点P 在线段BC 上以4/cm 秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上以a 厘米/秒的速度由C 点向D 点运动，设运动的时间为t 秒．（1）B P =cm ，CP =cm ．（用含t 的代数式表示）（2）若以E 、B 、P 为顶点的三角形和以P 、C 、Q 为顶点的三角形全等，求a 的值．4．（2020秋•新市区校级期末）如图，已知ABC ∆中，12AB AC ==厘米．9BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在BC 边上以3厘米/秒的速度由B 向C 点运动，同时点Q 在C A 边上由C 点向A 点运动．①若点Q 与点P 的运动速度相等，1秒钟时，B P D ∆与CQP ∆是否全等？请说明理由；②若点Q 与点P 的运动速度不相等，要使B P D ∆与CQP ∆全等，点Q 的运动速度应为多少？并说明理由；（2）若点Q 以②的运动速度从点C 出发点，P 以原来运动速度从点B 同时出发，都沿ABC ∆的三边按逆时针方向运动，当点P 与点Q 第一次相遇时，求它们运动的时间，并说明此时点P 与点Q 在ABC ∆的哪条边上．5．（2022春•华容县期中）如图，已知正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在AB 边上，6BE cm =．（1）如果点P 在线段BC 上以4/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，B P E ∆与CQP ∆是否全等．请说明理由．②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使B P E ∆与CQP ∆全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿正方形ABCD 四边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在正方形ABCD 边上的何处相遇？相遇点在何处？6．（2021秋•濮阳期中）如图，已知四边形ABCD 中，8AB BC cm ==，6CD cm =，B C ∠=∠，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速运动，点Q 运动的速度是每秒2cm ，点P 运动的速度是每秒a (2)cm a ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t 秒，（1）BQ =；B P =；（用含a 或t 的代数式表示）（2）运动过程中，连接P Q 、DQ ，BPQ ∆与CDQ ∆是否全等？若能，请求出相应的t 和a 的值；若不能，请说明理由．7．（2022秋•南召县期末）如图，在四边形ABCD 中，B C ∠=∠，20AB cm =，15BC cm =，E 为AB 的中点，若点P 在线段BC 上以5/cm s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CD 上由点C 向点D 运动．（1）若点Q 运动的速度是5/cm s ，经过1秒后，B P E ∆与CQP ∆是否全等，请说明理由；（2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当B P E ∆与CQP ∆全等时，求出点Q 的运动速度．8．（2022秋•蒸湘区校级期末）如图，在ABC ∆中，2AB AC ==，40B ∠=︒，点D 在线段BC 上运动(D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 与AC 交于E ．（1）当115BDA ∠=︒时，BAD ∠=︒，DEC ∠=︒；当点D 从B 向C 运动时，B D A ∠逐渐变（填”大”或”小”)；（2）当2DC AB ==时，A B D ∆与D CE ∆是否全等？请说明理由：（3）在点D 的运动过程中，A D E ∆的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出B D A ∠的度数；若不可以，请说明理由．9．（2022秋•浠水县校级期中）如图（1），14AB cm =，10AC cm =，AC AB ⊥，BD AB ⊥垂足分别为A 、B ，点P 在线段AB 上以2/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在射线BD 上运动．它们运动的时间为()t s （当点P 运动结束时，点Q 运动随之结束）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当2t =时，ACP ∆与BPQ ∆是否全等，并判断此时线段PC 和线段P Q 的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC AB ⊥，BD AB ⊥”改为“CAB DBA ∠=∠”，点Q 的运动速度为x /cm s ，其它条件不变，当点P 、Q 运动到何处时有ACP ∆与BPQ ∆全等，求出相应的x 和t 的值．10．（2022秋•潍坊期中）如图，已知正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在AB 边上，6BE cm =．（1）如果点P 在线段BC 上以4/cm s 的速度由B 点向C 点运动，点Q 同时在线段CD 上由C 点向D 点运动，①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，B P E ∆与COP ∆是否全等？并说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，B P E ∆与CQP ∆全等？（2）若点？以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿正方形ABCD 四边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次相遇？相遇点在何处？11．（2022秋•慈溪市月考）如图①，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，9BC cm =，12AC cm =，15AB cm =，现有一动点P 从点A 出发，沿着三角形的边AB BC →运动，到点C 停止，速度为3/cm s ，设运动时间为t ．（1）如图①，当t =时，APC ∆的面积等于ABC ∆面积的一半；（2）如图②，在DE F ∆中，90E ∠=︒，4DE cm =，5DF cm =，D A ∠=∠．在ABC ∆的边上，若另外有一动点Q ，与点P 同时从点A 出发，沿着边AC 运动，到点C 停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好使APQ ∆与D E F ∆全等，求点Q 的运动速度．12．（2022秋•安化县期末）如图，已知12AB cm =，CA AB ⊥于点A ，D B AB ⊥于点B ，且4AC cm =，点P 从点B 向点A 运动，每秒钟走1cm ，点Q 从点B 向点D 运动，每秒钟走2cm ，两点同时出发，运动几秒钟后，CPA ∆与PQB ∆全等？13．（2022秋•江宁区校级月考）如图，已知ABC ∆中，6AB AC cm ==，B C ∠=∠，4BC cm =，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以/lcm s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段C A 上由点C 向点A 运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，B P D ∆与CQP ∆是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使B P D ∆与CQP ∆全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC ∆三边运动，则经过多少时间后，点P 与点Q 第一次在ABC ∆的哪一边上相遇？14．（2022秋•日照期末）如图（1），4AB cm =，AC AB ⊥，BD AB ⊥，3AC BD cm ==．点P 在线段AB 上以1/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为()t s ．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当1t =时，ACP ∆与BPQ ∆是否全等，并判断此时线段PC 和线段P Q 的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC AB ⊥，BD AB ⊥”改为“60CAB DBA ∠=∠=︒”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为x /cm s ，是否存在实数x ，使得ACP ∆与BPQ ∆全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．1115．（2022秋•东西湖区校级期末）如图，已知ABC ∆中，20AC CB cm ==，16AB cm =，点D 为AC 的中点．（1）如果点P 在线段AB 以6/cm s 的速度由A 点向B 点运动，同时，点Q 在线段BC 上由点B 向C 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，A P D ∆与BQP ∆是否全等？说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使A P D ∆与BQP ∆全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点B 出发，点P 以原来的运动速度从点A 同时出发，都逆时针沿ABC ∆三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC ∆的哪条边上相遇？。
动点问题最小值典型练习
动点问题最小值典型练习一．解答题（共25小题）1．如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．2．如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两个动点，且BE=DF．试猜想并证明AE 与CF的关系．3．在矩形ABCD中，P为AB上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，求证：PE+PF为定值．4．如图，△ABD、△BCD都是等边三角形，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足DE=CF．求证：BE=BF．5．已知等边△ABC中，D是BC边上的动点，∠EDF=60°．求证：△BDE∽△CFD．6．如图，等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连接AE．求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AE∥BC．7．如图，在锐角三角形ABC中，BC=4√2，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值．8．如图，已知⊙O的半径为R，C、D是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为96°，BD的度数为36°，动点P在AB上．求PC+PD的最小值．9．如图，在矩形ABCD中，B（16，12），E、F分别是OC、BC上的动点，EC+CF=8．当F运动到什么位置时，△AEF的面积最小，最小为多少？10．已知点A的坐标为（2，0），动点P在直线y＝1/2 x−3上，求使△PAO为直角三角形的点P的坐标．11．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，P为BC上一点，设∠CDP=α，∠CPD=β，当点P在BC上移动时，猜想α，β与∠B的关系，并说明理由．12．如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD 上的一个动点，求PE+PC的最小值．13．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A，B重合），连接DP交对角线AC于E，连接EB,求证：∠APD=∠EBC．14．正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM为多少时，四边形ABCN的面积最大？15．如图，平面直角坐标系中A（1，4），B（3，2），C、D为x轴上两动点，且CD=1，试求四边形ACDB周长最小时，C、D两点的坐标．16．如图，矩形ABCD，AB=3，BC=4，E、F是AB、BC边上的动点，以EF为轴翻折△BEF 得△B′EF，连接AB′，求AB′的最小值．17．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD 于点F，PE+PF的值是多少？18．如图，直角坐标系中，A（2，0），B（6，0），C在直线y=4上移动，试求出C点坐标使得∠ACB最大．19．如图：（1）分别求出直线和抛物线的解析式；（2）若M为抛物线第一象限的动点，求S△AMB的最值．20．如图：点A的坐标是（2，2），点P是x轴正半轴上的一个动点，若△AOP是等腰三角形，求P点的坐标．21．已知任意△ABC，D、E是AB、BC上的两个点，D是定点，E是动点．请问如何尺规操作才能使S△BED=S△ADC．22．如图，已知矩形ABCD，AB=2，AD=4，点P在BC上移动，△ABP和△PCD能相似吗？若能，求出点P的位置；若不能，请说明理由．23．如图，等边△ABC中，D是AB边上动点，作等边△EDC，连AE．（1）△DBC和△EAC全等吗？说说你的理由．（2）求证：AE∥BC．24．已知正方形ABCD的边长为2，点P、Q为AD、CD的中点，E、F为AB、BC边上的两个动点，求四边形PQFE周长的最小值．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值．。
人教版八年级数学上册数学动点问题专题练习(含详细参考答案)
人教版八年级数学上册数学动点问题专题练习（详细参考答案附后）1、在△ABC中，BC=12cm，AC=9，点P为一动点，沿着C→B→A→C的路径运动（返回C点时则停止运动），已经点P的运动速度为2cm/秒，试求：（1）AB的取值范围；（2）若∠C=90度，AB=15cm①当P点在CB上运动时，经过多长时间PC=AC；②经过多长时间后，点P与△ABC某一顶点的连线将把△ABC的周长分成相等的两部分.③当P从运动开始，几秒后点P与△ABC某一顶点的连线将这个△ABC分成面积相等的两部分；2、点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交AB 于点E，交CA的延长线于点F。
（1）如图（1），请观察AF与AE，它们相等吗？并证明你的猜想。
（2）如图（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB 的延长线上时，（1)中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明。
3、如图，己知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点。
如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3)。
（1）用的代数式表示PC的长度；（2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD 与△CQP全等？人教版八年级数学上册数学动点问题专题练习参考答案1、在△ABC中，BC=12cm，AC=9，点P为一动点，沿着C→B→A→C的路径运动（返回C点时则停止运动），已经点P的运动速度为2cm/秒，试求：（1）AB的取值范围；（2）若∠C=90度，AB=15cm①当P点在CB上运动时，经过多长时间PC=AC；②经过多长时间后，点P与△ABC某一顶点的连线将把△ABC的周长分成相等的两部分.③当P从运动开始，几秒后点P与△ABC某一顶点的连线将这个△ABC分成面积相等的两部分；解：（1）根据三角形三边之间的关系可知AB> BC -AC AB<AC+BC∴AB> 12 -9 AB<12+9即：3<AB<21（2）①∵PC=AC=9 t=v÷s=9÷2=4.5（秒）②△ABC的周长一半=（AB+ AC+BC）÷2=（15+9+12）÷2=36÷2=18（cm）当P从点C往点B运动至9cm处时，点P与点A的连线恰好将△ABC的周长分成相等的两部分。
初中数学全等三角形之动点类型试题和答案
全等三角形之动点问题（综合测试）1、如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点B开始沿BA 以1cm／s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2cm／s的速度向点C运动．几秒后，△PBQ的面积为9cm2？第1题图第2题图第3题图2、如图所示，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1m/s，点Q运动的速度是2m/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题：（1）填空：△ABC的面积为（2）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．（3）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．(4)当△BPQ是直角三角形时，求t的值3、如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从A点出发沿A-C-B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F，问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由。
(完整版)全等三角形动点问题
全等三角形动点问题专练
班级：姓名：
1.已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。
（1）试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论.
（2）若将CD沿CB方向平移至图2情形，其余条件不变, 结论AC1⊥C2E还成立吗?请说明理由。
（3）若将CD沿CB方向平移至图3情形，其余条件不变, 结论AC1⊥C2E还成立吗?请说明理由。
D
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图1 图2 图3
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2.如图所示，有一直角三角形△ABC，∠C=900，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动，问P点运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？
3.在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ，CP；
（1）如图1，试说明BQ=CP；（2）若将点P在△ABC外，如图2，其它条件不变，结论依然成立吗？试说明理由。
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2023年中考数数学高频考点提升练习 三角形动点问题综合(含解析)
2023年中考九年级数数学高频考点提升练习--三角形动点问题综合1．如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=3厘米，CB=2厘米．动点P从点C出发，沿CB方向以1厘米/秒的速度向B运动，动点Q从点B同时出发，沿BC方向以1厘米/秒的速度向C运动．当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，以CP为一边向上作正方形CPDE，过点Q作QF∥AB，交AC于点F．设点P的运动时间为t秒，正方形CPDE和梯形AFQB重合部分的面积为S平方厘米．（1）当t=秒时，点P于点Q重合；（2）当t=秒时，点D在QF上；（3）当点P在Q、B两点之间（不包括Q、B两点）时，求S与t之间的函数关系式．2．如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，BC=16cm，AD△BC于D，点E、F分别从B、C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA、AB向终点B运动，速度为5cm/s，设它们运动的时间为x（s）．（1）求x为何值时，△EFC和△ACD相似；（2）是否存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为3：5，若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；（3）若以EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点，求出相应x的取值范围．3．如图，直线y=kx+b(k≠0)与坐标轴分别交于A、B两点，OA=8，OB=6.动点P从O点出发，沿路线O→A→B以每秒2个单位长度的速度运动，到达B点时运动停止.（1）则A点的坐标为，B两点的坐标为；（2）当点P在OA上，且BP平分△OBA时，则此时点P的坐标为；（3）设点P的运动时间为t秒（0≤t≤4），△BPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式：并直接写出当S=8时点P的坐标.4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，ΔDEF为直角三角形？请说明理由．5．如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE△x轴于E点，求OP−DE的值；（3）如图3,已知点F坐标为(−2,−2),当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时,作Rt△FGH,始终保持△GFH=90△,FG与y轴负半轴交于点G(0,m),FH与x轴正半轴交于点H(n,0)，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m−n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值. 6．如图（1）如图1，点E在四边形ABCD的边BC上，EA＝ED，且△AED＝△B＝△C．判断AB、BC、CD三边的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在线段BC上，CD ＝3，点E是AC边上一动点，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，当AE的值为多少时，线段BF有最小值？并求出线段BF的最小值．7．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿线段AB以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点B出发沿折线B﹣C﹣A以每秒2cm的速度运动．其中一点停止则另一点也随之停止，设运动时间为t秒．（1）①直接写出t的取值范围：；②当点P运动到AB中点时，连结PQ，PC，BQ，求证：△CPQ△△ABQ；（2）当△BPQ是直角三角形时，求t的值．8．已知△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D为直线BC上的一动点(点D不与点B、C重合)，以AD为边作△ADE，使∠DAE=90∘，AD=AE，连接CE．发现问题：如图1，当点D在边BC上时，（1）请写出BD和CE之间的位置关系为，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：．（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，(1)中BD和CE之间的位置关系、BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC=6，CE= 2，求线段ED的长．9．如图，P、Q分别是边长4cm为的等边ΔABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，分别沿AB，BC边运动，点P到点B停止，点Q到点C停止.社运动时间为t秒，他们的速度都为1cm/s.（1）连接AQ，CP相交于M，在点P，Q的运动过程中∠CMQ的大小是否变化？若变化，说明理由；若不变，求出它的度数；（2）当t取何值时，ΔPBQ是直角三角形.10．如图所示，点B坐标为(6，0)，点A坐标为(6，12)，动点P从点O开始沿OB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，动点Q从点B开始沿BA以每秒2个单位长度的速度向点A移动，如果P，Q分别从O，B同时出发，用t（秒）表示移动的时间(0<t≤6)．（1）用含t的式子来表示BP=．AQ=．（2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与△AOB相似？（3）若四边形OPQA的面积为y，试写出y与t的函数关系式，并求出t取何值时，四边形OPQA的面积最小？（4）在y轴上是否存在点E，使点P、Q在移动过程中，以B、E、Q、P为顶点的四边形的面积是一个常数？若存在请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A，B的坐标分别为（0，0），（6，0），点D是x轴上的一个动点，连接CD，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）点C的坐标为，△CDE为三角形；（2）当点D在线段AB上运动时，四边形CDBE的周长是否存在最小值？若存在，求出四边形CDBE的周长最小值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当△BDE是直角三角形时，请直接写出点D的坐标．12．如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA 上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过秒后，点P与点Q第一次在△ABC的AC边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）13．如图，点A坐标是(0，0)，点C坐标是(2，2)，现有E、F两点分别从点D(0，2)和点B(2，0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q为EF中点．设运动时间为t．（1）在运动过程中始终与线段EC相等的线段是；四边形CEAF面积＝．（2）当t＝1秒时，求线段CQ的长．（3）过点B作BP平行于CF交EC于点P．当t＝▲ 时，线段AP最短，此时作直线EP与x轴交于点K，试证明，点K是线段AB的黄金分割点．14．如图1，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点都停止运动，设点P的运动时间为t(s)．（1）当运动时间为t秒时，则BQ的长为cm，BP的长为cm．（用含t的式子表示）（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形；（3）如图2，连接AQ，CP相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ的大小会变化吗？若变化，请说明理由．若不变，请直接写出它的度数．15．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M 是BC上的一点，BM=1cm，CM=2cm，将△ABM绕点A旋转后得到△ACN，连接MN，则AM=cm．（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD中，AB=AD=a，CB= CD，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D，点P、Q分别是AB、AD上的点，且∠PCB+∠QCD=∠PCQ，求△APQ的周长．（结果用a表示）（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD，AD=CD，∠ADC=60°，∠ABC=75°，AB=2√2，BC=2，求四边形ABCD的面积．16．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0<t<5）后，ΔCQP的面积为Scm2．（1）在P、Q两点移动的过程中，ΔCQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（2）当运动时间为多少秒时，ΔCPQ与ΔCAB相似．答案解析部分1．【答案】（1）1（2）34（3）解：点P 与点Q 重合时，由（1）知t =1；当点D 在AB 上时，如下图所示：此时DP =CP =BQ =t ，∵∠DPB =∠ACB =90°，∠DBP =∠ABC ，∴△DBP ∽△ABC ，∴DP PB =CA CB =32，∴PB =23DP =23t ，∵CP +PB =CB ，∴t +23t =2， 解得t =65， ∴CE =65．∵QF ∥AB ，∴∠FQC =∠ABC ，又∠FCQ =∠ACB =90°，∴△FQC ∽△ABC ，∴CQ CB =CF CA ，即2−652=CF 3， ∴CF =65，∴t =65时，点E 与点F 重合；当点P 到达B 点时，此时t =2．当点P 在Q 、B 两点之间（不包括Q 、B 两点）时，其运动过程可分析如下：①当1<t≤65时，如下图所示，此时重合部分为梯形GDPQ．则PQ=CP+BQ−CB=2t−2，PD=t，由△FQC∽△ABC得：CF=32CQ=32×(2−t)=3−32t，∴EF=CF−CE=3−32t−t=3−52t，∵QF∥AB，∴∠A=∠EFG，又∠ACB=∠FEG=90°，∴△ABC∽△FGE，∴FE CA=EG CB，∴EG=23EF=23×(3−52t)=2−53t，∴DG=ED−EG=t−(2−53t)=83t−2，∴S梯形GDPQ=12(PQ+DG)⋅DP=12(2t−2+83t−2)⋅t=73t2−2t，∴S=73t2−2t；②当65<t<2时，如下图所示，此时重合部分为一个多边形．则CP=BQ=t，CQ=BP=2−t，易知△ABC∽△FQC∽△MBP∽△MND，可得CF=32CQ=32(2−t)=3−32t，MP=32BP=32(2−t)=3−32t，∴DM=DP−MP=t−(3−32t)=52t−3，∴DN=23DM=23×(52t−3)=53t−2，∴S=S正方形EDPC−S△CFQ−S△MDN=CP2−12CF⋅CQ−12DM⋅DN=t2−12(3−32t)⋅(2−t)−12(52t−3)⋅(53t−2)=−116t2+8t−6；综上，当点P在Q、B两点之间（不包括Q、B两点）时，S与t之间的函数关系式为：S={73t2−2t(1<t≤65)−116t2+8t−6(65<t<2)．2．【答案】（1）解：如图1中，点F在AC上，点E在BD上时，①当CFCE=CDAC时，△CFE△△CDA，∴5t16−4t=810，∴t= 64 41，②当CFCE=ACCD时，即5t16−4t= 108，∴t=2，当点F在AB上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似，综上所述，t= 6441s或2s时，△EFC和△ACD相似．（2）解：不存在．理由：如图2中，当点F在AC上，点E在BD上时，作FH△BC 于H，EF交AD于N．∵CF=5t．BE=4t，∴CH=CF•cosC=4t，∴BE=CH，∵AB=AC，AD△BC，∴BD=DC，∴DE=DH，∵DN△FH，∴EDDH=ENNF=1，∴EN=FN，∴S△END=S△FND，∴△EFD被AD分得的两部分面积相等，同法可证当点F在AB上，点E在CD上时，△EFD被AD分得的两部分面积相等，∴不存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为3：5．（3）解：①如图3中，当以EF为直径的△O经过点A时，△O与线段AC有两个交点，连接AE，则△EAF=90°．由ACEC=cosC= 45，可得1016−4t=45，∴t=78，∴0≤t＜78时，△O与线段AC只有一个交点．②如图4中，当△O与AC相切时，满足条件，此时t= 6441．③如图5中，当△O与AB相切时，cosB= BFBE，即45=20−5t4t，解得t= 10041．④如图6中，△O 经过点A 时，连接AE ，则△EAF=90°．由cosB= AB AE = 45 ，即 104t = 45 ，t= 258， ∴258＜t≤4时，△O 与线段AC 只有一个交点． 综上所述，当△O 与线段AC 只有一个交点时，0≤t ＜ 78 或 6441 或 10041 或 258＜t≤4 3．【答案】（1）（8，0）；（0，6）（2）（3，0）（3）解：∵OA=8，v=2，∴t=8÷2=4，∴P 从O 运动到A 的时间为4秒，∴当0≤t≤4时，P 在线段OA 上运动.OP=2t ，PA=8－OP=8－2t ，S=S △BAP = 12 •PA•OB= 12•（8-2t ）•6=24－6t. 当S=8时，8=24－6t ，解得：t= 83 ，∴OP=2t =2× 83 = 163 ，∴P （ 163，0）.答：S= 24－6t （0≤t≤4），当S=8时，P （ 163，0）.4．【答案】（1）解：能．理由如下：在ΔDFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=4t，∴DF=2t，又∵AE=2t，∴AE=DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE//DF，又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，即40−4t=2t，解得t=20 3．∴当t=203秒时，四边形AEFD为菱形．（2）解：①当∠DEF=90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，∴EF//AD，∴∠ADE=∠DEF=90°，∵∠A=60°，∴∠AED=30°，∴AD=12AE=t，又AD=40−4t，即40−4t=t，解得t=8；②当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，在RtΔAED中∠A=60°，∴∠ADE=90°−∠A=30°，∴AD=2AE，即40−4t=4t，解得t=5．③若∠DFE =90°，则E 与B 重合，D 与A 重合，此种情况不存在．综上所述，当t =8或5秒时，ΔDEF 为直角三角形．5．【答案】（1）解：过C 作CM△x 轴于M 点，如图1，∵CM△OA ，AC△AB ，∴△MAC+△OAB= 90° ,△OAB+△OBA= 90°则△MAC=△OBA在△MAC 和△OBA 中 {∠CMA =∠AOB =90∠MAC =∠OBA AC =BA∘则△MAC△△OBA(AAS)则CM=OA=2,MA=OB=4,则点C 的坐标为(−6,−2)；（2）解：过D 作DQ△OP 于Q 点,如图2,则OP−DE=PQ,△APO+△QPD= 90° ，△APO+△OAP= 90° ，则△QPD=△OAP ，在△AOP 和△PDQ 中 {∠AOP =∠PQD =90∘∠QPD =∠OAP AP =PD则△AOP△△PDQ(AAS)∴OP−DE=PQ=OA=2；（3）解：结论②是正确的，m+n=−4，如图3,过点F 分别作FS△x 轴于S 点,FT△y 轴于T 点,则FS=FT=2，△FHS=△HFT=△FGT ，在△FSH 和△FTG 中 {∠FSH =∠FTG =90∘∠FHS =∠FGT FS =FT则△FSH△△FTG(AAS)则GT=HS ，又∵G(0,m),H(n,0),点F 坐标为(−2,−2)，∴OT═OS=2，OG=|m|=−m ，OH=n ，∴GT=OG−OT=−m−2，HS=OH+OS=n+2，则−2−m=n+2，则m+n=−4.6．【答案】（1）解：AB ，BC ，CD 三边的数量关系是：AB+CD ＝BC ， 理由如下：∵△AEB+△AED ＝△BED ，△EDC+△C ＝△BED ，且△AED ＝△C ，∴△AEB ＝△EDC ，在△ABE 和△ECD 中，{∠B =∠C ∠AEB =∠EDC AE =ED，∴△ABE△△ECD （AAS ），∴AB ＝EC ，BE ＝DC ，∴AB+CD ＝BE+EC ＝BC ；（2）解：如图，过D 作BD 垂线B'D 且使得B'D ＝BD ，连接B'E ，∵△EDF ＝△B'DB ＝90°，∴△BDF+△B'DF ＝△B'DF+△B'DE ，∴△BDF ＝△B'DE ，在△B'DE 与△BDF 中，{B ′D =BD ∠BDF =∠B ′DE DE =DF，∴△B'DE△△BDF （SAS ），∴BF ＝B'E ，∵点到直线垂线段最短，∴B'E△AC 时，B'E 取最小值，过点B'作B'G△AC 交AC 于G ，∵△C ＝△CDB'＝△CGB'＝90°，∴四边形CDB'G 为矩形，∴B'G ＝CD ＝3，CG ＝B'D ＝BD ＝8﹣3＝5，∴BF 取最小值时AE ＝AG ＝AC ﹣CG ＝1，BF 最小值为B'G ＝3．7．【答案】（1）0≤t≤7；解：②证明：如图1中，由题意点P 运动到AB 的中点时，t ＝5， ∴CQ ＝5×2﹣8＝2， ∵△ACB ＝90°，PA ＝PB ，∴PC ＝PA ＝PB ＝5， ∴△PCQ ＝△A ， ∵QC AQ =24=12 ， CP AB =12， ∴QC AQ =CP AB ， ∴△QCP△△CAB ，（2）解：①如图2中，当PQ△AC 时，△PQB ＝△C ＝90°，∵PQ△AC ，∴BQ BC =BP AB，∴2t 8=10−t 10， 解得： t =207； ②如图3中，当△QPB ＝90°时，∵△QPB ＝△ACB ＝90°，△B ＝△B ，∴△BPQ△△BCA ，∴PB BC =BP BA， ∴10−t 8=2t 10， 解得： t =5013； 综上所述，满足条件的t 的值为： 207 或 5013. 8．【答案】（1）BD△CE ；BC=CD+CW 尝试探究：（2）解： BD ⊥CE 成立，数量关系不成立，关系为 BC =CE −CD ． 理由：如图2中，由 (1) 同理可得，∵∠BAC =∠DAE =90∘ ，∴∠BAC +∠CAD =∠DAE +∠CAD即 ∠BAD =∠CA E ，∴ 在 △ABD 和 △ACE 中，{AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∵△ABD △ △ACE(SAS) ，∴BD =CE ， ∠ACE =∠ABC ，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB =45∘ ，∴BD =BC +CD ，即 CE =BC +CD ， ∠ACE +∠ACB =90∘ ， ∴BC =CE −CD ； BD ⊥CE ；拓展延伸：（3）解：如图3中，由 (1) 同理可得，∵∠BAC=∠DAE=90∘，∴∠BAC−∠BAE=∠DAE−∠BAE，即∠BAD=∠EAC，易证△ABD△ △ACE(SAS)，∴BD=CE=2，∠ACE=∠ABD=135∘，∴CD=BC+BD=BC+CE=8，∵∠ACB=45∘∴∠DCE=90∘，在Rt△DCE中，由勾股定理得DE2=DC2+CE2=82+22=68，∴DE=2√17．9．【答案】（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，△B=△PAC=60°，∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，∴AP=BQ，在△APC和△BQA中{AP＝BQ∠PAC＝∠B AC＝AB，∴△APC△△BQA（SAS），∴△BAQ=△ACP，∴△CMQ=△CAQ+△ACP=△BAQ+△CAQ=△BAC=60°，∴在P、Q运动的过程中，△CMQ不变，△CMQ=60°；（2）∵运动时间为ts，则AP=BQ=t，∴PB=4-t，①当△PQB=90°时，∵△B=60°，∴PB=2BQ，∴4-t=2t，解得t=4 3，②当△BPQ=90°时，∵△B=60°，∴BQ=2PB ，∴t=2（4-t ），解得 t =83， ∴当t 为 43 s 或 83s 时，△PBQ 为直角三角形 10．【答案】（1）6-t ；12-2t（2）解：当 ∠BPQ =∠BOA 时，即 PQ//OA ，则 △BPQ ∼△BOA ， ∴BP BO =BQ BA ，即 6−t 6=2t 12， 解得： t =3 ；当 ∠BPQ =∠A 时，则 △BPQ ∼△BAO ，∴BP BA =BQ BO ，即 6−t 12=2t 6， 解得： t =65； ∴当 t =65秒或3秒时，以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与 △AOB 相似 （3）解： y =S △OAB −S △BPQ =12×6×12−12×2t ×(6−t)=t 2−6t +36=(t −3)2+27 ，∵a =1 ，∴t =3 时，y 有最小值是27；（4）解：存在，理由如下：当E 在y 轴负半轴上时，以B 、Q 、E 、P 为顶点不能形成四边形； 当E 在y 轴正半轴上时，设 E(0，m) ，∴以B 、Q 、E 、P 为顶点的四边形的面积=梯形 BQEO 的面积- △OPE 的面积， 即 12×6×(m +2t)−12×m ×t =(6−12m)t +3m ， 当以B 、Q 、E 、P 为顶点的四边形的面积是一个常数，则 6−12m =0 ，解得： m =12 ，∴点E 的坐标为 (0，12) ；11．【答案】（1）（3，3 √3 ）；等边（2）解：存在，理由如下：∵△ABC 为等边三角形，∴△ACD+△DCB=60°，∵△DCE为等边三角形，∴△BCE+△DCB=60°，∴△ACD=△BCE，在△ACD和△BCE中，{CA＝CB∠ACD＝∠BCECD＝CE，∴△ACD△△BCE（SAS）∴AD=BE，∴四边形CDBE的周长=CD+DB+BE+CE=CD+DB+AD+CE=6+2CD，当CD最小时，四边形CDBE的周长存在最小值，由垂线段最短可知，CD△AB时，CD最小，CD的最小值为3 √3，∴四边形CDBE的周长最小值为6+6 √3，此时点D的坐标为（3，0）（3）解：由（2）可知，△ACD△△BCE，∴BE=AD，∴△DBE=120°或60°，不能为90°，如图②，△DEB=90°时，△DBE=60°，∴△BDE=30°，∴DB=2BE，∵BE=AD，∴AD=AB=6，此时，点D的坐标为（-6，0），如图③，当△BDE=90°时，△ADC=90°-60°=30°，∵△CAD=60°，∴△ACD=90°，又△ADC=30°，∴AD=2AC=12，此时，点D的坐标为（12，0），综上所述，当△BDE是直角三角形时，点D的坐标为（-6，0）或（12，0）．12．【答案】（1）解：①全等，理由如下：∵t=1秒，∴BP=CQ=1×1=1厘米，∵AB=6cm，点D为AB的中点，∴BD=3cm.又∵PC=BC−BP，BC=4cm，∴PC=4−1=3cm，∴PC=BD.∴△BPD≅△CQP；②假设△BPD≅△CQP，∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≅△CQP，∠B=∠C，则BP=CP=2，BD=CQ=3，∴点P，点Q运动的时间t=BP1=2秒，∴v Q=CQ t=32=1.5cm/s；（2）2413．【答案】（1）FC；4（2）解：∵△CDE△△CBF，∴EC＝FC，△DCE＝△BCF，∵△DCE+△ECB＝90°，∴△BCF+△ECB＝90°，即△ECF＝90°，∴△ECF是等腰直角三角形，当t＝1时，DE＝1，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE＝√DE2+CD2＝√12+22＝√5，∴EF＝√2CE＝√2× √5＝√10，∵Q为EF中点，∴CQ＝12EF＝12×√10＝√102；（3）解：t＝（√5+1）s∵BP△CF，△ECF＝90°，∴△BPC＝90°，∴点P的轨迹在以BC为直径的圆弧上，设BC的中点为G，连接AG，如图2所示：当点P在AG上时，AP最短，此时，PG＝BG＝1，在Rt△ABG中，由勾股定理得AG＝√AB2+BG2＝√22+12＝√5，∴AP＝AG﹣PG＝√5﹣1，∵BC△DE，∴△AEP＝△GCP，∵GC＝GP，∴△GCP＝△GPC，∵△GPC＝△APE，∴△AEP＝△APE，∴AP＝AE＝√5﹣1，∴E （0，1﹣ √5 ），∴DE ＝2﹣（1﹣ √5 ）＝ √5 +1，∴t ＝（ √5 +1）s ，故答案为：（ √5 +1）s ；设CE 的解析式为：y ＝kx+b （k≠0），将C （2，2）、E （0，1﹣ √5 ）代入解析式得： {2k +b =2b =1−√5， 解得： {k =√5+12b =1−√5，∴CE 的解析式为：y ＝ √5+12x+1﹣ √5 ， 令y ＝0，x ＝3﹣ √5 ，∴K （3﹣ √5 ，0），∴BK ＝2﹣（3﹣ √5 ）＝ √5 ﹣1，∴BK AB ＝ √5−12， ∴点K 是线段AB 的黄金分割点．14．【答案】（1）t ；（3-t ）（2）解：由（1）得：AP =BQ =tcm ，BP =(3−t)cm ，①如图1，当∠PQB =90°时，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =60°，∴∠BPQ =30°，∴PB =2BQ ，即3−t =2t ，解得：t =1，②如图2，当∠BPQ =90°时，∵∠B=60°，∴∠BQP=30°，∴BQ=2BP，即t=2(3−t)，解得：t=2，∴当t=1或t=2时，△PBQ为直角三角形；（3）解：不变，∠CMQ=60°．15．【答案】（1）√102（2）解：∵AD⊥CD，CB=CD，AB⊥BC，∴将△BCP绕点C旋转后得到△DCM，此时BC与DC重合，∴△BCP△△DCM，∴△DCM=△PCB，BP=DM，PC=CM，∵∠PCB+∠QCD=∠PCQ，∴∠DCM+∠QCD=∠PCQ，∴∠QCM=∠PCQ，∵PC=CM，QC=QC，∴△QCP△△QCM，∴PQ=QM，∴△APQ的周长=AQ+AP+PQ= AQ+AP+QM= AQ+AP+DQ+DM= AQ+AP+DQ+BP=AD+AB，∵AB=AD=a，∴△APQ的周长=2a；（3）解：如图3，连接BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，连接BB′，延长BA，作B′E△BE；{AD=CD∠CDB=∠ADB′BD=B′D∴△BCD△△B′AD∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A，∵△ABC=75°，△ADC=60°，∴△BAB′=135°∴△B′AE=45°，∵B′A=BC=2∴B′E=AE= √2，∴BE=AB+AE=2 √2+ √2= 3√2，∴BB′=√(√2)2+(3√2)2=2√5∵等边△DBB′，∴BB′上的高= =2√5×√32=√15，∴.SΔABB′=12⋅AB⋅B′E=12×2√2×√2=2∴SΔBDB′=12×2√5×√15=5√3，∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A=S△BDB′-S△ABB′= =5√3−2；16．【答案】（1）解：在矩形ABCD中，∵AB=6cm，BC=8cm，∴AC=10cm，AP=2tcm，PC=(10−2t)cm，CQ=tcm，过点P作PH⊥BC于点H，则PH=35(10−2t)cm根据题意，得12t•35(10−2t)=3.6，解得：t1=2，t2=3，∴ΔCQP的面积等于3.6cm2时，t的值为2或3．（2）解：如图1，当∠PQC=90∘时，PQ⊥BC，∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，QC=t，PC=10−2t，∴ΔPQC△ ΔABC，∴PCAC=CQBC，即10−2t10=t8，解得t=4013（秒）如图2，当∠CPQ=90∘时，PQ⊥AC，∵∠ACB=∠QCP，∠B=∠QPC，∴ΔCPQ△ ΔCBA，∴CPBC=CQAC，即10−2t8=t10，解得t=257（秒）综上所述，t为4013秒与257时，ΔCPQ与ΔCBA相似．。
2023年九年级中考数学高频考点专题训练--三角形动点问题【附解析】
2023年中考数学高频考点专题训练--三角形动点问题1．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝12cm ，AC ＝5cm ，点P 是从A 点出发的动点，在三角形边上沿着A −B −C 运动，速度为每秒2cm ，设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t ＝7.5秒时，CP 的长为 ．（2）是否存在t 的值，使得时间为t 秒时△ABP 的面积与时间为（t ＋2）秒时△ACP 的面积相等? 若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．2．如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点，以OC 、OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0）满足√a −2b +|b ﹣2|＝0，D 为线段AC 的中点．在平面直角坐标系中，以任意两点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）为端点的线段中点坐标为（x 1+x 22，y 1+y 22）．（1）则A 点的坐标为 ；点C 的坐标为 ，D 点的坐标为 ． （2）已知坐标轴上有两动点P 、Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q 点从O 点出发以2个单位长度每秒的速度沿y 轴正方向移动，点Q 到达A 点整个运动随之结束．设运动时间为t （t ＞0）秒．问：是否存在这样的t ，使S △ODP ＝S △ODQ ，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）点F 是线段AC 上一点，满足∠FOC ＝∠FCO ，点G 是第二象限中一点，连OG ，使得∠AOG ＝∠AOF ．点E 是线段OA 上一动点，连CE 交OF 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，请确定∠OHC ，∠ACE 和∠OEC 的数量关系，并说明理由．3．如图1，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝12cm ，AC ＝8cm ，现有动点P 从点B 出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）.（1）当t＝4时，求△APQ的面积.（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半.4．如图1，两个相同的等边三角形一边重合得到四边形ABCD，AB=6cm．点P从点A出发以2cm/s的速度在三角形的边上沿A−C−D方向到点D运动，点Q从点C出发以1cm s⁄速度沿CB到点B运动．点P的运动时间是t(s)，两个点同时出发，到终点停止运动．（1）当t=2s时，△PQC的周长为cm；（2）当△ABP为直角三角形时，t=s；（3）如图2，△AQP为等边三角形时，△ABQ与△ACP是否全等？如果全等证明其结论，并求出此时t的值，如果不全等请说明理由．5．在Rt△ABC，AC＝8，BC＝6，一个运动的点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向点C运动，同时一个运动的点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动的时间为t秒．（1）填空：AB＝，用含t的代数式表示线段AQ＝；（2）求t为何值时，AP＝AQ；（3）求t为何值时，AP＝BP．6．在△OAB中，O为坐标原点，横、纵轴的单位长度相同，A、B的坐标分别为（8，6），（16，0），点P沿OA边从点O开始向终点A运动，速度每秒1个单位，点Q沿BO边从B点开始向终点O运动，速度每秒2个单位，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．求：（1）当t＝秒时PQ∥AB；（2）若△OPQ的面积为365，试求t的值；（3）△OPQ与△OAB能否相似？若能，求出点P的坐标；若不能，试说明理由7．在平面直角坐标系中，点A坐标(−5，0)，点B坐标(0，5)，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交y轴于点E．（1）如图①，若点C的坐标为(3，0)，求点E的坐标；（2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且OC<5，其它条件不变，连接DO，求证：DO平分∠ADC；（3）若点C在x轴正半轴上运动，当OC+CD=AD时，则∠OBC的度数为．8．如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的是速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（1）当运动时间为t秒时，AP的长为厘米，QC的长为厘米；（用含t的式子表示）（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）连接AQ、CP，相交于点M，如图2，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后PQ的长度等于2 √10cm （2）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．10．已知，△ABC是等边三角形，将直角三角板DEF如图放置，其中∠F＝30°，让△ABC 在直角三角板的边EF上向右平移（点C与点F重合时停止）．（1）如图1，当点B与点E重合时，点A恰好落在直角三角板的斜边DF上，证明：EF＝2BC．（2）在△ABC平移过程中，AB，AC分别与三角板斜边的交点为G、H，如图2，线段EB＝AH是否始终成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．11．平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（-1，0），C（2，0）（1）如图①，三角形ABC的面积为；（2）如图②，将点B向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D．①求三角形ACD的面积；②点P（m，2）是一动点，若三角形PAC的面积等于三角形ACD的面积，请直接写出点P坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1cm的速度向上平行移动（即EF∥x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）求t=9时，△PEF的面积；（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．13．如图，正三角形ABC 的边长为1，点P 从B 点出发沿B－C 运动至点以C，点Bʹ是点B关于直线AP 对称的点．（1）点P 从点 B 运动至 C 过程中，下列说法正确的有．（填序号）①当点P 运动到C 时，线段AP 长为1；②点Bʹ沿直线从B 运动到Bʹ；③点Bʹ沿圆弧从B 运动到Bʹ（2）点P 从点B 运动至 C 的过程中，点Bʹ从起点到终点的运动路程的长是．14．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(−2，0)，B(6，0)，点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°．（1）如图①，求点C的坐标；（2）将△AOC沿x轴向右平移得△A′O′C′，点A，O，C的对应点分别为A′，O′，C′．设OO′=t，△A′O′C′与△OBC重叠部分的面积为S．①如图②，当△A′O′C′与△OBC重叠部分为四边形时，A′C′，O′C′分别与BC 相交于点D，E，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当S取得最大值时，求t的值（直按写出结果即可）．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．（1）请用含有t的式子填空：AQ＝，AP＝，PM＝；（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由．。
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5、如图，在锐角三角形ABC中，BC= ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是。
10、如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分
线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E． （1）试说明EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△边形？
（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？
（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？
2、如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线 上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为【 】
A.（0，0） B.（ ， ） C.（ ， ） D.（ ， ）
3、如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是_．
（3）设 MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.
13、已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在ABC△的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点MN、分别作AB边的垂线，与ABC△的其它边交于PQ、两点，线段MN运动的时间为t秒．
A．1B． C． 2D． ＋1
8、如图，正方形ABCD的边长为2， 是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）
A、2B、2 C、 D、
9、点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角
坐标系如图所示．若P是x轴上使得 的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则 ＝．
11、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．
6、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的小值是（）
A． B．6C． D．4
7、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】
（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；
（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
动点问题三角形性质专练
三边能构成三角形，则必须满足性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边！
1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动：点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．
12、在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）.
（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；