一元函数微分学练习题

1 x 3．求下列函数的 Maclaurin 公式到所指定的项：
3
；
（4） x 2 cos 2 x 。
x2 2
（1） tan x 到含 x 的项； （2） e cos x 到含 x 4 的项。 4．写出 x ln x 在 x 1处的 3 阶 Taylor 公式。 5．设极限 lim
x 1
x 4 3 ( A B( x 1)) C ，求常数 A, B, C 。 ( x 1) 2
2．已知 f ( x ) 为可微函数，且 f ( x) 0 ，求下列函数的微分：
f ( x) ；
2 2
（3） y f ( x ) ；
（4） y arctan f (2 x) 。 dy 3．求由下列方程确定的隐函数 y = y(x)的导数 ： dx （1） x 2 y 2 4 xy 0 ； （2） sin( xy) x y 。 4．求由下列方程确定的隐函数 y = y(x)的二阶导数 （1） y xe y 1 ； （3） x 2 2 xy y 2 2 x ；
1 x ； 1 x （3） f ( x) 1 x ； 6．求下列函数所指定的阶的导数： （1） f ( x) x 2 cos 2 x ，求 f (8) (0) ；
（1） f ( x) ln
（2） f ( x) cos 2 2 x ； （4） f ( x) e x cos 2 x 。
§5 L’Hospital 法则
1．求下列极限： tan 3 x （1） lim ； x 0 sin 2 x ln x （3） lim ； x ln( x 1)
x 2 4 x 14 ； x2 x2 ln x 2 3x 1 （7） lim ； x ln( x 3 2 x 1)
x 1 5．设 f ( x) 2 ，试计算 f (1) ， f (1) ，由此说明 f 在点 x 1 处的可导性。 6．求曲线 y e x 上的点 1, e 处的切线方程和法线方程。
n
n
§2 求导运算
1．求下列函数的导数： （1） f ( x) ln 2 2 ln x 3 tan x ； x （3） f ( x) ； 1 x2 （5） f ( x) xe （7） f ( x) ln
d2y ： dx 2 （2） y ln( x y ) ；
（4） x y e xy 0 。
x t 2 2t , 5．求曲线 在 ( 1, 2) 处的切线方程。 3 y t 3t dy x 2t t , 6．求由参数方程 所确定的函数 y f ( x) 在 t 0 时的导数 。 2 dx y 5t 4t t
1 2 x sin , x 0, 9．设 f ( x) 求 f (0), f ( x) ，并问 lim f ( x ) 是否存在？ x x 0 x 0. 0,
n 1 1 x 10．证明： x e
(n)
(1) n x n 1 e 。 x
6．利用 1 x 的 2 阶 Maclaurin 公式，计算 62 的近似值，并估计这一近似的误 差。 1 x2 x3 7．估计 e x 1 x ， | x | 的绝对误差。 4 2 6 8．利用 Taylor 公式计算极限：
4
（9） f ( x) x e ；
x2
( x 1)( x 2) ； ( x Hale Waihona Puke Baidu4)( x 5)
1
2 sin x （11） f ( x) （12） f ( x) (cos x) x 。 ； x 2．证明：曲线 x y a 在第一象限任意点上的切线在 x, y 轴上的截距之和 为常数。 3．当参数 a 为何值时，抛物线 y ax 2 与对数曲线 y ln x 相切？ 4．求下列函数的二阶导数： （1） f ( x) x ln 2 x ； （2） f ( x) x arctan x ； （3） f ( x) e x cos 2 x ； （4） f ( x) x 3 e 2 x ； 5．求下列函数的 n 阶导数：
1．求下列函数的 4 阶 Maclaurin 公式： 1 x （1） ； （2） ； （3） (1 x) 5 。 3 2 (1 x ) 1 x 2．求下列函数的 n 阶 Maclaurin 公式： （1） ln( 2 x) ； （2） ln( 2 3x x 2 ) ；
（3）
1
（15） lim
x0
（16） lim
tan( x h) 2 tan x tan( x h) ； h2 tan(tan x) sin(sin x) （18） lim ； x0 x3
h0
arcsin x x 2 （19） lim 。 x 0 x
1
§6 Taylor 公式
1
§3 微分运算
1．求下列函数的微分： （1） y x 2 tan 2 x ； 1 （3） y ； x2 1 （5） y ln cot x csc x ； （1） y
（2） y e 2 x cos x ； （4） y x 2 ln( 1 x 2 ) ； （6） y arctan x 。 （2） y ln f ( x) ；
一元函数微分学练习题
§1 微分与导数的概念
1．半径为 5cm 的圆面，如果半径增加 0.1cm，试用求微分的方法计算圆面积会 增加多少？如果半径再增加 0.1cm，圆面积会比原来增加多少？ 2．求微分 dy ： （1） y ln( x 1) ； （2） y sin x 。 3．设函数 f 在 x a 处可导，且 f (a) 0 ，计算下列极限
（10） lim
x arcsin （14） lim x x 2 1 x2 ；
（13） lim
x ln( x 2e x ) ln( x e x )
1 x
2
x
；
(1 x) e ； x 1 （17） lim 2 cot 2 x ； x0 x
2 x
（2） f ( x) x sin x x 2 e x ； （4） f ( x) ( x 2 1) arctan 2 x ；
1 x （6） f ( x) ； 1 x
2
sin 4 x ；
1 sin x ； 1 sin x
x
（8） f ( x) e x (sin 2 x 2 cos 2 x) 。 （10） f ( x)
* 算得的圆桌面积 A0 的绝对误差 A 和相对误差 A . 10．为了计算出球的体积能够精确到 1%，问测量球半径 R 时所允许产生的相对 误差最多为多少？。
§4 微分学中值定理
1．对函数 f ( x) x 3 2 x 2 x 2 ，在区间 [2, 1] 上验证 Rolle 中值定理的结论。 2．设 p 2 q 0 ，证明：方程 x 3 3 px 2 3qx r 0 有且仅有一个实根。 1 3．设 f 在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 上可导，且 f (0) f (1) 0 ， f 1 ，证明存 2 在 (0, 1) ，使得 f ( ) 1 。 4．设 f 在 [ a , b ] 上连续，在 (a, b) 上可导， f (a ) 0 ， f (b) 0 ，且有 c (a, b) ， 使 f (c) 0 ，证明：存在 (a, b) ，使得 f ( ) f ( ) 0 。 5．应用微分学中值定理证明下列不等式： （1） e x 1 x ； y tan y （2）当 0 x y 时， ； 2 x tan x （3） (a x) a a a x （ a e, x 0 ） 。 6. 设 f 在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 上可导，证明：存在 (0, 1) ，使得 f ( ) f (1 ) f ( ) f (1 ) 。 x 7．设 f 在 [0, ) 上可导，且 0 f ( x) ，证明：存在 (a, b) ，使得 1 x2 1 2 f ( ) 。 (1 2 ) 2 8． 设 f 在 [ a , b ] 上可导， 在 (a, b) 上二阶可导， f (a) f (b) 0 ， 且 f (a) f (b) 0 ， 证明： （1）存在 (a, b) ，使得 f ( ) 0 ； （2）存在 (a, b) ，使得 f ( ) f ( ) 。 9． 设 f 是 [ a , b ] 上的连续可导函数， 且在 (a, b) 内二阶可导， 证明： 存在 c (a, b) ， 使下列等式成立
(b a) 2 ab f (b) 2 f f (c) 。 f (a) 4 2 10. 设 函 数 f 在 [ 2, 2] 上 二 阶 可 导 ， f ( x) 1 （ x [2, 2] ）， 且
f 2 (0) ( f (0)) 2 4 ，证明：存在 (2, 2) ，使得 f ( ) f ( ) 0 。
1 1 f a n f a n ； 。 （1） lim （2） lim n n 1 f (a) a f n 4．设 f 是偶函数，且 f (0) 存在，求 f (0) 。
（6） lim
（9） lim
x0
(e sin x 1) sin 2 x ； 1 cos 2 x
x 1 x
（11） lim x
x 1
；
cos( xe x ) cos( xe x ) ； x0 x3 （12） lim x tan x sec x ； 2 x 2
7．求由下列参数方程确定的函数的二阶导数
x t sin t , （1） y 1 cos t;
d2y ： dx 2 x ln 1 t 2 , （2） y arctan t;
x t (3 t 2 ), （3） 3 y (1 t ) . 8．计算下列函数值的近似值： （1） tan 31 ； （2） cos 29 ； （3） ln 1.01 ； （4） 5 33 。 9．设测量所得圆桌的直径为 d 0 120cm ，其绝对误差限 d 0.2cm ，估计由此
x 1 1 ； ln( x 1) tan x x ;； （4） lim x 0 x sin x
（2） lim
x0
（5） lim


arcsin 3 x 3 arcsin x ； x0 x3 ln( 1 x 3 ) （8） lim ； x 0 sin x tan x
（2） f ( x) x ln x ，求 f (10) ( x) 。 7．设 f ( x) cos x cos 2 x cos 3x ，求 f ( n ) ( x) 。 x 0, ax b, 8．设 f ( x) sin x cos x 1 问 a,b 取何值时，函数 f 在 x = 0 处可导？ , x 0. x