2.4 基本不等式及其应用.ppt
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不等式基本不等式实际应用ppt
柯西不等式
通过比较序列的方差和乘积来证明 不等式。
Hale Waihona Puke 代数证明方法排序原理
利用排序原理，比较序列的大 小来证明不等式。
反证法
通过假设反面命题成立，然后 推导出矛盾，从而证明原命题
成立。
拉格朗日中值定理
利用微积分中的拉格朗日中值 定理，通过比较函数在两点的
值来证明不等式。
微积分证明方法
01
极值定理
利用微积分中的极值定理，通过比较函数在某点的导数值与该点的函
《不等式基本不等式实际应 用ppt》
xx年xx月xx日
目录
• 不等式与基本不等式介绍 • 基本不等式的证明方法 • 不等式在实际问题中的应用 • 基本不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式与基本不等式的扩展应用
01
不等式与基本不等式介绍
不等式的定义及性质
定义
用不等号连接两个解析式，得到 的不等式是定义。如：x^2<y^2 。
详细描述
在优化问题中，需要在一个约束条件下找到一个最优解。这个约束条件通常由不等式表示。通过建立不等式并 求解，可以找到满足这个约束条件的最优解。例如，在交通运输中，可以利用不等式求解在一定时间内完成最 多运输量的最优方案。
极值问题
总结词
不等式可以用于求解函数的极值问题，通过建立不等式并求解，可以找到函数在 某一点处的极值。
经济领域
在经济领域中，基本不等式可以用于解决一些最优问题，例如，在制定经济政策时，利用 基本不等式可以得到社会福利最大化的资源分配方案。
02
基本不等式的证明方法
几何证明方法
平行线定理
利用平行线性质，通过比较两 条平行线上的线段长度来证明
不等式。
通过比较序列的方差和乘积来证明 不等式。
Hale Waihona Puke 代数证明方法排序原理
利用排序原理，比较序列的大 小来证明不等式。
反证法
通过假设反面命题成立，然后 推导出矛盾，从而证明原命题
成立。
拉格朗日中值定理
利用微积分中的拉格朗日中值 定理，通过比较函数在两点的
值来证明不等式。
微积分证明方法
01
极值定理
利用微积分中的极值定理，通过比较函数在某点的导数值与该点的函
《不等式基本不等式实际应 用ppt》
xx年xx月xx日
目录
• 不等式与基本不等式介绍 • 基本不等式的证明方法 • 不等式在实际问题中的应用 • 基本不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式与基本不等式的扩展应用
01
不等式与基本不等式介绍
不等式的定义及性质
定义
用不等号连接两个解析式，得到 的不等式是定义。如：x^2<y^2 。
详细描述
在优化问题中，需要在一个约束条件下找到一个最优解。这个约束条件通常由不等式表示。通过建立不等式并 求解，可以找到满足这个约束条件的最优解。例如，在交通运输中，可以利用不等式求解在一定时间内完成最 多运输量的最优方案。
极值问题
总结词
不等式可以用于求解函数的极值问题，通过建立不等式并求解，可以找到函数在 某一点处的极值。
经济领域
在经济领域中，基本不等式可以用于解决一些最优问题，例如，在制定经济政策时，利用 基本不等式可以得到社会福利最大化的资源分配方案。
02
基本不等式的证明方法
几何证明方法
平行线定理
利用平行线性质，通过比较两 条平行线上的线段长度来证明
不等式。
基本不等式及应用PPT课件
5
2020年10月2日
6
2020年10月2日
7
Dห้องสมุดไป่ตู้
a2 b2
b
G
F
A
aH E
B
2020年10月2日
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a＿b
３、S与S’有什么 样的不等关系？
S≥S’ 8
探究：
D
A
a Cb
1、如图,AB是圆的直径，C 是AB上与A、B不重合的一 点，AC=a,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE，连AD,BD,
ab
B 则CD=＿＿ab,半径=＿＿＿2＿
E
半弦不大于半径
2020年10月2日
２、你能用这个图形得出
基本不等式
abab(a>0,b>0) 2
几何解释吗?
9
10月23日作业：
2020年10月2日
10
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
2.4（1）基本不等式及其应用
要点：
1.学习两个重要(基本)不等式 2.应用这两个不等式(的有关应用) 求代数式的最值
2020年10月2日
1
两个重要不等式
2020年10月2日
2
2020年10月2日
6
2020年10月2日
7
Dห้องสมุดไป่ตู้
a2 b2
b
G
F
A
aH E
B
2020年10月2日
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a＿b
３、S与S’有什么 样的不等关系？
S≥S’ 8
探究：
D
A
a Cb
1、如图,AB是圆的直径，C 是AB上与A、B不重合的一 点，AC=a,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE，连AD,BD,
ab
B 则CD=＿＿ab,半径=＿＿＿2＿
E
半弦不大于半径
2020年10月2日
２、你能用这个图形得出
基本不等式
abab(a>0,b>0) 2
几何解释吗?
9
10月23日作业：
2020年10月2日
10
演讲完毕，谢谢观看！
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2.4（1）基本不等式及其应用
要点：
1.学习两个重要(基本)不等式 2.应用这两个不等式(的有关应用) 求代数式的最值
2020年10月2日
1
两个重要不等式
2020年10月2日
2
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
不等式讲基本不等式及其应用课件pptx
柯西-施瓦茨不等式
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式， 它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论 中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概 率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展 和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组 ，利用数学归纳法和排序不等式的性 质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有 广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数 的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数 的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配 置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不 等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的 分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划 中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以 保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。 算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。 当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式， 它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论 中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概 率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展 和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组 ，利用数学归纳法和排序不等式的性 质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有 广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数 的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数 的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配 置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不 等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的 分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划 中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以 保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。 算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。 当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式
基本不等式ppt课件
对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
基本不等式及其应用ppt课件
【解析】 x＋x－4 1＝(x－1)＋x－4 1＋1≥ 2 x－1·x－4 1＋1＝5.(当且仅当 x＝3 时取等号)
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
2.4 基本不等式及其应用
要熟记.
问题： a 1 , b 1 , a b , 则 a b 、 ab 、 若 2
2 ab 、 a b 中值最小的是（）
2 2
答： ab . 2
2. 设 0 a b , a b 1 , 在下列不等式 中正确的是（）
（ A) b 2 ab
（ B)2ab b a
1
a=b 大 4 ab有最____值______(当且仅当______时取 “=”）. 利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。
s
2
应用基本不等式求最值的条件：
一正 二定 三相等
a与b为正实数
积定和最小
和定积最大
若等号成立， a与b必须能 够相等
强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“＝”
注意
（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值 时，它们的积最大？
∵
ab ( ab 2 )
2
a+b=18
∴当a=b=9时，积ab最大为81
不等式
ab
ab 2
是一个基本不等式，它在解决实际问题中由广泛的应用，
是解决最大（小）值问题的有力工具。
例 4 ：若 a 、 b R ，且 a b 1，求证： ab 并指出等号成立的条件 .
1 2
xy
1 x 1 y
(D )
答案： D
一．知识要点
2. 利用基本不等式求最值问题：
如果 a 0 , b 0 , 那么 a b 2 ab 或 ab ( ab ) .
2
2 （1）如果a，b＞0，且ab＝P（定值），那么
a+b有最____值______(当且仅当_____时取 2 p a=b “=”）. 小 （2）如果a，b＞0，且a＋b＝S （定值），那么
1 第1课时 基本不等式(共42张PPT)
解析：因为 a＞0，且 2x＋ax≥2 当且仅当 2x＝ax，
2x·ax＝2 2a，
即 x＝ 22a时，2x＋ax取得最小值， 所以 22a＝3， 解得 a＝18. 答案：18
5．已知 x，y 为正实数，且 x＋y＝4，求1x＋3y的最小值． 解：因为 x，y 为正实数， 所以(x＋y)1x＋3y ＝4＋xy＋3yx≥4＋2 3. 当且仅当xy＝3yx，
(1)若 a＋b＝S(和为定值)，当 a＝b 时，积 ab 有最大值S42，可以用基本不等 式 ab≤a＋2 b求得． (2)若 ab＝P(积为定值)，则当 a＝b 时，和 a＋b 有最小值 2 P，可以用基本 不等式 a＋b≥2 ab求得． 不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．
1．已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为
【解析】 对于选项 A，当 x<0 时，4x＋x≥4 显然不成立；对于选项 B，符 合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项 C， 忽视了验证等号成立的条件，即 x＝1x，则 x＝±1，均不满足 x≥2；对于选 项 D，x－1x在 0<x≤2 的范围内单调递增，有最大值 2－12＝32. 【答案】 B
A．7
B．8
C．9
D．10
()
解析：选 C.因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2 ＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
ab·4ba
探究点 3 利用基本不等式求最值 (1)已知 x>2，则 y＝x＋x－4 2的最小值为________．
(2)若 0<x<12，则函数 y＝12x(1－2x)的最大值是________． (3)若 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．
基本不等式及其应用PPT教学课件
2.要通过拆、分来构造使用基本不等式的 条件
2、求 x, y, z
0, x 2 y 3z
0, 则
y2 xz
的
最小值为
。
问题：1.目标式中有多个变量，求 范围及最值时先怎么变形？
2. 应消去 x, y, z 中的哪个变量？
3.符合使用基本不等式的条件吗？
已知实数 x, a1, a2, y 成等差数列，x,b1,b2, y 成等比数列，
解不等式
恒成立
4.第 一 问 中 的 不 等 式 解 是 不 是 确 定 的 ？ 与 那 个 有 关？能否举出与该问题同一种类型的问题？
解关于 x 的不等式： x2 ax 1 0
a 与 m 的地位相比有无差别？
课前热身：
4、某公司一年购买某种货物 400 吨，每次
都购买 x 吨，运费为每次 4 万元，一年的总
一、课前热身：
1、函数 y loga (x 3) 1(a 0,且a 1) 的图像恒
过定点 A，若点 A 在直线 mx ny 1 0 上其中
mn
0
，则
1 m
2 n
的最小值
。
条件的实质是什么？
这个条件的作用是 什么？
什么时候取到最小值？
变式 1：已知 x 0 、 y 0，且 x y 1则 1 4 的最小值
中听回的，并没有真的看到，到底空中花园是否纯粹传说呢？ 空中花园位于Euphrates河东面，伊拉克首都巴格达以南50里外左 右，四大文明古国之一巴比伦中。巴比伦的空中花园当然不是吊于 空中，这个名字的由来纯粹是因为人们把原本除有“吊”之外，还 有“突出”之意的希腊“kremastos”及拉丁文“pensilis”错误翻译
存储费用为 4 x 万元，要使一年的总费用与
2、求 x, y, z
0, x 2 y 3z
0, 则
y2 xz
的
最小值为
。
问题：1.目标式中有多个变量，求 范围及最值时先怎么变形？
2. 应消去 x, y, z 中的哪个变量？
3.符合使用基本不等式的条件吗？
已知实数 x, a1, a2, y 成等差数列，x,b1,b2, y 成等比数列，
解不等式
恒成立
4.第 一 问 中 的 不 等 式 解 是 不 是 确 定 的 ？ 与 那 个 有 关？能否举出与该问题同一种类型的问题？
解关于 x 的不等式： x2 ax 1 0
a 与 m 的地位相比有无差别？
课前热身：
4、某公司一年购买某种货物 400 吨，每次
都购买 x 吨，运费为每次 4 万元，一年的总
一、课前热身：
1、函数 y loga (x 3) 1(a 0,且a 1) 的图像恒
过定点 A，若点 A 在直线 mx ny 1 0 上其中
mn
0
，则
1 m
2 n
的最小值
。
条件的实质是什么？
这个条件的作用是 什么？
什么时候取到最小值？
变式 1：已知 x 0 、 y 0，且 x y 1则 1 4 的最小值
中听回的，并没有真的看到，到底空中花园是否纯粹传说呢？ 空中花园位于Euphrates河东面，伊拉克首都巴格达以南50里外左 右，四大文明古国之一巴比伦中。巴比伦的空中花园当然不是吊于 空中，这个名字的由来纯粹是因为人们把原本除有“吊”之外，还 有“突出”之意的希腊“kremastos”及拉丁文“pensilis”错误翻译
存储费用为 4 x 万元，要使一年的总费用与
24 基本不等式及其应用
2.4基本不等式及其应用知识点归纳1、 在蹦等式的应用中，经常使用的不等式有20a ≥；||0a ≥0(0)a ≥≥222a b c ab bc ca ++≥++若,a b R +∈，那么a b +≥，当且仅当a b =时等号成立若,,a b c R +∈，那么a b c ++≥a b c ==时等号成立推广：如果123,,,,{0}n a a a a R +∈，那么123n n a a a a n ++++≥（当且仅当123n a a a a ====时取“=”） 2、 注意： （1）应用公式的条件；（2）取等号的条件；（3）广义的理解公式中的字母,a b ；（4）公式的逆用、变用：2112a b a b +≤≤+ 定和定积原理：若n 个正数的和为定值，则当且仅当这n 个正数相等时积取最大值； 若n 个正数的积为定值，则当且仅当这n 个正数相等时和取最小值。
3、 利用不等式知识解题，关键是建立不等量关系，其途径有：利用题设中的不等量大小；利用不等式基本性质；利用所涉及对象的概念内涵外延所赋予的不等量大小；利用变量的有界性；利用几何意义；利用判别式；利用不等式基本公式等等。
题型讲解例1、（1）求2216y x x =+的最小值。
（2）求y =（3）若205x <<，求(25)x x -的最大值。
例2、（1）已知0x >，求的最大值；（2）求42(3)y x x=-+的取值范围。
例3、（1）已知不等式1()()9a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）A 、8B 、6C 、4D 、2（2）某公司一年购买某种货物400吨，每次购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总存储费用之和最小，则x =___________吨。
（3）已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz 的最小值为____ （4）“0a b >>”是“222a b ab +<”的（ ） A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件（5）如果正数,,,a b c d 满足4a b cd +==，那么（ ）A 、ab c d ≤+，且等号成立时,,,a b c d 的取值唯一B 、ab c d ≥+，且等号成立时,,,a b c d 的取值唯一C 、ab c d ≤+，且等号成立时,,,a b c d 的取值不唯一D 、ab c d ≥+，且等号成立时,,,a b c d 的取值不唯一（6）已知实数,x y 满足221x y +=，则（ ） A 、有最小值12，也有最大值1 B 、有最小值34，也有最大值1 C 、有最小值34，但无最大值 D 、有最大值1，但无最小值 例4、若实数,x y 满足121x y +=，则x y +的最小值是多少？例5、已知,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求149x y z++的最小值例6、设0,0x y ≥≥，2212y x +=，求例7、已知,a b R +∈，且1a b +=，求2211()()a b a b +++的最小值例8、若对一切a b c >>，不等式11n a b b c a c +≥---恒成立，求n 的最大值例9、（1）求232y x x=+，0x >的最小值（2）已知21x y +=，,x y R +∈，求2x y 的最 大值例10、某单位用 木料制作如图所示的框架，框架的下部是变长分别为,x y （单位： m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积28m ，问分别是多少（精确到0.001m ）时用料最省？例11、若0a b >>，求16()a b a b +-的最小值巩固练习1、 下列不等式（1）212a a +>（2）244a a +>（3）2b a a b +≥（4）22222a b ab a b ≤+其中恒成立的是（ ）A 、（1）（4）B 、（3）（4）C 、（2）（3）D 、（1）（2）2、 已知,(0,1)a b ∈且(0,1)a b ≠∈，下列各式中最大的是（ ）A 、22a b +B 、C 、2abD 、a b +3、设,x y R ∈且5x y +=，则33x y +的最小值为（ ）A 、10B 、C 、D 、4、（04湖南）设0,0a b >>，则下列不等式中不恒成立的是（ ）A 、11()()4a b a b++≥ B 、3332a b ab +≥C 、22222a b a b ++≥+D 5、若41x -<<，则22222x x x -+-，有（）A 、最小值1B 、最大值1C 、最小值-1D 、最大值-16、设02x <<，则(83)x x -的最大值为_____________，相应的x 为______________7、设,,0a b c >，则：b c a c a b a b c+++++≥____________ 8、已知1x >，求4311x x ++-的最小值9、已知,x y 为正实数，3210x y +=，求函数W =10、已知,,x y z 为正实数，且3x y z ++=，1113x y z++=，求222x y z ++的值11、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为2002m 的三级污水处理池（平面图如图），如果池外围圈周壁建造单价为每米400圆，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建在单价为每米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价、12、某工厂要建造一个长方体无盖储水池，其容积为48003m ，深为33m ，若果池底每12m的造价为150元，池壁每12m 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总在家是多少元？。
《基本不等式》PPT课件
一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的基本步骤
01
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
解一元一次不等式需要注意的事项
02
在解不等式的过程中，要确保每一步都是等价变换，不改变不
等式的解集。
解一元一次不等式的实例分析
03
通过具体例子展示解一元一次不等式的详细步骤和注意事项。
一元一次不等式的应用举例
课程目标与要求
知识与技能
掌握不等式的定义、性质及基本 不等式，能够运用所学知识解决
相关问题。
过程与方法
通过探究、归纳、证明等方法， 培养学生的数学思维和解决问题
的能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱， 认识到数学在解决实际问题中的 重要作用。同时，通过基本不等 式的学习，培养学生的严谨、细
排序不等式的概念与性质
性质 反序和不大于乱序和，乱序和不大于顺序和。
当且仅当$a_i = b_i$（$i = 1, 2, ldots, n$）时，反序和等于顺序和。
切比雪夫不等式的概念与性质
概念：对于任意两个实数序列$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，若它们分别单调不 减和单调不增，则有$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_i cdot frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}b_i leq frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_ib_i$。
1 2
一元一次不等式在生活中的应用 例如比较两个数的大小、判断某个数是否满足某 个条件等。
一元一次不等式在数学中的应用 例如在解方程、求函数值域等问题中，经常需要 利用一元一次不等式进行求解。
基本不等式的应用ppt课件
第3章 不等式
3.4.2
3.4
根本不等式
a＋b ab≤ 2 (a≥0，b≥0)
根本不等式的运用
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
双
知
学习目标：1.掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的 基
合 最大(小)值问题.3.能应用基本不等式解决生活中的应用问题．
作
课
探
时
究
• 攻
分 层 作
重
业
难
返 首 页
双 基
(2)已知点 M(a，b)在直线 x＋y＝1 上，则 a2＋b2的最小值为________．
合
作
课
探
时
究
• 攻
分 层 作
重
业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
• 探
[解析] (1)法一：由 ab＝a＋b＋3，得 b＝aa＋ －31.
标
• 固
新
双
知
由 b>0，得aa＋ －31>0.∵a>0，∴a>1.
课
探
∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．
究
•
攻
时 分 层 作
重
业
难
返 首 页
自
(2)因为点 M(a，b)在直线 x＋y＝1 上，所以 a＋b＝1，因为 a2＋b2≥a＋2b2 当
主
堂
预 习
＝12，
达 标
•
•
探
固
新 知
当且仅当 a＝b＝12时等号成立，
3.4.2
3.4
根本不等式
a＋b ab≤ 2 (a≥0，b≥0)
根本不等式的运用
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
双
知
学习目标：1.掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的 基
合 最大(小)值问题.3.能应用基本不等式解决生活中的应用问题．
作
课
探
时
究
• 攻
分 层 作
重
业
难
返 首 页
双 基
(2)已知点 M(a，b)在直线 x＋y＝1 上，则 a2＋b2的最小值为________．
合
作
课
探
时
究
• 攻
分 层 作
重
业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
• 探
[解析] (1)法一：由 ab＝a＋b＋3，得 b＝aa＋ －31.
标
• 固
新
双
知
由 b>0，得aa＋ －31>0.∵a>0，∴a>1.
课
探
∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．
究
•
攻
时 分 层 作
重
业
难
返 首 页
自
(2)因为点 M(a，b)在直线 x＋y＝1 上，所以 a＋b＝1，因为 a2＋b2≥a＋2b2 当
主
堂
预 习
＝12，
达 标
•
•
探
固
新 知
当且仅当 a＝b＝12时等号成立，
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若 a、b∈R＋，且 ab＝P，P 为定值，则 a b 2 P ，
等号当且仅当 a＝b 时成立。
例 5、
（1）若 x 0 ，则 4x 9 的最小值是
；
x
（2） 若 x 1，则 4x 9 的最小值是
；
x 1
（3）若 x 1 ，则 2x2 9x 10 的最小值 x 1
是
。
例 6、已知 a 0,b 0, c 0，
我们把 a b 和 ab 分别叫做正数 a、b 的算术平均数和几何平 2
均数.
几何解释:
A
B
C
DE
3、例题
例 1、（1）设 a,b, c R ，求证：
a2 b2 c2 ab ac bc ； （2）已知 x, y R ，求证：
(x y)(x2 y2 )(x3 y3 ) 8x3 y3 .
例 2、（1）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（2）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（3）试比较 y x 与 2 的大小。 xy
例 3、已知 x 0, y 0 ，求证： x2 y2 x y 。 yx
4、练习 1、用不等号填空：
若 x 0 ，则 x 1 2 ，若 x 0 ，则 x 1 2 。
2、新课 基本不等式 1：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
变形：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
如果 a,bR,那么a2 b2 2 ab ,当且仅当 a b 时等号成立 .
基本不等式 2：
如果 a,b R ,那么 a b ab,当且仅当a b时等号成立 . 2
1
2 1
ab a b 2
a2 b2
2，
ab
当且仅当 a=b 时取等号。
8、例题 例 8、最大容积问题：有一块边长为 1 米的正方形硬纸板，在 它的四个角各剪去一个小正方形后，再折成一个无盖的盒子。 如果要使制成的盒子的容积最大，那么剪去的小正方形的边长 应为多少米？
9、推广②
若 a 0,b 0, c 0，则 a b c 3 abc 。 3
0 )的最小值；
（3）求 y x2 (2 3x)(0 x 2) 的最大值； 3
（4）设 a b 0，求 y 2a 1 的最小值。
b(a b)
习题
1、设 a, b, c R ，求证：
a b c ab bc ca 。 2、已知 a, b, c R ，求证：
bca cab abc 3。
（3）设 x，y 均为正实数，且2＋1 x＋2＋1 y＝13，
则 xy 的最小值为________； （4）若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值
是_________；
（5）设 0＜m＜12，若m1 ＋1－22m≥k 恒成立，则 k 的最大值
为______。
7、推广①
若 a 0,b 0 ，则
（2）若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值是_________；
（3）设 0＜m＜12，若m1 ＋1－22m≥k 恒成立，则 k
的最大值为______。
6、（1）若 0 x 2 ,则 x2 (2 3x) 3
（1）若 a 2b 1 ，则 ab 的最大值是 ； （2）若 ab 1 a b ，则 a b 的最小值是
；
（3）若 a 2 b2 1 ，则 a 1 b2 的最大值
2
是
。
例 7、已知 a 0,b 0, c 0，
(1)若 a b ，则 a2 1 2 的最小值是 a(a b) ab
a
b
c
3、设 a, b, c R ，求证：
abc (a b c)(b c a)(c a b) 。
4、已知 a 0,b 0, c 0，
(1)若 1 9 1，则 a b 的最小值是
；
ab
(2)若 a >b >c，且 1 1 n , 则 n ab bc ac
的最大值是
。
5、（1）设 x，y 均为正实数，且2＋1 x＋2＋1 y＝13， 则 xy 的最小值为________；
；
(2)若 a2 2ab 2ac 4bc 12 ，
则 a b c 的最小值是
；
(3)若 1 9 1，则 a b 的最小值是
；
ab
(4)若 a >b >c，且 1 1 n , 则 n 的最 ab bc ac
大值是
。
6、练习
（1） x
8 的最小值是_________； x 1
（2）若 0 x 4 ，y则 x(4 3x) 的最大值是_________； 3
第2章 不等式
2.4 基本不等式及其应用
1、引入 在客观世界中，有些不等关系是永远成立的.例如,
在周长相等时,圆的面积比正方形的面积大,正方形的面 积又比非正方形的任意矩形的面积大.
在实数集中,任意一个数的平方都是非负的:若
a R ,则 a2 0 .由此,可以得到几个基本且重要的恒
成立不等式.
abc (a b c)(b c a)(c a b) 。
5、例题 例 4、求证：在周长相等的矩形中，
正方形面积最大。
最值定理： 1、两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即
若 a、b∈R＋，且 a＋b＝M，M 为定值，பைடு நூலகம் ab M 2 ， 4
等号当且仅当 a＝b 时成立； 2、两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即
x
x
2、设 a,b,c R ，求证：
a4 b4 c4 abc(a b c) 。
3、设 a, b, c R ，求证： a b c ab bc ca 。
4、已知 a, b, c R ，求证：
bca cab abc 3。
a
b
c
5、已知 a, b, c R ，求证：
111 9 。 a b c abc 6、设 a, b, c R ，求证：
当且仅当 a b c 时取等号。
10、例题
例 9、已知 a, b, c R ，求证：
（1）
a b
b c
c b a a
c b
a c
9
；
（2） a b c 3 。 bc ca ab 2
例 10、（1）求 y x2 2 (x 0) 的最小值； x
（2）求
y
6x
2 3x 2
(
x
等号当且仅当 a＝b 时成立。
例 5、
（1）若 x 0 ，则 4x 9 的最小值是
；
x
（2） 若 x 1，则 4x 9 的最小值是
；
x 1
（3）若 x 1 ，则 2x2 9x 10 的最小值 x 1
是
。
例 6、已知 a 0,b 0, c 0，
我们把 a b 和 ab 分别叫做正数 a、b 的算术平均数和几何平 2
均数.
几何解释:
A
B
C
DE
3、例题
例 1、（1）设 a,b, c R ，求证：
a2 b2 c2 ab ac bc ； （2）已知 x, y R ，求证：
(x y)(x2 y2 )(x3 y3 ) 8x3 y3 .
例 2、（1）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（2）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（3）试比较 y x 与 2 的大小。 xy
例 3、已知 x 0, y 0 ，求证： x2 y2 x y 。 yx
4、练习 1、用不等号填空：
若 x 0 ，则 x 1 2 ，若 x 0 ，则 x 1 2 。
2、新课 基本不等式 1：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
变形：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
如果 a,bR,那么a2 b2 2 ab ,当且仅当 a b 时等号成立 .
基本不等式 2：
如果 a,b R ,那么 a b ab,当且仅当a b时等号成立 . 2
1
2 1
ab a b 2
a2 b2
2，
ab
当且仅当 a=b 时取等号。
8、例题 例 8、最大容积问题：有一块边长为 1 米的正方形硬纸板，在 它的四个角各剪去一个小正方形后，再折成一个无盖的盒子。 如果要使制成的盒子的容积最大，那么剪去的小正方形的边长 应为多少米？
9、推广②
若 a 0,b 0, c 0，则 a b c 3 abc 。 3
0 )的最小值；
（3）求 y x2 (2 3x)(0 x 2) 的最大值； 3
（4）设 a b 0，求 y 2a 1 的最小值。
b(a b)
习题
1、设 a, b, c R ，求证：
a b c ab bc ca 。 2、已知 a, b, c R ，求证：
bca cab abc 3。
（3）设 x，y 均为正实数，且2＋1 x＋2＋1 y＝13，
则 xy 的最小值为________； （4）若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值
是_________；
（5）设 0＜m＜12，若m1 ＋1－22m≥k 恒成立，则 k 的最大值
为______。
7、推广①
若 a 0,b 0 ，则
（2）若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值是_________；
（3）设 0＜m＜12，若m1 ＋1－22m≥k 恒成立，则 k
的最大值为______。
6、（1）若 0 x 2 ,则 x2 (2 3x) 3
（1）若 a 2b 1 ，则 ab 的最大值是 ； （2）若 ab 1 a b ，则 a b 的最小值是
；
（3）若 a 2 b2 1 ，则 a 1 b2 的最大值
2
是
。
例 7、已知 a 0,b 0, c 0，
(1)若 a b ，则 a2 1 2 的最小值是 a(a b) ab
a
b
c
3、设 a, b, c R ，求证：
abc (a b c)(b c a)(c a b) 。
4、已知 a 0,b 0, c 0，
(1)若 1 9 1，则 a b 的最小值是
；
ab
(2)若 a >b >c，且 1 1 n , 则 n ab bc ac
的最大值是
。
5、（1）设 x，y 均为正实数，且2＋1 x＋2＋1 y＝13， 则 xy 的最小值为________；
；
(2)若 a2 2ab 2ac 4bc 12 ，
则 a b c 的最小值是
；
(3)若 1 9 1，则 a b 的最小值是
；
ab
(4)若 a >b >c，且 1 1 n , 则 n 的最 ab bc ac
大值是
。
6、练习
（1） x
8 的最小值是_________； x 1
（2）若 0 x 4 ，y则 x(4 3x) 的最大值是_________； 3
第2章 不等式
2.4 基本不等式及其应用
1、引入 在客观世界中，有些不等关系是永远成立的.例如,
在周长相等时,圆的面积比正方形的面积大,正方形的面 积又比非正方形的任意矩形的面积大.
在实数集中,任意一个数的平方都是非负的:若
a R ,则 a2 0 .由此,可以得到几个基本且重要的恒
成立不等式.
abc (a b c)(b c a)(c a b) 。
5、例题 例 4、求证：在周长相等的矩形中，
正方形面积最大。
最值定理： 1、两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即
若 a、b∈R＋，且 a＋b＝M，M 为定值，பைடு நூலகம் ab M 2 ， 4
等号当且仅当 a＝b 时成立； 2、两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即
x
x
2、设 a,b,c R ，求证：
a4 b4 c4 abc(a b c) 。
3、设 a, b, c R ，求证： a b c ab bc ca 。
4、已知 a, b, c R ，求证：
bca cab abc 3。
a
b
c
5、已知 a, b, c R ，求证：
111 9 。 a b c abc 6、设 a, b, c R ，求证：
当且仅当 a b c 时取等号。
10、例题
例 9、已知 a, b, c R ，求证：
（1）
a b
b c
c b a a
c b
a c
9
；
（2） a b c 3 。 bc ca ab 2
例 10、（1）求 y x2 2 (x 0) 的最小值； x
（2）求
y
6x
2 3x 2
(
x