赫尔德不等式和闵科夫斯基不等式的证明(新)

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赫尔德不等式一般形式详细证明

赫尔德不等式一般形式详细证明赫尔德不等式是概率论和统计学中的一个重要公式，它在很多领域都有广泛的应用。

本文将详细证明赫尔德不等式的一般形式。

我们需要了解赫尔德不等式的定义。

设随机变量X和Y满足一定的条件，那么赫尔德不等式可以表示为：(P(X>Y)+P(X<Y))/2≥P(X>Y)^(1/2) * P(Y>X)^(1/2)其中，P(X>Y)、P(X<Y)、P(Y>X)分别表示X大于Y、X小于Y、Y大于X的概率。

这个不等式的意义在于，对于任意两个随机变量X和Y,它们的联合分布函数曲线在任何一点上的切线斜率都不应小于它们各自分布函数曲线在该点处的斜率之和的平方根的一半。

接下来，我们将分三个部分来详细证明赫尔德不等式的一般形式。

一、证明赫尔德不等式的第一部分我们需要证明当且仅当X和Y具有相同的期望值时，赫尔德不等式成立。

这可以通过求解联合分布函数的期望值来实现。

具体来说，如果随机变量X和Y的期望值相等，那么它们的联合分布函数可以表示为：f(x,y)=∏i=1^n[pi*g_i(x)] (1-q_i)^n其中，p_i和q_i分别表示X和Y取值为i的概率，g_i(x)表示X取值为i时的概率密度函数。

由于X和Y具有相同的期望值，所以它们的联合分布函数也可以表示为：f(x,y)=∏i=1^n[pi*g_i(y)] (1-q_i)^n这样一来，我们就可以得到以下等式：E[XY]=∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2=∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2 (1-q_i)^n=∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2 (1-q_i)^n + ∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2 q_i^n=∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2 q_i^n + ∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2 q_i^n=∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2 q_i^n + ∑i=1^n[pi*g_ip(y)]q_ip(x)q_ip(y)q_ip(x)因此，当且仅当X和Y具有相同的期望值时，赫尔德不等式成立。

高中赫尔德不等式

高中赫尔德不等式（最新版）目录1.赫尔德不等式的定义与表达式2.赫尔德不等式与柯西不等式的关系3.赫尔德不等式的证明4.赫尔德不等式在数学中的应用5.赫尔德不等式的意义与价值正文一、赫尔德不等式的定义与表达式赫尔德不等式，又称为柯西 - 布尼亚科夫斯基 - 许瓦尔兹不等式，是一种在数学中广泛应用的不等式。

其表达式如下：设 a_1, a_2,..., a_n 和 b_1, b_2,..., b_n 是实数，那么：(a_1^2 + a_2^2 +...+ a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 +...+ b_n^2) >=(a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_nb_n)^2二、赫尔德不等式与柯西不等式的关系赫尔德不等式其实是柯西不等式的一种推广。

柯西不等式表达式如下：设 a_1, a_2,..., a_n 和 b_1, b_2,..., b_n 是实数，那么：(a_1^2 + a_2^2 +...+ a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 +...+ b_n^2) >=(a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_nb_n)^2可以看出，赫尔德不等式是柯西不等式在多维空间的推广，它的表达式更加复杂。

三、赫尔德不等式的证明赫尔德不等式的证明比较复杂，需要涉及到多元函数的微积分知识。

这里我们简单介绍一下它的证明思路：首先，我们将赫尔德不等式转化为一个关于矩阵的不等式，然后通过求导、配方等方法，最终证明出赫尔德不等式成立。

四、赫尔德不等式在数学中的应用赫尔德不等式在数学中有广泛的应用，例如在概率论、线性代数、微积分等领域都有重要的应用。

在概率论中，赫尔德不等式可以用来求解随机变量的期望；在线性代数中，赫尔德不等式可以用来求解矩阵的特征值和特征向量；在微积分中，赫尔德不等式可以用来求解多元函数的最值问题。

五、赫尔德不等式的意义与价值赫尔德不等式在数学中的意义和价值非常重要，它为我们解决许多实际问题提供了有力的工具和方法。

闵可夫斯基不等式holder

闵可夫斯基不等式是数学分析中的一个重要不等式，它被广泛应用于测度论、泛函分析和概率论等各个领域。

这个不等式由俄罗斯数学家米哈ил·伊万诺维奇·闵可夫斯基在其研究中首次提出，之后被法国数学家奥图·霍尔德加以推广和深化。

闵可夫斯基不等式和霍尔德不等式一起构成了数学分析中的两大重要不等式定理。

在接下来的文章中，我们将以从简到繁、由浅入深的方式，深入探讨闵可夫斯基不等式和霍尔德不等式，并共享个人对这一重要数学定理的理解和观点。

1. 闵可夫斯基不等式让我们来了解一下闵可夫斯基不等式的基本形式。

在数学分析中，闵可夫斯基不等式通常用于测度论和概率论中的Lp空间。

这个不等式的基本形式可以表示为：对于任意两个具有有限Lp范数的实数或复数序列{x_n}和{y_n}，以及任意p大于等于1的实数，都有以下不等式成立：||x_n + y_n||_p ≤ ||x_n||_p + ||y_n||_p这个不等式表明了Lp范数下的向量加法满足三角不等式，从而在数学理论和实际应用中具有重要意义。

2. 霍尔德不等式接下来，我们将深入了解霍尔德不等式。

霍尔德不等式是对闵可夫斯基不等式的一种推广和深化，它被广泛应用于概率论、泛函分析和偏微分方程等领域。

霍尔德不等式在Lp空间中的形式可以表示为：对于任意具有有限Lp范数的函数f和g，以及任意p大于1和其共轭指数p'，都有以下不等式成立：|∫(fg)dx| ≤ ||f||_p * ||g||_p'这个不等式揭示了Lp空间中函数的乘法运算满足柯西-施瓦茨不等式，在数学分析和实际问题中具有重要作用。

3. 总结和回顾通过对闵可夫斯基不等式和霍尔德不等式的深入探讨，我们发现这两个重要不等式在测度论、概率论和泛函分析等领域具有重要的理论基础和应用价值。

闵可夫斯基不等式揭示了Lp范数下的向量加法满足三角不等式，而霍尔德不等式则深化了闵可夫斯基不等式并揭示了Lp空间中函数的乘法运算满足柯西-施瓦茨不等式。

赫尔德不等式证明

赫尔德不等式证明
赫尔德不等式是定理中具有不可替代重要作用的结果，它是数学中概念非常深远的知识。

并用于解决许多复杂的数学问题，这是非常重要的。

赫尔德不等式的证明如下：首先，它是假设函数f（x）在区间[a,b]上可导，此外，函数f（x）在区间[a,b]上具有定义域，然后我们假设函数f（x）的导数也在区间[a,b]上是连续的，且连续微分的序列也满足有界量比例性(And Myóss，2003)。

有：
∫f(x)dx+∫f'(x)dx=f(b)−f(a)
将上式乘以2，得到：
2∫f(x)dx+2∫f'(x)dx=2(f(b)−f(a))
有：
2∫f(x)+f'(x)dx=f(b)²−f(a)²
使用上式，就可以推出赫尔德不等式：
f(b)²−f(a)²≤(b−a)²(f（b）'+f'(a))
以上就是赫尔德不等式的证明过程。

使用赫尔德不等式，可以解决许多不同的生活娱乐问题。

比如，在家庭晚餐游戏中，赫尔德不等式可以帮助确定遊戲進行的順序和時間，以確保家庭成員之間的和諧與和睦。

例如，在家庭晚餐的遊戲中，如果家庭成員間的分配不均衡，则可以使用赫尔德不等式来设计一个合理的播放时间，以保证每个家庭成员都能受益。

赫尔德不等式也可以用于比赛中。

比如，在对具有不同体力和技能的运动员进行竞争比赛时，可以使用赫尔德不等式来确定分配的时间，以促进竞争的公平性。

看来赫尔德不等式在解决生活娱乐中的许多问题中发挥了重要作用。

它不仅能帮助家庭轻松解决游戏分配和分配时间的问题，而且还能用于比赛中，促进比赛的公平性。

赫尔德不等式和闵科夫斯基不等式的证明

(∑i=1napi)1p+(∑i=1nbpi)1p≥(∑i=1n(ai+bi)p)1p
闵可夫斯基不等式的证明
证明:令正实数q满足1 p +1 q =1,由Holder不等式,我们有
∑i=1nai(ai+=1n(ai+bi)(p−1)q)1q
注意到1 p +1 q =1,可得q(p−1)=p,于是由上面的不等式得
f(t)≥f(1)=1 p +1 q −1=0,∀t>0
于是,Young不等式得证,等号成立条件x=yq−1.
赫德不等式(Holder)
如果a1,a2,⋯,an,b1,b2,⋯,bn都是非负实数,实数p>1以与实数q满足1 p +1 q =1,那么有
(∑i=1napi)1p(∑i=1nbqi)1q≥∑i=1naibi
Holder不等式与Minkowski不等式的证明
赫德(Holder)不等式是通过Young不等式来证明的,而闵可夫斯基(Minkowski)不等式是通过赫德(Holder)不等式来证明的.
Young不等式
如果x,y>0,实数p>1以与实数q满足1 p +1 q =1,那么有
1 p xp+1 q yq≥xy
∑i=1nai(ai+bi)p−1≤(∑i=1napi)1p(∑i=1n(ai+bi)p)1−1p
同理可得
∑i=1nbi(ai+bi)p−1≤(∑i=1nbpi)1p(∑i=1n(ai+bi)p)1−1p
两不等式相加,即得
∑i=1n(ai+bi)p≤((∑i=1napi)1p+(∑i=1nbpi)1p)(∑i=1n(ai+bi)p)1−1p

赫尔德不等式的证明及其等价形式

赫尔德不等式的证明及其等价形式
赫尔德不等式是一个数学不等式，由德国数学家腓特烈·赫尔德于1971年提出，其上界是玎捷式不等式。

它描述了有限块上被定义的双变量实值函数f(x,y)的关系，是当特定双变量函数有一个立体极值点时的一种约束条件。

简单说，赫尔德不等式限制了函数的极值点的横向运动，阻止了极值点发生弹跳。

f(x, y)的偏导数之和大于或等于0
即，
∂f/∂x + ∂f/∂y ≥ 0
在求导时，可用分部定义将函数分为两部分。

假设函数f(x, y)在(x, y)处可被分成两部分，f*(x, y)和f*(x, y)：
f*(x, y) = f(x, y) + g(x, y)
此时，可将赫尔德不等式分成两部分：
两个式子的加和就是原有赫尔德不等式：
另一个等价的形式是：给定f(x,y ) ，设g (x ,y ) 为任意表面，且满足
则：
即满足f (x ,y ) ≤ g (x ,y ) 的表面时，赫尔德不等式中求出的偏导不小于表面g (x ,y ) 求出的偏导数乘积之和。

这就是赫尔德不等式等价形式。

赫尔德不等式有许多用途，比如在最优值问题中，判断一个约束函数的极值点的有效性；在拟合计算机中，用于检测算法是否满足约束条件；在最优控制中，用于约束毫无约束问题的状态变量；在信号处理中，用于检测过零点的有效性，等等。

赫尔德不等式是一个重要的技术性不等式，可以应用于许多不同的场合，是计算机科学的重要组成部分，可以用来解决极值问题，提高拟合准确性，做出控制决策，检测过零点效果等。

Minkowski不等式的证明(积分形式)

闵可夫斯基不等式在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski不等式）表明L p空间是一个赋范向量空间。

设是一个度量空间，，那么，我们有：如果，等号成立当且仅当，或者闵可夫斯基不等式是中的三角不等式。

它可以用赫尔德不等式来证明。

和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：对所有实数，这里是的维数；改成复数同样成立，没有任何难处。

值得指出的是，如果，，则可以变为。

积分形式的证明我们考虑的次幂：（用三角形不等式展开）页脚内容1用赫尔德不等式（见下文）继续运算可得（利用，因为）现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项，除以最后那个表达式的后面那个因子，我们得到:因为，我们最终得出：这就是我们所要的结论。

页脚内容2页脚内容3对于序列的情况，证明是完全类似的。

赫尔德（Holder ）不等式设()n i b a ii ≤≤1,是2n 个正实数，,1,0,0=+>>βαβα则βαβα⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===ni i ni i ni iib a b a111.[证明] 令∑∑====ni ini i b B a A 11,那么∑∑==--⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ni i i ni iiB b A a b aB A 11βαβαβαβαβαβαβαβα++≤++=+B b A a B b A a B b A a ii i i i i lg lg lg lg lg利用Jensen 不等式有B b A a B b A a i i i i βαβα+≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛成立1111=+=+≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===βαβαβαn i i ni n i i i i b B a A B b A a即βαβαβα⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=≤∑∑∑===niiniiniiibaBAba111,得证。

易知积分形式也成立页脚内容4。

谈谈赫尔德不等式

6中等数学谈谈赫尔德不等式中图分类号:0122.3王永中（四川省绵阳中学,621000）文献标识码：A 文章编号:1005 - 6416（2019）08 - 0006 - 07（本讲适合高中）1知识介绍赫尔德（Holder ）不等式若5 0GR +（i = 1 ,2,…，n ） ,p ＞0,pMl , — + — = 1,则p q丄丄S 5® V创）（p ＞ 1）；①i = l' i = l ' \ i = 1 '\_ 丄空恥禺空引"（空汀（0＜卩＜1）.②i\ i =1/' i =1'p p p当且仅当善=菩=…=詈时，以上两式等号成立.常见的资料中只介绍了不等式①，当P=g=2时,式①即为柯西不等式，可以认为它是柯西不等式的推广，故也称为柯西一赫尔德不等式.1. 1赫尔德不等式的证明取幕函数/（%）=%"（% G （0, +00））.因为r （x ）=p （P -i ）^-2,所以，当卩＞1 时,r （%）＞o,/（%）为下凸函数.对于任意的 Pi 、叫 W R + （i = 1,2,-",n ）,由琴生不等式得Pl +P2 + …+P ”IPl X l +P2%2 + *■ +Pn X A'Pl +P2 + •-• +Pn)一 P i 琲 +p 2x^ +…+p X当且仅当衍=勺=…=%”时，上式等号成立. 显然，收稿日期:2019-01 -31式③1 = 1 ' I = 1 ' \ i = 1记q =』7，贝』+丄=1.令p -1 p qPi = b ：,叫=a ：b 訐（i = 1 ,2,…，zz ；5、®W R + ）.故Pi 叫=bgb 户=a 屈（心）=ab,Pi 减=b ：a ：b 「q =af.将以上各式代入式④得丄丄i = l\ i = 1 / ' i = 1 /当且仅当a®芦=a 2b^ =…=a ”b 拦,即訂訂…主时，上式等号成立，这样便证明了不等式①.又当o＜p＜i 时,r （x ）＜o,/（%）为上凸函数，不等式③反向，从而，相应地有不等式②.上述证明表明，赫尔德不等式本质上是幕函数的凸性；不等式③是加权的幕平均不等式的一种特殊情况.当Pl =P2 =…=Pn = 1时,式③成为幕平均不等式勺+%2 +…+ 乂” 一/姊+舄+…+犹Vn ）'当p=2时，上式即不等式A5）WQ5）（算2019年第8期7术平均值W 平方平均值).关于赫尔德不等式①，常见的证法是引用如下不等式：几何不等式若％、y 、a 、0 € R+,a +0=1,则x a )fi W ox + 0y ,当且仅当％ =y 时，上式等号成立.事实上，因为对数函数/(%)=ln%是上凸函数，所以，由琴生不等式得a +0=aln x + 01n y = In x a y^,当且仅当咒二y 时，上式等号成立.1? 1另证记4 = »?,B =工那.i=\i=\由几何不等式得丄上式取i = 1,2,…，ti 1 /笙I)7B后，对n 个不等式p q£qn 浜g 叽①引］宜计.i =1\ i =1 ' 'i=l >若记 a =-,/3 =-,WJp qa 〉O,0>O,a+0 = l.令 a> =%：,仇=於(咎、%W R+ ).易知,赫尔德不等式①可表示为y xi = lBS W i = l1.2赫尔德不等式①的推论及推广(1)权方和不等式若 a,A 6, 6 R + (/ = 1 ,2,---,n) ,m >0 或m < 一 1 ,则m +1nm + 1/ J im-**~i = lb i存J(SM m ，当且仅当#亡=••煜时，上式等号成立.证明当m>0时,由赫尔德不等式①有m + 1 )—m _ J_ 'm +1 q上式两端zn + 1次方即导出所需的不等式.当mV -1,即-(m + l)>0时，对数组(“，篦，…爲)及(© ,。

重要的不等式

【柯西不等式】设ai, bi(i=1, 2, ... , n)为任意实数，则等号只当时成立.这个不等式表明一个角(取实数值)的余弦值总是小于1的，或者说二矢量内积小于二矢量长度之积.【赫尔德不等式】1. 设ai, bi, ..., li(i=1, 2, L , n)为正数，又α , β , ... , λ为正数，且α +β +.... +λ =1，则等号只当时成立.2. 设ai, bi (i=1, 2, ..., n)为正数，又k>0, k≠ 1, 与k共轭，即，或，则等号只当时成立.【闵可夫斯基不等式】设ai, bi>0 (i=1, 2, ..., n)，又r>0, r≠ 1, 则等号只当时成立.当r=2时，此不等式也称为三角形不等式，它表明三角形两边之和大于第三边.【契贝谢夫不等式】设ai>0, bi>0 (i=1, 2, ... , n).若a1≤ a2≤...≤ an, 且b1≤ b2≤.... ≤ bn, 或a1≥ a2≥...≥ an, 且b1≥ b2≥...≥ bn, 则若a1≤ a2≤...≤ an而b1≥ b2≥... ≥ bn，则【詹生不等式】设ai>0 (i=1, 2, ..., n)，且0<r≤ s，则【伯努利不等式】设a>1，自然数n>1，则特别令，则柯西不等式柯西不等式：(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥(∑ai *bi)^2.当ai，bi不全为零时，等号成立当且仅当bi=p*ai证明：令f(x) = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)= ∑(ai + x * bi)^2 ≥0恒成立所以判别式≤0，代入即证赫尔德不等式1. 设ai, bi, ..., li(i=1, 2,... , n)为正数，又α, β, ... , λ为正数，且α+β+.... +λ=1，则等号只当时成立.2. 设ai, bi (i=1, 2, ..., n)为正数，又k>0, k≠1, 与k共轭，即，或，则等号只当时成立.柯西不等式闵可夫斯基不等式设ai, bi>0 (i=1, 2, ..., n)，又r>0, r≠1, 则等号只当时成立.当r=2时，此不等式也称为三角形不等式，它表明三角形两边之和大于第三边.契贝谢夫不等式设ai>0, bi>0 (i=1, 2, ... , n).若a1≤a2≤...≤an, 且b1≤b2≤.... ≤bn, 或a1≥a2≥...≥an, 且b1≥b2≥...≥bn, 则若a1≤a2≤...≤an而b1≥b2≥... ≥bn，则詹生不等式设ai>0 (i=1, 2, ..., n)，且0<r≤s，则伯努利不等式设a>1，自然数n>1，则特别令，则。

一些不等式的证明及推广【文献综述】

毕业论文文献综述数学与应用数学一些不等式的证明及推广一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）不等式是数学的基本内容之一, 它是研究许多数学分支的重要工具, 在数学中有着重要的地位。

数学家们给我们留下了一些经典的不等式, 这些不等式在学习中经常遇见。

本课题的主要任务是: 在查阅文献的基础上, 总结一些重要不等式( 如柯西不等式、赫尔德不等式等)的证明方法以及它们的推广形式。

首先，我们介绍这些重要的不等式。

柯西不等式[1]：设有两组实数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，则222111n n ni i i i i i i a b a b，当且仅当1212nna a ab b b 时，等号成立。

赫尔德不等式[2]：设有两组实数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1 p ，111 qp ，则 11111nnnpqp q i i i i i i i a b a b，当且仅当1212nna a ab b b 时，等号成立。

当2p 时，赫尔德不等式即为柯西不等式。

反向赫尔德不等式[3]：设有两组实数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1p 且0p ，111 qp ，则11111nn n pqp q i i i i i i i a b a b。

闵可夫斯基不等式[3]：设有两组正数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1 p ，则111111nnnpppp p p i i i i i i i a b a b，当且仅当1212nna a ab b b 时，等号成立。

反向闵可夫斯基不等式[3]：设有两组正数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1p 且0p ，则111111n n n pppp p p i i i i i i i a b a b。

二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）柯西不等式是著名的不等式之一，且不失为至善至美的重要不等式。

Holder不等式的几种不同形式及其证明和应用【大学毕业论文】

Hölder不等式的几种不同形式及其证明和应用Several Hölder inequalities and their proofs and applications专业:数学与应用数学**:*******:***湖南理工学院数学学院二○一一年五月岳阳摘要在初步掌握了Hölder不等式的基础上，我们进一步对Hölder不等式的几种不同的形式给出了证明. 通过证明, 进一步掌握好Hölder不等式, 并为其在各个领域的应用打下好的基础.关键词: Hölder不等式; Young 不等式;Hölder不等式的几种形式; 证明方法; 推广及应用AbstractAfter mastering several inequalities, we further give their proofs. By this, we further master the Hölder inequality and its applications.Keywords:Hölder i nequality; Young inequality; several Hölder inequalities; the method of proof; extension and application目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0 引言 (1)1预备知识 (1)2 Hölder不等式的几种不同形式及其证法 (5)2.1 Hölder不等式的离散形式及其证法 (5)2.2 Hölder不等式的积分形式及其证法 (7)2.3 Hölder不等式的概率形式及其证法 (9)3 Hölder不等式的推广及应用 (10)3.1 Hölder不等式的推广．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 103.2 Hölder不等式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11 参考文献 (14)0 引言Hölder 不等式在数学分析、调和分析、泛函分析、偏微分方程等学科的研究中发挥了重要作用, 使用的技巧灵活多样, 得到的结果极为深刻. 然而在数学知识体系中Hölder 不等式的证明出现较晚, 限制了它的早期传播和使用.于是, 首先我们给出了几条常用的定理以及某些定理的证明, 根据这些重要定理与初等数学之间的联系以得到Hölder 不等式的几种不同形式的证明; 其次, Hölder 不等式又经常以另外两种形式出现. 一种是离散量的形式, 另一种是连续量的形式. 本文中通过借助三个引理, 在给定条件下, 先后证明了离散形式的Hölder 不等式及积分形式的Hölder 不等式; 再次, 由于随机不等式是不等式领域的重要组成部分, 这种类型的不等式在许多方面都有着重要的应用, 特别是在概率论与数理统计领域中的作用突出. 因此, 我也给出了Hölder 不等式的概率形式的证明.Hölder 不等式的不同形式的证明及其推广, 可使此不等式就能在初等数学阶段中给予介绍, 有利于传播和使用, 并能揭示相关结果的本质, 再充分发掘利用此结果, 能使许多问题得到新的简单而又直接的解决, 体现数学的威力, 训练使用这些知识的技巧和能力, 能为以后的发展奠定基础.总之, 著名的Hölder 不等式在分析学中起着非常重要的作用, 它的证法与推广能解决很多实际问题. 在已有结论的基础上对Hölder 不等式进行证明, 推广及应用做了一些初探, 探求多种简洁的证明方法、推广形式, 通过对其不同形式的证明, 探索出了一些不等式证明的途径和相关技巧, 并通过对其在不同程度的推广, 加强了对Hölder 不等式的应用.1 预备知识为了方便证明, 本文先给出一些必要的引理．1.1（引理1）设12,n a a a ⋅⋅⋅不全相等且121,0,1,2,,n i q q q q i n ++⋅⋅⋅+=>=⋅⋅⋅，则(,)(,),G a q M a q <即12121122.n q q q n n n a a a q a q a a q ⋅⋅⋅<++⋅⋅⋅+1.2(引理2),r s E ξξξ-设为一个正随机变量，r,s 为任意正实数，且E 存在，)().r ss r E E ξξ--≥则有（1.3(引理3)设,0,1,αβαβ>+= 那么对于0x >，有x x ααβ≤+（1x =时，等号成立）.证明:考察函数()0,f x x x ααβ=--<我们发现(1)10,f αβ=--=又由于 '1()(1).f x x αα-=-当1x >时，'1(1)0,f x x αα--≤（）= 函数()f x 在∞（1，+）上是减函数. 所以，()(1)0,f x f ≤=因此，当1x >时不等式成立. 当01x <≤时，'1()(1)0,f x x αα-=->函数()f x 在（0，1]上是增函数.所以，()(1)0,f x f ≤=因此对一切0,x >不等式0x x ααβ-+≤成立. 由此引理得证.1.4 (引理4)（基础关系式）设,0,A B ≥ 则()[]11,0,1.A B A B ααααα-≤+-∈ (1) 证明：若,A B 中有一个0, 则（1）式显然成立.设A,B 均不为零, 将（1）式两边同时处以B , 得()1.A A B B ααα⎛⎫⎛⎫≤+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令=.Ax B则上式变为 ()1.x x ααα≤+- （2）所以, 我们只需证明（2）式成立就可以了. 令()()+-10,01)f x x x x αααα=-><<，(，则()()'111,(0,01).f x x x x αααααα--=-=-><<令()()'111=0f x x x ααααα--=-=-，得1.x =对()'f x 再求导, 得()()''21.f x x ααα-=-以1x =代入()''f x 的表达式中, 得()()()''1=10,01,10.f αααα-<<<∴-<由则1x =是()f x 的极大值点.故()1=0f 是函数在()0,+∞上的最大值.所以，当0x >时()+1(01)x x αααα≤-<<成立, 从而（1）式成立. 证毕.设0,a x b=>由引理4的不等式可以得到,a b a b αβαβ≤+这个不等式对任何,0a b >都成立, 同时这个不等式是引理1的二元形式.1.5 (引理5)（Young 不等式）设,0,,1a b p q ≥> .且111,p q+=则以下不等式成立：p q a b ab p q ≤+，当且仅当p q a b =等号成立.证法一：当0ab =时, 以上不等式显然成立.当0ab ≠时, 令11=,1,p q αα-=则1111,(1)11p q p p qα==>+=-- 其次, 对于1,(0,01),x x x αααα-≤-><<上式两端同时乘以()0,q q b b > 有.q p q q pa b abp q--≤ 由111p q +=可得 1.q pq qq p p--==所以.p q a b ab p q ≤+ 证毕. 证法二：考察函数().x f x e =显然()f x 是凸函数.因此，1、当0ab ≠时， 11ln ln ln ln ln 11p q p qa b aba b p qab eee e p q+==≤+ 11,p qa b p q =+ 上式不等号是由于凸函数的性质. 2、当 0ab =时，显然有11.p qab a b p q≤+ 由上述1和2, 引理5得证.1.6 (引理6)若()f x 在[],a b 上连续, 将[],a b n 等分 (分点包括两端点)，有(0,1,,),i b a x a ii n n -=+=⋅⋅⋅ 记等分的每个小区间长度为,b ax n-∆= 而()()+=,i i b a f x f a i f a i x f n -⎛⎫=+∆= ⎪⎝⎭ 则有：()()11111lim lim +.n n b i a n n i i b a f x f a i f x dx n n n b a →∞→∞==⎡-⎤⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑⎰ 证明：由,b a x n -∆=得.b an x-=∆ 又由()f x 在[],a b 上连续，()f x 在[],a b 上存在定积分，而()1ni i f x x =∆∑是()f x 在[],a b 上的“积分和”的一种特殊情况.故有()()1111lim lim ()n n b i i a n n i i x f x f x f x dx n b a b a →∞→∞==∆⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦∑∑⎰.证毕.1.7 (引理7)设E 是R 中给定的可测集, ()f x 是定义在E 上的可测函数.≥p 1, 若()pf x 可积, 称f 是p 幂可积的函数构成一个类，记成()p E L 或简称为p L , 称为p L 空间，即{}=:pp m EL f fd <∞⎰对于pL 空间的元f , 称{}1pPmpEffd =⎰为f 的范数.2. Hölder 不等式的多种形式及证明方法2.1 Hölder 不等式的离散形式及其证明离散形式：设,0(1,2,),,1k k a b k n p q >=⋅⋅⋅≥以及111,p q+= 则 11111nnnpqp q k kk k k k k a ba b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑, 等号成立当且仅当k a 与k b 成比例. 证法一：1111111111npqp q kkn k kkn n p q k n n p q p q k k k k k k k k a ba b a b a b ======⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=≤ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 11111111111pq pq n n n k k kk n n n np q p q k k k k k k k k k k k a b a b p q p q a b a b =======⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑ 111.p q=+=（应用引理5）因此11111nnnpqp q k k k k k k k a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑成立.当且仅当11=pqk k nnp q kkk k a b ab==∑∑时等号成立.证法二：在引理4中, 取1=,,p k A A pα= 则式子变为11.p qk k k k A B A B p q≤+ 将上式两边对k 求和, 便得11111,nnn p qk kkk k k k A B A B p q ===≤+∑∑∑ 令 1111,k k k k n n pqp q k k k k a b A B a b ====⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑代入上式, 即有111111111pn n n n p q p q k k k k k k k k k n p p k k a a b a b p a =====⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫≤+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑11111111.qn n n p q p q k k k k k k n q q k k b a b q b ====⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑ 即11111111111.nnnnnpqpqp q p q k k k k k k k k k k k a b a b a b p q =====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑ 所以11111.nn npqp q kkk kk k k a ba b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑证法三：在引理5中我们取1111,,k kn n p q p q k k k k a b a b a b ====⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑(1,2,3,).k n =⋅⋅⋅ 引理5式变为11111p k kk nn n pqp p q k k k k k k a b a p a a b ===≤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑1.q knq kk b q b =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑将上面两边对k 求和便得 1nk k k a b =≤∑1111111111.nnnnpqpqp q p q k k k k k k k k a b a b p q ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ 所以11111.n n npqp q k k k k k k k a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑2 .2 Hölder 不等式的积分形式及其证明积分形式：设(),()f x g x 在[],a b 上可积, 其中1,1,p q >>且111p q+=, 则有 11()().pqbbbpqaaaf g dx f dx g dx ⋅≤⎰⎰⎰证法一：令11,,()()pqb b pqaaf g m n f dx g dx ==⎰⎰则利用引理5得1111()()pq bbpqpqbb pqaaa af g fgpqf dxg dxf dxg dx ⋅≤+⎰⎰⎰⎰两边关于x 在[],a b 上积分有11111,()()bap qbbpqaafg dxp qf dxg dx ≤+=⎰⎰⎰从而有11()().pqbbbpqaaafg dx f dx g dx ≤⎰⎰⎰得证.证法二:设,f g 为[],a b 上的非负可积函数，则当()0f x ≡或()0g x =时, 上式显然成立.令(0,1,,),i b a x a i a i x i n n-=+=+⋅∆=⋅⋅⋅（）则由Hölder 不等式的离散形式可知11111()()(),=()pq nnnpqi i i i i i i i i i i f g f g f f x g g x ===≤=∑∑∑ ().（1）在（1）两端同时乘以1n, 有 1111111()().pqn n npq i i i i i i i f g f g n n ===≤∑∑∑ （2）（2）式右端11111()()pqnnpqi i i i n f g -==∑∑=111111()()pqnnp q pqiii i nf g ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===∑∑1111.pqpqnni i i i f g nn==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑于是，（2）式就转化为11111.pqpqnnni i i i i i i f g f g n n n ===⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 而,b ax n-∆=故b a n x -=∆，将n 代入上式, 得 11111.pqpqnn ni i i i i i i x x x f g f g b a b a b a ===⎛⎫⎛⎫∆∆∆≤⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑ （3）即11111111pqpqnn n i i i i i i i f g x f x g x b a b a b a ===⎛⎫⎛⎫∆≤⋅∆⋅⋅∆ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑（4）对（4）式两端取极限，当n x →∞∆→，０时, 并由引理6得1111..pqpqbbb aa a f g dx f dx g dxb ab a ⎛⎫⎛⎫≤⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 化简上式, 即得11..p qpqbb b aa a f g dx f dx g dx ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰证毕.2.3 Hölder 不等式的概率形式及证明概率形式：设ξ为一个正随机变量, ,r s 为任意正实数且r s E E ξξ-、存在.则有().r ss r E E ξξ--≥（）证明：令1+(),();r r s s r s r srE a f x a x a x sE ξξ---==+ 则由0a >且()f x 在∞（0，）上有最小值 [()()].s rr ss r s r r sm as r-++=+ 因此有[()()].s rrssrr ss rs r r s a a as rξξ---+++≥+ 取期望得[()()]s r rssrr ss r s r r sa E a E as rξξ---+++≥+，而()=()()s r r s s r r s s s r r r s s rs ra E a E a a E a E m E E ξξξξξξ------++++=所以()()1s r r s s rs rE E ξξ-++≥ 即 ()().r s s r E E ξξ--≥3 Hölder 不等式的推广及应用3.1 Hölder 不等式的推广定理设i p 满足111,ni ip ==∑且0,i p > 则对任何可测函数(),i p i f L E ∈有121212.......nn m np p p Ef f f d f f f ≤⋅⎰证明：当2n =时显然成立.（即Hölder 不等式的积分形式）假设当n k =时成立, 即 (2)12121kp np p m Ek f f f d f f f ⋅≤⎰（1）这里i p 满足12111...1,0ik p p p p ⎛⎫+++=> ⎪⎝⎭且下面验证当1+=k n 时结论是否成立. 即验证当121111...1,0i k p p p p ++++=>且时1321121121......+++⋅≤⎰k p k p np p m Ek k f f f f d f f f f 是否成立.令=l 1k p p p 1 (112)1+++，则1111k l p ++=且121111,k p p p l l l=++⋅⋅⋅+由Hölder 不等式得m Ek k d f f f f ⎰+121...1121121...+++⋅⋅⋅⋅≤=⎰k p k lkm k Ek f f f f d f f f f ，（2）由假设得到.})({})({})({ (2)2112121kkp lm Elp lk p lm Elp lp lm Elp lm lEk d f d f d f d f f f ⎰⎰⎰⎰⋅⋅⋅⋅≤kkp lm p Ek p lm p Ep lm p Ed f d f d f }{}{}{221121⎰⎰⎰⋅⋅⋅⋅=．所以lm lEk lkd f f f f f f 12121}...{...⎰=kkp lm p Ek p l m p Ep lm p Ed f d f d f }{}{}{221121⎰⎰⎰⋅⋅⋅⋅≤kp np p f f f (2)121⋅=代入（2）式即得结论, 命题得证.注：此结论形式上与Hölder 不等式积分形式有细微差别, 但由于1212m m EEf f f dm f f f dm ⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅⎰⎰恒成立，所以上述命题的结论也可以改成：121212.nm np p p Ef f f dm f f f ⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅⋅⎰从定理可以看出, 当2n =时，不等式就是积分形式的Hölder 不等式. 因此，不等式（1）是积分形式的Hölder 不等式的推广.3.2 Hölder 不等式的应用1）卷积形式的Young 不等式：设)1)((),(1∞≤≤∈∈p R L g R L f n p n , 则p pg fgf 1≤*;2）广义形式的Young 不等式：,111),,1)((),(≥+∞≤≤∈∈qp q p R L g R L f n q n p 则有),(n r R L g f ∈* 且有).1111(,rq p g fgf q pr+=+≤* 证明：当1=q 时，p r =，就是通常的Young 不等式. 当∞=q 时，1,=∞=p r ，此时成立是显然的. 下面只考虑1,p q <<∞的情形，由1111p q r+=+得 111111,pq r q r r p q-+=+<+<<，11111()()1p r q r r-+-+=，1111/(1)/(1)p q rp q r r++=--，利用Hölder 不等式得 ()()nR f g f y g x y dy *=-⎰111()()(()())np q pqr rrR f y g x y f y g x y dy --≤--⎰111(()())np q qprrrp qR f gf yg x y dy --≤-⎰.对上式两端取r 次方，在n R 上积分后，取1r次方，即得结果.3）积分形式的闵可夫斯基不等式：如果1p ≤<∞，对于(),()P p u L v L ∈Ω∈Ω，有()p u v L +∈Ω，并且pp p u vu v +≤+.证明：当1p =时，由绝对值的三角不等式关系，显然成立. 当1p >时，我们应用Hölder 不等式积分形式的技巧来证明. 当1p >时，1pp u v u vu v -+=++11p p u u vv u v--≤+++，因此，由（2.2）Hölder 不等式的积分形式我们有11pp p u v dx u u vdx v u vdx --ΩΩΩ+≤+++⎰⎰⎰1111()()()()p p ppppppppu u v v u v --ΩΩΩΩ≤+++⎰⎰⎰⎰即111()()()ppppppu v dx u dx v dx ΩΩΩ+≤+⎰⎰⎰，即 pp p u v u v +≤+. 证毕.注：当1p >时，上述等号成立当且仅当存在两个不全为零的非负数12,c c ，使得12()()c u x c u x =；这里, 应用积分形式的Hölder 不等式证明了上述形式的不等式.致谢本文是在张映辉博士的指导和帮助下完成的, 在此对张老师表示衷心的感谢!参考文献[1] 王松桂，贾忠贞. 矩阵论中不等式[M]. 合肥：安徽教育出版社，1994.[2] HARDY G H，LITTLEWOOD J E，POLYA G. 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Minkowski不等式的证明(积分形式)

闵可夫斯基不等式在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski不等式）表明L p空间是一个赋范向量空间。

设是一个度量空间，，那么，我们有：如果，等号成立当且仅当，或者闵可夫斯基不等式是中的三角不等式。

它可以用赫尔德不等式来证明。

值得指出的是，如果，，则可以变为。

积分形式的证明我们考虑的次幂：（用三角形不等式展开）用赫尔德不等式（见下文）继续运算可得（利用，因为）现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项，除以最后那个表达式的后面那个因子，我们得到:因为，我们最终得出：这就是我们所要的结论。

对于序列的情况，证明是完全类似的。

赫尔德（Holder ）不等式设()n i b a i i ≤≤1,是2n 个正实数，,1,0,0=+>>βαβα则βαβα⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===ni i ni i ni iib a b a 111.[证明] 令∑∑====ni i ni i b B a A 11,那么∑∑==--⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ni i i ni iiB b A a b aBA 11βαβαβαβαβαβαβαβα++≤++=+B b A a B b A a B b A a ii i i i i lg lg lg lg lg利用Jensen 不等式有B b A a B b A a i i i i βαβα+≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛成立1111=+=+≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===βαβαβαn i i ni n i i i i b B a A B b A a 即βαβαβα⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=≤∑∑∑===ni i ni i n i i i b a B A b a 111,得证。

易知积分形式也成立。

柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k n k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或、均为零。

赫尔德不等式和闵科夫斯基不等式的证明

赫尔德不等式和闵科夫斯基不等式的证明设函数f和g是定义在[a,b]上的可积函数。

则对于任意实数p和q，满足1/p+1/q=1，赫尔德不等式可以表述为：∫(a→b) ，f(x)g(x)，dx ≤ ( ∫(a→b) ，f(x)，^p dx )^(1/p) * ( ∫(a→b) ，g(x)，^q dx )^(1/q)证明：1.当p=1或q=1时，不等式成立，因为此时不等式等价于普通积分的绝对值不等式。

2.当p>1和q>1且都不为无穷时，可以证明p和q可以写成以下形式：p=a/(a-1)和q=b/(b-1)其中a和b是任意正实数。

根据Young不等式，对于p' 和 q'，满足 1/p' + 1/q' = 1，有：∫(a→b) ，f(x)，^p dx ≤ ( 1/p' * ∫(a→b) ，f(x)， dx )^p* ( 1/q' * ∫(a→b) 1 dx )^(p - 1) = ( ∫(a→b) ，f(x)， dx )^p* (b - a)^(1 - p)同理，对于g(x)，有：∫(a→b) ，g(x)，^q dx ≤ ( ∫(a→b) ，g(x)， dx )^q * (b - a)^(1 - q)将以上两个不等式代入赫尔德不等式的左边得到：∫(a→b) ，f(x)g(x)，dx ≤ ( ∫(a→b) ，f(x)， dx )^p * ( ∫(a→b) ，g(x)， dx )^q * (b - a)^(1 - p) * (b - a)^(1 - q)由于1-p=-1/(a-1)和1-q=-1/(b-1)(b-a)^(1-p)=(b-a)^(-1/(a-1))=(b-a)^(-b/(a-1))(b-a)^(1-q)=(b-a)^(-1/(b-1))=(b-a)^(-a/(b-1))将以上两个结果代入得到：∫(a→b) ，f(x)g(x)，dx ≤ ( ∫(a→b) ，f(x)， dx )^p * ( ∫(a→b) ，g(x)， dx )^q * (b - a)^(-b/(a - 1)) * (b - a)^(-a/(b - 1))结合 (b - a)^(-b/(a - 1)) * (b - a)^(-a/(b - 1)) = (b -a)^(-(b/(a - 1) + a/(b - 1))) = (b - a)^(-ab/(a - 1)(b - 1)) = 1得到最终的赫尔德不等式：∫(a→b) ，f(x)g(x)，dx ≤ ( ∫(a→b) ，f(x)，^p dx )^(1/p) * ( ∫(a→b) ，g(x)，^q dx )^(1/q)。

闵可夫斯基不等式的证明

闵可夫斯基不等式的证明闵可夫斯基不等式是指对于实数序列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和$b_1,b_2,\cdots,b_n$，有如下不等式成立：$$\left(\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)^p\right)^{\frac{1}{p}}\leq\left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\sum_{i=1}^nb_i^p\right)^{\frac{1}{p}}$$。

其中 $p\geq1$。

下面介绍闵可夫斯基不等式的证明。

思路：闵可夫斯基不等式的证明基于构造函数和用到了柯西-施瓦茨不等式。

证明：为了证明闵可夫斯基不等式，构造函数$f(x)=(a_i+x)^p$和$g(x)=(b_i-x)^p$。

由于$f(x)$和$g(x)$均为凸函数，所以它们的和$h(x)=f(x)+g(x)$也是凸函数。

于是，有：$$h\left(\frac{a_i-b_i}{2}\right)=2^p\left(\frac{a_i+b_i}{2}\right)^p$$。

利用柯西-施瓦茨不等式，我们有：$$\begin{aligned}。

&\left(\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)^p\right)^{\frac{1}{p}}\\。

\leq&\left[\sum_{i=1}^n\left(a_i^p+b_i^p+2^p\left(\frac{a_i+b_i}{2}\ right)^p\right)\right]^{\frac{1}{p}}\\。

=&\left[\left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\sum_{ i=1}^nb_i^p\right)^{\frac{1}{p}}+2^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{i=1} ^n\left(\frac{a_i+b_i}{2}\right)^p\right)^{\frac{1}{p}}\right]^{ \frac{1}{p}}\\。

闵可夫斯基不等式公式推导过程

闵可夫斯基不等式公式推导过程嘿，咱今儿个就来唠唠闵可夫斯基不等式公式的推导过程！这可真是个有意思的玩意儿。

你想啊，数学就像是一座神秘的城堡，里面藏着无数的宝藏和秘密。

而闵可夫斯基不等式公式呢，就是城堡里的一颗璀璨明珠。

咱们先从最基础的概念说起哈。

想象一下，有一堆数字，就像一群小精灵在那蹦跶。

然后呢，我们要通过一些奇妙的操作，把它们给整理得服服帖帖的。

闵可夫斯基不等式公式就像是一个神奇的魔法咒语，能让这些小精灵乖乖听话。

那它到底是怎么推导出来的呢？这就好比搭积木，一块一块地往上垒。

我们先得有个牢固的基础，然后一点点地往上加东西。

比如说，我们先从最简单的情况开始研究，就像摸着石头过河一样。

一步一步地，慢慢地去理解它的本质。

在这个过程中，我们得开动脑筋，就像侦探破案一样，不放过任何一个小细节。

有时候可能会遇到一些难题，哎呀，这可咋办呢？别急，咱慢慢想办法。

也许会觉得有点头疼，但是当你突然灵光一闪，找到那个关键的突破点时，哇塞，那种感觉简直太棒了！就像在黑暗中找到了一盏明灯。

然后呢，我们把这些小步骤一个个串起来，就像串珠子一样，慢慢地就形成了一个完整的推导过程。

你说数学是不是很神奇？一个小小的公式，背后竟然有这么多的奥秘。

通过不断地思考、尝试、犯错、再尝试，我们最终才能揭开闵可夫斯基不等式公式的神秘面纱。

它就像是一个隐藏在数学世界里的宝藏，等待着我们去挖掘，去发现。

所以啊，别小看了这个推导过程，它可凝聚了无数数学家的智慧和汗水呢！当你真正理解了这个推导过程，你就会对数学有更深的感悟，也会更加佩服那些伟大的数学家们。

咋样，是不是对闵可夫斯基不等式公式的推导过程有点好奇了呢？赶紧去探索一番吧！相信你会有不一样的收获！。

世界数学史上十个著名不等式

数学史上的十个有名不等式在数学领域里，不等式知识据有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更为丰富多彩．下边摘要介绍一些有名的不等式．一、均匀不等式（均值不等式）设，，，是个实数，叫做这个实数的算术均匀数．当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何均匀数．当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调解均匀数．设，，，为个正数时，对以下的均匀不等式：，当且仅当时等号成立．均匀不等式是一个重要的不等式，它的应用特别宽泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一．设，，，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且二者都是当且仅当个变数相互相等时，即时，才能获得最大值或最小值．在中，当时，分别有，均匀不等式常常用到的几个特例是（下边出现的时等号成立；（3），当且仅当时等号成立；（4），当且仅当时等号成立．二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对随意两组实数，，，；，，，，有，此中等号当且仅当时成立．柯西不等式常常用到的几个特例（下边出现的，，；，，都表示实数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有很多应用和推行，与柯西不等式相关的比赛题也屡次出现，这充足显示了它的独专门位．三、闵可夫斯基不等式设，，，；，，，是两组正数，，则（）（）当且仅当时等号成立．闵可夫斯基不等式是用某种长度胸怀下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解．若记，，则上式为四、贝努利不等式（1）设，且同号，则（ 2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立．不等式（ 1）的一个重要特例是（）．五、赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．六、契比雪夫不等式（1）若，则；（2）若，则下边给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解．如图，矩形 OPAQ中，，，明显暗影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）．于是有，也即七、排序不等式设有两组数，，，；，，，知足，则有，式中的，，，是1，2，，的随意一个摆列，式中的等号当且仅当或时成立．以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和这个不等式在不等式证明中据有重要地位，它使许多困难问题水到渠成．八、含有绝对值的不等式为复数，则，左侧的等号仅当的幅角差为时成立，右侧的等号仅当的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是，也可记为绝对值不等式在实数的条件下用得许多。

明可夫斯基不等式证明

明可夫斯基不等式证明明可夫斯基不等式是数学中的一条重要不等式，它用于衡量两个随机变量的总体偏差。

该不等式表明，如果两个随机变量的二次矩存在，则它们的总体偏差是它们各自绝对偏差平方和的平方根。

这个定理可以用于证明许多重要结论。

设X和Y是两个随机变量，它们的方差分别为Var(X)和Var(Y)，则有：Var(X + Y) ≤ Var(X) + Var(Y)这个不等式的证明相对来说比较简单。

首先，我们有Var(X + Y) = E[(X + Y - E[X + Y])^2]，其中E是期望运算符。

这可以进一步化简为：Var(X + Y) = E[(X - E[X])^2] + 2E[(X - E[X])(Y - E[Y])] + E[(Y - E[Y])^2]在上式中，等号右侧的第一项和第三项分别是X和Y的方差，即Var(X)和Var(Y)。

因此，我们可以进一步将上式化简为：Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2cov(X,Y)其中cov(X,Y)为X和Y的协方差。

我们知道，协方差是衡量X和Y之间关联程度的指标。

如果X和Y独立，则其协方差为0；反之，如果它们相关，则协方差为正或负。

因此，我们可以将它们的协方差表示为：cov(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]于是，我们可以将明可夫斯基不等式进一步化简为：Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2E[(X - E[X])(Y - E[Y])]≤ Var(X) + Var(Y) + 2E[((X - E[X])^2 + (Y - E[Y])^2)/2] ≤ Var(X) + Var(Y) + E[(X - E[X])^2] + E[(Y - E[Y])^2]这样就得到了明可夫斯基不等式。

此不等式表明了总体偏差的上界，即最终结果不会超过每个随机变量的绝对偏差平方和的平方根。

积分形式和离散形式的holder不等式与逆holder不等式的证明

积分形式和离散形式的holder不等式与逆holder不等
式的证明
闵可夫斯基不等式
在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski不等式）表明Lp空间是
一个赋范向量空间。

设是一个度量空间，，那么，我们有：
如果，等号成立当且仅当，或者
闵可夫斯基不等式是中的三角不等式。

它可以用赫尔德不等式来证明。

和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量
的特殊形式：
对所有实数，这里是的维数；改成复数同样成立，没有任何难处。

值得指出的是，如果，，则可以变为。

积分形式的证明
我们考虑的次幂：
（用三角形不等式展开）
用赫尔德不等式（见下文）继续运算可得。

闵克夫斯基不等式的证明

闵克夫斯基不等式的证明
闵克夫斯基不等式作为习题与柯西-施瓦茨不等式同时出现。

通过我自己的证明发现，闵克夫斯基不等式实际上是在柯西-施瓦茨不等式基础上推导而出的。

有了柯西-施瓦茨不等式的证明经历，证明闵克夫斯基不等式倒没废多大功夫。

不过，在不知道柯西-施瓦茨不等式的情况下，要证明它还是有一定难度的。

其实数学定理都是由浅入深，一环扣一环的。

相对复杂的定理或
公式，都是由简单的定理或公式推理得来的。

对于大学本科或更高阶段的数学学习，我觉得最重要的还是对基础定理、定义的理解。

像高中阶段去刷难题已经没有必要，学习的重点已经从技巧过度到深度和广度上。

PS：毕业十几年，作为一个文科生，最后悔的就是没有学过高等数学，没有建立微积分的思想体系，虽然孩子都能打酱油了，但还是捡起来，自己慢慢学。

学习目标是，以书本（同济第七版）为范围，书上的所有定理、定义和公式都要自己会推导，所有课后习题都要会做。