立体几何大题—利用等体积解题

立体几何大题中有关体积的求法

1、求空间距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点

2、求点到平面的距离通常有四种方法

(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长

(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离

(3)体积法

(4)向量法

例题分析：

例1、如图，已知ABCD 是矩形，AB =a ,AD =b ,P A ⊥平面ABCD ，P A =2c ,Q 是P A 的中点

求 (1)Q 到BD 的距离；

(2)P 到平面BQD 的距离

例2、如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离.

B

A

C

D

O

G

H 1

A 1

C 1D

1

B 1O

Q

P D

C B

A

E D 11

B 1

A 1D

B

例3、已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求

(1)截面EAC 的面积；

(2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离；

(3)三棱锥B 1—EAC 的体积

参考答案：

例1、如图，已知ABCD 是矩形，AB =a ,AD =b ,P A ⊥平面ABCD ，P A =2c ,Q 是P A 的中点 求 (1)Q 到BD 的距离；

(2)P 到平面BQD 的距离

解 (1)在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD ，E 为垂足 连结QE ，

∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE ∴QE 的长为Q 到BD 的距离 在矩形ABCD 中，AB =a ,AD =b ,

∴AE =

2

2

b

a a

b +

在Rt △QAE 中，QA =

2

1

P A =c ∴QE =2

22

22b a b

a c ++

∴Q 到BD 2

22

22

b a b a

c ++

(2)解法一 ∵平面BQD 经过线段P A 的中点， ∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中，作AH ⊥QE ，H 为垂足

∵BD ⊥AE ,BD ⊥QE ,∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH

H E Q

P D

C

A

∴AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离

在Rt △AQE 中，∵AQ =c ,AE =

2

2

b

a a

b +

∴AH =

2

22

2

2

)(b

a c

b a ab

c ++

∴P 到平面BD 的距离为

2

22

2

2

)(b

a c

b a ab

c ++

解法二 设点A 到平面QBD 的距离为h ，由

V A —BQD =V Q —ABD ,得

31S △BQD ·h =3

1

S △ABD ·AQ h =

2

2222)(b

a c

b a abc

S AQ

S BQD

ABD ++=

=⋅∆∆

例2． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离. 思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解答过程：

解析一 BD ∥平面11D GB ，

BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求

点O 平面11D GB 的距离,

1111C A D B ⊥ ，A A D B 111⊥，⊥∴11D B 平面11ACC A ,

又⊂11D B 平面11D GB

∴平面1111D GB ACC A ⊥，两个平面的交线是G O 1,

作G O OH 1⊥于H ，则有⊥OH 平面11D GB ，即OH 是O 点到平面11D GB 的距离. 在OG O 1∆中，2222

1

2111=⋅⋅=⋅⋅=∆AO O O S OG O . 又3

6

2,23212111=∴=⋅⋅=⋅⋅=

∆OH OH G O OH S OG O . 即BD 到平面11D GB 的距离等于3

6

2. 解析二 BD ∥平面11D GB ，

B

A

C

D

O

G

H 1

A 1

1D

1

B 1O

BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点B 平面11D GB 的距离.

设点B 到平面11D GB 的距离为h ，将它视为三棱锥11D GB B -的高，则

，由于632221,111111=⨯⨯=

=∆--D GB GBB D D GB B S V V 3

4

222213111=

⨯⨯⨯⨯=-GBB D V , ,3

6

26

4=

=

∴h 即BD 到平面11D GB 的距离等于

3

6

2. 小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.

例3、已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求

(1)截面EAC 的面积；

(2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离；

(3)三棱锥B 1—EAC 的体积

解 (1)连结DB 交AC 于O ，连结EO ， ∵底面ABCD 是正方形 ∴DO ⊥AC ，又ED ⊥面ABCD ∴EO ⊥AC ，即∠EOD =45°

又DO =

22a ，AC =2a ，EO =︒

45cos DO =a ，∴S △EAC =22a (2)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ⊥A 1B 1 ∴A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线 又EO ∥BD 1，O 为BD 中点，∴D 1B =2EO =2a

∴D 1D =2a ，∴A 1B 1与AC 距离为2a

(3)连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q ，推证出B 1D ⊥面EAC ∴B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高，得B 1Q =

2

3a 3

24

22322311a a a V EAC B =⋅⋅=-

E

D 11B 1A 1D

B