反比例函数教学案例

反比例函数

如东县长沙初中 蔡爱华

一、教学目标

1．创设问题情境，引导学生与正比例函数定义对比，自主建构反比例函数的概念，会用待定系数法求反比例函数解析式；

2．引导学生自主探究，通过观察、分析、归纳，根据反比例函数的图像，探究其性质； 3．体验反比例函数是刻画现实世界中变化规律的一个数学模型。 二、教学重点难点

1．重点：画反比例函数图象，理解反比例函数性质。 2．难点：理解反比例函数性质，并能灵活应用。 三、教学过程

（一）由正比例函数入手，创设情境，通过对比，自主构建反比例函数的定义。

1、给出实例：一辆以60km/h 匀速行驶的汽车，它行驶的距离s km 随时间t h 的变化而变化的关系式。

回顾正比例函数的定义，凸显正比例函数中的两上变量之间的对应规律：一个变量是另一个变量的k 倍（k ≠0）。即两个变量的商是一个常数。

2、教师给出用反比例函数刻画现实世界变化规律的实例：

（1）从到长沙到掘港约20km ，某汽车的行驶时间t h 随平均速度v km./h 的变化而变化。 （2）长沙初中的操场面积约50002

m ，操场长y m 随宽x m 的变化而变化。

（3）长沙初中图书室藏书24100册，生均拥有图书量W 册/人随着全校学生数n 人的变化而变化。

如果把上面的三个函数关系式中自变量都用x 表示，函数用y 表示，常数用k 表示，那这三个函数关系都可以写成什么形式？ xy=k （k ≠0），或x

k

y =

（k ≠0） 通过与正比例函数的对比，揭示反比例函数中的两个变量之间的对应规律：两个变量的积是一个常数，自主建构反比例函数的定义，在比较中加深对概念的理解。

设计意图：营造学生熟悉的情境，让学生充分运用自己对已有“正比例函数”的定义的理解，通过对比，自主建构“反比例函数”的定义，学生的抽象思维得到发展，这样不仅提高了学习的效率，而且激发了学生自主学习的热情和兴趣，再加上教师适时的引导，使得学生将新知同化到原有的知识结构中，学习了如何对新的情况、新的问题进行正确的调整，进一步提高自己的自主学习能力。

3、练习（深化对反比例函数定义的认识）：

说说下列函数中哪些是反比例函数，并指出相应的k 的值。 （1）x y 4=； （2）x y 1000-=； （3）2-=x

y

； （4）x

y 31=

； （5）2-=xy ； （6）1

3-=x y 。 4、让学生列举现实生活中用反比例函数刻画变量之间对应关系的例子，体验反比例函数是刻画现实世界中变化规律的一个数学模型。

设计意图：从更高的层次，更新的角度进一步掌握、理解“反比例函数的定义”，进而提高学生数学思维能力、反思能力，提升自我学习的经验和学习能力。

（二）在学生动手操作，画出多个反比例函数的图像的基础上，引导学生由图像特征抽

象概括反比例函数的性质。

我们知道正比例函数的图像是一条直线，那反比例函数图像是什么样子呢？你还记得怎样画函数的图像吗？（列表、描点、连线）

1、 尝试画出函数x

y 6

=

；x y 6-=的函数图像

2、 教师运用多媒体演示作图过程。

x

…

-6 -5

-4

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … x y 6

=

… -1 -1.2 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5

1.2

1 … x y 6

-= …

1

1.2

1.5

3

2

1

-1

-2

-3

-1.2 -1.5

-6

…

讨论：根据表格能否猜想图像的特征？ 描点、连线并验证猜想。

3、 独门画反比例函数x

y 4

=

和x y 4-=的函数图像

4、 师生共同概括反比例函数的图像：反比例函数是双曲线，双曲线的两个支点关于原

点对称。当

k ＞0时，双曲线的两支分别位于一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右逐渐下降；当k ＜0时，双曲线的两支分别位于二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右逐渐上升。

5、 由双曲线)0(≠=

k x

k

y 的特征概括其性质：

当k ＞0时

当k ＜0时

曲线的两支分别位于一、三象限 双曲线的两支分别位于二、四象限 在每个象限内y 随x 的增大而减小

在每个象限内y 随x 的增大而增大

学生经历了“亲手操作”“亲自体会”“积极参与”“与人合作”“深刻体会”的过程，因而学生获得的不只是知识、技能、策略、方式方法，而且体验了数学活动所充满的探索与创造的活力，获得成功的喜悦，激励了自主探究、交流、合作学习的积极主动性，发展了学生的学习能力。

（三）练议：师生互动，深化对新知识的理解和应用，提高学习能力。 1、引导学生探究确定反比例函数的解析式的条件，并自己编题、解题。

（1）研究：确定反比例函数的解析式必须已知一个独立条件。如：已知变量与函数的一组对应值，或者反比例函数的图像上一个点的坐标，就能确定反比例函数的解析式。

（2）学生编题、解题

（3）教师视学生编题情况适当调整和补充。

2、通过练习深化对反比例函数图像和性质的理解，初步感受应用价值：

（1）函数x

y 5

=

的图像在第______象限，在每个象限内，y 随x 的增大而______。 （2）双曲线x y 31

-=经过点（－3，______）。

（3）函数x m y 2

-=在二、四象限，则m 的取值范围是__________。

（4）对于函数x

y 32

-=，当x ＜0时，y 随x 的__________而增大，这部分函数图像在第______

象限。

设计意图：练习是检验学生学习效果的一个有效手段，能深化学生对新知识的理解和应用，体会学习的乐趣。学生在自编习题的过程中，争先交流，不仅能表现出自己的成就感，而且培养了学生强烈了竞争意识。让学生对今天研究的课题更加感兴趣，学生的积极性能得到更好地延续和发展，真正体会到自己是学习的主体。

（四）师生共同小结，交流体会，总结归纳研究反比例函数的数学思想和研究方法。 设计意图：引导学生学会归纳本课的知识要点和思想方法，把已学的数学知识、思维方法和研究方法条理化、系统化，并达到熟练、灵活运用的程度。

（五）布置作业

１、阅读课本１７.１反比例函数 ２、完成Ｐ５３习题１、２、３ 四、实践反思

本节课学生不仅学会了反比例函数的定义、图像和性质这些知识，体会到数形结合的思想，而且能运用这些分析和解决问题。

正比例函数和反比例函数都是函数和两种重要类型，是相近的两个概念，而且正比例函数和反比例函数的性质运用广泛，所以采用在比较中认识两个概念，从正比例函数研究的内容、方法、类比迁移到反比例函数，这是正迁移。这种迁移能让学生逐步掌握研究函数的一般方法，这对学生的后续学习是很有帮助的。但是在研究反比例函数时，正比例函数的形式对反比例函数的图像又造成了负迁移。本人通过“同化”和“调整”等手段，采用对比、类比、化归、实验等方法进行内化，体现了“生本课堂”所倡导的让学生从“会学”达到“学会”。

让学生编题、解题、小组内交流的目的不只是巩固和应用知识，更是为了使学生在探寻解题途径、应用知识解题的过程中获得方法和经验，以及探究的乐趣，并提高学习效益，学会评价，让学生对自己和同学的学习成果作出价值判断。具体的说就是在独立编题、解题和交流讨论的过程中，学生能及时获得反馈，从自己和同学对知识的理解、技能掌握的程度、应用能力、思维品质的形成和学习兴趣、方法、态度、习惯等方面进行恰当和评判，并能据以自觉相应地调整自己的学习。