电路的拉格朗日动力学方程

电路的拉格朗日的动力学方程

拉格朗日方程

拉格朗日方程:对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程,是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。

从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。

拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。如果要想求约束力，可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。

通常，我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的运动。拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。

为了得到广义坐标表示的完整力学系的动力学方程拉格朗日方程，需要先导出达朗伯－拉格朗日方程。

一、达朗伯－拉格朗日方程

设受完整约束的力学体系有n 个质点，体系中每一个质点都服从如下形式的牛顿运动定律，设第i 个质点受主动力，受约束反力，则

n i R F r m i

i i i , ,2 ,1 , =+=n i R F r m i i i i , ,2 ,1 ,0 ==++-

称为达朗伯惯性力或称有效力

这个达朗伯惯性力与力学中定义过的惯性力不是一个概念，那里的惯性力是对某一非惯性系而言的，而上式中各质点的并不相等，所以这里并不存在一个统一的非惯性系。

以i r δ点乘上式后，再对i 取和，得

)(1

=⋅++-∑=i i i i i n i r R F r m

δ

理想约束条件下：

1

=⋅∑=i n i i r R

δ

则

)(1

=⋅+-∑=i i i i n i r F r m

δ

这是达朗伯原理与虚功原理的结合，称为达朗伯——拉格朗日方程，由于存在约

束，各 i r δ 并不彼此独立，因此不能令上式中 i r δ 前面的所有乘式都等于零，

否则就成为自由质点的运动微分方程了。

二、基本形式的拉格朗日方程

现在我们从达朗伯－拉格朗日方程出发，把各并不彼此独立的坐标i r 用各彼

此独立的广义坐标

),,2,1(s q =αα重新表述，

从而导出适用于受理想约束的完整

力学系所遵守的动力学方程—拉格朗日方程。

设n 个质点受k 个约束，因是完整约束，体系的自由度数

应为 s ＝3n －k 。以广义坐标 i r 表出

) , , , ,(21t q q q r r s i i

=

则

∑=∂∂=∂∂++∂∂+∂∂=s

i s s i i i i q q r q q r q q r q q r r 12211 αα

αδδδδδ

代入达朗伯－拉格朗日方程

0 )(11=∂∂⋅+-∑∑==s a i

i

i i n

i q q r F r m ααδ

0 )(11=∂∂⋅+-∑∑==s a i

i i i n

i q q r F r m ααδ

上式中的两个取和号互不相关，故可以互易，则

0 11

1

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-∑∑∑===ααααδq q

r F q r r m s

i n i i i i n i i

令

⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂⋅=∂∂⋅⋅=∑∑==（广义力） 11ααα

αq r F Q q r r m P i

n i i i

n

i i i

则

∑==+-s

q Q P 1

)(α

ααα

δ

因各 q 互相独立，所以P ＝Q ，改写

α

αq r r m P i n

i i

i 1∂∂⋅=∑= ∑∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=n

i i i i n i i i i q

r t r m q r r m t 11 d d d d αα

由

α

αααq r q r t q r q r i

i i i d d , ∂∂=

∂∂∂∂=∂∂

∑∑==⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛∂∂⋅-⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛∂∂⋅=

n

i i i i n

i i i i q r r m q r r m t

P 11 d d

ααα

⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂=

∑

∑

==21

1

221 21 d d i

i n

i n

i i

i r m q r m q t

αα令

∑

==

n

i i i r m T 1

2

2

1

显然T 是体系的动能，则有