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人教版八年级数学上《整式的乘法》拔高练习

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2020年人教版八年级数学上册 章节专项提高练习《整式的乘除与因式分解》(含答案)

2020年人教版八年级数学上册 章节专项提高练习《整式的乘除与因式分解》(含答案)

2020年人教版八年级数学上册 章节专项提高练习《整式的乘除与因式分解》1.若(x ﹣2)(x 2+ax+b)的积中不含x 的二次项和一次项，求(2a+b+1)(2a ﹣b ﹣1)﹣(a+2b)(﹣2b+a)+2b 的值.2.（1）如图是用4个全等的长方形拼成的一个“回形”正方形，图中阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，这个等式为 ．（2）若(4x ﹣y)2=9，(4x+y)2=169，求xy 的值．3.比较下列四个算式结果的大小(在横线上填“>”“<”或“=”).(1)42+52_______2×4×5;(2)(-1)2+22_______2×(-1)×2;(3)(-3)2+312______2×(-3)×31; (4)32+32_______2×3×3;(5)请通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论.4.观察下列各式的规律：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4…可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）= ．5.在日历上，我们发现某些数会满足一定的規律，比如2016年1月份的日历，我们设计这样的算法：任意选择其中的2×2方框，将方框中4个位置上的数先平方，然后交叉求和，再相减请你按照这个算法完成下列计算，并回答以下问题[2016年1月份的日历](1)计算：(12+92)﹣(22+82)= ，﹣= ，自己任选一个有4个数的方框进行计算 (2)通过计算你发现什么规律，并说明理由.6.阅读:已知x2y=3,求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值.分析:考虑到x,y的可能值较多,不能逐一代入求解,故考虑整体思想,将x2y=3整体代入.解:2xy(x5y2-3x3y-4x)=2x6y3-6x4y2-8x2y=2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y=2×33-6×32-8×3=-24.你能用上述方法解决以下问题吗?试一试!已知ab=3,求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值.7.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？8.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).(1)图1中阴影部分面积为 ，图2中阴影部分面积为 ，对照两个图形的面积可以验证 公式(填公式名称)请写出这个乘法公式 .(2)应用(1)中的公式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2=15，x+2y=3，求x﹣2y的值；②计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1.9.在形如a b=N的式子中，我们已经研究过两种情况：已知a和b求N，这是乘方运算：已知b 和N求a，这是开方运算，现在我们研究第三种情况：已知a和N求b，我们称这种运算为对数运算.定义：如果23=8，所以log28=3：因为32=9，所以log39=2，根据以上信息回答下列问题：(1)计算：log381= ，log33= ，log636= ，log x16=4，则x= .(2)设a x=M，a y=N(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)，猜想log a MN和log a的结果，并证明.(3)计算：①log2(2×4×8×16×32×64)；②log3；③log93+log927.10.阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．参考答案1.解：(x ﹣2)(x 2+ax+b)=x 3+ax 2+bx ﹣2x 2﹣2ax ﹣2b=x 3+(a ﹣2)x 2+(b ﹣2a)x ﹣2b ，∵(x ﹣2)(x 2+ax+b)的积中不含x 的二次项和一次项，∴a ﹣2=0且b ﹣2a=0，解得：a=2、b=4，(2a+b+1)(2a ﹣b ﹣1)﹣(a+2b)(﹣2b+a)+2b=(2a)2﹣(b+1)2﹣(a 2﹣4b 2)+2b=4a 2﹣b 2﹣2b ﹣1﹣a 2+4b 2+2b=3a 2+3b 2﹣1，当a=2、b=4时，原式=3×22+3×42﹣1=12+48﹣1=59.2.解：（1）（b+a ）2﹣（b ﹣a ）2=4ab（2）（4x+y ）2﹣（4x ﹣y ）2=16xy=160，∴xy=10．3.解：(1)>.(2)>.(3)>.(4)=.(5)结论：对于任意有理数a ，b ，都有a 2+b 2≥2ab.当a ≠b 时，a 2+b 2>2ab ；当a=b 时，a 2+b 2=2ab.4.解：（a ﹣b ）（a+b ）=a 2﹣b 2；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）=a 3﹣b 3；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4﹣b 4；…可得到（a ﹣b ）（a 2016+a 2015b+…+ab 2015+b 2016）=a 2017﹣b 2017，故答案为：a 2017﹣b 20175.解：(1)(12+92)﹣(22+82)=1+81﹣4﹣64=14﹣=100+324﹣121﹣289=14，(32+112)﹣(42+102)=9+121﹣16﹣100=14，故答案为：14；(2)计算结果等于14，理由是：设最小的数字为n ，则其余三个分别为n+8，n+1，n+7，所以[n 2+(n+8)2]﹣[(n+1)2+(n+7)2]=n 2+n 2+16n+64﹣n 2﹣2n ﹣1﹣n 2﹣14n ﹣49=14.6.原式=-4a 3b 3+6a 2b 2-8ab=-4(ab)3+6(ab)2-8ab,当ab=3时,原式=-4×33+6×32-8×3=-108+54-24=-78.7.解：（1）找规律：2244120=⨯=-， 22124342=⨯=-， 22204564=⨯=-， 22284786=⨯=-， ……2220124503504502=⨯=-，所以28和2012都是神秘数．（2）()()()22222421k k k +-=+，因此由这两个连续偶数22k +和2k 构造的神秘数是4的倍数．（3）由（2）知，神秘数可以表示成()421k +，因为21k +是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数．另一方面，设两个连续奇数为21n +和21n -，则()()2221218n n n +--=，即两个连续奇数的平方差是8的倍数． 因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数．8.解：(1)图1中阴影部分面积为a 2﹣b 2，图2中阴影部分面积为(a+b)(a ﹣b)，对照两个图形的面积可以验证平方差公式：a 2﹣b 2=(a+b)(a ﹣b).故答案为：a 2﹣b 2，(a+b)(a ﹣b)，平方差，a 2﹣b 2=(a+b)(a ﹣b).(2)①∵x 2﹣4y 2=(x+2y)(x ﹣2y)，∴15=3(x ﹣2y)，∴x ﹣2y=5；②(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1=(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1=(24﹣1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1=(28﹣1)(28+1)……(264+1)+1=(264﹣1)(264+1)+1=2128﹣1+1=2128.9.解：(1)log 381=log 334=4，log 33=1，log 636=log 662=2，log x 16=4，则x=2；答案为：4；1；2；2；(2)log a MN=log a M+log a N ；log a =log a M ﹣log a N ；证明：log a MN=log a a x •a y =log a a x+y =x+y ；log a M+log a N=x+y ，则log a MN=log a M+log a N ；log a =log a =log a a x ﹣y =x ﹣y ；log a M ﹣log a N=x ﹣y ，则log a =log a M ﹣log a N ；(3)①原式=log 22+log 24+log 28+log 216+log 232+log 264=1+2+3+4+5+6=21；②原式=log 3243﹣log 381=5﹣4=1；③原式=log 93×27=log 981=2.一、综合题10.解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，∴（a+3b）2+（b+1）2=0，∴a+3b=0，b+1=0，解得b=﹣1，a=3，则a﹣b=4；（2）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，∴2a2﹣4a++2+b2﹣6b+9=0，∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2=0，则a﹣1=0，b﹣3=0，解得，a=1，b=3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，∴△ABC的周长为1+3+3=7；（2）∵x+y=2，∴y=2﹣x，则x（2﹣x）﹣z2﹣4z=5，∴x2﹣2x+1+z2+4z+4=0，∴（x﹣1）2+（z+2）2=0，则x﹣1=0，z+2=0，解得x=1，y=1，z=﹣2，∴xyz=2．。

人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解（提升篇）（Word版 含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．若()(1)x m x +-的计算结果中不含x 的一次项，则m 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2．【答案】A【解析】【分析】根据多项式相乘展开可计算出结果.【详解】 ()()1x m x +-=x 2+(m-1)x-m ，而计算结果不含x 项，则m-1=0，得m=1.【点睛】本题考查多项式相乘展开系数问题.2．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2＋2b 2＋c 2－2b(a ＋c)＝0，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．不能确定【答案】B【解析】【分析】运用因式分解，首先将所给的代数式恒等变形；借助非负数的性质得到a =b =c ，即可解决问题．【详解】∵a 2+2b 2+c 2﹣2b （a +c ）=0，∴（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2=0；∵（a ﹣b ）2≥0，（b ﹣c ）2≥0，∴a ﹣b =0，b ﹣c =0，∴a =b =c ，∴△ABC 为等边三角形． 故选B ．【点睛】本题考查了因式分解及其应用问题．解题的关键是牢固掌握因式分解的方法，灵活运用因式分解来分析、判断、推理活解答．3．已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边的长度，且满足a 2－b 2=c （a －b ），则△ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 【答案】C【解析】【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b ，即可确定出三角形形状．【详解】已知等式变形得：（a+b ）（a-b ）-c （a-b ）=0，即（a-b ）（a+b-c ）=0，∵a+b-c≠0，∴a-b=0，即a=b ，则△ABC 为等腰三角形．故选C ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．规定一种运算：a*b=ab+a+b ，则a*（﹣b ）+a*b 的计算结果为（ ）A ．0B ．2aC ．2bD ．2ab【答案】B【解析】【分析】【详解】解：∵a*b=ab+a+b∴a*（﹣b ）+a*b=a （﹣b ）+a -b+ab+a+b=﹣ab+a -b+ab+a+b=2a故选B ．考点：整式的混合运算．5．如图，从边长为(4a )cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（1a +）cm 的正方形（0a >），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )A ．22(25)a a cm +B ．2(315)a cm +C ．2(69)a cm +D ．2(615)a cm +【答案】D【解析】【分析】 利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．【详解】矩形的面积为：（a+4）2-（a+1）2=（a 2+8a+16）-（a 2+2a+1）=a 2+8a+16-a 2-2a-1=6a+15．故选D ．6．已知a ﹣b =2，则a 2﹣b 2﹣4b 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】【分析】原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】∵a ﹣b =2，∴原式=(a +b )(a ﹣b )﹣4b =2(a +b )﹣4b =2a +2b ﹣4b =2(a ﹣b )=4．故选：B ．【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．7．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）A ．(a ＋1)(a －1)＝a 2－1B ．a 2－6a ＋9＝(a －3)2C ．x 2＋2x ＋1＝x (x ＋2x )＋1D ．－18x 4y 3＝－6x 2y 2·3x 2y【答案】B【解析】【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．【详解】A 、是多项式乘法，不是因式分解，错误；B 、是因式分解，正确．C 、右边不是积的形式，错误；D 、左边是单项式，不是因式分解，错误．故选B ．【点睛】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解．8．若2149x kx ++是完全平方式，则实数k 的值为（ ）A．43B．13C．43±D．13±【答案】C【解析】【分析】本题是已知平方项求乘积项，根据完全平方式的形式可得出k的值．【详解】由完全平方式的形式（a±b）2=a2±2ab+b2可得：kx=±2•2x•13，解得k=±43．故选：C【点睛】本题关键是有平方项求乘积项，掌握完全平方式的形式（a±b）2=a2±2ab+b2是关键．9．已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（）A．b>0，b2-ac≤0 B．b＜0，b2-ac≤0C．b>0，b2-ac≥0 D．b＜0，b2-ac≥0【答案】D【解析】【分析】根据题意得a+c=2b，然后将a+c替换掉可求得b＜0，将b2-ac变形为()24a c-，可根据平方的非负性求得b2-ac≥0.【详解】解：∵a-2b+c=0，∴a+c=2b，∴a+2b+c=4b＜0，∴b＜0，∴a2+2ac+c2=4b2，即22 224a ac c b++=∴b2-ac=()22222220 444a ca ac c a ac cac-++-+-==≥，故选：D.【点睛】本题考查了等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键. 10．下列运算中正确的是( )A ．236a a a ⋅=B ．()325a a =C ．226235a a a +=D ．()()22224a b a b a b +--=【答案】D【解析】【分析】 根据同底数幂的乘法，可判断A 和B ，根据合并同类项，可判断C ，根据平方差公式，可判断D ．【详解】A. 底数不变指数相加，故A 错误；B. 底数不变指数相乘，故B 错误；C. 系数相加字母部分不变，故C 错误；D. 两数和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差，故D 正确；故选D.【点睛】本题考查了平方差公式、合并同类项以及同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握平方差公式、合并同类项以及同底数幂的乘法的运算.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．“元旦”期间小明去永辉超市购物，恰逢永辉超市“满1400减99元”促销活动，小明准备提前购置一些年货A 和B ，已知A 和B 的单价总和是100到200之间的整数，小明粗略测算了一下发现自己所购年货总价为1305元，不能达到超市的促销活动金额. 于是小明又购买了A 、B 各一件，这样就能参加超市的促销活动，最后刚好付款1305元. 小明经仔细计算发现前面粗略测算时把A 和B 的单价看反了，那么小明实际总共买了______件年货.【答案】22【解析】【分析】设A 单价为a 元，实际购买x 件，B 单价为b 元，实际购买y 元，根据题意列出方程组130599(1)(1)1305ax by a y b x +=+⎧⎨-+-=⎩，将两个方程相加得到(1)(1)2709a x y b x y +-++-=，分解因式得()(1)33743a b x y ++-=⨯⨯⨯，由A 和B 的单价总和是100到200之间的整数得到()(1)12921a b x y ++-=⨯，由此求得答案.【详解】设A 单价为a 元，实际购买x 件，B 单价为b 元，实际购买y 元，130599(1)(1)1305ax by a y b x +=+⎧⎨-+-=⎩， ∴(1)(1)2709a x y b x y +-++-=，∴()(1)33743a b x y ++-=⨯⨯⨯，∵A 和B 的单价总和是100到200之间的整数，即100a b 200<+<，∴()(1)12921a b x y ++-=⨯，即129a b +=， 121x y +-=，∴x+y=22，故答案为：22.【点睛】此题考查因式分解，设未知数列出方程组后将两个方程相加再因式分解是关键的步骤，根据A 和B 的单价总和确定出x+y 的值.12．在边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形()a b >，再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②．根据这两个图形的面积关系，用等式表示是____________．【答案】a 2-b 2=(a+b)(a-b)【解析】【分析】根据正方形的面积公式和梯形的面积公式，即可求出答案.【详解】∵第一个图形的面积是a 2-b 2，第二个图形的面积是12（b ＋b ＋a ＋a ）（a －b ）＝（a ＋b ）（a －b ）， ∴根据两个图形的阴影部分的面积相等得：a 2-b 2=(a+b)(a-b).故答案为a 2-b 2=(a+b)(a-b).【点睛】 本题考查了平方差公式得几何背景，熟练掌握平方差公式的定义是本题解题的关键.13．在实数范围内因式分解：22967x y xy --=__________． 【答案】122122933xy xy ⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】将原多项式提取9，然后拆项分组为222189399x y xy ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，利用完全平方公式将前一组分解后，再利用平方差公式继续在实数范围内分解.【详解】解：22967x y xy -- 2227=939x y xy ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 222117=9+3999x y xy ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ 218=939xy ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦11=93333xy xy ⎛⎫⎛---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11=933xy xy ⎛+--- ⎝⎭⎝⎭故答案为：9xy xy ⎛⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查在实数范围内因式分解，利用分组分解法将原多项式“三一”分组后采用公式法因式分解，注意在实数范围内因式分解是指系数可以是根式.14．5(m －n)4-(n-m)5可以写成________与________的乘积．【答案】 (m-n)4， （5+m-n ）【解析】把多项式5(m －n)4-(n-m)5运用提取公因式法因式分解即可得5(m －n)4-(n-m)5=(m －n)4（5+m-n ）.故答案为：(m-n)4，（5+m-n ）.15．因式分解:214y y ++=______ 【答案】212y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【解析】根据完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±进行因式分解为：2222111124222y y y y y ⎛⎫⎛⎫++=+⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：212y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ .16．4x(m －n)＋8y(n －m)2中各项的公因式是________.【答案】4(m －n)【解析】根据题意，先变形为4x(m －n)＋8y(m －n)2，把m-n 看做一个整体，即可找到公因式4（m-n ）.故答案为：4（m-n ）.点睛：此题主要考查了提公因式法因式分解，根据公因式的特点，利用整体法确定公因式即可，关键是要把n-m 与m-n 变形为统一的式子.17．若22(3)16x m x +-+是关于x 的完全平方式，则m =__________． 【答案】7或-1【解析】【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案．详解：∵x 2+2（m-3）x+16是关于x 的完全平方式，∴2（m-3）=±8，解得：m=-1或7，故答案为-1或7．点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．18．若x ﹣1x=2，则x 2+21x 的值是______． 【答案】6【解析】 根据完全平方公式，可知（x ﹣1x ）2= x 2-2+21x =4，移项整理可得x 2+21x=6. 故答案为6.点睛：此题主要考查了整式的乘法，解题关键是利用完全平方公式进行变形，然后化简整理即可求解，注意整体思想的应用，比较简单，是常考题.19．因式分解：mn （n ﹣m ）﹣n （m ﹣n ）=_____．【答案】()()1n n m m -+【解析】mn(n-m)-n(m-n)= mn(n-m)+n(n-m)=n(n-m)(m+1)，故答案为n(n-m)(m+1).20．若2a b +=，3ab =-，则代数式32232a b a b ab ++的值为__________．【答案】-12【解析】分析：对所求代数式进行因式分解，把2a b +=，3ab =-，代入即可求解. 详解：2a b +=，3ab =-，()()23223222223212.a b a b ab ab a ab b ab a b ++=++=+=-⨯=- ， 故答案为：12.-点睛：考查代数式的求值，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键.。

第14章 整式的乘法与因式分解 人教版数学八年级上册综合提升卷(含答案)

第14章 整式的乘法与因式分解 人教版数学八年级上册综合提升卷(含答案)

第十四章综合提升卷范围:整式的乘法与因式分解　时间:90分钟　分值:100分第Ⅰ卷　(选择题　共30分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列计算正确的是( )A.a3·a2=a6B.(a3)2=a5C.a6÷a3=a3D.a2+a3=a52.计算2a2·3a4的结果是( )A.5a6B.5a8C.6a6D.6a83.计算(1+y)(1-y)的结果是( )A.1+y2B.-1-y2C.1-y2D.-1+y24.对于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形,表述正确的是( )A.都是因式分解B.都是乘法运算C.①是因式分解,②是乘法运算D.①是乘法运算,②是因式分解5.如图果(a m b n)2=a8b6,那么m2-2n的值是( )A.10B.52C.20D.326.计算(-x2y3)3·(-xy2)的结果是( )A.-x7y11B.x7y11C.x6y8D.-x7y87.计算-4a3(-a2+a)的结果是( )A.4a5-4a4B.-4a5+4a4C.-4a6-4a4D.4a5-4a38.将多项式4x2+1再加上一项,使它能分解因式成(a+b)2的形式,以下是四名学生所加的项,其中错误的是( )A.2xB.-4xC.4x4D.4x9.已知3a=8,9b=2,则32a-4b+1÷(-3)0的值是( )A.48B.16C.12D.810.如图,两个正方形的边长分别为a,b,如图果a+b=18,ab=60,那么图中阴影部分的面积为( )A .144B .72C .68D .36请将选择题答案填入下表:题号12345678910总分答案第Ⅱ卷　(非选择题　共70分)二、填空题(每小题3分,共18分)11.当a ,b 互为相反数时,式子a 2+ab-2的值为 .12.若x 2+2x+m 是一个完全平方式,则m= .13.一个长方形的面积为a 2+2a ,若它的宽为a ,则它的长为 .14.计算:(-7)2021×-172019= . 15.已知m ,n 为实数,且x 2+x+m=(x-3)(x+n ),则m+n= .16.对于任何实数,我们规定符号|a b c d |的意义:|a b c d |=ad-bc.按照这个规定计算:当x 2-3x+1=0时,|x +1 3x x -2 x -1|的值为 . 三、解答题(共52分)17.(6分)用简便方法计算:1017×967.18.(6分)分解因式:(1)3a 2-27; (2)-4a 2x 2+8ax-4.19.(6分)下面是音音同学在笔记本上完成课堂练习的解题过程:(2x+1)(2x-1)-(x-3)2=2x2-1-(x2-3x+9)第一步=2x2-1-x2+3x-9第二步=x2+3x-10.第三步老师让同桌互相核对,同桌佳佳和音音的答案不一样,在仔细对比了自己和音音书写的过程后,佳佳说:“你在第一步出现了两个错误,导致最后错了.”音音自己检查后发现佳佳说的是正确的.解答下列问题:(1)请你用标记符号“⚪”在以上音音解答过程的第一步中分别圈出两个错误之处;(2)请你写出此题正确的解答过程.20.(6分)观察下列各式:1×2×3×4+1=25=52;①2×3×4×5+1=121=112;②3×4×5×6+1=361=192;③ = = ;④…(1)请补全第④个式子;(2)写出第(n为正整数)个等式,并验证你写出的第个等式的正确性.21.(6分)如图,有多张长方形和正方形的卡片,图甲是选取了两张不同的卡片拼成的一个图形,借助图中阴影部分面积的不同表示方法可以验证等式a(a+b)=a2+ab成立.(1)根据图乙,利用面积的不同表示方法,写出一个代数恒等式;(2)试写出一个与(1)中代数恒等式类似的等式,并用上述拼图的方法说明它的正确性.22.(7分)学校原有一块长为a米,宽为b米(b<a)的长方形场地,现因校园建设需要,将该长方形场地的长减少了3米,宽增加了3米,结果使场地的面积增加了48平方米.(1)求a-b的值;(2)若a2+b2=5261,求原长方形场地的面积.23.(7分)已知(x2-3x-2)(ax+1)的展开式中不含有x的一次项,求2a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)+1的值.24.(8分)阅读理解:已知多项式2x2+5x+m的一个因式为x+1,求另一个因式及m的值.解:设另一个因式为2x+a.则(x+1)(2x+a)=2x2+5x+m,即2x2+(2+a)x+a=2x2+5x+m.从而2+a=5,a=m,解得a=3,m=3.则另一个因式为2x+3,m的值为3.仿照以上解题过程,解答下列问题:已知多项式3x2-5x+n的一个因式为x-2,求另一个因式及n 的值.答案1.C2.C3.C4.C5.A ∵(a m b n )2=a 2m b 2n =a 8b 6,∴m=4,n=3.∴m 2-2n=42-2×3=16-6=10.6.B (-x 2y 3)3·(-xy 2)=-x 6y 9·(-xy 2)=x 7y 11.7.A8.A 添加-4x ,有4x 2+1-4x=(2x-1)2;添加4x 4,有4x 4+4x 2+1=(2x 2+1)2;添加4x ,有4x 2+1+4x=(2x+1)2.显然选项A 错误.9.A 原式=32a ÷34b ×31=82÷22×3=48.故选A .10.B 由题意,得AB=AD=a ,CG=FG=b ,BG=BC+CG=a+b ,∴S 阴影=S 正方形ABCD +S 正方形ECGF -S Rt △ABD -S Rt △FBG =AB ·AD+CG ·FG-12AB ·AD-12BG ·FG=a 2+b 2-12a 2-12(a+b )b=12(a 2+b 2-ab )=12[(a+b )2-3ab ].∵a+b=18,ab=60,∴S 阴影=12×(182-3×60)=72.故选B .11.-2 由题意得a+b=0,则原式=a (a+b )-2=0-2=-2.12.1 ∵x 2+2x+m 是一个完全平方式,∴x 2+2x+m=x 2+2x×1+12.∴m=1.13.a+2 ∵(a 2+2a )÷a=a+2,∴它的长为a+2.14.49 (-7)2021×-172019=(-7)×(-17)2019×(-7)2=49.15.-8 将已知等式整理,得x 2+x+m=(x-3)(x+n )=x 2+(n-3)x-3n ,∴n-3=1,m=-3n ,解得m=-12,n=4.∴m+n=-12+4=-8.故答案为-8.16.1　根据题中的新定义,得原式=(x+1)(x-1)-3x(x-2)=x2-1-3x2+6x=-2x2+6x-1=-2(x2-3x)-1.由x2-3x+1=0,得x2-3x=-1.则原式=2-1=1.17.解:原式=10+17×10-17=102-172=100-149=994849.18.解:(1)3a2-27=3(a2-9)=3(a+3)(a-3).(2)-4a2x2+8ax-4=-4(a2x2-2ax+1)=-4(ax-1)2.19.解:(1) 2x2○-1-(x2-3x○+9)(2)(2x+1)(2x-1)-(x-3)2=4x2-1-(x2-6x+9)=4x2-1-x2+6x-9=3x2+6x-10.20.解:(1)4×5×6×7+1　841　292(2)第个等式为n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.验证:n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n(n+3)(n+1)(n+2)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2.21.解:(1)观察图乙知长方形的长为a+2b,宽为a+b,面积为(a+2b)(a+b),也可表示为a2+3ab+2b2,∴(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2. (2)(答案不唯一)代数恒等式是(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2.如图图所示(图形不唯一).22.解:(1)由题意,得(a-3)(b+3)-ab=48,3a-3b=57,a-b=19.(2)∵a-b=19,∴(a-b)2=361,即a2-2ab+b2=361.又a2+b2=5261,∴ab=2450.答:原长方形场地的面积是2450平方米.23.解:(x2-3x-2)(ax+1)=ax3+x2-3ax2-3x-2ax-2=ax3+(1-3a)x2-(3+2a)x-2.∵(x2-3x-2)(ax+1)的展开式中不含有x的一次项,∴3+2a=0,解得a=-1.5. 2a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)+1=(2a+1)[2a-(2a-1)]+1=(2a+1)(2a-2a+1)+1=2a+1+1=2a+2.当a=-1.5时,原式=2×(-1.5)+2=-3+2=-1.24.解:设另一个因式是3x+b,则(x-2)(3x+b)=3x2-5x+n,即3x2+(b-6)x-2b=3x2-5x+n.从而b-6=-5,-2b=n,解得b=1,n=-2,则另一个因式为3x+1,n的值为-2.。

人教版八年级数学上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

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人教版八年级数学上册 整式的乘法与因式分解（提升篇）（Word版 含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．多项式x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2分解因式后有一个因式是x ﹣2y ，另一个因式是（ ） A ．x +2y +1B ．x +2y ﹣1C ．x ﹣2y +1D ．x ﹣2y ﹣1【答案】C【解析】【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．【详解】解：x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2＝（x 2﹣4xy +4y 2）+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）2+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）（x ﹣2y +1）．故选：C ．【点睛】此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y ），将其当成整体提出，进而得到答案.2．把多项式2425m -分解因式正确的是（ ）A ．(45)(45)m m +-B ．(25)(25)m m +-C ．(5)(5)m m -+D ．(5)(5)m m m -+【答案】B【解析】利用公式法分解因式的要点，根据平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，分解因式为：()()()222425252525m m m m -=-=+-.故选B.3．因式分解x 2－ax ＋b ，甲看错了a 的值，分解的结果是(x ＋6)(x －1)，乙看错了b 的值，分解的结果为(x －2)(x ＋1)，那么x 2＋ax ＋b 分解因式正确的结果为（ ）A ．(x －2)(x ＋3)B ．(x ＋2)(x －3)C ．(x －2)(x －3)D ．(x ＋2)(x ＋3)【答案】B【解析】【分析】【详解】因为(x ＋6)(x －1)=x 2+5x-6，所以b=-6；因为(x －2)(x ＋1)=x 2-x-2，所以a=1.所以x 2-ax ＋b=x 2-x-6=(x-3)(x+2).故选B.点睛：本题主要考查了多项式的乘法和因式分解，看错了a ，说明b 是正确的，所以将看错了a 的式子展开后，可得到b 的值，同理得到a 的值，再把a ，b 的值代入到x 2＋ax ＋b 中分解因式.4．化简()22x 的结果是（ ）A ．x 4B ．2x 2C ．4x 2D ．4x 【答案】C【解析】【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可．【详解】(2x)²=2²·x²=4x²，故选C.【点睛】本题考查了积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方的运算法则.5．如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为144，小正方形的面积为4，若分别用x 、y （x y >）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中错误的是（ ）A ．22100x y +=B ．2x y -=C ．12x y +=D ．35xy =【答案】A【解析】【分析】 由正方形的面积公式可求x +y =12，x ﹣y =2，可求x =7，y =5，即可求解．【详解】由题意可得：（x +y ）2=144，（x ﹣y ）2=4，∴x +y =12，x ﹣y =2，故B 、C 选项不符合题意；∴x =7，y =5，∴xy =35，故D 选项不符合题意；∴x 2+y 2=84≠100，故选项A 符合题意． 故选A ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解答本题需结合图形，利用等式的变形来解决问题．6．如果是个完全平方式，那么的值是（ ） A ．8 B ．-4 C ．±8 D ．8或-4【答案】D【解析】试题解析：∵x 2+（m -2）x +9是一个完全平方式，∴（x ±3）2=x 2±2(m -2)x +9，∴2(m -2)=±12，∴m =8或-4．故选D ．7．下列变形，是因式分解的是（ ）A ．2(1)x x x x -=-B ．21(1)1x x x x -+=-+C ．2(1)x x x x -=-D ．2()22a b c ab ac +=+【答案】C【解析】分析：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 详解：A 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C 、是符合因式分解的定义，故本选项正确；D 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；故选：C ．点睛：本题考查了因式分解的知识，理解因式分解的定义是解题关键．8．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）A ．(a ＋1)(a －1)＝a 2－1B ．a 2－6a ＋9＝(a －3)2C ．x 2＋2x ＋1＝x (x ＋2x )＋1D ．－18x 4y 3＝－6x 2y 2·3x 2y【答案】B【解析】【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．【详解】A 、是多项式乘法，不是因式分解，错误；B 、是因式分解，正确．C 、右边不是积的形式，错误；D 、左边是单项式，不是因式分解，错误．故选B ．【点睛】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解．9．已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（）A．b>0，b2-ac≤0 B．b＜0，b2-ac≤0C．b>0，b2-ac≥0 D．b＜0，b2-ac≥0【答案】D【解析】【分析】根据题意得a+c=2b，然后将a+c替换掉可求得b＜0，将b2-ac变形为()24a c-，可根据平方的非负性求得b2-ac≥0.【详解】解：∵a-2b+c=0，∴a+c=2b，∴a+2b+c=4b＜0，∴b＜0，∴a2+2ac+c2=4b2，即22 224a ac c b++=∴b2-ac=()22222220 444a ca ac c a ac cac-++-+-==≥，故选：D.【点睛】本题考查了等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.10．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：-3xy(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写( ) A．3xy B．-3xy C．-1 D．1【答案】A【解析】【分析】【详解】解：∵左边=-3xy（4y-2x-1）=-12xy2+6x2y+3xy右边=-12xy2+6x2y+□，∴□内上应填写3xy故选：A．二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．如图，有一张边长为x 的正方形ABCD 纸板，在它的一个角上切去一个边长为y 的正方形AEFG ，剩下图形的面积是32，过点F 作FH ⊥DC ，垂足为H.将长方形GFHD 切下，与长方形EBCH 重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8，则正方形ABCD 的面积是____.【答案】36.【解析】【分析】根据题意列出2232,8x y x y -=+=，求出x-y=4，解方程组得到x 的值即可得到答案.【详解】由题意得： 2232,8x y x y -=+= ∵22()()x y x y x y -=+-，∴x -y=4， 解方程组48x y x y -=⎧⎨+=⎩，得62x y =⎧⎨=⎩， ∴正方形ABCD 面积为236x =，故填：36.【点睛】此题考查平方差公式的运用，根据题意求得x-y=4是解题的关键，由此解方程组即可.12．已知222246140x y z x y z ++-+-+=， 则()2002x y z --=_______．【答案】0【解析】【分析】利用完全平方式的特点把原条件变形为222(1)(2)(3)0x y z -+++-=，再利用几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0的结论可得答案．【详解】解：因为：222246140x y z x y z ++-+-+=所以222(21)(44)(69)0x x y y z z -+++++-+=所以222(1)(2)(3)0x y z -+++-= 所以102030x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩ ，解得123x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以()2002x y z --=[]221(2)3(33)0---=-= 故答案为0．【点睛】本题考查完全平方式的特点，非负数之和为0的性质，掌握该知识点是关键．13．若26x x k -+是一个完全平方式，那么k =_______________【答案】9【解析】因为若26x k k -+是一个完全平方式，那么()222262333x k k x k x -+=-⨯+=-，那么答案是k=9.故答案为：9.14．已知a m =3，a n =2，则a 2m ﹣n 的值为_____．【答案】4.5【解析】分析：首先根据幂的乘方的运算方法，求出a 2m 的值；然后根据同底数幂的除法的运算方法，求出a 2m-n 的值为多少即可．详解：∵a m =3，∴a 2m =32=9，∴a 2m-n =292m n a a ==4.5．故答案为：4.5．点睛：此题主要考查了同底数幂的除法法则，以及幂的乘方与积的乘方，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．15．若3a b +=，则226a b b -+的值为__________.【答案】9【解析】分析：先将226a b b -+化为()()6a b a b b +-+，再将3a b +=代入所化式子计算即可. 详解：∵3a b +=，∴226a b b -+=()()6a b a b b +-+=3()6a b b -+=336a b b -+=3()a b +=9.故答案为：9.点睛：“能够把226a b b -+化为()()6a b a b b +-+”是解答本题的关键.16．因式分解：=______． 【答案】2（x +3）（x ﹣3）．【解析】试题分析：先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即=2（x 2-9）=2（x+3）（x-3）.考点：因式分解.17．因式分解：a 3﹣2a 2b+ab 2=_____．【答案】a （a ﹣b ）2．【解析】【分析】先提公因式a ，然后再利用完全平方公式进行分解即可．【详解】原式=a （a 2﹣2ab+b 2）=a （a ﹣b ）2，故答案为a （a ﹣b ）2．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．已知：7a b +=，13ab =，那么 22a ab b -+= ________________．【答案】10【解析】∵（a+b ） 2 =7 2 =49，∴a 2 -ab+b 2 =（a+b ） 2 -3ab=49-39=10，故答案为10.19．若21x x +=，则433331x x x +++的值为_____．【答案】4【解析】【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．【详解】∵21x x +=，∴()43222233313313313()1314x x x xx x x x x x x +++=+++=++=++=+=； 故答案为：4．【点睛】本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．20．因式分解34x x -= ．【答案】()()x x 2x 2-+-【解析】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式x -后继续应用平方差公式分解即可：()()()324x x x x 4x x 2x 2-=--=-+-．。

人教版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

人教版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）1．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出2()a b +、2()a b -、ab 之间的等量关系是______；（2）根据（1）中的结论，若5x y +=，94x y ⋅=，则x y -=______； （3）拓展应用：若22(2019)(2020)7m m -+-=，求(2019)(2020)m m --的值. 【答案】（1）22()()4a b a b ab +=-+；（2）4，－4：（3）-3【解析】 【分析】（1）观察图2，大正方形由4个矩形和一个小正方形组成，根据面积即可得到他们之间的关系.（2）由（1）的结论可得(x-y) ²=16,然后利用平方根的定义求解即可. （3）从已知等式的左边看，左边配成两数和的平方来求解. 【详解】解：（1）由题可得，大正方形的面积2()a b =+，大正方形的面积2()4a b ab =-+， ∴22()()4a b a b ab +=-+，（2）∵22()()4x y x y xy +=-+，∴229()()4254164x y x y xy -=+-=-⨯=， ∴4x y -=或－4，（3）∵22(2019)(2020)7m m -+-=，又2(20192020)m m -+-22(2019)(2020)2(2019)(2020)m m m m =-+-+-- ∴172(2019)(2020)m m =+-- ∴(2019)(2020)3m m --=-故答案为：(1)22()()4a b a b ab +=-+；(2) 4，－4：(3)-3【点睛】本题通过观察图形发现规律，并运用规律求值，使问题简单化是解题关键.2．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用较多．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），如：将式子232x x ++和223x x +-分解因式，如图：()()23212x x x x ++=++；()()223123x x x x +-=-+．请你仿照以上方法，探索解决下列问题：（1）分解因式：2712yy ；（2）分解因式：2321x x --．【答案】（1）（x ﹣3）（x ﹣4）；（2）（x ﹣1）（3x+1）． 【解析】 【分析】（1）将1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的结果为-7，即可得到答案； （2）将3分成1乘以3，-1分成-1乘以1，由此得到分解因式的结果. 【详解】（1）y 2﹣7y+12=（x ﹣3）（x ﹣4）； （2）3x 2﹣2x ﹣1=（x ﹣1）（3x+1）. 【点睛】此题考查十字相乘法分解因式，将二次项系数及常数项分解成两个因数相乘，交叉相乘的结果相加得到一次项的系数，能准确分解因数是解题的关键.3．材料：数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：因()20a b -≥，将左边展开得到2220a ab b -+≥，移项可得：222a b ab +≥.数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数m 、n ，都存在2m n mn +≥m 、n 的和一定存在着一个最小值. 根据材料，解答下列问题： （1）()()2225x y +≥__________（0x >，0y >）；221x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭___________（0x >）； （2）求()5602x x x+>的最小值； （3）已知3x >，当x 为何值时，代数式92200726x x ++-有最小值，并求出这个最小值.【答案】（1）20xy ，2；（2）3）当92x =时，代数式92200726x x ++-的最小值为2019. 【解析】 【分析】（1）根据阅读材料即可得出结论；（2）根据阅读材料介绍的方法即可得出结论； （3）把已知代数式变为926201326x x -++-，再利用阅读材料介绍的方法，即可得到结论． 【详解】（1）∵0x >，0y >，∴()()222522520x y x y xy +≥⨯⋅=， ∵0x >，∴221122x x x x ⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭； （2）当x 0>时，2x ，52x均为正数，∴562x x +≥=所以，562x x+的最小值为 （3）当x 3>时，2x ，926x -，2x-6均为正数， ∴92200726x x ++- 92x 6201326x =-++-20132013≥= 2019=由()20a b -≥可知，当且仅当a b =时，22a b +取最小值， ∴当92626x x -=-，即92x =时，有最小值．∵x 3>故当92x =时，代数式92200726x x ++-的最小值为2019． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，解答本题的关键是理解阅读材料所介绍的方法．4．（阅读材料）因式分解：()()221x y x y ++++．解：将“x y +”看成整体，令x y A +=，则原式()22211A A A =++=+． 再将“A ”还原，原式()21x y =++．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法. （问题解决）（1）因式分解：()()2154x y x y +-+-； （2）因式分解：()()44a b a b ++-+；（3）证明：若n 为正整数，则代数式()()()21231n n n n ++++的值一定是某个整数的平方．【答案】（1）()()144x y x y +-+-1．（2）()22a b +-；（3）见解析.【解析】 【分析】（1）把（x-y ）看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可；（2）把a+b 看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解； （3）将原式转化为()()223231n n n n ++++，进一步整理为（n 2+3n+1）2，根据n 为正整数得到n 2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【详解】（1）()()[][]21541()14()(1)(144)x y x y x y x y x y x y +-+-=+-+-=+-+-； （2）()()2244()4()4(2)a b a b a b a b a b ++-+=+-++=+-；（3）原式()()223231n n n n =++++()()2223231n n n n =++++()2231n n =++．∵n 为正整数， ∴231n n ++为正整数．∴代数()()()21231n n n n ++++的值一定是某个整数的平方．【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．5．观察下列各式:()()2111,x x x -+=-()()23 111,x x x x -++=- ()()324 111,x x x x x -+++=- ()()4325 1 11,x x x x x x -++++=-······()1根据规律()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=(其中n 为正整数) ;()()3029282(51)5555251-+++++()3计算：201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-++-+--++【答案】（1）1nx -；（2）311-5；（3）2020213--【解析】 【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，即可得到结果； （2）根据一般性结果，将n=31，x=5代入（1）中即可；（3）将代数式适当变形为（1）的形式，根据前面总结的规律即可计算出结果. 【详解】（1）根据上述规律可得()()122 1 ...1n n x xx x x ---+++++=1n x -，故填：1n x -；（2）由（1）可知()3029282(51)555551-+++++=311-5()3 201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-+⋅+-+-+-+=201920182011732[(2)1](2)(2)(2)(2)(2)(2)13⎡⎤---+-+-+⋯+-+--+⎣⎦-+=2020(2)13---=2020213--【点睛】本题考查整式的乘法，能根据题例归纳总结出一般性规律是解题关键，（3）中能对整式适当变形是解题关键，但需注意变形时要为等量变形.6．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例如：若代数式M ＝a 2﹣2ab +2b 2﹣2b +2，利用配方法求M 的最小值：a 2﹣2ab +2b 2﹣2b +2＝a 2﹣2ab +b 2+b 2﹣2b +1+1＝（a ﹣b ）2+（b ﹣1）2+1． ∵（a ﹣b ）2≥0，（b ﹣1）2≥0， ∴当a ＝b ＝1时，代数式M 有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a 2+4a + ； （2）若代数式M ＝214a +2a +1，求M 的最小值； （3）已知a 2+2b 2+4c 2﹣2ab ﹣2b ﹣4c +2＝0，求代数式a +b +c 的值． 【答案】（1）4；（2）M 的最小值为﹣3；（3）a +b +c=122. 【解析】 【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可； （2）先提取14，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案； （3）将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a ，b ，c 的值，从而问题得解． 【详解】（1）∵a 2+4a+4＝（a+2）2 故答案为：4； （2）M ＝21a 4+2a+1 ＝14（a 2+8a+16）﹣3 ＝14（a+4）2﹣3 ∴M 的最小值为﹣3（3）∵a 2+2b 2+4c 2﹣2ab ﹣2b ﹣4c+2＝0， ∴（a ﹣b ）2+（b ﹣1）2+（2c ﹣1）2＝0， ∴a ﹣b ＝0，b ﹣1＝0，2c ﹣1＝0 ∴a ＝b ＝1，1c=2，∴a+b+c=122.． 【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．7．（1）阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法 例如：()()()()()()am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n +++=+++=+++=++.22222221(21)(1)(1)(1)x y y x y y x y x y x y ---=-++=-+=++--.试用上述方法分解因式222a ab ac bc b ++++= （2）利用分解因式说明：22(5)(1)n n +--能被12整除. 【答案】（1）()()a b a b c +++；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）a 2+2ab+ac+bc+b 2可以进行分组变成（a 2+2ab+b 2）+（ac+bc ），则前边括号内的三项可以利用完全平方公式分解，后边的三项可以提公因式，然后再利用提公因式法即可分解．（2）先利用平方差公式将22(5)(1)n n +--进行因式分解，之后即可得出答案. 【详解】（1）原式=()()222a ab b ac bc ++++=()()2a b c a b +++ =()()a b a b c +++ （2）22(5)(1)n n +--=[][](5)+(1)(5)(1)n n n n +-+-- =()624n + =()122n +∴ 22(5)(1)n n +--能被12整除. 【点睛】本题考查分组分解的因式分解方法，做题时先分析题中给的例子是解题关键.8．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2=﹣1，这个数i 叫做虚数单位．那么形如a+bi （a ，b 为实数）的数就叫做复数，a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i ）+（3﹣4i ）=5﹣3i ．（1）填空：i 3= ，2i 4= ； （2）计算：①（2+i ）（2﹣i ）； ②（2+i ）2；（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+3y ）+3i=（1﹣x ）﹣yi ，（x ，y 为实数），求x ，y 的值．（4）试一试：请你参照i 2=﹣1这一知识点，将m 2+25（m 为实数）因式分解成两个复数的积．【答案】（1）i ；2（2）①5②3+4i （3）x=5，y=﹣3（4）m 2+25=（m+5i ）（m ﹣5i ） 【解析】 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则及2i 的概念直接运算；（2）利用平方差、完全平方公式把原式展开，根据21i =-计算即可； （3）根据虚数定义得出方程组，解方程组即可；（4）根据21i =- 将25转化为2（-5）i ，再利用平方差公式进行因式分解即可。

人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解（提升篇）（Word 版 含解析） 一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a 2+b 2+c 2—ab －bc －ca 的值等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】首先把a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac 两两结合为a 2﹣ab +b 2﹣bc +c 2﹣ac ，利用提取公因式法因式分解，再把a 、b 、c 代入求值即可．【详解】a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac＝a 2﹣ab +b 2﹣bc +c 2﹣ac＝a （a ﹣b ）+b （b ﹣c ）+c （c ﹣a ）当a ＝2012x +2011，b ＝2012x +2012，c ＝2012x +2013时，a -b =－1，b －c =－1，c －a =2，原式＝（2012x +2011）×（﹣1）+（2012x +2012）×（﹣1）+（2012x +2013）×2＝﹣2012x ﹣2011﹣2012x ﹣2012+2012x ×2+2013×2＝3．故选D ．【点睛】本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．2．对二次三项式4x 2﹣6xy ﹣3y 2分解因式正确的是（ ）A ．3213214()()44x y x y +-++B ．2132134()()44x y x y +--- C ．(321)(321)x y y x y y ---+D ．321213(2)(2)22x y x y -- 【答案】D【解析】【分析】【详解】解：4x 2﹣6xy ﹣3y 2=4[x 2﹣32xy +（34y ）2]﹣3y 2﹣94y 2=4（x ﹣34y ）2﹣214y 2=（2x ﹣32y ﹣2y ）（2x ﹣32y +2y ）=（2x ﹣32+y ）（2x ﹣32） 故选D ．【点睛】本题主要是用配方法来分解因式，但本题的计算，分数，根式多，所以学生还是很容易出错的，注意计算时要细心．3．（2017重庆市兼善中学八年级上学期联考）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =， 9y =时，则各个因式的值为()0x y -=， ()18x y +=， ()22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取20x， 10y =时，用上述方法产生的密码不可能．．．是（ ） A ．201030B ．201010C ．301020D ．203010【答案】B【解析】【分析】【详解】解：x 3-xy 2=x （x 2-y 2）=x （x+y ）（x-y ），当x=20，y=10时，x=20，x+y=30，x-y=10，组成密码的数字应包括20，30，10，所以组成的密码不可能是201010．故选B ．4．若(x +y )2=9，(x -y )2=5，则xy 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-4D ．4 【答案】B【解析】试题分析：根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，分别化简可知（x+y ）2=x 2+2xy+y 2=9①，（x ﹣y ）2= x 2-2xy+y 2=5②，①-②可得4xy=4，解得xy=1.故选B点睛：此题主要考查了完全平方公式的应用，解题关键是抓住公式的特点：两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，然后比较各式的特点，直接进行计算，再两式相减即可求解..5．已知4821-可以被在0～10之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）A ．1、3B ．3、5C ．6、8D ．7、9【答案】D【解析】248－1=(224+1)(224－1)= (224+1)(212+1)(212－1)= (224+1)(212+1)(26+1)(26－1)=(224+1)(212+1)(26+1)(23+1) (23－1) , 23+1=9, 23－1=7,所以这两个数是7、9.故选D.点睛：平方差公式：a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）.6．已知实数a 、b 满足a+b=2，ab=34，则a ﹣b=（ ） A ．1B ．﹣52C ．±1D ．±52 【答案】C【解析】分析：利用完全平方公式解答即可．详解：∵a+b=2，ab=34， ∴（a+b ）2=4=a 2+2ab+b 2，∴a 2+b 2=52， ∴（a-b ）2=a 2-2ab+b 2=1，∴a-b=±1，故选C ．点睛：本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键．7．下列各式不能用公式法分解因式的是（ ）A ．92-xB ．2269a ab b -+-C ．22x y --D ．21x -【答案】C【解析】【分析】根据公式法有平方差公式、完全平方公式，可得答案．【详解】A 、x 2-9，可用平方差公式，故A 能用公式法分解因式；B 、-a 2+6ab-9 b 2能用完全平方公式，故B 能用公式法分解因式；C 、-x 2-y 2不能用平方差公式分解因式，故C 正确；D 、x 2-1可用平方差公式，故D 能用公式法分解因式；故选C ．【点睛】本题考查了因式分解，熟记平方差公式、完全平方公式是解题关键．8．如图将4个长、宽分别均为a ，b 的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ）A ．a 2+2ab+b 2=（a+b ）2B ．a 2﹣2ab+b 2=（a ﹣b ）2C ．4ab=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2D ．（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2【答案】C【解析】【分析】根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积．【详解】∵大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积，∴（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2=4ab ，即4ab=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2．故选C ．9．下列式子从左至右的变形，是因式分解的是（ ）A ．21234x y x xy -=B ．11(1)x x x -=-C ．2221(1)x x x -+=-D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的意义进行判断即可．【详解】因式分解是指将一个多项式化为几个整式的积的形式．A ．21234x y x xy -=，结果是单项式乘以单项式，不是因式分解，故选项A 错误；B ．11(1)x x x-=-，结果应为整式因式，故选项B 错误；C ．2221(1)x x x -+=-，正确；D ．22()()a b a b a b +-=-是整式的乘法运算，不是因式分解，故选项D 错误． 故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，涉及完全平方公式，本题属于基础题型．10．已知a ＝96，b ＝314，c ＝275，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a【答案】C【解析】【分析】根据幂的乘方可得：a ＝69=312，c ＝527=315，易得答案. 【详解】因为a ＝69=312，b ＝143，c ＝527=315，所以，c>b>a故选C【点睛】本题考核知识点：幂的乘方. 解题关键点：熟记幂的乘方公式.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．因式分解:225101a a -+=______________【答案】()251a -【解析】根据完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±进行因式分解为：225101a a -+=()251a -. 故答案为：()251a -.12．在实数范围内因式分解：22967x y xy --=__________．【答案】9xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】将原多项式提取9，然后拆项分组为222189399x y xy ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭ ，利用完全平方公式将前一组分解后，再利用平方差公式继续在实数范围内分解.【详解】解：22967x y xy -- 2227=939x y xy ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 222117=9+3999x y xy ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ 218=939xy ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦11=933xy xy ⎛---+ ⎝⎭⎝⎭=9xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭故答案为：11933xy xy ⎛+--- ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查在实数范围内因式分解，利用分组分解法将原多项式“三一”分组后采用公式法因式分解，注意在实数范围内因式分解是指系数可以是根式.13．对于实数a ，b ，定义运算“※”如下：a ※b=a 2﹣ab ，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x ﹣2）=6，则x 的值为_____．【答案】1【解析】【分析】根据新定义运算对式子进行变形得到关于x 的方程，解方程即可得解.【详解】由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x ﹣2）=6，整理得，3x+3=6，解得，x=1，故答案为1．【点睛】本题考查了解方程，涉及到完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是解题的关键．14．若a ，b 互为相反数，则a 2﹣b 2=_____．【答案】0【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．【详解】∵a，b互为相反数，∴a+b=0，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=0，故答案为0．【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．15．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a、b的代数式表示）．【答案】ab【解析】【分析】【详解】设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，12122{2x x ax x b+=-=解得，122{4a bxa bx+=-=②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（2a b+）2-4×（4a b-）2=ab．故答案为ab.16．分解因式：x3y﹣2x2y+xy=______．【答案】xy（x﹣1）2【解析】【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式=xy（x2-2x+1）=xy（x-1）2．故答案为：xy（x-1）2【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17．分解因式6xy 2－9x 2y －y 3 = _____________.【答案】－y(3x －y)2【解析】【分析】先提公因式-y ，然后再利用完全平方公式进行分解即可得.【详解】6xy 2－9x 2y －y 3=-y(9x 2-6xy+y 2)=-y(3x-y)2，故答案为：-y(3x-y)2.【点睛】本题考查了利用提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法及步骤是解题的关键.因式分解的一般步骤：一提（公因式），二套（套用公式），注意一定要分解到不能再分解为止.18．因式分解：3x 3﹣12x=_____．【答案】3x （x+2）（x ﹣2）【解析】【分析】先提公因式3x ，然后利用平方差公式进行分解即可．【详解】3x 3﹣12x=3x （x 2﹣4）=3x （x+2）（x ﹣2），故答案为3x （x+2）（x ﹣2）．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．19．已知：7a b +=，13ab =，那么 22a ab b -+= ________________．【答案】10【解析】∵（a+b ） 2 =7 2 =49，∴a 2 -ab+b 2 =（a+b ） 2 -3ab=49-39=10，故答案为10.20．若=2m x ，=3n x ，则2m n x 的值为_____.【答案】18【解析】【分析】先把x m+2n 变形为x m （x n ）2，再把x m =2，x n =3代入计算即可．【详解】∵x m =2，x n =3，∴x m+2n =x m x 2n =x m （x n ）2=2×32=2×9=18；故答案为18．【点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．。

人教版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

人教版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

人教版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解（提升篇）（Word版 含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．若A ＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A 的末位数字是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意可得A=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24-1）（24+1）（28+1）+1=（28-1）（28+1）+1=216根据21=2；22=4；23=8；24=16；25=32；···因此可由16÷4=4，所以216的末位为6故选C点睛：此题是应用平方差公式进行计算的规律探索题，解题的关键是通过添加式子，使原式变化为平方差公式的形式；再根据2的n 次幂的计算总结规律，从而可得到结果.2．下列运算正确的是（ ）A ．236•a a a =B ．()325a a =C ．23•a ab a b -=-D ．532a a ÷=【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法法则即可求出答案．【详解】A ．原式＝a 5，故A 错误；B ．原式＝a 6，故B 错误；C ．23•a ab a b -=-，正确；D ．原式＝a 2，故D 错误．故选C ．【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．3．边长为a ，b 的长方形周长为12，面积为10，则a 2b +ab 2的值为（ ）A ．120B ．60C ．80D ．40【答案】B【解析】【分析】直接利用提取公因式法分解因式，进而求出答案．【详解】解：∵边长为a ，b 的长方形周长为12，面积为10，∴a +b ＝6，ab ＝10，则a 2b +ab 2＝ab （a +b ）＝10×6＝60．故选：B ．【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．4．已知4y 2+my +9是完全平方式，则m 为( )A ．6B ．±6C ．±12D ．12【答案】C【解析】【分析】原式利用完全平方公式的结构特征求出m 的值即可．【详解】∵4y 2+my +9是完全平方式，∴m =±2×2×3=±12．故选：C ．【点睛】此题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．5．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )A ．a 2-1B ．a 2+aC ．a 2+a-2D ．(a+2)2-2(a+2)+1【答案】C【解析】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a 2﹣1=（a+1）（a ﹣1），a 2+a=a （a+1），a 2+a ﹣2=（a+2）（a ﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C ；故答案选C ．考点：因式分解.6．下列从左到右的变形，是因式分解的是( )A ．()()23x 3x 9x -+=-B ．()()()()y 1y 33y y 1+-=-+C ．()24yz 2y z z 2y 2z zy z -+=-+D ．228x 8x 22(2x 1)-+-=--【答案】D【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．【详解】根据因式分解的定义得：从左边到右边的变形，是因式分解的是228x 8x 22(2x 1)-+-=--.其他不是因式分解:A,C 右边不是积的形式，B 左边不是多项式.故选D.【点睛】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子．7．若2149x kx ++是完全平方式，则实数k 的值为（ ） A ．43 B ．13 C ．43± D ．13± 【答案】C【解析】【分析】本题是已知平方项求乘积项，根据完全平方式的形式可得出k 的值．【详解】由完全平方式的形式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2可得： kx=±2•2x•13， 解得k=±43． 故选：C【点睛】本题关键是有平方项求乘积项，掌握完全平方式的形式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2是关键．8．已知三个实数a,b,c 满足a-2b+c=0，a+2b+c ＜0，则（ ）A ．b>0，b 2-ac ≤0B ．b ＜0，b 2-ac ≤0C ．b>0，b 2-ac ≥0D ．b ＜0，b 2-ac ≥0【答案】D【解析】【分析】根据题意得a+c=2b，然后将a+c替换掉可求得b＜0，将b2-ac变形为()24a c-，可根据平方的非负性求得b2-ac≥0.【详解】解：∵a-2b+c=0，∴a+c=2b，∴a+2b+c=4b＜0，∴b＜0，∴a2+2ac+c2=4b2，即22 224a ac c b++=∴b2-ac=()22222220 444a ca ac c a ac cac-++-+-==≥，故选：D.【点睛】本题考查了等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键. 9．观察下列两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，则a，b的值可能分别是（）A．3-，4-B．3-，4 C．3，4-D．3，4【答案】A【解析】【分析】根据题意可得规律为712a bab+=-⎧⎨=⎩，再逐一判断即可.【详解】根据题意得，a，b的值只要满足712a bab+=-⎧⎨=⎩即可，A.-3+（-4）=-7，-3×（-4）=12，符合题意；B.-3+4=1，-3×4=-12，不符合题意；C.3+（-4）=-1,3×（-4）=-12，不符合题意；D.3+4=7,3×4=12，不符合题意.故答案选A.【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据题意找出规律.10．下列各运算中，计算正确的是（ ）A ．a 12÷a 3=a 4B ．（3a 2）3=9a 6C ．（a ﹣b ）2=a 2﹣ab+b 2D ．2a•3a=6a 2【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的法则逐项计算即可得.【详解】A 、原式=a 9，故A 选项错误，不符合题意；B 、原式=27a 6，故B 选项错误，不符合题意；C 、原式=a 2﹣2ab+b 2，故C 选项错误，不符合题意；D 、原式=6a 2，故D 选项正确，符合题意，故选D ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解本题的关键．二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．若a-b=1，则222a b b --的值为____________．【答案】1【解析】【分析】先局部因式分解，然后再将a-b=1代入，最后在进行计算即可.【详解】解：222a b b --=（a+b ）（a-b ）-2b=a+b-2b=a-b=1【点睛】本题考查了因式分解的应用，弄清题意、并根据灵活进行局部因式分解是解答本题的关键.12．已知212()02a b -++=，则20192020a b =__________． 【答案】12 【解析】【分析】先利用绝对值和平方的非负性求得a 、b 的值，然后将20192020a b 转化为20192019()ab b ⋅的形式可求得.【详解】 ∵212()02a b -++= ∴a －2=0，12b +=0 解得：a=2，12b =- 20192020a b =20192019()a b b ⋅=()2019112⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=1 2故答案为：12【点睛】 本题考查绝对值和平方的非负性，解题关键是利用非负性，先得出a 、b 的值.13．设123,,a a a 是一列正整数，其中1a 表示第一个数，2a 表示第二个数，依此类推，n a 表示第n 个数(n 是正整数)，已知11a =，2214(1)(1)nn n a a a ，则2018a =___________.【答案】4035【解析】 【分析】()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---整理得()()22n n 1a 1a 1++=-，从而可得a n+1-a n =2或a n =-a n+1，再根据题意进行取舍后即可求得a n 的表达式，继而可得a 2018.【详解】∵()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---，∴()()22n n n 14a a 1a 1++-=-，∴()()22n n 1a 1a 1++=-，∴a n +1=a n+1-1或a n +1=-a n+1+1，∴a n+1-a n =2或a n =-a n+1，又∵123a ,a ,a ⋯⋯是一列正整数，∴a n =-a n+1不符合题意，舍去，∴a n+1-a n =2，又∵a 1=1，∴a 2=3，a 3=5，……，a n =2n-1，∴a 2018=2×2018-1=4035，故答案为4035.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出a n+1-a n =2.14．已知x ＝a 时，多项式x 2+6x+k 2的值为﹣9，则x ＝﹣a 时，该多项式的值为_____．【答案】27【解析】【分析】把x a =代入多项式，得到的式子进行移项整理，得22(3)a k +=-，根据平方的非负性把a 和k 求出，再代入求多项式的值．【详解】解：将x a =代入2269x x k ++=-，得：2269a a k ++=-移项得：2269a a k ++=-22(3)a k ∴+=-2(3)0a +，20k -30a ∴+=，即3a =-，0k =x a ∴=-时，222636327x x k ++=+⨯=故答案为：27【点睛】本题考查了代数式求值，平方的非负性．把a 代入多项式后进行移项整理是解题关键．15．已知2320x y --=，则23(10)(10)x y ÷＝_______．【答案】100【解析】【分析】根据题意可得2x-3y=2，然后根据幂的乘方和同底数幂相除，底数不变，指数相减即可求得答案.【详解】由已知可得2x-3y=2，所以()()231010x y ÷=102x ÷103y =102x-3y =102=100. 故答案为100.【点睛】此题主要考查了幂的乘方和同底数幂相除，解题关键是根据幂的乘方和同底数幂相除的性质的逆运算变形，然后整体代入即可求解.16．在实数范围内因式分解：231x x +-=____________【答案】3322x x ⎛⎫⎛++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】利用一元二次方程的解法在实数范围内分解因式即可.【详解】令2310x x +-=∴1x =2x =∴231x x +-=3322x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：x x ⎛+ ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，利用一元二次方程的解法即可解答，熟练掌握相关知识点是解题关键.17．因式分解：x 3﹣4x=_____．【答案】x （x+2）（x ﹣2）【解析】试题分析：首先提取公因式x ，进而利用平方差公式分解因式．即x 3﹣4x=x （x 2﹣4）=x （x+2）（x ﹣2）．故答案为x （x+2）（x ﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．18．因式分解：223ax 12ay -=______．【答案】()()3a x 2y x 2y +-【解析】【分析】先提公因式3a ，然后再利用平方差公式进行分解即可得.【详解】原式()223a x 4y =-()()3a x 2y x 2y =+-，故答案为：()()3a x 2y x 2y +-．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．19．利用1个a ×a 的正方形，1个b ×b 的正方形和2个a ×b 的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．【答案】a 2+2ab+b 2=（a+b ）2【解析】试题分析：两个正方形的面积分别为a 2，b 2，两个长方形的面积都为ab ，组成的正方形的边长为a ＋b ，面积为(a ＋b )2，所以a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2．点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．20．已知(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)-----可分解因式为(3x a)(x b)++，其中a 、b 均为整数，则a 3b +=_____.【答案】31-．【解析】首先提取公因式3x ﹣7，再合并同类项即可根据代数式恒等的条件得到a 、b 的值，从而可算出a+3b 的值：∵()()()()(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)3x 72x 21x 133x 7x 8-----=---+=--， ∴a=－7，b=－8．∴a 3b 72431+=--=-．。

八年级数学上册 整式的乘法与因式分解专题练习(解析版)

八年级数学上册 整式的乘法与因式分解专题练习(解析版)

八年级数学上册 整式的乘法与因式分解专题练习（解析版）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a 2+b 2+c 2—ab －bc －ca 的值等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】首先把a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac 两两结合为a 2﹣ab +b 2﹣bc +c 2﹣ac ，利用提取公因式法因式分解，再把a 、b 、c 代入求值即可．【详解】a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac＝a 2﹣ab +b 2﹣bc +c 2﹣ac＝a （a ﹣b ）+b （b ﹣c ）+c （c ﹣a ）当a ＝2012x +2011，b ＝2012x +2012，c ＝2012x +2013时，a -b =－1，b －c =－1，c －a =2，原式＝（2012x +2011）×（﹣1）+（2012x +2012）×（﹣1）+（2012x +2013）×2＝﹣2012x ﹣2011﹣2012x ﹣2012+2012x ×2+2013×2＝3．故选D ．【点睛】本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．2．把多项式2425m -分解因式正确的是（ ）A ．(45)(45)m m +-B ．(25)(25)m m +-C ．(5)(5)m m -+D ．(5)(5)m m m -+【答案】B【解析】利用公式法分解因式的要点，根据平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，分解因式为：()()()222425252525m m m m -=-=+-.故选B.3．（2017重庆市兼善中学八年级上学期联考）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =， 9y =时，则各个因式的值为()0x y -=， ()18x y +=， ()22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取20x， 10y =时，用上述方法产生的密码不可能．．．是（ ） A ．201030B ．201010C ．301020D ．203010【答案】B【解析】【分析】【详解】 解：x 3-xy 2=x （x 2-y 2）=x （x+y ）（x-y ），当x=20，y=10时，x=20，x+y=30，x-y=10，组成密码的数字应包括20，30，10，所以组成的密码不可能是201010．故选B ．4．因式分解x 2+mx ﹣12＝（x +p ）（x +q ），其中m 、p 、q 都为整数，则这样的m 的最大值是（ ）A ．1B ．4C ．11D ．12【答案】C【解析】分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p 、q 的关系判断即可.详解：∵(x ＋p)(x ＋q)= x 2＋（p+q ）x+pq= x 2＋mx －12∴p+q=m ，pq=-12.∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12∴m=-11或11或4或-4或1或-1.∴m 的最大值为11.故选C.点睛：此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用.5．已知20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+，则222a b c ab ac bc ++---的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】根据20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+分别求出a-b 、a-c 、b-c 的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可完成.【详解】∵20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+，20192019201920201a b x x -=+--=-20192019201920212a c x x -=+--=-20192020201920211b c x x -=+--=-∴222a b c ab ac bc ++---2221(222222)2a b c ab ac bc =++--- 2222221(222)2a ab b a ac c b bc c =-++-++-+ 222111()()()222a b a c b c =-+-+- 222111(1)(2)(1)222=⨯-+⨯-+⨯- 11222=++ 3=故选D【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.6．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2＋2b 2＋c 2－2b(a ＋c)＝0，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．不能确定【答案】B【解析】【分析】运用因式分解，首先将所给的代数式恒等变形；借助非负数的性质得到a =b =c ，即可解决问题．【详解】∵a 2+2b 2+c 2﹣2b （a +c ）=0，∴（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2=0；∵（a ﹣b ）2≥0，（b ﹣c ）2≥0，∴a ﹣b =0，b ﹣c =0，∴a =b =c ，∴△ABC 为等边三角形． 故选B ．【点睛】本题考查了因式分解及其应用问题．解题的关键是牢固掌握因式分解的方法，灵活运用因式分解来分析、判断、推理活解答．7．下列各式中，不能运用平方差公式进行计算的是（ ）A ．(21)(12)x x --+B ．(1)(1)ab ab -+C ．(2)(2)x y x y --- D ．(5)(5)a a -+--【解析】【分析】运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．【详解】A. 中不存在互为相反数的项，B. C. D中均存在相同和相反的项，故选A.【点睛】此题考查平方差公式，解题关键在于掌握平方差公式结构特征.8．如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（）A．a2+2ab+b2=（a+b）2B．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2C．4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2【答案】C【解析】【分析】根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积．【详解】∵大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，即4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2．故选C．9．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是()A．a2-1B．a2+aC．a2+a-2D．(a+2)2-2(a+2)+1【解析】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a 2﹣1=（a+1）（a ﹣1），a 2+a=a （a+1），a 2+a ﹣2=（a+2）（a ﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C ；故答案选C ．考点：因式分解.10．有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为()2a b +，则宽为（ ）A ．12B ．1C ．()12a b +D ．+a b【答案】C【解析】【分析】用长方形的面积除以长可得.【详解】宽为:()()()()22222a ab ab ba b a b a b +++÷+=+÷+= ()12a b + 故选：C【点睛】考核知识点：整式除法与面积.掌握整式除法法则是关键.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．已知222246140x y z x y z ++-+-+=， 则()2002x y z --=_______．【答案】0【解析】【分析】利用完全平方式的特点把原条件变形为222(1)(2)(3)0x y z -+++-=，再利用几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0的结论可得答案．【详解】解：因为：222246140x y z x y z ++-+-+=所以222(21)(44)(69)0x x y y z z -+++++-+=所以222(1)(2)(3)0x y z -+++-=所以102030x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩ ，解得123x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以()2002x y z --=[]221(2)3(33)0---=-= 故答案为0．【点睛】本题考查完全平方式的特点，非负数之和为0的性质，掌握该知识点是关键．12．如果实数a ，b 满足a +b ＝6，ab ＝8，那么a 2+b 2＝_____．【答案】20【解析】【分析】【详解】∵6,a b +=∴222()236,a b a ab b +=++=∵ab=8，∴22a b +=36-2ab=36-2×8=20.【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，熟练进行完全平方公式的变形是解题的关键.13．把方程x 2+4xy ﹣5y 2＝0化为两个二元一次方程，它们是_____和_____．【答案】x +5y ＝0 x ﹣y ＝0【解析】【分析】通过十字相乘法,把方程左边因式分解,即可求解.【详解】∵x 2+4xy ﹣5y 2＝0，∴(x +5y )(x ﹣y )＝0，∴x +5y ＝0或x ﹣y ＝0，故答案为：x +5y ＝0和 x ﹣y ＝0．【点睛】该题重点考查了因式分解中的十字相乘法,能顺利的把方程左边因式分解是解题的关键所在.十字相乘法相关的知识点是:必须是二次三项式,并且符合拆解的原则,即可利用十字相乘分解因式.14．已知x 、y 为正偶数，且2296x y xy +=，则22x y +=__________.【答案】40【解析】【分析】根据22x y xy 96+=可知xy(x+y)=96，由x 、y 是正偶数可知xy≥4，x+y≥4，进而可知96 可分解成3种乘积的形式，分别计算即可得只有一种情况符合题意，即可求出x 、y 的值，根据x 、y 的值求得答案即可.【详解】∵22x y xy 96+=，∴xy(x+y)=96，∵x 、y 为正偶数，xy≥4，x+y≥4，∴96=2⨯2⨯2⨯2⨯2⨯3=6⨯16=8⨯12=4⨯24当xy(x+y)= 4⨯24时，无解，当xy(x+y)= 6⨯16时，无解，当xy(x+y)=8⨯12时，x+y=8，xy=12，解得：x=2，y=6，或x=6，y=2，∴x 2+y 2=22+62=40.故答案为：40【点睛】本题考查因式分解，把96分解成所有约数的积再分情况求解是解题关键.15．若26x x k -+是一个完全平方式，那么k =_______________【答案】9【解析】因为若26x k k -+是一个完全平方式，那么()222262333x k k x k x -+=-⨯+=-，那么答案是k=9.故答案为：9.16．－3x 2＋2x －1＝____________＝－3x 2＋_________.【答案】 －(3x 2－2x ＋1) (2x －1)【解析】根据提公因式的要求，先提取负号，可得－(3x 2－2x ＋1)，再把2x-1看做一个整体去括号即可得（2x-1）.故答案为：－(3x 2－2x ＋1) ，(2x －1).17．设2m ＝5，82n ＝10，则62m n -＝________． 【答案】12【解析】试题分析：将62m n - 变形为228m n ÷ ，然后结合同底数幂的除法的概念和运算法则进行求解即可．本题解析： 6621222285102m n m n m n -=÷=÷=÷= 故答案为： 12. 点睛：本题主要考查了同底数幂的除法法则的逆用,同底数幂的除法法则：同底数幂相乘,底数不变,指数相减.即m n m n a a a +÷= (m,n 是正整数).18．对于实数a ，b ，定义运算“※”如下：a ※b=a 2﹣ab ，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x ﹣2）=6，则x 的值为_____．【答案】1【解析】【分析】根据新定义运算对式子进行变形得到关于x 的方程，解方程即可得解.【详解】由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x ﹣2）=6，整理得，3x+3=6，解得，x=1，故答案为1．【点睛】本题考查了解方程，涉及到完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是解题的关键．19．因式分解：x 3﹣4x=_____．【答案】x （x+2）（x ﹣2）【解析】试题分析：首先提取公因式x ，进而利用平方差公式分解因式．即x 3﹣4x=x （x 2﹣4）=x （x+2）（x ﹣2）．故答案为x （x+2）（x ﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．20．分解因式：x 2﹣1=____．【答案】（x+1）（x ﹣1）．【解析】试题解析：x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1）．考点：因式分解﹣运用公式法．。

人教版八年级数学上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

人教版八年级数学上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

因为 a＝ 96 =312，b＝ 314 ，c＝ 275 =315，
所以，c>b>a
故选 C
【点睛】
本题考核知识点：幂的乘方. 解题关键点：熟记幂的乘方公式.
D．b＞c＞a
二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）
11．已知 x2 y2 z2 2x 4 y 6z 14 0 ， 则 x y z 2002 _______．
故选 C． 【点睛】 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关 键．分解因式的步骤一般为：一提(公因式)，二套(公式)，三彻底.
7．把多项式 x2+ax+b 分解因式，得(x+1)(x-3)，则 a、b 的值分别是（ ）
A．a=2，b=3
B．a=-2，b=-3
C．a=-2，b=3
9
=
99 99
119 990
119 = 990
=b
，
故选 B.
【点睛】本题考查了有关幂的运算、幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大
小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或
底数.
2． 2 1 22 1 24 1 ...... 22n 1 （ ）
D．a=2，b=-3
【答案】B
【解析】
分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出 a、b 即可.
详解：（x+1）（x-3）
=x2-3x+x-3 =x2-2x-3
所以 a=2，b=-3，
故选 B．
点睛：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是
解题关键.
8．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( ) A．a2-1 B．a2+a C．a2+a-2 D．(a+2)2-2(a+2)+1 【答案】C 【解析】 试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即 a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a （a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观 察结果可得四个选项中不含有因式 a+1 的是选项 C；故答案选 C． 考点：因式分解.

人教版八年级数学上册 14.1 整式的乘法 同步提高训练

人教版八年级数学上册 14.1 整式的乘法 同步提高训练

人教版八年级数学上册14.1 整式的乘法同步提高训练（含答案）一、选择题（本大题共12道小题）1. 计算a3·a2正确的是()A. ɑB. ɑ5C. ɑ6D. ɑ92. 计算(－x3y)2的结果是()A. －x5yB. x6yC. －x3y2D. x6y23. (72)3表示的是()A．3个72相加B．2个73相加C．3个72相乘D．5个7相乘4. 下列运算正确的是()A. a2·a3＝a6B. (－a)4＝a4C. a2＋a3＝a5D. (a2)3＝a55. 计算(2x)3÷x的结果正确的是()A. 8x2B. 6x2C. 8x3D. 6x36. 在下列的计算中，正确的是()A. m3＋m2＝m5B. m5÷m2＝m3C. (2m)3＝6m3D. (m＋1)2＝m2＋17. 化简(x3)2，结果正确的是()A．－x6B．x6C．x5D．－x58. 若a3＝b，b4＝m，则m为()A．a7B．a12C．a81D．a649. 下列运算正确的是()A．(x3)3＝x6B．x7·x2＝x9C．3x－x＝3 D．x4＋x2＝x610. 若3×9m×27m＝321，则m的值是()A．3 B．4 C．5 D．611. 已知a m＝4，则a2m的值为()A．2 B．4 C．8 D．1612. 已知x a＝2，x b＝3，则x3a＋2b的值()A．48 B．54 C．72 D．17二、填空题（本大题共4道小题）13. 根据里氏震级的定义，地震所释放的相对能量E与震级n的关系为：E＝10n，那么9级地震所释放的相对能量是7级地震所释放的相对能量的倍数是________．14. 计算：(103)5＝________．15. 计算：a3·(a3)2＝________．16. 若(a m)3＝a15，则m＝________．三、计算题（本大题共1道小题）17. 计算：(1)(x4)5; (2)[(－a)5]3；(3)－(x m)7; (4)－[(－x)3]4；(5)a3·(a2)3·(a3)3; (6)(y2)3·(－y4)3·y.人教版八年级数学上册14.1 整式的乘法同步提高训练-答案一、选择题（本大题共12道小题）1. 【答案】B【解析】原式＝a3＋2＝a5.2. 【答案】D【解析】(－x3y)2＝(－1)2(x3)2y2＝x6y2，故选D.3. 【答案】C[解析] (72)3表示的是3个72相乘．4. 【答案】B【解析】互为相反数的两个数的偶次幂相等．5. 【答案】A【解析】(2x)3是积的乘方，把2和x分别乘方得8x3再除以x，得8x2.6. 【答案】7. 【答案】B8. 【答案】B[解析] 因为a3＝b，b4＝m，所以m＝(a3)4＝a12.9. 【答案】B[解析] (x3)3＝x9，3x－x＝2x，x4与x2不是同类项，不能合并，因此只有选项x7·x2＝x9正确．10. 【答案】B[解析] 因为9m＝32m，27m＝33m，所以3×9m×27m＝321可转化为3×32m×33m＝321，即31＋2m＋3m＝321.所以1＋2m＋3m＝21，解得m＝4.故选B.11. 【答案】D[解析] 由于a m＝4，因此a2m＝(a m)2＝42＝16.12. 【答案】C[解析] 因为x a＝2，x b＝3，所以x3a＋2b＝(x a)3·(x b)2＝23×32＝72.二、填空题（本大题共4道小题）13. 【答案】100【解析】根据公式可得109÷107＝102＝100.14. 【答案】1015[解析] (103)5＝1015.15. 【答案】a9[解析] a3·(a3)2＝a3·a6＝a9.16. 【答案】5[解析] 因为(a m)3＝a3m＝a15，所以3m＝15.所以m＝5.三、计算题（本大题共1道小题）17. 【答案】解：(1)原式＝x20.(2)原式＝－a15.(3)原式＝－x7m.(4)原式＝－x12.(5)原式＝a3·a6·a9＝a18.(6)原式＝y6·(－y12)·y＝－y19.。

【精品讲义】人教版 八年级数学(上) 专题14.1 整式的乘法(知识点+例题+练习题)含答案

【精品讲义】人教版 八年级数学(上) 专题14.1 整式的乘法(知识点+例题+练习题)含答案

第十四章 整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法一、同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，a m ·a n =()m aa a a ⋅⋅⋅个·()n aa a a ⋅⋅⋅个=()m n aa a a +⋅⋅⋅个=m n a +．语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数__________．【拓展】1．同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用．m n p a a a ⋅⋅⋅=m n pa +++（m ，n ，…，p 都是正整数）．2．同底数幂的乘法法则的逆用：a m +n =a m ·a n （m ，n 都是正整数）． 二、幂的乘方1．幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a 5）3是三个a 5相乘，读作a 的五次幂的三次方，（a m ）n 是n 个a m 相乘，读作a 的m 次幂的n 次方． 2．幂的乘方法则：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，()=mn mm n m m m m m mmn n a a a a a a a +++=⋅⋅⋅=个个．语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数__________．【拓展】1．幂的乘方的法则可推广为[()]m n p mnpa a =（m ，n ，p 都是正整数）．2．幂的乘方法则的逆用：()()mn m n n m a a a ==（m ，n 都是正整数）． 三、积的乘方1．积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab ）3，（ab ）n 等．3()()()()ab ab ab ab =⋅⋅（积的乘方的意义）=（a ·a ·a ）·（b ·b ·b ）（乘法交换律、结合律）=a 3b 3．2．积的乘方法则：一般地，对于任意底数a ，b 与任意正整数n ，()()()()=n n nn an bn ab ab ab ab ab a a a b b b a b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个个．因此，我们有()nn nab a b =．语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别__________，再把所得的幂相乘． 四、单项式与单项式相乘法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别__________，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．1．只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏． 2．单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用． 3．单项式乘单项式的结果仍然是单项式．【注意】1．积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值． 2．相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算． 五、单项式与多项式相乘法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积__________．用式子表示：m （a +b +c ）=ma +mb +mc （m ，a ，b ，c 都是单项式）．【注意】1．单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．2．计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． 3．对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果． 六、多项式与多项式相乘1．法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积__________．2．多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m +n ）（a +b +c ），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m （a +b +c ）与n （a +b +c ），再用单项式乘多项式的法则展开，即 （m +n ）（a +b +c ）=m （a +b +c ）+n （a +b +c ）=ma +mb +mc +na +nb +nc ． 【注意】1．运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．2．多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积． 七、同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：一般地，我们有m n m n a a a -÷=（a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m >n ）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数__________．【拓展】1．同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如：m n p m n p a a a a --÷÷=（a ≠0，m ，n ，p 都是正整数，并且m >n +p ）． 2．同底数幂的除法法则的逆用：m n m n a a a -=÷（a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m >n ）． 八、零指数幂的性质 零指数幂的性质：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如a m ÷a m ，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有a m ÷a m =a m -m =a 0． 于是规定：a 0=1（a ≠0）．语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于__________． 【注意】1．底数a 不等于0，若a =0，则零的零次幂没有意义． 2．底数a 可以是不为零的单顶式或多项式，如50=1，（x 2+y 2+1）0=1等． 3．a 0=1中，a ≠0是极易忽略的问题，也易误认为a 0=0． 九、单项式除以单项式单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别__________作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式． 【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性． 十、多项式除以单项式多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商__________．【注意】1．多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．2．多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． 3．多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．一、相加 二、相乘 三、乘方四、相乘五、相加六、相加七、相减八、1九、相除十、相加1．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用． （2）单个字母或数字可以看成指数为1的幂．（3）底数不一定只是一个数或一个字母，也可以是单项式或多项式．计算m 2·m 6的结果是A ．m 12B ．2m 8C ．2m 12D ．m 8【答案】D【解析】m 2·m 6=m 2+6=m 8，故选D ．计算-（a -b ）3（b -a ）2的结果为A ．-（b -a ）5B ．-（b ＋a ）5C ．（a -b ）5D ．（b -a）5【答案】D【解析】-（a-b ）3（b -a ）2=（b -a ）3（b -a ）2=（b -a ）5，故选D ．2．幂的乘方与积的乘方（1）每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式．（2）要注意系数应连同它的符号一起乘方，尤其是当系数是-1时，不可忽略．计算24()a 的结果是A ．28aB ．4aC ．6aD ．8a【答案】D【解析】24()a =248a a ⨯=，故选D ．下列等式错误的是A ．（2mn ）2=4m 2n 2B ．（-2mn ）2=4m 2n 2C ．（2m 2n 2）3=8m 6n 6D ．（-2m 2n 2）3=-8m 5n 5【答案】D【解析】A ．（2mn ）2=4m 2n 2，该选项正确； B ．（-2mn ）2=4m 2n 2，该选项正确； C ．（2m 2n 2）3=8m 6n 6，该选项正确；D ．（-2m 2n 2）3=-8m 6n 6，该选项错误．故选D ．3．整式的乘法（1）单顶式与单顶式相乘，系数是带分数的一定要化成假分数，还应注意混合运算的运算顺序：先乘方，再乘法，最后加减．有同类顶的一定要合并同类顶．（2）单顶式与多顶式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式．计算：3x 2·5x 3的结果为A ．3x 6B ．15x 6C ．5x 5D ．15x 5【答案】D【解析】直接利用单项式乘以单项式运算法则，得3x 2·5x 3=15x 5．故选D ．下列各式计算正确的是A ．2x （3x -2）=5x 2-4xB ．（2y +3x ）（3x -2y ）=9x 2-4y 2C ．（x +2）2=x 2+2x +4D ．（x +2）（2x -1）=2x 2+5x -2【答案】B【解析】A 、2x （3x -2）=6x 2-4x ，故本选项错误； B 、（2y +3x ）（3x -2y ）=9x 2-4y 2，故本选项正确； C 、（x +2）2=x 2+4x +4，故本选项错误；D 、（x +2）（2x -1）=2x 2+3x -2，故本选项错误．故选B ．4．同底数幂的除法多顶式除以单项式可转化为单项式除以单顶式的和，计算时应注意逐项相除，不要漏项，并且要注意符号的变化，最后的结果通常要按某一字母升幂或降幂的顺序排列．计算2x 2÷x 3的结果是 A ．xB ．2xC ．x -1D ．2x -1【答案】D【解析】因为2x 2÷x 3=2x -1，故选D ．计算：4333a b a b ÷的结果是 A ．aB ．3aC ．abD ．2a b【答案】A【解析】因为43334333a b a b a b a --÷==．故选A ．计算：22(1510)(5)x y xy xy --÷-的结果是A ．32x y -+B ．32x y +C ．32x -+D ．32x --【答案】B【解析】因为2221111121(1510)(5)3232x y xy xy xyx y x y ------÷-=+=+．故选B ．5．整式的化简求值（1）化简求值题一般先按整式的运算法则进行化简，然后再代入求值．（2）在求整式的值时，代入负数时应用括号括起来，作为底数的分数也应用括号括起来．先化简，再求值：2[()(4)8]2x y y x y x x -+--÷，其中8x =，2018y =．【解析】原式222(248)2x xy y xy y x x =-++--÷2(28)2x xy x x =+-÷142x y =+-． 当8x =，2018y =时，原式182018420182=⨯+-=．1．计算3(2)a -的结果是 A ．38a -B ．36a -C ．36aD ．38a2．下列计算正确的是 A ．77x x x ÷=B ．224(3)9x x -=-C ．3362x x x ⋅=D ．326()x x =3．如果2(2)(6)x x x px q +-=++，则p 、q 的值为 A ．4p =-，12q =- B ．4p =，12q =- C ．8p =-，12q =-D ．8p =，12q =4．已知30x y +-=，则22y x ⋅的值是 A ．6B ．6-C ．18D ．85．计算3n ·（-9）·3n ＋2的结果是 A ．-33n -2B ．-3n ＋4C ．-32n ＋4D ．-3n ＋66．计算223(2)(3)m m m m -⋅-⋅+的结果是 A ．8m 5B ．–8m 5C ．8m 6D ．–4m 4+12m 57．若32144m nx y x y x ÷=，则m ，n 的值是 A ．6m =，1n = B ．5m =，1n = C ．5m =，0n =D ．6m =，0n =8．计算（-x ）2x 3的结果等于__________． 9．（23a a a ⋅⋅）³=__________．10．3119(1.210)(2.510)(410)⨯⨯⨯=__________． 11．计算：（a 2b 3-a 2b 2）÷（ab ）2=__________．12．若1221253()()m n n m a b a b a b ++-= ，则m +n 的值为__________． 13．计算：（1）21(2)()3(1)3x y xy x -⋅-+⋅-； （2）23(293)4(21)a a a a a -+--． （3）（21x 4y 3–35x 3y 2+7x 2y 2）÷（–7x 2y ）．14．先化简，再求值：（1）x （x -1）+2x （x +1）-（3x -1）（2x -5），其中x =2； （2）243()()m m m -⋅-⋅-，其中m =2-．15．“三角”表示3xyz ，“方框”表示-4a b d c ．求×的值．16．下列运算正确的是A ．326a a a ⨯=B ．842a a a ÷=C ．3(1)33a a --=-D ．32911()39a a =17．计算5642333312(3)2a b c a b c a b c ÷-÷，其结果正确的是A ．2-B ．0C ．1D ．218．计算：(7)(6)(2)(1)x x x x +---+=__________． 19．如果1()()5x q x ++展开式中不含x 项，则q =__________． 20．已知：2x =3，2y =6，2z =12，试确定x ，y ，z 之间的关系．21．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x +a ）（3x +b ），由于甲抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为6x 2+11x -10；由于乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为2x 2-9x +10． （1）试求出式子中a ，b 的值；（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果．22．（2019•镇江）下列计算正确的是A ．236a a a ⋅=B ．734a a a ÷=C ．358()a a =D ．22()ab ab =23．（2019•泸州）计算233a a ⋅的结果是A ．54aB ．64aC ．53aD ．63a24．（2019•柳州）计算：2(1)x x -=A ．31x -B ．3x x -C ．3x x +D ．2x x -25．（2019•天津）计算5x x ⋅的结果等于__________． 26．（2019•绥化）计算：324()m m -÷=__________． 27．（2019•乐山）若392m n ==，则23m n +=__________． 28．（2019•武汉）计算：2324(2)x x x -⋅． 29．（2019•南京）计算：22()()x y x xy y +-+．1．【答案】A【解析】33(2)8a a -=-，故选A ． 2．【答案】D【解析】A 、76x x x ÷=，故此选项错误； B 、224(3)9x x =-，故此选项错误； C 、336x x x ⋅=，故此选项错误； D 、326()x x =，故此选项正确， 故选D ． 3．【答案】A【解析】已知等式整理得：x 2-4x -12=x 2+px +q ，可得p =-4，q =-12，故选A ．4．【答案】D【解析】∵x +y -3=0，∴x +y =3，∴2y ·2x =2x +y =23=8．故选D ．5．【答案】C【解析】3n ·（-9）·3n ＋2=-3n ·32·3n ＋2=-32n +4，故选C ．6．【答案】A【解析】原式=4m 2·2m 3=8m 5，故选A ．7．【答案】B 【解析】因为33121444m n m n x y x y x y x --÷==，所以32m -=，10n -=，5m =，1n =，故选B ． 8．【答案】x 5【解析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法法则可得：（-x ）2x 3=x 2·x 3=x 5．故答案为：x 5． 9．【答案】a 18【解析】（23a a a ⋅⋅）³=（6a ）³=a 18．故答案为：a 18． 10．【答案】241.210⨯【解析】原式=1.2×103×（2.5×1011）×（4×109）=12×1023=1.2×1024．故答案为：1.2×1024． 11．【答案】1b -【解析】（a 2b 3-a 2b 2）÷（ab ）2=（a 2b 3-a 2b 2）÷a 2b 2=a 2b 3÷a 2b 2-a 2b 2÷a 2b 2=1b -．故答案为：1b -． 12．【答案】2【解析】（a m +1b n +2）（a 2n –1b 2m ）=a m +1+2n –1·b n +2+2m =a m +2n ·b n +2m +2=a 5b 3， ∴25223m n n m +=++=⎧⎨⎩， 两式相加，得3m +3n =6，解得m +n =2，故答案为：2．13．【解析】（1）原式=2x 2y +3xy -x 2y=x 2y +3xy ．（2）原式=6a 3-27a 2+9a -8a 2+4a=6a 3-35a 2+13a ．（3）原式=21x 4y 3÷（–7x 2y ）–35x 3y ÷（–7x 2y ）+7x 2y 2÷（–7x 2y ）=–3x 2y 2+5xy –y ．14．【解析】（1）原式=x 2-x +2x 2+2x -6x 2+17x -5=（x 2+2x 2-6x 2）+（-x +2x +17x ）-5=-3x 2+18x -5．当x =2时，原式=19．（2）原式=-m 2·m 4·（-m 3）=m 2·m 4·m 3=m 9．当m =-2时，则原式=（-2）9=-512．15．【解析】由题意得×=（3mn ·3）×（–4n 2m 5） =[]526333(4)()()36m m n n m n ⨯⨯-⋅⋅⋅=-．16．【答案】C【解析】A 、2326a a a ⨯=，故本选项错误；B 、844a a a ÷=，故本选项错误；C 、()3133a a --=-，正确；D 、32611()39a a =，故本选项错误， 故选C ．17．【答案】A【解析】因为5642333352363341312(3)222a b c a b c a b c ab c ------÷-÷=-=-，故选A ． 18．【答案】2x -40【解析】原式=（x 2+x -42）-（x 2-x -2）=2x -40．故答案为：2x -40．19．【答案】15- 【解析】1()()5x q x ++=211()55x q x q +++，由于展开式中不含x 的项，∴105q +=，∴15q =-．故答案为：15-．20．【解析】因为2x =3，所以2y =6=2×3=2×2x =2x ＋1， 2z =12=2×6=2×2y =2y ＋1．所以y =x +1，z =y +1．两式相减，得y -z =x -y ，所以x +z =2y ．21．【解析】（1）由题意得：（2x -a ）（3x +b ）=6x 2+（2b -3a ）x -ab ，（2x +a ）（x +b ）=2x 2+（a +2b ）x +ab ， 所以2b -3a =11①，a +2b =-9②，由②得2b =-9-a ，代入①得-9-a -3a =11，所以a =-5，2b =-4，b =-2．（2）由（1）得（2x +a ）（3x +b ）=（2x -5）（3x -2）=6x 2-19x +10．22．【答案】B【解析】A 、a 2·a 3=a 5，故此选项错误；B 、a 7÷a 3=a 4，正确；C 、（a 3）5=a 15，故此选项错误；D 、（ab ）2=a 2b 2，故此选项错误，故选B ．23．【答案】C【解析】23533a a a ⋅=，故选C ．24．【答案】B【解析】23(1)x x x x -=-，故选B ．25．【答案】6x【解析】56⋅=x x x ，故答案为：6x ．26．【答案】2m【解析】原式64642m m m m ÷－＝＝＝，故答案为：m 2．27．【答案】4【解析】∵23=9=32=m n n ，∴2233339224+=⨯=⨯=⨯=m n m n m n ，故答案为：4．28．【解析】2324(2)x x x -⋅=668x x -67x =．29．【解析】22()()x y x xy y +-+322223x x y xy x y xy y =-++-+ 33x y =+．。

【精选】人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

【精选】人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)
（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；
（3）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD的面积求解．
【详解】
（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；
例如：
．
根据以上材料，完成相应的任务：
（1）利用“多项式的配方法”将 化成 的形式为_______；
（2）请你利用上述方法因式分解：
① ；② ．
【答案】（1） ；（2）① ；②
【解析】
【分析】
（1）将多项式 即可完成配方；
（2）①将多项式+1-1后即可用配方法再根据平方差公式分解因式进行解答；
②将多项式 即可完成配方，再根据平方差公式分解因式，整理后即可得到结果.
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
1．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
在初中数学课本中重点介绍了提公因式法和运用公式法两种因式
分解的方法，其中运用公式法即运用平方差公式： 和完全平方公式： 进行分解因式，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．当一个二次三项式不能直接能运用完全平方公式分解因式时，可应用下面方法分解因式，先将多项式 变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法．再运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．

2021年八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》经典练习题(提高培优)(1)

2021年八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》经典练习题(提高培优)(1)

一、选择题1．根据等式：()()2111x x x -+=-，()()23111,x x x x -++=-()()324111x x x x x -+++=-，()()4325111,x x x x x x -++++=-……的规律，则可以推算得出2021202020192222...221++++++的末位数字是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7B解析：B【分析】利用题目给出的规律：把2021202020192222...221++++++乘（2-1）得出22022-1，研究22022的末位数字规律，进一步解决问题．【详解】解：由题目中等式的规律可得： 2021202020192222...221++++++=（2-1）×2021202020192(222...221)++++++=22022-1，21的末位数字是2，22的末位数字是4，23的末位数字是8，24的末位数字是6，25的末位数字是2…，所以2n 的末位数字是以2、4、8、6四个数字一循环．2022÷4=505…2，所以22022的末位数字是4，22022-1的末位数字是3．故选：B【点睛】此题考查了平方差公式，乘方的末位数字的规律，尾数特征，注意从简单情形入手，发现规律，解决问题．2．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）A ．2105525x x x x x -=⋅-B ．()a x y ax ay +=+C ．()22442x x x -+=-D ．()()2163443x x x x x -+=-++ C 解析：C【分析】将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义解答．【详解】解：A 、2105525x x x x x -=⋅-，不是分解因式；B 、()a x y ax ay +=+，不是分解因式；C 、()22442x x x -+=-，是分解因式；D 、()()2163443x x x x x -+=-++，不是分解因式； 故选：C ．【点睛】此题考查多项式的分解因式，熟记定义及分解因式后式子的特点是解题的关键． 3．形如abcd 的式子叫做二阶行列式，它的算法是：ab ad bc cd =-，则221a a a a -++的运算结果是（ ）A ．4aB ．4a -C ．4D ．4- A解析：A【分析】根据定义把二阶行列式表示成整式，然后再化简计算即可．【详解】解：由题意可得： ()()()212221aa a a a a a a -=+--+++ =()224a a a +--=224a a a +-+=a+4，故答案为A ．【点睛】本题考查整式乘法的混合运算，通过观察题目给出的运算法则，把所求解的算式根据运算法则展开是解题关键．4．如表，已知表格中竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则m +n ＝（ ）A ．1B ．2C ．5D ．7D 解析：D【分析】 由题意竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则有m ﹣3+4﹣（m +3）＝﹣3+1+n ﹣（4+1），即可解出n ＝5，从而求出m 值即可．【详解】解：由题意得竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则有m ﹣3+4﹣（m +3）＝﹣3+1+n ﹣（4+1），整理得n ＝5，则有m ﹣3+4＝﹣3+1+5，解得m ＝2，∴m +n ＝5+2＝7，故选：D ．【点睛】此题主要考查列一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系是解题关键． 5．已知： 13m m +=， 则： 331m m +的值为( ) A ．15B ．18C ．21D ．9B 解析：B【分析】 把13m m +=两边平方得出221m m +的值，再把331m m+变形代入即可得出答案 【详解】 解：∵13m m+=， ∴219⎛⎫+= ⎪⎝⎭m m ， ∴221=7+m m ∴()3232111=m+m 1+=371=18m m ⎛⎫⎛⎫+-⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭m m 故选：B【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键6．已知A 为多项式，且2221241A x y x y =--+++，则A 有（ ）A ．最大值23B ．最小值23C ．最大值23-D ．最小值23- A解析：A【分析】利用分组分解法，变为完全平方式解答即可．【详解】 2221241A x y x y =--+++=2221218441184x x y y -+--+-+++=()()222694423x x y y --+--++=()()2223223x y ----+∵()2230x --≤，()220y --≤，∴()()2223223x y ----+≤23， ∴多项式的最大值是23，故选A ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握a 2±2ab +b 2=(a ±b )2是解答本题的关键．7．下列分解因式正确的是（ ）A ．xy ﹣2y 2＝x （y ﹣2x ）B ．m 3n ﹣mn ＝mn （m 2﹣1）C ．4x 2﹣24x +36＝（2x ﹣6）2D ．4x 2﹣9y 2＝（2x ﹣3y ）（2x +3y ）D 解析：D【分析】根据因式分解的方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式计算判断．【详解】A 、xy ﹣2y 2＝y （x ﹣2y ），故该项错误；B 、m 3n ﹣mn ＝mn （m 2﹣1）=mn （m+1）（m-1），故该项错误；C 、4x 2﹣24x +36＝4（x ﹣3）2，故该项错误；D 、4x 2﹣9y 2＝（2x ﹣3y ）（2x +3y ），故该项正确；故选：D ．【点睛】此题考查因式分解的解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．8．设, a b 是实数，定义一种新运算：()2*a b a b =-．下面有四个推断：①**a b b a =；②()222**a b a b =；③()()**a b a b -=-；④()**a b c a b a c +=+*．其中所有正确推断的序号是（ ）A ．①②③④B ．①③④C ．①②D ．①③D 解析：D【分析】根据a*b 的定义，将每个等式的左右两边分别计算，再进行判断即可．【详解】①∵a*b=()2a b -，b*a=()()22b a a b -=-，∴a*b=b*a 成立；②(a*b)2=()()()224a b a b -=-，a 2*b 2=()()()22222a b a b a b -=-+， ∵()()()422a b a b a b -≠-+∴（a*b ）2=a 2*b 2不成立；③∵(−a)*b=()()22a b a b --=+，a*(−b)= ()()22a b a b --=+⎡⎤⎣⎦，∴−a*b=a*(−b)成立；④∵a*(b+c)= ()()22a b c a b c -+=--⎡⎤⎣⎦，a*b+a ∗c=()()()222a b a c a b c -+-≠--， ∴a*(b+c) =a*b+a ∗c 不成立；故选：D ．【点睛】本题考查了新定义下实数的运算，正确理解题意是解题的关键．9．已知1x x +=1x x -的值为（ ）A B ．2± C ．D 解析：C【分析】将1x x +=两边平方得出22x 15x +=，再求得21-⎛⎫ ⎪⎝⎭x x 即可得答案． 【详解】解：∵1x x+= ∴217⎛⎫+= ⎪⎝⎭x x ∴22127x x ++= ∴22x 15x+= ∴22211-=x -2+=5-2=3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭x x∴1=-±x x故选：C【点睛】 本题主要考查了利用完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键 10．下列运算正确的是（ ）．A ．236x x x =B ．2242x x x +=C ．22(2)4x x -=-D ．358(3)(5)15a a a --= D解析：D【分析】根据整式的同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式计算并判断．【详解】A 、235x x x =，故该项错误；B 、2222x x x +=，故该项错误；C 、22(2)4x x -=，故该项错误；D 、358(3)(5)15a a a --=，故该项正确；故选：D ．【点睛】此题考查整式的计算，正确掌握整式的同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式计算法则是解题的关键．二、填空题11．2007200820092()(1.5)(1)3⨯÷-＝_____．-15【分析】首先把分解成再根据积的乘方的性质的逆用解答即可【详解】解：原式＝＝＝﹣15故答案为-15【点睛】本题考查有理数的乘方运算逆用积的乘方法则是解题关键解析：-1.5【分析】首先把20081.5分解成20071.5 1.5⨯，再根据积的乘方的性质的逆用解答即可．【详解】 解：原式＝()200720072 1.5 1.513⎛⎫⨯⨯÷- ⎪⎝⎭＝()20072 1.5 1.513⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭＝﹣1.5， 故答案为-1.5 ．【点睛】本题考查有理数的乘方运算，逆用积的乘方法则是解题关键．12．已知18m x =，16n x =，则2m n x +的值为________．【分析】根据同底数幂的乘法可得再根据幂的乘方可得然后再代入求值即可【详解】解：故答案为【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘底数不变指数相加；幂的乘 解析：14【分析】根据同底数幂的乘法可得22m n m n x x x +=⋅，再根据幂的乘方可得()22m m x x =，然后再代入18mx =，16n x =求值即可． 【详解】 解：()2222111684m n m n m n x x x xx +⎛⎫=⋅=⋅=⨯= ⎪⎝⎭ ， 故答案为14． 【点睛】 此题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．13．因式分解269x y xy y -+-=______．-y （x-3）2【分析】提公因式-y 再利用完全平方公式进行因式分解即可；【详解】解：-x2y+6xy-9y=-y （x2-6x+9）=-y （x-3）2故答案为：-y （x-3）2；【点睛】本题考查了因式解析：-y （x-3）2【分析】提公因式-y ，再利用完全平方公式进行因式分解即可；【详解】解：-x 2y+6xy-9y=-y （x 2-6x+9）=-y （x-3）2，故答案为：-y （x-3）2；【点睛】本题考查了因式分解的方法，掌握提公因式法、公式法是正确解答的关键．14．的整数部分是a ．小数部分是b ，则2a b -=______．6-16【分析】先估算确定ab 的值进而即可求解【详解】∵＜＜∴3＜＜4又∵a 是的整数部分b 是的小数部分∴a ＝3b ＝−3∴3-(−3)2=3-(10-6+9)=3-10+6-9=6-16故答案是：6-解析：-16【分析】，确定a ，b 的值，进而即可求解．【详解】 ∵∴3＜4，又∵a b 的小数部分，∴a ＝3，b−3，∴2a b -=−3)2-16．故答案是：-16．【点睛】本题考查无理数的估算、完全平方公式，确定a 、b 的值是解决问题的关键．15．历史上数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示．例如，对于多项式42()5f x mx nx x =+++，当2x =时，多项式的值为(2)1647f m n =++，若(2)10f =，则()2f -的值为_________．6【分析】由得把它整体代入求值【详解】解：∵∴即∴故答案是：6【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入的思想求值解析：6【分析】由(2)10f =得1643m n +=，把它整体代入()21643f m n -=++求值．【详解】解：∵(2)10f =，∴164710m n ++=，即1643m n +=，∴()216425336f m n -=+-+=+=．故答案是：6．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入的思想求值．16．已知102m =，103n =，则32210m n ++=_______．7200【分析】根据幂的乘方法则分别求出和的值然后根据同底数幂的乘法运算法则计算即可【详解】解：∵∴∴故答案为：7200【点睛】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方解题的关键是掌握运算法则解析：7200【分析】根据幂的乘方法则分别求出3m 10和210n 的值，然后根据同底数幂的乘法运算法则计算即可．【详解】解：∵102m =，103n =，∴()33m 10108m ==，()22n 10109n ==， ∴3m+2n+232210101010891007200m n =⋅⋅=⨯⨯=，故答案为：7200．【点睛】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是掌握运算法则．17．一个长方形的两邻边分别是8x -，2x -，若()()228213x x -+-=，则这个长方形的面积是_________【分析】根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论【详解】解：设8-x=ax-2=b ∵长方形的两邻边分别是8-xx-2∴a+b=8-x+x-2=6∵(8-x)2+(x-2)2=a2+b2= 解析：232【分析】根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论．【详解】解：设8-x=a ，x-2=b ，∵长方形的两邻边分别是8-x ，x-2，∴a+b=8-x+x-2=6，∵(8-x)2+(x-2)2=a 2+b 2=(a+b)2-2ab=62-2ab=13，∴ab=232， ∴这个长方形的面积=(8-x)(x-2)=ab=232． 故答案为：232． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 18．若210x x --=，则3225x x -+的值为________．【分析】首先将已知条件变形为再把要求的式子变形然后整体代入即可求解【详解】解：∵即∴故答案为：4【点睛】此题主要考查了代数式求值把所给代数式进行恰当变形是解答此题的关键解析：【分析】首先将已知条件210x x --=变形为21x x -=，21x x -=，再把要求的式子变形，然后整体代入即可求解．【详解】解：∵210x x --=，即21x x -=，21x x -=，∴()323222514x x x x x -+=---+ ()()2214x x x x =---+4x x =-+4=．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了代数式求值，把所给代数式进行恰当变形是解答此题的关键． 19．已知,a b 满足1,2a b ab -==，则a b +=____________【分析】利用完全平方公式的两个关系式得到即可得到答案【详解】∵∴∴故答案为：【点睛】此题考查完全平方公式熟记完全平方公式及两个完全平方公式的关系是解题的关键 解析：3±【分析】利用完全平方公式的两个关系式得到22()()41429a b a b ab +=-+=+⨯=，即可得到答案．【详解】∵1,2a b ab -==，∴22()()41429a b a b ab +=-+=+⨯=，∴3a b +=±，故答案为：3±．【点睛】此题考查完全平方公式，熟记完全平方公式及两个完全平方公式的关系是解题的关键． 20．已知()()()214b c a b c a -=--且a ≠0，则b c a +＝__．2【分析】由可得：去分母整理可得：从而得到：于是可得答案【详解】解：故答案为：2【知识点】本题考查的是整式的乘法运算完全平方公式的应用因式分解的应用非负数的性质代数式的值利用平方根的含义解方程掌握以解析：2【分析】 由()()()214b c a b c a -=--可得：()()()21,4b c bc a b c a bc -+=--+去分母整理可得：()220,b c a +-=从而得到：2,b c a +=于是可得答案．【详解】解： ()()()21,4b c a b c a -=-- ()()()21,4b c bc a b c a bc ∴-+=--+ ()()22444b c bc ac a bc ab bc ∴-+=--++，()()22440,b c a a b c ∴++-+=()220,b c a ∴+-=20,b c a ∴+-=2,b c a ∴+=∴ 2=2,b c a a a+= 故答案为：2．【知识点】本题考查的是整式的乘法运算，完全平方公式的应用，因式分解的应用，非负数的性质，代数式的值，利用平方根的含义解方程，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题21．如图，点M 是AB 的中点，点P 在MB 上．分别以AP ，PB 为边，作正方形APCD 和正方形PBEF ，连结MD 和ME ．设AP ＝a ，BP ＝b ，且a ＋b ＝8，ab ＝6，求图中阴影部分的面积．解析：36【分析】依据AP ＝a ，BP ＝b ，点M 是AB 的中点，可得AM ＝BM ＝2a b +，再根据S 阴影＝S 正方形APCD ＋S 正方形BEFP ﹣S △ADM ﹣S △BEM ，即可得到图中阴影部分的面积．【详解】解：∵a ＋b ＝8，a b ＝6，∴S 阴影部分＝S 正方形APCD ＋S 正方形BEFP ﹣S △AMD ﹣S △MBE ， ＝22112222a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ＝()2224a b a b ++- ， =()()22+24a b a b ab +--，＝64﹣12﹣644， ＝64﹣12﹣16，＝36．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．22．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a 2+6a +8，解：原式=a 2+6a +8+1-1=a 2+6a +9-1=(a +3)2－12=[(a +3)+1][(a +3)-1]=(a +4)(a +2)②M =a 2-2a －1，利用配方法求M 的最小值．解：a 2-2a -1=a 2-2a +1=(a -1)2-2∵(a -b )2≥0，∴当a =1时，M 有最小值-2．请根据上述材料解决下列问题：（1）用配方法．．．因式分解：x 2+2x -3． （2）若M=2x 2-8x ，求M 的最小值．解析：（1）()(33)x x +-；（2）-8【分析】（1）应用配方法以及平方差公式，把x 2+2x -3因式分解即可．（2）应用配方法，把2x 2-8x 化成22(2)8x --，再根据偶次方的非负性质，求出M 的最小值是多少即可．【详解】解：（1）原式=22344x x +-+-=2214x x ++-=22(1)2x +-=()(33)x x +-（2）228x x -=22(4)x x -=2（2444x x -+-）=22(2)8x --因为2(2)x -0≥，所以当x =2时，M 有最小值为-8【点睛】此题主要考查了利用平方差公式和完全平方式进行因式分解，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．23．化简求值：()()()2262x y x y y y x x ⎡⎤⎣++⎦--÷，其中2,3x y ==-．解析：2x-3y ，13【分析】先根据整式的运算法则进行化简，然后将a 与b 的值代入原式即可求出答案．【详解】解：原式()222462x y y xy x =-+-÷ ()2462x xy x =-÷ 23x y =-当2,3x y ==-时，原式()2233=⨯-⨯-4913=+=．【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解题的关键． 24．阅读下面材料，完成任务．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算，先把多项式按照某个字母的降幂进行排列，缺少的项可以看做系数为零，然后类比多位数的除法利用竖式进行计算．∴26445123215÷= ∴()()32223133x x x x x +-÷-=++ 请用以上方法解决下列问题：（计算过程要有竖式）（1）计算：()()3223102x x x x +--÷- （2）若关于x 的多项式43225x x ax b +++能被二项式2x +整除，且a ，b 均为自然数，求满足以上条件的a ，b 的值．解析：（1）()()3222310245x x x x x x +--÷-=++；（2）0a =，8b =；1a =，4b =；2a =，0b =【分析】（1）直接利用竖式计算即可；（2）竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数求得答案即可．【详解】解：（1）列竖式如下：()()3222310245x x x x x x +--÷-=++ （2）列竖式如下：∵多项式43225x x ax b +++能被二项式2x +整除∴余式()420b a +-=∵a ，b 均为自然数∴0a =，8b =；1a =，4b =；2a =，0b =【点睛】此题考查利用竖式计算整式的除法，解题时要注意同类项的对应．25．分解因式（1）22363ax axy ay -+（2）()()22162x x x ---解析：（1）3a （x-y ）2；（2）()()()2+44x x x --【分析】（1）先提取公因式3a ，然后由完全平方公式进行因式分解；（2）直接提取公因式（x-2），进而利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：（1）原式=3a （x 2-2xy+y 2）=3a （x-y ）2；（2）()()22162x x x ---()()2=216x x --()()()=2+44x x x --【点睛】本题考查了分解因式．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．26．图1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于______；（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．①________________；②__________________．（3）观察图2你能写出2()m n +，2()m n -，mn 三个代数式之间的等量_____________．（4）运用你所得到的公式，计算若知8,7a b ab +==，求-a b 和22a b -的值．（5）用完全平方公式和非负数的性质求代数式222431832x x y y ++-+的最小值．解析：（1）m-n ；（2）①（m-n ）2；②（m+n ）2-4mn ；（3）（m-n ）2=（m+n ）2-4mn ；（4）6a b -=±，22a b -=±48；（5）3【分析】（1）根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答；（2）从整体与局部两个思路考虑解答；（3）根据大正方形的面积减去阴影部分小正方形的面积等于四个长方形的面积解答； （4）根据()()224a b a b ab -=+-，可得a-b 的值，再根据22a b -=()()a b a b +-求出22a b -的值；（5）利用完全平方公式将原式变形为()()2221333x y ++-+，再根据非负数的性质可求出最小值为3．【详解】解：（1）由图可知，阴影部分小正方形的边长为：m-n ；（2）根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为（m-n ）2，还可以表示为（m+n ）2-4mn ；（3）根据阴影部分的面积相等，（m-n ）2=（m+n ）2-4mn ；（4）∵8,7a b ab +==，∴()()224a b a b ab -=+-=2847-⨯=36， ∴6a b -=±，若6a b -=，则22a b -=()()a b a b +-=86⨯=48，若6a b -=-，则22a b -=()()a b a b +-=()86⨯-=-48；（5）222431832x x y y ++-+=22242318273x x y y +++-++=()()2221333x y ++-+∵()2210x +≥，()2330y -≥， ∴()()2221333x y ++-+≥3，即最小值为3． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键．27．已知多项式35ax bx +-，当2x =-时，该多项式的值是7，则当2x =时，该多项式的值是多少？解析：-17【分析】首先把x=-2代入多项式35ax bx +-，整理成关于a 、b 的等式，再把x=2代入，观察两个式子的联系，进一步求得数值即可．【详解】解：x ＝-2时， 35ax bx +-=7，即-8a -2b -5=7，所以8a+2b =-12，当x=2时，35ax bx +-=8a+2b -5=-12-5=-17，所以该多项式的值是-17.【点睛】本题考查了代数式求值，注意代入数值的特点，发现前后式子的联系，整体代入解决问题. 28．已知x 、y 为有理数，现规定一种新运算，满足1x y xy *=+．（1）求24*的值；（2）求(14)(2)*-的值；（3）探索()a b c *+与a b a c *+*的关系，并用等式把它们表达出来．解析：（1）9；（2）-27；（3）a b a c *+*=()a b c *++1．【分析】（1）根据1x y xy *=+，可以求得所求式子的值；（2）根据1x y xy *=+，可以求得所求式子的值；（3）根据1x y xy *=+，可以得到()a b c *+与a b a c *+*的关系，并用等式把它表达出来．【详解】解：（1）∵1x y xy *=+，∴24=24+1=8+1=9*⨯；（2）1x y xy *=+，∴(14)(2)=14(2)128127*-⨯-+=-+=-；（3））∵1x y xy *=+，∴()()11a b c a b c ab ac *+=++=++1111a b a c ab ac ab ac *+*=+++=+++∴a b a c *+*=()a b c *++1．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键理解新定义，代入数据，注意由式子转化为具体数据的时候符号及运算顺序的变化，求出相应式子的值．。

人教版2022-2023学年八年级数学上册阶段性复习精选精练《整式的乘法与因式分解》提高卷含答案解析

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第14章 整式的乘法与因式分解（提高篇）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运算中，正确的是（ ） A ．236x x x ⋅=B ．()235x x =C ．224x x x +=D ．523x x x2．多项式233a b abc +中各项的公因式是（ ） A ．abB ．2a bC ．3abD ．abc3．如()x m +与(3)x +的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ） A ．3-B ．3C ．0D ．14．下列各式中，不能用．．．平方差公式计算的是（ ） A ．()()x y x y --- B ．()()x y x y -+--C ．()()x y x y +-+D ．()()x y x y --+52440b b -+=，则-a b 的值为（ ） A ．3B ．-3C ．1D ．-16．因式分解：224(2)x ax bx -+=+，其中,a b 是常数，则a b +=（ ） A ．3±B ．3-C ．3D ．47．已知a ﹣b ＝1，则a 3﹣a 2b +b 2﹣2ab 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．28．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2﹣b 2c 2＝a 4﹣b 4，则△ABC 是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形9．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．202310．如图，两个正方形的边长分别为a, b,如果a+b=ab=9,则阴影部分的面积为（ ）A ．36B ．27C ．18D ．9二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．计算：（﹣2）2023×0.52022＝_____． 12．分解因式：3x 2y ﹣3y ＝_______．13．已知1020x =，10050y =，则2x y +=______． 14．已知2269x y -=，3x y +=，则x y -=___．15．如果23m m +=，那么代数式2(2)(2)m m m -++的值为___________． 16．若()2202210m +=，则()()20212023m m ++=______．17．若实数m ，n 满足2222890m n m n mn ++++=，则()2m n -的值为_________． 18．杨辉三角，又称贾宪三角，其中揭示了()na b +（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下：()1a b +=()1a b a b +=+()2222a b a ab b +=++()3322333a b a a b ab b +=+++()4432234464a b a a b a b ab b +=++++ ()543225345510105a a b a b a a a b b b b =++++++…则()10+a b 展开式中所有项的系数和是______． 三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（1）已知4 m =a ，8n =b ，用含a 、b 的式子表示下列代数式： △求：22 m+3n 的值； △求：24 m －6n 的值；（2）已知2×8x ×16=226，求x 的值．20．（8分）要求：利用乘法公式计算(1) 2202320212022⨯- (2) ()()2323x y x y -+--21．（10分）因式分解：(1) 21850x -； (2) 4224817216x x y y -+．22．（10分）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为“神秘数”．如:4＝22-02;12＝42-22；20＝62-42；因此，4，12，20这三个数都是神秘数．(1)28和2012这两个数是不是神秘数？为什么？(2)设两个连续偶数为2k 和2k+2(其中k 为非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数，请说明理由．(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是不是神秘数？请说明理由．23．（10分）探究题:(1)问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：269x x ++=__________；244x x -+=________；242025x x -+=________；(2)探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：26419=⨯⨯；2(4)414-=⨯⨯；2(20)4425-=⨯⨯；归纳猜想：若多项式2(0,0)ax bx c a c ++>>是完全平方式，猜想：系数a ，b ，c 之间存在的关系式为_____________________．(3)验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论．(4)解决问题：若多项式2(1)(26)(6)n x n x n +-+++是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n 的值．24．（12分）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．比如：用图1所示的正方形与长方形纸片可以拼成一个图2所示的正方形．(1)【问题发现】利用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积S ，写出你从中获得的等式为__________________________________；(2)【类比探究】已知x 满足()()1182x x --=，则()()22118x x -+-=______；(3)【拓展延伸】学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，两块草地分别是以AC 、BC 为边的正方形，且两正方形的面积和1225S S +=，点C 是线段AG 上的点，若7AG =，求用来种花的阴影部分的面积．参考答案1．D【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的除法法则分别计算即可．解：A. 235x x x ，故选项错误，不符合题意； B. ()236x x =，故选项错误，不符合题意；C. 2222x x x +=，故选项错误，不符合题意；D. 523x x x ，故选项正确，符合题意．故选：D ．【点拨】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的除法法则，熟记相关运算法则是解题关键．2．A【分析】利用公因式的确定方法可得答案，这两项的系数1与3，它们的最大公约数是1；两项的字母部分a 2b 3与abc 都含有字母a 和b ，其中a 的最低次数是1，b 的最低次数是1，因此公因式为ab ．解：△a 2b 3与2abc 这两项的系数1与3， △它们的最大公约数是1；△两项的字母部分a 2b 3与abc 都含有字母a 和b ，其中a 的最低次数是1，b 的最低次数是1，△多项式a 2b 3+2abc 中各项的公因式为ab ， 故选：A ．【点拨】本题考查了公因式，解题的关键是掌握确定多项式中各项的公因式的方法，可概括为三“定”：△定系数，即确定各项系数的最大公约数；△定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；△定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．3．A【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m 看作常数合并关于x 的同类项，令x 的系数为0，得出关于m 的方程，求出m 的值．解：22()(3)33(3)3x m x x x mx m x m x m ++=+++=+++， 又()x m +与(3)x +的乘积中不含x 的一次项，30m ∴+=，解得3m =-． 故选：A ．【点拨】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．4．D【分析】利用平方差公式的结构特征进行判断即可． 解：A. ()()=()()x y x y x y x y ----+-=y 2-x 2，△不符合题意； B. 2222()()()x y x y x y x y -+--=--=-，△不符合题意； C. 22()()()()x y x y y x y x y x +-+=+-=-△不符合题意；D. 2()()()()()x y x y x y x y x y --+=---=--，不能用平方差公式进行计算，△符合题意； 故选：D ．【点拨】本题主要考查了平方差公式，掌握运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．5．B【分析】利用完全平方公式将244b b -+进行因式分解，再利用算术平方根和完全平方的非负性解题即可．解：21440a b b ++-+=2(2)0b -=210,(2)0a b ，1020a b +=⎧∴⎨-=⎩， 解得：12a b =-⎧⎨=⎩ ， 123a b．故选B ．【点拨】本题考查了用完全平方公式法进行因式分解：222)2(a ab b a b ±+=± ，算数平方根以及完全平方的非负性，熟练掌握用公式法进行因式分解以及非负数的性质是解题的关键．6．A【分析】根据完全平方公式进行计算判断即可得出结果． 解：()22224244x ax bx b x bx -+=+=++， △21b =，4a b -=， △b =±1，当b =1时，a =-4， a +b =-3；当b=-1时，a=4，a+b=3；故选：A．【点拨】题目主要考查利用完全平方公式进行因式分解计算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．7．C【分析】首先利用提取公因式法分解因式，可得a2（a﹣b）+b2﹣2ab，再把a﹣b＝1代入，可得a2+b2﹣2ab，再利用完全平方公式分解因式，可得（a﹣b）2，据此即可求得．解：△a﹣b＝1，△a3﹣a2b+b2﹣2ab＝a2（a﹣b）+b2﹣2ab＝a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2＝1故选：C．【点拨】本题考查了因式分解，完全平方公式，整式的化简求值，采用整体代入是解决此类题的关键．8．C【分析】移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解．解：移项得，a2c2﹣b2c2﹣a4+b4=0，c2(a2﹣b2)﹣(a2+b2)(a2﹣b2)=0，(a2﹣b2)(c2﹣a2﹣b2)=0，所以，a2﹣b2=0或c2﹣a2﹣b2=0，即a=b或a2+b2=c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．故选：C．【点拨】本题考查了因式分解的应用以及勾股定理的逆定理的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键．9．C【分析】设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，即可得答案．解：设k是正整数，△（k＋1）2−k2＝（k＋1＋k）（k＋1−k）＝2k＋1，△除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，B ，D 选项都是智慧数，不符合题意； △（k ＋1）2−（k −1）2＝（k ＋1＋k −1）（k ＋1−k ＋1）＝4k ，△除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以A 选项是智慧数，不符合题意， C 选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意． 故选：C ．【点拨】本题考查了平方差公式分解因式的应用，牢记a 2−b 2＝（a ＋b ）（a −b ）是解题的关键．10．B【分析】阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个直角三角形面积，求出即可． 解：△a+b=ab=9，△S=a 2+b 2-12a 2-12b （a+b ）=12（a 2+b 2-ab ）=12[（a+b ）2-3ab]=12×（81-27）=27．故选B ．【点拨】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 11．-2【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则计算． 解：（﹣2）2023×0.52022 ＝（﹣2×0.5）2022×（﹣2） =（﹣1）2022×（﹣2） =1×（﹣2） ＝﹣2． 故答案为：﹣2．【点拨】本题主要考查了幂的运算，解题的关键熟练运用幂的乘方与积的乘方的运算法则．12．3y (x +1)(x ﹣1)【分析】先提取公因式3y ，然后再运用平方差公式因式分解即可． 解：3x 2y ﹣3y ＝3y （x 2﹣1） ＝3y （x +1）（x ﹣1）． 故答案为：3y （x +1）（x ﹣1）．【点拨】本题主要考查了运用提取公因式、公式法进行因式分解，灵活应用相关因式分解的方法成为解答本题的关键．13．3【分析】由22100(10)10y y y==，22101010x y x y +=⋅计算解题，结合幂的乘方的逆运算、同底数幂的乘法运算法则解答．解：1020x =，10050y =22100(10)10y y y ∴==222310101010(10)2050100010x y x y x y +∴=⋅=⋅=⨯==23x y ∴+=故答案为：3．【点拨】本题考查幂的乘方、幂的乘方的逆运算、同底数幂的乘法运算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．14．23【分析】把已知条件利用平方差公式分解因式，然后代入数据计算即可． 解：△x 2﹣y 2＝69，x +y ＝3，△x 2﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）＝3（x ﹣y ）＝69， 解得：x ﹣y ＝23． 故答案为：23．【点拨】此题考查对平方差公式的灵活应用能力，分解因式是关键． 15．10【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则先计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值．解：2(2)(2)m m m -++ =m 2-2m +m 2+4m +4 =2m 2+2m +4， △m 2+m =3，△原式=2（m 2+m ）+4=2×3+4=6+4=10， 故答案为：10．【点拨】本题考查整式的混合运算，理解整体思想解题的应用，掌握完全平方公式（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2是解题关键．16．9【分析】先将2021m +变形为20221m +-，2023m +变形为20221m ++，然后把()2022m +看作一个整体，利用平方差公式来求解．解：△()2202210m +=， △()()20212023m m ++()()=2022120221m m +-++ ()2=20221m +-=10-19=．故答案为：9．【点拨】本题考查了平方差公式，代数式求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式：()()22a b a b a b +-=-．17．12【分析】首先将8mn 变形为26mn mn +，然后分组，分别把222m n mn ++和2269m n mn ++因式分解，进一步利用非负数的性质得出m n +和mn 的值，然后再将()2m n -变形为()24m n mn +-，最后将m n +和mn 的值代入计算即可．解：△2222890m n m n mn ++++=， △22222690m n m n mn mn +++++=，△()()22222690m mn n m n mn +++++=，△()()2230m n mn +++=， △0m n +=，3=-mn ， △()2m n - 222m mn n =-+2224m mn n mn =++- ()24m n mn =+-()2043=-⨯-12=．故答案为：12．【点拨】本题考查利用完全平方公式进行因式分解，非负数的性质，代数式求值等知识，运用了整体代入的思想方法．利用完全平方公式将代数式变形是解决本题的关键．18．1024【分析】根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（a +b ）n （n 为非负整数）展开式的项系数和为2n ，求出系数之和即可．解：当n =0时，展开式中所有项的系数和为1=20， 当n =1时，展开式中所有项的系数和为2=21， 当n =2时，展开式中所有项的系数和为4=22， 当n =3时，展开式中所有项的系数和为8=23 •••由此可知（a +b ）n 展开式的各项系数之和为2n ， 则（a +b ）10展开式中所有项的系数和是210=1024，故答案为：1024．【点拨】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．19．（1）△ab ，△22a b；（2）7x = 【分析】（1）△根据同底数幂的乘法运算的逆运算和幂的乘方运算的逆运算进行计算； △根据同底数幂的除法运算的逆运算和幂的乘方运算的逆运算进行计算；（2）将式子左边的数都写成以2为底的幂，再用同底数幂的乘法进行计算，和右边的数比较，列式求出x 的值．解：（1）△()()2323232222248m nm n m n m n ab +=⋅=⋅=⋅=； △()()2224646232222222248m n m n m n m na b -=÷=÷=÷=； （2）343526281622222x x x +⨯⨯=⨯⨯==，得3526x +=，解得7x =．【点拨】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘除法的逆运算和幂的乘方运算的逆运算的运算法则．20．(1)1-(2)22449-+-xy y x【分析】（1）原式变形后，利用完全平方公式计算即可求出值；（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值．（1）解：原式=（2022+1）×（2022-1）-20222=20222-1-20222=-1．（2）解：原式=（2x -y ）2-9=4x 2-4xy +y 2-9．【点拨】本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式是解本题的关键．21．(1)()()23535x x +-(2)22(32)(32)x y x y +-【分析】（1）首先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可．（1）解：21850x -()22925x =- ()()23535x x =+-；（2）解：4224817216x x y y -+222(94)x y =-[]2(32)(32)x y x y =+-=22(32)(32)x y x y +-．【点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．22．（1）是，理由见分析；（2）见分析；（3）不是，理由见分析【分析】（1）试着把28、2012写成平方差的形式，解方程即可判断是否是神秘数；（2）化简两个连续偶数为2k+2和2k 的差，再判断；（3）设两个连续奇数为2k+1和2k -1，则（2k+1）2-（2k -1）2=8k=4×2k ，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．解：（1）设28和2012都是“神秘数”，设28是x 和x -2两数的平方差得到，则x 2-（x -2）2=28，解得：x=8，△x -2=6，即28=82-62，设2012是y 和y -2两数的平方差得到，则y 2-（y -2）2=2012，解得：y=504，y -2=502，即2012=5042-5022，所以28，2012都是神秘数．（2）（2k+2）2-（2k ）2=（2k+2-2k ）（2k+2+2k ）=4（2k+1），△由2k+2和2k 构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍．（3）设两个连续奇数为2k+1和2k -1，则（2k+1）2-（2k -1）2=8k=4×2k ，即：两个连续奇数的平方差是4的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数为4的奇数倍这一条件．△两个连续奇数的平方差不是神秘数．【点拨】此题首先考查了阅读能力、探究推理能力．对知识点的考查，主要是平方差公式的灵活应用．23．(1)()23x +；()22x -；()225x -(2)24b ac =(3)见分析(4)3n =【分析】（1）可用完全平方公式进行分解因式；（2）根据问题情境，式子中的系数关系，可猜想24b ac =；（3）可用完全平方公式进行验证；（4）多项式ax 2＋bx ＋c （a ＞0）是完全平方式，则系数a ，b ，c 存在的关系为b 2＝4ac ，可列[−（2n ＋6）]2＝4（n ＋1）（n ＋6），进而求出n 的值．(1)解：()22693x x x ++=+； ()22442x x x -+=-；()224202525x x x -+=-．故答案为：()23x +；()22x -；()225x -．(2)由情境中给的式子系数关系，可归纳猜想：24b ac =． 故答案为：24b ac =．(3)验证结论：可用x 2＋4x ＋4，验证：△b 2＝42＝16，4ac ＝4×1×4＝16，△24b ac =．(4)根据题意可得：()()()226416n n n -⎡⎤⎣⎦＋＝＋＋ ()2242436476n n n n ++=++224243642824n n n n ++=++412n =3n =【点拨】本题主要考查了学生的归纳总结能力和完全平方公式的综合应用，以及对因式分解的理解和应用，综合性较强．24．(1)()2222a b a ab b +=++(2)5(3)6【分析】（1）根据正方形面积的不同算法求解；（2）先把完全平方公式变形，再整体代入求解；（2）利用完全平方公式变形，再整体代入求解．（1）解：根据面积的不同算法得：()2222a b a ab b +=++；故答案为：()2222a b a ab b +=++．（2）解：△x 满足()()1182x x --=，令11a x =-，8b x =-，△3a b +=，2ab =，△()2222a b a ab b +=++，△2222945a b a b ab +=+-=-=（），△()()221185x x -+-=．故答案为：5．（3）解：由题意得：7AC CG +=，2225AC CG +=， 则()()22222492524AC BC AC CG AC CG AC CG ⋅=⋅=+-+=-=， △12AC BC ⋅=，△阴影部分的面积为：11·12=622AC BC ⋅=⨯． 【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，把公式变形是解题的关键．。

人教版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解单元检测(提高,Word版 含解析)

人教版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解单元检测(提高,Word版 含解析)

人教版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解单元检测（提高，Word 版 含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．将多项式24x +加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是( ) A ．4-B ．±4xC ．4116xD ．2116x 【答案】D【解析】【分析】分x 2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解.【详解】解：①当x 2是平方项时，4士4x+x ²=（2士x ）2，则可添加的项是4x 或一4x ； ②当x 2是乘积二倍项时，4+ x 2+4116x =（2+214x ）2，则可添加的项是4116x ； ③若为单项式，则可加上-4.故选：D.【点睛】本题考查了完全平方式，比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意.2．已知20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+，则222a b c ab ac bc ++---的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】根据20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+分别求出a-b 、a-c 、b-c 的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可完成.【详解】∵20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+， 20192019201920201a b x x -=+--=-20192019201920212a c x x -=+--=-20192020201920211b c x x -=+--=-∴222a b c ab ac bc ++---2221(222222)2a b c ab ac bc =++---2222221(222)2a ab b a ac c b bc c =-++-++-+ 222111()()()222a b a c b c =-+-+- 222111(1)(2)(1)222=⨯-+⨯-+⨯- 11222=++ 3=故选D【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.3．已知n 16221++是一个有理数的平方，则n 不能取以下各数中的哪一个( ) A ．30B ．32C ．18-D ．9 【答案】B【解析】【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n 的值，然后选择答案即可．【详解】2n 是乘积二倍项时，2n +216+1=216+2×28+1=（28+1）2，此时n=8+1=9，216是乘积二倍项时，2n +216+1=2n +2×215+1=（215+1）2，此时n=2×15=30，1是乘积二倍项时，2n +216+1=（28）2+2×28×2-9+（2-9）2=（28+2-9）2，此时n=-18，综上所述，n 可以取到的数是9、30、-18，不能取到的数是32．故选B ．【点睛】本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．4．()()()()242212121......21n ++++=（ ）A ．421n -B ．421n +C ．441n -D ．441n + 【答案】A【解析】【分析】 先乘以（2-1）值不变，再利用平方差公式进行化简即可.【详解】()()()()242n 212121......21++++=（2-1）()()()()242n 212121......21++++ =24n -1.故选A.【点睛】本题考查乘法公式的应用，熟练掌握并灵活运用平方差公式是解题关键.5．如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为144，小正方形的面积为4，若分别用x 、y （x y >）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中错误的是（ ）A ．22100x y +=B ．2x y -=C ．12x y +=D ．35xy =【答案】A【解析】【分析】 由正方形的面积公式可求x +y =12，x ﹣y =2，可求x =7，y =5，即可求解． 【详解】由题意可得：（x +y ）2=144，（x ﹣y ）2=4，∴x +y =12，x ﹣y =2，故B 、C 选项不符合题意；∴x =7，y =5，∴xy =35，故D 选项不符合题意；∴x 2+y 2=84≠100，故选项A 符合题意． 故选A ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解答本题需结合图形，利用等式的变形来解决问题．6．如果x m =4，x n =8（m 、n 为自然数），那么x 3m ﹣n 等于（ ）A ．B ．4C ．8D ．56 【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂的除法法则可知：指数相减可以化为同底数幂的除法，故x 3m ﹣n 可化为x 3m ÷x n ，再根据幂的乘方可知：指数相乘可化为幂的乘方，故x 3m =（x m ）3，再代入x m=4，x n=8，即可得到结果．【详解】解：x3m﹣n=x3m÷x n=（x m）3÷x n=43÷8=64÷8=8，故选：C．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方，关键是熟练掌握同底数幂的除法与幂的乘方的计算法则，并能进行逆运用．7．已知a，b，c是△ABC的三条边的长度，且满足a2－b2=c（a－b），则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】C【解析】【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．【详解】已知等式变形得：（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，即（a-b）（a+b-c）=0，∵a+b-c≠0，∴a-b=0，即a=b，则△ABC为等腰三角形．故选C．【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．规定一种运算：a*b=ab+a+b，则a*（﹣b）+a*b的计算结果为（）A．0 B．2a C．2b D．2ab【答案】B【解析】【分析】【详解】解：∵a*b=ab+a+b∴a*（﹣b）+a*b=a（﹣b）+a -b+ab+a+b=﹣ab+a -b+ab+a+b=2a故选B．考点：整式的混合运算．9．已知a＝96，b＝314，c＝275，则a、b、c的大小关系是( )A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【答案】C【解析】【分析】27=315，易得答案.根据幂的乘方可得：a＝69=312，c＝5【详解】27=315，因为a＝69=312，b＝143，c＝5所以，c>b>a故选C【点睛】本题考核知识点：幂的乘方. 解题关键点：熟记幂的乘方公式.10．小淇用大小不同的 9 个长方形拼成一个大的长方形ABCD ，则图中阴影部分的面积是（）A．(a + 1)(b + 3)B．(a + 3)(b + 1)C．(a + 1)(b + 4)D．(a + 4)(b + 1) 【答案】B【解析】【分析】通过平移后，根据长方形的面积计算公式即可求解.【详解】平移后，如图，易得图中阴影部分的面积是(a+3)(b+1).故选B.【点睛】本题主要考查了列代数式.平移后再求解能简化解题.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．已知x ＝a 时，多项式x 2+6x+k 2的值为﹣9，则x ＝﹣a 时，该多项式的值为_____．【答案】27【解析】【分析】把x a =代入多项式，得到的式子进行移项整理，得22(3)a k +=-，根据平方的非负性把a 和k 求出，再代入求多项式的值．【详解】解：将x a =代入2269x x k ++=-，得：2269a a k ++=-移项得：2269a a k ++=-22(3)a k ∴+=-2(3)0a +，20k -30a ∴+=，即3a =-，0k =x a ∴=-时，222636327x x k ++=+⨯=故答案为：27【点睛】本题考查了代数式求值，平方的非负性．把a 代入多项式后进行移项整理是解题关键．12．将4个数a ，b ，c ，d 排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a b c d ，定义a bad bc c d =-，上述记号就叫做2阶行列式.若11611x x x x --=-+，则x=_________.【答案】4【解析】【分析】根据题目中所给的新定义运算方法可得方程 (x-1)（x+1）- (x-1）2=6，解方程求得x 即可.由题意可得，(x-1)（x+1）- (x-1）2=6，解得x=4.故答案为：4.【点睛】本题考查了新定义运算，根据新定义运算的运算方法列出方程是解本题的关键．13．若(x+p)与(x+5)的乘积中不含x 的一次项，则p ＝_____．【答案】-5【解析】【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a +b ）（m +n ）＝am +an +bm +bn 计算，再根据乘积中不含x 的一次项，得出它的系数为0，即可求出p 的值．【详解】解：（x +p ）（x +5）＝x 2+5x +px +5p ＝x 2+（5+p ）x +5p ，∵乘积中不含x 的一次项，∴5+p ＝0，解得p ＝﹣5，故答案为：﹣5．14．因式分解：223ax 12ay -=______．【答案】()()3a x 2y x 2y +-【解析】【分析】先提公因式3a ，然后再利用平方差公式进行分解即可得.【详解】原式()223a x 4y =-()()3a x 2y x 2y =+-，故答案为：()()3a x 2y x 2y +-．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．15．长、宽分别为a 、b 的矩形，它的周长为14，面积为10，则a 2b +ab 2的值为_____．【答案】70．【解析】由周长和面积可分别求得a+b和ab的值，再利用因式分解把所求代数式可化为ab （a+b），代入可求得答案【详解】∵长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，∴a+b=142=7，ab=10，∴a2b+ab2=ab（a+b）=10×7=70，故答案为：70．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，把所求代数式化为ab（a+b）是解题的关键．16．已知x2+2x＝3，则代数式（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+x2的值为_____．【答案】8【解析】【分析】利用完全平方公式及平方差公式把原式第一项和第二项展开，去括号合并同类项得到最简结果，把x2+2x＝3代入即可得答案.【详解】原式=x2+2x+1-(x2-4)+x2=x2+2x+1-x2+4+x2=x2+2x+5.∵x2+2x＝3，∴原式=3+5=8.故答案为8【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．17．分解因式：3x2-6x+3=__．【答案】3(x-1)2【解析】【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【详解】()()22236332131x x x x x-+=-+=-.故答案是：3(x-1)2.【点睛】考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．18．利用1个a ×a 的正方形，1个b ×b 的正方形和2个a ×b 的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．【答案】a 2+2ab+b 2=（a+b ）2【解析】试题分析：两个正方形的面积分别为a 2，b 2，两个长方形的面积都为ab ，组成的正方形的边长为a ＋b ，面积为(a ＋b )2，所以a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2．点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．19．已知(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)-----可分解因式为(3x a)(x b)++，其中a 、b 均为整数，则a 3b +=_____.【答案】31-．【解析】首先提取公因式3x ﹣7，再合并同类项即可根据代数式恒等的条件得到a 、b 的值，从而可算出a+3b 的值：∵()()()()(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)3x 72x 21x 133x 7x 8-----=---+=--， ∴a=－7，b=－8．∴a 3b 72431+=--=-．20．若m+n=3，则2m 2+4mn+2n 2-6的值为________．【答案】12【解析】原式=2（m 2+2mn +n 2）-6，=2（m +n ）2-6，=2×9-6，=12．。

人教版八年级数学上册提高题12(整式乘除)

人教版八年级数学上册提高题12(整式乘除)

初中数学试卷 马鸣风萧萧初二上数学提高题12（整式乘除）班级 姓名 座号1. 若1)1(242+--x m x 是一个完全平方式， 则m ＝ ．2. 若49)2)(4(22=+++-+x x x x ，则=+x x 2 ．3. 已知03410622=++-+n m n m ，则=+n m ． 4. 计算：=----)1011()411)(311)(211(2222 ． 5. 已知31=+x x ，10<<x ,则x x 1-= . 6. 若0142=-+x x ，则=+221x x ，=+x x 1 ． 7. 分解因式：（1）2224)1(x x -+ （2）y x xy x 442-+-（3）bc c b a 2222+-- (4)8424422-++++y x y xy x8. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”．（1）28和2 012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的 神秘数是4的倍数吗？为什么？9. 如图，在直角三角形纸片ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，将纸片折叠使AC 落在斜边AB 上， 落点为E ，折痕为AD ．连结CE 交AD 于点F ，若AF=2cm ，求BD 的长．10. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α，且60°<α<120°．P 为△ABC 内部一点，且PC=AC ，∠PCA=120°—α．（1）用含α的代数式表示∠APC ，得∠APC =_______________________；（2）求证：∠BAP=∠PCB ；（3）求∠PBC 的度数．B CPA。

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《整式的乘法》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）已知：（2x+1）（x﹣3）＝2x2+px+q，则p，q的值分别为（）A．5，3B．5，﹣3C．﹣5，3D．﹣5，﹣3 2．（5分）若（）×（﹣xy）＝3x2y2，则括号里应填的单项式是（）A．﹣3y B．3xy C．﹣3xy D．3x2y3．（5分）下面的计算中，正确的是（）A．b4•b4＝2b4B．x3•x3＝x6C．（a4）3•a2＝a9D．（ab3）2＝ab64．（5分）下列运算正确的是（）A．x2•x3＝x6B．x2+x2＝2x4C．（﹣3a3）•（﹣5a5）＝15a8D．（﹣2x）2＝﹣4x25．（5分）计算（）2017×（﹣0.6）2018的结果是（）A．﹣B．C．﹣0.6D．0.6二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）计算（a﹣1）（2a+1）＝．7．（5分）若（x+p）与（x+5）的乘积中不含x的一次项，则p＝．8．（5分）不等式（3x+4）（3x﹣4）＜9（x﹣2）（x+3）的解集为．9．（5分）若a n＝3，则a2n＝．10．（5分）多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，则m＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）计算：（a+b）（3a﹣2b）﹣b（a﹣b）．12．（10分）计算：3a2b•（﹣a4b2）+（a2b）313．（10分）计算：（1）x2（x﹣1）﹣x（x2﹣x﹣1）；（2）（2a）2•b4+12a3b2．14．（10分）如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地块，中间是边长为（a+b）米的正方形，规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像，四周的阴影部分进行绿化．（1）绿化的面积是多少平方米？（用含字母a、b的式子表示）（2）求出当a＝10，b＝12时的绿化面积．15．（10分）（1）运用多项式乘法，计算下列各题：①（x+2）（x+3）＝②（x+2）（x﹣3）＝③（x﹣3）（x﹣1）＝（2）若：（x+a）（x+b）＝x2+px+q，根据你所发现的规律，直接填空：p＝，q ＝．（用含a、b的代数式表示）《整式的乘法》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）已知：（2x+1）（x﹣3）＝2x2+px+q，则p，q的值分别为（）A．5，3B．5，﹣3C．﹣5，3D．﹣5，﹣3【分析】由（2x+1）（x﹣3）＝2x2﹣5x﹣3结合（2x+1）（x﹣3）＝2x2+px+q，即可得出p、q的值．【解答】解：（2x+1）（x﹣3）＝2x2﹣6x+x﹣3＝2x2﹣5x﹣3，∵（2x+1）（x﹣3）＝2x2+px+q，∴p＝﹣5，q＝﹣3，故选：D．【点评】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则．2．（5分）若（）×（﹣xy）＝3x2y2，则括号里应填的单项式是（）A．﹣3y B．3xy C．﹣3xy D．3x2y【分析】直接利用单项式与单项式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：∵（）×（﹣xy）＝3x2y2，∴括号里应填的单项式是：3x2y2÷（﹣xy）＝﹣3xy．故选：C．【点评】此题主要考查了单项式与单项式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（5分）下面的计算中，正确的是（）A．b4•b4＝2b4B．x3•x3＝x6C．（a4）3•a2＝a9D．（ab3）2＝ab6【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、b4•b4＝b8，故此选项错误；B、x3•x3＝x6，正确；C、（a4）3•a2＝a14，故此选项错误；D、（ab3）2＝a2b6，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了积的乘方运算和同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．（5分）下列运算正确的是（）A．x2•x3＝x6B．x2+x2＝2x4C．（﹣3a3）•（﹣5a5）＝15a8D．（﹣2x）2＝﹣4x2【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则以及单项式乘以单项式运算法则，即可得出答案．【解答】解：A、x2•x3＝x5，故此选项错误；B、x2+x2＝2x2，故此选项错误；C、（﹣3a3）•（﹣5a5）＝15a8，故此选项正确；D、（﹣2x）2＝4x2，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了用同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算和单项式乘以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（5分）计算（）2017×（﹣0.6）2018的结果是（）A．﹣B．C．﹣0.6D．0.6【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．【解答】解：（）2017×（﹣0.6）2018＝（）2017×（﹣）2018＝（）2017×（）2017×＝＝0.6．故选：D．【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）计算（a﹣1）（2a+1）＝2a2﹣a﹣1．【分析】多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．依此即可求解．【解答】解：（a﹣1）（2a+1）＝2a2+a﹣2a﹣1＝2a2﹣a﹣1．故答案为：2a2﹣a﹣1．【点评】考查了多项式乘多项式，运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．7．（5分）若（x+p）与（x+5）的乘积中不含x的一次项，则p＝﹣5．【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn计算，再根据乘积中不含x的一次项，得出它的系数为0，即可求出p的值．【解答】解：（x+p）（x+5）＝x2+5x+px+5p＝x2+（5+p）x+5p，∵乘积中不含x的一次项，∴5+p＝0，解得p＝﹣5，故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．8．（5分）不等式（3x+4）（3x﹣4）＜9（x﹣2）（x+3）的解集为x＞．【分析】首先利用多项式的乘法法则化简等号两边的式子，然后移项、合并同类项、系数化为1即可求得不等式的解集．【解答】解：（3x+4）（3x﹣4）＜9（x﹣2）（x+3），9x2﹣16＜9（x2+x﹣6），9x2﹣16＜9x2+9x﹣54，移项，得9x2﹣9x2﹣9x＜﹣54+16，合并同类项，得﹣9x＜﹣38，系数化为1得x＞．故答案为：x＞．【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，正确理解多项式的乘法法则对不等式两边进行化简是关键．9．（5分）若a n＝3，则a2n＝9．【分析】直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案．【解答】解：∵a n＝3，∴a2n＝（a n）2＝32＝9．故答案为：9．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．10．（5分）多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，则m＝12．【分析】乘积含x项包括两部分，①mx×2，②8×（﹣3x），再由展开后不含x的一次项可得出关于m的方程，解出即可．【解答】解：（mx+8）（2﹣3x）＝2mx﹣3mx2+16﹣24x＝﹣3mx2+（2m﹣24）x+16，∵多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，∴2m﹣24＝0，解得：m＝12，故答案为：12．【点评】此题考查了多项式乘多项式的知识，属于基础题，注意观察哪些项相乘所得的结果含一次项，难度一般．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）计算：（a+b）（3a﹣2b）﹣b（a﹣b）．【分析】先算乘法，再合并同类项即可．【解答】解：原式＝3a2﹣2ab+3ab﹣2b2﹣ab+b2＝3a2﹣b2．【点评】本题考查了整式的混合运算，能熟练地运用法则进行计算是解此题的关键．12．（10分）计算：3a2b•（﹣a4b2）+（a2b）3【分析】先算乘方，再算乘法，最后合并即可．【解答】解：原式＝﹣2a6b3+a6b3＝﹣a6b3．【点评】本题考查了整式的混合运算，能熟练地运用法则进行计算是解此题的关键．13．（10分）计算：（1）x2（x﹣1）﹣x（x2﹣x﹣1）；（2）（2a）2•b4+12a3b2．【分析】（1）先根据单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可得；（2）计算单项式的乘方即可得．【解答】解：（1）原式＝x3﹣x2﹣x3+x2+x＝x；（2）原式＝4a2b4+12a3b2．【点评】本题主要考查单项式乘多项式，解题的关键是掌握单项式乘多项式的法则及单项式的乘方的运算法则．14．（10分）如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地块，中间是边长为（a+b）米的正方形，规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像，四周的阴影部分进行绿化．（1）绿化的面积是多少平方米？（用含字母a、b的式子表示）（2）求出当a＝10，b＝12时的绿化面积．【分析】（1）绿化面积＝矩形面积﹣正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果；（2）将a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）依题意得：（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝（5a2+3ab）平方米．答：绿化面积是（5a2+3ab）平方米；（2）当a＝10，b＝12时，原式＝500+360＝860（平方米）．答：绿化面积是860平方米．【点评】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算﹣化简求值，弄清题意是解本题的关键．15．（10分）（1）运用多项式乘法，计算下列各题：①（x+2）（x+3）＝x2+5x+6②（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6③（x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣4x+3（2）若：（x+a）（x+b）＝x2+px+q，根据你所发现的规律，直接填空：p＝a+b，q＝ab．（用含a、b的代数式表示）【分析】（1）利用多项式乘多项式法则计算后，再合并同类项即可得；（2）利用多项式乘多项式法则计算后，再合并同类项即可得．【解答】解：（1）①（x+2）（x+3）＝x2+3x+2x+6＝x2+5x+6，②（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3x+2x﹣6＝x2﹣x﹣6，③（x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣x﹣3x+3＝x2﹣4x+3，故答案为：x2+5x+6、x2﹣x﹣6、x2﹣4x+3；（2）∵（x+a）（x+b）＝x2+bx+ax+ab＝x2+（a+b）x+ab，∴x2+（a+b）x+ab＝x2+px+q，∴p＝a+b、q＝ab，故答案为：a+b、ab．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则与合并同类项法则．。

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