微分的概念、性质及应用

第二章第 6 节:函数得微分

教学目得:掌握微分得定义,了解微分得运算法则,会计算函数得微分,会利用微分作近似计算

教学重点:微分得计算

教学难点:微分得定义,利用微分作近似计算

教学内容:

1.微分得定义

计算函数增量就是我们非常关心得。一般说来函数得增量得计算就是比较复杂得,我们希望寻求计算函数增量得近似计算方法。

先分析一个具体问题,一块正方形金属薄片受温度变

化得影响,其边长由变到(图21),问此薄片得面积改变了

多少？

设此薄片得边长为,面积为,则就是得函数:。薄片受温

度变化得影响时面积得改变量,可以瞧成就是当自变量自

取得增量时,函数相应得增量,即

。

从上式可以瞧出,分成两部分,第一部分就是得线性函

数,即图中带有斜线得两个矩形面积之与,而第二部分在图

中就是带有交叉斜线得小正方形得面积,当时,第二部分就

图21

是比高阶得无穷小,即。由此可见,如果边长改变很微小,

即很小时,面积得改变量可近似地用第一部分来代替。

一般地,如果函数满足一定条件,则函数得增量可表示为

,

其中就是不依赖于得常数,因此就是得线性函数,且它与之差

,

就是比高阶得无穷小。所以,当,且很小时,我们就可近似地用来代替。

定义设函数在某区间内有定义,及x在这区间内,如果函数得增量

可表示为 , ①

其中就是不依赖于得常数,而就是比高阶得无穷小,那么称函数在点就是可微得,而叫做函数在点相应于自变量增量得微分,记作,即。

定理1 函数在点可微得充分必要条件就是函数在点可导,且当在点可微时,其微分一定就是

。

设函数在点可微,则按定义有①式成立。①式两边除以,得。

于就是,当时,由上式就得到

。

因此,如果函数在点可微,则在点也一定可导(即存在),且。

反之,如果在点可导,即

存在,根据极限与无穷小得关系,上式可写成

,

其中(当)。由此又有

。

因,且不依赖于,故上式相当于①式,所以在点也就是可微得。

由此可见,函数在点可微得充分必要条件就是函数在点可导,且当在点可微时,其微分一定就是

。②

例1 设,求

解:

微分在近似计算中得应用:在得条件下,以微分近似代替增量时,相对误差当时趋于零。因此,在很小时,有精确度较好得近似等式

。

即

或

特别地,当很小时,有(3)

(3)式就是计算零点附近得函数值

当很小时,有下列近似计算公式:

例证明:。(当很小时)

令

因为

由

故,当很小时,

例2一个充好气得气体,m,升空后,因外面气压降低,气球半径增大了10cm,求体积增加了多少？

解:因为

所以

例3求得近似值.

解设,取,则

所以

或者:

2.微分得几何意义

为了对微分有比较直观得了解,我们来说明微分得几何意义。

在直角坐标系中,函数得图形就是一条曲线。对于某一固定得值,曲线上有一个确定点当自变量有微小增量时,就得到曲线上另一点、从图22可知:

,

。

过M点作曲线得切线,它得倾角为,则

,

即。

由此可见,当就是曲线上得M点得纵坐标得增量时,就就

图22

是曲线得切线上M点得纵坐标得相应增量。当很小时,比小得多。因此在点得邻近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

3.微分运算法则及微分公式表

由,很容易得到微分得运算法则及微分公式表(当都可导):

,

,

,

。

微分公式表:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

。

注:上述公式必须记牢,对以后学习积分学很有好处,而且上述公式要从右向左背。例如: ,

,

,

。

4.复合函数微分法则

与复合函数得求导法则相应得复合函数得微分法则可推导如下:

设及都可导,则复合函数得微分为

。

由于,所以,复合函数得微分公式也可以写成

或。

由此可见,无论就是自变量还就是另一个变量得可微函数,微分形式保持不变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示,当变换自变量时(即设为另一变量得任一可微函数时),微分形式并不改变。

例4 求得微分

解

自我训练:(1),求。

(2),求。

(3)有一半径为得铁球,镀上0、01cm厚得银,问大约用多少体积得银。

小结:本节讲述了微分得定义,练习了微分得运算与利用微分作近似计算

希望大家熟记微分公式,为以后学习积分大好基础