电路分析之互易定理
4. 5 互易定理
–
网孔方程：
(1)
(R1+R2) il1- R2 il2 = us1 - R2 il1 +(R2+R3) il2 = - rm i1 i1 = il1
节点方程： (G1+G2)un1- G2 un2 = is1 (2) -G2 un1+(G2+G3) un2 =- gm u1 u1 =un1
R I 0 U k2 U 2
例2
i1
图a为线性电路，N为相同的电阻网络,对称连接, 测得电流i1=I1, i2＝I2, 求b图中的i’1 a i2 i’1 a
+
US
+ N N
b (a) 对图(c)应用叠加和互易定理 US
N
-
(b)
b
解 +
US
i”1
a
+
N N
b
(c) US
–
d
2A
(c)
a Req
b
线性 电阻 网络 NR
c
a I 5 5 + 5V – 戴维宁等 效电路
(d)
d
b
(2) 结合a图，知c 图的等效电阻：
u1 10 Req 5 2 2
5 I 0.5A 55
解2
应用特勒根定理：
ˆ ˆ u1i1 u2 i2 u1 i1 u2 i2
B + U –
线性 有源 网络
a A RA b
R
解
B
（1）应用戴维宁定理： （2）应用替代定理：
a + U –
A
RA R RA + Uoc – I
电路理论_(4)
例：电路如图(a), 电路响应
i2 i2 iS 0 i2 uS 0 i2(1) i2(2)
u1 u1 iS 0 u1 uS 0 u1(1) u1(2)
电路等效为下图
i (1)
2
uS R1 R2
i(2)
2
R1iS R1 R2
u (1) 1
R1uS R1 R2
u(2) 1
R1R2iS R1 R2
18
二、 诺顿定理
诺顿定理：任何一个线性含源二端网络，对外电路来讲，可 以用一个电流源和电导的并联组合等效变换。其电流源的电 流 iS = isc 为网络端口的短路电流；电导Geq=（1/ Req ）为网络 内部电源均为0时的端口的输入电导。
含源一端 口网络
戴维宁等效电路 诺顿等效电路
两种等效电路共有3个参数： uoc , isc ,Req 其关系为： uoc = isc Req 戴维宁等效电路和诺顿等效电路统称为一端口的等效发电机。
33
4-6 对偶原理
注意以下关系式：u Ri, i Gu 对于CCVS： u2 ri1， 对于VCCS： i2 gu1
对偶元素：电压与电流；电阻与电导；CCVS与VCCS；r与g
n
R Rk k 1
i u R
uk
Rk R
u
两个电路互为对偶
n
G Gk k 1
u i G
ik
Gk G
i
显然，在上式中将对偶元素互 换，则对应关系式彼此转换
+
6
例：4-2 求图示电路中的电压 u3 。
+
7
例：4-3 求图示电路中的电压 u3 。
+
8
线性电路的齐性定理：当所有激励（独立电压源和独立电流源） 都同时增大或减小K倍时，响应（电压或电流）也将同样增大或 减小。 例：4-4 求图示电路中的各支路电流。
电路分析第4章
2A 6
解： （1）求开路电压
UOC= 4×2－18 = －10V
负载开路等效电路
28
4 18V +
I 2A 6
4
（2）求等效电阻Req Req= 4
电源置零后的等效电路
（3）画出等效电路
I = -1A
也可以用电源等效变 换法求得。
4 10V +
I 6
29
等效电路
复习：用电源等效变换法求电路的I。
25
4.含有受控源的电路
例4-7(P94) i1
＋
解: 求uoc 1
＋
对节点１应用ＫＣＬ
i1 i2 ic 0
5K
i2
20K
ic uoc
－
对网孔１应用ＫＶＬ
1.75i1 i2 0
1
－
40V
求Req
1′
5i1 20i2 40 i2 1.75mA uoc 20i2 35V
+
-
8V 4
+ 4
4V 1
1A
I
3A
1
2
1
2
戴维宁定理
诺顿定理
20
1. 几个名词
(1) 端口( port ) i
A
a 端口指电路引出的一对端钮，其中从一 个端钮(如a)流入的电流一定等于从另一 b 端钮(如b)流出的电流。
i (2) 一端口网络 (network) (也称二端网络) 网络与外部电路只有一对端钮(或一个端口)联接。 (3) 含源(active)与无源(passive)一端口网络 网络内部含有独立电源的一端口网络称为含源一端口网络。 网络内部不含有独立电源的一端口网络称为无源一端口网络。
电路分析第四章 电路定理
Uoc = U1 + U2
= -104/(4+6)+10 6/(4+6)
= -4+6=2V I a
Ri
+
(2) 求等效电阻Ri
Rx
a
Ri b
Uoc – b (3) Rx =1.2时，I= Uoc /(Ri + Rx) =0.333A I= Rx =5.2时， Uoc /(Ri + Rx) =0.2A Rx = Ri =4.8时，其上获最大功率。
计算； 2 加压求流法或加流求压法。
3 开路电压，短路电流法。
2 3 方法更有一般性。
(3) 外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏安特性等效)。 (4) 当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包 含在被化简的同一部分电路中。
21
第4章 电路定理
例1.
4 a Rx 6 + I b 10V
2.5A
10V 2 5V
?1A
?
这里替代后，两并联理想电压源 5V 5 1.5A 电流不确定，该支路不能被替代
14
第4章 电路定理
例.
3 + 1 Rx – U Ix + 0.5 0.5 若要使 I x 试求Rx。
1 8
I,
10V
–
I
0.5
解： 用替代：
1
1
I 0.5
8
I
1
0.5
又证:
ik
A
+ uk –
支 路 k
A
ik
+
–
uk
A
+ uk – uk
支 路 k
uk
电路分析基础-电路的若干定理
第4章 电路的若干定理 (Circuit Theorems )4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)4. 2 替代定理 (Substitution Theorem )4.3 戴维南定理和诺顿定理(Thevenin -Norton Theorem )4. 5＊特勒根定理 (Tellegen’s Theorem )4. 6 互易定理 (Reciprocity Theorem )4. 7＊对偶原理 (Dual Principle )4.4 最大功率传输定理(Maximum Power Transfer Theorem )4.1 叠加定理 (Superposition Theorem )一、线性电路的齐次性和叠加性线性电路：由线性元件和独立源构成的电路。
1.齐次性（homogeneity)(又称比例性，proportionality)电路x (t )y (t )+-+-齐次性：若输入x (t ) → 响应y (t ) ，则输入K x (t) → K y (t ) 电路K x (t )K y (t )+-+-2.叠加性（superposition)若输入x 1(t ) → y 1(t )(单独作用） , x 2(t ) → y 2(t ) … x n (t ) → y n (t )则x 1(t ) 、x 2(t ) … x n (t ) 同时作用时响应y (t )= y 1(t )+ y 2(t )+ … +y n (t )注： x 1(t ) … x n (t ) 可以是不同位置上的激励信号电路x 1(t )y (t )+-+-x 2(t )x n (t )++--3.线性=齐次性+叠加性(t) →y1(t)(单独作用）若输入x1x2(t) →y2(t)…x n(t) →y n(t)则:K1x1(t) +K2x2(t) +…+K n x n(t) →K1y1(t)+ K2y2(t)+ … + K n y n(t)注：齐次性是一种特殊的叠加性。
电路分析-互易定理
-
7 1
(2) 由互易定理可知i1可由图(b)所示电路求得，
试求解。
解：
i1
R
12 R//R//R//1 8
R//R//R R//R//R 18
69.8 μA
i1
1 4
18
12 R//R//R//R
69.8 μA
例 4
例4-7-1 如图所示电路 求电路中I5
-
7
-
1
2
解：
R22'4 42 22.96AI1I2
I 2'
I 2''
2 11
I1
I 2' '
当R
2，4
2 11
5
I
2''
I 2' '
54 11
当R
4，I 2
2 11
80 27
54 11
4.37
5I 5I2' 0 3.5I I - I1 - I2' 0
2 I2' 11 I1
例 例题4 求图(a)所示电路的等效电阻Rab。
并非电源与负载的
明 互换位置,所以互易前后电路结构形式不能发生变化；
在应用互易定理时,电路中不能有第二个激励源,激励可 以是电压源或电流源,响应是指电流或电压；
互易前后电压电流的参考方向关系要一致,即要关联都关 联,要非关联都非关联。
+
—
例 4
例4-7-1 (1) 电路如图(a)所示，试求电流i1，R=100k；
Pmax
U
2 OC
4RS
52 45
1.25W
要点：求最大功率时通常要应用戴维南定理对问题进行
电路分析重点内容 (1)
第一章电路分析的基本概念和定理（主要知识点）1．电路理论主要研究电路的基本规律和分析方法，包括电路分析和电路综合二个内容电路分析：指在给定电路结构和元件参数的条件下，求解电路在特定激励下的响应电路综合：在给定电路技术指标的情况下，设计出电路并确定元件参数。
2．实际电路的基本功能概括为两种：（1）实现电能的产生，传输，分配，和转换，如电力系统（2）实现电信号的处理，如语音信号，图像信号和控制信号等。
3．实际电路通常由电源，负载和中间环节三部分组成。
4．关联参考方向：指电压和电流的参考方向一致。
即电流的参考方向是从电压的“+”端流入，“-”端流出。
5．元件的功率：当电压电流取关联参考方向时，P（t）=U(t)×I(t),当P＞0，元件吸收功率（或消耗功率），反之，P＜0，元件发出功率（或产生功率）6．对一个完整的电路来说，任一时刻电路中各元件吸收的功率总和应等于发出的功率总和，或者说总功率的代数和为零，即必须遵守功率守恒定律。
7．电阻元件：任一时刻，如果一个二端元件电压U与电流I的关系可以用U-I平面上的唯一一条曲线确定，则称该元件为电阻。
电容元件：任一时刻，如果一个二端元件电荷Q与电压U的关系可以用U-Q平面上的一条曲线确定，则称该二端元件为电容元件。
电感元件：任一时刻，如果一个二端元件磁通链（磁链）与电流的关系可以用i-φ平面上的一条曲线确定，则称二端该元件为电感元件。
8．理想电压源：其端电压与流过的电流无关，不受外电路影响。
电压源可以开路（电流I=0），理想电压源不允许短路。
9．理想电流源：其电流与端电压无关，不×受外电路影响。
电流源可以短路（电流U=0），理想电流源不允许开路。
10．受控电源：受控电源是一种非独立电源，受控源不是激励。
11．电路分析遵循两类约束：元件约束和拓扑约束元件约束：由元件的特性，即元件的电压，电流关系形成的约束。
如欧姆定律拓扑约束：由元件在电路中的连接关系形成的约束，由基尔霍夫电流定律和电压定律体现。
电路分析第四章
A
u
2 3
2 3i
8 9
v
-
0.5A
+
14 3
V
2 3
V
+
+
1V -
a
i
a
+
-
1V + 10 i1 2 N1 4 0.5A
a i1 1/3A b 图(c) 2 4 1/6A
图(d)
(3) 为求i1，将N2用1/3A电流源替代（图(c) 、(d)）
4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
一、线性电路的齐次性和叠加性 线性电路：由线性元件和独立源构成的电路。 1.齐次性（homogeneity)(又称比例性，proportionality) 齐次性：若输入x(t) → 响应y(t) ，则输入K x(t) → Ky(t)
+ x(t) -
电 路
+ y(t) -来自+ Kx(t) -
+
电路
Ky(t) -
2.叠加性（superposition)
若输入x1(t) → y1(t)(单独作用） ,
x2(t) → y2(t) … xn(t) → yn(t) 则x1(t) 、x2(t) … xn(t) 同时作用时 响应y (t)= y1(t)+ y2(t)+ … +yn(t) + x1(t) -
3.替代后外电路及参数不能改变(只在一点等效)。
4. 3 互易定理 (Reciprocity Theorem)
例:
a
Us + 对(a): 对(b):
电路分析之互易定理
R1 = R2 = 2Ω时，us = 8V，i1 = 2A，u2 = 2V； R1’ = 1.4Ω，R2’ = 0.8Ω时，us’ = 9V，i1’ = 3A， 求：u2’ = ?
R1 i1
i2
R1’ i1’
i2’
uS
N
R2 u2 uS’
N R2’ u2’
2009-10-13
(a)
(b)
解： ∵R1、R2已变，∴不能直接对us两端用互易定理。
Q u22' = 0，uˆ11'＝0，uS1 = u11'，uˆ S 2 = uˆ22'
其它形式的推导类似
5
3、注意事项
§2－10互易定理
只适用于线性电阻网络； 使用互易定理时要注意电流、电压的关联方
向；
互易定理对简单支路也成立； 当网络只有单一源时，才能直接使用互易定理。
当有多个电源时，可先用叠加定理化为单电源
网络，再使用互易定理。
4、例子
例1、下图(a)中，已知u2 = 6V，求图(b)中u1’ = ?
4A
R1
N R2
u2 u1’ R1
N R2
2A
(a)
(b)
2009-10-13
6
1
§2－10互易定理
§2－10互易定理
§2－10互易定理
4A
R1
N R2
u2 u1’ R1
N R2
2A
(a)
(b)
解：首先R1和R2可并入N构成N’仍为无源线性电阻网络
i11adi1n4520vi2ei1n45i220v将图a和b电路的网络n及左端用戴维南等效电路的代替即将a和b分别化简为fg3用戴维南定理求i220091013210互易定理12fr05uoc1agi2r0uoc2a1uocr052uocr0r0是图a和b电路从右端看进去的戴维南等效电路的r0则图e可简化为h
电路分析第4章4 互易定理
特勒根定理设有电路,A B ，满足：（1）两者的拓扑图完全相同，均有n 个节点b 条支路；（2）对应的支路和节点均采用相同的编号，其中B 电路的电流、电压加“^”号；（3）各支路电流、电压参考方向均取为一致，则有： 功率守恒定理：01bU I k k k =∑=ˆˆ01bU I k kk =∑= 似功率守恒定理：ˆ01bU I k k k =∑= 1ˆ0b k k k U I ==∑适用于各种电路：直流、交流；线性、非线性；被称为基尔霍夫第三定律。
§2－2互易定理在线性电路中，若只有一个独立电源作用，网络只含有线性电阻（不含受控源），则在一定的激励与响应的定义下，二者的位置互易后，响应与激励的比值不变。
互易定理的证明需要特勒根定理（或二端网络等效的概念）。
根据激励和响应是电压还是电流，互易定理有三种形式：1、互易定理的第一种形式S uS u ˆ+-电路在方框内仅含线性电阻，不含任何独立电源和受控源。
电压源s u 接在端子1-1'，支路2-2'短路，其电流为2i 。
如果把激励和响应位置互换，此时ˆs u接于2-2'，而响应则是接于1-1'，短路电流1ˆi。
21ˆˆs s i i u u=，若 ˆs s u u =，则21ˆi i =。
对一个仅含线性电阻的电路，在单一电压源激励而响应为电流时，激励和响应互换位置，不改变同一激励产生的响应。
2、互易定理的第二种形式2'1i +-22u 1'1Si2'Si ˆ+-21ˆu 1'12ˆi21ˆˆs s u u i i= 若ˆs s i i=，则21ˆu u =。
3 互易定理的第三种形式2'1i 2S i 2i 1'12'S u ˆ+-2ˆi 21ˆu1'1+-21ˆˆs s i u i u= 若数值上ˆs s i u =，则数值上21ˆi u =。
3-4 互易定理
3.4 互易定理1. 互易定理的内容互易定理：对于一个线性电阻网络而言，如果只有一个激励和一个响应，那么当激励与响应互换位置后，激励与响应的比值保持不变。
这里的激励指电压源或电流源，响应指电压或电流。
互易定理的示意图如图1所示。
u 1i 2u 2i 1212u u i i =图1 互易定理示意图根据互易定理和图1，1212(u u i i =激励）（互换位置后的激励）（响应）（互换位置后的响应） （1）由式（1）可以看出，如果激励（电压源电压）相同，则互换位置后的响应（电流）也相同。
这是互易定理的一种特殊情况。
由互易定理的内容可以看出，互易定理是很难自己想象出来的。
由于互易定理很难想象，要证明互易定理自然也是一件非常困难的事情。
不过，为了令人信服，下面我们来证明一下互易定理。
2. 互易定理的证明在证明互易定理之前，需要先证明两个定理和一个定理推论，即特勒根定理1、特勒根定理2和特勒根定理2推论。
特勒根定理1的内容是，任意一个电路，如果每一条支路的电流参考方向都是从电压参考方向的正极流入，则所有支路的电压电流乘积加起来一定等于零。
电压电流乘积就是功率，可见特勒根定理1的物理含义就是任何一个电路总的功率为零，也就是发出功率等于吸收功率，即功率守恒。
下面我们来证明特勒根定理1。
假设任意一个电路总计有b 条支路，n 个结点，第p 、q 个结点之间的电压记为pq u ，电流记为pq i ，则1111111111111()02222bn n n n n n nnk kpq pq p q pq p pq q pq k p q p q p q q p u i u i u u i u i u i ===========−=−=∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （2）由式（2）即证明了特勒根定理1。
式（2）乍一看很难理解，下面对其中的细节进行解释。
式（2）中第一个等号是将支路电压电流乘积之和转化为结点与结点之间电压与电流乘积之和。
电路定理互易定理
§4.5 互易定理在线性无源电路中，若只有一个独立电源作用，则在一定的激励与响应的定义（电压源激励时，响应是电流；电流源激励时，响应是电压）下，二者的位置互易后，响应与激励的比值不变。
根据激励和响应是电压还是电流，互易定理有三种形式： 4.5.1 互易定理的第一种形式图4-14（a ）所示电路N 在方框内部仅含线性电阻，不含任何独立电源和受控源。
接在端子11'-的支路1为电压源S u ，接在端子22'-的支路2为短路，其中的电流为2i ，它是电路中唯一的激励（即S u ）产生的响应。
如果把激励和响应位置互换，如图4-14（b ）中的Nˆ，此时接于22'-的支路2为电压源S u ˆ，而响应则是接于'11-支路1中的短路电流1ˆi 。
假设把图（a ）和（b ）中的电压源置零，则除N 和Nˆ的内部完全相同外，接于11'-和22'-的两个支路均为短路；就是说，在激励和响应互换位置的前后，如果把电压源置零，则电路保持不变。
S uS u ˆ+-（a ）N （b ）Nˆ 图4-14 互易定理的第一种形式对于图4-14（a ）和（b ）应用特勒根定理，有∑==++bk k k i u i u i u 322110ˆˆˆ∑==++bk k k i u i u i u322110ˆˆˆ 式中取和号遍及方框内所有支路，并规定所有支路中电流和电压都取关联参考方向。
由于方框内部仅为线性电阻，故k k k i R u =、k k k i R u ˆˆ=（b k 、、 3=），将它们分别代入上式后有：∑==++bk k k k i i R i u i u 322110ˆˆˆ∑==++bk k k k i i R i u i u322110ˆˆˆ 故有22112211ˆˆˆˆi u i u iu i u +=+ （4-12）对图4-14（a ），S u u =1，02=u ；对图（b ），0ˆ1=u，S u u ˆˆ2=，代入上式得 21ˆˆi ui u S S = 即S S ui u i ˆˆ12=如果21ˆˆi uiu S S =，则12ˆi i =。
电路的互易定理
电路的互易定理
什幺是互易定理
在只含一个电压源（或电流源），不含受控源的线性电阻电路中，电压源（或电流源）与电流表（电压表）互换位置，电流表（电压表）读数不变。
这种性质称为互易定理。
在电磁学上，互易定理为洛仑兹互易定理（Lorentz Reciprocity Theorem），由卡森（J.R. Carson）导出而被称为卡森形式的互易定理。
互易定理即论述某些网络具有的互易性质的定理。
互易性质表现为：将网络的输入和特定输出互换位置后，输出不因这种换位而有所改变。
具有互易性质的网络称为互易网络。
互易性不仅一些电网络有，某些声学系统、力学系统等也有。
互易定理是一个较有普遍意义的定理。
互易定理的性质
从图中可以得出结论，图（a）的电压u2=R21/S与图（b）的电压
u1=R12/S相同。
也就是说，在互易网络中电流源与电压表互换位置，电压表读数不变。
§6-3 互易双口和互易定理
(6 19) (6 20) (6 21) (6 22)
T = T T22 T12T21 = 1 11
由式(6－ 可以断言 可以断言： 的电压u 由式 －19)可以断言：图6－11(a)的电压 2=R21iS与图 － 的电压 5－11(b)的电压 1=R12iS 相同。也就是说，在互易网络中电 － 的电压u 相同。也就是说， 的电压 流源与电压表互换位置，电压表读数不变。 流源与电压表互换位置，电压表读数不变。
§6－3 互易双口和互易定理 －
一、互易定理
仅含线性时不变二端电阻和理想变压器的双口网络， 仅含线性时不变二端电阻和理想变压器的双口网络 ， 称为互易双口。 称为互易双口。 互易定理：对于互易双口，存在以下关系。 互易定理：对于互易双口，存在以下关系。
R12 = R21 G12 = G21 H12 = H
图6－12 电压源与电流表互换 －
中电流i。 例6－7 用互易定理求图 －13(a)中电流 。 － 用互易定理求图6－ 中电流
图6－13 互易定理的应用 －
中电流i相同 解：根据互易定理，图6－13(a)和(b)中电流 相同。 根据互易定理， － 和 中电流 相同。 从图6－ 中易于求得： 从图 －13(b)中易于求得： 中易于求得 24 io = A = 3A 6×12 3×6 2+ + 6 + 12 3 + 6 12 3 i= io io = 1A 6 + 12 3+ 6
得到Π形等效电路如图 － 所示。 得到 形等效电路如图6－16(b)所示。此题也可以用星 形等效电路如图 所示 形与三角形联接的等效变换公式求解。 形与三角形联接的等效变换公式求解。
根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。 根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。
电路分析原理第四章 线性网络的几个定理及等效网络
第四章 线性网络的几个定理及等效网络
第一节 叠加定理 第二节 互易定理 第三节 替代定理 第四节 戴维宁定理 第五节 诺 顿 定 理 第六节 最大功率传输定理 第七节 Y形网络与△形网络的等效变换 ∗第八节 理想电源的转移
第一节 叠加定理
一、叠加定理的陈述 二、叠加定理的证明 三、应用叠加定理要注意的几个问题 四、叠加定理的应用
图4-8 互易现象三， / = / (注意参考方向)
a) 1-1′
2-2′开路 b) 2-2′
1-1′短接
4.互易现象四
1) 在图4-9a中， 1-1′间由电流源IS1激励， 2-2′间的短路电流为I2 2) 在图4-9b中， 2-2′间由电压源S2激励， 1-1′间的开路电压为1
4.互易现象四
/ = / (注意参考方向)
2-2′短接 b) 2-2′
1-1′开路
三、互易定理的形象化讲法
1)互易定理陈述一指出，线性网络中唯一的一个电压源，与任 一支路中零内阻的电流表交换位置时，电流表的读数不变。 2)互易定理陈述二给出，线性网络中的唯一的一个电流源，与 跨接在任意两端、内阻为无穷大的电压表交换位置时，电压表 的读数不变。
图4-9 互易现象四， / = / (注意参考方向)
a) 1-1′
2-2′短接 b) 2-2′
1-1′开路
二、互易定理
1.陈述一(互易定理一) 2.陈述二(互易定理二) 3.陈述三 4.陈述四(互易定理四)
1.陈述一(互易定理一)
图4-10 a) 1-1′
/ = / (注意参考方向)
2-2′短接 b) 2-2′
一、叠加定理的陈述
图4-1 叠加定理示图
a)
电路分析基础--互易定理
(2) 激励为电压源时，响应为电流 激励为电流源时，响应为电压
电压与电流互易。
(3) 电压源激励，互易时原电压源处短路，电压源串入另一 支路；
电流源激励，互易时原电流源处开路，电流源并入另一 支路的两个节点间。
(4) 互易时要注意电压、电流的方向。
(5) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
ikj线性电阻网络nujabcdaj支路k支路cd线性电阻网络nijkukabbj支路k支路uu线性电阻网络nabcaj支路k支路dia线性电阻网络nabcbj支路k支路dia证明选定回路电流使支路j和支路k都只有一个回路电流流过且取回路电流的方向和电压升高的方向一致
2. 2 互易定理 (Reciprocity Theorem)
(b)
当 uk = uj 时，ikj = ijk 。
j支路
a
u+ – b
j支路
a
i A b
k支路
线性电 阻网络
N
c Ai
d (a)
k支路
线性电 阻网络
N
c u
+ –
d (b)
证明 选定回路电流，使支路j和支路k都只有一个回路电流
流过，且取回路电流的方向和电压升高的方向一致。
a
线性
uj +
电阻
Ij 网络
当 uk = uj 时，ikj = ijk
互易定理成立。
R11I1 R1 j I j R1k Ik R1l Il 0 Rj1I1 Rjj I j Rjk Ik Rjl Il u j Rk1I1 Rkj I j Rkk Ik Rkl Il 0 Rl1I1 Rlj I j Zlk Ik Rll Il 0
j列
k列
3.6.1 互易定理
2
1
2
1V
3
2
1
1
2
1
2
3
1V
2
1
1பைடு நூலகம்
互易定理
定理(第一种形式)： 对于含有一个独立电压源和若干线 性二端电阻的电路，当此电压源在某一端口A作用时， 在另一端口B产生的短路电流等于把此电压源移到端口 B作用而在端口A所产生的短路电流。
US
A
B I2
I1
A
B
US
(a)
I2 I1
(b)
证明：U1I1 U2I2
I2 I1
U1I1 U2I2 US1I1 0
I2
0
USI1 0 I1 US2I2
I2
0 UIS11 US2
UI 2S I 2 I1
互易定理
定理(第二种形式) ：对于含有一个独立电流源和若干 线性二端电阻的电路，当此电流源在某一端口A作用时， 在另一端口B产生的开路电压等于把此电流源移到端口 B作用而在端口A所产生的开路电压。
IS A
B U2
U1
(a)
U2 U1
A
B IS
(b)
互易定理
定理(第三种形式) ：对于图示电路,如果在数值上IS与US 相等, 则U2与 I1在数值上也相等。其中IS 与 I1 、US 与U2 分别取同样单位。
I2 0
US A
B U2
I1 A
IS B
(a)
U2 I1
(b)
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互易定理
注意： (1) 互易定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路；
(2) 应用互易定理时要注意参考方向，如果两个网络的端口 电压和电流的参考方向不一致，则应在不一致的电流和 电压前加负号；
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9
§2－10互易定理
例4、图中网络N仅由线性电阻组成。根据图(a)和图(b) 的已知条件，求图(c)中电流i1和i2。
3A 4Ω
1A
20V N 5Ω
4Ω
2A
20V N
(a)
(b)
i1 4Ω
5Ω i2
20V N
20V
(c)
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10
§2－10互易定理
例：（续）
§2－10互易定理
解：用叠加、互易、戴维南定理
N uS1
i2
N i1
uS2
N i1
uS2
N iS1
u2
2009-10-13
N u1
iS2
N u1
iS2
4
2、互易定理的推导过程 由上节例题，对无源线性电阻网络有
u11'iˆ11' + u22'iˆ22' = uˆ11'i11' + uˆ 22'i22'
第一种形式的推导：
§2－10互易定理
2009-10-13
Q u22' = 0，uˆ11'＝0，uS1 = u11'，uˆ S 2 = uˆ22'
其它形式的推导类似
5
3、注意事项
§2－10互易定理
只适用于线性电阻网络； 使用互易定理时要注意电流、电压的关联方
向；
互易定理对简单支路也成立； 当网络只有单一源时，才能直接使用互易定理。
当有多个电源时，可先用叠加定理化为单电源
（1）用叠加定理将(c)分解为（d） 和（e） 则：i1’＝3A，i2’＝1A
i1’ 4Ω 20V
i2’
N 5Ω
（2）用互易定理第一种形式求i1”：
i1”＝－1A
i1”
（3）用戴维南定理求i2”
4Ω
将图(a)和(b)电路的网络N及左端
(d) 5Ω i2”
N
20V
用戴维南等效电路的代替，即将(a)
(e)
2'
有 u22' uS1
=
iˆ11' iˆS 2
§2－10互易定理
1
u^11'
1'
N
2 ^iS2
2'
若 iS1 = iˆS 2 则 u22' = uˆ11'
1
i^11'
1'
N
2 ^iS2
2'
若 uS1 = iˆS 2 则 u22' = iˆ11'
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3
§2－10互易定理
注意：互易前后，支路电流、电压的方向。
d
解：
桥式电路
I1
=
4 //
8 2 + 1 //
2+
2
=
2A
I2
=
(I1
1× 2 )× 1+2
1 2
=
2 3
A
I3
=
(I1
4×2)× 4+2
1 2
=
1
1 3
A
由KCL可得
I
=
I3
−
I2
=
2 3
A
2009-10-13
4Ω 2Ω
a
b I3 2Ω
I
I2 c
1Ω
2Ω 8V
I1 d
简单电路
注意：电压、 电流的方向
网络，再使用互易定理。
4、例子
例1、下图(a)中，已知u2 = 6V，求图(b)中u1’ = ?
4A
R1
N R2
u2 u1’ R1
N R2
2A
(a)
(b)
2009-10-13
6
1
§2－10互易定理
§2－10互易定理
§2－10互易定理
4A
R1
N R2
u2 u1’ R1
N R2
2A
(a)
(b)
解：首先R1和R2可并入N构成N’仍为无源线性电阻网络
⑴
N u1S1i11’
1'
2
u22’ i22’
2'
N 1
^i11'
^u11’
1'
^i22’u^2S2
2'
有 i22' = iˆ11' uS1 uˆ S 2
若uˆ S 2 = uS1 则iˆ11' = i22'
使用式： u11'iˆ11' + u22'iˆ22' = uˆ11'i11' + uˆ 22'i22'
⑴
N 1
uS1 1'
2 i22'
2'
N 1
^i11' 1'
2 u^S2 2'
有 i22' = iˆ11' uS1 uˆ S 2
若uˆ S 2 = uS1 则iˆ11' = i22'
2009-10-13
2
1
2
⑵
iS1
1'
N u22' 2'
有
u22' iS1
=
uˆ11' iˆS 2
⑶
1
uS1
1'
N
2
u22'
R1 = R2 = 2Ω时，us = 8V，i1 = 2A，u2 = 2V； R1’ = 1.4Ω，R2’ = 0.8Ω时，us’ = 9V，i1’ = 3A， 求：u2’ = ?
R1 i1
i2
R1’ i1’
i2’
uS
N
R2 u2 uS’
N R2’ u2’
2009-10-13
(a)
(b)
解： ∵R1、R2已变，∴不能直接对us两端用互易定理。
4A
N’
u2
u1’⏐2A
N’
2A
(a)
u1’⏐4A
N’
(b) 4A
2009-10-13
(c)
1. 由图(c)根据互易定理第二形式有，u1’|4A = u2|4A = 6V
2. 根据线性电路的“齐次性”有：u1’|2A = u1’|4A/2 = 3V
7
例2：
§2－10互易定理
对不同的电压us及不同的R1、R2进行了两次测量， 得下列数据：
§2－10互易定理
§2－10互易定理
§2－10互易定理
§2－10互易定理
主要内容： 互易定理的三种形式 推导过程 注意事项
2009-10-13
1
已知：
求：I＝？
§2－10互易定理
1Ω 2V
2Ω
3Ω 4Ω I=1/3A
N 5Ω
1Ω
3Ω
2Ω 4Ω
I=？
N 5Ω
2V
1、互易定理陈述
对由线性电阻元件所组成的不含独立源和受控源的二端口 网络N，（在图示方向下）互易定理具有下列三种形式
2009-10-13
1A
R0
5Ω
uOC
R0
uOC
(f)
(g)
5Ω i2”
R0
20V
(h)
12
2
§2－10互易定理
作业： P83-86 2-23，2-24
§2－10互易定理
2009-10-13
13
§2－10互易定理
3
和(b)分别化简为(f),(g)
2009-10-13
11
R0是图(a)和(b)电路从右端看 进去的戴维南等效电路的R0
1＝uOC/(R0+5) 2＝uOC/R0
uOC＝10V R0＝5Ω
则图（e）可简化为(h)：
i2” ＝ -20/(R0+5)＝-2A
（4）叠加： i1 = i1’+ i1”＝2A i2 = i2’+ i2”＝-1A
需使用互易定理基本关系式有：
(uS - R1 i1) (-i1’) + u2i2’ = (uS’ - R1’ i1’) (-i1)+ u2’i2
并且：i2’ ＝ u2’/R2’ 得：u2’ ＝ 1.6 V
8
例3：电路如图所示，求电流 I
§2－10互易定理
4Ω
2Ω
a
b
2Ω
应用
c
1Ω 8V 2Ω
I 互易定理