2016-2017年湖北省荆州市公安县车胤中学高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)
湖北省荆州中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题含答案
荆州中学2016～2017学年度上学期期 末 考 试 卷年级:高二 科目：数学（理科）本试题卷共4页,三大题22小题．全卷满分150分，考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分． 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．某单位员工按年龄分为A 、B 、C 三个等级，其人数之比为5:4:1,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,则从C 等级组中应抽取的样本数为A ．2B ．4C ．8D ．10 2．下列有关命题的说法错误的是A ．若“p q ∨”为假命题,则,p q 均为假命题B ．“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件C ．“1sin 2x ="的必要不充分条件是“6x π=”D ．若命题p ：200,0x R x ∃∈≥，则命题p ⌝：2,0x R x ∀∈<3．若向量()1,2,0a =,()2,0,1b =-，则 A ．cos ,120a b ︒= B ．a b⊥ C ．a b ∥D ．a b=4．如右图表示甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图.则甲 得分的中位数与乙得分的中位数之和为A．56分B．57分C．58分D．59分5。
已知变量x与y负相关，且由观测数据计算得样本平均数4, 6.5x y==，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A．2 1.5y x=-B．0.8 3.3y x=+C．214.5y x=-+D．0.69.1y x=-+ 6．执行如图所示的程序框图,输出的T等于A．10B．15C．20D．307。
圆柱挖去两个全等的圆锥所得几何体的三视图如图所示,则其表面积为A．30πB．48πC．66πD．78π8。
函数5()2f x xx=+图象上的动点P到直线2y x=的距离为1d，点P到y轴的距离为2d，则12d d⋅=A．5 B. 5C．55 D. 不确定的正数9。
如果实数,x y满足条件1022010x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2123zx y=-+的最大值为( )A．1B．34C．0D．47A 11 10。
高二上学期期中考试数学试卷含答案
高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。
湖北省荆州市高二上学期数学期中考试试卷
湖北省荆州市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）在中，，其面积为，则c等于（）A . 5B .C . 4D . 32. （2分） (2016高一下·锦屏期末) 若数列{an}的通项公式为an=2n+1，则a6=（）A . 13B . 14C . 15D . 163. （2分）(2017·山东) 已知x，y满足约束条件则z=x+2y的最大值是（）A . ﹣3B . ﹣1C . 1D . 34. （2分） (2016高二上·长沙开学考) 设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（）A . 若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B . 若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C . 若0＜a1＜a2 ，则a2D . 若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞05. （2分）在正项等比数列{an}中，a1=1，前n项和为Sn,且－a3 ， a2 ， a4成等差数列，则S7的值为（）.A . 125B . 126C . 127D . 1286. （2分）已知a ，，且，则下列不等式一定成立的是A .B .C .D .7. （2分）已知函数有两个不同的零点，且方程有两个不同的实根.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数的值为A .B .C .D .8. （2分）(2017·枣庄模拟) 若正数x，y满足，则3x+4y的最小值是（）A . 24B . 28C . 25D . 269. （2分） (2019高一下·吉林期末) 在中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，则的形状为（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等腰三角形或直角三角形10. （2分） (2017高一下·保定期末) 若等比数列{an}的前n项和Sn=3n﹣1，则其公比为（）A . ﹣3B . 3C . ﹣1D . 111. （2分）在△ABC中，，那么△ABC一定是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 等腰三角形D . 等腰三角形或直角三角形12. （2分） (2019高一下·宾县期中) 若函数在处取最小值，则等于（）A . 3B .C .D . 4二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分）(2020·海南模拟) 已知P为双曲线C：右支上一点，，分别为C的左、右焦点，且线段，分别为C的实轴与虚轴.若，，成等比数列，则 ________.14. （1分） (2016高一上·金华期末) 已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是________．15. （1分） (2017高二下·高淳期末) 如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，则A，B两点的距离为________ m．三、解答题 (共7题；共51分)16. （1分）(2017·祁县模拟) 已知实数x，y满足不等式组，则z= 的最大值是________．17. （5分）(2020·宿迁模拟) 如图，在中，，为边上一点，，且．（1）求；（2）求的面积．18. （10分） (2017高一下·双鸭山期末) 在中，求的值。
湖北省荆州市高二上学期数学期中考试试卷
湖北省荆州市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2016高二下·汕头期中) 已知AB为圆x2+y2=1的一条直径，点P为直线x﹣y+2=0上任意一点，则的最小值为（）A . 1B .C . 2D . 22. （2分） (2016高二上·福州期中) 已知0＜x＜，则﹣＜0是﹣x＞0成立的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2018·泉州模拟) 实数满足，则的最大值为（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二上·四川期中) 在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2018高一下·瓦房店期末) 与向量垂直的单位向量为________．6. （1分） (2019高二上·上海期中) 若矩阵，，则 ________.7. （1分）当a＞0，b＞0且a+b=2时，行列式的值的最大值是________ ．8. （1分） (2017高一下·泰州期中) 已知直线l1：ax﹣y﹣1=0，若直线l1的倾斜角为，则a=________．9. （1分） A=， f（x）=x2+3x，则f（A）=________ ．10. （1分） (2018高三上·镇海期中) 已知直线，其中，若，则 =________，若，则 =________.11. （1分）已知点A（﹣5，0），B（﹣1，﹣3），若圆x2+y2=r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB 的面积均为5，则r的取值范围是________12. （1分） (2016高一上·郑州期末) 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，则a的取值范围是________13. （1分） (2018高一下·雅安期中) 某企业生产甲，乙两种产品均需用两种原料，已知生产1吨每种产品需用原料及每天原料的可用限额如下表所示，如果生产1吨甲，乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业可获得最大利润为________万元.甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)12814. （1分） (2018高一下·重庆期末) 已知圆，直线，如果圆上总存在点，它关于直线的对称点在轴上，则的取值范围是________．15. （1分） (2018高二下·磁县期末) 若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆截得的弦长为4，则为坐标原点的最小值为________．16. （1分）(2017·山东) 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．三、解答题 (共5题；共65分)17. （10分）(2018·河北模拟) 在矩形中，，，点是线段上靠近点的一个三等分点，点是线段上的一个动点，且 .如图，将沿折起至，使得平面平面 .（1）当时，求证：；（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18. （10分） (2016高三上·西安期中) 已知三角形ABC中，．（1）若．求三角形ABC的面积S△；（2）求三角形ABC的面积S△．19. （15分）某人在塔的正东处沿着南偏西的方向前进米后到达处，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高．20. （15分） (2019高二上·上海期中) 如图，已知直线和直线，射线的一个法向量为，点为坐标原点，，，点、分别是直线、上的动点，直线和之间的距离为2，于点，于点；（1）若，求的值；（2）若，求的最大值；（3）若，，求的最小值.21. （15分）(2017·潍坊模拟) 已知抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线C上一点Q（a，2）到焦点的距离为3，线段AB的两端点A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）若y轴上存在一点M（0，m）（m＞0），使线段AB经过点M时，以AB为直径的圆经过原点，求m的值；（3）在抛物线C上存在点D（x3，y3），满足x3＜x1＜x2，若△ABD是以角A为直角的等腰直角三角形，求△ABD面积的最小值．参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、。
湖北省荆州20162017学年高二上学期第二次质量检测数学理试题Word版含答案
荆州中学高二年级第二次质量检测考试数学卷（理科）命题人：杨少平 审题人：朱代文一、选择题（本题满分60分，共12个小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A ．至多有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶 D ．两次都不中靶2.若两条直线34120x y +-=和8110ax y ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A ．235 B ．2310 C ．72 D ．52 3.已知x 与y 之间的一组数据如下表，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为 ˆ0.35ybx =+ ， 那么b 的值为（ ） A ． B ．C ．D ．4.在面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积大于2S的概率是（ ） A.31 B.21 C.43 D.415.如图给出的是计算1001614121++++ 的值 的一个程序框图，其中判断框中应填入的是（ ） A ．100>i B ．100≤iC ．50>iD ．50≤i6.已知k ∈[-2,1]，则k 的值使得过A （1，1）可以作两条直线与圆045222=--++k y kx y x 相切的概率等于（ ）A ．31B ．21C ．32D ．437.集合{(,)||1|}A x y y x =≥-,集合{(,)|||6}B x y y x =≤-+，先后掷两颗骰子，掷第一颗骰子得点数为a ,掷第二颗骰子得点数为b ,则B A b a ⋂∈),(的概率等于（ ）x 34 5 6 y34A.14B.29C.736D.11368．给出下面四个命题：①“b a 直线直线//”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ②“直线⊥l 平面α内所有直线”的充要条件是“⊥l 平面α”； ③“直线b a ,为异面直线”的充分而不必要条件是“直线b a ,不相交”；④“平面αβαβ② B.②③ C.③④ D.②④ 9.曲线C 是到(0,1)-与1y =的距离之和为常数3的点的轨迹，则“点P 的坐标满足方程22(1015)(23)0x y x y +---=”是“P 在C 上”的什么条件（ ）A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要 10.棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A ．22B ．1C ．212+D ．211．设P 是椭圆上的一点，F 1、F 2是焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△PF 1F 2的面积为（ ）A. B. C.12.设22:(2)(3)1p x y -+-≤，12:23110x y q y x ty +≤⎧⎪≥⎨⎪-+≤⎩若p 是q 的充分不必要条件则（ ）A.4t ≥B.3544t ≤≤C.04t <≤D.354t ≥ 二、填空题（本题满分20分，共4个小题，每小题5分，只要求写出结果，不必写出解答过程）13.如果双曲线221369x y -=的弦被点(2,4)p 平分，则这条弦所在的直线方程为 . 14.从区间[]0,2随机抽取2n 个数1212,,,,,,n n x x x y y y 构成n 个数对1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，其中两数的平方和小于4的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 .15.用秦九韶算法计算多项式5432()7125635f x x x x x x =+--+-在5x =时的值是 .16.以下命题中，正确命题是 .①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π；②四面体ABCD 中，和A B C D 、、、距离相等的平面共有4个；③命题“若a b <，则22a b <”的否定是“若a b <，则22a b ≥”；④用三个不等式：0,0,0c dab bc ad a b>->->（其中a b c d 、、、均为实数）中的两个作为条件，另一个作为结论组成一个命题，得到的真命题有3个.三、解答题（共70分，要求写出解答过程）17.（本题满分12分）已知命题p ：方程2221212x y m m -=--表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：双曲线2215y x m-=的离心率(1,2)e ∈，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围.18.（本题满分12分）荆州市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）.一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费。
湖北省荆州市高二上学期期中数学试卷(理科)
湖北省荆州市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）若经过（a，﹣3）和（1，2）两点的直线的倾斜角为135°，则a的值为（）A . ﹣6B . 6C . ﹣4D . 42. （2分）在空间直角坐标系中点P（1，3，﹣5）关于xoy对称的点的坐标是（）A . （﹣1，3，﹣5）B . （1，﹣3，5）C . （1，3，5）D . （﹣1，﹣3，5）3. （2分）如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（）①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′﹣FED的体积有最大值．A . ①B . ①②C . ①②③D . ②③4. （2分） (2019高二上·湖南月考) 已知抛物线的焦点为是抛物线上异于坐标原点的任意一点，过点的直线交轴的正半轴于点B，且同在一个以F为圆心的圆上，另有直线，且与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（）A .B .C .D .5. （2分）对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证α⊥β需具备的条件是（）A . m⊥l，m∥α，l∥βB . m⊥l，α∩β=m，l⊂αC . m∥l，m⊥α，l⊥βD . m∥l，l⊥β，m⊂α6. （2分）已知圆：C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A .B .C .D .7. （2分）若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为（）A . 相交、平行或异面B . 相交或平行C . 异面D . 平行或异面8. （2分）过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l有（）A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条9. （2分）如图，是直棱柱，，点，分别是，的中点.若，则与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .10. （2分）(2019·普陀模拟) 已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高三上·东莞期末) 过点且倾斜角为的直线交圆于，两点，则弦的长为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·辽宁模拟) 一个空间几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为（）A . 2B .C . 3D .二、填空题： (共4题；共5分)13. （1分）长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为________．14. （1分） (2019高二上·西安月考) 直线与圆相切的充要条件是________．15. （2分） (2019高三上·镇海期中) 若实数满足约束条件，则的最小值为________ ；的最小值为________．16. （1分） (2019高三上·镇海期中) 已知长方体中，，则直线与平面所成的角为________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分）(2017·莱芜模拟) 已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=PB=PD=2，PA=．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）若E是PA的中点，求三棱锥P﹣BCE的体积．18. （5分） (2019高二上·内蒙古月考) 求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程.19. （10分） (2019高二下·上海期末) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示．墩的上半部分是正四棱锥P﹣EFGH，下半部分是长方体ABCD﹣EFGH．图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．（1）请画出该安全标识墩的侧视图；（2）求该安全标识墩的体积．20. （10分） (2015高三上·驻马店期末) 在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r= ．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．21. （15分） (2019高一下·邢台月考) 如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，．将沿折起到的位置，使平面平面，如图2所示，点为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积．22. （15分） (2016高二上·湖北期中) 已知圆C1：（x+2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，过点P（﹣1，5）作两条互相垂直的直线l1：y=k（x+1）+5，l2：y=﹣（x+1）+5．（1）若k=2时，设l1与圆C1交于A、B两点，求经过A、B两点面积最小的圆的方程．（2）若l1与圆C1相交，求证：l2与圆C2相交，且l1被圆C1截得的弦长与l2被圆C2截得的弦长相等．（3）是否存在点Q，过Q的无数多对斜率之积为1的直线l3 ， l4 ， l3被圆C1截得的弦长与l4被圆C2截得的弦长相等．若存在求Q的坐标，若不存在，说明理由．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。
高二上学期期中考试数学试题(带答案)
高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。
）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。
湖北省荆州市高二数学上学期期中考试 文
科目：数学（文科） 考试时间：120分钟一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．圆04222=+-+y x y x 的圆心坐标为（ ）A ．)2,1(B ．)2,1(-C ．)2,1(-D ．)2,1(-- 2．如图，空间四边形ABCD 中，H G FE ,,,分别是直线DA CD BC AB ,,,上的点，如果Q GH EF = ，则点Q 在直线（ ）上.A ．BDB ．ABC ．ACD ．CD3．在空间直角坐标系中，点)3,2,1(M 关于x 轴的对称点的坐标是（ ） A ．)3,2,1(- B ．)3,2,1(-- C ．)3,2,1(--- D ．)3,2,1(-- 4．已知直线//a 平面α，α∈P ,则过点P 且平行于直线a 的直线（ )A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内 5. 如图是一个正方体的平面展开图，则在这个正方体中 ①BM ∥DE②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成600角 ④DM 与BN 是异面直线以上命题中，正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．②④C ．③④D ．②③④6．直角三角形的两条直角边长分别为3和4，若分别以这两条边为旋转轴旋转一周，所得几何体的体积分别为1V 和2V ，则21V V 的值为（ ） A ．43 B ．34 C ．169 D ．916 7.在同一直角坐标系中，直线ax y =与a x y +=的图像可能正确的是（ ）ND C ME A B FABCDFG H E . . . .8. 已知圆C 的方程为012222=+-++y x y x ，当圆心C 到直线04=++y kx 的距离最大时，k 的值为（ ） A ．31 B ．51 C ．31-D ．51-9.已知y x ,满足2)2(3--=y x ，则31++x y 的取值范围是（ ）A ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,33 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,0 C ． [0,31]+ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+13,33 10.若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦的长为32，则a 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，共35分）11.过点)2,1(P 且在两坐标轴上的截距都相等的直线方程为____________________． 12.如图，已知平面,,αβγ，且α∥β∥γ，直线,a b 分别与平面,,αβγ交于点,,A B C 和,,D E F ，若1,2,9AB BC DF ===，则EF =__________.A 1B 1C 1D 11（第12题图） （第14题图）13.若直线2)1(2:1=-+y a x l 与直线12)1(:22=+-y x a l 垂直，则a =_______________． 14.如图，正方体1111ABCD A B C D -中,直线B A 1和平面CD B A 11所成的角的大小是___________ (用弧度．．表示). 15.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是cm 2，则这个球的表面积为__________2cm ． 16.圆拱桥的水面跨度为24米，拱高为8米，现有一船，船宽为10米，载货后货物宽度与船的宽度相同，如果这条船想从桥下通过，则该船水面以上最高不能超过_____________米. 17.,m n 是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，给出以下命题：①若,m n α⊂∥α，则m ∥n ；②若l m l n m ⊥=⋂⊥⊂⊂,,,,βαβαβα，则n m ⊥；③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α；④若m ⊥α，m ⊥β，则βα//；⑤若,//,,βαβαn m ⊥⊥则n m //，其中正确命题的序号是 ．三、解答题：（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．（本小题满分12分）圆822=+y x 内有一点)2,1(0-P ，AB 为过点0P 且倾斜角为α的弦，（1）当0135=α时，求AB 的长;（2）当弦AB 被点0P 平分时，求直线AB 的方程.19．（本小题满分12分）如图，多面体BFC AED -的直观图及三视图如图所示，N M ,分别为BC AF ,的中点.（1）求证：//MN 平面CDEF ； （2）求多面体BCF ADE -的体积.20．（本小题满分13分）已知ABC ∆的顶点(5,1)A ，AB 边上的中线CM 所在的直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在的直线方程为250x y --=，求：（1）顶点C 的坐标；AEMFBC D N（2）直线BC 的方程.21.（本小题满分14分）如图所示，在四棱锥ABCD P -中，⊥AB 平面PAD ,底面ABCD 为正方形，且AD PD =，点E 和点F 分别是PB 和CD 的中点，PH 为PAD ∆中AD 边上的高. （1）证明：⊥PH 平面ABCD ; （2）证明：平面⊥PBF 平面PAB .(第21题图） （第22题图）22.（本小题满分14分）如图，直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为)0,1(-，直角顶点B 的坐标为)3,0(-，顶点C 在x 轴上. 求：（1）求点C 的坐标及ABC ∆的外接圆M 的方程；（2）设ABC ∆的外接圆M 的圆心为点M ,另有一个定点)4,3(--N ，作出一个以MN 为直径,G 为圆心的圆，记为圆G ，圆M 和圆G 交于点P 和点Q ，直线NP ,NQ 是圆M 的切线吗？请说明理由； （3）求直线PQ 的方程.A BD PHEFC数学文参考答案一、选择题：三、解答题：19. （1）证明：连结EB. EC,由三视图可知：底面ABFE 为矩形，多面体ADE BCF -为直三棱柱，AB 是直三棱柱的高,底面ABFE 为矩形M ∴为,AF EB 的中点,,EM MB CN NB ∴==又，EC MN //∴,⊂EC 平面CDEF ,⊄MN 平面CDEF , //MN ∴平面CDEF ;（2） 多面体ADE BCF -为一个直三棱柱,∴3333221=⨯⨯⨯=⋅=∆AB S V BCF .21. 解：（1）证：AB ⊥面PAD ，AB PH ∴⊥,又PH AD ⊥,⊂AB 平面ABCD ,⊂AD 平面ABCD ，A AD AB =⋂, ⊥∴PH 平面ABCD ;（2）取PA 中点G ，连结DG,GE,,1,//2GA GP PE EB GE AB GE AB ==∴=又AB CD CD DF CD DF ==,//,21, GE DF ∴=且//GE DF ，即四边形DGEF 为平行四边形, //EF DG ∴,DA DP = DG PA ∴⊥,又AB ⊥平面PAD , ⊂DG 平面PAD AB GD ∴⊥,又 ⊂=⋂PA A AB PA ,平面PAB ,⊂AB 平面PAB , ⊥∴DG 平面PAB ,EF DG // , ⊥∴EF 平面PAB , 又EF ⊂平面PBF ∴平面PBF ⊥平面PAB .22. 解：（1）由题意可知：3AB K =-∴33BC K =,直线BC 的方程为：33(0)3y x +=-,令0y =，则3x =,所以点C 的坐标为)0,3(,ABC ∆ 为直角三角形，ABC ∆∴外接圆的圆心为线段AC 的中点(1,0)M ,半径为122AC =, 可以得到圆M 的方程为：22(1)4x y -+=;。
湖北省荆州市高二数学上学期期中考试 理
科目：数学（理科）考试时间：120分钟一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若直线l的倾斜角的正弦值为35，则直线l的斜率为（）A．34B．43C．43或43-D．34或34-2. 已知,m n是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，给出以下几个命题：①若,m nα⊂∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β，其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33.①BM∥DE②CN与BE是异面直线③CN与B M成600角④DM与BN是异面直线以上命题中，正确命题的序号是（）A．①②③ B．②④C．③④ D．②③④4.A．(12π+B．20πC．(20π+D．28π5. 右图中程序语句输出的结果是（）A．17 B．19C．60 D．776. 如图，输入,,a b c三个实数，要求输出这三个数中最大的数，ISIPr===那么在空的判断框中，应该填入 的是（ ）A ．?x c >B ．?x c <C ．?b c >D ．?c b >7. ,a b R ∈，已知直线012=++y a x 与2(1)230a x by +-+= 互相垂直，则||ab 的最小值为（ ）A ．1B ．2CD ．28．如图，三棱锥ABC V -中，⊥VO 平面BD AD VB VA CD O ABC ==∈,,,，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．BC AC = B.VD VC ⊥C.VC AB ⊥D.VO S AB S ABC VCD •=•∆∆9. 圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离等于22，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡83,8ππ B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,12ππ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π 10. 设点),(y x P 是圆122=+y x 外一点，PT PS ,是圆的两条切线，T S ,是切点。
荆州市数学高二上期中经典测试(含答案)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：13012]如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．(0分)[ID ：12996]一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ）A ．这组新数据的平均数为mB ．这组新数据的平均数为a m +C ．这组新数据的方差为anD ．这组新数据的标准差为n3．(0分)[ID ：12984]某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ） A ．25B ．1225C ．1625D ．454．(0分)[ID ：12975]有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．155．(0分)[ID ：12974]若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( ) A ．“甲站排头”与“乙站排头” B ．“甲站排头”与“乙不站排尾” C ．“甲站排头”与“乙站排尾” D ．“甲不站排头”与“乙不站排尾”6．(0分)[ID ：12973]从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( ) ． A ．12B ．13C ．23D ．17．(0分)[ID ：12967]将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为( )A ．192181020C C C B ．1921810202C C C C ．1921910202C C C D ．192191020C C C 8．(0分)[ID ：12955]远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是( )A ．336B ．510C ．1326D ．36039．(0分)[ID ：12950]下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件． 其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．(0分)[ID ：12949]已知不等式501x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“01x <”的概率为（ ）． A ．14B ．13C ．12D ．2311．(0分)[ID ：12945]将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p ＝(m ，n)，q ＝(3,6)．则向量p 与q 共线的概率为( ) A ．13B ．14C ．16D ．11212．(0分)[ID ：12937]从区间0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn13．(0分)[ID ：13021]抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A ．23B ．13C ．1 2D ．5614．(0分)[ID ：13016]同时掷三枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（ ）A ．78B ．58C ．38D ．1815．(0分)[ID ：13025]执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165D ．158二、填空题16．(0分)[ID ：13108]从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为___________． 17．(0分)[ID ：13103]在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得11x +≥成立的概率为______．18．(0分)[ID ：13090]如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为98、63，则输出的a =_______．19．(0分)[ID ：13082]如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x ＝________.20．(0分)[ID ：13081]执行如图所示的算法流程图，则输出x 的值为__________．21．(0分)[ID ：13060]已知x ，y 取值如表，画散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归方程为35y x =-，则m 的值为__________．x 0 13 5 6y 1 2m 3m - 3.8 9.222．(0分)[ID ：13040]已知函数log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为______________；23．(0分)[ID ：13039]甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________．24．(0分)[ID ：13033]已知变量,x y 之间的一组数据如下表：x0 1 2 3 y 1357则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点_______________25．(0分)[ID ：13046]某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是_______．三、解答题26．(0分)[ID ：13204]某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表： 年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y 关于t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－．27．(0分)[ID ：13195]从2013年开始，国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行学生体质健康测试，方案要求以学校为单位组织实施，某校对高一(1)班学生根据《国家学生体质健康标准》的测试项目按百分制进行了预备测试，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图.所示，已知[90，100]分数段的人数为2. (1)求[70，80)分数段的人数；(2)现根据预备测试成绩从成绩在80分以上(含80分)的学生中任意选出2人代表班级参加学校举行的一项体育比赛，求这2人的成绩一个在[80，90)分数段、一个在[90，100]分数段的概率．28．(0分)[ID：13189]自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：20以下[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70]70以上使用人数312176420未使用人数003143630（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率；（2）从被抽取的年龄在[50，70]使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50，60）的概率；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？29．(0分)[ID：13129]为了调查教师对教育改革认识水平，现从某市年龄在[]20,45的教师队伍中随机选取100名教师，得到的频率分布直方图如图所示，若从年龄在[)[)[]30,35,35,40,40,45中用分层抽样的方法选取6名教师代表．（1）求年龄在[)35,40中的教师代表人数；（2）在这6名教师代表中随机选取2名教师，求在[)35,40中至少有一名教师被选中的概率．30．(0分)[ID：13150]某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车，调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[)[)[)[)[)50,100,100,150,150,200,200,250,250,300，绘制成如图所示的频率分布直方图.200,300的车辆数；（1）求直方图中x的值及续驶里程在[)200,300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程（2）若从续驶里程在[)200,250内的概率.在[)【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．D3．C4．C5．A6．C7．A8．B9．A10．B11．D12．C13．A14．A15．D二、填空题16．【解析】从分别写有12345的5张卡片中随机抽取1张放回后再随机抽取1张基本事件总数n=5×5=25抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（21）（31）（32）（41）17．【解析】【分析】求出不等式的解集计算长度运用几何概型即可求出概率【详解】或则在区间上随机取一个数x使得成立的概率为故答案为【点睛】本题考查了几何概型中的长度型概率只需将题目中的含有绝对值不等式进行求18．7【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到输出的值【详解】由程序框图可知：则因此输出的为故答案为7【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属19．12【解析】试题分析：第一圈是x=2;第二圈否x=4否x=5；第三圈是x=6否x=8否x=9；第四圈是x=10否x=12是输出x=12故答案为12考点：程序框图功能识别点评：简单题程序框图功能识别一20．4【解析】由流程图得函数结束循环输出4点睛：算法与流程图的考查侧重于对流程图循环结构的考查先明晰算法及流程图的相关概念包括选择结构循环结构伪代码其次要重视循环起点条件循环次数循环终止条件更要通过循环21．3【解析】由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：解得：点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键(2)回归直线方程必过样本点中心(3)在分析两个变量的相关关系时可根据样本数据22．【解析】为单独递增函数所以点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性除注意各段的单调性外还要注意23．【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传 24．【解析】由题意∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(154)25．【解析】因为公共汽车每5分钟发车一次当乘客在上一辆车开走后两分钟内达到则他候车时间会超过3分钟所以候车乘客候车时间超过3分钟的概率为三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式． 2．D解析：D 【解析】 【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n，标准差为，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n，标准差为. 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.3．C解析：C 【解析】 【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率． 【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A ，收到张老师的信息为事件B ，A 、B 相互独立，42()()105P A P B ===， 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=．故选C ． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证正确．4．C解析：C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.5．A解析：A【解析】【分析】根据不能同时发生的两个事件，叫互斥事件，依次判断．【详解】根据互斥事件不能同时发生，判断A 是互斥事件；B 、C 、D 中两事件能同时发生，故不是互斥事件；故选A ．【点睛】本题考查了互斥事件的定义．是基础题．6．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：甲，乙，丙三人中任选两名代表有233C =种选法，甲被选中的情况有两种，所以甲被选中的概率23223P C ==，故选C. 7．A解析：A【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型，先求出事件发生的总个数，再求出满足要求的事件个数，再根据古典概型的概率公式即可得出结果.【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是20名学生平均分成两组共有1020C 种结果，而满足条件的事件是2名学生干部恰好被分在不同组内共有19218C C 中结果， 根据古典概型的概率公式得192181020=C C P C . 故选：A.【点睛】本题主要考查古典概型和组合问题，属于基础题.8．B解析：B试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为321737276510⨯+⨯+⨯+=,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.9．A解析：A【解析】【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A 与B 是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A ，B 满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．10．B解析：B【解析】【分析】【详解】分析：解分式不等式得集合P ，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果. 详解：(5)(1)050101x x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩， ∴{}|15P x x =-<<，||111x x <⇒-<<， ∴1(1)15(1)3P --==--． 选B ．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．解析：D【解析】【分析】由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p 与q 共线的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解。
湖北省荆州市高二上学期期中数学试卷
湖北省荆州市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）(2017·邯郸模拟) 数列{an}的通项公式为an= ，关于{an}有如下命题：①{an}为先减后增数列；②{an}为递减数列；③∀n∈N* ， an＞e；④∃n∈N* ， an＜e其中正确命题的序号为（）A . ①③B . ①④C . ②③D . ②④2. （2分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A .B .C .D .3. （2分）数列2，5，10，17，…的第n项an可能为（）A . 2nB . n2+nC . 2n﹣1D . n2+14. （2分）设成等比数列，其公比为2，则（）A . 1B .C .D .5. （2分）在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，其中，且面积为,则（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·河北开学考) 已知锐角三角形三边分别为3，4，a，则a的取值范围为（）A . 1＜a＜5B . 1＜a＜7C .D .7. （2分）在△ABC中，①若sinA>sinB,则A>B ，②若cos2B>COS2A,则A>B，③若A>B,则sinA>sinB ，④若A>B ,则cos2B>cos2A,其中正确结论的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8. （2分）已知定义在R上的可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2-2x-3)f'(x)>0的解集为A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)9. （1分）若等差数列{an}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=________10. （1分） (2017高一下·怀远期中) 已知等比数列{an}，的前n项和为Sn ，且S2=2，S4=8，则S6=________．11. （1分） (2016高三上·湖北期中) 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2 ﹣cos2（B+C）= ，若a=2，则△ABC的面积的最大值是________．12. （1分） (2019高三上·安顺月考) 已知三棱锥满足平面平面，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为________.三、简答题 (共3题；共20分)13. （10分）(2018·邵东月考) 已知等比数列的公比，且是的等差中项，数列满足，数列的前项和为 .（1）求的值.（2）求数列的通项公式.14. （5分）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围．15. （5分）在△ABC中，已知AB=2，AC=1，且cos2A+2sin2=1．（1）求角A的大小和BC边的长；（2）若点P在△ABC内运动（包括边界），且点P到三边的距离之和为d，设点P到BC，CA的距离分别为x，y，试用x，y表示d，并求d的取值范围．四、加试题 (共7题；共21分)16. （1分） (2018高二上·西城期末) 在中，，， . 以所在的直线为轴将旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为________.17. （1分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为________ （结果用反三角函数值表示）．18. （1分） (2016高一下·沙市期中) 如图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′C′⊥B′C′，B′O′=O′C′=1，则△ABC的面积为________．19. （2分） (2019高二上·余姚期中) 若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积是________；若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是________．20. （1分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各面的12条对角线中，与正方体的对角线A1C垂直的共有________ 条．21. （10分）(2016·海南模拟) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AC=BD，平面PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）在△PAD中，AP=2，AD=2 ，PD=4，三棱锥E﹣ACD的体积是，求二面角D﹣AE﹣C的大小．22. （5分）(2017·盘山模拟) 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=CD，∠ABC=60°，BC=AF=2AD=4DE=4．（Ⅰ）请在图中作出平面α，使得DE⊂α，且BF∥α，并说明理由；（Ⅱ）求直线EF与平面BCE所成角的正弦值．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共4题；共4分)9-1、10-1、11-1、12-1、三、简答题 (共3题；共20分)13-1、13-2、14-1、15-1、四、加试题 (共7题；共21分)16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、。
湖北省部分重点中学2016-2017学年度上学期期中联考 高二数学试卷(理科)参考答案
24, < >= ,
所以AB与EF所成角的正切值为 . …………………(12分)
20．（1）在 中， ， ，
，在 中，
， ，
可得： ．
．又 平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
．…………………(6分)
（2）取线段 的中点 ，连接 , , ．
(Ⅱ)解:如图,过点A作AQ∥EF,交MP于点Q,
则∠BAQ是AB与EF所成的角,且AQ⊥平面BMQ.
在△BMQ中,由∠BMQ＝ ,BM＝MQ＝2,得BQ= 2.
在Rt△BAQ中，由AQ＝AC ＋CM＝4 ,BQ= 2,得tan∠BAQ= .
因此AB与EF所成角的正切值为 . …………………(12分)
方法二: (Ⅰ)解:如图,在平面 内,过点P作PM⊥EF,点M为垂足,连结BM,则∠BMP为二面角 －EF－ 的平面角.以点P为坐标原点,以直线PM为x轴,射线PB为z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz.
在Rt△BMC中,
由∠BCM＝ ,CB= 4,得CM= ,BM=2.
在Rt△BMP中,
又 平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
平面 ， ，
= = = ，
过点 作 交 于 ， 平面 ，
， ，
， ，
= = ，
= = ，
平面 将三棱锥 分成的两部分的体积之比 ……(12分)
21．解：（Ⅰ）∵ABCD为菱形，
∴ ， 为 与 的交点，
∴O为 的中点，
又 为等边三角形，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ， ，
∵ ，∴
∵ 平面 ⊥平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，
2016-2017学年湖北省荆州市公安县车胤中学高二(上)数学期中试卷带解析答案(理科)
2016-2017学年湖北省荆州市公安县车胤中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（60分，每小题5分，每题的四个选项中有且仅有一个是正确的）1．（5分）荆州市某重点学校为了了解高一年级学生周末双休日在家活动情况，打算从高一年级1256名学生中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从1256人中剔除6人，剩下1250人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（）A．不全相等B．均不相等C．都相等D．无法确定2．（5分）已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是（）A．﹣3或4 B．6或2 C．3或﹣4 D．6或﹣23．（5分）某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…a N，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）A．A＞0，V=S﹣T B．A＜0，V=S﹣T C．A＞0，V=S+T D．A＜0，V=S+T 4．（5分）同时抛掷两枚骰子，向上点数之和为5的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a等于（）A．B．C．1 D．26．（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1207．（5分）如图，程序框图的输出结果为﹣18，那么判断框①表示的“条件”应该是（）A．i＞10？B．i＞9？C．i＞8？D．i＞7？8．（5分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．9．（5分）点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=010．（5分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B． C．D．11．（5分）若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[﹣1，﹣）C．（，1]D．（﹣∞，﹣1]12．（5分）若圆C与圆D：（x+2）2+（y﹣6）2=1关于直线l：x﹣y+5=0对称，则圆C的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣6）2=1 B．（x﹣6）2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．（x+1）2+（y+3）2=1二、填空题（共20分，每小题5分）13．（5分）过圆O：x2+y2=1上一点M（a，b）的切线方程为．14．（5分）已知x与y之间的一组数据如表所示，当m变化时，y与x的回归直线方程必过定点．15．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为．16．（5分）某地区为了解70﹣80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为．三、解答题17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．18．（12分）已知直线l的方程为x+2y﹣1=0，点P的坐标为（1，﹣2）．（Ⅰ）求过P点且与直线l平行的直线方程；（Ⅱ）求过P点且与直线l垂直的直线方程．19．（12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．20．（12分）已知圆N经过点A（3，1），B（﹣1，3），且它的圆心在直线3x﹣y ﹣2=0上．（Ⅰ）求圆N的方程；（Ⅱ）求圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程．（Ⅲ）若点D为圆N上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．21．（12分）甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，则有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率为．22．（12分）已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，PM，切点为Q，M，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）若以P为圆心的圆P与圆O有公共点，试求圆P的半径最小时圆P的方程；（3）当P点的位置发生变化时，直线QM是否过定点，如果是，求出定点坐标，如果不是，说明理由．2016-2017学年湖北省荆州市公安县车胤中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（60分，每小题5分，每题的四个选项中有且仅有一个是正确的）1．（5分）荆州市某重点学校为了了解高一年级学生周末双休日在家活动情况，打算从高一年级1256名学生中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从1256人中剔除6人，剩下1250人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（）A．不全相等B．均不相等C．都相等D．无法确定【解答】解：∵在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，∴每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的，∴每人入选的概率P===，故选：C．2．（5分）已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是（）A．﹣3或4 B．6或2 C．3或﹣4 D．6或﹣2【解答】解：∵点A（x，1，2）和点B（2，3，4），，∴，∴x2﹣4x﹣12=0∴x=6，x=﹣2故选：D．3．（5分）某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…a N，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）A．A＞0，V=S﹣T B．A＜0，V=S﹣T C．A＞0，V=S+T D．A＜0，V=S+T 【解答】解析：月总收入为S，支出T为负数，因此A＞0时应累加到月收入S，故判断框内填：A＞0又∵月盈利V=月收入S﹣月支出T，但月支出用负数表示因此月盈利V=S+T故处理框中应填：V=S+T故选：C．4．（5分）同时抛掷两枚骰子，向上点数之和为5的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，故选：A．5．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a等于（）A．B．C．1 D．2【解答】解：先根据约束条件画出可行域，如图示：z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距的最大值，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=；故选：B．6．（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8，可估计该该模块测试成绩不少于60分的学生人数为600×0.8=480（人）．故选：B．7．（5分）如图，程序框图的输出结果为﹣18，那么判断框①表示的“条件”应该是（）A．i＞10？B．i＞9？C．i＞8？D．i＞7？【解答】解：执行程序框图，有s=6，i=1第1次执行循环体，有m=4，s=10，i=2不满足条件，第2次执行循环体，有m=2，s=12，i=3不满足条件，第3次执行循环体，有m=0，s=12，i=4不满足条件，第4次执行循环体，有m=﹣2，s=10，i=5不满足条件，第5次执行循环体，有m=﹣4，s=6，i=6不满足条件，第6次执行循环体，有m=﹣6，s=0，i=7不满足条件，第7次执行循环体，有m=﹣8，s=﹣8，i=8不满足条件，第8次执行循环体，有m=﹣10，s=﹣18，i=9根据题意，此时应该满足条件，退出执行循环体，输出s的值为﹣18．故判断框①表示的“条件”应该是i＞8？故选：C．8．（5分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：C．9．（5分）点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP因此，AB的斜率k===1可得直线AB的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0故选：C．10．（5分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，即k≥=，或k≤=﹣4，∴k≥，或k≤﹣4，即直线的斜率的取值范围是k≥或k≤﹣4．故选：A．11．（5分）若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[﹣1，﹣）C．（，1]D．（﹣∞，﹣1]【解答】解：曲线即x2+y2=4，（y≥0）表示一个以（0，0）为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示：直线y=kx+4+2k即y=k（x+2）+4表示恒过点（﹣2，4）斜率为k的直线结合图形可得，∵解得∴要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是故选：B．12．（5分）若圆C与圆D：（x+2）2+（y﹣6）2=1关于直线l：x﹣y+5=0对称，则圆C的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣6）2=1 B．（x﹣6）2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．（x+1）2+（y+3）2=1【解答】解：设圆心（﹣2，6）关于直线x﹣y+5=0对称的点的坐标为（m，n），则由求得m=1，n=3，故对称圆的圆心为（1，3），对称圆的半径和原来的圆一样，故对称圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=1，故选：C．二、填空题（共20分，每小题5分）13．（5分）过圆O：x2+y2=1上一点M（a，b）的切线方程为ax+by﹣1=0．【解答】解：在圆O：x2+y2=1上一点M（a，b）的切线上取点A（x，y），则OM ⊥AM，∴（a，b）•（x﹣a，y﹣b）=0，∴a（x﹣a）+b（y﹣b）=0，整理得：ax+by﹣1=0．故答案为：ax+by﹣1=0．14．（5分）已知x 与y 之间的一组数据如表所示，当m 变化时，y 与x 的回归直线方程必过定点．【解答】解：由题意可得：=，=4．可得样本中心（）．y 与x 的回归直线方程必过定点：（）．15．（5分）过点（3，1）作圆（x ﹣1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为 2x +y ﹣3=0 ．【解答】解：圆（x ﹣1）2+y 2=1的圆心为C （1，0），半径为1， 以（3，1）、C （1，0）为直径的圆的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣）2=， 将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程2x +y ﹣3=0， 故答案为：2x +y ﹣3=0．16．（5分）某地区为了解70﹣80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 6.42 ．【解答】解：由流程图知：①i=1，S=0+4.5x0.12=0.54，②i=2，S=0.54+5.5Ⅹ0.2=1.64，③i=3，S=1.64+6.5x0.4=4.24，④i=4，S=4.24+7.5x0.2=5.74，⑤i=5，S=5.74+8.5x0.08=6.42∴S=G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5=4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.2+8.5×0.08=6.42，故填：6.42．三、解答题17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理可得：2=1.4+2a，∴解得：a=0.3．（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5，0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5，解得x=0.04；∴中位数是2+0.04=2.04．18．（12分）已知直线l的方程为x+2y﹣1=0，点P的坐标为（1，﹣2）．（Ⅰ）求过P点且与直线l平行的直线方程；（Ⅱ）求过P点且与直线l垂直的直线方程．【解答】解：（1）设过P点且与直线l平行的直线方程为x+2y+k=0，…（2分）则1+2×（﹣2）+k=0，即k=3，…（3分）∴过P点且与直线l平行的直线方程为x+2y+3=0…（4分）；（2）设过P点且与直线l垂直的直线方程为2x﹣y+b=0，…（6分）则2×1﹣（﹣2）+b=0，即b=﹣4，…（7分）∴过P点且与直线l垂直的直线方程为2x﹣y﹣4=0．…（8分）19．（12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．【解答】解：（1）根据平均数的个数可得75=，∴x6=90，这六位同学的方差是（25+1+9+25+9+225）=49，∴这六位同学的标准差是7（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52=10种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41=4种结果，根据古典概型概率个数得到P==0.4．20．（12分）已知圆N经过点A（3，1），B（﹣1，3），且它的圆心在直线3x﹣y ﹣2=0上．（Ⅰ）求圆N的方程；（Ⅱ）求圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程．（Ⅲ）若点D为圆N上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知可设圆心N（a，3a﹣2），又由已知得|NA|=|NB|，从而有=，解得：a=2．于是圆N的圆心N（2，4），半径r=．所以，圆N的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=10．（5分）（Ⅱ）N（2，4）关于x﹣y+3=0的对称点为（1，5），所以圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣5）2=10（9分）（Ⅲ）设M（x，y），D（x1，y1），则由C（3，0）及M为线段CD的中点得：．又点D在圆N：（x﹣2）2+（y﹣4）2=10上，所以有（2x﹣3﹣2）2+（2y﹣4）2=10，化简得：．故所求的轨迹方程为（14分）21．（12分）甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，则有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率为．【解答】解：设甲船在x点到达，乙船在y点到达，必须等待的事件需要满足如下条件：，画出不等式组表示的平面区域如图所示；所以p（A）=1﹣=；所以一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是．故答案为：．22．（12分）已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，PM，切点为Q，M，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）若以P为圆心的圆P与圆O有公共点，试求圆P的半径最小时圆P的方程；（3）当P点的位置发生变化时，直线QM是否过定点，如果是，求出定点坐标，如果不是，说明理由．【解答】解：（1）连OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2．∵|PQ|=|PA|故PA2=PO2﹣1∴a2+b2﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2化简可得，2a+b﹣3=0（2）设圆P的半径为R，∵圆P与圆O有公共点，且半径最小，∴R=|OP|===，故当a=时，|OP|min=此时，b=，R min=﹣1．得半径取最小值时圆P的方程为；（3）设Q（x1，y1），M（x2，y2），则化简得ax1+by1=1，同理ax2+by2=1．所以，直线MQ的方程为ax+by=1．∵b=3﹣2a，代入上式得（x﹣2y）a+3y﹣1=0，令x﹣2y=0，3y﹣1=0，得x=，y=，∴直线MQ过定点（）．。
2016-2017学年湖北省部分重点中学联考高二上学期期中数学试卷与解析(理科)
2016-2017学年湖北省部分重点中学联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）两个二进制数101（2）与110（2）的和用十进制数表示为（）A．12 B．11 C．10 D．92．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④3．（5分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A．B．C．D．4．（5分）α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α和β平行的是（）A．α和β都垂直于同一平面B．α内不共线的三点到β的距离相等C．l，m是平面α内的直线且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，m∥β，l∥β5．（5分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，则三棱锥C﹣ABD的外接球表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．4π6．（5分）已知平面α的法向量为=（3，﹣1，2），=（﹣3，1，﹣2），则直线AB与平面α的位置关系为（）A．AB∥αB．AB⊂αC．AB与α相交D．AB⊂α或AB∥α7．（5分）下列的算法流程图中，其中能够实现求两个正整数的最大公约数的算法有（）个．A．1 B．2 C．3 D．08．（5分）下列四种说法中：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱②相等的线段在直观图中仍然相等③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．（5分）过正三棱锥S﹣ABC侧棱SB与底面中心O作截面SBO，已知截面是等腰三角形，则侧面和底面所成角的余弦值为（）A．B．C．或D．或10．（5分）球O与锐二面角α﹣l﹣β的两半平面相切，两切点间的距离为，O点到交线l的距离为2，则球O的体积为（）A． B．4πC．12πD．11．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（）A．B．C．D．12．（5分）已知如图1，点E，F，G分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上，以M，N，Q，P为顶点的三棱锥P﹣MNQ的俯视图在下列四个图（图2）中有可能的情形有（）种．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则此圆锥的体积为cm3．14．（5分）如图是用二分法求方程x2﹣2=0在[﹣2，2]的近似解的程序框图，要求解的精确度为ε，①处填的内容是，②处填的内容是．15．（5分）如图，已知平行六面体ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1长为3，且∠A1AB=∠A1AD=120°，则AC1=．16．（5分）棱长均相等的四面体A﹣BCD中，P为BC中点，Q为直线BD上一点，则平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．18．（12分）（1）已知如图1平面α，β，γ和直线l，若α∩β=l，α⊥γ，β⊥γ，求证：l⊥γ；（2）已知如图2平面α和β，直线l和α，且α∩β=l，若a∥α，a∥β，求证：a∥l．19．（12分）如图，在平面内直线EF与线段AB相交于C点，∠BCF=30°，且AC=CB=4，将此平面沿直线EF折成60°的二面角α﹣EF﹣β，BP⊥平面α，点P为垂足．（Ⅰ）求△ACP的面积；（Ⅱ）求异面直线AB与EF所成角的正切值．20．（12分）在如图所示三棱锥D﹣ABC中，AD⊥DC，AB=4，AD=CD=2，∠BAC=45°，平面ACD⊥平面ABC，E，F分别在BD，BC上，且BD=3BE，BC=2BF．（1）求证：BC⊥AD；（2）求平面AEF将三棱锥D﹣ABC分成两部分的体积之比．21．（12分）如图所示的几何体中，ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，△BDF 为等边三角形，O为AC与BD的交点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACEF；（Ⅱ）若∠DAB=60°，AF=FC，求二面角B﹣EC﹣D的正弦值．22．（12分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）设点Q满足，试探究：当PB取得最小值时，直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．2016-2017学年湖北省部分重点中学联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）两个二进制数101（2）与110（2）的和用十进制数表示为（）A．12 B．11 C．10 D．9【解答】解：∵由题意可得，（101）2=1×22+0×21+1×20=5．110（2）=1×22+1×21+0×20=6．∴5+6=11．故选：B．2．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选：D．3．（5分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选：B．4．（5分）α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α和β平行的是（）A．α和β都垂直于同一平面B．α内不共线的三点到β的距离相等C．l，m是平面α内的直线且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，m∥β，l∥β【解答】解：利用排除法：对于A：如图所示对于B：α内不共线的三点到β的距离相等，必须是α内不共线的三点在β的同侧．对于C：l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β，l和m不是平行直线．故选：D．5．（5分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，则三棱锥C﹣ABD的外接球表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．4π【解答】解：将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥C﹣ABD，如图所示：则BC⊥CD，BA⊥AD，OA=OB=OC=OD，三棱锥C﹣ABD的外接球直径为BD=2，外接球的表面积为4πR2=（2）2π=8π．故选：A．6．（5分）已知平面α的法向量为=（3，﹣1，2），=（﹣3，1，﹣2），则直线AB与平面α的位置关系为（）A．AB∥αB．AB⊂αC．AB与α相交D．AB⊂α或AB∥α【解答】解：∵=﹣，∴∥，∴直线AB与平面α的位置关系为相交．故选：C．7．（5分）下列的算法流程图中，其中能够实现求两个正整数的最大公约数的算法有（）个．A．1 B．2 C．3 D．0【解答】解：①辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里得算法，算法如下：第一步，输入两个正整数m，n，第二步，m除以n的余数是r，接下来，将原来的除数作为新的被除数，原来的余数作为除数，继续上面的过程，直到余数r=0，退出程序，输出两个正整数的最大公约数m．②更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，算法如下：第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数．若是，则用2约简；若不是则执行第二步．第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止．则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数．结合算法，模拟执行流程图，即可得解能够实现两个正整数的最大公约数的算法有3个．故选：C．8．（5分）下列四种说法中：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱②相等的线段在直观图中仍然相等③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且相邻的两个平行四边形的公共边都相互平行，这些面围成的几何体叫棱柱，故①错误．②相等的线段在直观图中仍然相等，不一定相等，不正确；③根据一个直角三角形绕其一个直角边边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，可得不正确；④用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，不正确．故选：A．9．（5分）过正三棱锥S﹣ABC侧棱SB与底面中心O作截面SBO，已知截面是等腰三角形，则侧面和底面所成角的余弦值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：延长BO交AC于D，则D为AC中点．截面为△SBD．由正棱锥的性质，SO⊥面ABC，SD⊥AC，BD⊥AC，∠SDC为侧面和底面所成角的平面角．设底面边长BC=2．易知SB≠SD．（1）若SD=BD，则SC=BC，正三棱锥S﹣ABC为正四面体．BD==，在△SDB中，由余弦定理得cos∠SDB===．（2）若SB=BD=，在RT△SDA中，SD=，在△SDB中，由余弦定理得cos∠SDB===故选：C．10．（5分）球O与锐二面角α﹣l﹣β的两半平面相切，两切点间的距离为，O点到交线l的距离为2，则球O的体积为（）A． B．4πC．12πD．【解答】解：设OAB平面与棱l交于点C，则△OAC为直角三角形，且AB⊥OC，OC=2设OA=x，AC=y，则由等面积可得xy=∵x2+y2=4∴或时，∠ACO=30°，∠ACB=60°，满足题意，球的体积为π；时，∠ACO=60°，∠ACB=120°，不满足题意，故选：A．11．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（）A．B．C．D．【解答】解：取CD中点F，AC⊥EF，又∵SB在面ABCD内的射影为BD且AC⊥BD，∴AC⊥SB，取SC中点Q，∴EQ∥SB∴AC⊥EQ，又AC⊥EF，∴AC⊥面EQF，因此点P在FQ上移动时总有AC⊥EP．故选：A．12．（5分）已知如图1，点E，F，G分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上，以M，N，Q，P为顶点的三棱锥P﹣MNQ的俯视图在下列四个图（图2）中有可能的情形有（）种．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：在底面ABCD上考察，P、M、N、Q四点在俯视图中它们分别在BC、CD、DA、AB上，先考察形状，再考察俯视图中的实虚线，可判断C不可能，因为该等腰三角形且当中无虚线，说明有两个顶点投到底面上重合了，只能是Q、N投射到点A或者M、N投射到点D，此时俯视图不可能是等腰三角形．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则此圆锥的体积为16πcm3．【解答】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，设圆锥的半径为r，∴有πr×5=20π⇒r=4，∴圆锥的高为=3，∴圆锥的体积为×π×r2×3=16πcm3．故答案：16πcm3．14．（5分）如图是用二分法求方程x2﹣2=0在[﹣2，2]的近似解的程序框图，要求解的精确度为ε，①处填的内容是f（x1）•f（m）＜0，②处填的内容是|x1﹣x2|＜ε．【解答】解：由已知得该程序的作用是用二分法求方程x2﹣2=0在[﹣2，2]的近似解，①框的作用是判断零在二分区间后的哪个区间上，根据零存在定理，及判断框的“是”、“否”指向，不难得到该框是判断a，m的函数值是否异号故①框填：f（x1）•f（m）＜0；而由要求解的精确度为0.0001故可知②框是判断精度是否满足条件，以决定是否继续循环的语句，故②框应填：|x1﹣x2|＜ε故答案为f（x 1）•f（m）＜0；|x1﹣x2|＜ε．15．（5分）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1长为3，且∠A1AB=∠A1AD=120°，则AC1=．【解答】解：==4+4+9+0+2×2×3×（﹣）+2×2×3×（﹣）=5．∴AC1=．故答案为．16．（5分）棱长均相等的四面体A﹣BCD中，P为BC中点，Q为直线BD上一点，则平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是．【解答】解：由题意把正四面体A﹣BCD放到正方体BK内，则平面ACD与平面APQ所成角的正弦值等于平面ACD的法向量BK与平面APQ 所成角的余弦值，问题等价于平面APQ绕AP转动，当平面ACD与平面APQ所成角等于BK与AP夹角时，平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值取最小值，此时该正弦值为：；当平面APQ与BK平行时，所成角为0°，此时正弦值为1．∴平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围为[，1]．故答案为：[，1]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f（x）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f（﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f（3）=a3﹣1=7，∴a=2．∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x＜0时，f（x）=﹣2x＞1，∴；②当x≥0时，f（x）=2x﹣1＞1，∴x＞1．综上满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为或x＞1}．18．（12分）（1）已知如图1平面α，β，γ和直线l，若α∩β=l，α⊥γ，β⊥γ，求证：l⊥γ；（2）已知如图2平面α和β，直线l和α，且α∩β=l，若a∥α，a∥β，求证：a∥l．【解答】证明：（1）如图，在平面内γ任取一点P，过点P作PA⊥l1，PB⊥l2，A，B为垂足，…（1分）∵α∩γ=l1，α⊥γ，PA⊂γ，∴PA⊥α又∵l⊂α，∴PA⊥l…（3分）同理：PB⊥l…（5分）∴l⊥γ…（6分）（2）过直线a作平面γ1，γ2使得α∩γ1=l1，β∩γ2=l2…（1分）∵a∥α，α∩γ1=l1，a⊂γ1，∴a∥l1…（3分）同理a∥l2，∴l1∥l2，又l1⊂α，l2⊂β，∴l1∥β，∴l1∥l…（5分）∴a∥l…（6分）19．（12分）如图，在平面内直线EF与线段AB相交于C点，∠BCF=30°，且AC=CB=4，将此平面沿直线EF折成60°的二面角α﹣EF﹣β，BP⊥平面α，点P为垂足．（Ⅰ）求△ACP的面积；（Ⅱ）求异面直线AB与EF所成角的正切值．【解答】解：（Ⅰ）如图，在平面α内，过点P作PM⊥EF，点M为垂足，连接BM，则∠BMP为二面角α﹣EF﹣β的平面角．在Rt△BMC中，由∠BCM=30°，CB=4，得CM=，BM=2．在Rt△BMP中，由∠BMP=60°，BM=2，得MP=1．在Rt△CMP中，由CM=，MP=1，得CP=，cos∠PCM=，sin∠PCM=．=．…（7分）故sin∠ACP=sin（150°﹣∠PCM）=．所以S△ACP（Ⅱ）如图，过点A作AQ∥EF，交MP于点Q，则∠BAQ是AB与EF所成的角，且AQ⊥平面BMQ．在△BMQ中，由∠BMQ=60°，BM=MQ=2，得BQ=2．…（10分）在Rt△BAQ中，由AQ=AC•cos30°+CM=4，BQ=2，得tan∠BAQ=．因此AB与EF所成角的正切值为．…（13分）20．（12分）在如图所示三棱锥D﹣ABC中，AD⊥DC，AB=4，AD=CD=2，∠BAC=45°，平面ACD⊥平面ABC，E，F分别在BD，BC上，且BD=3BE，BC=2BF．（1）求证：BC⊥AD；（2）求平面AEF将三棱锥D﹣ABC分成两部分的体积之比．【解答】（1）证明：在Rt△ADC中，AD=DC=2，AD⊥DC，∴，在△ABC中，∵∠BAC=45°，AB=4，∴BC2=AC2+AB2+2AC•AB•cos45°=，可得：，∴AC2+BC2=AB2．则AC⊥BC．又∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，∴BC⊥平面ACD，得AD⊥BC；（2）解：取线段AC的中点O，连接DO，∵AD=CD，∴DO⊥AC．又∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，DO⊂平面ACD，∴DO⊥平面ABC，，，∴V D===，﹣ABC过点E作EG∥DO交BO于G，∴EG⊥平面ABC，∵BD=3BE，∴，∵BC=2BF，∴，V A﹣EBF═=，=V D﹣ABC﹣V E﹣ABF=，∴V A﹣EFCD∴平面AEF将三棱锥D﹣ABC分成的两部分的体积之比．21．（12分）如图所示的几何体中，ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，△BDF 为等边三角形，O为AC与BD的交点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACEF；（Ⅱ）若∠DAB=60°，AF=FC，求二面角B﹣EC﹣D的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC∵O为AC与BD的交点，∴O为BD的中点，又△BDF为等边三角形，∴BD⊥OF，∵AC⊂平面ACEF，OF⊂平面ACEF，AC∩OF=O，∴BD⊥平面ACEF．（Ⅱ）∵AF=FC，O为AC中点，∴AC⊥OF，∵BD⊥OF，∴OF⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系O﹣xyz，不妨设AB=2，∵∠DAB=60°，∴B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），A（，0，0），F（0，0，），∵=，∴E（﹣2，0，），=（﹣，﹣1，0），=（﹣2，﹣1，），设=（x，y，z）为平面BEC的法向量，则，取x=1，得=（1，﹣，1），则理求得平面ECD的法向量=（1，，1），设二面角B﹣EC﹣D的平面角为θ，则cosθ==，∴sinθ==，∴二面角B﹣EC﹣D的正弦值为．22．（12分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）设点Q满足，试探究：当PB取得最小值时，直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，∴PO⊥平面ABFED，∵BD⊂平面ABFED，∴PO⊥BD．∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）（2）解：如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，故BD=4，．又设PO=x，则，，所以O（0，0，0），P（0，0，x），，，故，所以，当时，．此时，…（6分）设点Q的坐标为（a，0，c），由（1）知，，则，，，．∴，，∵，∴．∴，∴．（10分）设平面PBD的法向量为，则．∵，，∴取x=1，解得：y=0，z=1，所以．…（8分）设直线OQ与平面E所成的角θ，∴=．…（10分）又∵λ＞0∴．∵，∴．因此直线OQ与平面E所成的角大于，即结论成立．…（12分）。
2017年湖北省荆、荆、襄、宜四地七校联考高二上学期数学期中试卷与解析
2016-2017学年湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题1．（5分）在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16﹣12=4，12﹣4=8，8﹣4=4，由此可以看出12与16的最大公约数是（）A．16 B．12 C．8 D．42．（5分）已知全集U为R，集合A={x|x2＜4}，B=（x﹣2）}，则下列关系正确的是（）A．A∪B=R B．A∪（∁∪B）=R C．（∁∪A）∪B=R D．A∩（∁∪B）=A3．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+）﹣1（ω＞0）的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．6 B．3 C．D．4．（5分）设l为直线，α，β为不同的平面，下列命题正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，α∥β，则l∥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l⊥α，l⊥β，则α⊥β5．（5分）直线xcosθ+y﹣1=0（θ∈R且θ≠kπ，k∈Z）与圆2x2+2y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定6．（5分）在△OAB中，C为边AB上任意一点，D为OC上靠近O的一个三等分点，若=λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．17．（5分）已知函数f（x）=sinxcos2x，下列结论正确的是（）A．y=f（x）的图象关于对称B．y=f（x）的图象关于对称C．y=f（x）的图象关于y轴对称D．y=f（x）不是周期函数8．（5分）已知某空间几何体的三视图如图所示，则（）A．该几何体的表面积为4+2πB．该几何体的体积为πC．该几何体的表面积为4+4πD．该几何体的体积为π9．（5分）已知点P（x，y）满足过点P的直线与圆x2+y2=36相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A．8 B．C．D．1010．（5分）已知一组数据3，4，5，a，b的平均数是4，中位数是m，从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，那么3，4，5，a，b这组数据的方差为（）A．B．2 C．D．11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S=，判断框内填入的条件可以是（）A．n＜10 B．n≤10 C．n≤1024 D．n＜102412．（5分）钝角△OAB三边的比为2：2：（﹣），O为坐标原点，A （2，2）、B（a，a），则a的值为（）A．2 B．C．2或D．+二、填空题13．（5分）直线2x+y﹣2=0被圆x2+y2=5截得的弦长为．14．（5分）已知θ服从上的均匀分布，则2|sinθ|＜成立的概率为．15．（5分）已知四面体P﹣ABC各面都是直角三角形，且最长棱长PC=2，则此四面体外接球的表面积为．16．（5分）记Min{a，b}为a、b两数中的最小值，当正数x，y变化时，令，则t的最大值为．三、解答题17．（12分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已测得五年级一班30名学生的跳远成绩（单位：cm），用茎叶图统计如图，男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为合格，成绩在175cm以下（不含175cm）定义为“不合格”；女生成绩在165以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不含165cm）定义为“不合格”．（1）求男生跳远成绩的中位数．（2）根据男女生的不同，用分层抽样的方法从该班学生中抽取1个容量为5的样本，求抽取的5人中女生的人数．（3）以此作为样本，估计该校五年级学生体质的合格率．18．（12分）已知函数f（x）=在（﹣1，+∞）是增函数．（1）当b=1时，求a的取值范围．（2）若g（x）=f（x）﹣1008没有零点，f（1）=0，求f（﹣3）的值．19．（12分）在数列{a n}中，a1=1a n+1=，n∈N*．（1）求证数列为等比数列．（2）求数列{a n}的前n项和S n．20．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠APD=90°，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中点．（1）求证：PB⊥AC．（2）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．21．（12分）已知圆C1：（x+2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，过点P（﹣1，5）作两条互相垂直的直线l1：y=k（x+1）+5，l2：y=﹣（x+1）+5．（1）若k=2时，设l1与圆C1交于A、B两点，求经过A、B两点面积最小的圆的方程．（2）若l1与圆C1相交，求证：l2与圆C2相交，且l1被圆C1截得的弦长与l2被圆C2截得的弦长相等．（3）是否存在点Q，过Q的无数多对斜率之积为1的直线l3，l4，l3被圆C1截得的弦长与l4被圆C2截得的弦长相等．若存在求Q的坐标，若不存在，说明理由．22．（10分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）是偶函数，且b=f（）．（1）求b．（2）若a=，求角C．2016-2017学年湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16﹣12=4，12﹣4=8，8﹣4=4，由此可以看出12与16的最大公约数是（）A．16 B．12 C．8 D．4【解答】解：在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16﹣12=4，12﹣4=8，8﹣4=4，由此可以看出12与16的最大公约数是4．故选：D．2．（5分）已知全集U为R，集合A={x|x2＜4}，B=（x﹣2）}，则下列关系正确的是（）A．A∪B=R B．A∪（∁∪B）=R C．（∁∪A）∪B=R D．A∩（∁∪B）=A【解答】解：全集U为R，集合A={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，B=（x﹣2）}={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}，A∪B={x|x＞﹣2且x≠2}，A错误；∁U B={x|x≤2}，A∪（∁U B）={x|x≤2}，B错误；∁U A={x|x≤﹣2或x≥2}，∴（∁U A）∪B={x|x≤﹣2或x≥2}，C错误；A∩（∁U B）={x|﹣2＜x＜2}=A，D正确．故选：D．3．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+）﹣1（ω＞0）的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．6 B．3 C．D．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）﹣1的图象向右平移个单位后，可得函数y=2sin[ω（x﹣）+]﹣1=2sin（ωx+﹣）﹣1的图象．再根据所得图象与原图象重合，可得﹣=2kπ，k∈z．即ω=﹣6k，k∈Z，ω＞0则ω的最小值为，6故选：A．4．（5分）设l为直线，α，β为不同的平面，下列命题正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，α∥β，则l∥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l⊥α，l⊥β，则α⊥β【解答】解：对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；对于B，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，故B错；对于C，若l⊥α，l∥β，可过l作一个平面与β相交于m，则m∥l，且m⊥α，则α⊥β，故C正确；对于D，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故D错．故选：C．5．（5分）直线xcosθ+y﹣1=0（θ∈R且θ≠kπ，k∈Z）与圆2x2+2y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【解答】解：圆2x2+2y2=1 即x2+y2=，圆心（0，0）到直线xcosθ+y﹣1=0的距离等于，由于θ≠kπ，k∈Z，∴cosθ≠±1，∴＞，即圆心（0，0）到直线xcosθ+y﹣1=0的距离大于半径，故直线和圆相离，故选：C．6．（5分）在△OAB中，C为边AB上任意一点，D为OC上靠近O的一个三等分点，若=λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．1【解答】解：∵D为OC上靠近O的一个三等分点，∴3=，又∵=λ+μ，∴=3λ+3μ，∵C为边AB上任意一点，∴3λ+3μ=1，故λ+μ=，故选：B．7．（5分）已知函数f（x）=sinxcos2x，下列结论正确的是（）A．y=f（x）的图象关于对称B．y=f（x）的图象关于对称C．y=f（x）的图象关于y轴对称D．y=f（x）不是周期函数【解答】解：对于函数f（x）=sinxcos2x，∵f（π﹣x）=sin（π﹣x）cos2（π﹣x）=sinxcos2x=f（x），∴f（x）关于直线x=对称，故A正确，B不正确．根据f（﹣x）=﹣sinxcos2x=﹣f（x），故函数为奇函数，它的图象关于x轴对称，故排除C．∵f（x+2π）=sin（2π+x）cos2（2π+x）=sinxcos2x=f（x），∴2π是函数y=f（x）的周期，故D错误．故选：A．8．（5分）已知某空间几何体的三视图如图所示，则（）A．该几何体的表面积为4+2πB．该几何体的体积为πC．该几何体的表面积为4+4πD．该几何体的体积为π【解答】解：由三视图可知，该几何体为上部为半径为的球，下部为半径为1，高为2的半个圆柱，球的表面积：4π×（）2=π，半圆柱的底面面积为2××π=π，半圆柱的侧面积为2×（2+π）=4+2π．几何体的表面积为：4+4π．故选：C．9．（5分）已知点P（x，y）满足过点P的直线与圆x2+y2=36相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A．8 B．C．D．10【解答】解：不等式对应的平面区域为三角形CDE，C（3，3），D（2，2），E（2，4）过点P的直线l与圆x2+y2=36相交于A、B两点，要使|AB|最小，则圆心到过P 的直线的距离最大，当点P在E处时，满足条件，此时OE⊥AB，此时|OE|==2，∴|AB|=2|BE|=2=8，故选：A．10．（5分）已知一组数据3，4，5，a，b的平均数是4，中位数是m，从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，那么3，4，5，a，b这组数据的方差为（）A．B．2 C．D．【解答】解：∵一组数据3，4，5，a，b的平均数是4，中位数是m，从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，∴，解得a=4，b=4，m=4，∴3，4，5，a，b这组数据的方差为：S2=[（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（4﹣4）2+（4﹣4）2]=．故选：D．11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S=，判断框内填入的条件可以是（）A．n＜10 B．n≤10 C．n≤1024 D．n＜1024【解答】解：本程序的功能是计算S=+++…+==1﹣，∵S+=，∴S=，∴1﹣=，∴=，∴k=10，即运行了10次，故可判断框内可填入的条件n≤210=1024，故选：C．12．（5分）钝角△OAB三边的比为2：2：（﹣），O为坐标原点，A （2，2）、B（a，a），则a的值为（）A．2 B．C．2或D．+【解答】解：由题意画出图象：（1）当OA：0B：AB=2：2：（﹣）时，则cos∠OBA===，因为∠OBA是内角，则∠OBA=120°，cos∠OAB====，因为∠OAB是内角，则∠OAB=45°，在△OAB中，由正弦定理得，则OB===，因B（a，a），则a=，解得a=，（2）当OB：0A：AB=2：2：（﹣）时，则cos∠OAB===，因为∠OAB是内角，则∠OAB=120°，cos∠OBA====，因为∠OBA是内角，则∠OBA=45°，在△OAB中，由正弦定理得，则OB===2，因B（a，a），则a=2，解得a=2，综上可得，a的值是或2故选：C．二、填空题13．（5分）直线2x+y﹣2=0被圆x2+y2=5截得的弦长为．【解答】解：由题意，弦心距为：=；半径为：，半弦长为：，弦长=．故答案为：．14．（5分）已知θ服从上的均匀分布，则2|sinθ|＜成立的概率为．【解答】解：θ服从上的均匀分布，区间长度为π，在此范围下满足2|sinθ|＜的θ∈[]，区间长度为，由几何概型得到所求概率为；故答案为：．15．（5分）已知四面体P﹣ABC各面都是直角三角形，且最长棱长PC=2，则此四面体外接球的表面积为12π．【解答】解：若三棱锥P﹣ABC的最长的棱PA=2，且各面均为直角三角形，将此三棱锥的外接球的直径为2，故此三棱锥的外接球的半径为，故此三棱锥的外接球的表面积S=4π•3=12π，故答案为：12π．16．（5分）记Min{a，b}为a、b两数中的最小值，当正数x，y变化时，令，则t的最大值为2．【解答】解：∵，∴当时有4x+y≤2；当时，有，∴t≤2，故答案：2．三、解答题17．（12分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已测得五年级一班30名学生的跳远成绩（单位：cm），用茎叶图统计如图，男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为合格，成绩在175cm以下（不含175cm）定义为“不合格”；女生成绩在165以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不含165cm）定义为“不合格”．（1）求男生跳远成绩的中位数．（2）根据男女生的不同，用分层抽样的方法从该班学生中抽取1个容量为5的样本，求抽取的5人中女生的人数．（3）以此作为样本，估计该校五年级学生体质的合格率．【解答】解：（1）男生跳远成绩数据为偶数个，∴中位数为（cm）．…（4分）（2）女生总人数为18人，所占比例为，∴女生应抽取的人数为人．…（8分）（3）由茎叶图可知，样本中男生有8人合格，女生有10人合格．样本的合格率为=60%．∴该校五年级学生体质的合格率估计为60%．…（12分）18．（12分）已知函数f（x）=在（﹣1，+∞）是增函数．（1）当b=1时，求a的取值范围．（2）若g（x）=f（x）﹣1008没有零点，f（1）=0，求f（﹣3）的值．【解答】解：（1）b=1时…（3分）∵f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，∴1﹣a＜0即a＞1．所求a的范围为（1，+∞）．…（6分）（2），∴f（x）关于点（﹣1，a）对称．即f（x）+f（﹣2﹣x）=2a…（8分）∵g（x）=f（x）﹣1008没有零点，∴a=1008…（10分）∵f（1）=0又f（1）+f（﹣3）=2×1008=2016∴f（﹣3）=2016…（12分）19．（12分）在数列{a n}中，a1=1a n+1=，n∈N*．（1）求证数列为等比数列．（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：由，得，又，∴是首项为1，公比为2的等比数列；（2）解：由（1）知，是首项为1，公比为2的等比数列，∴，则，则，…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，两式作差得：﹣Sn=1+2+22+2n﹣1﹣n•2n=2n﹣1﹣n•2n=（1﹣n）•2n﹣1，∴．20．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠APD=90°，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中点．（1）求证：PB⊥AC．（2）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．【解答】证明：（1）设AD中点为F连接BF、PF．∵PA=PD=AB=a，∴，∴．∴△ABC∽△FAB，∴AC⊥BF，…（4分）又∵PF⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD．平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PF⊥面ABC，∴PF⊥AC，∴AC⊥平面PBF，AC⊥PB．…（6分）解：（2）过E作EH∥PF，EH交AD于H，过H作HO⊥AC，交AC于O，连接EO．由（1）知EH⊥面ACD，HO⊥AC，∴∠EOH为二面角E﹣AC﹣D的平面角…（8分）．．∴．∴二面角E﹣AC﹣D的正切值为．…（12分）21．（12分）已知圆C1：（x+2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，过点P（﹣1，5）作两条互相垂直的直线l1：y=k（x+1）+5，l2：y=﹣（x+1）+5．（1）若k=2时，设l1与圆C1交于A、B两点，求经过A、B两点面积最小的圆的方程．（2）若l1与圆C1相交，求证：l2与圆C2相交，且l1被圆C1截得的弦长与l2被圆C2截得的弦长相等．（3）是否存在点Q，过Q的无数多对斜率之积为1的直线l3，l4，l3被圆C1截得的弦长与l4被圆C2截得的弦长相等．若存在求Q的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当k=2时，l1的方程为y=2x+7联立方程组，整理得5x2+28x+36=0设A、B为A（x1，y1），B（x2，y2）∴，，，，经过A、B两点面积最小的圆应是以AB为直径的圆，圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0．即x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0所求圆的方程：…（4分）（2）设圆C1的圆心到l1的距离为d1，圆C2的圆心到l2的距离为d2，则，∴l2与圆C2相交，∵两圆的半径相等，而两弦心距相等，∴所截得的弦长相等．（3）设Q（a，b）ℓ3的方程为y=m（x﹣a）+b．l4的方程为，依题意圆C1的圆心到l3的距离为，由d3=d4得|1﹣b+m（a+2）|=|a﹣3+m（4﹣b）|∴1﹣b+m（a+2）=a﹣3+m（4﹣b）（1）或1﹣b+m（a+2）=3﹣a+m（b﹣4）（2）（1）（2）对于无数多个m的值都成立∴（3）或（4）（3）（4）都无解∴Q不存在…（12分）22．（10分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）是偶函数，且b=f（）．（1）求b．（2）若a=，求角C．【解答】（本题满分为10分）解：（1）f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）=，∵f（x）是偶函数，∴…（2分）∵B∈（0，π），∴…（4分）∴，∴．…（6分）（2）∵，由正弦定理得：，…（8分）∵a＜b，∴，∴从而．…（10分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
湖北省公安一中高二上学期期中考试(数学).doc
湖北省公安一中高二上学期期中考试（数学）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、若a 、b 是任意实数，且a>b ，则（ ）A 、ba)21(21(<） B 、1<baC 、0)(1>-b a gD 、22b a >2、过点P （2，3），且在两轴上截距相等的直线方程是（ ）A 、x+y －5＝0B 、x+y+5＝0C 、x+y －5＝0和x+y+5＝0D 、x+y －5＝0或3x －2y ＝0 3、对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中，真命题是（ ）A 、“ac>bc ”是“a>b ”的必要条件B 、“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件C 、“ac>bc ”是“a>b ”的充分条件D 、“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件 4、下列四个命题中真命题是（ ）A 、经过定点),(000y x P 的直线都可以用方程)(00x x k y y -=-表示B 、经过任意两个不同点 )y ,(x P),(222111，y x P 的直线都可以用方程 ))(())((121121y y x x x x y y --=--表示 C 、不经过原点的直线都可以用1=+bxa x 表示 D 、经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y ＝kx+b 表示5、设ba b a R b a 33 2,,+=+∈则，的最小值是（ ） A 、6 B 、18 C 、32 D 、3236、设集合{}””是“则“，，Φ==<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=B A a a x x B x x xA 1 1 011的（ ） A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既非充分又非必要条件 7、不等式1213≥--x x 的解集是（ ） A 、)2,43[ B 、]2,43[ C 、),43[)2,(+∞⋃-∞ D 、),2(+∞8、点（3，a ）到直线043:=-+y x l 的距离等于1，则a ＝（ ）A 、3B 、3-C 、33-D 、333-或 9、若不等式x x ax ax 424222+<-+对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A 、)2,2(- B 、]2,2(- C 、),2[)2,(+∞⋃--∞ D 、]2,(-∞10、设x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为12，则ba 32+的最小值为（ ） A 、625 B 、38 C 、311D 、4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、若直线l 的斜率为]3,1(-，则该直线的倾斜角的取值范围是 。
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2016-2017学年湖北省荆州市公安县车胤中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（60分，每小题5分，每题的四个选项中有且仅有一个是正确的）1．（5分）荆州市某重点学校为了了解高一年级学生周末双休日在家活动情况，打算从高一年级1256名学生中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从1256人中剔除6人，剩下1250人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（）A．不全相等B．均不相等C．都相等D．无法确定2．（5分）已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是（）A．﹣3或4 B．6或2 C．3或﹣4 D．6或﹣23．（5分）某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…a N，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）A．A＞0，V=S﹣T B．A＜0，V=S﹣T C．A＞0，V=S+T D．A＜0，V=S+T 4．（5分）同时抛掷两枚骰子，向上点数之和为5的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a等于（）A．B．C．1 D．26．（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1207．（5分）如图，程序框图的输出结果为﹣18，那么判断框①表示的“条件”应该是（）A．i＞10？B．i＞9？C．i＞8？D．i＞7？8．（5分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．9．（5分）点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=010．（5分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B． C．D．11．（5分）若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[﹣1，﹣）C．（，1]D．（﹣∞，﹣1]12．（5分）若圆C与圆D：（x+2）2+（y﹣6）2=1关于直线l：x﹣y+5=0对称，则圆C的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣6）2=1 B．（x﹣6）2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．（x+1）2+（y+3）2=1二、填空题（共20分，每小题5分）13．（5分）过圆O：x2+y2=1上一点M（a，b）的切线方程为．14．（5分）已知x与y之间的一组数据如表所示，当m变化时，y与x的回归直线方程必过定点．15．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为．16．（5分）某地区为了解70﹣80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为．三、解答题17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．18．（12分）已知直线l的方程为x+2y﹣1=0，点P的坐标为（1，﹣2）．（Ⅰ）求过P点且与直线l平行的直线方程；（Ⅱ）求过P点且与直线l垂直的直线方程．19．（12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．20．（12分）已知圆N经过点A（3，1），B（﹣1，3），且它的圆心在直线3x﹣y ﹣2=0上．（Ⅰ）求圆N的方程；（Ⅱ）求圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程．（Ⅲ）若点D为圆N上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．21．（12分）甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，则有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率为．22．（12分）已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，PM，切点为Q，M，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）若以P为圆心的圆P与圆O有公共点，试求圆P的半径最小时圆P的方程；（3）当P点的位置发生变化时，直线QM是否过定点，如果是，求出定点坐标，如果不是，说明理由．2016-2017学年湖北省荆州市公安县车胤中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（60分，每小题5分，每题的四个选项中有且仅有一个是正确的）1．（5分）荆州市某重点学校为了了解高一年级学生周末双休日在家活动情况，打算从高一年级1256名学生中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从1256人中剔除6人，剩下1250人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（）A．不全相等B．均不相等C．都相等D．无法确定【解答】解：∵在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，∴每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的，∴每人入选的概率P===，故选：C．2．（5分）已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是（）A．﹣3或4 B．6或2 C．3或﹣4 D．6或﹣2【解答】解：∵点A（x，1，2）和点B（2，3，4），，∴，∴x2﹣4x﹣12=0∴x=6，x=﹣2故选：D．3．（5分）某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…a N，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）A．A＞0，V=S﹣T B．A＜0，V=S﹣T C．A＞0，V=S+T D．A＜0，V=S+T 【解答】解析：月总收入为S，支出T为负数，因此A＞0时应累加到月收入S，故判断框内填：A＞0又∵月盈利V=月收入S﹣月支出T，但月支出用负数表示因此月盈利V=S+T故处理框中应填：V=S+T故选：C．4．（5分）同时抛掷两枚骰子，向上点数之和为5的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，故选：A．5．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a等于（）A．B．C．1 D．2【解答】解：先根据约束条件画出可行域，如图示：z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距的最大值，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=；故选：B．6．（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8，可估计该该模块测试成绩不少于60分的学生人数为600×0.8=480（人）．故选：B．7．（5分）如图，程序框图的输出结果为﹣18，那么判断框①表示的“条件”应该是（）A．i＞10？B．i＞9？C．i＞8？D．i＞7？【解答】解：执行程序框图，有s=6，i=1第1次执行循环体，有m=4，s=10，i=2不满足条件，第2次执行循环体，有m=2，s=12，i=3不满足条件，第3次执行循环体，有m=0，s=12，i=4不满足条件，第4次执行循环体，有m=﹣2，s=10，i=5不满足条件，第5次执行循环体，有m=﹣4，s=6，i=6不满足条件，第6次执行循环体，有m=﹣6，s=0，i=7不满足条件，第7次执行循环体，有m=﹣8，s=﹣8，i=8不满足条件，第8次执行循环体，有m=﹣10，s=﹣18，i=9根据题意，此时应该满足条件，退出执行循环体，输出s的值为﹣18．故判断框①表示的“条件”应该是i＞8？故选：C．8．（5分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：C．9．（5分）点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP因此，AB的斜率k===1可得直线AB的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0故选：C．10．（5分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，即k≥=，或k≤=﹣4，∴k≥，或k≤﹣4，即直线的斜率的取值范围是k≥或k≤﹣4．故选：A．11．（5分）若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[﹣1，﹣）C．（，1]D．（﹣∞，﹣1]【解答】解：曲线即x2+y2=4，（y≥0）表示一个以（0，0）为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示：直线y=kx+4+2k即y=k（x+2）+4表示恒过点（﹣2，4）斜率为k的直线结合图形可得，∵解得∴要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是故选：B．12．（5分）若圆C与圆D：（x+2）2+（y﹣6）2=1关于直线l：x﹣y+5=0对称，则圆C的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣6）2=1 B．（x﹣6）2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．（x+1）2+（y+3）2=1【解答】解：设圆心（﹣2，6）关于直线x﹣y+5=0对称的点的坐标为（m，n），则由求得m=1，n=3，故对称圆的圆心为（1，3），对称圆的半径和原来的圆一样，故对称圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=1，故选：C．二、填空题（共20分，每小题5分）13．（5分）过圆O：x2+y2=1上一点M（a，b）的切线方程为ax+by﹣1=0．【解答】解：在圆O：x2+y2=1上一点M（a，b）的切线上取点A（x，y），则OM ⊥AM，∴（a，b）•（x﹣a，y﹣b）=0，∴a（x﹣a）+b（y﹣b）=0，整理得：ax+by﹣1=0．故答案为：ax+by﹣1=0．14．（5分）已知x 与y 之间的一组数据如表所示，当m 变化时，y 与x 的回归直线方程必过定点．【解答】解：由题意可得：=，=4．可得样本中心（）．y 与x 的回归直线方程必过定点：（）．15．（5分）过点（3，1）作圆（x ﹣1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为 2x +y ﹣3=0 ．【解答】解：圆（x ﹣1）2+y 2=1的圆心为C （1，0），半径为1， 以（3，1）、C （1，0）为直径的圆的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣）2=， 将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程2x +y ﹣3=0， 故答案为：2x +y ﹣3=0．16．（5分）某地区为了解70﹣80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 6.42 ．【解答】解：由流程图知：①i=1，S=0+4.5x0.12=0.54，②i=2，S=0.54+5.5Ⅹ0.2=1.64，③i=3，S=1.64+6.5x0.4=4.24，④i=4，S=4.24+7.5x0.2=5.74，⑤i=5，S=5.74+8.5x0.08=6.42∴S=G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5=4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.2+8.5×0.08=6.42，故填：6.42．三、解答题17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理可得：2=1.4+2a，∴解得：a=0.3．（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5，0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5，解得x=0.04；∴中位数是2+0.04=2.04．18．（12分）已知直线l的方程为x+2y﹣1=0，点P的坐标为（1，﹣2）．（Ⅰ）求过P点且与直线l平行的直线方程；（Ⅱ）求过P点且与直线l垂直的直线方程．【解答】解：（1）设过P点且与直线l平行的直线方程为x+2y+k=0，…（2分）则1+2×（﹣2）+k=0，即k=3，…（3分）∴过P点且与直线l平行的直线方程为x+2y+3=0…（4分）；（2）设过P点且与直线l垂直的直线方程为2x﹣y+b=0，…（6分）则2×1﹣（﹣2）+b=0，即b=﹣4，…（7分）∴过P点且与直线l垂直的直线方程为2x﹣y﹣4=0．…（8分）19．（12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．【解答】解：（1）根据平均数的个数可得75=，∴x6=90，这六位同学的方差是（25+1+9+25+9+225）=49，∴这六位同学的标准差是7（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52=10种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41=4种结果，根据古典概型概率个数得到P==0.4．20．（12分）已知圆N经过点A（3，1），B（﹣1，3），且它的圆心在直线3x﹣y ﹣2=0上．（Ⅰ）求圆N的方程；（Ⅱ）求圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程．（Ⅲ）若点D为圆N上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知可设圆心N（a，3a﹣2），又由已知得|NA|=|NB|，从而有=，解得：a=2．于是圆N的圆心N（2，4），半径r=．所以，圆N的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=10．（5分）（Ⅱ）N（2，4）关于x﹣y+3=0的对称点为（1，5），所以圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣5）2=10（9分）（Ⅲ）设M（x，y），D（x1，y1），则由C（3，0）及M为线段CD的中点得：．又点D在圆N：（x﹣2）2+（y﹣4）2=10上，所以有（2x﹣3﹣2）2+（2y﹣4）2=10，化简得：．故所求的轨迹方程为（14分）21．（12分）甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，则有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率为．【解答】解：设甲船在x点到达，乙船在y点到达，必须等待的事件需要满足如下条件：，画出不等式组表示的平面区域如图所示；所以p（A）=1﹣=；所以一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是．故答案为：．22．（12分）已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，PM，切点为Q，M，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）若以P为圆心的圆P与圆O有公共点，试求圆P的半径最小时圆P的方程；（3）当P点的位置发生变化时，直线QM是否过定点，如果是，求出定点坐标，如果不是，说明理由．【解答】解：（1）连OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2．∵|PQ|=|PA|故PA2=PO2﹣1∴a2+b2﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2化简可得，2a+b﹣3=0（2）设圆P的半径为R，∵圆P与圆O有公共点，且半径最小，∴R=|OP|===，故当a=时，|OP|min=此时，b=，R min=﹣1．得半径取最小值时圆P的方程为；（3）设Q（x1，y1），M（x2，y2），则化简得ax1+by1=1，同理ax2+by2=1．所以，直线MQ的方程为ax+by=1．∵b=3﹣2a，代入上式得（x﹣2y）a+3y﹣1=0，令x﹣2y=0，3y﹣1=0，得x=，y=，∴直线MQ过定点（）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。