5傅里叶级数PPT课件
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数学物理方法 第5章 傅里叶变换
0 xl l x 0 x l
-l 0
F(x)
l
x
图5.7(a)
1 l 1 l 1 l l a0 F ( x)dx f ( x) xdx l 0 l 0 l 0 2
2 l kx 2 l kx 2 l kx ak F ( x) cos dx f ( x) cos dx x cos dx 0 0 0 l l l l l l
k 1
a0 E (t )dt 2 2
1
0
E0 cost E 0 sin tdt 2
0
E0
E0 a k E0 sin t cos ktdt 0 2
0
[sin(k 1)t sin(k 1)t ]dt
解：
l 2 l kx 2 l kx l bk x sin dx x( ) cos 0 l l l k l 0 k
l 2 l l 2 kx 2l l ( )( 1) k ( ) sin (1) k 1 l k k l 0 k
f ( x)
0
A( ) cosxd
0
B( ) sin xd
（称为傅里叶积分式）
A( )
B( )
1
1
f ( x) cosxdx
f ( x) sin xdx
（称为傅里叶变换式）
在 f (x) 的间断点，傅里叶积分的值
1 [ f ( x 0) f ( x 0)] 2
例4：定义在区间 (0, l ) 上的函数 f ( x) x ，试把它 展开为傅里叶级数。 解:方法一：偶延拓法，所找的周期函数 F (x)为偶 函数,如图5.7(a)所示。
第4(5)章 傅里叶级数和变换
t0
2 2
f (t ) cos( n1t )dt
2 T1
2
E cos( n1t )dt
4 T1
0
E cos( n1t )dt
2
4E 1 sin n1t T1 n1
变
0
不 变
2E n an sin n T1
n sin 2E n T1 n n T1 T1 2 E n Sa ( ) T1 T1
§4.1 引言 信号与系统的时域分析→变换域分析（频域分析）
第四章 连续系统的频域分析P116
任一周期信号都可以用三角函数的线性组合来表示
1822年，法国数学家傅里叶提出；
Poisson、Gauss等将其应用到电学中；
20世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等为傅立 叶分析的应用开辟了广阔的前景 周期信号——傅里叶级数 非周期信号——傅里叶变换
T 2 T 2 T 2 T 2
(3) 半波重迭信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
-T/2
T/2
t
半波重叠周期信号只含有正弦与余弦 的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
(4) 半波镜像信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
T/2 0 T
t
半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇 次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。
④ t =±π，±2π，…±nπ；Sa(t)=0
正弦分量的幅度： bn
2 T1
t 0 T1
2 2
t0
f (t ) sin( n1t )dt
2 T1
傅里叶级数
在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 ,并且
至多只有有限个极值点, 则 f ( x)的傅里叶级数收敛,
并且
(1) 当x是 f ( x)的连续点时,级数收敛于f ( x);
(2)当 x是 f ( x)的间断点时,收敛于 f (x 0) f (x 0) ; 2
特别地，
当x为端点 x
±时
,收敛于 f ( 0) 2
叶级数，就是寻找一个三角级数
a0
2
n1
(an
cos nx
bn
sin
nx )
使得该级数以 f (x) 为和函数，即
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin
nx )
需解决的问题是：
（1）若能展开, ai , bi 是什么?
（2）展开的条件是什么?
1 傅立叶系数
如果有
f
(x)
a0 2
(an
sin
nxdx
0,
sin
mx
sin
nxdx
0, ,
(n 1,2,3,) mn
, mn
cos
mx
cos
nxdx
0, ,
mn ,
mn
sin mx cosnxdx 0.
(其中m,n 1,2,)
以上都可以通过有关积分运算来验证。
二、周期为2π的周期函数的傅立叶级数
设 f (x) 是以2π为周期的函数，所谓 f (x)的傅立
n1
cos nx
bn
sin
nx )
来求傅立叶系数 a0, an , bn , n 1, 2,3,
(1) 求a0
f ( x)dx
至多只有有限个极值点, 则 f ( x)的傅里叶级数收敛,
并且
(1) 当x是 f ( x)的连续点时,级数收敛于f ( x);
(2)当 x是 f ( x)的间断点时,收敛于 f (x 0) f (x 0) ; 2
特别地，
当x为端点 x
±时
,收敛于 f ( 0) 2
叶级数，就是寻找一个三角级数
a0
2
n1
(an
cos nx
bn
sin
nx )
使得该级数以 f (x) 为和函数，即
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin
nx )
需解决的问题是：
（1）若能展开, ai , bi 是什么?
（2）展开的条件是什么?
1 傅立叶系数
如果有
f
(x)
a0 2
(an
sin
nxdx
0,
sin
mx
sin
nxdx
0, ,
(n 1,2,3,) mn
, mn
cos
mx
cos
nxdx
0, ,
mn ,
mn
sin mx cosnxdx 0.
(其中m,n 1,2,)
以上都可以通过有关积分运算来验证。
二、周期为2π的周期函数的傅立叶级数
设 f (x) 是以2π为周期的函数，所谓 f (x)的傅立
n1
cos nx
bn
sin
nx )
来求傅立叶系数 a0, an , bn , n 1, 2,3,
(1) 求a0
f ( x)dx
第五章 傅里叶变换85页PPT
f (1) (0) 0 f (1) (l) 0
例1，要求在（- ，）上，f (x)=x2,
展开为Fourier 级数，在本题 展开所得中置 x=0，由此验证:
1212 312 412 122
解：f (x)=x2，为偶函数；bk 0
1
a0
02d313
0
2
3
kx
f(x)a 0 a kco s k 1
★得
bk
1 l
l l
f()sin kd
l
★称
a
、
k
bk
为周期函数的傅里叶系数！
4、狄里希利定理：
若f (x) 满足：
(1)处处连续，或在每个周期有 有限个第一类间断点；
(2)或在每个周期有有限个极值 点，则级数收敛，且
级数和
=
f (x)
1[f(x0)f(x0)] 2
(在连续点x ) (在间断点x )
l
sinx, sin2x, L, sinkx,L
l
l
l
★设f(x)为周期为 2l 的函数将 f (x) 展开
f(x)a 0k 1(akco kls xb ksikn lx)
3、再谈周期函数族的正交性
l 1coksxdx0
l
l
l
kx
1sin dx0
l
l
lcoksxconsxd x0 (k n)
l
lHale Waihona Puke llsiknxsin nxd x0
l
l
l
(k
n)
l kx nx
cos sin d x0
l
l
l
l cos
k
x
傅里叶级数
f ( x)
f (0 0) f (0 0) 1 ； 当 x 0 时，级数收敛于级数 2 2 x, x 0, f ( 0) f ( 0) 1 x 当 时，级数收敛于 。 1 , 0 x , 2 2
1 cos nx 0 1 cos nx [ ] [ ]0 n n
1 2 (1 cos n cos n 1) [1 (1) n ] n n
2 f ( x) (1 ( 1)n )sin nx n 1 n
x(,0) (0,)
2 n 2 [( 1) n 1]
2 2 [(1)n 1]cos nx 2 n 1 n
f ( x) x 1
2
x (0, )
1 当 x 0 时，级数收敛于 1; x 时,级数收敛于
y
y
o
x
o
x
F ( x)的图象.
2 f ( x) x 1 [1 ( 1)n ( 1)n ]sin nx n 1 n
x (0, )
当 x 0 和 x 时，级数收敛于 0.
y
y
y
o
x
o
x
o
x
f ( x )的图象.
F ( x )的图象.
S ( x )的图象.
（2）求余弦级数， 将 f ( x ) 作偶式延拓F ( x ) ，
bn 0 ( n 1, 2, 3, ) ，
2 a0 ( x 1)dx 2 ， 0
2 2 a n f ( x) cos nxdx ( x 1) cos nxdx 0 0 2 xsin nx cosnx sin nx 2 [ ]0 [cosn 1] 2 2 n n n n
第十五章傅里叶(Foueier)级数78页PPT
第十五章 傅里叶(Foueier)级数
§1 Fourier 级数 §2 以2l为周期的函数的展开式
第十五章 傅里叶(Foueier)级数
§1 Fourier级数
一 问题的提出
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t) 11 ,,
当 t0 当 0t
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加
bn )
收敛,则级数
a20n 1(anconsxbnsin)x
在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.
证 x R ,由 a n c于 n o b n x sn i n a x n b n ,
由M判别法即得定理结论.
2.定理(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件)
anco2snxdxan,
可得 an 1 f(x)co nsxd(x n1,2,3, )
(3)求bn.
f(x)sin nx da0xsin nxdx
2
[a k co kss xinnx b d k s xikn sxinnx ]d bn,x
a 2 0d x k 1a kck odx s x k 1b ksikn xd
a0 2, 2
可得 a0 1f(x)dx
(2)求an.
f(x)co nsxda 2 0x co nsxdx
[a k ck ocx sn os x b k d sx k in cx n os x ] d n 1
把以上得到的系数代入三角级数
a 2 0n 1(anco ns xbnsin n)x
该级数称为傅里叶级数 问题:
§1 Fourier 级数 §2 以2l为周期的函数的展开式
第十五章 傅里叶(Foueier)级数
§1 Fourier级数
一 问题的提出
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t) 11 ,,
当 t0 当 0t
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加
bn )
收敛,则级数
a20n 1(anconsxbnsin)x
在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.
证 x R ,由 a n c于 n o b n x sn i n a x n b n ,
由M判别法即得定理结论.
2.定理(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件)
anco2snxdxan,
可得 an 1 f(x)co nsxd(x n1,2,3, )
(3)求bn.
f(x)sin nx da0xsin nxdx
2
[a k co kss xinnx b d k s xikn sxinnx ]d bn,x
a 2 0d x k 1a kck odx s x k 1b ksikn xd
a0 2, 2
可得 a0 1f(x)dx
(2)求an.
f(x)co nsxda 2 0x co nsxdx
[a k ck ocx sn os x b k d sx k in cx n os x ] d n 1
把以上得到的系数代入三角级数
a 2 0n 1(anco ns xbnsin n)x
该级数称为傅里叶级数 问题:
傅里叶级数
偶性进行简化运算
当题目给出的函数在周期内
为奇函数时，相对应的傅里
叶级数为：
此时的傅里叶级数为：正弦
级数，如下：
求解傅里叶级数时利用奇
偶性进行简化运算
当题目给出的函数在周期内
为偶函数时，相对应的傅里
叶级数为：
此时的傅里叶级数为：余弦
级数，如下：
相应的例子
题目：f(X)=x+1（0<=x<=π),请相应的求展开的
对于f(X)的傅
里叶级数在任
何点x都是收
敛的，并且在
前提区间的求
和函数为：
可以看到当f(X)在x上连续时，该函数的傅里叶级数式收敛于函数本身的
对f(X)在x上连续
Байду номын сангаас
对f(X)在x上不连续
X=±
4.傅里叶级数的收敛定理
从收敛定理中可知：
即使函数有傅里叶级数的形式，但是也是在一些点上面是不连续的，但
是即使不连续，通过这个定理级数也收敛于左右极限的算术平均值
上，才能任意展开成为正弦级
数或者余弦级数，并且此函数
的傅里叶级数的形式是不唯一
的
谢谢观看，同学们学习进步噢！
正弦级数和预先级数
（1）求正弦级数的展开式
由于函数为奇函数所以带入以上推导出来的傅里叶级数的
参数方程可求：
相应的例子
题目：f(X)=x+1（0<=x<=π),请相应的求展开的
正弦级数和预先级数
（2）求余弦级数的展开式
由于函数为奇函数所以带入以上推导出来的傅里叶级数的
参数方程可求：
注意：这个函数只有在区间[0,π]
微积分
傅里叶级数
1.傅里叶级数的定义
当题目给出的函数在周期内
为奇函数时，相对应的傅里
叶级数为：
此时的傅里叶级数为：正弦
级数，如下：
求解傅里叶级数时利用奇
偶性进行简化运算
当题目给出的函数在周期内
为偶函数时，相对应的傅里
叶级数为：
此时的傅里叶级数为：余弦
级数，如下：
相应的例子
题目：f(X)=x+1（0<=x<=π),请相应的求展开的
对于f(X)的傅
里叶级数在任
何点x都是收
敛的，并且在
前提区间的求
和函数为：
可以看到当f(X)在x上连续时，该函数的傅里叶级数式收敛于函数本身的
对f(X)在x上连续
Байду номын сангаас
对f(X)在x上不连续
X=±
4.傅里叶级数的收敛定理
从收敛定理中可知：
即使函数有傅里叶级数的形式，但是也是在一些点上面是不连续的，但
是即使不连续，通过这个定理级数也收敛于左右极限的算术平均值
上，才能任意展开成为正弦级
数或者余弦级数，并且此函数
的傅里叶级数的形式是不唯一
的
谢谢观看，同学们学习进步噢！
正弦级数和预先级数
（1）求正弦级数的展开式
由于函数为奇函数所以带入以上推导出来的傅里叶级数的
参数方程可求：
相应的例子
题目：f(X)=x+1（0<=x<=π),请相应的求展开的
正弦级数和预先级数
（2）求余弦级数的展开式
由于函数为奇函数所以带入以上推导出来的傅里叶级数的
参数方程可求：
注意：这个函数只有在区间[0,π]
微积分
傅里叶级数
1.傅里叶级数的定义
第五章 傅里叶(Fourier)级数展开0408 0409 0413
c0 ck e
k 1
i
k x l
ck e
i
k x l
2 k 若2l T，则 w, kw wk l T l
k 1
k
ce
k
i
k x l
(5.1.13)
2 k 若2l T，则 w, kw wk l T l
类型四——实轴上有单极点函数的定积分：
f ( x)dx 2i
上半平面
Re sf ( z) i Re sf ( z)
实轴上
第五章 傅里叶(Fourier) 变换
掌握Fourier级数的展开方法 掌握Fourier积分与Fourier变换方法 了解δ函数的基本性质
在1759年拉格朗日(grange)表示不可能用三角级数来表 示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在 这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了 他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研 究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中 宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经 J.L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于 文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的 观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文 从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并 发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种 方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822年,也即 比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书 已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学 思想和数学成 就。
第一章 5-点阵傅里叶级数
5. 点阵傅里叶级数
与周期性结构有关的数学公式 1.点阵傅里叶级数 点阵傅里叶级数 设函数f(r)满足周期性边界条件 • 设函数 满足周期性边界条件
f (r ) = f (r + N j a j )
代表正格基矢， 为元胞数， 其中 a j ( j = 1,2,3)代表正格基矢，N 1 N 2 N 3 = N 为元胞数，根据傅里叶展开
只在正格点l上定义时 • 当f只在正格点 上定 1 / 2
k ∈BZ
∑
f k e ± ik •r
用于晶格振动
Ω 1/ 2 f k = ( ) ∑ f (l )e m ik •l N l
空间的函数， • 当f是k空间的函数，并满足 是 空间的函数
f (k ) = f (k + K )
Ω
∫ dτu∇v = − ∫ dτv∇u
Ω
Ω
dτu∇ 2 v = ∫ dτv∇ 2 u ∫
Ω
证明： 证明： 为任意函数， 正点阵的周期性， 设f(r)为任意函数，具有正点阵的周期性，它在在元胞内的积分 为任意函数 具有正点阵的周期性
I (r ' ) = ∫ dτf (r + r ' )
Ω
应与r’无关。 应与 无关。因此 无关
∇' I (r ' ) = 0 ∇' ' (r ' ) = 0
令r’=0，有 ，
Ω
∫ dτ∇f (r ) = 0
Ω
dτ∇ 2 f (r ) = 0 ∫
若假设
f ( r ) = u ( r )v ( r )
即可证明。 即可证明。 周期性函数的格林定理在能带理论中有重要应用。 周期性函数的格林定理在能带理论中有重要应用 格林定理在能带理论中有重要应用
与周期性结构有关的数学公式 1.点阵傅里叶级数 点阵傅里叶级数 设函数f(r)满足周期性边界条件 • 设函数 满足周期性边界条件
f (r ) = f (r + N j a j )
代表正格基矢， 为元胞数， 其中 a j ( j = 1,2,3)代表正格基矢，N 1 N 2 N 3 = N 为元胞数，根据傅里叶展开
只在正格点l上定义时 • 当f只在正格点 上定 1 / 2
k ∈BZ
∑
f k e ± ik •r
用于晶格振动
Ω 1/ 2 f k = ( ) ∑ f (l )e m ik •l N l
空间的函数， • 当f是k空间的函数，并满足 是 空间的函数
f (k ) = f (k + K )
Ω
∫ dτu∇v = − ∫ dτv∇u
Ω
Ω
dτu∇ 2 v = ∫ dτv∇ 2 u ∫
Ω
证明： 证明： 为任意函数， 正点阵的周期性， 设f(r)为任意函数，具有正点阵的周期性，它在在元胞内的积分 为任意函数 具有正点阵的周期性
I (r ' ) = ∫ dτf (r + r ' )
Ω
应与r’无关。 应与 无关。因此 无关
∇' I (r ' ) = 0 ∇' ' (r ' ) = 0
令r’=0，有 ，
Ω
∫ dτ∇f (r ) = 0
Ω
dτ∇ 2 f (r ) = 0 ∫
若假设
f ( r ) = u ( r )v ( r )
即可证明。 即可证明。 周期性函数的格林定理在能带理论中有重要应用。 周期性函数的格林定理在能带理论中有重要应用 格林定理在能带理论中有重要应用
§4-5 傅里叶级数逼近
n 1
称为f(x)的傅里叶级数，记为
f ( x) a0 2 (an cos nx bn sin nx)
n 1
5
(5)
特别地：如f(x)在[-,]上是奇函数，则
1 a n b 2 n
f ( x ) cos nxdx 0
收敛性及其和函数 周期函数展开成三角级数
首先讨论第二个问题： 设f(x)的周期是2，如果f(x)可以展开成三角函数（2），即
f ( x) a0 2 ( an cos nx bn sin nx)
n 1
为确定系数a0，an，bn，我们假定上式右端可逐项积分
3
由
f ( x )dx
第 步：画出f ( x)的图形； 1
第2步：求f ( x)的傅里叶系数 an bn 1
1
f ( x) cos nxdx
n 0,1, 2, n 1, 2,
f ( x ) sin nxdx
第3步：写出f ( x)的傅里叶级数 f ( x) a0 2 ( an cos nx bn sin nx)
1 3
sin 3x
1 4
sin 4 x
12 ( x 且x , 3 , )
例3 周期为2的周期函数f ( x) 2 sin 级数逼近。 4-5 （3） 1
x 3
( x )用傅里叶
解：
-3
-
y
0
3
x
f ( x) 2 sin
1 1 sin( n ) x sin( n ) x 2 3 3 1 1 n n 3 3
称为f(x)的傅里叶级数，记为
f ( x) a0 2 (an cos nx bn sin nx)
n 1
5
(5)
特别地：如f(x)在[-,]上是奇函数，则
1 a n b 2 n
f ( x ) cos nxdx 0
收敛性及其和函数 周期函数展开成三角级数
首先讨论第二个问题： 设f(x)的周期是2，如果f(x)可以展开成三角函数（2），即
f ( x) a0 2 ( an cos nx bn sin nx)
n 1
为确定系数a0，an，bn，我们假定上式右端可逐项积分
3
由
f ( x )dx
第 步：画出f ( x)的图形； 1
第2步：求f ( x)的傅里叶系数 an bn 1
1
f ( x) cos nxdx
n 0,1, 2, n 1, 2,
f ( x ) sin nxdx
第3步：写出f ( x)的傅里叶级数 f ( x) a0 2 ( an cos nx bn sin nx)
1 3
sin 3x
1 4
sin 4 x
12 ( x 且x , 3 , )
例3 周期为2的周期函数f ( x) 2 sin 级数逼近。 4-5 （3） 1
x 3
( x )用傅里叶
解：
-3
-
y
0
3
x
f ( x) 2 sin
1 1 sin( n ) x sin( n ) x 2 3 3 1 1 n n 3 3
高中数学(人教版)傅里叶级数课件
其导函数在[a, b]上除了至多有限个点外都存 并且在这有限个点上导函数
在且连续, 极限存在,
f 的左、右
则称 f 在
[a , b]上按段光滑.
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
在[a, b]上按段光滑的函数 f ,有如下重要性质: (i) f 在 (ii) 在
所产生的一般形式的三角级数. 容易验证,若三角级数(4)收敛, 则它的和一定是一
个以
为周期的函数. 2π
关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
定理15.1
若级数
| a0 | (| an | | bn, |) 收敛 2 n 1
(8)
( x ) ( x )dx 0,
a
b
则称 交性.
与 在 [a , b] 上是正交的,
由此三角函数系(5)在
或在
[a , b]上具有正
[ π, π] 上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
(10a ) (10b周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
以的傅里叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三
角函数系) 的傅里叶级数,
记作
a0 f ( x ) ~ (an cos nx bn sin nx ). 2 n1
这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级
π
(7)
§1 傅里叶级数
傅里叶变换详解(课堂PPT)
的拉氏逆变换．
5
7.1 傅里叶级数
本节简明扼要地复习高等数学中的傅里叶级数基本内容
7.1.1 周期函数的傅里叶展开
定义7.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数
若函数 f ( x )以 2 l 为周期，即为
f(x2l)f(x)
6
的光滑或分段光滑函数，且定义域为 [ l , l ] ，则可取三角
另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时， 就得到不同名称的积分变换:
3
（1）特别当核函数 K(t, )ei（t 注意已将积分参
变量 改写为变量 ），当 a,b，则
F() f(t)eitdt
称函数F ( ) 为函数 f ( t ) 的傅里叶（Fourier）变换，
简称 F ( ) 为函数 f ( t ) f 的傅氏变换．同时我们称 ( t ) 为 F ( ) 的傅里叶逆变换．
7
式（7.1.3）称为周期函数 f ( x ) 的傅里叶级数展开式
（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简 称傅氏系数）．
函数族 (7.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘 积在一个周期上的积分等于零，即
8
l 1cos kπx d x 0
l
l
l 1 sin kπx d x 0
l
l
bk
1 l
l l
f (x)sin(kπx)d x l
（7.1.4）
其中
k
2 1
(k 0) (k 0)
关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：
狄利克雷（Dirichlet）定理 7.1.1 若函数 f ( x ) 满足条件：
10
(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；
5
7.1 傅里叶级数
本节简明扼要地复习高等数学中的傅里叶级数基本内容
7.1.1 周期函数的傅里叶展开
定义7.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数
若函数 f ( x )以 2 l 为周期，即为
f(x2l)f(x)
6
的光滑或分段光滑函数，且定义域为 [ l , l ] ，则可取三角
另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时， 就得到不同名称的积分变换:
3
（1）特别当核函数 K(t, )ei（t 注意已将积分参
变量 改写为变量 ），当 a,b，则
F() f(t)eitdt
称函数F ( ) 为函数 f ( t ) 的傅里叶（Fourier）变换，
简称 F ( ) 为函数 f ( t ) f 的傅氏变换．同时我们称 ( t ) 为 F ( ) 的傅里叶逆变换．
7
式（7.1.3）称为周期函数 f ( x ) 的傅里叶级数展开式
（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简 称傅氏系数）．
函数族 (7.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘 积在一个周期上的积分等于零，即
8
l 1cos kπx d x 0
l
l
l 1 sin kπx d x 0
l
l
bk
1 l
l l
f (x)sin(kπx)d x l
（7.1.4）
其中
k
2 1
(k 0) (k 0)
关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：
狄利克雷（Dirichlet）定理 7.1.1 若函数 f ( x ) 满足条件：
10
(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；
《傅里叶变换详解》课件
单击添加标题
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
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应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
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展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
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应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
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展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
傅里叶级数课件分解39页PPT
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
傅里叶级数课件分解
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉Байду номын сангаас。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
谢谢！
傅里叶级数课件分解
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉Байду номын сангаас。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
第三章傅里叶变换90页PPT
• 例题：已知信号f(t)=cos100t,求其频谱Fn。
Fn
0.5
解：
f(t)1(ej10t0ej10t0)
所以
2 F1
F1
1 2
,
其F余 n0， n1
-w1
w1
nw1
• 例题：已知信号f(t)的频谱Fn如图所示，求信号f(t)。
解： F 0 2 ,F 1 F 1 2 ,F 2 F 2 1
三角形式的傅里叶级数也可表示成：
f(t)c0 cncos(n1tn)
其中 c n 2 a n 2 b n 2
n1n a rc ta n ( a b n n)
（2）
c 0 a 0
an为 n 1 的偶函数， b n 为 n 1 的奇函数
cn为 n 1 的偶函数， n为 n 1 的奇函数
例题 求题图所示的周期矩形信号的三角形式傅里叶级数。
其中
aan0 n 1T21T11tt00tt0T 01Tf1(tf)c(t)odnst1tdt•角级f(函数t)分数。解线为性不组同合频的率无三穷
推导
2
bn
T1
t0T1 t0
f(t)s
in1tdt
基波，二次谐波….n次谐波
傅里叶级数表明信号中各次谐波的分布。
f(t)a0 (anco ns1tbnsinn 1t) n1
（2）谐波性 -------- 谱线出现在基波频率 1 的整数倍上。
（1）
n 1
f(t)c0 cncon s1(tn)
（2）
n1
f (t)
Fnejn1t
n
f(t) →Fn建立一一对应关系。
（3）
不同时域信号对应的Fn不同，因此可以通过研究Fn来研究 信号的特性。Fn是频率的函数，它反映了组成信号的各次谐波的幅 度和相位变化规律称为频谱函数。可直观地看出各频率分量的相对 大小和相位情况，这样的图就称为信号的幅度频谱和相位频谱。
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傅里叶级数
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傅里叶级数
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傅里叶级数
f(x)的傅里叶积分！
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傅里叶级数
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傅里叶级数
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傅里叶级数
28
傅里叶级数
29
傅里叶级数
30
事实上，我们本节就将引入半幅傅里叶级数 (half-range Fourier serise)处理此类问题
11
傅里叶级数 如果函数Φ(x)在[0,L]上是分段光滑的，则其 有正弦函数展开式：
下面我们尝试推导展开系数Cn,之前我们先计算下面几个积分：
12
傅里叶级数
13
傅里叶级数
14
傅里叶级数
下面计算各展开系数：
4
傅里叶级数
这里，我们给出了一个周期为2π的函数f(x)的
傅里叶级数展开形式！
5
傅里叶级数
6
傅里叶级数
7
傅里叶级数
n
8
1( x)
2
傅里叶级数
9
傅里叶级数
10
二 半幅傅里叶级数
傅里叶级数
我们实际会碰到很多定义在有限区间[0,L]上 的任意函数Φ(x开。
傅里叶级数
一 周期函数的傅里叶级数
泰勒级数的展开是基底函数取1, x, x2, x3, ..... 而一个函数按照傅里叶级数展开时，其基底函 数取为1, cosx, cos2x, cos3x, ...., sinx, sin2x, sin3x, .... 并且与泰勒级数展开不同的是，傅里叶级数中 任意两个不同的基底函数在[0,2π]上是正交的：
1
傅里叶级数 一般我们将傅里叶级数表示为： 其中的a0, an, bn 是展开系数。
2
傅里叶级数 现在我们将一个周期为2π的函数f(x)按照傅里叶级数 的形式展开，并求其中的展开系数a0, an, bn ： 我们首先将函数f(x)在[0,2π]范围内积分
马上我们得到：
3
傅里叶级数 为了计算an，我们将函数f(x)乘以cosmx并在[0,2π] 范围内积分，得到以下：
15
傅里叶级数
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傅里叶级数
17
傅里叶级数
18
傅里叶级数
19
傅里叶级数
三 傅里叶积分
以上我们讨论了周期函数与有限区间的半幅傅里叶级数，
那么对于一个定义在 (,)区间的非周期函数，下面
我们讨论怎么对其进行傅里叶展开。 傅里叶级数扩展到连续变化的情况，即傅里叶积分。
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傅里叶级数
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事实上，我们本节就将引入半幅傅里叶级数 (half-range Fourier serise)处理此类问题
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傅里叶级数 如果函数Φ(x)在[0,L]上是分段光滑的，则其 有正弦函数展开式：
下面我们尝试推导展开系数Cn,之前我们先计算下面几个积分：
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傅里叶级数
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傅里叶级数
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傅里叶级数
下面计算各展开系数：
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傅里叶级数
这里，我们给出了一个周期为2π的函数f(x)的
傅里叶级数展开形式！
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1( x)
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傅里叶级数
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傅里叶级数
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二 半幅傅里叶级数
傅里叶级数
我们实际会碰到很多定义在有限区间[0,L]上 的任意函数Φ(x开。
傅里叶级数
一 周期函数的傅里叶级数
泰勒级数的展开是基底函数取1, x, x2, x3, ..... 而一个函数按照傅里叶级数展开时，其基底函 数取为1, cosx, cos2x, cos3x, ...., sinx, sin2x, sin3x, .... 并且与泰勒级数展开不同的是，傅里叶级数中 任意两个不同的基底函数在[0,2π]上是正交的：
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傅里叶级数 一般我们将傅里叶级数表示为： 其中的a0, an, bn 是展开系数。
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傅里叶级数 现在我们将一个周期为2π的函数f(x)按照傅里叶级数 的形式展开，并求其中的展开系数a0, an, bn ： 我们首先将函数f(x)在[0,2π]范围内积分
马上我们得到：
3
傅里叶级数 为了计算an，我们将函数f(x)乘以cosmx并在[0,2π] 范围内积分，得到以下：
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傅里叶级数
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傅里叶级数
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傅里叶级数
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傅里叶级数
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傅里叶级数
三 傅里叶积分
以上我们讨论了周期函数与有限区间的半幅傅里叶级数，
那么对于一个定义在 (,)区间的非周期函数，下面
我们讨论怎么对其进行傅里叶展开。 傅里叶级数扩展到连续变化的情况，即傅里叶积分。
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