多元函数微分学课件

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《数学分析》第十七章多元函数微分学

06 曲线积分与曲面积分在多元函数中的应用
曲线积分计算及其在电磁学中的应用
曲线积分的定义与计算方法
包括第一类曲线积分和第二类曲线积分的概念、性质及计算方法。
曲线积分在电磁学中的应用
通过曲线积分可以计算电场强度、磁场强度等物理量，进而研究电磁场的分布和变化规律。
曲面积分计算及其在流体力学中的应用
如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有定义，且$lim_{(x,y) to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则称函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$连续。
如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$ 不连续，则称$P_0(x_0,y_0)$为函数 $f(x,y)$的间断点。
全微分概念与计算
全微分的定义
全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，表示函数在某一点附近的变化量可以近似地用一个线性函数来表示。
全微分的计算
全微分可以通过偏导数来计算，具体为将函数的增量表示为各自变量增量的线性组合，系数即为偏导数。
全微分的几何意义
全微分表示函数在某一点附近的变化量，可以用来近似计算函数值的增量。
多元反函数微分法
多元反函数存在定理
若函数$f: D subseteq mathbb{R}^n to mathbb{R}^n$在点$x_0$处可逆，即存在反函数$f^{-1}$，则$f^{1}$在点$f(x_0)$处也可微。
多元反函数微分法
设$y = f(x)$在点$x_0$处可微，且$f'(x_0)$可逆，则反函数$x = f^{-1}(y)$在点$y_0 = f(x_0)$处也可微，且其导数为$[f^{-1}]'(y_0) = [f'(x_0)]^{-1}$。

高数课件21多元函数微分学

设两点为 P( x1, x2,, xn ), Q( y1, y2,, yn ),
| PQ | ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
特殊地当 n 1, 2, 3时，便为数轴、平面、空间
两点间的距离．
n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U (P0 , ) P | PP0 | , P Rn
1
2
重点
多元函数基本概念，偏导数，全微分，复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何应用，多元函数极值。
难点
复合函数求导，多元函数极值。
函数的微分法从一元函数发展到二元函数本质
上要出现一些新东西，但从二元函数到二元以上
函数则可以类推，
因此这里基
本上只讨论二元函数。
一、多元函数的概念
设P0 ( x0 , y0 )是xoy 平面上的一个点，是某一正数，与点P0 ( x0 , y0 )距离小于的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的邻域，记为U ( P0 , ) ，
4、 x2 1 y ；
x
1 y
5、 ( x, y) 0 x2 y2 1, y2 4x ；
6、 ( x, y) x 0, y 0, x 2 y ；
7、( x, y) x 0, x y x
( x, y) x 0, x y x；
8、 ( x, y) y 2 2x 0 .
3 x2 y2 1 2 x2 y2 4
x y2 0
x
y2
f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) x y2
例1 求解所求定义域为
的定义域．
设函数z f ( x, y)的定义域为D ，对于任意取定的P( x, y) D，对应的函数值为 z f ( x, y)，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐标、z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x, y, z)，当x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称

专升本(高数—)第五章多元函数微积分学PPT课件

第七节二重积分的应用
*
2
考试点津：
• 本讲出题在18分—26分之间，本讲内容是一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、填空题、解答题中出现。
• 本讲重点：
（1）二元函数的偏导数和全微分。
（2）二元函数的有关极值问题及应用。（3）会计算二重积分
• 建议重点复习前几年考过的试题，把握考试重心和知识点，重在模仿解题。
成人高考高数一辅导
•
College of Agriculture & Biological Engineering
*
1
第五章多元函数微积分学 (11年考了22分）
第一节多元函数、极限和连续第二节偏导数与全微分第三节二元函数的极值第四节二重积分的概念和性质第五节直角坐标系下二重积分的计算第六节极坐标系下二重积分的计算
可以证明，一元函数关于极限的运算法则仍适用于多元函数，即多元连续函数的和、差、积为连续函数，在分母不为零处，连续函数的商也是连续函数，多元函数的复合函数也是连续函数 .由此还可得出如下结论：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.
（4）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．
（5）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的
函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．分
（一）偏导数
1. 偏导数的定义
定义设函数 z f (x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有定义，当 y固定在 y0，而 x在 x0处有增量x时，相应地函数有增量 f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )，如果极限

多元函数微分学

同样，同样，当固定 v = v0 或固定 u = u0 , 可分别得曲线：到一条 u曲线：r = r (u, v0 ) , 一条 v曲线：曲线：
r = r (u0 , v) , 所有这样的 u曲线和 v曲线构
上的参数曲线网参数曲线网，成曲面 S 上的参数曲线网，而影射 r 将
uov 平面上的区域 D 变成 R 3 中的曲面 S.
z
= R sin ϕ sin θ
ϕ
o
P( x, y, z)
z = OP cos ϕ
= R cos ϕ
R
ϕ R y
R
y
x
x
θ
M
( x , y, 0)
的球面参数方程：于是得半径为 R 的球面参数方程：
r = r (ϕ ,θ ) = { R sin ϕ cosθ , R sinϕ sinθ , R cosϕ }
= rv′ ( u0 , v ) v0
19
曲面S 在点P (u0 , v0 )处的v曲线的切向量 0
r
v0
N
u = u0
P0 = r (u0 , v0 )
S
v = v0
o
20
满足
ru′ × rv′
P0
P0
( u0 , v 0 )
≠ 0,
′ 这说明 ru × rv′
n
P0
是个确定了方向的向量,且是个确定了方向的向量且
曲线：得球面的 ϕ曲线：一族以球心为圆心的大的交线(经线经线)。圆——是球面与射面θ = θ 0 的交线经线。是球面与射面正螺面的参数方程。例4 正螺面的参数方程。或
x = u ⋅ cos( 0 .3 v ) y = u ⋅ sin( 0 .3 v ) z = 4v

17-3——华东师范大学数学分析课件PPT

数学分析第十七章多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
数学分析第十七章多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
解易见 f 在点 P0 可微. 故由
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
z P• P0 •
l
O
x y
y
由假设 f 在点 P0 可微，则有
x
图17 – 5
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
fz (P0 ) z o ( ). 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
数学分析第十七章多元函数微分学

数学分析第十七章多元函数微分学

第17章多元函数微分学
§1 可微性
一、可微性与全微分
f(x)在点 x0可微 : f(x0x)f(x0)Axo(x)
其中 Af(x0).
定义1. 设函数z f (x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域U(P0)
内有定义, 对于U(P0)中点P(x, y) (x0 x, y0 y),
若函数f在点P0处的全增量 z可表示为:
若(x,y)属于该邻,则域存在 x0 1(x-x0)和y0 2(yy0),01,2 1,使得
f(x,y) f (x0,y0) fx(,y)(xx0) fy(x0,)(yy0).(12
偏导数连续
可微连续
偏导数存在
练 :考习 f(x察 ), y x y e x的 y 可 ,求 (微 2 1 在 )的 , 性全 .
y)
x2 y2,
0,
在原点的可微.性
x2 y2 0, x2 y2 0
这个例子 :函说数明即使在一存点 ,在也偏不导一在该点(但可一微元函数在与一导点数可存).微在
编辑ppt
7
课堂练习: P116, 1(8), 4, 9(2).
作业:
P116, 1(3)(6)(9), 5, 8(1), 9(1).
z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0)
AxByo(),
(1)
其中A,B是仅与点P0有关的常数 , x2 y2, o()
是较高阶的无穷小,量则称函数在P点0可微. 并称(1)式
编辑ppt
1
中关 x,y 于的线A 性 xB 函 y为数函 f在数 P 0 点的全微 ,记分作
f (x, y0)在x0的某邻域内有定 ,则义当极限

高数二多元函数微分学课件

条件极值与无约束极值
条件极值
在给定附加条件下的极值问题，需要将条件转化为约束，然后求解无约束极值问题。
无约束极值
在没有任何限制条件下的极值问题，通常通过求导数并令其为零来找到可能的极值点，再通过充分条件判断是否为真正的极值点。
解释
在实际问题中，常常会遇到附加条件的约束，如边界条件或特定条件。条件极值问题需要将这些约束转化为数学表达形式，并求解对应的无约束极值问题。无约束极值问题则更常见于未加任何限制的函数最优化问题。
答案解析
习题3答案解析
首先，根据全微分的定义，有$dz=u'dx+v'dy$。然后，将函数$z=x^2+y^2$代入全微分的定义中，得到$dz=(2x)dx+(2y)dy=2xdx+2ydy$。最后，将点$(1,1)$代入全微分中，得到全微分为 $dz=(2cdot1)dx+(2cdot1)dy=2dx+2dy$。
答案解析
习题2答案解析
首先，根据题目给出的条件，有 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)}{x^2+y^2}=0$。然后，利用极限的运算法则，得到 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+y^2}=lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(0,0)}{x^2+y^2}=-f_{xx}(0,0)f_{yy}(0,0)$。最后，根据可微的定义，如果上述极限存在且等于$f_{xx}(0,0)+f_{yy}(0,0)$，则函数$f(x,y)$ 在点$(0,0)$处可微。
偏导数与全微分的应用在几何上，偏导数可以用来描述曲面在某一点的切线方向，全微分可以用来计算函数在某一点的近似值。Fra bibliotek高阶偏导数

第八章多元函数的微分学

y y0 y y0
二元函数偏导数的定义可以类推到三元或三元以上的函数. 如果函数 z f ( x, y ) 在区域 D 内每一点处，对 x 的偏导数都存在，那么在 D 内定义了一个函数，称为 z f ( x, y ) 的偏导函数，记作 z f 或或 z x ( x, y ) 或 f x ( x, y ) x x 类似地，函数 z f ( x, y ) 对 y 的偏导函数,记作 z f 或或 z y ( x, y ) 或 f y ( x, y ) . y y 偏导函数简称为偏导数.
x x0 y y0
上面定义的二元函数的极限又称二重极限,二重极限是一元函数极限的推广,有关一元函数的运算法则和定理均可类推到二重极限.
例 4 求极限 lim
x2 y 2 1 x2 y 2 1
x x0 y y0
解显然，当 x 0, y 0 时, x 2 y 2 0 ,根据极限的加法法则及有关复合函数的极限定理,有 lim 1 x 2 y 2 lim1 lim( x 2 y 2 ) 1 0 1,
x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 y 0
所以
lim
x0 y 0
x2 y 2 1 x2 y 2 1 ( x 2 y 2 )( 1 x 2 y 2 1) ( 1 x 2 y 2 1)( 1 x 2 y 2 1)
lim
x0 y 0
例 6 求极限 lim
x0 y 1
ex y2 1 x2 Leabharlann 2 ex y21 x y
2 2
解函数 f ( x, y ) 续的，所以
在点(0,1)处有定义,是连
1 x2 y 2 1 02 12 在有界区域上连续的二元函数有以下性质:

多元函数微分学

d
面,点P为切点.
定理3 曲面z f (x, y)在点P(x0, y0, f (x0, y0))存在不平行于z轴的切平面的充要条件是函数 f 在点 P0(x0, y0)可微. 定理3说明若函数 f 在(x0, y0)可微, 则曲面z f (x, y) 在点P(x0, y0, z0)处的切平面方程为 z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ). 过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点P的法线. 由切平面方程知道, 法线的方向数是
1
z f ( x, y )
S
S1
R2
P1
1
1
y y0 曲线P0 N z f ( x, y) x x0 曲线P0 R z f ( x, y)
P1 S1 P1 R2 R2 S1 z P1 R2 Q1 R1 dy y M 0
0
M ( x0 dx, y0 dy)
f x
x
tan
M0
偏导与连续的关系.
例讨论函数
x 2 y 2 , xy 0 f ( x, y) , xy 0 1,
在(0,0)点的偏导数及连续性.
二、可微性与全微分
定义设函数 z = f (x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域U (P0) 内有定义, 对于U (P0)中的点P(x, y) (x0 x, y0 y), 若函数 f 在P0处的全增量z可表示为: z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0) Ax By o(), 其中A, B是仅与点P0有关的常数, (1)
d f |(x0, y0) fx(x0, y0)· fy(x0, y0)· dx dy.

高等数学二第一章多元函数微分学

则称 X0 为 E 的孤立点. 如图.
X0
显然, E的孤立点X0总是E的边界点, 但不是聚点.
邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开区域, 闭区域, 聚点，孤立点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似的几何意义. 它们还可推广到 4 维以上的空间中去, 但不再有几何意义.
内至少含有 E 中一个异于X0 的点. 则称 X0 为
E 的一个聚点. (自证). 2.E 的聚点 X0可能属于 E , 也可能不属于E . 3.E 的内点一定是 E 的聚点.
4.若 E 是开区域. 则 E 中每一点都是 E 的聚点.
若 E E E 为闭 .则 E 中区每域 E 的一.聚点
R2中的点X只可能有三种情形.
(1)X为E的内点. (3)X为E的外点.
(2)X为E的边界点.
4. 开集
设 E 是一平面点集, 若 E 中每一点都是 E 的内点. 即 E E0, 则称 E 是一个开集. 规定, , R2为开集. 由于总有 E0 E, 因此, E E0 E = E0 故也可说, 若E = E0 , 则称 E 是一个开集.
9.聚点
设 E 是平面点集, X0 是平面上一个点.
若X0的任一邻域内总有无限多个点属于E .
则称 X0 是E 的一个聚点. 从几何上看, 所谓 X0 是 E 的聚点是指
在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点.即, 在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点.
如图

X0
1.聚点定义也可叙述为: 若 X0 的任一邻域
称为闭区域.
如图.
易见,例2中的D是闭
区域. 从几何上看,闭区域
E

多元函数微分学讲座.

第八章多元函数微分学第一节基本概念、定理与公式一、二元函数的定义及定义域 1 二元函数的定义定义1 设x ，y ，z 是三个变量．如果当变量x ，y 在在一定范围D 内任意取定一对数值时，变量z 按照一定的法则f 总有确定的数值与它们对应，则称变量z 是变量x ，y 的二元函数，记为(,)zf x y =.其中x ，y 称为自变量，z 称为因变量.自变量x ，y 的取值范围D 称为函数的定义域.二元函数在点()00,x y 所取得的函数值记为00x x y y z==，(,)x y z 或00(,)f x y2 二元函数的定义域二元函数的定义域一般为平面区域上的点集．二元函数的定义域较复杂，它可以是一个点，也可能是一条曲线或几条曲线所围成的部分平面，甚至可能是整个平面．整个平面或由曲线围成的部分平面称为区域；围成区域的曲线称为该区域的边界；边界上的点称为边界点，边界内的点称为内点．不包括边界的区域称为开区域，连同边界在内的区域称为闭区域，部分包括边界的区域称为半开半闭区域．能用封闭曲线围成的区域称为有界区域，反之称为无界区域．开区域如: {}22(,)14x y x y <+<闭区域如:{}22(,)14x y xy ≤+≤注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关，，与用什么字母表示自变量与因变量无关．例1 求下列函数的定义域，并画出的图形．(1)ln z = （2）arcsin()zx y =+解（1）要使函数有意义，应有2210x y --> 即221x y +<，定义域为有界开区域{}22(,)1x y x y +< （2）要使函数有意义，应有1x y +≤，即11x y -≤+≤xx定义域为无界闭区域{}(,)11x y x y -≤+≤3 二元函数的几何意义设(,)P x y 是二元函数(,)z f x y =的定义域D 内的任一点,则相应的函数值为(,)z f x y =,有序数组x ，y ，z 确定了空间一点(,,)M x y z ,称点集{}(,,)(,),(,)x y z z f x y x y D =∈为二元函数的图形. 二元函数(,)zf x y =的图形通常是一张曲面.注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关，与用什么字母表示自变量与因变量无关.二、二元函数的极限与连续 1．二元函数的极限以点000(,)P x y 为中心，δ为半径的圆内所有点的集合{}2200(,)()()x y x x y y δ-+-<称为点0P 的δ邻域，记作0(,)U P δ．定义2 设二元函数(,)zf x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义（点0P 可以除外）,点(,)P x y 是该领域内异于0P 的任意一点．如果当点(,)P x y 沿任意路径趋于点000(,)P x y 时,函数(,)f x y 总无限趋于常数A ，那么称A 为函数(,)z f x y =当00(,)(,)x y x y →时的极限，记为0lim (,)x x y y f x y A →→= 或 00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=说明：（1）定义中0P P →的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数.（2）倘若沿两条不同的路径，0lim (,)x x y y f x y →→不相等，则可断定0lim (,)x x y y f x y →→不存在，这是证明多元函数极限不存在的有效方法．（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似，如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等.例2 求极限22200sin()lim x y x y x y →→+解 22200sin()lim x y x y x y →→+2222200sin()lim x y x y x y x y x y →→=+ 其中 22212x y x x y ≤+ 22200sin()lim 0x y x y x y →→∴=+ 例3 证明 36200lim x y x y x y →→+不存在．证明：设3y kx =，则36200lim x y x y x y →→+6626200lim 1x y kx k x k x k →→==++其值随k 的不同而变化，故极限不存在．确定极限不存在的方法：（1）令点(,)P x y 沿y kx =趋向于000(,)P x y ，若极限值与k 有关，则(,)f x y 在点000(,)P x y 处极限不存在;（2）找出两种不同趋近方式，使0lim (,)x xy y f x y →→存在，但两者不相等，则此时(,)f x y 在点000(,)P x y 处极限不存在;2．二元函数的连续性定义 3 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，如果000lim (,)(,)x xy y f x y f x y →→=,则称函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处连续.定义4 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，分别给自变量x ，y 在0x ，0y 处以增量x ∆，y ∆，得全增量0000(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-如果极限 00lim 0x y z ∆→∆→∆=则称(,)z f x y =在000(,)P x y 处连续．如果函数(,)z f x y =在区域D 内每一点都连续,则称函数(,)f x y 在区域D 内连续.如果函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 不连续，则称点000(,)P x y 是函数(,)f x y 的间断点. 例4 求23limx y x yxy→→+．解因为函数(,)x y f x y xy+=是初等函数,且点(2,3)在该函数的定义域内,故235lim (2,3)6x y x y f xy →→+==. 例5 讨论函数222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩的连续性．解当(,)(0,0)x y ≠时，(,)f x y 为初等函数,故函数在(,)(0,0)x y ≠点处连续.当(,)(0,0)x y =时，由例6知00lim (,)x y f x y →→=22lim x y xyx y →→+不存在,所以函数(,)f x y 在点(0,0)处不连续，即原点(0,0)是函数的间断点．3．有界闭区域上连续函数的性质性质1（最值定理）在有界闭区域上连续的二元函数，在该区域上一定有最大值和最小值．性质2（介值定理）在有界闭区域上连续的二元函数，必能取得介于函数的最大值与最小值之间的任何值．三、偏导数 1.偏导数的定义定义 5 设函数(,)z f x y =在000(,)P x y 的某邻域内有定义, 固定0y y =,在0x 处给自变量x 以增量x ∆,相应地得到函数z 关于x 的得增量(称为偏增量):0000(,)(,)x z f x x y f x y ∆=+∆-如果极限000000(,)(,)limlimx x x z f x x y f x y x x∆→∆→∆+∆-=∆∆ 存在, 则称此极限值为函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数,记为00x x y y zx==∂∂，00x x y y f x==∂∂，00x x xy y z =='或00(,)x f x y '.类似地,函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数定义为:00000(,)(,)limlimy y y z f x y y f x y yy∆→∆→∆+∆-=∆∆，记为 00x x y y zy==∂∂，00x x y y fy==∂∂，00x x yy y z =='或00(,)y f x y '.例6 求223z x xy y =++在点(1, 2)处的偏导数. 解把 y 看成常数,得23zx y x∂=+∂，则1221328x y z x ==∂=⨯+⨯=∂；把x 看成常数,得32z x y y ∂=+∂，则1231227x y z y==∂=⨯+⨯=∂.例7 求函数(,)arctan x f x y y=的偏导数．解:222111z y xy x y x y ∂==∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222211z x x xy x yx y ⎛⎫∂-=-= ⎪∂+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭例8设u =，证明2221u u u x y z ⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 证明：因为u xx u∂=∂，u y y u ∂=∂，u zz u∂=∂，所以2222222221u u u x y z u x y z u u ⎛⎫∂∂∂++⎛⎫⎛⎫++=== ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 例9 已知理想气体的状态方程(R 为常数).求证：1P V TV T P∂∂∂⋅⋅=∂∂∂ 证: 因为RT P V=,2P RT V V∂=-∂；RTV P=,V RT P∂=∂；PV T R=,T VP R∂=∂.所以P V T V T P ∂∂∂⋅⋅∂∂∂2RTV ⎛⎫=- ⎪⎝⎭R P ⋅1VRT RPV ⋅=-=-．注：偏导数的记号z x ∂∂,zy∂∂是一个整体,不能看成微商,否则导致运算错误．例10 求222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)处的偏导数. 解:220000(0,0)(0,0)()0(0,0)lim lim 0x x x x f x f x f x x∆→∆→∆⋅-+∆-∆+===∆∆ 220000(0,0)(0,0)()0(0,0)lim lim 0y y y y f y f y f y y∆→∆→∆⋅-+∆-∆+===∆∆. 注意: (1)二元函数在某点存在偏导数,并不能保证函数在该点连续,与一元函数可导必连续是不相同的．(2)在分界点处的偏导数，用偏导数定义求． (3)由偏导数的概念可知，(,)f x y 在点00(,)x y 处关于x 的偏导数00(,)x f x y '显然就是偏导数(,)x f x y '在点00(,)x y 处的函数值；00(,)y f x y '是偏导数(,)y f x y '在点00(,)x y 处的函数值．从偏导数的定义中可以看出，偏导数的实质就是把一个自变量固定，而将二元函数看作另一自变量的一元函数的导数．2.偏导数的几何意义：设00000(,,(,))P x y f x y 为曲面(,)z f x y =上的一点，过0P 作平面0y y =截此曲面(,)z f x y =得一曲线，其方程为0(,)z f x y =，则导数00(,)x f x y '就是曲线0(,)z f x y =在点00000(,,(,))P x y f x y 处的切线对x 轴的斜率（设切线与x 轴的倾斜角为α，则00(,)tan x f x y α'=）．同样，偏导数00(,)y f x y '是曲面(,)z f x y =与平面0x x =的交线在点00000(,,(,))P x y f x y 处的切线对y 轴的斜率（设切线与y 轴的倾斜角为β，则00(,)tan y f x y β'=）． 3、高阶偏导数函数(,)z f x y =的两个偏导数(,)x zf x y x∂'=∂，(,)y z f x y y ∂'=∂它们都是x ，y 的二元函数,如果这两个函数关于x ，y 的偏导数也存在, 即z x x ∂∂⎛⎫ ⎪∂∂⎝⎭，z y x ∂∂⎛⎫ ⎪∂∂⎝⎭，z x y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭，z y y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭，称它们为二元函数(,)z f x y =的的二阶偏导数．二元函数的二元偏导数最多有4个．将z x x ∂∂⎛⎫⎪∂∂⎝⎭表为22z x ∂∂或(,)xxf x y ''或xx z ''； z y x ∂∂⎛⎫⎪∂∂⎝⎭表为2z x y ∂∂∂或(,)xy f x y ''或xy z ''； z x y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭表为2z y x ∂∂∂或(,)yxf x y ''或yx z ''； z y y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭表为22z y ∂∂或(,)yyf x y ''或yy z ''．其中，2(,)xy xy z z f x y z y x x y ∂∂∂⎛⎫''''=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭，2(,)yx yx z zf x y z x y y x⎛⎫∂∂∂''''=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭是二阶混合偏导数类似地,二阶偏导数的偏导数，称为原来函数的三阶偏导数，二元函数(,)z f x y =的三阶偏导数最多有8个：xxxf '''，xxy f '''，xyx f '''，xyy f '''，yxx f '''，yxy f '''，yyx f '''，yyy f ''' 一般地，1n -阶偏导数的偏导数，称为原来函数的n 阶偏导数，二元函数(,)z f x y =的n 阶偏导数最多有2n 个．二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，而z x∂∂和z y∂∂称为函数的一阶偏导数．注：二阶偏导数的计算方法是逐次求偏导数．定理１（求偏导数次序无关的定理）如果函数(,)z f x y =的两个二阶混合偏导数2z x y∂∂∂，2z y x∂∂∂在区域D 内连续,则对任何(,)x y D ∈有2z x y ∂∂∂2zy x ∂=∂∂. 即二阶混合偏导数连续的条件下,混合偏导数与求导的次序无关,对更高阶的偏导数也有类似的结论．4.全导数的定义设(,)z f u v =，()u t ϕ=，()v t ψ=，且f、ϕ、ψ均可导，则关于t 的一元函数[(),()]z f t t ϕψ=也可导，且有dz f du f dvdt u dt v dt∂∂=+∂∂ z 对t 的导数叫全导数．四、全微分 1.定义设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域内有定义,给x ，y 在00(,)x y 分别以增量x ∆、y ∆，相应地得到函数的全增量z ∆，若其可表示为()z A x B y o ρ∆=∆+∆+其中A 、B 与x ∆、y ∆无关．ρ=()o ρ为0x ∆→，0y ∆→时ρ的高阶无穷小．则称函数(,)f x y 在000(,)P x y 处可微．A x B y ∆+∆称为(,)f x y 在000(,)P x y 处的全微分，记为00(,)(,)x y dz df x y A x B y ==∆+∆当(,)z f x y =在000(,)P x y 可微时，0000(,)x x x y y zA f x y x==∂'==∂,0000(,)y x x y y z B f x y y==∂'==∂，于是000(,)x y x x x x y y y y z z dz x y xy====∂∂=∆+∆∂∂注意：规定自变量的增量等于自变量的微分，即x dx ∆=，y dy ∆=，则全微分又可记为z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂. 五、二元函数的连续、偏导数及全微分之间的关系定理 2 若函数(,)z f x y =在点(,)P x y 处可微，则函数在点(,)P x y 连续．定理3 （可微的必要条件）如果函数(,)z f x y =在点(,)P x y 处可微，则在该点处的两个偏导数zx∂∂、z y∂∂必都存在，且z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂．定理4 （可微的充分条件）若函数(,)z f x y =的两个偏导数z x∂∂、z y ∂∂在点(,)P x y 的某领域存在，并且在点(,)P x y 处连续，则函数(,)z f x y =在点(,)P x y 处必可微．注：若(,)z f x y =在(,)P x y 处,z x∂∂、z y∂∂都存在,不能保证(,)z f x y =在(,)P x y 处可微分.例如：222222,0(,)0,0xyx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)处(0,0)0x f =，(0,0)0y f '=但它在点(0,0)处不可微分.注：（1）关于二元函数全微分的定义及可微分的充分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数.（2）函数(,)z f x y =的偏导数存在与否与函数是否连续毫无关系．六、多元复合函数微分定理(复合函数的偏导数)设函数(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=在点(,)x y 处有偏导数，函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 处有连续偏导数,，则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 处的偏导数存在,且z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂七、隐函数微分zu vxy1.一元隐函数求导公式方程 (,)0()F x y y y x =⇒=，(,())0F x y x ≡，链式图两边对x 求导，得：0F F dy x y dx∂∂+⋅=∂∂，则xy FFdy x F dx F y∂∂=-=-∂∂2.二元隐函数求导公式方程(,,)0(,)F x y z z z x y =⇒=得(,,(,))0F x y z x y ≡ 两边对x 求导：0F F z x z x∂∂∂+⋅=∂∂∂ 两边对y 求导：0F F z y z y∂∂∂+⋅=∂∂∂ 得x zF zx F ∂=-∂ y zFz yF ∂=-∂7.2 偏导数在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面空间曲线()()()x x t y y t z z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩，下面给出曲线Γ的切线的定义．定义：设点0000(,,)M x y z 是空间曲线Γ上的一个定点，M 是曲线Γ上的一个动点，当点M 沿着曲线Γ趋近于0M 时，割线0M M 的极限位置0M T （如果存在）称为曲线Γ在点0M 的切线，并称过点0M 而且垂直于切线0M T的平面为曲线Γ在点0M 的法平面．下面推导曲线Γ在点0M 的切线和法平面方程．Fxyx设对应于定点0M 的参数为0t ，令00()x x t =，00()y y t =，00()z z t =，则点0M 的坐标为000(,,)x y z ，设曲线Γ上对应于参数为0t t +∆的点M 的坐标为000(,,)x x y y z z +∆+∆+∆，根据解析几何知识，割线0M M 的方向向量为{,,}x y z ∆∆∆，也可取为{,,}x y zt t t∆∆∆∆∆∆，当0t ∆→时，点M 沿着曲线Γ趋于0M ，割线0M M 的极限位置就是曲线Γ在点0M 的切线，若()x t ，()y t ，()z t 在0t 处可导且导数不同时为零，那么此时切线的方向向量为000{(),(),()}x t y t z t '''，从而曲线Γ在点0000(,,)M x y z 处的切线方程为000000()()()x x y y z z x t y t z t ---=='''曲线Γ在点0M 的法平面方程为000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=二、曲面的切平面与法线设曲面方程为(,,)0F x y z =，过点0000(,,)M x y z 且完全在曲面上的曲线为Γ，其参数方程为()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此((),(),())0F x t y t z t =．对t 求导，在0t t =处（即在点0M 处）有000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x t F x y z y t F x y z z t ''''''++=向量000{(),(),()}x t y t z t '''是曲线Γ在点0M 的切线的方向向量，向量000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z '''和这些切线垂直，又由于所取曲线Γ的任意性，可知曲面上任意一条过0M 的曲线，它在点0M 的切线皆垂直于向量000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z '''，因此这些切线应位于同一平面上，这个平面称为曲面在点0M 处的切平面，向量000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z '''是切平面的法向量．曲面在点0M 处的切平面方程为000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z '''-+-+-=曲面在点0M 处的法线方程为000000000000(,,)(,,)(,,)x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---=='''． 7.3 二元函数的极值一、二元函数的极值定义1：设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某个邻域内有定义，若该邻域内00(,)(,)f x y f x y ≤，点00(,)x y 为极大点，00(,)f x y 为极大值；00(,)(,)f x y f x y ≥，点00(,)x y 为极小点，00(,)f x y 为极小值.极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值通称为极值．定义2：方程组(,)0(,)0x yf x y f x y '=⎧⎨'=⎩的解，称为函数(,)z f x y =的驻点．定理1（取极值的必要条件）：若函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 一阶偏导数存在，且000(,)P x y 是(,)z f x y =的极值点，则该点的偏导数必为零，即0000(,)0(,)0x y f x y f x y '=⎧⎨'=⎩．定理2（极值存在的充分条件）：设点000(,)P x y 是函数(,)z f x y =的驻点，且函数在点000(,)P x y 的某邻域内二阶偏导数连续，令00(,)xxA f x y ''=00(,)xyB f x y ''=00(,)yyC f x y ''= 则 (1)当20B AC -<时,点000(,)P x y 是极值点,且（i ）当0A <(或0C <)时,点000(,)P x y 是极大值点；()当0A >(或0C >)时,点000(,)P x y 是极小值点.（2）当20B AC ->时，点000(,)P x y 不是极值点.（3）当20B AC -=时，点000(,)P x y 可能是极值点也可能不是极值点.例1 求函数322(,)421f x y x x xy y =-+-+的极值. 解: （1）求偏导数2(,)382x f x y x x y '=-+，(,)22y f x y x y '=-，(,)68xxf x y x '=-，(,)xy f x y y '=，(,)2yy f x y '=-（2）解方程组2(,)3820(,)220x y f x y x x y f x y x y '⎧=-+=⎪⎨'=-=⎪⎩得驻点(0,0)及(2,2) 在(0,0)处，8A =-,2B =,2C =-,20B AC ∆=-< 在(2,2)处，4A =,2B =,2C =-,20B AC ∆=->结论：函数在(0,0)处取得极大值(0,0)1f =，在(2,2)无极值. 注意：对一般函数,可能的极值点包括驻点或至少一个偏导数不存在的点.二、条件极值与无条件极值 1.求二元函数无条件极值步骤如下：（1）求(,)x f x y '，(,)y f x y '，并解方程组(,)0(,)0x y f x y f x y '=⎧⎨'=⎩，求得所有驻点；（2）对于每一个驻点(,)x y ，求出二阶偏导数的值00(,)xxA f x y ''=，00(,)xyB f x y ''=，00(,)yyC f x y ''=；（3）定出2B AC -的符号，利用极值存在的充分条件判断驻点(,)x y 是否为极值点，若是，是极大值点还是极小值点，并求出极值．2.求二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)0x y ϕ=下的极值的方法和步骤如下：方法一：条件极值⇒无条件极值（1）从约束条件(,)0x y ϕ=中求出()y x ψ=；（2）将()y x ψ=代入二元函数(,)f x y 中化为一元函数(,())f x x ψ，变为无条件极值；（3）求出一元函数(,())f x x ψ的极值即为所求．方法二：条件极值不能转化为无条件极值（运用拉格朗日乘数法）.(1)构造辅助函数(,,)(,)F x y f x y λ=(,)x y λϕ+,称为拉格朗日函数,其中参数λ称为拉格朗日乘数；(2)由(,,)F x y λ的一阶偏导数组成如下方程组：(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0(,)0x x x y y y F x y f x y x y F x y f x y x y x y λϕλϕϕ'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪=⎩（3）结上述方程组得驻点00(,)x y ，则00(,)x y 就是函数的极值点，依题意判断00(,)f x y 是极大值还是极小值．上述方法即拉格朗日乘数法可平行地推广到多元函数、多个限制条件上去．例2 求表面积为2a ，而体积为最大的长方体的体积. 解：设长方体长、宽、高分别为x ，y ，z ，则长方体体积为V xyz =，约束条件为22()xy yz xz a ++=即2(,,)2()0x y z xy yz xz a ϕ=++-=构造辅助函数2(,,)2()2a F x y z xyz xy yz xz λ=+++-解联立方程组2(,,)2()0(,,)2()0(,,)2()02()0x yz F x y z yz y z F x y z xz x z F x y z xy x y xy yz xz a λλλ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎨'=++=⎪⎪++-=⎩解得x y z ===λ=因为是唯一可能的极值点，所以由问题的实际意义知3max 36V a =. 三、最值的求解在有界闭区域D 上连续的函数一定在该区域D 上取得最大值和最小值，最值点可能在D 的内部也可能在D 的边界点上，如果假定函数在D 上连续，在D 内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在D 的内部取得最大值（最小值），那么这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）.因此在上述假定下，求函数的最大值和最小值的一般方法是：将函数(,)f x y 在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.但是这种做法并不简单，因为求函数在边界上的最大值和最小值一般来说仍然是相当复杂的，在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数(,)f x y 的最大值（最小值）一定在D 的内部取得，而函数在D 内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数(,)f x y 在D 上的最大值（最小值）.例 3 要做一个容积为V 的长方体箱子，问箱子各边的尺寸多大时，所用材料最省？解设箱子的长、宽分别为, x y ，则高为Vxy ．箱子所用材料的表面积为2()V VS xy y x xy xy=+⋅+⋅2()V V xy x y =++ (0x >,0y >)．当面积S 最小时，所用材料最省．为此求函数(, )S x y 的驻点，222()0,2()0,SV y x x S V x yy ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩解这个方程组，得唯一驻点．根据实际问题可以断定，S 一定存在最小值且在区域D 内取得．而在区域D内只有唯一驻点，则该点就是其最小值点，即当===z y x 3V 时，所用的材料最省．最新文件仅供参考已改成word文本。

第十七章多元函数微分学

第十七章多元函数微分学§17.1 多元函数微分学1．求下列函数的偏导数： (1)22,;x y z xy z x == (2)cos z y x =sin ,cos ;x y z y x z x =-=(3)33222222,;()()x y x y z z x y x y --==++(4)22ln()z x y =+222222,;x y x yz z x y x y==++ (5),;xy xy x y z ye z xe == (6)arctanxz y= 2222221.,;1()x y y y xz z y x x y x y x--===+++ (7)sin()2sin()sin()sin()cos()[1cos()],[1cos()];xy xy xy x xy y z ye xy e xy ye xu xy z xy xy xe=+=+=+(8) y x x u x y z=+- 222111,,;x y z y z x u u u x z x y y z=--=-=+ (9)11(),(),()ln();z z z x y z u zy xy u zx xy u xy xy --=== (10) zyu x =11,ln ,ln ln ;zz zz y z y y z x y z u y x u zy x x u x y x y --=== 2.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x 解法1：(,1)1f x =+则(,1)1f x =解法2：(,1)0,(,1)1x f x x x f x =+?=3．设2222221sin ,0,(,)0,0y x y x y f x y x y ìïï+?ï+=íïïï+=ïî，考察函数f 在原点（0，0）的偏导数。

多元函数微积分(课件)

zx f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 ) ，
如果极限
lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x0
x
存在，则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 处对 x 的偏导数，记为
z
x (x0 , y0 ) 或 f x (x0 , y0 ) 。
求函数的二阶偏导数，并验证
2z x2
2z y2
0。
解 MATLAB求解代码如下：
程序运行结果为：
>>syms x y >>z = log(sqrt(x^2+y^2)) >>dz_dx2 = diff(diff(z,x),x) >>dz_dy2 = diff(diff(z,y),y) >>dz_dxdy = diff(diff(z,x),y) >>dz_dydx = diff(diff(z,y),x) >>a = simplify(dz_dx2+dz_dy2)
MATLAB求解代码如下：
z xy ln x 。 y
>>syms x y >>f = x^y; >>dfx = diff(f,x) >>dfy = diff(f,y)
17
第、二节偏导数与全微分
、
3．高阶偏导数
对于二元函数 z f (x, y) 来说，如果它的一阶偏导数 fx (x, y) 、 f y (x, y) 仍是关于每个自变量的函数，并且一阶偏导数对每个自变量的偏导数存在，则称这个二元函数具有二阶偏导数。
12
目录
1
多元函数的概念、极限与连续性

《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学

高数-第八章-多元函数微分学
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个多元函数在某一点的偏导数等于零，并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当其他变量保持不变时，函数关于某个特定变量的一阶导数存在，则称这个导数为该函数在该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴方向的切线斜率。

多元函数微分学(共184张PPT)

z
sin
x2
1 y2
1
• 在点圆都周是x2间断y2 点1，是上一没条有曲定线义，. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点及一点，使得为最大值而为最小值，P 即1 对于一切P 2 P∈D，有f ( P1 )
•
P
于E的点，也有不属于E的点，
•
E
则称P为E的边界点（图8-2）.
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
上一页下一页返回
•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ，再令 x 0而极限，就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而，x 偏0导数 z 存在x，而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
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• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数称
(x1,x2, ,xn)
xi
上一页下一页返回
• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n

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