黑龙江省大庆市2020年高考数学一模试卷A卷
2020届黑龙江省大庆市高三上学期第一次教学质量检测数学(文)试题(解析版)
2020届黑龙江省大庆市高三上学期第一次教学质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}1,0,1,|1A B x N x =-=∈<，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{1,-0，1}D ．(),1-∞【答案】C【解析】首先简化集合B ，然后根据并集的定义得结果. 【详解】B={x ∈N|x ＜1}={0}，A ∪B={-1，0，1}∪{0}={-1，0，1}． 故选：C ． 【点睛】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．已知2(1i)=1i z+- (i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数等于（ ）A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i +【答案】A【解析】由复数的运算法则，化简复数1i z =-+，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，复数满足2(1)=1i i z+-，即()()()221(1)2=11111i i i i z i i i i i ?+===-+---+， 所以复数z 的共轭复数等于1z i =--，故选A ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数z 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3．已知(4,2)a =，b =（x ，6），且//a b ，则x = （ ） A.12 B.13C.14D.15【答案】A【解析】根据向量平行有公式1221x y x y =，代入数据得到答案. 【详解】(4,2)a =，b =（x ，6），且//a b 则1221x y x y =即22412x x =⇒= 故答案选A 【点睛】本题考查了向量平行的计算，属于简单题.4．在平面直角坐标系中，现有()1,1，()1,2，()2,0，()2,2，()3,1共五个点，从中任取两个点，则这两个点恰有一个在圆225x y +=内部的概率是( )A.35B.15C.45D.25【答案】A【解析】由题意首先确定所给的点与圆的位置关系，然后结合古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值. 【详解】由题意可知点()()1,1,2,0在圆内，其余所给的点不在圆内，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：11232535C C p C ==. 故选：A. 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（ ） A ．829B ．415C ．429D ．215【答案】C【解析】将问题转化为等差数列问题，通过90n S =，1n a =，15a =，构造方程组解出公差，从而得到结果.【详解】设每天所织布的尺数为n a ，则数列{}n a 为等差数列 设公差为d由题意可知：15a =，1n a =，90n S =则()()51115902n d n n n d ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：30429n d =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 即每天比前一天少织429尺的布 本题正确选项：C 【点睛】本题考查等差数列通项公式、求和公式的应用，关键是能够将问题转化为等差数列基本量求解的问题.6．已知 1.22a =，52log 2=b ，1ln 3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】A【解析】利用指数和对数函数的单调性分别判断出,,a b c 所处的大致范围，从而得到结果. 【详解】1.21222a =>=5552log 2log 4log 51b ==<=且55log 4log 10b =>=1ln ln3ln 13c e ==-<-=-即1012c b a <-<<<<<a b c ∴>>本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性判断大小的问题，属于基础题. 7．曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-C ．21y x =-+D ．21y x =+【答案】A【解析】求出函数的导数，求得切线的斜率，利用点斜式可得切线的方程，得到结果. 【详解】 由11x y x +=-可得221(1)2'(1)(1)x x y x x --+==---，所以0'|2x y ==-， 所以曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为：21y x =--， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线的方程，属于简单题目.8．设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题错误．．的是( ) A.若m α⊥，//n α，则m n ⊥ B.若n α⊥，//n m ，则m α⊥ C.若m α⊥，//m β，则αβ⊥ D.若αβ⊥，//m α，则m β⊥【答案】D【解析】利用线面垂直的性质定理及相关的推论考查所给的选项是否正确即可. 【详解】逐一考查所给的选项：由线面垂直的性质定理推论可知：若m α⊥，//n α，则m n ⊥，选项A 正确； 由线面垂直的性质定理推论可知：若n α⊥，//n m ，则m α⊥，选项B 正确； 由线面垂直的性质定理推论可知：若m α⊥，//m β，则平面β内存在直线l ，满足//l m ，则l α⊥，然后利用面面垂直的判定定理可得αβ⊥，选项C 正确；在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面,αβ分别为平面11,ABCD ADD A ，直线m 为棱11B C ，满足αβ⊥，//m α，但是不满足m β⊥，选项D 错误； 故选：D. 【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理及其推论，线面关系命题的判定，属于中等题. 9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A.甲 B.乙C.丙D.丁【答案】B【解析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意； 综上可得，获奖人为乙. 故选：B. 【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题. 10．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 （ ） A. B.C.D.【答案】D 【解析】利用，得出异面直线与所成的角为，然后在中利用锐角三角函数求出.【详解】如下图所示，设正方体的棱长为，四边形为正方形，所以，， 所以，异面直线与所成的角为，在正方体中，平面，平面，，，，，在中，，，因此，异面直线与所成角的余弦值为，故选：D.【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线，选择合适的三角形，利用锐角三角函数或余弦定理求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题。
黑龙江省大庆市高三数学第一次教学质量检测试题 理 新人教A版
大庆市高三年级第一次教学质量检测试题理科数学命题组成员： 注意事项:1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2. 回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 写在本试卷上无效.3. 回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）集合{4,5,3}M m =-，{9,3}N =-，若M N ⋂≠∅，则实数m 的值为（A ）3或3- （B ）3 （C ）3或1- （D ）1- （2）若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（A ）2 （B ）2- （C ）12 （D ）12- （3）设等比数列{}n a 中,前n 项和为n S ,已知7863==S S ，,则=++987a a a（A ）81 （B ）81- （C ）857 （D ）855（4）函数ln ||||x x y x =的图象可能是（A ） （B ） （C ） （D ）（5）三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生都排在一起的概率是（A ）130 （B ）115 （C ）110 （D ）15（6）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（A ）{}1,2,3,4,5 （B ） {}1,2,3,4,5,6（C ） {}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6（7）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（A（B （C （D（8）已知两个平面垂直，下列命题中：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； ③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数有（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9）已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线(0)y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递增区间是 （A ）[6,63],k k k Z ππ+∈ （B ）[63,6],k k k Z -∈（C ）[6,63],k k k Z +∈ （D ）无法确定（10）命题2:,10p x R ax ax ∀∈++≥，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是俯视图（A ）(0,4] （B ）[0,4]（C ）(,0][4,)-∞⋃+∞ （D ）(,0)(4,)-∞⋃+∞（11）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点O 是坐标原点，若||5AF =，则AOB ∆的面积为（A ）5 （B ）52 （C ）32（D ）178（12）已知函数()21,0log ,0kx x f x x x + ≤⎧=⎨>⎩ ，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦ 的零点个数的4个判断：① 当0k >时，有3个零点；② 当0k <时，有2个零点； ③ 当0k >时，有4个零点； ④ 当0k <时，有1个零点；则正确的判断是（A ） ①④ （B ）②③ （C ）①② （D ）③④第II 卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分. （13）由曲线2,x y x y ==所围成图形的面积是____________.（14）已知向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =+=，则b =____________.（15）若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_____________.（16）设,x y 满足约束条件32000,0x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()20,0z ax by a b =+>>的最大值为1，则22114a b +的最小值为____________. 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）在ABC ∆中，,,a b c分别是角,,A B C 的对边. 已知a=π3A =. （Ⅰ）若b =C 的大小； （Ⅱ）若2c =，求边b 的长.（18）（本小题满分12分）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，首项112a =，前n 项和为n S ，且335544,,S a S a S a +++成等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为平行四边形，且BC ⊥ 平面PAB ，PA AB ⊥，M 为PB 的中点，2PA AD ==．（Ⅰ）求证：PD ∥平面AMC ；（Ⅱ）若1AB =，求二面角B AC M --的余弦值．（20）（本小题满分12分）某市为了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格. 把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 . （Ⅰ）求这次铅球测试成绩合格的人数；（Ⅱ）用此次测试结果估计全市毕业生的情况. 若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X 表示两人中成绩不合格．．．的人数，求X 的分布列及数学期望； （III ）经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率.（21）（本小题满分12分）已知21()ln(1)2f x ax x x =-+-+,其中0a >. (Ⅰ)求()f x 的单调递减区间；(Ⅱ)若()f x 在[0,)+∞上的最大值是0,求a 的取值范围.（22）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线06=+-y x 相切. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(4,0),,P A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（III ）在 (Ⅱ)的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，求OM ON ⋅的取值范围.数学答案（理科）13．1314．． (12]， 16． 8 三．解答题（本题共6大题，共70分） 17（本小题满分10分）解：（I ）由正弦定理sin sin a b A B = sin B= ，解得sin 2B =，……2分 由于B 为三角形内角，b a < ，则4B π=， ……4分所以53412C ππππ=--=， ………5分 （II ）依题意，222cos 2b c a A bc+-= ，即2141224b b +-=，整理得2280b b --= 7分又0b > ，所以4b =. ………10分另解：由于sin sin a c A C = ,2sin C=，解得1sin 2C = , ………7分 由于a c > ，所以6C π=， ………8分由3A π=，所以2B π=.由勾股定理222b c a =+ ，解得4b =. ………10分 18．（本小题满分12分）解：（I ）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，由题意知10a >，且112n n a q -=⋅， 又因为33a S +、55a S +、44a S +成等差数列，所以)()()(2443355a S a S a S +++=+， ………2分 即)2()2()2(2432132154321a a a a a a a a a a a a ++++++=++++，化简得354a a =，从而142=q ，解得21±=q ， 又0q >，故21=q ， …………4分 12n na =. …………6分（II ）由（I ）知，2n nn na =， 则231123122222n n n n nT --=+++++ ， ①234111*********n n n n nT +-=+++++ ， ② …………8分①-②得：23111111112222222n n n n nT -+=+++++-1111(1)22212212n n n n n ++-+=-=--， 所以222n n n T +=-. …………12分19．（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)证明：连接BD ，设BD 与AC 相交于点O ，连接OM ， 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以点O 为BD 的中点， 又因为M 为PB 的中点，所以OM 为PBD ∆的中位线，所以OM ∥PD ， ………3分 又因为OM ⊂平面AMC ，PD ⊄平面AMC ，所以PD ∥平面AMC . …………6分(Ⅱ)因为BC ⊥平面PAB ，AD ∥BC ，所以AD⊥平面PAB ， 又因为PA AB ⊥，所以,,AB AD AP 两两垂直，故可以建立空间直角坐标系A xyz -(如图所示)， ………8分则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,2,0D ，()1,2,0C ，()0,0,2P ，1,0,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()1,0,0AB =，()1,2,0AC =，1,0,12AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为PA ⊥平面ABCD ,故平面ABC 的一个法向量为()0,0,2AP =，设平面AMC 的法向量为()111,,n x y z =，则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即11112002x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令11z =，则112,1x y =-=，可取()2,1,1n =-， …………10分 从而cos ,62AP n AP n AP n⋅<>===⋅⨯， 故所求二面角B AC M --…………12分 20．（本小题满分12分）解：(I)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，∴此次测试总人数为7500.14=(人). ∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人) .……………4分 (II)X =0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为1475025=,∴X ～7(2,)25B . 218324(0)()25625P X ===，12718252(1)()()2525625P X C ===， 2749(2)()25625P X ===. 所求分布列为………6分714()22525E X =⨯=…………8分 (III)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x 、y 米，则基本事件满足的区域为8109.510.5x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤，事件A “甲比乙投掷远的概率”满足的区域为x y >，如图所示.∴由几何概型1111222()1216P A ⨯⨯==⨯. 则甲比乙投掷远的概率是116. ………12分 21．（本小题满分12分） 解: (Ⅰ)函数21()ln(1)2f x ax x x =-+-+()0a >的定义域为()1,-+∞， ()211'()111ax a x f x ax x x --=-+-=-++11a ax x a x -⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+令()0f x '= 得12110,1a x x a a-===-， ①当01a <<时,12x x < ,()f x 与()f x '的变化情况如下表x(1,0)-1(0,1)a-11a- 1(1,)a-+∞()f x '-+-()f x减(0)f增1(1)f a-减所以()f x 的单调递减区间是(1,0)-,1(1,)a-+∞； …………2分 ②当1a =时, 120x x ==，2'()01x f x x =-≤+， 故()f x 的单调递减区间是(1,)-+∞ ； ………4分 ③当1a >时,210x -<< ，()f x 与()f x '的变化情况如下表x1(1,1)a --11a- 1(1,0)a- 0 (0,)+∞()f x '-+-()f x减1(1)f a- 增(0)f减所以()f x 的单调递增减区间是1(1,1)a--,(0,)+∞ . 综上,当01a <<时,()f x 的单调递增减区间是(1,0)-,1(1,)a-+∞ ；当1a >时,()f x 的单调递增减区间是1(1,1)a--,(0,)+∞ ；当1a =时，()f x 的单调递增减区间是(1,)-+∞. …6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知① 当01a <<时,()f x 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-但1(1)(0)0f f a->=,所以01a <<不合题意； …9分 ② 当1a ≥时,()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)f x f ≤，可得()f x 在[0,)+∞上的最大值为(0)0f =,符合题意. ()f x ∴在[0,)+∞上的最大值为0时,a 的取值范围是{}1a a ≥. …12分22.（本小题满分12分）解：（I ）由题意知,21==a c e 2222222214,.43c a b e a b a a -====所以即 而以原点为圆心，椭圆短半轴为半径的圆的方程为222x y b +=，故由题意可知224, 3.b a b ====所以 故椭圆C 的方程为.13422=+y x ……3分 （II ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为).4(-=x k y由.0126432)34(.134),4(222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 得 ……① …… 4分 设点1122(,),(,)B x y E x y ，则11(,)A x y -， 直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--，令0y =得，221221().y x x x x y y -=-+ 将)4(),4(2211-=-=x k y x k y 代入整理得， 得.8)(42212121-++-=x x x x x x x ② ……………………5分 由①得341264,343222212221+-=+=+k k x x k k x x ， 代入②整得，得.1=x所以直线AE 与x 轴相交于定点Q （1，0） ……7分（III ）①当过点Q 的直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =， 解得33(1,),(1,)22M N -，此时54OM ON ⋅=-； …8分 ② 当过点Q 的直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-,且(,),(,)M M N N M x y N x y 在椭圆C 上， 由22(1)143y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得 2222(43)84120m x m x m +-+-=， 计算得，0∆>，所以22228412,,4343M N M N m m x x x x m m -+=⋅=++229,43M N m y y m ⋅=-+ 则M N M N OM ON x x y y ⋅=+222512533.4344(43)m m m +=-=--++ ……………………10分 因为20m ≥，所以21133044(43)m -≤-<+， 253354,44(43)4m -≤--<-+ 544OM ON -≤⋅<-. 所以OM ON ⋅的取值范围是5[4,]4--. ……12分。
2020届黑龙江省大庆实验中学高考理科数学一模试题
2020届黑龙江省大庆实验中学高考理科数学一模试题一、单选题（本题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0＜x＜log216}，集合B＝{x|2x﹣2＞0}，则集合A∩B真子集个数是（）A．2B．3C．4D．82．（5分）i为虚数单位，则的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣1D．13．（5分）在（﹣）6的展开式中，中间一项的二项式系数为（）A．20B．﹣20C．15D．﹣154．（5分）已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x+2y﹣3＝0，则该双曲线的离心率为（）A．5或B．或C．或D．5或5．（5分）17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，．根据这些信息，可得sin234°＝（）A．B．C．D．6．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m∥n的充分条件是（）A．m，n与平面α所成角相等B．m∥α，n∥αC．m∥α，m⊂β，α∩β＝n D．m∥α，α∩β＝n7．（5分）已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a＝0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣7＜a＜24B．﹣24＜a＜7C．a＜﹣1或a＞24D．a＜﹣24或a＞7 8．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，3，…，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[401，731]的人数为（）A．10B．11C．12D．139．（5分）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知a＝5ln4π，b＝4ln5π，c＝5lnπ4，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c11．（5分）已知椭圆C：，过原点的直线交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆过右焦点F，若∠F AB＝α∈，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数（其中无理数e＝2.718…），关于x的方程有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是（）A．B．（2，+∞）C．D．二．填空题（本题共4道小题，每题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）＝a x+1+1，（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P点坐标为．14．（5分）我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得，类似上述过程，则．15．（5分）在四面体S﹣ABC中，SA＝SB＝2，且SA⊥SB，，，则该四面体体积的最大值为，该四面体外接球的表面积为．16．（5分）在△ABC中，，点D为线段AB上一动点，若最小值为，则△ABC的面积为．三．解答题（本题共5道小题，每题12分，共60分）17．（12分）已知数列{a n}满足，a1＝1，a2＝4且a n+2﹣4a n+1+3a n＝0（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{a n+1﹣a n}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝2n•a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AD为等边三角形，且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝1，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ADC＝45°，分别是AD，PD的中点．（Ⅰ）证明：平面CMN∥平面P AB；（Ⅱ）已知点E在棱PC上且，求直线NE与平面P AB所成角的余弦值．19．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），焦点为F．线段AB的中点为M（3，y0），且A，B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8．（1）求抛物线的标准方程；（2）若线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求△ABC面积的最大值．20．（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1，试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）21．（12分）已知函数．（1）若f'（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）＝f'（x）﹣x﹣alnx的单调性；（2）若（e是自然对数的底数），求证：f（x）＞0．四、请考生在第22～23题中任选一道作答，如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号.22．（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的极坐标的方程以及曲线D的直角坐标方程；（Ⅱ）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求的值．23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，（Ⅰ）解不等式f（x）≤9；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2x+a的解集为A，B＝{x|x2﹣3x＜0}，且满足B⊆A，求实数a 的取值范围．。
2020年黑龙江省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年黑龙江省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020学年黑龙江省大庆市高考一模数学理及答案解析
2020年黑龙江省大庆市高考一模数学理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}，则A∩B的值为( )A.{-1，0，1，2}B.{-2，-1，0，1，2}C.{0，1，2}D.{1，2}解析：分别求出集合A，B，由此能求出A∩B.∵集合A={-1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}={x|-2≤x≤2}，∴A∩B={-1，0，1，2}.答案：A2.若复数21-=+izi，则z在复平面内所对应的点位于的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得z所对应点的坐标得答案.∵()()()()1322121311122----====-++-i ii iz ii i i，∴复数z在复平面内所对应的点的坐标为(12，32-)，位于第四象限.答案：D3.若x，y满足111≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩yx yy x，则2x+y的最大值为( )A.2B.5C.6D.7解析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值.作出x，y满足111≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩yx yy x对应的平面区域如图：(阴影部分).由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大.由11=⎧⎨=-⎩yy x，解得A(2，1)，代入目标函数z=2x+y得z=2×2+1=5.即目标函数z=2x+y的最大值为5.答案：B4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A.2B.4C.8D.12解析：由几何体的三视图得到该几何体是四棱锥S-ABCD ，其中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PC ⊥平面ABCD ，PC=3，由此能求出几何体的体积. 由几何体的三视图得到该几何体是四棱锥S-ABCD ，其中，四边形ABCD 是边长为2的正方形， PC ⊥平面ABCD ，PC=3， ∴几何体的体积：22341133=⨯⨯=⨯⨯⨯=正方形ABCD V S PC .答案：B5.执行如图所示的程序语句，则输出的S 的值为( )A.22B.1C.2+1解析：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是2350sinsinsin sin 4444ππππ=+++⋯+S 的值，2350sinsinsin sin44442384950sin sin sin sin sin sin 4444444950sin sin44sin sin4122ππππππππππππππ=+++⋯+⎛⎫=+++⋯++⋯++ ⎪⎝⎭=+=+=+S答案：C6.已知命题p ：直线l 1：ax+y+1=0与l 2：x+ay+1=0平行；命题q ：直线l ：x+y+a=0与圆x 2+y 2=1，则命题p 是q( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既充分也不必要条件 解析：根据直线平行的等价条件以及直线和圆相交的弦长公式分别进行计算，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.当a=0时，两直线方程分别为y+1=0，x+1=0，两直线不平行，当a ≠0时，若两直线平行，则满足1111=≠a a ，由11=a a 得a 2=1，得a=±1，由111≠a ，得a ≠1，即a=-1， 即p ：a=-1，圆心到直线的距离=d ，半径r=1，∵直线l ：x+y+a=0与圆x2+y2=1，∴r 2=d 2+(2)2，即21122=+a ，得a 2=1，得a=±1， 则命题p 是q 充分不必要条件. 答案：A7.数列{a n }为正项递增等比数列，满足a 2+a 4=10，a 32=16，则1012++⋯+a a a 等于( )A.-45B.45C.-90D.90解析：运用等比数列的通项公式和性质，求出q.再结合对数运算公式，求出结果即可. ∵{a n}为正项递增等比数列，∴a n ＞a n-1＞0，公比q ＞1.a 2+a 4=10①，且a 32=16=a 3·a 3=a 2·a 4②，由①②解得a 2=2，a 4=8.又因为a 4=a 2·q 2，得q=2或q=-2(舍).则得a 5=16，a 6=32，5121012160++⋯+=⋯=a a a a a a a a953229224590⨯⨯⨯=====.答案：D 8.若1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，则向量12=+a e e ，122=-+b e e 的夹角为( )A.30°B.60°C.90°D.120°解析：根据题意，设a 、b 的夹角为θ， 又由1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，且12=+a e e ，122=-+b e e ，则()()22121212122232=+-+=-++=a b e e e e e e e e ，又由12=+a e e，则11=++=a ， 由122=-+b e e ，则14=+-=b则有1os 2c θ==a b a b，则θ=60°. 答案：B9.已知双曲线22221-=x y a b (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(1)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=16x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.221412-=x y B.221124-=x y C.221420-=x y D.221204-=x y解析：双曲线22221-=x y a b (a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y=±ba x ， 由一条渐近线过点(1，可得=ba双曲线的一个焦点(-c ，0)在抛物线y 2=16x 的准线x=-4上，可得c=4，即有a 2+b 2=16， 解得a=2，则双曲线的方程为221412-=x y .答案：A10.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，+∞)时，f ′(x)＜0.若12ln ⎛⎫ ⎪⎝=-⎭a f ，211ln ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-⎭=⎝b f e e ，c=f(e 0.1)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.b ＜a ＜cB.b ＜c ＜aC.c ＜a ＜bD.a ＜c ＜b解析：根据条件先判断函数的单调性，结合对数的运算性质进行化简即可. ∵当x ∈[0，+∞)时，f ′(x)＜0，∴当x ∈[0，+∞)时，函数f(x)单调递减，∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴函数在(-∞，+∞)上单调递减，()()1222ln ln ln ⎛⎫⎪⎝=-=-⎭-=a f f f ， 2111ln ln 1⎛⎫ ⎪⎝=-⎭-＞e e e ，又211ln 0⎛⎫- ⎪⎝⎭＜e e ，则2111ln 0-⎛⎫⎝⎭-⎪＜＜e e ，e 0.1＞1，0＜ln2＜1， 则0.12111ln ln 2⎛⎫⎪⎝⎭--＜＜＜e e e ，则()()0.12112ln ln ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭＞＞f f f e e e ，即c ＜a ＜b. 答案：C11.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象过点(9π，2)，相邻两个对称中心的距离是3π，则下列说法不正确的是( )A.f(x)的最小正周期为23πB.f(x)的一条对称轴为x=49πC.f(x)的图象向左平移9π个单位所得图象关于y 轴对称D.f(x)在[9π-，9π]上是减函数解析：求出函数f(x)的解析式，再判断选项中的命题是否正确即可.函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象相邻两个对称中心的距离是3π，∴23π=T ，∴223ππω==T ，解得ω=3； 又f(x)的图象过点(9π，2)， ∴2sin(9πω+φ)=2，∴292ππωϕπ+=+k ，k ∈Z ；解得φ=6π+2k π，k ∈Z ； 令k=0，得φ=6π，∴f(x)=2sin(3x+6π)；∴f(x)的最小正周期为T=23π，A 正确； 442sin 32996πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f 为最小值，∴f(x)的一条对称轴为x=49π，B 正确；f(x)的图象向左平移9π个单位，得函数2sin 32sin 32cos3962πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x，其图象关于y 轴对称，C 正确；x ∈[9π-，9π]时，3x ∈[3π-，3π]，∴3x+6π∈[6π-，2π]时，∴f(x)=2sin(3x+6π)在[9π-，9π]上是增函数，D 错误.答案：D12.已知函数()21211415⎧+-≤≤⎪=⎨+-≤⎪⎩，，＜x x f x x x x ，若关于x 的方程f(x)-ax=0有两个解，则实数a 的取值范围是( )A.(0，625]∪[52-，-2) B.(0，625)∪[52-，-2]C.(-∞，52-)∪[625，+∞)∪{0，-2}D.(-∞，52-)∪[625，+∞)解析：分别作出函数y=f(x)和y=ax 的图象，利用方程有两个解，利用数形结合即可得到结论.设函数y=f(x)和y=ax ， 作出函数f(x)的图象如图：要使方程f(x)-ax=0有2两个解，即函数y=f(x)和y=ax 有2个不同的交点，∵f(-2)=5，f(5)=|5+15-4|=65， 当y=ax经过点(5，65)时，此时a=625， 当过点(-2，5)时，此时a=52-，当直线y=ax 与y=x 2+1相切时，∵y ′=2x ，设切点为(x 0，y 0)，-2≤x 0≤0，∴200012+=x x x ，解得x 0=-1，当x 0=-1，此时a=-2，结合图象，综上所述a 的取值范围为[52-，-2)∪(0，625].答案：A二、填空题(本题有4标题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.()3021-=⎰x dx .解析：根据定积分的运算，即可求得答案.()()3230036219=-=-=-⎰x x x x d .答案：614.一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记球O 的体积为V 1，圆柱内除了球之外的几何体体积记为V 2，则12V V 的值为 .解析：设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的高为2r ，球O 的半径为r ，∴球O 的体积V 1=43πr 3，圆柱内除了球之外的几何体体积：V 2=πr 2×2r -43πr 3=23πr 3，∴313243322ππ==r V V r .答案：215.若f(x)=e xl na+e -xlnb 为奇函数，则12+a b 的最小值为 . 解析：由奇函数的性质可得f(0)=0，即有对数的运算性质可得ab=1，再由基本不等式，即可得到所求最小值.f(x)=e xl na+e -xlnb 为奇函数， 可得f(0)=0，即有e 0lna+e 0lnb=0， 即有ln(ab)=0，可得ab=1，(a ＞0，b ＞0)，则12≥=+a b ，当且仅当时，等号成立，则12+a b 的最小值为. 答案：16.已知抛物线C ：y 2=4x ，过其焦点F 作一条斜率大于0的直线l ，l 与抛物线交于M ，N 两点，且|MF|=3|NF|，则直线l 的斜率为 .解析：方法一：由抛物线的定义：|NF|=|DH|=x ，|MF|=|CM|=3x ，根据相似三角形的性质，即可求得直线MN 的倾斜角为60°，即可求得直线l 的斜率. 抛物线C ：y2=4x ，焦点F(1，0)，准线为x=-1， 分别过M 和N 作准线的垂线，垂足分别为C 和D ，过NH ⊥CM ，垂足为H ， 设|NF|=x ，则|MF|=3x ，由抛物线的定义可知：|NF|=|DN|=x ，|MF|=|CM|=3x ， ∴|HM|=2x ，由|MN|=4x ，∴∠HMF=60°，则直线MN 的倾斜角为60°， 则直线l 的斜率k=tan60°3.方法二：设直线MN 的方程y=k(x-1)，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得k 的值.抛物线C ：y 2=4x ，焦点F(1，0)， 准线为x=-1，设直线MN 的斜率为k ，则直线MN 的方程y=k(x-1)，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，()241⎧=⎪⎨=-⎪⎩y x y k x ， 整理得：k 2x 2-2(k 2+2)x+k 2=0，则()212222++=k x x k ，x 1x 2=1，由|MF|=3|NF|，3=M FN F ，即(1-x 1，-y 1)=3(x 2-1，y 2)，x 1+3x 2=4，整理得：3x 2-4x 2+1=0，解得：x 2=13，或x 2=1(舍去)，则x 1=3，解得：k=3， 由k ＞0，则3.方法三：设直线MN 的方程x=mx+1，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算即可求得m 的值，则直线l 的斜率为1m .抛物线C ：y 2=4x ，焦点F(1，0)，准线为x=-1，设直线MN 的方程x=mx+1，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，214=+⎧⎨=⎩x my y x ，整理得：y 2-4my-4=0，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4，由|MF|=3|NF|，3=M FN F ，即(1-x 1，-y 1)=3(x 2-1，y 2)，-y 1=3y 2，即y 1=-3y 2，解得：y 2=，y 1∴4m=，则m=，∴直线l.三、解答题(本大题共6小题，共70分，第17~21题为必考题，每小题12分，第22、23题为选考题，有10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.设函数y=f(x)的图象由y=2sin2x+1的图象向左平移12π个单位得到.(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析：(1)通过函数的图象的变换，求出函数的解析式，然后求解函数的周期以及函数的单调区间.答案：(1)y=2sin2x+1的图象向左平移12π个单位得到y=2sin(2x+6π)+1的图象， 即f(x)=2sin(2x+6π)+1.函数最小正周期T=π.令222262πππππ-+≤+≤+k x k (k ∈Z)，则222233ππππ-+≤≤+k x k (k ∈Z)，解得36ππππ-+≤≤+k x k (k ∈Z)，所以y=f(x)的单调增区间是[3ππ-+k ，6ππ+k ](k ∈Z).(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f(A)=2，b=1，S △ABCa 的值. 解析：(2)利用已知条件求出A ，然后利用图象定理，以及三角形的面积求解a 即可.答案：(2)由题意得：f(A)=2sin(2A+6π)+1=2，则有sin(2A+6π)=12.因为0＜A ＜π，所以5266ππ+=A ，A=3π.由1sin 2==ABCbc A Sb=1得，c=4.根据余弦定理，a 2=b 2+c 2-2bccosA=1+16-2×1×4×12=13，所以18.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在曲线25122=+y x x 上，数列{b n }满足b n +b n+2=2b n+1，b 4=11，{b n }的前5项和为45.(1)求{a n }，{b n }的通项公式.解析：(1)利用已知条件求出{a n }的通项公式，判断数列是等差数列求解{b n }的通项公式.答案：(1)由已知得：21252=+n S n n ，当n=1时，1115232==+=a S ，当n ≥2时，()()22151125112222-=-=+----=+n n n a S S n n n n n ，当n=1时，符合上式.所以a n =n+2.因为数列{b n }满足b n +b n+2=2b n+1，所以{b n }为等差数列.设其公差为d.则()413131155245=+=⎧⎪⎨=+=⎪⎩b b db b d，解得152=⎧⎨=⎩bd，所以b n=2n+3.(2)设()()12328=--nn nca b，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式T n＞54k恒成立的最大正整数k的值.解析：(2)化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可.答案：(2)由(1)得，()()()()()()11111 2328214222141212121 ====---+-+--⎛⎫⎝⎭+⎪nn nca b n n n n n n，111111521212111143341⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝=-++⋯+-=-⎝+⎭-+⎭nTn n n，因为()()111121232212431+⎛⎫-=-=++⎪⎭++⎝＞n nT Tn n n n，所以{T n}是递增数列.所以T n≥T1=16，故T n＞54k恒成立只要11654=＞Tk恒成立.所以k＜9，最大正整数k的值为8.19.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD且PA=AB=2.E为PA的中点.(1)求证：PC∥面BDE.解析：(1)连接CA交BD于O，连接OE，证明OE∥PC，即可推出PC∥面BDE.答案：(1)连接CA交BD于O，连接OE，因为ABCD为正方形且AC，BD为对角线，所以O为CA的中点，又E为PA的中点，故OE为△PAC的中位线，所以OE∥PC，而OE⊂面BDE，PC⊂面BDE，故PC∥面BDE.(2)求直线DE与平面PBC所成角的余弦值.解析：(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz.求出平面PBC的法向量n=(x，y，z)，设直线DE与平面PBC所成角为θ，利用向量的数量积求解即可.答案：(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz. 则B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，E(0，0，1)，P(0，0，2)，所以DE=(0，-2，1)，BP=(-2，0，2)，BC=(0，2，0)，设平面PBC的法向量n=(x，y，z)，则⎧=⎪⎨=⎪⎩n BPn BC，即-=⎧⎨=⎩x zy，令z=1，则法向量n=(1，0，1)，设直线DE与平面PBC所成角为θ，则10 sin cos10θ===，n DEn DEn DE，故直线DE与平面PBC所成角的余弦值310.20.已知椭圆C：22221+=x ya b(a＞b＞0)，其焦距为2，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程.解析：(1)由2c=2，可得c=1，由2=c a，可得，从而b 2=a 2-c 2=1，即可求出椭圆方程.答案：(1)因为椭圆焦距为2，即2c=2，所以c=1，2=c a，所以， 从而b 2=a 2-c 2=1，所以，椭圆的方程为2212+=x y .(2)设椭圆的右焦点为F ，K 为x 轴上一点，满足2=O OF K ，过点K 作斜率不为0的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，求△FPQ 面积S 的最大值.解析：(2)设直线MN 的方程为y=k(x-2)(k ≠0).代入椭圆方程得(1+2k 2)x 2-8k 2x+8k 2-2=0.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由判别式△＞0解得k 范围.利用弦长公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性即可得出.答案：(2)椭圆右焦点F(1，0)，由2=O OF K 可知K(2，0)， 直线l 过点K(2，0)，设直线l 的方程为y=k(x-2)，k ≠0， 将直线方程与椭圆方程联立得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则2122812+=+k x x k ，21228212-=+k x x k ， 由判别式△=(-8k 2)2-4(2k 2+1)(8k 2-2)＞0解得k 2＜12.点F(1，0)到直线l 的距离为h，则==h()42212222226482111242211121-==-=+-⨯++++kk k k S PQ h x x k k k k k ))22221221122-==+k k k k令t=1+2k 2，则1＜t ＜2，则2232+==-t t S t当134=t时，S取得最大值.此时k2=16，k=±，S取得最大值4.21.已知函数f(x)=1-ax+lnx(1)若不等式f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围.解析：(1)分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出参数的取值范围.答案：(1)由题意知，1-ax+lnx≤0恒成立.变形得：ln1+≥xax.设()ln1+=xh xx，则a≥h(x)max.由()2ln'=-xh xx可知，h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，h(x)在x=1处取得最大值，且h(x)max=h(1)=1. 所以a≥h(x)max=1，实数a的取值范围是[1，+∞).(2)在(1)中，a取最小值时，设函数g(x)=x(1-f(x))-k(x+2)+2.若函数g(x)在区间[12，8]上恰有两个零点，求实数k的取值范围.解析：(2)问题转化为即关于x的方程x2-xlnx-k(x+2)+2=0在区间[12，8]上恰有两个实数根，再分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出参数的取值范围. 答案：(2)由(1)可知，a≥1，当a=1时，f(x)=1-x+lnx，g(x)=x(x-lnx)-k(x+2)+2=x2-xlnx-k(x+2)+2，g(x)在区间[12，8]上恰有两个零点，即关于x的方程x2-xlnx-k(x+2)+2=0在区间[12，8]上恰有两个实数根.整理方程得，2ln 22-+=+x x x k x ，令()2ln 22-+=+x x x s x x ，x ∈[12，8]，()()2232ln 42+--'=+x x x s x x .令φ(x)=x 2+3x-2lnx-4，x ∈[12，8]，则()()()212ϕ-+'=x x x x，x ∈[12，8]，于是φ′(x)≥0，φ(x)在[12，8]上单调递增.因为φ(1)=0，当x ∈[12，1)时，φ(x)＜0，从而s ′(x)＜0，s(x)单调递减，当x ∈(1，8]时，φ(x)＞0，从而s ′(x)＞0，s(x)单调递增，()()9ln 23312ln 2118105251⎛⎫ ⎪=⎭-+==⎝，，s s s ， 因为()5726ln 2801102--=⎛⎫ ⎪⎝⎭＞s s ，所以实数k 的取值范围是(1，9ln 2105+].(3)证明不等式：2ln(2×3×4×…×n)＞221-+n n n (n ∈N*且n ≥2).解析：(3)由(1)可得x-1≥lnx ，当且仅当x=1时取等号，令x=21k ，则有22111ln -≥kk ，其中k ∈N*，k ≥2，利用放缩裂项，累加求和即可证明.答案：(3)证明：由(1)可知，当a=1时，有x-1≥lnx ， 当且仅当x=1时取等号.令x=21k ，则有22111ln -≥kk ，其中k ∈N*，k ≥2.整理得：()2111112ln 111111≥-=--=-+--＞k k k k k k k k ，当k=2，3，…，n 时，12ln 212112-+-＞，12ln 313113-+-＞，…，112ln 11-+-＞n n n ，上面n-1个式子累加得：2ln(2×3×…×n)＞n-1-1+1n .n ∈N*且n ≥2，即2ln(2×3×…×n)＞221-+n n n .命题得证.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线C 1：x 2+y 2=1，直线l ：ρ(cos θ-sin θ)=4.(1)将曲线C 1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍后得到曲线C 2，请写出直线l ，和曲线C 2的直角坐标方程.解析：(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.答案：(1)因为l ：ρ(cos θ-sin θ)=4，转化为直角坐标方程为：x-y=4； 设曲线C 2上任一点坐标为(x ′，y ′)，则2'=⎧⎪⎨'=⎪⎩x x y ， 所以2'⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x x y ， 代入C 1方程得：22123''+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎝=⎪⎝⎭⎭x y ， 所以C 2的方程为22143''+=x y .(2)若直线l 1经过点P(1，2)且l 1∥l ，l 1与曲线C 2交于点M ，N ，求|PM|·|PN|的值. 解析：(2)利用直线哈曲线建立方程组，利用一元二次方程根和系数的关系求出结果.答案：(2)直线l ：x-y=4倾斜角为4π，由题意可知，直线l 1的参数方程为2122⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x t y (t 为参数)， 联立直线l 1和曲线C 2的方程得，27702++=t . 设方程的两根为t 1，t 2，则t 1t 2=2.由直线参数t 的几何意义可知，|PM|·|PN|=|t 1t 2|=2.[选修4-5：不等式选讲]23.已知a ，b 是任意非零实数.(1)求3232++-a b a b a 的最小值.解析：(1)根据绝对值三角不等式得出结论.答案：(1)因为|3a+2b|+|3a-2b|≥|3a+2b+3a-2b|=6|a|，当且仅当(3a+2b)(3a-2b)≥0时取等号，3232++-a b a ba 的最小值为6.(2)若不等式|3a+2b|+|3a-2b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立，求实数x 取值范围. 解析：(2)根据(1)的结论可得：|2+x|+|2-x|≤6，再讨论x 的符号解出x 的范围.答案：(2)由题意得：323222++-++-≤a b a b x x a 恒成立， 结合(1)得：|2+x|+|2-x|≤6.当x ≤-2时，-x-2+2-x ≤6，解得-3≤x ≤-2；当-2＜x ≤2时，x+2+2-x ≤6成立，所以-2＜x ≤2；当x ＞2时，x+2+x-2≤6，解得2＜x ≤3.综上，实数x 的取值范围是[-3，3].。
2020届黑龙江省大庆市第四中学高三上学期第一次检测数学(理)试题(解析版)
2020届黑龙江省大庆市第四中学高三上学期第一次检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{1,2}A =-， {}|02B x Z x =∈≤≤，则A B 等于A ．{0}B ．{}2C ．{0,1,2}D ．φ【答案】B【解析】试题分析：因为{}{}|020,1,2B x Z x =∈≤≤=，{}1,2A =-，所以A B ⋂={}2，故选B.【考点】1、集合的表示；2、集合的交集. 2．在复平面内，复数21ii+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】在复平面内，复数21ii +=()()()211+11i i i i i -=+- ∴复数所对应的点（1，1）位于第一象限． 故选：A ． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．已知平面向量a ，b 满足()3b a b ⋅+=，且1a =，2b =，则向量a 与b 的夹角（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】设出夹角，根据b •（a +b ）=3，展开由已知和数量积公式可得夹角的余弦值，由角的范围确定角. 【详解】设向量a 与b 的夹角为θ，θ∈[0，π]由b •（a +b ）=2||+||||cos =3b a b θ⋅，代入数据可得22+2×1×cosθ=3， 解之可得cosθ=12-， 故可得θ=2π3. 故选：C. 【点睛】本题主要考查向量的数量积的运算，属于基础题. 4．命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ） A ．对任意实数x, 都有x > 1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x, 都有x ≤1 D ．存在实数x ，使x ≤1【答案】C 【解析】【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词． ∵命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是 “对任意实数x ，都有x ≤1” 故选C ．5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且111313a S ==，则9a =（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,∵111313a S ==,∴a 1+10d =13a 1+13122⨯d =13， 解得a 1=−17，d =3. 则a 9=−17+8×3=7. 故选B.6．若偶函数()y f x =在(],0-∞上的解析式为()2f x x x =+，则切点横坐标为1的切线方程是（ ） A ．10x y --= B ．10x y +-= C ．310x y --= D ．310x y -+=【答案】A【解析】利用函数是偶函数，得到 0x >时，函数()y f x =的表达式，然后利用导数的几何意义求切线方程即可.【详解】解：设 0x >，则0x -< ，则()()()22f x x x x x -=-+-=-， 因为()y f x =是偶函数，所以 0x >时，()()2f x f x x x =-=-，所以此时函数的导数()'12fx x =-，0x >，当x =1时，()()'1211110f f =⨯-==，， 所以切点坐标为(1,0)，所以切线方程为1y x =-，即10x y --=. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用函数的奇偶性求出函数的解析式是解决本题的关键，要求熟练掌握导数的基本应用，属于基础题.7．已知α，β，γ是三个不同的平面，1l ，2l 是两条不同的直线，下列命题是真命题的是（ ）A ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβB ．若1//l α，1l β⊥，则//αβC ．若//αβ，1//l α，2//l β，则12l l //D ．若αβ⊥，1l α⊥，2l β⊥，则12l l ⊥ 【答案】D【解析】试题分析：对于A ，B 选项，,αβ可能相交；对于C 选项，12,l l 可能异面，故选D.【考点】空间点线面的位置关系. 8．若13tan ,(,)tan 242ππααα-=∈，则sin(2)4πα+的值为（ ）A ．5-B ．5C ．10-D ．10【答案】D【解析】由题意，化简整理得cos23sin24αα=-，又由三角函数的基本关系式，求得cos2,sin2αα的值，再利用两角和的正弦函数的公式，即可化简求解，得到答案．【详解】由题意，可知13tan ,,tan 242ππααα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，即sin cos 3cos sin 2αααα-=， 整理得cos23sin24αα=-，∵42ππα<<，∴22παπ<<，又由22cos 2sin 21αα+=，解得3cos25α=-，4sin25α=，∴sin 2sin2cos242210πααα⎛⎫+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，以及两角和的正弦函数的公式，合理、准确运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．函数()y f x =是R 上的奇函数，满足()()33f x f x +=-，当()0,3x ∈时，()2x f x =，则()5f -=（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【解析】由()()33f x f x +=-可求出(5)f ，再由()y f x =是R 上的奇函数即可求出(5)f -.【详解】()()33f x f x +=-，(5)323212f f f f ，()y f x =是R 上的奇函数，(5)(5)2f f .故选：B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题.10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A．3πB．12πC．2πD．7π【答案】A【解析】【详解】由三视图可知几何体是个三棱锥，可看作棱长1a=的正方体的一部分，则此几何体的外接球就是正方体的外接球．由正方体的外接球半径与正方体的棱长间的关系可得外接球半径33r a==．其表面积为24πR3πS==．故本题选A．点睛：本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图.11．已知数列{}n a满足:()*111,2nnnaa a n Na+==∈+.若21log1nnba⎛⎫=+⎪⎝⎭，则数列{}nb的通项公式是（）A ．12nB ．1n -C ．nD ．2n【答案】C【解析】根据题干得到1121,n na a +=+变形为11112(1)n n a a ++=+，故11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列,公比为2，根据等比数列的公式得到112n na +=，进而得到121log (1)n n b n a +=+=.【详解】 由12n n n a a a +=+得1121,n na a +=+所以11112(1)n n a a ++=+,故11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列,公比为2,111112(1)2n n n a a -+=+=,1221log (1)log 2n n n b n a +=+==.故选C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质. 12．设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()2()()f x f x x R >∈，12f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式2(ln )f x x <的解集为（ ） A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B．C ．1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭D．2e ⎛⎝ 【答案】B【解析】构造函数F （x ）=()2xf x e ，求出导数，判断F （x ）在R 上递增．原不等式等价为F （lnx ）＜F （12），运用单调性，可得lnx ＜12，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集． 【详解】可构造函数F （x ）=()2xf x e，F′（x ）=()()22222()x xx f x e f x e e -=()()2'2xf x f x e-，由f′（x ）＞2f （x ），可得F′（x ）＞0，即有F （x ）在R 上递增． 不等式f （lnx ）＜x 2即为()2f lnx x＜1，（x ＞0），即()2lnxf lnx e＜1，x ＞0．即有F （12）=12f e⎛⎫⎪⎝⎭=1，即为F （lnx ）＜F （12），由F （x ）在R 上递增，可得lnx ＜12，解得0＜x． 故不等式的解集为（0）， 故选B ． 【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=， ()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f xg x x=， ()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等二、填空题13．已知0.302a =.，0.2log 3b =，0.2log 4c =，则a 、b 、c 从小到大的顺序为_______<______<_______． 【答案】c b a【解析】根据对数函数和指数函数单调性可得到答案. 【详解】由指数函数0.2xy =的性质和单调性有：0.3002021..a =<=,则01a << 由对数函数0.2log y x =的单调性有：0.20.20.20log 1log 3log 4=>>， 所以c b a << 故答案为：c ， b ， a 【点睛】本题考查了根据指数函数和对数函数单调性比较大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用，属于基础题.14．已知正方形ABCD 边长为3，点E 是AB 边上的动点，则DE DC ⋅的最大值为______． 【答案】9【解析】根据平面向量数量积的几何意义可知DE 在DC 方向上的投影的最大值为3，进一步得到答案. 【详解】根据平面向量数量积的几何意义得：当点E 在点B 时，DE DC ⋅值的最大， 此时DE 在DC 方向上的投影为3，又=3DC所以DE DC ⋅的最大值为9. 故答案为：9. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，涉及到向量的投影，属于常见的基础题型． 15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积()212弦矢矢=⨯+.弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长等于9米的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为__________．（实际面积-弧田面积） 【答案】2732798π-【解析】扇形半径33r =扇形面积等于(()221233923m ππ⋅⋅=，弧田面积()22129sin 9234r m πππ=-=-圆心到弦的距离等于12r ，所以矢长为12r ．按照上述弧田面积经验公式计算，得()21127271922442⎫⨯+=+=⎪⎭弦矢矢（）．∴2712799428ππ⎫-=⎪⎭，按照弧田面积经验公式，计算结果比实际少27928π-- 平方米．故答案为27928π--． 16．已知{}n a 满足()*211112311,,4?4?44nn n n n n a a a n N S a a a a -+⎛⎫=+=∈=++++ ⎪⎝⎭，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得45nn n S a -=__________．【答案】5n 【解析】由21123444n n n S a a a a -=+⋅+⋅+⋯+⋅ ①；得2311231444444n n n n n S a a a a a --⋅=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅+⋅ ②；①+②得：()()()2111223154444n n n n n n S a a a a a a a a --=+++⋅++⋯+⋅++⋅212111114444444n n n na a --⎛⎫⎛⎫=+⨯+⋅+⋯+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111144nnn n a n a =+++⋯++⋅=+⋅．所以45455n nn n n n nS a n S a -⋅=∴-⋅=．点睛：本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n 项和公式的方法的理解和掌握．等比数列前n 项和公式的推导主要利用错位相减法，其关键点是在前n 项和的等式两边同时乘以公比，然后利用错位相减求出结果.（错位相减法：针对数列{}n n a b ⋅（其中数列{}{},n n a b 分别是等差数列和等比数列（公比1q ≠）），一般采用错位相减法求和，错位相减的一般步骤是:1.112233...n n n S a b a b a b a b =++++…①；2.等式112233...n n n S a b a b a b a b =++++两边同时乘以等比数列{}n b 的公比，得到112233...n n n qS a b q a b q a b q a b q =++++…②；3.最后①-②，化简即可求出结果.）三、解答题17．已知向量3sin ,4a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b x =-，()()2f x a b b =+⋅． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的增区间 【答案】（1）T π=；（2）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【解析】（1）由()()2222f x a b b a b b =+⋅=⋅+，将a b ，的坐标代入可得出()3242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，从而得到答案.（2）由函数sin y x =的单调区间，可直接求出答案. 【详解】 由向量3sin ,4a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b x =-，则313sin cos sin 2424a b x x x ⋅=-=- 221cos 2cos 112xb x +=+=+ 所以()()233222sin 2cos 232242f x a b b a b b x x x π⎛⎫=+⋅=⋅+=-++=++ ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期22T ππ==（2）由（1）()3242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈则3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 的增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【点睛】本题考查向量的运算，三角函数的化简运算和三角函数的周期和单调性，属于中档题.18．锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin a B =．（1）求角A 的大小；（2）若5a =，8+=b c ，求ABC 的面积． 【答案】（1）3A π=；（2）133. 【解析】（1）先根据边角互化得3sin A =，再根据锐角三角形得3A π=；（2）先根据余弦定理得：2225bc b c =+-，再根据8+=b c 两边平方得22642bc b c -=+，进而得13=bc ，故1133sin 2ABCSbc A ==. 【详解】解：（1）根据正弦定理边角互化得：2sin sin 3sin A B B =， 因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 0B ≠， 所以3sin 2A =，由于锐角三角形中，0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以3A π=.（2）结合（1）由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得：2225bc b c =+-，由于8+=b c ，故两边平方得：22642bc b c -=+， 所以有：2225642bc b c bc +=+=-，解得：13=bc . 所以113133sin 132224ABCSbc A ==⨯⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化，余弦定理，三角形面积公式，考查运算能力，是中档题. 19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA PD =，PA ⊥平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（1）求证：//PB 平面EAC ；（2）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （3）求二面角E AC B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）31111-． 【解析】（1）连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ，证明//PB EO 即可； （2）根据条件证明CD ⊥平面PAD 即可；（3）在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥，由Dz ，DA ，DC 建立空间坐标系，利用向量法求解二面角. 【详解】（1）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ， 因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点， 因为E 为棱PD 中点， 所以//PB EO ，因为PB ⊄平面EAC ，EO ⊂平面EAC ， 所以直线//PB 平面EAC ；（2）证明：因为PA ⊥平面PDC ，所以PA CD ⊥， 因为四边形ABCD 为正方形，所以AD CD ⊥， 所以CD ⊥平面PAD ，CD ⊂平面ABCD 所以平面PAD ⊥平面ABCD ；（3）在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ，由Dz ，DA ，DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，设4AB =，则()0,0,0D ，()4,0,0A ，()4,4,0B ，()0,4,0C ，()2,0,2P ，()1,0,1E ，所以()3,0,1EA =-，()4,4,0AC =-，设平面EAC 的法向量为(),,n x y z =，则有0n EA n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以30440x z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =，得()1,1,3n =，又()0,0,1v =是面 ACB 的法向量所以311cos ,n v n v n v⋅==由图可知二面角E AC B --的平面角是钝角， 所以二面角E AC B --的余弦值为 【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明以及用向量法求二面角，属于综合题. 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()221n n S a n N n +⎛⎫=-+∈⎪⎝⎭． （1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设数列{}121n n a ++的前n 项和为n T ，求1231111nT T T T ++++． 【答案】（1）证明见解析；（2）13112212n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 【解析】(1)先根据n S 求出递推关系式，然后利用等比数列的定义进行证明； （2）先求出n T ，然后利用裂项相消法求和. 【详解】 由()221n n S a n N n +⎛⎫=-+∈⎪⎝⎭可得，当1n =时，112a =当2n ≥时，有112211n n S a n --⎛⎫=-+⎪-⎝⎭，将以上两式相减. 122111n n n a a n n a --⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,整理得()112121n n a a n n n n -=⨯≥--即1121nn a n a n -=-，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列． （2）由（1）可得1111222n n na n -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭所以12121n n a n ++=+，()2n T n n =+，111122n T n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 12311111311=2212n T T T T n n ⎛⎫++++-- ⎪++⎝⎭． 【点睛】本题主要考查等比数列的证明及数列求和，等比数列证明一般是利用定义法，数列求和一般是根据通项公式的特点选择合适的方法求解，属于中档题. 21．函数()ln f x x ax a =+-．（1）当1a =-时，判断函数()f x 零点个数；（2）当1≥x 时，不等式()()1xf x a x ≤-恒成立，求a 的取值范围 【答案】（1）有一个零点；（2）12a ≤-． 【解析】（1）当1a =-时，()ln 1f x x x =-+，求导得()'1xf x x-=，分析导函数取得正负的区间，得原函数的单调性，从而得出函数的最值和图象趋势，可得答案； （2）原不等式等价于1≥x ，ln 0a x ax x +-≤，令()()ln 1ah x x ax x x=+-≥，等价于()()01h x x ≤≥，求导得()()2'21ax x ah x x x++=≥．分0a ≥和0a <两种情况讨论所构造的函数的单调性，得出最值，从而求得a 的取值范围． 【详解】（1）当1a =-时，()ln 1f x x x =-+，()'1xf x x-=， 所以01x <<时，()'0fx >，()f x 在()01，上单调递增，1x >时，()'0f x <，()f x 在()1+∞，单调递减，所以()()max 10f x f ==，所以函数()f x 有一个零点． （2）当1≥x 时，()()1xf x a x ≤-等价于1≥x ，ln 0ax ax x+-≤， 令()()ln 1ah x x ax x x=+-≥，等价于()()01h x x ≤≥，则()()2'21ax x ah x x x ++=≥．1︒，0a ≥，()'0h x ≥，()h x 在()1,+∞单调递增，因为1≥x ，所以()()10h x h ≥=，不合题意；2︒，0a <，令()'0h x =，即20ax x a ++=，其中214a ∆=-， 当0∆≤，12a ≤-，()h x 在()1,+∞单调递减，因为1≥x ，()()10h x h ≤=，符合题意． 当>0∆，12a >-，设 ()'0h x =的两根是1x ，2x ，且1x <2x ，又()'12+1>0h a =，所以121x x ，所以21x x <<时，()h x 单调递增，()()10h x h >=，不合题意． 综上得，12a ≤-． 【点睛】本题考查利用导函数研究函数的零点个数，根据不等式的恒成立求参数的范围，关键在于构造合适的函数，求导，研究其导函数取得正负的区间，得出原函数的最值，属于较难题． 22．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin (02)ρθθθπ=+≤<，点(1,)2M π，以极点O 为原点，以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于,A B 两点，且MA MB >. （1）若(,)P ρθ为曲线C 上任意一点，求ρ的最大值，并求此时点P 的极坐标； （2）求||||MA MB . 【答案】（1）ρ取得最大值P的极坐标为)4π.；（2）2+．【解析】试题分析：(1)利用题意结合辅助角公式可得当4πθ=时，ρ取得最大值，此时，P 的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)联立直线的参数方程和圆的直角坐标方程，结合韦达定理可得MA MB的值是2．试题解析：（1）224cos sin πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，∴当4πθ=时，ρ取得最大值P的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）由22cos sin ρθθ=+，得222cos sin ρρθρθ=+，即22220x y x y +--=， 故曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=.将212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()()22112x y -+-=并整理得：210t -=，解得t =， ∵MA MB >，∴由t的几何意义得，MA =，MB =，故2MA MB==。
黑龙江省大庆市2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学(理)试题
绝密★启用前黑龙江省大庆市2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设集合{}{}2|,|01A x x x B x x =≤=<≤，则A B =（ ）A ．(]0,1B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．()(],00,1-∞2．已知2(1i)=1i z(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数等于（ ）A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i +3．已知()()2,1,,2a b x =-=,且//a b ，则a b +=（ ） A ．4B ．3C D4．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（ ） A ．829B ．415C ．429D ．2155．设抛物线22y px =的焦点在直线2380x y +-=上，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．1x =-B ．2x =-C ．3x =-D ．4x =-6．若直线1y x =+和曲线ln 2y a x =+相切，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．327．某公司安排甲、乙、丙3人到,A B 两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A 城市恰好只有甲去的概率为（ ） A ．15B ．16C ．13D ．148．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为偶函数，将()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为()g x ，若()g x 最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．-2B ．2C ．D9．设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题错误．．的是( ) A ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥ B ．若n α⊥，//n m ，则m α⊥ C ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥D ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥10．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．10B ．3C ．4D ．311．设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若双曲线的左支上存在一点P ，使得2PF 与双曲线的一条渐近线垂直于点H ，且224PF F H =，则此双曲线的离心率为（ ）A ．3B．43C ．2D ．53第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．若实数x ，y 满足不等式组220102x y x y y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z xy =-的最大值为____________.14．若函数()222,0,0x mx m x f x x m x ⎧-+≤=⎨+>⎩，且()()12f f =，则m 的值为__________.15sin 3αα+=，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.16．已知e 为自然对数的底数，若对任意的1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的[]1,2y ∈-，使得2ln 1yx x a y e -++=成立，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题17．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足222n n n S a a =+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．微信作为一款社交软件已经在支付、理财、交通、运动等各方面给人们的生活带来各种各样的便利.手机微信中的“微信运动”，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.A 先生朋友圈里有大量好友使用了“微信运动”这项功能，他随机选取了其中40名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：90，AB PB中点……○…………订…………线…………○……_______班级：___________考号：……○…………订…………线…………○……（1）求证：AQ ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的正弦值.20．椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，且短轴长为12.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点B 为椭圆E 与y 轴正半轴的交点，是否存在直线l ，使得l 交椭圆E 于,M N 两点，且F 恰是BMN ∆的垂心？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由. 21．已知函数()()2ln 1,2x f x ax b g x ax bx x =--=+. （1）当2,3a b ==-时，求函数()f x 在x e =处的切线方程； （2）若函数()y f x =的两个零点分别为12,x x ，且12x x ≠，求证：1212x x g +⎛⎫>⎪⎝⎭. 22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r +-=>，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切。
黑龙江省大庆市2020届高三数学第一次教学质量检测试题理含解析
黑龙江省大庆市2020届高三数学第一次教学质量检测试题 理（含解析）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题8分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合{}{}2|,|01A x x x B x x =≤=<≤，则AB =（ ）A. (]0,1B. []0,1C. (],1-∞D.()(],00,1-∞【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A 后可求AB .【详解】[]0,1A =，故(]0,1A B =，故选A.【点睛】本题考查集合的运算交，属于基础题.2.已知2(1i)=1i z(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数等于（ ）A. 1i --B. 1i -C. 1i -+D. 1i +【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算法则，化简复数1z i =-+，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数满足2(1)=1i i z，即221(1)2=11111i i i izi i ii i，所以复数z 的共轭复数等于1z i =--，故选A ．【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数z 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.已知()()2,1,,2a b x =-=,且//a b ，则a b +=（ ） A. 4 B. 3【答案】C 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标形式可求x ，求出a b +的坐标后可求a b +. 【详解】因为//a b ，故221x ⨯=-⨯，所以4x =-， 故()2,1a b +=-，故5a b +=. 故选C.【点睛】如果()()1122,,,a x y b x y ==，那么：（1）若//a b ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥，则12120x x y y +=.4.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（ ） A.829B.415C.429D.215【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为等差数列问题，通过90n S =，1n a =，15a =，构造方程组解出公差，从而得到结果.【详解】设每天所织布的尺数为n a ，则数列{}n a 为等差数列 设公差为d由题意可知：15a =，1n a =，90n S =则()()51115902n d n n n d ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：30429n d =⎧⎪⎨=-⎪⎩即每天比前一天少织429尺的布 本题正确选项：C【点睛】本题考查等差数列通项公式、求和公式的应用，关键是能够将问题转化为等差数列基本量求解的问题.5.设抛物线22y px =的焦点在直线2380x y +-=上，则该抛物线的准线方程为（ ） A. 1x =- B. 2x =- C. 3x =- D. 4x =-【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线焦点F 在2380x y +-=上，求得8p =，进而得到抛物线的准线方程，得到答案. 【详解】由题意，抛物线22y px =的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，又由焦点F 在2380x y +-=上， 解得8p =，所以抛物线的准线方程为42px =-=-，故选D. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.若直线1y x =+和曲线ln 2y a x =+相切，则实数a 的值为（ ）A.12B. 1C. 2D.32【答案】B 【解析】 分析】设切点为()00,ln 2x a x +，求出函数在0x x =处的导数后可得切线的斜率，从而可用a 表示切点的横坐标，最后根据切点在切线上得到关于a 的方程，解该方程后可得实数a 的值. 【详解】设切点为()00,ln 2x a x +，因为a y x'=，故切线的斜率01a k x ==， 所以0x a =，所以ln 21a a a +=+，因为0a >，故1a =， 故选B.【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率，本题为基础题．7.某公司安排甲、乙、丙3人到,A B 两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A 城市恰好只有甲去的概率为（ ） A.15B.16C.13D.14【答案】B 【解析】 【分析】求出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，利用公式可求概率.【详解】设事件C 为“A 城市恰好只有甲去”，则基本事件的总数为22326C A =，事件C 中含有的基本事件的总数为1，所以()16P C =. 故选B.【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时应利用排列组合的方法来考虑，此类问题为基础题.8.已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为偶函数，将()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为()g x ，若()g x 最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. -2B. 2C.【答案】C 【解析】 【分析】由题意根据三角函数的图象的对称性求出φ，由周期求出ω，由三角函数的值求出A ，可得函数的解析式，从而求得38f π⎛⎫⎪⎝⎭． 【详解】∵()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为偶函数，故()()f x f x -=，所以()()sin sin A x A x ωϕωϕ+=-+，整理得到sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x ωϕωϕωϕωϕ+=-+， 所以sin cos 0x ωϕ=对任意的x ∈R 恒成立，所以cos 0ϕ=，即,2k k Z πϕπ=+∈.因为0ϕπ<<，故2ϕπ=.所以()cos f x A x ω=， 将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()cos2A g x xω=.因为()g x 最小正周期为2π，则有22πω＝2π，∴ω＝2，g （x ）＝A cos x ，f （x ）＝A cos2x ．且4g π⎛⎫=⎪⎝⎭4cos A π=，解得2A =，所以()2cos2f x x =，所以332cos 84f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选:C.【点睛】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，函数y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象求解析式，属于基础题．9.设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题错误．．的是( ) A. 若m α⊥，//n α，则m n ⊥ B. 若n α⊥，//n m ，则m α⊥ C. 若m α⊥，//m β，则αβ⊥ D. 若αβ⊥，//m α，则m β⊥【答案】D 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质定理及相关的推论考查所给的选项是否正确即可. 【详解】逐一考查所给的选项：由线面垂直的性质定理推论可知：若m α⊥，//n α，则m n ⊥，选项A 正确； 由线面垂直的性质定理推论可知：若n α⊥，//n m ，则m α⊥，选项B 正确；由线面垂直的性质定理推论可知：若m α⊥，//m β，则平面β内存在直线l ，满足//l m ，则l α⊥，然后利用面面垂直的判定定理可得αβ⊥，选项C 正确；在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面,αβ分别为平面11,ABCD ADD A ，直线m 为棱11B C ，满足αβ⊥，//m α，但是不满足m β⊥，选项D 错误； 故选：D.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理及其推论，线面关系命题的判定，属于中等题. 10.已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为（ ）A.510B.53C.64D.15 【答案】A 【解析】 【分析】如图，取11A B 的中点，连接,MN AN ，可以证明AMN ∠是异面直线AM 与BC 所成角，利用余弦定理可求其余弦值.【详解】如图，取11A B 的中点N ，连接,MN AN ， 在111A B C ∆中，因为,M N 为中点，所以11MNB C ，由直三棱柱111ABC A B C -可得11BC B C ，故MNBC ，所以AMN ∠或其补角是异面直线AM 与BC 所成角.因为三棱柱111ABC A B C -是直棱柱，所以1AA ⊥平面111A B C ， 因为11A C ⊂平面111A B C ，故111AA AC ⊥，故1AA M ∆为直角三角形， 同理1AA N ∆为直角三角形. 设2AB a =，则1A N a =，在1Rt AA N ∆中，有AN =，同理AM =，又MN a =,故222cosAMN ∠==. 故选A.【点睛】求异面直线所成的角，一般需要平移空间直线后将空间角转化为平面角来处理，后者可以利用平面几何的相关知识方法或利用解三角形的方法求平面角的大小或角的余弦值. 11.设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A. 13()()(1)32f f f << B. 31(1)()()23f f f <<C. 13(1)()()32f f f <<D. 31()(1)()23f f f <<【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再利用函数在区间[1,0)-上是增函数可得答案. 【详解】解：()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又(2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又1111023--<-<-≤，且函数在区间[1,0)-上是增函数，11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.【点睛】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，考查利用知识解决问题的能力.12.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若双曲线的左支上存在一点P ，使得2PF 与双曲线的一条渐近线垂直于点H ，且224PF F H =，则此双曲线的离心率为（ ） A.263B.43C.132D.53【答案】D 【解析】 【分析】利用2PF 与双曲线的一条渐近线垂直于点H 可求出H 的坐标，再利用224PF F H =求出P 的坐标（用,,a b c 表示），将P 的坐标代入双曲线的方程后可求离心率.【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，取一条渐近线为by x a =， 则直线()2:a a acF H y x c x b b b=--=-+，由a ac y x b b b y x a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2,a ab H c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为224PF F H =，故224PF F H =-，从而()2,4,p p a ab c x y c c c ⎛⎫--=--⎪⎝⎭， 所以2434p p a x c c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，将P 的坐标代入双曲线的方程可以得到：222224431a ab c c c a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，化简可得29250e -=，所以53e =， 故选D.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.若实数x ，y 满足不等式组220102x y x y y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为____________.【答案】5 【解析】 【分析】由题意首先画出不等式组表示平面区域，然后结合目标函数的几何意义求解其最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点C 处取得最大值， 联立直线方程：102x y y +-=⎧⎨=-⎩，可得点的坐标为：()3,2C -，据此可知目标函数的最大值为：()max 325z =--=. 故答案为：5．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.14.若函数()222,0,0x mx m x f x x m x ⎧-+≤=⎨+>⎩，且()()12f f =，则m 的值为__________.【答案】12【解析】 【分析】先求出()1f ，再根据()10f >、()10f ≤分类讨论并求出相应的()()1ff ，根据()()12f f =可求实数m 的值.【详解】()11f m =+， 若1m >-，则()()121ff m =+，令212m +=，故12m =；若1m ≤-，则()()()()2211211f f m m m m =+-++=，故()()12f f =无解，综上，12m =. 故答案为：12m =. 【点睛】分段函数的处理方法有两种：（1）分段处理，因为在不同的范围上有不同的解析式，故可考虑在不同范围上对应的方程、不等式等；（2）数形结合，即画出分段的函数的图像，从而考虑与分段函数相关的不等式问题、方程的解等问题.15.sin 3αα+=，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【答案】59- 【解析】 【分析】先逆用两角和的正弦得到sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令3παθ=-，则cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值即为cos2θ-的值，利用二倍角的余弦值可求此值.sin 3αα+=可以得到12sin 23αα⎫+=⎪⎪⎝⎭所以sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，设3πθα=+，则3παθ=- 则222333πππαθπθ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭， 所以()245cos 2cos 2cos 22sin 11399παπθθθ⎛⎫-=-=-=-=-=-⎪⎝⎭.故答案为：59-. 【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.16.已知e 为自然对数的底数，若对任意的1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的[]1,2y ∈-，使得2ln 1y x x a y e -++=成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】22,4e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】令()ln 1f x x x a =-++，1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()[]2,1,2xg x x e x =∈-.利用导数可求前者的值域和后者的单调性，最后根据方程的解的唯一性得到实数a 的取值范围.【详解】令()ln 1f x x x a =-++，1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()[]2,1,2xg x x e x =∈-.当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1110x f x x x -'=-=>，故()f x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数， 故()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,a a e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 又当()1,0x ∈-时，()()220xg x x x e '=+<，当()0,2x ∈时，()()220xg x x x e '=+>，所以()g x 在[]1,0-上减函数，在[]0,2上为增函数.令()t f x =，因为对任意的1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的[]1,2y ∈-，使得2ln 1yx x a y e-++=成立，故对直线s t =与函数()s g y =的图象有且只要一个公共点， 而()()()211,00,24g g g e e-===，且()g x 在[]1,0-上为减函数，在[]0,2上为增函数， 故214t e e <≤，所以2114a e e a e ⎧->⎪⎨⎪≤⎩，即224a e e <≤. 故答案为：22,4e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】本题以多元方程解的性质为载体，考查导数在函数性质研究中的应用，在解决问题的过程中，注意把解的个数合理地转化为动直线与函数图象的位置关系，此类问题为难题. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足222n n n S a a =+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+；（2）224n n T +=-.【解析】 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-把递推关系转化为11n n a a --=，再利用等差数列的通项公式可求{}n a 的通项；（2）利用等比数列的求和公式可求{}n b 的前n 项和n T . 【详解】（1）当1n =时，12a =，当2n ≥时，()()()221112222n n n n n n n a S S a a a a ---⎡⎤=-=+--+-⎣⎦， ∴()()1110n n n n a a a a --+--=， ∵0n a >，∴11n n a a --=，∴{}n a 是以12a =为首项，1d =为公差的等差数列， ∴1n a n =+.（2）由（1）的1n a n =+，则12n n b +=，∴()222122412n n nT +-==--.【点睛】数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现{}n a 与n S 之间的相互转化. 而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列或等比数列的通项，则用公式直接求和；如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 18.微信作为一款社交软件已经在支付、理财、交通、运动等各方面给人们的生活带来各种各样的便利.手机微信中的“微信运动”，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.A 先生朋友圈里有大量好友使用了“微信运动”这项功能，他随机选取了其中40名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：（1）以样本估计总体，视样本频率为概率，在A 先生的微信朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数不低于6000步的有X 名，求X 的分布列和数学期望；（2）如果某人一天的走路步数不低于8000步，此人将被“微信运动”评定为“运动达人”，否则为“运动懒人”.根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）分布列见解析，65；（2）没有. 【解析】 【分析】（1）利用二项分布可求X 的分布列和数学期望.（2）根据题设中的数据可得列联表，再由公式可计算得到2K 的观察值，最后根据临界值表可得没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.【详解】（1）在A 先生的男性好友中任意选取1名，其中走路步数不低于6000的概率为82205=，X 可能取值分别为0，1，2，3， ∴()30033227055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21133254155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()12233236255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0333328355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为则()2754368601231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=， （也可写成235XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭,），∴()26355E X =⨯=.（2）完成2×2列联表运动达人 运动懒人 总计 男 4 16 20 女 7 13 20 总计 112940∴2K 的观测值()240413716 1.129 2.70611292020k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， ∴据此判断没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和独立性检验，计算分布列时要弄清随机变量取某值时对应的随机事件的含义并确定合理的概率计算方法.必要时可借助于常见的分布列来帮助计算（如0-1分布、二项分布、超几何分布等），而独立性检验一般地依据给定的列联表计算2K 的观察值，再结合临界值表得到是否有把握认定结论.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，90BCD ∠=，224AB BC CD ===，PAB ∆为等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，Q 为PB 中点.（1）求证：AQ ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）154.【解析】 【分析】（1）可证BC ⊥平面PAB ，从而得到要证的线面垂直；（2）过点B 作PC 的垂线BH ，交PC 于点H ，连结DH ，可证二面角B PC D --的平面角为BHD ∠，利用余弦定理可求其余弦值后可得其正弦值.我们也可以建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量和平面PCD 的法向量后可求它们的夹角的余弦值，从而得到二面角的正弦值.【详解】（1）证明：因为//AB CD ，090BCD ∠=， 所以AB BC ⊥，又∵平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AB 平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ，又∵AQ ⊂平面PAB ，∴ 所以BC AQ ⊥，∵Q 为PB 中点，且PAB ∆为等边三角形，∴PB AQ ⊥，又∵PB BC B ⋂=， ∴AQ ⊥平面PBC .（2）【法一】过点B 作PC 的垂线BH ，交PC 于点H ，连结DH ， 取AB 中点为O ，连接PO .因为PAB ∆为等边三角形，所以PO AB ⊥，由平面PAB ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =， 所以PO ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PO CD ⊥，由条件知OD CD ⊥，又POOD O =，所以CD ⊥平面POD ，又PD ⊂平面POD ，所以CD PD ⊥， 又CD CB =，所以Rt PDC Rt PBC ∆≅∆， 所以DH PC ⊥，由二面角的定义知，二面角B PC D --的平面角为BHD ∠，在Rt PDC ∆中，4,2,PB BC PC ===由PB BC BH PC =，所以525PB BC BH PC ===，同理可得455DH =， 又22BD =BHD ∆中，(2222224545221cos 2445452BH DH BD BHD BH DH +-+-⎝⎭⎝⎭∠===-⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以，二面角B PC D --15. 【法二】取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB ∆为等边三角形，所以PO AB ⊥， 由平面PAB ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =， 所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO OD ⊥，由224AB BC CD ===，090ABC ∠=， 可知//OD BC ，所以⊥OD AB ，以AB 中点O 为坐标原点，,,OA OD OP 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，所以()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0A D C -，(()0,0,23,2,0,0P B -， 所以()()()2,2,0,0,2,23,2,0,0AD DP CD =-=-=， 由（1）知，可以AQ 为平面PBC 的法向量， 因为Q 为PB 的中点， 所以(3Q -，由（1）知，平面PBC 的一个法向量为(3AQ =-， 设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由·0·0n CD n DP ⎧=⎨=⎩得202230x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()0,3,1n =， 所以231cos ,43331AQ n AQ n AQ n===+⨯+， 所以二面角B PC D --15. 【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角得到. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20.椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，且短轴长为23，离心率为12.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点B 为椭圆E 与y 轴正半轴的交点，是否存在直线l ，使得l 交椭圆E 于,M N 两点，且F 恰是BMN ∆的垂心？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，3163y x =-【解析】 【分析】（1）根据短轴长和离心率可求,,a b c ，从而得到椭圆的标准方程；（2）假设存在直线l ，则其斜率为3k =l 的方程为3y x m =+，()()1122,,,M x y N x y ，由F 为垂心可得()212123413033m x x x x m m ⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭，联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理可得关于m 的方程，解该方程后可得所求的直线方程.【详解】（1）设椭圆C 的方程为()222210,0x y a b a b+=>>，则由题意知223b =3b =22112b e a =-=，解得24a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由（1）知，E 的方程为22143x y +=，所以(()3,1,0B F ，所以直线BF 的斜率3BF k =-，假设存在直线l ，使得F 是BMN ∆的垂心，则BF MN ⊥. 设l 的斜率为k ，则1BF k k =-，所以3k =. 设l 的方程为3y x m =+,()()1122,,,M x y N x y . 由2233143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()2213831230x mx m ++-=， 由()()22834131230mm ∆=-⨯⨯->，得393933m -<<， ()2121212383,1313m m x x x x -+=-=. 因为MF BN ⊥，所以0MF BN =，因为()()11221,,,3MF x y BN x y =--=-， 所以()()1212130x x y y ---=，即()12121333130333x x x m x m x m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++++= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，整理得()212123413033m x x x x m m ⎛⎫-+--+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()221233834130313313m m m m m -⎛⎫⎛⎫----+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得22153480m m --=，解得3m =或163m =，当m 时，直线MN 过点B ，不能构成三角形，舍去；当m =时，满足m <<， 所以存在直线l ，使得F 是BMN ∆的垂心，l的方程为y x =-【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的几何量的计算问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把题设中的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程，从而可得欲求的几何量的值. 21.已知函数()()2ln 1,2x f x ax b g x ax bx x =--=+. （1）当2,3a b ==-时，求函数()f x 在x e =处的切线方程； （2）若函数()y f x =的两个零点分别为12,x x ，且12x x ≠，求证：1212x x g +⎛⎫> ⎪⎝⎭.【答案】（1）130x y e+--=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数在x e =处的导数，求出切点坐标后可得切线的方程.（2）利用()()120f x f x ==可得()()12122121212ln0222x x x x x x x x a b x x +++⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因此只需证明()()112212ln 12x x x x x x +>-即1122121ln 121x x x x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>⎛⎫- ⎪⎝⎭即可，令12x t x =，构建新函数()()()21ln ,0,11t m t t t t -=-∈+可证该不等式成立.【详解】（1）当2,3a b ==-时，()()ln 30xf x x x x=-+>，()221ln x x f x x--'=， 则()1f e '=-，切点为1,3e e e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 故函数()f x 在x e =处的切线方程为130x y e+--=. （2）证明：∵12,x x 是()f x 的两个零点，不妨设12x x <，∴()()120f x f x ==，即111ln 102x ax b x --=，222ln 102x ax b x --=， ∴21111ln 02x ax bx --=，22221ln 02x ax bx --=， 相减得：()()221212121ln ln 02x x a x x b x x -----= 故()121212ln102x x a x x b x x -+-=-，整理得到()()()11222121212ln102x x x x a x x b x x x x +-+-+=-， 则()()12122121212ln0222x x x x x x x x a b x x +++⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， ∴()()11221212ln 22x x x x x x g x x ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭即()()111122212212121ln ln 2221x x x x x x x x x x g x x x x ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭== ⎪-⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭， 令12x t x =，即证01t <<，()()1ln 121t t t +>-也就是()21ln 01t t t --<+， 令()()()21ln ,0,11t m t t t t -=-∈+，()()()()222114011t m t t t t t -'=-=>++，()()21ln 1t m t t t -=-+在()0,1上是增函数， 又∵()10m =，∴()0,1t ∈，()0m t <，命题得证.【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.与函数零点有关的不等式的证明，可利用零点满足的等式将要求证的不等式进行转化，再构造新函数，利用导数讨论新函数的性质可证明新转化的不等式是成立的.请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切。
2020-2021学年黑龙江省大庆市高三(上)第一次质检数学(理科)试题Word版含解析
2020-2021学年黑龙江省大庆市高三（上）第一次质检数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{0，1，2，3} C．{0，1，2} D．{0，1}2．（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣23．（5分）设a1=2，数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，则a4=（）A．80 B．81 C．54 D．534．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，m），若∥，则|2+3|等于（）A． B．C．D．5．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm36．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．167．（5分）已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α8．（5分）直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．2 D．9．（5分）高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，我校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如右下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为（）学科数学信息物理化学生物北大 4 2 5 4 1清华 2 1 0 4 2A．B．C．D．10．（5分）设F是双曲线﹣=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．5 B．5+4C．7 D．911．（5分）设函数f是定义在正整数有序对的集合上，并满足：①f（x，x）=x；②f（x，y）=f（y，x）；③（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）；则f（12，16）+f（16，12）的值是（）A．24 B．48 C．64 D．9612．（5分）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．[，] B．[0，] C．[，] D．[1，]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣，则实数a的值为．14．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如示，则φ的值为．15．（5分）已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形最小值的正弦值是．16．（5分）若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个公共点，且不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，则正实数p的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．19．（12分）国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同．某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形ABCD如图所示，其中阴影区域的边界曲线近似为函数y=Asinx的图象）．每队有3人“成功”获一等奖，2人“成功”获二等奖，1人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．（Ⅰ）求某队员投掷一次“成功”的概率；（Ⅱ）设X为某队获奖等次，求随机变量X的分布列及其期望．20．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点到椭圆C的右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB面积的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=a（x+1）2﹣4lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，f（x）＜1恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年黑龙江省大庆市高三（上）第一次质检数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{0，1，2，3} C．{0，1，2} D．{0，1}【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：﹣2≤x≤1，即B=[﹣2，1]，∵A={0，1，2，3，4}，∴A∩B={0，1}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得：a=1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）设a1=2，数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，则a4=（）A．80 B．81 C．54 D．53【分析】先利用数列{1+a n}是以3为公比的等比数列以及a1=2，求出数列{1+a n}的通项，再把n=4代入即可求出结论．【解答】解：因为数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，且a1=2所以其首项为1+a1=3．其通项为：1+a n=（1+a1）×3n﹣1=3n．当n=4时，1+a4=34=81．∴a4=80．故选A．【点评】本题主要考查等比数列的性质的应用．解决本题的关键在于利用数列{1+a n}是以3为公比的等比数列以及a1=2，求出数列{1+a n}的通项．是对基础知识的考查，属于基础题．4．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，m），若∥，则|2+3|等于（）A． B．C．D．【分析】根据∥，算出=（﹣2，﹣4），从而得出=（﹣4，﹣8），最后根据向量模的计算公式，可算出的值．【解答】解：∵且∥，∴1×m=2×（﹣2），可得m=﹣4由此可得，∴2+3=（﹣4，﹣8），得==4故选：B【点评】本题给出向量、的坐标，求向量的模，着重考查了平面向量平行的充要条件和向量模的公式等知识点，属于基础题．5．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm3【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．故这个几何体的体积是×[（1+2）×2]×=（cm3）．故选：B．【点评】本题考查由几何体的三视图求原几何体的体积问题，属于基础题．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=16，i=9时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1S=0满足条件，S=1，i=3满足条件，S=4，i=5满足条件，S=9，i=7满足条件，S=16，i=9由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16，故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．7．（5分）已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α【分析】根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论．【解答】解：（A）若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；（B）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面CDD′C′为平面β，直线BB′为直线m，直线A′B为直线n，则m⊥α，n∥β，α⊥β，但直线A′B与BB′不垂直，故B错误．（C）设过m的平面γ与α交于a，过m的平面θ与β交于b，∵m∥α，m⊂γ，α∩γ=a，∴m∥a，同理可得：m∥b．∴a∥b，∵b⊂β，a⊄β，∴a∥β，∵α∩β=l，a⊂α，∴a∥l，∴l∥m．故C正确．（D）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面ABB′A′为平面β，平面CDD′C′为平面γ，则α∩β=AB，α∩γ=CD，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC⊂平面ABCD，故D错误．故选：C．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，借助常见空间几何模型举出反例是解题关键．8．（5分）直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．2 D．【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距OD，然后根据垂径定理得到垂足为弦长的中点D，根据勾股定理求出弦长的一半BD，乘以2即可求出弦长AB．【解答】解：连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB的中点，根据（x+2）2+（y﹣2）2=2得到圆心坐标为（﹣2，2），半径为．圆心O到直线AB的距离OD==，而半径OB=，则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==，所以AB=2BD=故选D．【点评】考查学生灵活运用点到直线的距离公式解决数学问题，以及理解直线和圆相交所截取的弦的一半、圆的半径、弦心距构成直角三角形．灵活运用垂径定理解决数学问题．9．（5分）高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，我校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如右下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为（）学科数学信息物理化学生物北大 4 2 5 4 1清华 2 1 0 4 2A．B．C．D．【分析】先求出恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的种数，再分类求出至少有1人是参加数学竞赛种数，根据概率公式计算即可得到．【解答】解：其中北大保送生有4+2+5+4+1=16人，清华保送生有2+1+0+4+2=9人，恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的有C161C91=144种，故至少有1人是参加数学竞赛种数为C41C71+C21C121+C21C41=28+24+8=60种，故至少有1人是参加数学竞赛的概率P==．故选：A．【点评】本题考查了古典概型概率问题，以及排列组合的问题，属于基础题．10．（5分）设F是双曲线﹣=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．5 B．5+4C．7 D．9【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得，|PF|﹣|PF′|=2a=4，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5，两式相加求得答案．【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），∴由双曲线定义可得，|PF|﹣|PF′|=2a=4，而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5，两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．则|PF|+|PA|的最小值为9．故选：D．【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用，同时考查两点间线段最短，属于中档题．11．（5分）设函数f是定义在正整数有序对的集合上，并满足：①f（x，x）=x；②f（x，y）=f（y，x）；③（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）；则f（12，16）+f（16，12）的值是（）A．24 B．48 C．64 D．96【分析】由函数性质的第3条，可得f（x，x+y）=f（x，y），从而得到f（12，16）+f（16，12）=2f（12，16）=2f（12，12+4）=2××f（12，12），再利用①解．【解答】解：∵（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y），∴f（x，x+y）=f（x，y），f（12，16）+f（16，12）=2f（12，16）=2f（12，12+4）=2××f（12，12）=2×4×12=96．故选：D【点评】本题考查了抽象函数的应用，重点考查了学生对新知识的接受能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．[，] B．[0，] C．[，] D．[1，]【分析】判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和的几何意义即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），∴f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣（x+sinx）=﹣f（x），即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数．∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）=f[﹣（x2﹣4x+1）]，由f′（x）=1+cosx≥0，∴函数单调递增．∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1），即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0，∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1，∵当y≥1时，=1+，∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．而的几何意义为动点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率的取值范围．设k=，（k＞0），则y=kx+k，即kx﹣y+k=0．当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d===1即8k2﹣6k=0，解得k=．此时直线斜率最大．当直线kx﹣y+k=0经过点B（3，1）时，直线斜率最小，此时3k﹣1+k=0，即4k=1，解得k=，∴≤k≤，故=1+=1+k的取值范围是[，]．故选：A【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，函数奇偶性和单调性的判断以及直线斜率的取值范围，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的基本思想，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣，则实数a的值为 1 ．【分析】先化抛物线y=ax2为标准方程：x2=y，得到焦点坐标为F（0，），准线方程：y=﹣，再结合题意准线方程为，比较系数可得a=1．【解答】解：∵抛物线y=ax2化成标准方程为x2=y，∴2p=，可得=，焦点坐标为F（0，），准线方程：y=﹣再根据题意，准线方程为，∴﹣=﹣，可得a=1故答案为：1【点评】本题给出含有字母参数的抛物线方程，在已知准线的情况下求参数的值，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质，属于基础题．14．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如示，则φ的值为．【分析】先利用函数图象，计算函数的周期，再利用周期计算公式计算ω的值，最后将点（，0）代入，结合φ的范围，求φ值即可【解答】解：由图可知T=2（）=π，∴ω==2∴y=sin（2x+φ）代入（，0），得sin（+φ）=0∴+φ=π+2kπ，k∈Z∵0＜φ≤∴φ=故答案为【点评】本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，利用函数图象确定参数值的方法，属基础题15．（5分）已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形最小值的正弦值是．【分析】设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，求出a=c+4和b=c+2，由边角关系和条件求出sinA，求出A=60°或120°，再判断A的值，利用余弦定理能求出三边长，由余弦定理和平方关系求出这个三角形最小值的正弦值．【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，可得b=c+2，a=c+4，∴A＞B＞C，∵最大角的正弦值为，∴sinA=，由A∈（0°，180°）得，A=60°或120°，当A=60°时，∵A＞B＞C，∴A+B+C＜180°，不成立；即A=120°，则cosA===，化简得，解得c=3，∴b=c+2=5，a=c+4=7，∴cosC===，又C∈（0°，180°），则sinC==，∴这个三角形最小值的正弦值是，故答案为：．【点评】本题考查等差中项的性质，余弦定理，以及三角形边角关系的应用，考查了方程与转化思想，运算求解能力，推理论证能力．16．（5分）若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个公共点，且不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，则正实数p的取值范围为[1，+∞）．【分析】直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，可知：点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，因此（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0．画出它们表示的平面区域，如图所示．由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，可得d min=．由于存在实数a、b使得不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，可得≥20（a2+b2）=4，再利用基本不等式的性质即可得出答案．min【解答】解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，∴点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，∴（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0，即，或；画出它们表示的平面区域，如图所示．a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，∵d min=那么a2+b2的最小值为：d2=．由于存在实数a、b使得不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，∴≥20（a2+b2）min=4，∵θ∈（0，），∴sinθ，cosθ∈（0，1）．∴+=（sin2θ+cos2θ）=1+p++≥1+p+2=1+p+2，当且仅当tan2θ=时取等号．∴1+p+2≥4，p＞0，解得1≤p．∴tanθ=1，即时取等号．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查了函数图象与性质、线性规划有关知识、三角函数基本关系式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，可得，解得a1，d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（Ⅱ）由（I）可得b n==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n==n2+2n．（Ⅱ）===，∴T n===．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．【分析】（1）先通过两角和公式对函数解析式进行化简，得f（x）=2sin（2x+），根据正弦函数的周期性和对称性可的f（x）的最小正周期及对称中心．（2）根据正弦函数的单调性及x的取值范围进而求得函数的最值．【解答】解：（1）∴f（x）的最小正周期为，令，则，∴f（x）的对称中心为；（2）∵∴∴∴﹣1≤f（x）≤2∴当时，f（x）的最小值为﹣1；当时，f（x）的最大值为2．【点评】本题主要考查了正弦函数的性质．三角函数的单调性、周期性、对称性等性质是近几年高考的重点，平时应加强这方面的训练．19．（12分）国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同．某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形ABCD如图所示，其中阴影区域的边界曲线近似为函数y=Asinx的图象）．每队有3人“成功”获一等奖，2人“成功”获二等奖，1人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．（Ⅰ）求某队员投掷一次“成功”的概率；（Ⅱ）设X为某队获奖等次，求随机变量X的分布列及其期望．【分析】（Ⅰ）由题意，求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式解答；（Ⅱ）明确X的取值，分别求出随机变量对应的概率，列出分布列，求期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：S矩形=10×10=100，=20，记某队员投掷一次“成功”事件为A，则P（A）=…．（5分）（Ⅱ）因为X为某队获奖等次，则X取值为1、2、3、4．，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=…．（9分）即X分布列为：X 1 2 3 4P（X）…（10分）所以，X的期望EX=1×+2×+3×+4×=…（12分）【点评】本题考查了几何概型的运用以及随机变量的分布列和期望．20．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，则EG∥A1B1，从而GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，从平面GEF∥平面ABB1A1，由此能证明EF∥平面ABB1A1．（Ⅱ）连结AC1，推导出AC1⊥AA1，从而AC1⊥平面ABB1A1，再求出AC1⊥AB，AA1⊥AB，分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，在△A1B1C1中，EG为中位线，∴EG∥A1B1，∴GE⊄平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，∴GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，又GF∩GE=G，∴平面GEF∥平面ABB1A1，∵EF⊂平面GEF，∴EF∥平面ABB1A1．解：（Ⅱ）连结AC 1，在△AA1C1中，，，∴由余弦定理得=+﹣2AA1×A1C1cos∠AA1C1=，∴AA1=AC1，△A1AC1是等腰直角三角形，AC1⊥AA1，又∵平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，∴AC1⊥平面ABB1A1，∵AB⊂平面ABB1A1，∴AC1⊥AB，又∵侧面ABB1A1为正方形，∴AA1⊥AB，分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），A1（1，0，0），B1（1，1，0），C1（0，0，1），C（﹣1，0，1），D（0，2，0），∴=（2，1，﹣1），=（1，2，﹣1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），设平面A1B1C1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面CB1D的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，3），cos＜＞===，∴平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点到椭圆C的右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB面积的取值范围．【分析】（1）求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得三角形MAB的面积为4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，求得MP的长，再由直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C的右焦点，∴c=2， (1)圆Q（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心（2，），∴在椭圆C上，代入椭圆+=1，∴， (2)由a2﹣b2=4解得：a2=8，b2=4，所以椭圆C的方程为； (4)（Ⅱ）由题意可得l1的斜率不为零，当l1垂直x轴时，△MAB的面积为，..5 当l1不垂直x轴时，设直线l1的方程为：，则直线l2的方程为：，由消去y得，所以， (7)则， (8)又圆心到l2的距离得k2＞1， (9)又MP⊥AB，QM⊥CD，所以M点到AB的距离等于Q点到AB的距离，设为d2，即， (10)所以△MAB面积， (11)令t=2k2+1∈（3，+∞），则，，综上，△MAB面积的取值范围为 (12)【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查三角形的面积的范围，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及三角形的面积公式，运用换元法和函数的单调性，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）=a（x+1）2﹣4lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，f（x）＜1恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出f（x）的最大值，结合对任意x ∈[1，e]，f（x）＜1恒成立，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由得f（1）=2 (1)…3则所求切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣1），即y=﹣2x+4 (4)（Ⅱ） (5)令g（x）=ax2+ax﹣2．当a=0时，，f（x）在[1，e]上单调递减，[f（x）]max=f（1）=0＜1，恒成立，符合题意 (6)当a＜0时，g（x）=ax2+ax﹣2，开口向下，对称轴为，且g（0）=﹣2＜0，所以当x∈[1，e]时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，[f（x）]max=f（1）=0＜1，恒成立，符合题意 (8)当a＞0时，g（x）=ax2+ax﹣2的开口向上，对称轴为，g（0）=﹣2＜0，所以g（x）=ax2+ax﹣2在（0，+∞）单调递增，故存在唯一x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0，即f′（x0）=0 (9)当0＜x＜x0时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞x0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以在[1，e]上，[f（x）]max=max{f（1），f（e）}．所以，得，得．所以 (11)综上，a得取值范围是 (12)【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．。
黑龙江省大庆市2020届高三数学上学期第一次教学质量检测试题文(含解析)
何意义，直线的方程，属于简单题目.
8.设 m ， n 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题错误的是( )
A. 若 m ， n / / ，则 m n
B. 若 n ， n / /m ，则 m
C. 若 m ， m / / ，则
D. 若 ， m / / ，则 m
【答案】D
得到结果.
【详解】设每天所织布的尺数为
an
，则数列
an
为等差数列
设公差为 d
由题意可知： a1 5 ， an 1， Sn 90
则
5 n 1d 1
5n
n
n
2
1
d
90
，解得：
n d
30 4
29
4 即每天比前一天少织 29 尺的布
本题正确选项： C
【点睛】本题考查等差数列通项公式、求和公式的应用，关键是能够将问题转化为等差数列 基本量求解的问题.
有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最
小正周期为
2π
，且
g
4
2
，则
f
3 8
（
）
A. 2
B. 2
C. 2
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
只需根据函数性质逐步得出 A,, 值即可。
【详解】因为 f (x) 为奇函数，∴ f (0) Asin 0， =k ,k 0, 0 ；
x2
，
∵当 x＞0 时，xf′（x）﹣f（x）>0，
∴当 x＞0 时，g′（x）>0，此时函数 g（x）为增函数，
f (x) ∵f（x）是奇函数，∴g（x） x 是偶函数， 即当 x＜0 时，g（x）为减函数． ∵f（﹣1）＝0，∴g（﹣1）＝g（1）＝0，
黑龙江省大庆市2020届高三数学上学期第一次教学质量检测试题文(含解析)
黑龙江省大庆市2020届高三数学上学期第一次教学质量检测试题 文（含解析）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,0,1,|1A B x N x =-=∈<，则A B =（ ）A. {}0B. {}1,0-C. {1,-0，1}D. (),1-∞【答案】C 【解析】 【分析】首先简化集合B ，然后根据并集的定义得结果. 【详解】B={x ∈N|x ＜1}={0}， A ∪B={-1，0，1}∪{0}={-1，0，1}． 故选：C ．【点睛】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.已知2(1i)=1i z(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数等于（ ）A. 1i --B. 1i -C. 1i -+D. 1i +【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算法则，化简复数1z i =-+，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数满足2(1)=1i i z，即221(1)2=11111i i i izi i ii i，所以复数z 的共轭复数等于1z i =--，故选A ．【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数z 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.已知(4,2)a =，b =（x ，6），且//a b ，则x = （ ） A. 12 B. 13 C. 14D. 15【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行有公式1221x y x y =，代入数据得到答案. 【详解】(4,2)a =，b =（x ，6），且//a b 则1221x y x y =即22412x x =⇒= 故答案选A【点睛】本题考查了向量平行的计算，属于简单题.4.在平面直角坐标系中，现有()1,1，()1,2，()2,0，()2,2，()3,1共五个点，从中任取两个点，则这两个点恰有一个在圆225x y +=内部的概率是( ) A.35B.15C.45D.25【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定所给的点与圆的位置关系，然后结合古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】由题意可知点()()1,1,2,0在圆内，其余所给的点不在圆内，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：11232535C C p C ==. 故选：A.【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（ ）A.829B.415C.429D.215【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为等差数列问题，通过90n S =，1n a =，15a =，构造方程组解出公差，从而得到结果.【详解】设每天所织布的尺数为n a ，则数列{}n a 为等差数列 设公差为d由题意可知：15a =，1n a =，90n S =则()()51115902n d n n n d ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：30429n d =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 即每天比前一天少织429尺的布 本题正确选项：C【点睛】本题考查等差数列通项公式、求和公式的应用，关键是能够将问题转化为等差数列基本量求解的问题.6.已知 1.22a =，52log 2=b ，1ln 3c =，则（ ） A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D.b c a >>【答案】A 【解析】 【分析】利用指数和对数函数的单调性分别判断出,,a b c 所处的大致范围，从而得到结果. 【详解】 1.21222a =>=5552log 2log 4log 51b ==<=且55log 4log 10b =>=1ln ln3ln 13c e ==-<-=-即1012c b a <-<<<<<a b c ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性判断大小的问题，属于基础题. 7.曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为（ ） A. 21y x =--B. 21y x =-C. 21y x =-+D.21y x =+【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，利用点斜式可得切线的方程，得到结果. 【详解】由11x y x +=-可得221(1)2'(1)(1)x x y x x --+==---，所以0'|2x y ==-， 所以曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为：21y x =--， 故选A.【点睛】该题考查的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线的方程，属于简单题目.8.设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题错误．．的是( ) A. 若m α⊥，//n α，则m n ⊥ B. 若n α⊥，//n m ，则m α⊥ C. 若m α⊥，//m β，则αβ⊥ D. 若αβ⊥，//m α，则m β⊥【答案】D 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质定理及相关的推论考查所给的选项是否正确即可. 【详解】逐一考查所给的选项：由线面垂直的性质定理推论可知：若m α⊥，//n α，则m n ⊥，选项A 正确； 由线面垂直的性质定理推论可知：若n α⊥，//n m ，则m α⊥，选项B 正确；由线面垂直的性质定理推论可知：若m α⊥，//m β，则平面β内存在直线l ，满足//l m ，则l α⊥，然后利用面面垂直的判定定理可得αβ⊥，选项C 正确；在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面,αβ分别为平面11,ABCD ADD A ，直线m 为棱11B C ，满足αβ⊥，//m α，但是不满足m β⊥，选项D 错误； 故选：D.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理及其推论，线面关系命题的判定，属于中等题. 9.现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B 【解析】 【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意； 综上可得，获奖人为乙.故选：B.【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为 （ ） A.3 B.5 C.12D.23【答案】D 【解析】 【分析】利用//AB CD ，得出异面直线AE 与CD 所成的角为BAE ∠，然后在Rt ABE ∆中利用锐角三角函数求出cos BAE ∠.【详解】如下图所示，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 四边形ABCD 为正方形，所以，//AB CD ， 所以，异面直线AE 与CD 所成的角为BAE ∠，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥平面11BB C C ，BE ⊂平面11BB C C ，AB BE ∴⊥，2AB =，225BE BC CE =+=223AE AC CE ∴=+=，在Rt ABE ∆中，90ABE ∠=，2cos 3AB BAE AE ∠==， 因此，异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为23，故选：D.【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线，选择合适的三角形，利用锐角三角函数或余弦定理求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题。
2019-2020学年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷(理科)
．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17．（12 分）设函数 y=f（x）的图象由 y=2sin2x+1 的图象向左平移 个单位得到．
（1）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间：
（2）在△ABC 中，a，b，c，6 分别是角 A，B，C 的对边，且 （f A）=2，b=1，
祝的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
9．（5 分）已知双曲线
的一条渐近线过点
，且
双曲线的一个焦点在抛物线 y2=16x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x∈[0，+∞）时，f（′ x）＜0．若
，
又 f（x）的图象过点
，
的值．
马
考 [选修 4-5：不等式选讲]
23．已知 a，b 是任意非零实数．
高 （1）求
的最小值
（2）若不等式|3a+2b|+|3a﹣2b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数 x 取值
您 范圈．
祝
黑龙江省大庆市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个
取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线
，直线 l：ρ（cosθ﹣
sinθ）=4．
成
到 （1）将曲线 C1 上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 2 倍、 倍后得到
曲线 C2，请写出直线 l，和曲线 C2 的直角坐标方程； （2）若直线 l1 经过点 P（1，2）且 l1∥l，l1 与曲线 C2 交于点 M，N，求|PM|•|PN|
黑龙江省高中数学人教A版(2020)必修一综合测试卷
黑龙江省高中数学人教A版（2020）必修一综合测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·临沂模拟) 已知集合，则 =（）A .B .C .D .2. （2分）函数，函数，若存在，使得成立，则实数m的取值范围是（）A . (0,1]B . [1,2]C .D .3. （2分）幂函数的图象经过点，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高三上·红桥期中) 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）A . 向右平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向右平移个单位长度D . 向左平移个单位长度5. （2分）已知sin5.1°=m，则sin365.1°=（）A . 1+mB . ﹣mC . mD . 与m无关6. （2分） (2018高三上·沈阳期末) 已知函数若方程恰有两个不同的解，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且f=0，则满足的x的集合为（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·宝鸡模拟) 已知定义在R上的函数y=f（x）满足：①对于任意的x∈R，都有f（x+2）=f （x﹣2）；②函数y=f（x+2）是偶函数；③当x∈（0，2]时，f（x）=ex﹣，a=f（﹣5），b=f（）．c=f （），则a，b，c的大小关系是（）A . a＜b＜cB . c＜b＜aC . c＜a＜bD . b＜a＜c9. （2分） (2019高一上·宜宾月考) 已知函数，若存在，使得，则的取值范围为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一上·渝中期末) 已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，0]时，，函数，则关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为（）A . （﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）B .C .D .11. （2分）(2018·德阳模拟) 设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，．若，则实数a的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高三上·天津月考) 设函数，，若，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·佛山月考) 已知、，且，则a+b的取值范围是________.14. （1分）(2017·浙江) 已知a∈R，函数f（x）=|x+ ﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是________．15. （1分）(2019·南昌模拟) 已知函数对于任意实数都有，且当时，，若实数满足，则的取值范围是________．16. （1分） (2020高一下·广东月考) 设b和c分别是先后抛掷一颗骰子得到的点数，则方程x2﹣bx+c=0有实根的概率为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）设n为给定的不小于3的正整数，数集P={x|x≤n，x∈N*}，记数集P的所有k（1≤k≤n，k∈N*）元子集的所有元素的和为Pk ．（1）求P1 ， P2；（2）求P1+P2+…+Pn ．18. （10分） (2019高一上·南海月考) 已知是第三象限角，且 .（1）求的值；（2）求的值.19. （10分） (2017高三上·山西月考) 在△ABC中,角A,B,C的对边分别是 ,且（1）求角A的大小;（2）求的取值范围.20. （15分） (2019高二上·烟台期中) 设函数 .（1）若函数在处取得极值，求的值；（2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.21. （10分） (2019高一上·随县月考) 已知t为实数，函数，其中（1）若，求的取值范围．（2）当时，的图象始终在的图象的下方，求t的取值范围；（3）设，当时，函数的值域为，若的最小值为，求实数a的值.22. （10分） (2019高一上·杭州期中) 设函数且，，是定义域在上的奇函数．（1）求的值；（2）证明：当时，函数是上的增函数；（3）若且满足的解集为，求定义域为的函数的值域．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共65分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：。
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黑龙江省大庆市2020年高考数学一模试卷A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、一.填空题： (共14题；共14分)
1. （1分） (2017高一上·金山期中) 若全集U={1，2，3，4，5}，且∁UA={2，3}，则集合A=________．
2. （1分） (2020高二下·顺德期中) 已知i是虚数单位，则复数对应的点在第________象限.
3. （1分） (2019高一上·雅安月考) 函数的定义域为 ________.
4. （1分）(2017·泰州模拟) 某算法的伪代码如图所示，如果输入的x值为32，则输出的y值为________．
5. （1分）(2019·长春模拟) 某中学高一年级有学生人，高二年级有学生人，高三年级有学生
人，现按年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级学生中抽取一个容量为的样本进行某项研究，则应从高二年级学生中抽取学生________人.
6. （1分）现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________ 。
7. （1分） (2018高一下·唐山期末) 鞋柜内散放着两双不同的鞋，随手取出两只，恰是同一双的概率是________．
8. （1分）(2017·郴州模拟) 设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B 两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为________．
9. （1分） (2019高三上·宝坻期中) 已知数列首项为，且，则为________.
10. （1分）(2018·重庆模拟) 设集合，
，记，则点集所表示的轨迹长度为________．
11. （1分）已知向量满足的夹角为，则 =________.
12. （1分）已知sin(x+)=，则sin(x-)+sin2(-x)的值是________
13. （1分）(2017·泉州模拟) 关于x的方程kx2﹣2lnx﹣k=0有两个不等实根，则实数k的取值范围是________．
14. （1分）(2016·潍坊模拟) 已知函数h（x）=x2+ax+b在（0，1）上有两个不同的零点，记min{m，n}=
，则min{h（0），h（1）}的取值范围为________．
二、二.解答题： (共12题；共105分)
15. （10分）(2020·新课标Ⅱ·理) 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
16. （10分）(2016·普兰店模拟) 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1 ， M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．
（1）若DE∥平面A1MC1 ，求；
（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．
17. （10分）某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其它费用组
成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．
（1）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数；
（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
18. （10分）(2019·黄冈模拟) 已知O为坐标原点，椭圆C：的左、右焦点分别为，
，右顶点为A，上顶点为B，若，，成等比数列，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过该椭圆的右焦点作倾角为的直线与椭圆交于M，N两点，求的内切圆的半径．
19. （10分）已知函数 .
（1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，证明 .
20. （5分） (2019高二上·株洲月考) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且an= (3n+Sn)对一切正整数n 成立
（I）证明：数列{3+an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
（II）设，求数列的前n项和Bn；
21. （10分）如图，AB切O于点D，直线AD交O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．
（1）证明：CBD=DBA；
（2）若AD=3DC，BC=，求O的直径．
22. （5分）(2013·江苏理) 已知矩阵A= ，B= ，求矩阵A﹣1B．
23. （10分）(2019·葫芦岛模拟) 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆是以极坐标系中的点为圆心，为半径的
圆，直线的参数方程为
（1）求与的直角坐标系方程；
（2）若直线与圆交于、两点，求的面积.
24. （5分）已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为2．
（Ⅰ）求整数m的值；
（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a4+4b4+4c4=m，求a2+b2+c2的最大值．
25. （10分） (2017高二下·赣州期中) 如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上．
（1）若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；
（2）当 = 时，求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值．
26. （10分）(2020·嘉兴模拟) 已知数列的前项和为，且．公比大于的等比数列的首项为，且．
（1）求和的通项公式；
（2）若，求证：，．
参考答案一、一.填空题： (共14题；共14分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
二、二.解答题： (共12题；共105分)
15-1、15-2、16-1、
16-2、17-1、17-2、
18-1、18-2、19-1、19-2、
20-1、
21-1、
21-2、
22-1、
23-1、
23-2、24-1、25-1、
25-2、
26-1、26-2、。