对十二平均律的解读与平均律构成原则

怎样解读十二平均律以及平均律原则的确立

黄力民

摘 要：十二平均律由五度律而派生，其原则既是是八度内各音等程，又是对一种既有音阶的近似调整，实质是对于最简整数比和谐性原理的基本或近似认同，使用十二平均律、五十三声平均律以外的“平均律”音乐作品当属于不和谐音乐。

五度律、纯律与十二平均律是音乐理论与实践中的三大律制，十二平均律的十二声音阶由八度内12个音组成，任何相邻两音的音程相等。由于平均律的形式简单，音乐史上对于十二平均律之外的其他平均律有许多理论与实践的探讨：人为创制的平均律如奥地利人Elsaz 的十九平均律（1590年），荷兰数学家、物理学家Huygems 的三十一平均律（1661年），比利时数学家、地理学家Mercator 的五十三平均律（16世纪末）[3]203；某些民族音乐作品

被认为采用了其他形式的平均律，如七平均律等[1、

2]。乐律学上需要探讨的问题是作为主流律制之一的十二平均律究由何而产生？能合理解释十二平均律的原则是否可以用于其他的平均律？

乐律含有复杂的数学关系，其真实渊源又不可考，是神秘的文化现象之一。但由于人类艺术禀赋的古今贯通，今人有可能运用各种科学技术知识进行合理的解读。

1、 五度律的核心原则是五度相生与音列封闭

两音的频率比若是简单的整数关系则两音具有和谐的关系，这一现象的数学解释是：每个音都可分解为由一次谐波（基音）与一系列整数倍频率谐波（倍音）的叠加，两音的频率比若是简单的整数关系意味着对应的两个谐波系列含有相同频率的谐波愈多[5]，例如1（do ）音的谐波中有三分之一与5（so ）音的二分之一的谐波频率相同。尽管人类在听觉方面的启示主要来源于弦乐器的演奏而历史悠久，但直到18世纪数学家才得出弦振动的频率公式。确定频率与弦长的反比关系使得和谐现象的数学解释，即最简整数比的和谐性原理更加清晰。

最简单的整数比是2:1，产生八度音关系。次于2:1的简单整数比是3:2，以3:2的音程关系生成音列，就是五度律的五度相生原则。

由数学可知，按照3:2的音程关系生成的音列中的任何两音都不可能是八度意义上相同的。因此，在器乐、声乐表演及人的听觉接受的频率范围内（大约是16~4000赫兹）将有无数多个音，他们是含混不请的，毫无和谐性可言。从五度关系到音阶的决定性一步是要在五度相生的基础上确定在一个八度内只使用几个音而不是无数多个音。数学上的解读是将如下开放的音列

,23,23,23,1⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ 改造为封闭的循环往复音列。由（3/2）7=17.09≈24，可以认为（3/2）7与1之比是24，即高四个八度的关系，继而（3/2）8与（3/2）1也是高四个八度关系等等，得到下列由7个音组成的音列[5]

23,23,23⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛,23,23,231,3

2

折合到八度之内就是：

2,128

243,1627,23,512729,6481,89,1 如果以上述第5音为基音，就得到常见的五度律七声音阶大调式： 表1

C D E F G A B C 1

89 6481 34 23 1627 128

243

2

其中有两种二度音程：一种是9:8即203.9音分，一种是256:243即90.2音分。

根据（3/2）12=129.7≈27又可制出五度律十二声音阶如下： 表2

C #

C D

#

D E F

#

F G

#

G A

#

A B C

1

23 23 23

23 32 23 23

2

3 23 23 23 2

五度律十二声音阶的两种音程关系是：256:243=28:35即90.2音分，2187:2048=37:211即113.7音分。

按法则：

（3/2）n ≈2m

还可制出五度律十七声、二十四声、二十九声、三十六声、四十一声、四十八声、五十三声等音阶。

2、纯律、十二平均律由五度律而派生

五度律七声音阶的1、3、5（do 、mi 、so ）三音的频率之比是1:81/64:3/2，即64:81:96，纯律将这个关系修改为64:80:96，即1: 5/4: 3/2或4:5:6，使大三和弦1-3-5三音间的频率之比更加简单。然后从5(so)音上行复制两音7、⋅

2，从1(do)音下行复制两音⋅

6、⋅

4，共得7

个音构成七声音阶如表3。

表3

C D

E

F

G

A

B

C 1

89 45 34 23 35 8

15 2

纯律七声音阶与五度律七声音阶各有所长，在相邻两音的频率比方面，纯律七声音阶比五度律七声音阶简单；而在二度音程的种类方面，纯律七声音阶有3种音程，而五度律七声音阶只有2种音程。但更重要的事实是纯律与五度律有相同的五度关系。

如上节所述五度律十二声音阶有两种二度音程，分别是28:35与37:211，相当于90.2音分与113.7音分。十二平均律将两种二度音程统一修改为100音分，即任何两相邻音频率之比都是(2)1/12，这使得键盘乐器上相邻两键都是等音程的，也就是可以十分方便地转调。五度相生原则虽遭破坏——五度关系变为(2)7/12=1.4983（700音分）而不是严格的3:2（702音分）——但毕竟差别甚微。

3、平均律的原则既是是八度内各音等程，又是对一种既有的音阶的近似调整 观察表2可知五度律十二声音阶的两种音程——自然半音90.2音分与变化半音113.7音分相差不大，可以推想十二平均律的发明者朱载堉(1536-1610)与S.Stevin （约1548-约1620）注意到了这一情况又忧心于五度律十二声音阶在调性转换上的复杂，才有创制平均律的冲动。当然，五度律十二声音阶之所以是表2的样子，是前述五度律两个原则推演的结果（这里指今人的解读而非五度律十二声音阶的真实起源），任何对这个结果的修改都意味着五度律原则的放弃。由于各音位置变动很小，我们也可以说十二平均律是对五度律十二声音