北京市朝阳区高三年级数学学科测试第一次综合练习

北京市朝阳区高三年级数学学科测试第一次综合练习

（文史类）2013.4

（考试时间120分钟满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

（1）为虚数单位，复数的虚部是

A．B．C． D .

（2）若集合，，则

A. B. C. D.

（3）已知向量，.若，则实数的

值为

A．B．C．D．

（4）已知命题：，；命题：，.

则下列判断正确的是

A．是假命题B．是假命题C．是真命题D．是真命题

（5）若直线与圆有两个不同的公共点，则实数的取值范围是

A．B．

C． D .

（6）“”是“关于的不等式组表示的平面区域为三角形”的

A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

（7）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

（8）已知函数.若，使，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有

A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

（9）以双曲线的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是.

（10）执行如图所示的程序框图，输出结果S= .

（11）在等比数列中，，则，若为等差数列，且，则数列的前5项和等于. （12）在中，, , 分别为角, , 所对的边，且满足，则，

若，则.

（13）函数是定义在上的偶函数，且满足.当时，.若在区间上方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是.

（14）在平面直角坐标系中，点是半圆（≤≤）上的一个动点，点在线段的延长线上．当时，则点的纵坐标的取值范围是．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

（15）（本小题满分13分）

已知函数（）的最小正周期为.

（Ⅰ）求的值及函数的单调递增区间；

（Ⅱ）当时，求函数的取值范围.

（16）（本小题满分13分）

国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：

空气质量指数0-50 51-100 101-150 151-200 201-300 300以上

空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染

由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用

茎叶图表示如下：

（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；

（Ⅱ）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；

（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．

(注：，其中为数据的平均数.)

（17）（本小题满分14分）

如图，在四棱锥中，平面平面，且，．四边形满足，，．为侧棱的中点，为侧棱上的任意一点.

（Ⅰ）若为的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，

写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由．

（18）（本小题满分13分）

已知函数，其中．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线的斜率为，求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间.

（19）（本小题满分14分）

已知椭圆过点,离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，直线，分别交直线于，两点,线段的中点为.记直线的斜率为，求证: 为定值.

（20）（本小题满分13分）

由按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为，设，其中.

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求的最大值.

(注：对任意，都成立.)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试答案（文史类）2013.4

一、选择题：

题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）

答案A C B D D A D B

二、填空题：

题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）

答案；；

（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）

三、解答题：

（15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）……………………………………………1分

. ……………………………………………………4分

因为最小正周期为，所以.………………………………………………5分

于是.

由，，得.

所以的单调递增区间为[ ]，.……………………………8分

（Ⅱ）因为，所以，…………………………………10分

则. …………………………………………………12分

所以在上的取值范围是[ ]. ………………………………………13分

（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.……………3分（Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为，则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为．………………6分,

（Ⅲ）设事件A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有个结果，分别记为：

（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78）

（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78），

（57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78），

（75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78），

（106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.

其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78.

则空气质量等级相同的为：

（29，41），（29，43），

（53，55），（53，58），（53，78）,

（57，55），（57，58），（57，78），

（75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果.

则.

所以这两个城市空气质量等级相同的概率为．