05-等价关系与划分

根据一个分划定义等价关系
A
A6 给定 A 上一个分划，可以如下定 义A 上的等价关系 R :
A1
A5 A2 y A3 A4
x,yA, (x,y)R 当且仅当: x,y 属于该分划中同一块。
Ex. (x,y)R (y,z)R (x,z)R (x,x)R etc.
x
z 显然，关系 R 满足自反性、 对称性、传递性。因此： R 是等价关系。
– –
–
–
每个等价类是A的一个非空子集。 如果xRy，则[x]=[y] 如果非xRy，则[x][y]= 所有等价类的并集等于A

商集A/R：所有等价类的集合
等价关系的关系图

一个例子 A={1,2,3,4,5} R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>, <1,2>, <2,1>, <1,5>, <5,1>, <2,5>, <5,2>, <3,4>, <4,3>} R(1) 2
等价关系与划分：一个例子

R是实数集，定义RR上的关系S如下： <s,t>S<x,y> 当且仅当 (st =xy=0) 或者 (st0 且 xy0 且 sx>0 且 ty>0)
– –
S是等价关系 描述 RR / S
如果改为: (s=x=0)或者(t=y=0)?
RR / S 包含5个等价类: (在平面坐标系中描述) 两个坐标轴的并集，第1至第4象限
交叉划分


若1和2和都是A上的划分，则={xy|x1, y2, xy非空}称为1和2的交叉划分 若1和2分别对应于R1和R2，则=对应于R1R2
–
A
<a,b> R1R2 当且仅当 存在x1, y1 （xy非空） 使得a,b均在xy中。 A A
交叉
1
1
5
3
注意：R(1)即R(2) 或R(5); R(3)即R(4)
4
R(3)
等价关系的一个例子

R1,R2分别是集合X1,X2上的等价关系。定义X1X2上的关系S如下： <x1,x2>S<y1,y2> 当且仅当 x1R1y1 且 x2R2y2

证明：S是X1X2上的等价关系
–
对任意<x,y>X1X2, 由R1,R2满足自反性可知，<x,x> R1, <y,y> R2; <x,y>S<x,y>; S自反。 假设<x1,x2>S<y1,y2>, 由S的定义以及R1,R2满足对称性可知： <y1,y2>S<x1,x2>; S对称。 假设<x1,x2>S<y1,y2>, 且<y1,y2>S<z1,z2>, 则x1R1y1, y1R1z1, x2R2y2, y2R2z2, 由R1,R2满足传递性可知：x1R1z1, 且x2R2z2, 于 是： <x1,x2>S<z1,z2>; S传递。
等价关系与划分
离散数学：第5讲
上一讲内容的回顾

关系的几类重要性质
–
–
–
自反 对称 传递



性质满足的充分必要条件 性质与运算之间的关系 闭包的定义与存在性 计算关系R的传递闭包的Warshall算法
等价关系与划分

等价关系的定义 等价关系的关系图的特征 等价类
– – –
定义 非空集合A上等价关系R的等价类的性质 商集
商集即分划 – 证明

不相等的等价类必然不相交。换句话说，有公共 元素的任意两个等价类必然相等。 证明：
– – – –
假设R(a)R(b)Ø, c是任一公共元素。 根据等价类的定义，<a,c>R, <b,c>R 对任意xR(a), <a,x>R, 由R的传递性和对称性，可得 <c,x>R, 由此可知<b,x>R, 即xR(b), R(a)R(b) 同理可得：R(b)R(a)。因此: R(a)=R(b)
i
2. 对任意 Ai, Aj, 如果 ij, 则：
A3
Ai Aj
由等价关系定义的分划


假设R是集合A上的等价关系，给定aA, R(a)是 由R 所诱导的等价类。 Q={R(x)|xA}是相应的商集。
容易证明，这样的商集即是A的一个分划： – 对任意 aA, aR(a) (R 是自反关系) – 对任意 a,bA (a,b) R 当且仅当 R(a)=R(b), 同时 (a,b) R 当且仅当 R(a)R(b)=
利用等价类解题

证明： 从1,2,...,2000中任取1001个数，其 中必有两个数x,y，满足x/y=2k。 (k为整数)。
等价关系与划分：一个例子-解


建立1000个集合, 每个集合包括1至2000之间的一 个奇数以及该奇数与2的k次幂的乘积, 但最大不超 过 2000 。 可 以 证 明 这 1000 个 集 合 的 集 合 是 集 合 {1,2,3,..., 2000}上的一个划分。注意任意两个1到 2000之间 的正整数 x,y在同一划分块中当且仅当 x/y=2k。(k为整数)。 定义集合{1,2,3,..., 2000}上的一个关系R，任意x,y， xRy当且仅当x/y=2k 。易证这是一个等价关系。其 商集即上面的划分。
2

划分的加细


假设1和2和都是A上的划分，若对任意的x1, 存在y2, 使得xy, 则称1是2的加细 若1和2分别对应于R1和R2，则： R1 R2 当且 仅当1是2的加细
A
加细
AHale Waihona Puke Baidu
2
1
作业：

pp.140–
–
32，34 37-42
–
–
等价关系与集合运算

假设R1, R2均为集合X上的等价关系，回答下列 问题：
– –
R1 R2 是否仍为等价关系？ R1 R2 是否仍为等价关系？
传递性不能保持
–
X2-R1 是否仍为等价关系？
自反性不能保持
集合的划分
A
A6
A1 A5 A2 A4 集合A的 分划 , , 是A的一组非 空子集的集合，即 (A), 且满 足： 1. 对任意 xA, 存在某个 Ai, 使 得 xAi. i.e. Ai A


集合的划分 等价关系与集合划分的对应
等价关系的定义

满足性质：自反、对称、传递 “等于”关系的推广 例子
–
对3同余关系: RZZ， xRy iff. x y 是整数。
3
–
RNN， xRy iff. 存在正整数k，l，使得xk=yl。
等价类


R是非空集合A上的等价关系，xA，等价类 [x]R={y|yA xRy} 等价类的性质