电路的拉格朗日动力学方程

电路的拉格朗日的动力学方程拉格朗日方程拉格朗日方程:对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程,是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。

从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。

而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。

拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。

如果要想求约束力，可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。

通常，我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。

拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的运动。

拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。

为了得到广义坐标表示的完整力学系的动力学方程拉格朗日方程，需要先导出达朗伯－拉格朗日方程。

一、达朗伯－拉格朗日方程设受完整约束的力学体系有n 个质点，体系中每一个质点都服从如下形式的牛顿运动定律，设第i 个质点受主动力，受约束反力，则n i R F r m ii i i , ,2 ,1 , =+=n i R F r m i i i i , ,2 ,1 ,0 ==++-称为达朗伯惯性力或称有效力这个达朗伯惯性力与力学中定义过的惯性力不是一个概念，那里的惯性力是对某一非惯性系而言的，而上式中各质点的并不相等，所以这里并不存在一个统一的非惯性系。

以i r δ点乘上式后，再对i 取和，得)(1=⋅++-∑=i i i i i n i r R F r mδ理想约束条件下：1=⋅∑=i n i i r Rδ则)(1=⋅+-∑=i i i i n i r F r mδ这是达朗伯原理与虚功原理的结合，称为达朗伯——拉格朗日方程，由于存在约束，各 i r δ 并不彼此独立，因此不能令上式中 i r δ 前面的所有乘式都等于零，否则就成为自由质点的运动微分方程了。

二、基本形式的拉格朗日方程现在我们从达朗伯－拉格朗日方程出发，把各并不彼此独立的坐标i r 用各彼此独立的广义坐标),,2,1(s q =αα重新表述，从而导出适用于受理想约束的完整力学系所遵守的动力学方程—拉格朗日方程。

设n 个质点受k 个约束，因是完整约束，体系的自由度数应为 s ＝3n －k 。

以广义坐标 i r 表出) , , , ,(21t q q q r r s i i=则∑=∂∂=∂∂++∂∂+∂∂=si s s i i i i q q r q q r q q r q q r r 12211 αααδδδδδ代入达朗伯－拉格朗日方程0 )(11=∂∂⋅+-∑∑==s a iii i ni q q r F r m ααδ0 )(11=∂∂⋅+-∑∑==s a ii i i ni q q r F r m ααδ上式中的两个取和号互不相关，故可以互易，则0 111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-∑∑∑===ααααδq qr F q r r m si n i i i i n i i令⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂⋅=∂∂⋅⋅=∑∑==（广义力） 11ααααq r F Q q r r m P in i i ini i i则∑==+-sq Q P 1)(ααααδ因各 q 互相独立，所以P ＝Q ，改写ααq r r m P i ni ii 1∂∂⋅=∑= ∑∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=ni i i i n i i i i qr t r m q r r m t 11 d d d d αα由ααααq r q r t q r q r ii i i d d , ∂∂=∂∂∂∂=∂∂∑∑==⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋅=ni i i i ni i i i q r r m q r r m tP 11 d dααα⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∑∑==211221 21 d d ii ni ni ii r m q r m q tαα令∑==ni i i r m T 1221显然T 是体系的动能，则有αααq Tq T t P d d ∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=即这就是著名的拉格朗日方程，也称基本形式的拉格朗日方程（或称第二类拉格朗日方程）。

其中广义坐标 q ＝q (t)，所以上式是以 t 为自变量的广义坐标 q 的s 个二阶常微分方程组。

只要我们能写出以为变量时体系的动能T 和广义力Q1，Q2，…，Qs ，就可以代入上式，从而得到体系的动力学方程组，再求解，就可得到体系的运动方程。

三、广义动量与广义力的计算对于单个质点来说，动能对某速度分量的导数是对应的动量分量x z y x x x m m T υυυυυυ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∂∂=∂∂)(21222与此类比，可以定义广义动量 p 为ααp q T=∂∂广义动量可以是线动量，也可以是角动量等等，视广义坐标的选择而定。

而广义力：ααq r F Q ini i 1∂∂⋅=∑=广义力可以是力，也可以是力矩等，视广义坐标的选择而定。

计算广义力的方法可以有两种：一种方法是从上定义式直接计算，另一种方法是从主动力所作的虚功来计算。

1、从主动力所作的虚功来计算∑=⋅=n i i i r F W 1δδαααδq q r F s i n i i 11∑∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅= ∑==s q Q 1 αααδ110 11 ) (32q Q r F W s q q q n i i i δδδδδδ=⋅======∑) (1111132q r F q W Q s q q q ni i i δδδδδδδ=====∑⋅==求任一广义力Q 时) ( ,210 1ααββδαααδδδδβq r F q W Q s q n i i i ≠===∑⋅==，，，，2、从定义式直接计算ααq r F Q ini i 1∂∂⋅=∑=四、保守力学系的拉格朗日方程实际上，在很多情况下我们仅遇见保守力学系。

对于保守力学系，存在势能：),,,,,,,,,(222111n n n z y x z y x z y x V V =则对任一个质点有VF i i -∇=kz j y i x ii i i∂∂+∂∂+∂∂=∇分量式为ni z VF y V F x V F iiz i iy i ix , ,2 ,1 , , , =∂∂-=∂∂-=∂∂-=现在把广义力与势能函数连系起来ααq r F Q i ni i 1∂∂⋅=∑= ∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=ni iiz i iy i ix q z F q y F q x F 1 ααα∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-=ni ii i i i i q z z V q y y V q x x V 1 αααsq V , ,2 ,1 =∂∂-=αα代入基本形式的拉格朗日方程，则sq V q T q T t, ,2 ,1 ,d d =∂∂-=∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂αααα一般势能函数不显含时间和速度变量，即V ＝V （x 1，y 1，z 1，…，x n ，y n ，z n ＝V （q 1，q 2，…，q s ） 则令 L ＝T －V ，则L ＝T －V 叫拉格朗日函数。

一般 L 是广义坐标，广义速度和时间的函数。

即);,,,;,,,(2121t q q q q q q L L s s =简记为) , ,(t q q L L αα =这就是受理想约束的完整系在保守力作用下的拉格朗日方程。

因为用得较多，就直接称它为拉格朗日方程。

当取广义坐标和广义速度为独立变量时，只要知道了 L ，就可以求出 q 所满足的动力学方程，从而可求出体系的全部力学性质。

因此，我们说：取广义坐标和广义速度为变量时，拉格朗日函数L 是力学体=∂∂αqV αααq Tq V T q L ∂∂=∂-∂=∂∂)(ααααq Vq T q V T q L ∂∂-∂∂=∂-∂=∂∂)(系的一个特性函数。