人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
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人教B版高中数学必修一第二章2.4.1函数的零点课件
已知二次函数y=x2－x－6，y=0时，
0
作函数f(x)=x3-2x2-x+2的图象 +c(a > 0)的图象
x
这个函数的零点.
新 二次函数y=ax2+bx+c的零点个
知 数，方程ax2+bx+c=0的实根个
探 数见下表：
究
判别式 方程的根
函数的零点个 数
△＞0 两 个 不 相 等 的 2 个 （ 变 号 零
+c(a > 0)的图象 +c(a > 0)的图象 ②在区间[b,c]上 (有/无)零点,f(b)·f(c)____0(<,>) 这个函数的零点. 作函数f(x)=x3-2x2-x+2的图象 例2：求函数f(x)=-x2-2x+3 的实数根，亦即函数图像与x轴交点 二次函数y=ax2+bx+c的零点个数，方程ax2+bx+c=0的实根个数见下表： 已知二次函数y=x2－x－6，y=0时， 观察下面函数y=f(x)的图象： a 处的值等于零，即f(a)=0，则a叫做
的实数根，亦即函数图像与x轴交点
的横坐标，也是不等式f(x)>0(<0)
的端点值.
新 例1：判断下列函数的零点： 知 探 (1)f(x)=x2-2x+1;
究 (2)f(x)=x2-2x+3.
例1：判断下列函数的零点：
例2：求函数f(x)=-x2-2x+3
二次函数y=ax2+bx+c的零点个数，方程ax2+bx+c=0的实根个数见下表：
(1)f(x)=x2-2x+1;
4.利用函数零点的性质作函 零点位于区间（ ）
高中数学人教B版必修一课件2.4函数零点与二分法
思考:
f(x)=x3+x2+1在(-2,-1)上的零点更靠近区间的哪 个端点？能不能限制在更小的区间上？
要解决这个问题,需要新的方法
问在题一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防
洪指挥部的一条16km长电话线发生故障，要 把故障可能发生的范围缩小到1km左右要检 查多少次？
4次 定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较， 按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法，
A
B
C
D
注：二分法只适用于连续函数变号零点 的求解，不变号零点问题不能使用
练习
2.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间[-2,4]上的零点必
D 定在()内其中f(1.75)<0
(A)[-2,1](B)[2.5,4] (C)[1,1.75](D)[1.75,2.5]
课堂小结
1. 二分法定义 2. 二分法是求函数零点近似解的一种计算方
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
2.4函数零点与二分法
一零点定义：
使函数y f (x)的值为0的实数x的值 称为函数的零点
函数y=f(x)的零点
数
方程f(x)=0的实数根
形
函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
二零点的分类：
（1）变号零点(穿过x轴的零点）
如右图x1
x1 x2
（2）不变号零点（与x轴的相切的零点）
法. 2.解题步骤 ①确定初始区间
②计算并确定下一区间，定端点值符号 ③循环进行，达到精确度。 3.二分法渗透了逼近的数学思想.
y
y
0a
bxBiblioteka 0ayybx
0a
bx
0a
bx
f(x)=x3+x2+1在(-2,-1)上的零点更靠近区间的哪 个端点？能不能限制在更小的区间上？
要解决这个问题,需要新的方法
问在题一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防
洪指挥部的一条16km长电话线发生故障，要 把故障可能发生的范围缩小到1km左右要检 查多少次？
4次 定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较， 按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法，
A
B
C
D
注：二分法只适用于连续函数变号零点 的求解，不变号零点问题不能使用
练习
2.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间[-2,4]上的零点必
D 定在()内其中f(1.75)<0
(A)[-2,1](B)[2.5,4] (C)[1,1.75](D)[1.75,2.5]
课堂小结
1. 二分法定义 2. 二分法是求函数零点近似解的一种计算方
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
2.4函数零点与二分法
一零点定义：
使函数y f (x)的值为0的实数x的值 称为函数的零点
函数y=f(x)的零点
数
方程f(x)=0的实数根
形
函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
二零点的分类：
（1）变号零点(穿过x轴的零点）
如右图x1
x1 x2
（2）不变号零点（与x轴的相切的零点）
法. 2.解题步骤 ①确定初始区间
②计算并确定下一区间，定端点值符号 ③循环进行，达到精确度。 3.二分法渗透了逼近的数学思想.
y
y
0a
bxBiblioteka 0ayybx
0a
bx
0a
bx
高中新课程数学(新课标人教B版)必修一2.4.1《函数的零点》课件2
y
函
.
2
.
.y
.
数 的
.1
.
－1 0 1 2 3 x
2
1. .
图
－1 －2
. －1 0 1 2 x
பைடு நூலகம்
－3
象
. －4
方程的实数根x1=－1,x2=3
函数的图象 与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
x1=x2=1 (1,0)
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
y
.5 . .4 . 3.
2 1
－1 0 1 2 3 x
无实数根 无交点
问题3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元 二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，
上述结论是否仍然成立？
判别式△ = b2－4ac
△＞0
方程ax2 +bx+c=0 两个不相等
(a>0)的根
的实数根x1 、x2
y
函数y= ax2 +bx
+c(a>0)的图象
x1 0
x2 x
那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的
一个零点。
例题 2 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1） 和图象（图3.1—3）
x
1
2
3
4
56
7
8
9
f（x） －4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
y
y
0a y 0a
bx bx
0a y
高中数学 2.4.1 函数的零点课件 新人教B版必修1
名师点睛 1．函数零点的理解 (1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时， 其函数值等于零． (2)函数的零点也就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐 标． (3)求函数的零点最直接的方法就是求方程 f(x)＝0 的根． 2．函数零点的性质 (1)当函数的图象通过零点且穿过 x 轴时，函数值变号． (2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
m>－56，
方法技巧 数形结合研究方程的根与函数的零点 方程、函数的图象、函数间的内在联系，在具体使用时， 可以通过下面的变形：方程 f(x)＝g(x)有实根⇔函数 y＝f(x)的图 象与 y＝g(x)的图象有公共点⇔函数 y＝f(x)－g(x)有零点．即用 数形结合求函数的零点． 【示例】 试讨论函数 f(x)＝x2－2|x|－a－1(a∈R)的零点个 数．
(2)结合草图考虑四个方面：①Δ 与 0 的大小；②对称轴与
所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向．
(3)写出由题意得到的不等式．
(4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意，这类问题充
分体现了函数与方程的思想．
【训练 3】 已知关于 x 的二次方程 x2＋2mx＋2m＋1＝0. 若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间 (1,2)内，求 m 的取值范围．
9－6＋a>0，
解得－3<a<0. ………………………………………….8 分
(3)由方程的两个根都大于零，得
Δ＝4－4a>0，
－－22>0，
解得 0<a<1. …………………..12 分
f0>0，
【题后反思】 解决有关根的分布问题应注意以下几点：
(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．
高中数学 2.4.1函数的零点课件 新人教B版必修1
第十二页，共21页。
问题 4 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的 一条曲线，函数 y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，那么 f(a)·f(b)<0 是否一定成立？ 答 不一定成立，由下图可知．
第十三页，共21页。
问题 5 如果函数 y＝f(x)满足了在区间[a，b]上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0 两个条件后，函数的零 点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一零 点？ 答 函数零点不一定唯一，由下图可知．还需添加函数 y＝ f(x)在区间[a，b]上单调．
第十九页，共21页。
3.如果二次函数 y＝x2＋mx＋m＋3 有两个不同的零点，则 m
的取值范围是
(C )
A．(－2,6)
B．[－2,6]
C．(－∞，－2)∪(6，＋∞)
D．{－2,6}
解析 由题意，得 Δ＝m2－4(m＋3)>0， 即 m2－4m－12>0，∴m>6 或 m<－2. 4.若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 的零点是 2 和－4，则 a＝___2___，b ＝___－__8___.
第三页，共21页。
2.二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点． 当 Δ＝b2－4ac>0 时，二次函数有_2_个零点； Δ＝b2－4ac＝0 时，二次函数有_1_个零点； Δ＝b2－4ac<0 时，二次函数有_0_个零点．
3.如果函数 y＝f(x)在实数集 R 上有零点 a，b (a<b)，当函数的 图象通过零点且穿过 x 轴时，函数值_变__号__，并在区间(－∞， a)、(a，b)、(b，＋∞)上所有函数值保持同号.
第十一页，共21页。
问题 4 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的 一条曲线，函数 y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，那么 f(a)·f(b)<0 是否一定成立？ 答 不一定成立，由下图可知．
第十三页，共21页。
问题 5 如果函数 y＝f(x)满足了在区间[a，b]上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0 两个条件后，函数的零 点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一零 点？ 答 函数零点不一定唯一，由下图可知．还需添加函数 y＝ f(x)在区间[a，b]上单调．
第十九页，共21页。
3.如果二次函数 y＝x2＋mx＋m＋3 有两个不同的零点，则 m
的取值范围是
(C )
A．(－2,6)
B．[－2,6]
C．(－∞，－2)∪(6，＋∞)
D．{－2,6}
解析 由题意，得 Δ＝m2－4(m＋3)>0， 即 m2－4m－12>0，∴m>6 或 m<－2. 4.若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 的零点是 2 和－4，则 a＝___2___，b ＝___－__8___.
第三页，共21页。
2.二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点． 当 Δ＝b2－4ac>0 时，二次函数有_2_个零点； Δ＝b2－4ac＝0 时，二次函数有_1_个零点； Δ＝b2－4ac<0 时，二次函数有_0_个零点．
3.如果函数 y＝f(x)在实数集 R 上有零点 a，b (a<b)，当函数的 图象通过零点且穿过 x 轴时，函数值_变__号__，并在区间(－∞， a)、(a，b)、(b，＋∞)上所有函数值保持同号.
第十一页，共21页。
2012高一数学人教B必修一课件集2.4.1《函数的零点》三
答案（1）两个
（2）一个
（1）可直接解方程（2）可解方程也可数形结合
互动探究
例2：求函数的零点
(1) y x4 1
(2) f (x) 3x2 7x 6
答案（1）1和-1
（2）-3和 2 3
变式训练：
(1)求函数的零点 f (x) (x2 x 2)( x2 2x 8)
(2)讨论y (ax 1)(x 2)的零点。
2, 4上是否也具有这种特点呢？
-2 -3
-4
（1）当函数的图像通过零点且穿过x轴时，函数值变 号。 （2）两个零点把x轴分为三个区间。 可以推广到任意函数，只要它的图像是连续的，上述 性质同样成立。
例1：判断函数零点的个数
（1）f (x) x2 x 6 (2) f (x) x2 1 x
复习回顾： (1)一元二次方程是否有实根的判定方法. (2)二次函数的顶点坐标，对称轴方程。
一：利用一元二次方程根的判别式 b2 4ac
(1)△＞0,二次方程有两个不同的实数根 (2)△=0，二次方程有两个相同的实数根 (3)△＜0，二次方程没有实数根
二：二次函数 by ax2 bx c(a 0)
无实根
无零点
探究
观 察 二 次 函 数 f (x) x2 2x 3 的 图 y 5
象，如右图，我们发现函数 f (x) x2 2x 3在 4 3
区间2,1上有零点。计算 f (2) 和 f (1) 的乘 2
1
积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1
2a
顶点坐标为(
, 4ac b2 ) 对称轴为
4a
x b 2a
观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的 二次函数的图象：
2019-2020学年度最新高中数学(人教B版)必修1课件：2.42.4.1函数的零点
∴a＞－56，又∵a≠0，∴a＞－56且 a≠0. 综上，a 的取值范围为－56，＋∞.
解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的 零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等 式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意 分类讨论．
在 多 年 的 高 三 复 习 备 考 中 ， 老 师 认 为 以 下 六 句 话 可 作 引 导 学 生 科 和 应 基 本 指 南 。 这 就 是 ： 础 决 定 能 力 ； 过 程 结 果 细 节 成 败 心 态 状 度 落 实 一 切 毫 无 疑 问 ， 高 考 复 习 的 主 要 目 就 是 回 归 基 础 巩 固 夯 实 。 没 有 能 力 中 每 一 道 题 查 都 离 不 开 可 谓 成 也 败 分 拿 下 来 总 法 上 去 为 此 对 知 识 足 够 重 视 和 耐 心 急 功 近 利 往 自 多 次 测 试 过 程 决 定 结 果 些 学 生 因 平 时 或 间 投 入 所 以 到 了 出 后 才 感 紧 张 备 事 个 系 统 天 、 节 课 部 如 在 某 方 面 话 必 然 会 产 良 只 调 控 期 待 好 里 说 细 指 现 性 错 误 精品精品
函数与方程
2．4.1 函数的零点
预习课本 P70～71，思考并完成以下问题
(1)函数零点的定义是什么？
(2)方程的根、函数的图象与 x 轴的交点、函数的零点三 者之间的联系是什么？
[新知初探]
1．函数的零点 如果函数 y＝f(x)在实数 α 处的值_等__于__零__，即_f_(α_)_＝__0_， 则_α__叫做这个函数的零点．在坐标系中表示图象与 x 轴的 公共点是_(α__，__0_) 点． [点睛] 函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自 变量取该值时，其函数值等于零．
解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的 零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等 式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意 分类讨论．
在 多 年 的 高 三 复 习 备 考 中 ， 老 师 认 为 以 下 六 句 话 可 作 引 导 学 生 科 和 应 基 本 指 南 。 这 就 是 ： 础 决 定 能 力 ； 过 程 结 果 细 节 成 败 心 态 状 度 落 实 一 切 毫 无 疑 问 ， 高 考 复 习 的 主 要 目 就 是 回 归 基 础 巩 固 夯 实 。 没 有 能 力 中 每 一 道 题 查 都 离 不 开 可 谓 成 也 败 分 拿 下 来 总 法 上 去 为 此 对 知 识 足 够 重 视 和 耐 心 急 功 近 利 往 自 多 次 测 试 过 程 决 定 结 果 些 学 生 因 平 时 或 间 投 入 所 以 到 了 出 后 才 感 紧 张 备 事 个 系 统 天 、 节 课 部 如 在 某 方 面 话 必 然 会 产 良 只 调 控 期 待 好 里 说 细 指 现 性 错 误 精品精品
函数与方程
2．4.1 函数的零点
预习课本 P70～71，思考并完成以下问题
(1)函数零点的定义是什么？
(2)方程的根、函数的图象与 x 轴的交点、函数的零点三 者之间的联系是什么？
[新知初探]
1．函数的零点 如果函数 y＝f(x)在实数 α 处的值_等__于__零__，即_f_(α_)_＝__0_， 则_α__叫做这个函数的零点．在坐标系中表示图象与 x 轴的 公共点是_(α__，__0_) 点． [点睛] 函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自 变量取该值时，其函数值等于零．
数学新同步课堂人教B全国通用版必修一课件：第2章 2.4 2.4.1 函数的零点
思考：怎样判断函数零点的个数？ [提示] (1)转化为解方程，有几个根就有几个零点． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，进而判定零点的个 数． (3)结合单调性，利用f(a)·f(b)<0，可判定y＝f(x)在(a，b)上至少有一个零 点． (4)转化为两个函数图象的交点个数问题．
(3)法一：(代数法)由x＋1＝0知x＝－1，但－1∉[0，＋∞)，故当x≥0时， 函数f(x)无零点；由x－1＝0知x＝1，但1∉(－∞，0)．
故当x<0时，函数f(x)无零点． 综上，函数f(x)＝xx＋ －11， ，xx≥ <00， 没有零点．
法二：(几何法)画出函数y＝f(x)＝xx＋ －11， ，xx≥ <00， 的图象，如图所示．
∵函数图象与x轴没有交点， ∴函数f(x)＝xx＋ －11， ，xx≥ <00， 没有零点．
[规律方法] 求函数零点的两种方法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：对于不易求根的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象 联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
∴函数g(x)＝bx2－ax的零点是0，－12.]
函数零点个数的判断
判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－1x. [思路探究] (1)中f(x)为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次 方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函 数求图象交点个数．
第二章 函数
2.4 函数与方程 2.4.1 函数的零点
学习目标：1.理解函数零点的概念．(重点)2.会求一次函数、二次函数的 零点．(重点)3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐 标之间的关系．(重点、难点)
【数学】241《函数的零点》(新人教B版必修1)PPT课件
-2 -3
-4
探究 二次函数零点的性质
y
5
1、在区间【-2，1】有零点—-1—；
4
f(-2)= __﹥__ 0,f(1)= __﹤__ 0 ,
3 2
f(-2)*f(1)=___﹤_ 0( 、或)
1
2、在区间[-2,4]上有零点_3__
f(2)*f(4)__﹤__ 0(、或)
； -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1 -2
(2)讨y论 (ax1)(x2)的零点。
思考与讨论 ：如何求函数的零 点？
规律方法：由于函数的零点是对应方 程的根，所以求函数的零点就是解与 函数相对应的方程，一元二次方程可 用求根公式，简单的高次方程可用因 式分解去求。
求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点
. －4
2
x 1. . . －1 0 1 2 x
方程的实数根 x1=－1,x2=3
x1=x2=1
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
y
.5 . .4 . 3.
2 1
－1 0 1 2 3 x
无实数根
函数的图象 与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
3
问题3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元 二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，
(x1,0)
没有交点
4
函数零点的定义：
对于函数y=f(x)在实数α处的函数值等于0，即 f(α)=0
则α叫做这个函数的零点。
零点是一个点吗?
注意： 零点指的是一个实数；
函数的零点意义：
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根。亦即函数 y=f(x)的图像与X轴交点的横坐标。即：
(人教B版)高中数学必修一课件：第二章 函数 2.4 2.4.1 函数的零点 教学课件
[活学活用]
1．若 abc≠0，且 b2＝ac，则函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的零点的 个数是________．
解析：∵ ax2＋ bx＋ c＝ 0 的根的判别式 Δ＝ b2－4ac， b2 ＝ ac，且 abc≠ 0， ∴ Δ＝－ 3b2＜ 0， ∴方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 无实根． ∴函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c 无零点． 答案： 0
函数与方程
2．4.1 函数的零点
预习课本 P70～71，思考并完成以下问题
(1)函数零点的定义是什么？
(2)方程的根、函数的图象与 x 轴的交点、函数的零点三 者之间的联系是什么？
[新知初探]
1．函数的零点
等于零 ， f(α)＝0 ， 如果函数 y＝f(x)在实数 α 处的值_______ 即_______ α 叫做这个函数的零点．在坐标系中表示图象与 x 轴的 则___
(α，0) 点． 公共点是______
[点睛]
函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自
变量取该值时，其函数值等于零．
2．二次函数的零点与相应二次方程根的关系
判别式 Δ 二次函数 y＝ax2 ＋ bx ＋ c(a>0) 的 图象
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
一 元 二 次 方 程 有两相异实 有两相等实 根 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 根 x1 ， 没有实根 b x1＝x2＝－ 2a 的根 x2(x1<x2) 二次函数 y＝ax2 有两个零点 有一个二重 零 ＋ bx＋ c 的零点 x1，x2 点 x1＝x2 没有零点
f0＞ 0 ∴f1＜ 0 f2＞ 0.
1 a＞ 0 2 1 即1－ ＋ ＜ 0 a a 4 1 4－a＋a＞ 0.
2.4.1 函数的零点 课件(人教B版必修1)
栏目 导引
第二章 函 数
解得 x＝1，与 x<0 矛盾． 所以函数 f(x)＝xx＋ －11， ，xx≥ <00没有零点． 法二：画出函数 y＝f(x)＝xx＋－11，，xx≥<00的图 象，如图所示，
栏目 导引
第二章 函 数
因为函数图象与 x 轴没有公共点， 所以函数 f(x)＝xx＋－11，，xx≥<00没有零点．
栏目 导引
第二章 函 数
2.二次函数零点的性质
(1)当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数 值_变__号___． (2)两个零点把x轴分为三个区间，在每个区 间上所有函数值__保__持__同__号___．
栏目 导引
第二章 函 数
典题例证技法归纳
题型探究
求函数的零点
例1 求下列函数的零点： (1)y＝x－1；(2)y＝x2－x－6.
第二章 函 数
2．4 函数与方程
栏目 导引
第二章 函 数
2．4. 1 函数的零点
栏目 导引
学习导航
学习目标
第二章 函 数
栏目 导引
第二章 函 数
重点难点 重点：求函数的零点． 难点：函数零点的个数的判断．
栏目 导引
第二章 函 数
新知初探思维启动
1.函数的零点
如果函数y＝f(x)在实数α处的值_等__于__零___， 即__f(_α_)_＝__0__，则α叫做这个函数的零点．
栏目 导引
第二章 函 数
零点个数的判断
例2 分别判断下列函数零点的个数，并说 明理由： (1)f(x)＝x2＋6x＋9； (2)f(x)＝xx＋－11，，xx≥<00.
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第二章 函 数
第二章 函 数
解得 x＝1，与 x<0 矛盾． 所以函数 f(x)＝xx＋ －11， ，xx≥ <00没有零点． 法二：画出函数 y＝f(x)＝xx＋－11，，xx≥<00的图 象，如图所示，
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第二章 函 数
因为函数图象与 x 轴没有公共点， 所以函数 f(x)＝xx＋－11，，xx≥<00没有零点．
栏目 导引
第二章 函 数
2.二次函数零点的性质
(1)当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数 值_变__号___． (2)两个零点把x轴分为三个区间，在每个区 间上所有函数值__保__持__同__号___．
栏目 导引
第二章 函 数
典题例证技法归纳
题型探究
求函数的零点
例1 求下列函数的零点： (1)y＝x－1；(2)y＝x2－x－6.
第二章 函 数
2．4 函数与方程
栏目 导引
第二章 函 数
2．4. 1 函数的零点
栏目 导引
学习导航
学习目标
第二章 函 数
栏目 导引
第二章 函 数
重点难点 重点：求函数的零点． 难点：函数零点的个数的判断．
栏目 导引
第二章 函 数
新知初探思维启动
1.函数的零点
如果函数y＝f(x)在实数α处的值_等__于__零___， 即__f(_α_)_＝__0__，则α叫做这个函数的零点．
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第二章 函 数
零点个数的判断
例2 分别判断下列函数零点的个数，并说 明理由： (1)f(x)＝x2＋6x＋9； (2)f(x)＝xx＋－11，，xx≥<00.
栏目 导引
第二章 函 数
人教新课标高中数学B版必修1《2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》课件
由上表的计算可知，区间[1.376，1.4375] 的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4， 因此1.4就是所取函数的一个正实数零点的近 似值。
函数f(x)=x3+x2－2x－2 的图象如图所示，实 际上还可以用二分法 继续计算下去，进而 得到这个零点精确度 更高的近似值。
二分法概念
y
x
1
2
3
4
5
6
6
5
-3
10
-5
-23
f (x)
A 1,2,2,3 B 2,3,3,4 C2,3,3,4,4,5 D 3,4,4,5,5,6
4. 用二分法求函数f(x)=x3-x-2在区间[1，2]内的 一个零点.（精确到0.1）
分析：由于 f(1 ) <0，f(2)>0 所以f(x) =x3-x-1区间[1，2]内存在零点 取区间[1，2]作为计算的初始区间
(2) f (x) x3 x 2, x1, 2
探究
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是
连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)<0，
则函数y=f(x)在区间[a,b]上零点是否 是唯一的？
零点存在性定理（教材P72） 如果函数 y f (x) 在区间[a，b]上的图像不间
断，并且在它的两个端点处的函数值异号， 即 f(a)·f(b)<0 ，则这个函数在这个区间上，
的步骤”吗?
二分法求方程近似解的口诀:
定区间，找中点， 中值计算两边看; 同号去，异号算， 零点落在异号间; 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
练习：
1、如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二
分法求y图中交点横坐y标的是____（y__1_）_ （3） y
人教版B版高中数学必修1：函数的零点_课件29
0.029，可知零点近似值为1.56.
【答案】 1.56
5．函数ƒ(x)＝x－ 的零点个数为________． 【解析】
方法二：在同一直角坐标系中画出y＝x与y＝的图象，观 察其交点的个数，显然为2个．
【答案】 2
零点的判断
判断下列函数在给定区间是否存在零点． (1)ƒ(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2)ƒ(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]． 【思路点拨】 第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出 零点，第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来 求解．
1．函数ƒ(x)＝x2＋3x－4的零点的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．以上都不对
【解析】
∵ƒ(x)＝0，即x2＋3x－4＝0的根是x＝－4或x＝1，
∴函数ƒ(x)＝0有两个零点．
【答案】 B
2．函数ƒ(x)＝ln x－ 的零点所在的大致区间是( ) A．(1,2) B．(2,3) C．(e，3) D．(e，＋∞) 【解析】
（1）函数的零点是函数y=f(x)与x轴的交点吗？ （2）是否任意函数都有零点？ 提示：（1）函数的零点不是函数y=f(x)与x轴的交点，而 是y=f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个 点，而是一个实数. (2)并非任意函数都有零点，只有f(x)=0有根的函数 y=f(x)才有零点.
【自主探究】 方法一： ∵ƒ(1)＝12－3×1－18＝－20<0， ƒ(8)＝82－3×8－18＝22>0， ∴ƒ(1)·ƒ(8)<0， 故ƒ(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点． 方法二：令ƒ(x)＝0得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]． ∴(x－6)(x＋3)＝0， ∴x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]， ∴ƒ(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]有零点．
高中数学 2.4.1 函数的零点配套课件 新人教B版必修1
第九页，共38页。
预习效果展示
1.函数 f(x)＝2x2－3x－9 的零点为( )
A.32，－3
B．－32，0，(3,0)
C.32，0，(3,0)
D．－32，3
第十页，共38页。
[答案(dáàn)] D [解析] 函数 f(x)＝2x2－3x－9 的零点，就是方程 2x2－3x －9＝0 的实数根，∴x＝－32或 3.
第二十七页，共38页。
易错疑难辨析
第二十八页，共38页。
若函数y＝ax2－x－1只有一个 零点，求实数(shìshù)a的取值范围．
[错解] 因为 y＝ax2－x－1 只有一个零点，所以关于 x 的方程 ax2－x－1＝0 有两个相等的实数解，所以 Δ＝0，即 1＋ 4a＝0，故有 a＝－14.
第七页，共38页。
知能自主梳理 1.函数零点的概念 一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y ＝f(x零)的点__(l_ín__ɡ_d_i_ǎn．) 因此，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0 的实数__(_s_h_ìs_h_ù_)根，从图象(tú xiànɡ)上看，函数f(x)的零点，就是它 的x图轴象(túxiànɡ)横与坐_标_____交点的________．
[答案] C
第三十八页，共38页。
第三十页，共38页。
思想方法技巧
第三十一页，共38页。
1．数形结合思想 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布问 题 ， 通 常 借 助 于 二 次 函 数 f(x) ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 的 图 象 来 解 决，利用函数思想研究一元二次方程根的分布问题体现了数形 结合的思想，一般要考虑四个因素： (1)二次项的系数； (2)判别式； (3)对称轴； (4)区间端点的取值，通过列出满足条件的不等式(组)来解 决． 我们知道函数y＝f(x)的零点就是(jiùshì)方程f(x)＝0的根．
预习效果展示
1.函数 f(x)＝2x2－3x－9 的零点为( )
A.32，－3
B．－32，0，(3,0)
C.32，0，(3,0)
D．－32，3
第十页，共38页。
[答案(dáàn)] D [解析] 函数 f(x)＝2x2－3x－9 的零点，就是方程 2x2－3x －9＝0 的实数根，∴x＝－32或 3.
第二十七页，共38页。
易错疑难辨析
第二十八页，共38页。
若函数y＝ax2－x－1只有一个 零点，求实数(shìshù)a的取值范围．
[错解] 因为 y＝ax2－x－1 只有一个零点，所以关于 x 的方程 ax2－x－1＝0 有两个相等的实数解，所以 Δ＝0，即 1＋ 4a＝0，故有 a＝－14.
第七页，共38页。
知能自主梳理 1.函数零点的概念 一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y ＝f(x零)的点__(l_ín__ɡ_d_i_ǎn．) 因此，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0 的实数__(_s_h_ìs_h_ù_)根，从图象(tú xiànɡ)上看，函数f(x)的零点，就是它 的x图轴象(túxiànɡ)横与坐_标_____交点的________．
[答案] C
第三十八页，共38页。
第三十页，共38页。
思想方法技巧
第三十一页，共38页。
1．数形结合思想 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布问 题 ， 通 常 借 助 于 二 次 函 数 f(x) ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 的 图 象 来 解 决，利用函数思想研究一元二次方程根的分布问题体现了数形 结合的思想，一般要考虑四个因素： (1)二次项的系数； (2)判别式； (3)对称轴； (4)区间端点的取值，通过列出满足条件的不等式(组)来解 决． 我们知道函数y＝f(x)的零点就是(jiùshì)方程f(x)＝0的根．
2018-2019学年高中数学人教B版必修一课件：2.4.1 函数的零点 .pdf
2.4.1 函数的零点目标导航课标要求1.理解函数零点的定义,会求简单函数的零点.2.从方程的根、函数零点的关系体验转化的数学思想.素养达成通过函数零点、方程的根的学习,使学生提高运用函数与方程思想的能力、数形结合思考问题的能力,培养直观想象与数学运算的核心素养.课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零,即 ,则α叫做这个函数的零点.2.一般地,函数f(x)的零点与方程根的关系是f(x)的零点个数与方程根个数 .3.函数f(x)的图象与x轴有 叫这个函数有零点,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的 .f(α)=0相等公共点横坐标【拓展延伸】1.函数零点的性质对于任意函数y=f(x),只要它的图象是连续不间断的,则有:(1)当它通过零点时(不是二重零点),函数值变号.如函数f(x)=x2-2x-3的图象在零点-1的左边时,函数值取正号;当它通过第一个零点-1时,函数值由正变为负;再通过第二个零点3时,函数值又由负变为正,这样的零点叫变号零点.(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号.(3)如果一个二次函数有二重零点,那么它通过这个二重零点时,函数值的符号并不改变,这样的零点叫做不变号零点.2.函数零点的判断函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,因此求函数的零点可以转化为求相应的方程的根.反之,若知道函数的零点,即“函数图象与横轴的交点的横坐标”,则可以直接写出函数对应的方程的根,即函数y=f(x)有零点⇔方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点.因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程f(x)=0是否有实根,有几个实根.二次函数的零点与相应二次方程的实根个数的关系自我检测B1.函数f(x)=x2-3x-4的零点是( )(A)1,-4(B)4,-1(C)1,3(D)不存在B 2.函数y=2x-1的图象与x轴交点坐标及零点分别是( )B3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,a·c<0,则函数的零点有( )(A)1个 (B)2个(C)0个 (D)不确定4.若函数f(x)=3x+b的零点为2,则b= .解析:由已知f(2)=0,所以3×2+b=0,所以b=-6.答案:-6课堂探究·素养提升类型一 求函数的零点【例1】 (1)求函数f(x)=x4-2x2-3的零点;思路点拨:(1)利用因式分解法解方程f(x)=0可求零点;(2)求函数f(x)=-3x2-7x+6的零点.思路点拨:(2)令f(x)=0求出零点.方法技巧 由于函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的解,所以,求函数的零点就是解与函数相对应的方程;一元二次方程可用求根公式求解,简单的高次方程可用因式分解法求解.另外分式方程求根,要验根.变式训练1-1:若函数f(x)=x2-ax-b的零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是 .类型二 函数零点的判断思路点拨:判断函数是否有零点,即判断方程f(x)=0是否有根即可,求零点,即求方程根.解:(1)f(x)=-x2+2x+3=-(x-3)(x+1),令f(x)=0,解得x=3或x=-1.所以函数存在零点且为3和-1. (2)令f(x)=x2+x+2=0,Δ=1-4×1×2=-7<0,所以方程无实根.所以f(x)=x2+x+2无零点.方法技巧 判断二次函数f(x)的零点个数,可转化为判断方程f(x)=0的实根的个数,进而转化为判断二次函数的图象与x轴的交点的个数问题.而这类问题一般通过一元二次方程的判别式来判断.变式训练2-1:若奇函数f(x)的定义域为R,且在(0,+∞)上是单调增函数,若f(1)=0,求函数f(x)在(-2,2)内的零点个数.解:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).因为f(1)=0,所以f(-1)=0.又因为f(x)在原点处有定义,所以f(0)=0.因为f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,所以f(x)在(0,+∞)上只有一个零点,因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)上是单调增函数,所以f(x)在(-∞,0)上也只有一个零点.所以函数f(x)在(-2,2)内有3个零点,即-1,0,1.类型三 函数零点的综合应用【例3】 讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(a∈R)的实数解的个数.②当a=0或a∈(1,+∞)时,原方程有两个实数解;③当a=1时,原方程有三个实数解;④当0<a<1时,原方程有四个实数解.即转化为函数图象与x轴交点个数或两个函数图象交点的个数.。
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新
知
探 究
零点的存在性：
观察下面函数y=f(x)的图象： y
ab d
c O
x
①在区间[a,b]上 (有/无)零 点,f(a)·f(b)____0(<,>)
②在区间[b,c]上 (有/无)零 点,f(b)·f(c)____0(<,>)
人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
知 数，方程ax2+bx+c=0的实根个
探 数见下表：
究
判别式 方程的根
函数的零点个 数
△＞0 两 个 不 相 等 的 2 个 （ 变 号 零
实根
点）
△＝0 两 个 相 等 的 实 1 个 二 重 （ 二
根
阶）零点
△＜0 无实根
无零点
人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
课
堂 1.函数零点的概念
小
2.零点的存在性
结
3.求零点及零点所在区间 4.利用函数零点的性质作函
数图像
人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
拓
展
延 伸
1.求函数 的零点个数.
2.函数 零点位于区间（ ） A． B． C.
D．
人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
定 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图 理 象是连续不断的一条曲线,并且有
f(a)·f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区间 (a, b)内至少有一个零点, 即存在 c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也就是方 程f(x) = 0的根．
人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
课 后 作 业
教材72页A组5，6题； B组1题（3），2题.
人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
谢谢
人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
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新 例2：求函数f(x)=-x2-2x+3
知
的零点，并指出y>0,y<0时
探 x的取值范围.
究
y第二章2.4.1 函数的零点课件
人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
新
二次函数y=ax2+bx+c的零点个
2.4.1 函数的零点
创 设 1.一元二次方程是否有实根的判 情 定方法； 境
2.二次函数y=ax2+bx+c的图像及 其性质；
3.一元二次方程的根和函数与X 轴交点的关系.
创 判别式△ = 设 b2－4ac
△＞0
△=0
方程ax2 +bx+c=0
情境(a > 0)的根
两个不相等 的实数根x1 ,x2
的实数根，亦即函数图像与x轴交点
的横坐标，也是不等式f(x)>0(<0)
的端点值.
人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
新
例1：判断下列函数的零点：
知 探 (1)f(x)=x2-2x+1;
究 (2)f(x)=x2-2x+3.
y
y
x O
O
x
人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
情 y>0,y<0的不等式的解集.
境
解此方程得：
x1=－2，x2=3
函数图像与x轴相交于
两点(－2，0)、(3，0)
新 概念形成：
知
一般地，如果函数y=f(x)在实数
探 a 处的值等于零，即f(a)=0，则a叫做
究 这个函数的零点.
概念深化：
1.函数的零点并不是“点”，而是
实数；
2.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0
思（2）
维；
迁
(四)利用零点作函数图象：
作函数 y x(x 1)(x 2) 的图象
移 作函数f(x)=x3-2x2-x+2的图象
变式探究：
作函数y (x 1)(x 1)2 (x 3) 的图象
人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
有两个相等的 实数根x1 = x2
y
函数y= ax2 +bx
y
+c(a > 0)的图象
x1 0
x2 x
0 x1 x
函数的图象 与 x 轴的交点 (x1,0),(x2,0)
(x1,0)
△＜0 没有实数根
y
0
x
没有交点
一元二次方程的根就是对应函数图象与x 轴交点的横坐标。
创 设
4.已知二次函数y=x2－x－6，y=0时， 求方程的根，并作出函数的图像,解出
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典 例 探 究
例：函数f(x)=x3+x-3,则函数 f(x)的零点所在区间（ ） A.（-1，0） B.（0，1） C.（ 1，2） D. (2,3)
人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
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知
探 究
零点的存在性：
观察下面函数y=f(x)的图象： y
ab d
c O
x
①在区间[a,b]上 (有/无)零 点,f(a)·f(b)____0(<,>)
②在区间[b,c]上 (有/无)零 点,f(b)·f(c)____0(<,>)
人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
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知 数，方程ax2+bx+c=0的实根个
探 数见下表：
究
判别式 方程的根
函数的零点个 数
△＞0 两 个 不 相 等 的 2 个 （ 变 号 零
实根
点）
△＝0 两 个 相 等 的 实 1 个 二 重 （ 二
根
阶）零点
△＜0 无实根
无零点
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课
堂 1.函数零点的概念
小
2.零点的存在性
结
3.求零点及零点所在区间 4.利用函数零点的性质作函
数图像
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拓
展
延 伸
1.求函数 的零点个数.
2.函数 零点位于区间（ ） A． B． C.
D．
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定 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图 理 象是连续不断的一条曲线,并且有
f(a)·f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区间 (a, b)内至少有一个零点, 即存在 c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也就是方 程f(x) = 0的根．
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新 例2：求函数f(x)=-x2-2x+3
知
的零点，并指出y>0,y<0时
探 x的取值范围.
究
y第二章2.4.1 函数的零点课件
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新
二次函数y=ax2+bx+c的零点个
2.4.1 函数的零点
创 设 1.一元二次方程是否有实根的判 情 定方法； 境
2.二次函数y=ax2+bx+c的图像及 其性质；
3.一元二次方程的根和函数与X 轴交点的关系.
创 判别式△ = 设 b2－4ac
△＞0
△=0
方程ax2 +bx+c=0
情境(a > 0)的根
两个不相等 的实数根x1 ,x2
的实数根，亦即函数图像与x轴交点
的横坐标，也是不等式f(x)>0(<0)
的端点值.
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新
例1：判断下列函数的零点：
知 探 (1)f(x)=x2-2x+1;
究 (2)f(x)=x2-2x+3.
y
y
x O
O
x
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情 y>0,y<0的不等式的解集.
境
解此方程得：
x1=－2，x2=3
函数图像与x轴相交于
两点(－2，0)、(3，0)
新 概念形成：
知
一般地，如果函数y=f(x)在实数
探 a 处的值等于零，即f(a)=0，则a叫做
究 这个函数的零点.
概念深化：
1.函数的零点并不是“点”，而是
实数；
2.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0
思（2）
维；
迁
(四)利用零点作函数图象：
作函数 y x(x 1)(x 2) 的图象
移 作函数f(x)=x3-2x2-x+2的图象
变式探究：
作函数y (x 1)(x 1)2 (x 3) 的图象
人教B版高中数学必修一第二章2.4.1 函数的零点课件
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有两个相等的 实数根x1 = x2
y
函数y= ax2 +bx
y
+c(a > 0)的图象
x1 0
x2 x
0 x1 x
函数的图象 与 x 轴的交点 (x1,0),(x2,0)
(x1,0)
△＜0 没有实数根
y
0
x
没有交点
一元二次方程的根就是对应函数图象与x 轴交点的横坐标。
创 设
4.已知二次函数y=x2－x－6，y=0时， 求方程的根，并作出函数的图像,解出
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典 例 探 究
例：函数f(x)=x3+x-3,则函数 f(x)的零点所在区间（ ） A.（-1，0） B.（0，1） C.（ 1，2） D. (2,3)
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