一元函数微分学练习题
一元函数的微分学试题

一元函数的微分学 试题1.设()f x 在x a =处可导,求1()lim ()nn f a n f a →∞⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.2. 设()()()f x a bx a bx ϕϕ=+--,()x ϕ在x a =处可导,求(0)f '.3. 设()f x 连续,(1)f a '=(0)a ≠,且对于任意的,x y R ∈,恒有()()()f xy f x f y =+,求()f x .4. 设0()()xF x x t f t x dt =+⋅-⎰,求dF dx.5.设31cos0()=00x x x xx ϕ⎧≠⎪⎨⎪=⎩,()f x 在0x =处可导,()=(())F x f x ϕ,求(0)F '.6.设()f x 连续,且0()lim 2x f x x →=,102()0()00ln(1)f xt dt x F x x x x x ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪+⎪<⎪⎩⎰,求(0)F '.7.设函数2(1)(1)()lim 1n x n x n x e ax bf x e--→∞++=+可导,求常数a 和b .8.设()f x 在0x =处连续,且0sin lim 1ln(()2)x x xf x →-=+,求(0)f '的值.9.设(0)0f =,则()f x 在0x =处可导的充要条件是201lim (1cosh)h f h →- 存在吗?是01lim (1)h h f e h→-存在吗?························阅·······················卷························密························封························线·························系别:_____________ 年级:____________ 专业:____________________ 姓名:_______________ 学号: ························装·······················订························密························封························线·························10.设()f x 在x a =处可导,试证:当()0f a =,()0f a '≠时,()f x 在a 处不可导.11.设()x F x t dt -=⎰,求(0)F '.12.设2221cos cos t x t y t t udu ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⎰,求22t d y dx13.求函数231()=2(1)ln 1(1)ln 1222x f x x x x x x --++++--的凹凸区间及拐点.14.求曲线1ln(1)x y e x=++的渐近线.15.求曲线322322121t t x t t t y t ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩的斜渐近线.16.求20()(2)x t f x t e dt -=-⎰的最值.17.设()x ρρ=为抛物线y =上任一点(,)M x y (1)x ≥处的曲率半径,()s s x =是该抛物线上介于点(1,1)A 与M 之间的弧长,求2223()d d ds dsρρρ-的值.18.作函数222(1)x y x =-的图形.19.设()f x 为可导函数,试证:若1x =时,有22()()d d f x f x dx dx=, 则必有(1)=0f '或(1)=1f .20.设0()=10xx f x x ⎧≠⎨=⎩,试证:不存在一个函数以()f x 为其导函数.21.设01x y <<<或1x y <<,则xy y y x x>.22.设1p >,试证:对于[0,1]内任一x 有11(1)2p p p x x -+-≥.23.设011012n n a a aa n n -++++=+,试证方程1010n n n a x a x a -+++=在(0,1)内至少有一实根.24.比较e π与e π的大小.25.设,,a b c 为三个实数,试证方程2x e ax bx c =++的根不超过三个.26.设12e x x <<,试证112221ln ln x x x x x x <<.27.设函数()f x 在[,]a b 上可导,求证:()f x '可取得介于()f a '与()f b '之间的任何值.28.设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,0a b <<,试证:在(,)a b内存在123,,x x x ,使得22312332212ln()()=(b )=(())24bf x f x a a x f x x x b a '''+-.29.若()f x 在[0,1]上二次可微,且(0)=(1)f f ,()1f x ''≤,试证1()2f x '≤.30.设()f x 在[0,1]上可微,且满足120(1)2()0f xf x dx -=⎰,试证在(0,1) 内至少存在一点ξ,使得()()f f ξξξ'=-.31.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且(0)(0)(1)0f f f ''===,(1)1f =,试证至少存在一点(0,1)ξ∈,使得()4f ξ''≥.32.设x R ∈,()f x 满足2()3[()]1x xf x x f x e -'''+=-,且0x =为()f x 的极值点,试说明0x =为极小值点.33.设()f x 在[,]a a -上有连续的二阶导函数,(0)0f =,试证 存在[,]a a ξ∈-,使得33()=()aaf f x dx a ξ-''⎰.34.求10lim 1nn x dx x→∞+⎰.35.设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导,若满足lim ()x f x A →+∞'=,A R ∈,试证0A =.36.设函数()f x 在[,]a b 上连续且不恒为常数,在(,)a b 内可导,且满足()()f a f b =,试证:存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ'>.37.设()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且()1f x '<,又(0)=(1)f f , 试证:12,[0,1]x x ∀∈,有121()()2f x f x -<.38.设()f x 二阶可导,(0)=0f ,()0f x ''>,且0lim 1x +→=-,试证:()0f x x +≥.39.若2()()lim1()x af x f a x a →-=--,则()f x 在a 点处可导且在a 点处取得极值.40.试证方程221x x -=有且仅有三个根.41.设()f x 在[,]a b 上二阶可导,且()()0f a f b ''==,则在(,)a b 内至少有一点ξ,使得24()()()()f f b f a b a ξ''≥--.42.设0a >,求11()11f x x x a=+++-的最值.。
一元函数微分学模拟试卷2(题后含答案及解析)

一元函数微分学模拟试卷2(题后含答案及解析)全部题型 2. 数学(选择题) 3. 数学(填空题) 4. 数学(解答题) 数学部分单项选择题1.设函数f(x)=x.tanx.esinx,则f(x)是( ).A.偶函数B.无界函数C.周期函数D.单调函数正确答案:B 涉及知识点:一元函数微分学2.设A,B皆为n阶矩阵,则下列结论正确的是( ).A.AB=0的充分必要条件是A=0或B=0B.AB≠0的充分必要条件是A≠0或B≠0C.AB=0且r(A)=n,则B=0D.若AB≠0,则|A|≠0或|B|≠0正确答案:C 涉及知识点:一元函数微分学3.设cosx-1=xsina(x),其中|a(x)|<π/2,则当x→0时,a(x)是A.比x高阶的无穷小B.比x低阶的无穷小C.比x同阶但不等价的无穷小D.与x等价的无穷小正确答案:C 涉及知识点:一元函数微分学4.设A,B,C均为n阶矩阵,若AB=C,且曰可逆,则A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C.矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D.矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价正确答案:B 涉及知识点:一元函数微分学5.函数f(x)在点x=a处可导,则函数|f(x)|在点x=a处不可导的充分条件是( ).A.f(a)=0且fˊ(a)=0B.f(a)=0且fˊ(a)≠0C.f(a)>0且fˊ(a)>0D.f(a)<0且fˊ(a)<0正确答案:B 涉及知识点:一元函数微分学6.设A,B为n阶矩阵,且A与B相似,E为n阶单位矩阵,则( ).A.λE-A=λE-BB.A与B有相同的特征值和特征向量C.A与B都相似于一个对角矩阵D.对任意常数t,tE-A与tE-B相似正确答案:D 涉及知识点:一元函数微分学7.向量组α1,α2,…,αm线性无关的充分必要条件是( ).A.向量组α1,α2,…,αm,β线性无关B.存在一组不全为零的常数k1,k2,…,km,使得k1α1+k2α2+…+kmαm≠0C.向量组α1,α2,…,αm的维数大于其个数D.向量组α1,α2,…,αm的任意一个部分向量组线性无关正确答案:D 涉及知识点:一元函数微分学8.设A是n阶矩阵,且A的行列式|A|=0,则A( ).A.必有一列元素全为0B.必有两列元素对应成比例C.任一列向量是其余列向量的线性组合D.必有一列向量是其余列向量的线性组合正确答案:D 涉及知识点:一元函数微分学9.设n阶方程A=(α1,α2,…,αn),B=(β1,β2,…,βn),AB=(γ1,γ2,…γn),记向量组(I):1,α2,…,αn,(Ⅱ):β1,β2,…,βn,(Ⅲ):γ1,γ2,…γn,如果向量组(Ⅲ)线性相关,则( ).A.向量组(I)与(Ⅱ)都线性相关B.向量组(I)线性相关C.向量组(Ⅱ)线性相关D.向量组(I)与(Ⅱ)中至少有一个线性相关正确答案:D 涉及知识点:一元函数微分学10.设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,x0≠0是函数f(x)的极大值点,则( ).A.x0必是函数f(x)的驻点B.﹣x0必是函数﹣f(﹣x)的最小值点C.对一切x0都有f(x)≤f(x0)D.﹣x0必是函数﹣f(﹣x)的极小值点正确答案:D 涉及知识点:一元函数微分学11.函数y=C1ex+C2e﹣2x+xex满足的一个微分方程是( ).A.y〞-yˊ-2y=3xexB.y〞-yˊ-2y=3exC.y〞+yˊ-2y=3exD.y〞+yˊ-2y=3xex正确答案:C 涉及知识点:一元函数微分学12.设A为m×n矩阵,齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是( ).A.A的列向量线性相关B.A的行向量线性相关C.A的行向量线性无关D.A的列向量线性无关正确答案:D 涉及知识点:一元函数微分学13.设A为n阶实矩阵,AT为A的转置矩阵,则对于线性方程组(I)AX=0和(Ⅱ)ATAx=0必有( ).A.(Ⅱ)的解是(I)的解,(I)的解也是(Ⅱ)的解B.(I)的解是(Ⅱ)的解,但(Ⅱ)的解不是(I)的解C.(I)的解不是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也不是(I)的解D.(Ⅱ)的解是(I)的解,但(I)的解不是(Ⅱ)的解正确答案:A 涉及知识点:一元函数微分学14.设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值,则矩阵(1/3 A2 )-1 有一个特征值等于A.4/3B.3/4C.1/2D.1/4正确答案:B 涉及知识点:一元函数微分学15.设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵.已知n维列向量α是A 的属于特征值A的特征向量,则矩阵(P-1 AP)T 属于特征值A的特征向量是A.P-1α.B.PT α.C.Pα.D.(P-1 )Tα.正确答案:B 涉及知识点:一元函数微分学填空题16.微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.正确答案:2/x 涉及知识点:一元函数微分学17.微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=________.正确答案:1/x 涉及知识点:一元函数微分学18.微分方程y”-2y’+2y=ex的通解为________.正确答案:ex(C1cosx+C2sinx+1) 涉及知识点:一元函数微分学19.若x→0时,(1-ax2)1/4-1与xsinx的等价无穷小,则a=________.正确答案:-4 涉及知识点:一元函数微分学20.已知fˊ(lnx)=1+x,则f(x)=_________.正确答案:x+ex+C 涉及知识点:一元函数微分学21.若四阶矩阵A与B为相似矩阵,A的特征值为1/2、1/3、1/4、1/5,则行列式|B-1-E|=_______.正确答案:24 涉及知识点:一元函数微分学22.设A,B为3阶矩阵,且|A |=3,|B |=2,|A-1+B|=2,则|A+B-1 |=_____________.正确答案:3 涉及知识点:一元函数微分学23.设A为3阶矩阵,|A|=3,A*为A的伴随矩阵.若交换A的第1行与第2行得矩阵B,则|BA*|=__________.正确答案:-27 涉及知识点:一元函数微分学24.若a1,a2,a3,β1,β2都是4维列向量,且4阶行列式|a1,a2,a3,β1|=m,|a1,a2,β2,a3|=n,则4阶行列式|a1,a2,a3,β1+β2|=正确答案:n-m 涉及知识点:一元函数微分学25.设A,B均为n阶矩阵,|A |=2,|B|=-3,则|2A*B-1|=_______.正确答案:-22n-1/3 涉及知识点:一元函数微分学26.若4阶矩阵A与B相似,矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5,则行列式|B-1-E |=_________.正确答案:24 涉及知识点:一元函数微分学解答题27.求微分方程y”-2y’-e2x=0满足条件y(0)=1,y’(0)=1的解.正确答案:齐次方程y”-2y’=0的特征方程为λ2-2λ=0.由此求得特征根λ1=0,λ2=2.对应齐次方程的通解为y=C1+C2e2x.设非齐次方程的特解为y”=Axe2x,则(y*)’=(A+2Ax)e2x,(y*)”=4A(1+x)e2x代入原方程,可得A=1/2,从涉及知识点:一元函数微分学28.求:微分方程y〞+y=-2x的通解.正确答案:方程y〞+y=-2x对应的齐次方程的特征方程为λ2+1=0,特征根为λ1,2=±i,故对应的齐次方程通解为C1cosx+C2sinx.因为a=0不是特征根,因此原方程的特解可设为y*=Ax+B,代入原方程得A=-2,B=0.所以原方程的通解为y=C1cosx+C22sinx-2x.涉及知识点:一元函数微分学。
高等数学:一元函数微分学习题含答案

第二章一元函数微分学一、选择题1.设)(x f y =可导,则)()2(x f h x f -+等于().A.)()(h o h x f +'B.)()(h o h x f +'C.)()(h o h x f +'-D.)()(2h o h x f +'2.设)(x f 在0x 处可导,且4)()2(lim000=--→xx f x x f x ,则)(0x f '等于().A.0B.1-C.1D.2-3.设)(x f 在0x 处可导,则下列命题中不正确的是().A.00)()(limx x x f x f x x --→存在B.00)()(limx x x f x f x x --→不存在C.00)()(lim 0x x x f x f x x --+→存在D.00)()(lim 0x x x f x f x x ---→存在4.已知)(x f y =在0=x 处可导且0)0(=f ,则当0≠t 时,有=→xtx f x )(lim 0().A.)(t f B.)0(f 'C.)0(f t 'D.不存在5.函数)(x f 在0x x =处连续,是)(x f 在0x 处可导的().A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件6.函数x x f =)(在0=x 处().A.连续但不可导B.连续且可导C.极限存在但不连续D.不连续也不可导7.设0)0(=f ,且x x f x )(lim→存在,则xx f x )(lim 0→等于().A.)(x f 'B.)0(f 'C.)0(f D.)0(21f '8.设21)1(+=+x x f ,则)(x f '等于().A.2)1(1--x B.2)1(1+-x C.11+x D.11--x9.设x x f sin )(=,则0=x 处().A.1)0(,1)0(='='-+f f B.1)0(,1)0(-='='-+f f C.1)0(,1)0(-='-='-+f f D.1)0(,1)0(='-='-+f f 10.函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1132)(23x xx xx f 在1=x 处().A.左右导数均存在B.左导数存在,右导数不存在C.左导数不存在,右导数存在D.左右导数均不存在11.设周期函数)(x f 在()+∞∞-,内可导,周期为2,又12)1()1(lim-=--→xx f f x ,则曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线斜率为().A.21B.1C.2-D.212.设函数⎩⎨⎧≤<--+≤=10,110,sin )(x x x x x x f ,则)(x f 在0=x 处满足().A.0)0(='f B.1)0(='f C.3)0(='f D.)0(f '不存在13.已知⎩⎨⎧≤+>-=221)(2x b ax x x x ϕ,且)2(ϕ'存在,则常数b a ,的值为().A.1,2==b a B.5,1=-=b a C.5,4-==b a D.3,3-==b a 14.函数)(x f 在),(+∞-∞上处处可导,且有1)0(='f ,此外,对任何的实数x ,y 恒有xy y f x f y x f 2)()()(++=+,那么=')(x f ().A.xe B.xC.12+x D.1+x 15.设xe x g x xf =+=)(),1ln()(2,则[]='))((x g f ().A.x xe e 2212+B.x xe e 221+C.xxe e 2212-D.xxe e 221-16.设2)(-=x xf ,则)2(f '满足().A.值为2-B.值为2C.值为1D.不存在17.设)(x f y =的导数2)0(='f ,则=-→xx f f x 2)()0(lim 0().A.1B.2-C.1-D.218.设⎩⎨⎧<+≥+=0,,1sin )(x b x x x a x f ,要使)0(f '存在,则b a ,的值分别是().A.1,1==b a B.0,1==b a C.0,0==b a D.1,1-=-=b a 19.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1arctan )(x x xx x f ,则)(x f 在0=x 处的性质是().A.连续且可导B.连续但不可导C.既不连续也不可导D.可导但不连续20.设2arcsin cosxy =,则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'23y ().A.21-B.21C.23-D.2321.函数xe y sin =,则y ''等于().A.xesin B.)sin (sin x ex-C.[]2sin cos x e xD.]sin )[(cos 2sin x x ex-22.函数x x x f )2()(+=的导数为().A.1)2(-+x x x B.1)2(-+x x C.)2ln()2(++x x x D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++)2ln(2)2(x x xx x23.已知x x y ln =,则)12(y 等于().A.111x -B.111x C.11!10x D.11!10x -24.设xxe e y --=,则)2016(y等于().A.xxee -+B.xxee --C.xxee ---D.xx ee -+-25.已知函数)(x f 具有任何阶导数,且[]2)()(x f x f =',则当n 为大于2的正整数时,)(x f 的n 阶导数)()(x f n 是().A.[]1)(!+n x f n B.[]1)(+n x f n C.[]nx f 2)(D.[]nx f n 2)(!26.由方程1sin =-y xy 所确定的隐函数()x f y =的导数=xyd d ().A.yy x -cos B.xy y -cos C.yx y cos -D.yx x -cos 27.由方程x y x e y=++)ln(所确定的隐函数)(x f y =的导数=xy d d ().A.()11++--y x e y x y B.()11-++-y x e y x y C.()11++-+y x e y x y D.()11-+-+y x e y x y 28.设)(x y y =由方程)cos(sin y x x y -=所确定,则=')0(y ().A.12+πB.12+-πC.12-πD.12--π29.设由方程组⎩⎨⎧=++-=0112y te t x y 确定了y 是x 的函数,则==0d d t x y().A.21e B.e21-C.e1-D.e2-30.曲线22x e y x+=上横坐标0=x 处的切线方程是().A.012=-+-y x B.012=-+y x C.012=+-y x D.012=-+y x 31.曲线222)2ln(x x y +-=上对应于1=x 处的法线方程是().A.)1(22-=-x y B.)1(212--=-x y C.)1(22-=+x y D.)1(212--=+x y 32.曲线01cos 22=--y e x上点)3,0(π处的切线方程是().A.332π+=x y B.332π+-=x y C.332π--=x y D.xy 32-=33.曲线⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 在4π=t 处的切线方程是().A.)222222-=-x y B.)2222-=x y C.)22(22--=x y D.y 22=34.设1212+=x y ,则当01.0,1=∆=x x 时,y d 与y ∆分别为().A.2,01.0d =∆=y y B.01.0,201.12d =∆-=y y C.21)01.1(21,01.0d 2-=∆=y y D.1,01.0d =∆=y y 35.若函数)(x f y =有21)(0='x f ,则当0→∆x 时,该函数在0x x =处的微分y d 是x∆的().A.等价无穷小B.同阶但不等价的无穷小C.低阶无穷小D.高阶无穷大36.xx y 1=在e x =处取得().A.极大值B.最大值C.极小值D.最小值37.下列函数在[]e ,1满足拉格朗日中值定理的是().A.xx sin ln ln +B.xln 1C.)2ln(+x D.)2ln(2x -38.设函数)(x f 在[]b a ,上连续,则下列命题正确的是().A.)(x f 在[]b a ,上一定有最大值和最小值B.)(x f 必在区间内部取得最小值C.)(x f 必在区间端点处取得最大值D.若)(x f 在[]b a ,内有极值,则此值必为最值39.设1)()()(lim2-=--→a x a f x f ax ,则在a x =处)(x f ().A.可导且1)(-='a f B.)(a f 是)(x f 的极小值C.不可导D.)(a f 是)(x f 的极大值40.设函数c bx ax x x f +++=23)(,且0)0()0(='=f f ,则下列结论不正确的是().A.0==c b B.当0>a 时,)0(f 为极小值C.当0<a 时,)0(f 为极大值D.当0≠a 时,())0(,0f 为拐点41.函数2332)(x x x f -=在区间[]4,1-上的最小值是().A.0B.1-C.80D.5-42.若当0→x 时,)1(2++-bx ax e x是比2x 高阶的无穷小,则().A.1,1==b a B.1,21==b a C.1,21=-=b a D.1,1-=-=b a 43.(数二)已知某产品的需求函数为510QP -=,则当30=Q 时的边际收益为().A.2-B.3-C.2D.344.(数二)若总成本函数是二次函数c bQ aQ Q C C ++==2)(,其中0,0,0≥≥>c b a ,当产量=Q ()时,平均成本最低?A.a cB.ca C.ac D.ca 二、填空题45.设)(x f 在0x 处可导,且A x f =')(0,则hx f h x f h )()2(lim000-+→用A 的代数式表示为_______.46.设2)3(='f ,则=-+→h f h f h 2)3()3(lim_______.47.设xe xf 1)(=,则=--→h f h f h )2()2(lim_______.48.设2)(x x f =,则=--→2)2()(lim2x f x f x _______.49.))...(2)(1()(n x x x x x f +++=,则=')0(f _______.50.设432)4()3()2)(1()(----=x x x x x f ,则=')1(f _______.51.设1)(0-='x f ,则=--→)()2(lim000x f h x f hh _______.52.设215)()5(lim5-=--→x x f f x ,则=')5(f _______.53.设)(x f 在点0x 处可导,且41)()2(lim000=--→x f h x f h h ,则=')(0x f _______.54.已知)(x f 在0=x 处可导,且0,6)0(≠='h f ,则=--→xhx f hx f x 3)()(lim_______.55.若1)1(2-=-x x f ,则=')(x f _______.56.曲线xe x y +=在点()1,0处的切线方程是_______.57.已知x x y arctan )1(2+=,则=''y _______.58.已知)1ln(2x x y ++=,则=''y _______.59.设曲线方程为⎩⎨⎧+=++=tt y tt x cos sin 2,则='y _______.60.设)1sin(2+=x e y x,则=y d _______.61.求=--→xx e x x 630sin 1lim 3_______.62.设)7)(5)(1)(13()(----=x x x x x f ,则方程0)(='x f 有_______个实根.63.函数x y sin =在区间[]π,0满足罗尔定理的=ξ_______.64.函数x x y -=22在[]2,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ_______.65.曲线x x x y 23123+-=的拐点为_______.66.曲线35)2(-=x y 的拐点为_______.67.(数一)曲线x x y -=12的垂直渐近线方程是.68.(数一)1)(22-=x x x f 有条渐近线.69.(数一)111)(-+=x e x f 有条渐近线.70.已知)4,2(是曲线c bx ax x y +++=23的拐点,且曲线在3=x 处有极值,=a ,=b ,=c .71.(数二)已知某产品的总成本函数C 与产量x 的函数关系为2000102.0)(2++=x x x C ,则当产量10=x 时,其边际成本是.72.(数二)已知某商品的收入函数为2312Q Q R -=,则当=Q 时边际收入为0.73.(数二)设某种产品的单位成本y 是产量x 的函数,xx y 164++=(元),若产品以每件1000元的价格销量,当产量=x 时总利润最大.74.(数二)生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x C ,固定成本1000)0(=C ,求生产x 个产品的总成本函数.75.(数二)设边际收入函数为q q R 32)(+=',且0)0(=R ,则平均收入函数为__________.76.(数二)某公司在一个生产周期内制造x 台电冰箱的成本22.02008000)(xx x C -+=)4000(≤≤x 第251台电冰箱的实际制造成本为.三、计算题77.设)1ln(cos )(2x x f -=,求)(x f '.78.4312)(+-=xx x f ,求)(x f '.79.221cos 5ln x x y -+=,求y '及y d .80.设x ey x3cos -=,求y '.81.设xy 1cosln =,求y '.82.设1133+-=x x y ,求y '.83.设2x xee y +=,求1.00 d =∆=x x y.84.设x x y +=,求y '.85.设)32(2+-=-x x ey x,求y '.86.设212arcsintty +=,求y '.87.设⎪⎭⎫⎝⎛+-=2323x x f y ,且2arcsin )(x x f =',求d d =x x y .88.设134)1(2++=+x x x f ,)()(xe f x g -=,求)(x g '.89.求b a ,的值,使⎩⎨⎧>+≤-=1,ln 1),1(sin )(x b x x x a x f ,在1=x 处可导.90.设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--=0,0,11)(x bx a x x xx f 处处可导,求a 和b 的值.91.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,1)(1x x e xx f x ,求)0(-'f ,)0(+'f ,同时讨论)0(f '是否存在.92.已知⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ,求)(x f '.93.求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==0,00,1sin )(2x x xx x f y 的导数.94.设)(x ϕ在a 点的某领域内连续,)()()(x a x x f ϕ-=,求)(a f '.95.设)(x f ''连续,0)0(=f ,记⎪⎩⎪⎨⎧='≠=0),0(0,)()(x f x x x f x F ,证明)(x F '连续.96.设函数)(x f 处处可导,[]{})(x f f f y =,求x yd d .97.设x x y ln 22+=,求y ''.98.设xx y +-=11,求)(n y .99.设x x y ln =,求)(n y .100.设)1ln(2x x y ++=,求y ''.101.[])(ln x f y =,求y ''102.)2(2x x f y +=,其中f 二阶可导,求y ''.103.设)(x f ''存在,)(x xe f y -=,求y ''.104.求由方程32y x e xy +=所确定的隐函数)(x f y =的微分y d .105.求方程)sin(y x y +=确定的隐函数的二阶导数.106.已知222222b a y a x b =+,求y ''107.求由方程232-+=y x e xy 确定的隐函数)(x f y =在点)1,0(处的切线方程.108.设)(x y y =由方程e xy e y =+确定,求)0(y '.109.用对数求导法求函数xx x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1的导数.110.用对数求导法求函数54)1()3(2+-+=x x x y 的导数.111.设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧==t e y t e x t t cos sin 所确定,求3d d π=t x y .112.设曲线)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 所确定,求曲线在4π=t 处的切线方程.113.设函数)(x f y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 1 22,求22d d x y .114.设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧-==t t t y t x cos sin cos 确定,22d d ,d d x yx y .115.求方程⎩⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 表示的函数的二阶导数.116.x xx x 20tan )1ln(lim -+→.117.x x x 2cot 2lim 2⎪⎭⎫⎛-→ππ.118.xx x cos 1120)1(lim -→-.119.求⎪⎭⎫⎝⎛--→111lim 0x x e x .120.求()x x x ln 31102sin lim +→+.121.求x x x 2sin 231lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→.122.ax a x a x --→sin sin lim .123.xx x 5tan 3sin lim π→.124.22)2(sin ln lim x x x -→ππ.125.)0(lim ≠--→a a x a x nn mm a x .126.xx x 2tan ln 7tan ln lim 0+→.127.x xx 3tan tan lim 2π→.128.xarc x x cot 11ln lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→.129.x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→.130.x x x 2cot lim 0→.131.2120lim x xe x →.132.⎪⎭⎫⎝⎛---→1112lim 21x x x .133.122231lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+++x x x x a .134.x x x sin 0lim +→.135.x x x tan 01lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→.136.求7186223---=x x x y 的单调区间.137.求3)3)(1(+-=x x y 的单调区间.138.求函数x x y -=在区间[]1,0上的最小值.139.求函数)1ln(21arctan 2x x y +-=的极值点和极值.140.求函数32)1(2--=x y 的极值点和极值.141.设x x a y 3sin 31sin +=在点3π=x 处取得极小值,求a 的值.142.求曲线)1ln(2+=x y 的拐点.143.设函数)(x f y =由方程1222223=-+-x xy y y 所确定,求)(x f y =的极值.144.求曲线21x xy +=的凹凸区间及拐点.145.设函数x bx x a x f 3ln )(2-+=在1=x 和2=x 处取得极值,求b a ,的值.146.已知点)4,2(是曲线c bx ax x y +++=23的拐点,且曲线在3=x 处取得极值,求b a ,c 的值.147.求函数12+=x x y 的极值.148.求函数x e x x f -=2)(在]3,1[-上的最大值与最小值.149.设曲线方程为462++=x x y ,求曲线在)4,2(--处的切线方程.150.求等边双曲线x y 1=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.151.求曲线⎩⎨⎧==-t tey e x 22在0=t 处的切线方程和法线方程.152.求曲线0)ln(22=++yxe y x 在0=x 处的切线方程.153.确定c b a ,,的值,使c bx ax x y +++=23在点)1,1(-处为拐点,且在0=x 处有极大值为1,并求此函数的极小值.154.设函数)(x f 在[]a ,0上二阶可导,0>a 且0)(>''x f ,0)0(=f ,证明xx f x g )()(=在[]a ,0上单调增加.155.求函数26323-+-=x x x y 在区间[]1,1-上的最值.156.求函数322)1()2(+-=x x y 在区间[]2,2-上最大值和最小值.157.求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23与曲线21x y =相切的直线方程.158.求曲线01322=+++y xy x 在点)1,2(-处的切线和法线方程.159.设甲船以km/h 6的速率向东行驶,乙船以8km/h 的速度向南行驶,在中午十二点整时,乙船位于甲船之北16km 处,问下午一点整时两船相离的速率为多少?160.已知曲线2x y =与3x y =的切线平行,求x 的取值.161.求椭圆12222=+by a x 在点),(11y x M 处的切线方程.162.设甲、乙两船同时从一码头出发,甲船以km/h 30的速度向北行驶,乙船以km/h 40的速度向东行驶,求两船间的距离增加的速度.163.已知曲线的参数方程⎩⎨⎧==-232t t e y e x ,证明0d d d d 21222=+x y x y e t .164.(数一)求曲线2)1(42--=xx y 的水平和垂直渐近线.165.设曲线cx bx ax y ++=23上点)2,1(处有水平切线,且原点为该曲线的拐点,求该曲线方程.166.设点)2,1(-是曲线123-+=bx ax y 上的一个拐点,求a 和b 的值.167.设函数3)(4-+=bx ax x f 在1-=x 点处取得极小值0,求a 和b 的值.168.设函数)(x f 满足)()(x f x f =',且1)0(=f ,求证:x e x f =)(.169.求函数xe y x+=1的单调区间和极值.170.设)1ln(21arctan )(arctan 21222x x x x x y ++-+=,求y d .171.求函数3223x x y -=在区间[]1,1-上的最大值与最小值.172.已知曲线2x y =与直线cx y =)10(<<c 所围成图形的面积为1S ,曲线2x y =与直线cx y =)10(<<c 及直线1=x 所围城图形的面积为2S ,求21)(S S c S +=的最小值.173.求内接于半径a的球的长方体体积的最大值.174.用32cm长的一根铁丝围成一个矩形小框,试问:当矩形的长和宽各为多少时,围成的矩形面积最大?175.用薄铁板做一体积为V的有盖圆柱形桶,问桶底直径与桶高应有怎样的比例,才能使所用材料最省.176.已知某船的耗油费用与其速度的立方成正比,若每小时行驶10海里的耗油费为25元,其余费用每小时100元,求最经济的速度.177.欲做一个容积为3m V 的无盖圆柱形储粮桶,底用铝制,侧壁用木板制,已知每平方米铝价是木板价的5倍,问怎样做才能使费用最少.178.窗子的上半部为半圆,下半部为矩形,如果窗子的周长L 固定,试问当圆的半径r 取何值时,能使窗子的面积最大.179.欲围一个面积为2m 150的矩形场地,所用材料的造价是正面是每平方米6元,其余三面是每平方米3元,问场地的长,宽各为多少米时,才能使所用材料费最少.180.设甲船位于乙船东75海里,以12海里每小时的速度向西行驶,而乙船则以6海里每小时的速度向北行驶,问经过多长时间,两船相距最近?181.用a 万元购料,建造一个宽于深相同的长方体水池,已知四周的单位面积材料费为底面积材料费的5.1倍,求水池长与宽(深)各是多少,才能使容积最大.(地面单位面积材料费为1万元).182.在曲线26x y -=)0(>x 上确定一点,使该点处的切线与两坐标轴围城的平面图形的面积最小,并求最小值.183.已知函数x x x f 2)(3+=在区间[]1,0上满足拉格朗日定理,求相关的ξ值.184.(数二)设某工厂生产某种商品的固定成本为200(百元),每生产一个单位商品成本增加5(百元),且已知需求函数P Q 2100-=(其中P 为价格,Q 为产量).这种商品在市场上市场上畅销的.(1)试分别列出该商品的总成本函数)(P C 和总收益函数)(P R 的表达式.(2)求出使该商品的总利润最大时的产量.185.(数二)某工厂生产某种产品的固定成本为200万元,每多生产一吨该产品,成本增加5万元,该产品的边际收益函数为Q Q R 02.010)(-=',其中Q (单位:吨)为产量.试求:(1)该产品的边际成本函数;(2)该产品的总收入函数;(3)Q 为多少时,该厂总利润L 最大?最大利润是多少?186.(数二)某工厂生产某产品时,每日总成本为C 元,其中固定成本为50元,每多生产一单位产品,成本增加2元,该产品的需求函数为505Q p =-,求Q 为多少时,工厂日总利润L 最大?最大利润是多少?187.(数二)某商品的需求函数为275)(p p f Q -==,(1)求5=p 时的边际需求;(2)当p 为何值时,总收益最大?最大的总收益为多少?31第二章一元函数微分学1.D 。
一元函数微分学练习题

第一部分、一元函数微分学习题集1一、选择题1.下列命题正确的是( )0(A)()lim ().x x f x x f x →=∞若在的任意空心邻域内无界,则0(B)lim (),().x x f x f x x →=∞若则在的任意空心邻域内无界(C)lim (),lim ().x x x x f x f x →→=∞若不存在则1(D)lim (),lim.()x x x x f x f x →→=∞若=0则 2.{}n x 关于数列下列命题正确的个数是( ){}(1)lim .n n n x A x →∞⇒若=存在有界(2)lim lim .n n k n n x A k x A +→∞→∞=⇔=存在对任意确定正整数有221(3)lim lim lim .n n n n n n x A x x A -→∞→∞→∞=⇔==存在1(4)lim lim1.n n n n nx x A x +→∞→∞=⇒=存在(A)1 (B)2 (C)3 (D)43. 下列命题正确的是( )00,0()()lim (),lim ()x x x x x x f x g x f x A g x B A B δδ→→∃><-<>==>(A)若当时, 且均存在,则0lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→≥∃><-<>(B)若,则,当时 00lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→≥∃><-<≥(C)若,则,当时0lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→>∃><-<>(D)若,则,当时4 ()()()cos 1sin ,02x x x x x x πααα-=<→设,当时( )x (A)比高阶的无穷小 x (B)比低阶的无穷小 x (C)与同阶但不等价的无穷小 x (D)与是等价的无穷小5. 已知当0x →时,函数()3sin sin 3f x x x =-与k cx 是等价无穷小,则( )(A) 1,4k c == (B )1,4k c ==- (C )1,4k c == (D )3,4k c ==- 6.20()sin ()ln(1)x f x x ax g x x bx →=-=-当时,与是等价无 a 穷小,则=( )b=( )1111(A)1,(B)1,(C)1,(D)1,6666a b a b a b a b ==-===-=-=-=-7.设()(1231,1,1a x a a =-=+=.当0x +→时,以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是 ( ) (A )123,,a a a (B )231,,a a a (C )213,,a a a (D )321,,a a a8.(](](),lim (),(),x f x b f x A f x b →-∞-∞=-∞设在上连续,则存在是在上有界的( ) (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 9.[]11()tan (),( ) ()xxe e xf x x x e e ππ+=-=-设在上的第一类间断点是0 1 22ππ(A) (B)(C)- (D)10. 1()( )(1)ln xx f x x x x-=+函数的可去间断点的个数为0 1 2(A) (B)(C) (D)311.()20sin ()lim 1,( ) x tt t f x x →⎛⎫+-∞+∞ ⎪⎝⎭函数=在内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点12.曲线y= 1ln(1)x e x++, 渐近线的条数为 ( )A.0B.1C.2D.313. 已知()f x 在0x =附近有定义,且()00f =,则f(x)在0x =处可导的充要条件为 ( )(A )()22limx f x x →存在. (B )()1lim xx f ex→-存在.(C) ()201cos limx f x x →-存在. (D)()02()lim x f x f x x→-存在.14. 已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩,则( )(A )0x =是()f x 的第一类间断点 (B )0x =是()f x 的第二类间断点 (C )()f x 在0x =处连续但不可导 (D )()f x 在0x =处可导15. 已知函数()2321cos ,0()arcsin ,0x x f x xg x x x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩,其中g (x )是有界函数,则f (x )在x =0处( ) (A )极限不存在 (B )极限存在但不连续 (C )连续但不可导 (D )可导16.[]0(),(0)1y f x f δδδ∃>=-=若使得在上有定义,且满足20ln(12)2()lim 0()x x xf x x →-+=,则 ''(A)()0 (B)()0(C)()0(0)0 (D)()0(0)1f x x f x x f x x f f x x f ======在处不连续在处连续但不可导在处可导,且在处可导,且17.'1cos ,0()()00, 0x x f x f x x x x αβαβ⎧>⎪==⎨⎪≤⎩设,(>0,>0),若在处连续,则( )(A) 1 (B)0 1 (C) 2 (D)0 2 αβαβαβαβ-><-≤-><-≤18.()2()cos ln 1lim 1?n y f x xy y x f n →∞⎡⎤⎛⎫=+-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦设是由所确定,则n ( )(A) 2 (B) 1 (C) 1 (D) 2--19.()()''0,()0 , f x f x +∞>设函数在上具有二阶导数,且 令(),1,2,3,,n u f n n ==则下列结论正确的是( ).{}{}{}{}12121212(A), (B),(C), (D),n n n n u u u u u u u u u u u u >><<若则必收敛若则必发散若则必收敛若则必发散20.()()()2'2arctan limx f x x f x xfx ξξ→==设,若则=( )211(A)1 (B) (C) (D)32321.21,y ax b y x a b x=+=设直线同时与曲线及y=相切,则为( )(A)4, 4 (B)3, 4(C)4, 3 (D)3, 3a b a b a b a b =-=-=-=-=-=-=-=-22.()()()0,()0,()gf xg x g x g x a x ''<=设函数具有二阶导数,且若是()()0f g x x 的极值,则在取极大值的一个充分条件是( )(A) ()0f a '< (B)()0f a '> (C)()0f a ''< (D)0)(>''a f 23.设函数0()y f x x =在的某邻域内具有二阶导数,且0''0()lim 0x x f x A x x →=<-,则( ) ()()0000(A)0,(),()x x x y f x x x x y f x δδδ∃>∈-=∈+=当时是凹的,当时是凸的()()0000(B)0,(),()x x x y f x x x x y f x δδδ∃>∈-=∈+=当时是凸的,当时是凹的()00(C)0,()x x x y f x δδδ∃>∈-+=当时是凹的()00(D)0,()x x x y f x δδδ∃>∈-+=当时是凸的 24. 设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其导函数的图形如图所示,则 ( ) (A )函数()f x 有2个极值点,曲线()y f x =有2个拐点 (B )函数()f x 有2个极值点,曲线()y f x =有3个拐点 (C )函数()f x 有3个极值点,曲线()y f x =有1个拐点 (D )函数()f x 有3个极值点,曲线()y f x =有2个拐点25.''22()()(1,1)2()f x y f x x y f x =+=设 不变号,且曲线在点上的曲率圆为,则函数在区间(1,2)内( ).(A), (B),(C), (D),有极值点无零点无极值点有零点有极值点有零点无极值点无零点26.设函数()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数,且''0()0(1,2)i f x i <=,若两条曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =,且在该点处曲线1()y f x =的曲率大于曲率2()y f x =的曲率,则在0x 的某个邻域内,有 ( )(数一、二做)12(A)()()()f x f x g x ≤≤ 21(B)()()()f x f x g x ≤≤ 12(C)()()()f x g x f x ≤≤ 21(D)()()()f x g x f x ≤≤ 27.设商品的需求函数为()215()150082Q p p p p =--<<其中Q , p 分别为需求量和价格,ε为商品需求弹性,若1ε<,则p 的取值范围 ( )(数三做)(A)03p << (B)58p << (C)35p << (D)05p <<二、填空题 1. 212lim tan1x xx x →∞-=+ . 2. 0ln(1sin )lim cos 1x x x x →+-= .3.cos 0x x →= .4. tan sin 0limx xx e e →=- .5.limx →∞= .6.(lim sin x →∞-= .7.设0()ln 1lim 3x f x x x x→⎛⎫++ ⎪⎝⎭=,则20()lim x f x x →= .8. []()21cos ()()lim 1(0) 1()xx xf x f x f ef x →-==-已知函数连续且,则 . 9. 已知函数()f x满足x →=02,则lim ()____x f x →=0.10.20()()x x kx x αβ→==当时,与 k 是等价无穷小则= .11.3231lim (sin cos )2x x x x x x x →∞+++=+求 .12.20ln cos lim _________.x xx →=13. 30arctan sin lim x x x x →-⎛⎫=⎪⎝⎭求 .14.()11lim _________nn n n -→∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭.15.101+2lim 2xxx →⎛⎫= ⎪⎝⎭求 . 16.10ln(1)lim 2xx x x →+⎛⎫-= ⎪⎝⎭.17.20lim x x →-= .18.21lim tan 4n n n π→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭.19.21000lim xx e x--→= .20.()2224cos limx x e x x xe ex-→-= .21.若2260sin 3()lim 0x x x f x x→+=,则403()lim →+=x f x x . 22.()21,()=, .2, x x cf x c x c x ⎧+≤⎪-∞+∞=⎨>⎪⎩设函数在内连续则23. x =0是1()1arctanf x x x=-的 间断点.24. x =1是221()lim 1n nn x f x x →∞-=+的 间断点. 25. 曲线()322arctan 11x y x x=+++的斜渐近线方程为 . 26. 曲线1y x =-+的水平渐近线方程为 ,垂直渐近线方程为 ,斜渐近线方程为 .27.1()(()) .21,1x edyx f x y f f x dx x x =⎧≥===⎨-<⎩设,,则28.'()y f x f =设是以3为周期的周期函数,且(7)=1,则(1)(13tanh)lim.h f h f h→+--=29.'f 设(1)=1,则0(1)(12sin )lim .2sin x f x f x x x→+--+=30. ()2()1,0lim . 2n n y f x y x x nf n →∞⎛⎫==-=⎪+⎝⎭曲线和在点处有切线,则31.111cos '1(0)1(0)3lim . nn n f f f n -→∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭设,,则32. 2cos cos .41sin x t t t y tπ⎧=+=⎨=+⎩曲线上对应于点的法线斜率为33.()21ln(1),()2arctan x t t y f x y t ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩设为参数则在任意点处的曲率22 ,() .()d yK dx==数一、二做数三做34.曲线arctan y x=在(1,0)点的切线方程为 .35. 曲线tan()4y x y e π++=在点(0,0)处的切线方程为 .36.()12 ln 0(0)13n x y x n y x -===+函数在处的阶导数 . 37.()2()sin cos (0).n f x x x x f=设 ,则 =38.()23 ()3+ 0, f x x Ax x A A -=>设为正常书,则至少取时f(x)20.≥有39. 若曲线y x ax bx =+++3214有拐点(1,3),则b=_____________.40. 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加,宽w 以3cm/s 的速率增加,则当l=12cm,w=5cm 时,它的对角线增加的速率为_________. (数学一、二做) 41.已知动点P 在曲线3x y =上运动,记坐标原点与点P 间的距离为l 。
一元函数微分学习题

第二部分 一元函数微分学[选择题]容易题 1—39,中等题40—106,难题107-135。
1.设函数)(x f y =在点0x 处可导,)()(00x f h x f y -+=∆,则当0→h 时,必有( )(A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -∆是h 的同阶无穷小量。
(C) y d 是比h 高阶的无穷小量。
(D ) y y d -∆是比h 高阶的无穷小量. 答D2.已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数,且当0<x 时,0)(,0)(<''>'x f x f ,则在),0(+∞内有( )(A)0)(,0)(<''>'x f x f 。
(B )0)(,0)(>''>'x f x f 。
(C )0)(,0)(<''<'x f x f 。
(D )0)(,0)(>''<'x f x f 。
答C3.已知)(x f 在],[b a 上可导,则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的( )(A )必要条件。
(B) 充分条件.(C)充要条件。
(D )既非必要,又非充分条件。
答B4.设n 是曲线x x x y arctan 222-=的渐近线的条数,则=n ( ) (A) 1. (B ) 2 (C) 3 (D) 4 答D5.设函数)(x f 在)1,1(-内有定义,且满足)1,1(,)(2-∈∀≤x x x f ,则0=x 必是)(x f 的( )(A )间断点。
(B )连续而不可导的点. (C )可导的点,且0)0(='f . (D )可导的点,但0)0(≠'f . 答C6.设函数f(x )定义在[a ,b]上,判断何者正确?( ) (A )f(x )可导,则f (x )连续 (B )f (x )不可导,则f (x )不连续 (C)f (x )连续,则f (x)可导 (D )f (x )不连续,则f (x )可导 答A7.设可微函数f(x )定义在[a ,b]上,],[0b a x ∈点的导数的几何意义是:( ) (A)0x 点的切向量 (B )0x 点的法向量 (C )0x 点的切线的斜率 (D )0x 点的法线的斜率 答C8.设可微函数f (x)定义在[a ,b ]上,],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是:( )(A)0x 点的自向量的增量 (B )0x 点的函数值的增量(C )0x 点上割线值与函数值的差的极限 (D )没意义 答C9.x x f =)(,其定义域是0≥x ,其导数的定义域是( ) (A )0≥x(B)0x≠(C)0x>(D)0x≤答Cx不可导,则()10.设函数)(xf在点x没有切线(A))f在点(xx有铅直切线(B))f在点(xx有水平切线(C))f在点(x(D)有无切线不一定答D11.设'=''='''>()(),()00, 则()f x f x f x000(A)x是'f x()的极大值点(B) x是f x()的极大值点是f x()的极小值点(C) x(D) (,())是f x()的拐点x f x00[D]12. (命题I):函数f在[a,b]上连续. (命题II): 函数f在[a,b]上可积。
第二章 一元函数微分学测试卷

第二章 一元函数微分学测试题(A )一、选择题:(每小题3分,共计15分)1.设()f x 在0x x =可导,则下列各式中结果等于0()f x '的是 () A .000()()lim x f x f x x x∆→-+∆∆;B .000()()limx f x x f x x∆→-∆-∆C .000(2)()lim x f x x f x x∆→+∆-∆; D .000(2)()lim x f x x f x x x∆→+∆-+∆∆. 2.函数()1f x x =-()A .在1x =处连续可导B .在1x =处不连续C .在0x =处连续可导D .在0x =处不连续 3.设x x y =,则='y( )A .)1(ln +x x xB .)1ln (+x x x xC .x x x lnD .x x4.若函数()f x 在[],a b 上连续,在),(b a 内可导,且( )时,则在(),a b 内至少存在一点ξ,使0)(='ξf 成立.A .()()f a f b =;B .()()f a f b ≠;C .0)()(>b f a f ;D .0)()(<b f a f . 5.若()f u 可导,且()x y f e =,则有dy( )A .()x f e dx ';B .()x x f e de ;C .[()]x x f e de ';D .[()]x x f e e dx '.二、填空题(每小题3分,共计15分)1.已知 2ln sin y x =,则y '= ; 2.求极限:1lim1ln xx x xx x→--+= ;3.已知曲线方程为2323x t t y t t ⎧=-⎨=-⎩,则()y x ''= ; 4.已知函数410()3f x x e =,则(10)y = ; 5.曲线ln sec y x =在点(,)x y 处的曲率半径为 ; 三、计算题(每题5分,共30分)1.1ln(1)lim cot x x arc x→+∞+2.tan 0lim x x x +→3.0limln(1)x x x x→+-4.已知ln(y x =-,求()y x ¢5.已知 y x x y =,求d y d x四、解答题(每题8分,共40分)1、设曲线)(x f y =与x y sin =在原点处相切,求极限)2(lim nnf n ∞→ 2、当20π<<x 时,证明xx x <<sin 2π.3.若曲线32y ax bx cx d =+++在点0x =处有极值0y =,点(1,1)为拐点,求,,,a b c d 的值.4.已知221sin ,0()0,01sin ,0x x x f x x x x x ìïï<ïïïï==íïïïï>ïïïî,讨论()f x 的连续性与可导性. 5.用汽船拖载重相等的小船若干只,在两港之间来回运送货物,已知每次拖4只小船,一日能来回16次,每次拖7只,则一日能来回10次,如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比,问每日来回多少次,每次拖多少只小船能使运货总量达到最大?参考答案:一、选择题:(每小题3分,共计15分)1-5. DCAAC二、填空题(每小题3分,共计15分)1.22cot x x ;2. 2;3.34(1)t -;4.0;5.232sec (1tan )xx +三、计算题(每题5分,共30分)1.1ln(1)lim cot x x arc x→+∞+222211()11ln(1)11:limlim lim1cot 122limlim1212x x x x x xxx xarc x x x xx x →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞⋅-+++==+-+===+解2.tan 0lim xx x+→tan 221ln :lim lim exp tan ln exp lim exp lim cot csc sin exp lim 1xx x x x x x x xx x xx x e x+++++→→→→→===--===解3.0limln(1)x x x x→+-:limtan 1cos lim ln(1)11cos 1sin limlim12ln(1)2111sin (1)1lim22x x x x x x x xx xx x x x xx x x→→→→→=-=⋅+--==+--++==--解原极限4.已知ln(y x =-,求()y x ¢12211(1)2:x xy---⋅'===-解5.已知y xx y=,求d yd x: :ln lnln lnlnlnlnlny x x yy yy x y xx yyyx y yxyx y x xxy=''+=+⋅--'==--解两边取对数得四、解答题(每题8分,共40分)1、解:因为曲线)(xfy=与xy sin=在原点处相切,000,sin0(0)0,cos1,(0)1x xx y fy x f======''===当时且则00lim lim2()()()(0)lim lim lim(0)120limn nn x xnff x f x fn fx xn→∞→∞→∞→∞→→→∞→∞∴==-'====-∴==2、sin,(0,]:()21,0xxf x xxπ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩证明构造函数2cos sin ()[0,](0,),(0,),()<0 222x x xf x x f xx πππ-'∴∀∈=在上连续.在内可导且对于总有2sin ()[0,],(0,),()<()<(0)1,2222s 2s in n <1,i #<x f x x f f x f xx xx x x ππππππ<<∴∀∈===在上单调递减所以有即所以3.32:00,y ax bx cx d x y =+++==解在处有极值232,(0)0,(0)=0(1,1)62(1)=620(1)113,2213,,0,022y ax bx c y c y d y ax b y a b y a b c d a b a b c d '=++'∴===''=+''∴+==+++==-=∴=-===为拐点,解得4.已知221sin ,0()0,01sin ,0x x x f x x x x x ìïï<ïïïï==íïïïï>ïïïî,讨论()f x 的连续性与可导性.22222:(00)lim (00)lim (00)(00)(0)0()0,R (0)lim 1sin1sin1sin1sin1sinlim 0(0)lim 1sinlim 0()0x x x x x x f f f f f f x x f x x xx xx xxx f x x x xf x x -+--++→→-→→+→→-=+=-=+==='==-'====-=--=解所以在处连续从而在上处处连不存在在所以续处不可导5.用汽船拖载重相等的小船若干只,在两港之间来回运送货物,已知每次拖4只小船,一日能来回16次,每次拖7只,则一日能来回10次,如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比,问每日来回多少次,每次拖多少只小船能使运货总量达到最大?:,.744121610162(12)2(12)012,0,12,n x z y nxz x n x nn y n zy n zy n y z n y =--=⇒=---∴=-'=-'''===-<=解设每日来回次每次拖只小船每只小船的运货量为 则一天的运货总量为令得故时最大所以每日来回12次,每次拖6只小船能使运货总量达到最大.一元函数微分学测试卷(B )一、单项选择题:(每小题3分,共计15分) 1.设()f x 在x a =可导,则0()()limx f a x f a x x®+--=( )A .()f a ¢B .2()f a ¢C .()f x ¢D .(2)f a ¢ 2.下列结论错误的是( ) A .如果函数()f x 在x a =处连续,则()f x 在x a =处可导B .如果函数()f x 在x a =处不连续,则()f x 在x a =处不可导C .如果函数()f x 在x a =处可导,则()f x 在x a =处连续D .如果函数()f x 在x a =处不可导,则()f x 在x a =处也可能连续 3.在曲线ln y x =与直线x e =的交点处,曲线ln y x =的切线方程是 ( )A .0x ey -=B .20x ey --=C .0ex y -=D .0ex y e --=4. 若函数()f x 在[],a b 上连续,在),(b a 内可导,则()f x '在(),a b 内 ( )A .只有一实根B .至少有一个实根C .至少有两个实根D .没有实根 5.2cos 2y x =,则dy =( )A .2(cos 2)(2)x x dx ''B .2(cos 2)cos 2x d x 'C. 2cos 2sin 2x xdx -D. 2cos 2cos 2xd x二、填空题(每小题3分,共计15分) 1.已知 1arctan 1x y x+=-,则y '= ;2.求极限: 21sin(1)lim1x x x →--= ;3.已知曲线方程为cos sin x a t y b t=⎧⎨=⎩,则()y x '= ;4.已知函数ln y x x =,则(10)y = ;5.椭圆2244x y +=在点(0,2)处的曲率为 ; 三、计算题(每题5分,共30分) 1.求011lim ()1xx xe ®--2.求()1lim 1sin x x x ®+3.0limx ®4. 已知xx xxe e y e e---=+,求()y x ¢5. 已知 ln y x y =+,求d y d x四、解答题(每题8分,共40分) 1、设22ln(1)lim2x x ax bxx®+--=,求,a b 的值.2. 已知4321y x x =-+,求其单调区间,极值点,凸凹区间及拐点.3、已知221sin ,0()0,0x x f x x x ìïï¹ï=íïï=ïî,讨论()f x 的连续性与可导性.4. 设()f x 在[]0,a 上连续,()0,a 内可导,且()0f a =,证明:存在一点(0,)a ξ∈,使得()()0f f ξξξ'+=5.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于观察者的眼睛1.8 m ,问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角θ 最大) ?参考答案:一、单项选择题:(每小题3分,共计15分)1-5 BAABD二、填空题(每小题3分,共计15分)1.211x+;2.2;3.cot b t a-;4.98!x;5.2三、计算题(每题5分,共30分)1.求011lim ()1xx xe ®--1111lim ()limlim1(1)(1)11limlim112xxxxx xx xx xxxxx xe x e xe x e e xeee e xex解: ----==---+===++++2.求()1lim 1sin x x x ®+()()111ln(1sin )lim 1sin lim exp[ln 1sin ]exp lim sin exp limx x xx x x x x x xxe ex解: ®++=+====3.0limx ®1.41.8θ332212limlimlim1sin 236limlim61cos sin x xx x xxxx xxx xx解: ==-===-4. 已知x x xxe e y e e---=+,求()y x ¢22()()()()4()()()x xxx xxxxxxxxe ee e e ee e y x e ee e解:------++---¢==++5. 已知 ln y x y =+,求d y d xln 111y x y dy dy dx y dxdy y dx y 解:=+=+=-四、解答题(每题8分,共40分)1、设22ln(1)lim2x x ax bxx®+--=,求,a b22222212ln(1)1limlim22120lim[2]011lim[2]1111212ln(1)(1)1limlimlim22215lim22(1)2x xx x x xx x a bx x ax bxxxxx x a bx xa bx xbbx x ax bxx xxxb x 解:且当为无穷小,即 ®® ®--+--+==甛--=+=-=+----+--++\===-\=-=-+2. 已知4321y x x =-+,求其单调区间,极值点,凸凹区间及拐点.43322122:21462(23)300,2121212(1)0,01y x x y x x x x y x x y x x x x y x =-+'=-=-'===''=-=-''==解令得驻点为时或33311(,),(-,),(,)22216(-,0)(1,),(0,1),(0,1)(1,0).∞∞-∞∞单调增区间为单调减区间为极小值点为凹区间为及凸区间为拐点为及3、已知221sin ,0()0,0x x f x x x ìïï¹ï=íïï=ïî,讨论()f x 的连续性与可导性. 222221:lim ()lim sin(0)0()0,()R 1sin 0()(0)1(0)limlimlim sin()0,()R .x x x x x f x x xf f x x f x x f x f xf x x xxf x x f x →→→→→===∴=--'====-∴=解在处连续则在上处处连续在处可导则在上处处可导4. 设()f x 在[]0,a 上连续,()0,a 内可导,且()0f a =,证明:存在一点(0,)a ξ∈,使得()()0f f ξξξ'+=[]():()=(),()0,,0,,F(0)=F()=0,,(0,),F ()=0.()()0#x xf x x a a a a f f ξξξξξ''∃∈+=证明令F 则F 在上连续在内可导且从而满足罗尔中值定理条件所以使得即5.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于观察者的眼睛1.8 m ,问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角θ 最大) ?2222222221.4 1.8 1.8arctanarctan ,(0,)3.2 1.8 1.4( 5.76)3.2 1.8( 3.2)( 1.8)0, 2.4(0m,,,, 2.4 ,)m .x x x x x x x x x x 则令得驻点根据问题的实际意义观察者最佳站位存在驻点又唯一因此观察者站在距离墙处看图最解:设观察者清楚与墙的距离为q q q +=-? ---¢=+=++++¢==?1.4 1.8。
专升本高等数学(二)-一元函数微分学(一)

专升本高等数学(二)-一元函数微分学(一)(总分:94.00,做题时间:90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数:4,分数:8.00)1.已知函数y=x5+3x4,则y'|x=2=______。
∙ A.8∙ B.176∙ C.7∙ D.186(分数:2.00)A.B. √C.D.解析:2.若下列各极限都存在,其中等式不成立的是______ A. B. C. D (分数:2.00)A.B.C. √D.解析:[解析] 利用导数f(x)在点x0处的定义进行判断。
选项A中,[*],原等式成立。
选项B中,[*],原等式成立。
选项C中,[*],原等式不成立。
选项D中,[*],原等式成立。
3.已知函数f(x)在点x0处可导,且f'(x0)=2______∙ A.0∙ B.1∙ C.2∙ D.4(分数:2.00)A.B.C.D. √解析:[解析] [*]。
4.设f(x)在x0处不连续,则______A.f'(x0)必存在 B.f'(x0)必不存在C.必存在 D(分数:2.00)A.B. √C.D.解析:[解析] 根据函数的可导与连续的关系可知,f(x)在x0处不连续,则f(x)在x0处不可导。
二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数:8,分数:24.00)5.(2,3)处的切线方程是 1。
(分数:3.00)填空项1:__________________ (正确答案:[*])解析:6.函数y=4x3-9x2+6x+1的驻点是 1。
(分数:3.00)填空项1:__________________ (正确答案:[*],1)解析:7.f'(0)=______。
(分数:3.00)填空项1:__________________ (正确答案:[*])解析:[解析] [*] 依题意,有[*],于是有[*]。
8.曲线y=e-x在点(0,1)处的切线的斜率k为 1。
(分数:3.00)填空项1:__________________ (正确答案:-1)解析:[解析] y'=(e-x)'=-e-x,根据导数的几何意义有,k=y'|x=0=-e0=-1。
专升本高等数学(一)-一元函数微分学(二)

专升本高等数学(一)-一元函数微分学(二)(总分:70.02,做题时间:90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数:5,分数:10.00)1.设函数f(x)在x=x0处可导,且f'(x0)=2,则极限=______A. B.2 C. D.-2(分数:2.00)A.B.C.D. √解析:2.设f(0)=0,且f'(0)存在,则=______ A.f'(x) B.f'(0) C.f(0) D(分数:2.00)A.B. √C.D.解析:3.设f(x)在x0处不连续,则______A.f'(x0)必存在 B.f'(x0)必不存在C.f(x)必存在 D f(x)必不存在(分数:2.00)A.B. √C.D.解析:4.设函数f(x)=,则f'(x)等于______ A.-2 B.-2x C.2 D.(分数:2.00)A.B. √C.D.解析:5.椭圆x2+2y2=27上横坐标与纵坐标相等的点处的切线斜率为______A.-1 B. C D.1(分数:2.00)A.B. √C.D.解析:二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数:10,分数:20.00)6.f'(0)= 1.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:[*])解析:7.设函数f(x)在x=2处可导,且f'(2)=1.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:1)解析:8.设曲线y=x2-3x+4在点M处的切线斜率为-1,则点M的坐标为 1.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:(1,2))解析:9.y=,则.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:[*])解析:10.设y=x e+e x+lnx+e e,则y'= 1.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:[*])解析:11.设y=x2·2x y'= 1.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:2x·2x+x2·2x ln2)解析:12.设f(x)=ln(1+x2),则f"(-1)= 1.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:0)解析:13.设f(x)=sinx+lnx,则f"(1)= 1.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:-(1+sin1))解析:14.设y=e sinx,则dy= 1.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:e sinx·cosxdx)解析:15.设dy= 1.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:[*])解析:三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数:4,分数:40.00)求下列由参数方程所确定的函数的导数.(分数:8.01)(1).设,求 2.67)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:([*])解析:(2).设y=f(x)由参数方程x=cost,y=sint-tcost 2.67)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:([*])解析:(3).设x=,y=,求 2.67)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:([*])解析:求下列隐函数的导数.(分数:8.01)(1).设由方程xy2-e xy+2=0确定的隐函数y=f(x) 2.67)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:([*])解析:(2).设y=f(x)由方程y3=x+arccos(xy) 2.67)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:([*])解析:(3).设y=f(x)由方程e xy+ylnx-cos2x=0 2.67)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:([*])解析:用对数求导法求下列函数的导数.(分数:12.00)(1).设y=x sinx,求y'.(分数:3.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:([*])解析:(2).设函数y'.(分数:3.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:([*])解析:(3).设函数y=arcsinx+x arctanx,求y'.(分数:3.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:([*])解析:(4).f(x)在点x=0处可导,试确定a和b的值.(分数:3.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:(函数f(x)在点x=0处可导,则它在x=0处必定连续.由于f(0)=e0=1,f(0-0)=[*],f(0+0)=[*],由函数的点连续的定义可知,f(0-0)=f(0+0)=f(0),可得a=1.又函数f(x)在点x=0处可导,则函数f(x)在点x=0处的左导数f'-(x0)和右导数f'+(x0)都存在且相等,由于[*]因为f'-(x0)=f'+(x0),于是可得b=1.)解析:求下列函数的高阶导数.(分数:12.00)(1).设函数y=ln(1+x2),求y".(分数:3.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:([*])解析:(2).设函数y=(1+x2)arctanx,求y".(分数:3.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:([*])解析:(3).设f"(x).(分数:3.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:(f"(x)=[*])解析:(4).设函数y=ln(1+x),求y(n).(分数:3.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:([*])解析:。
专升本高等数学第三章一元函数微积分练习题

第三章 一元函数积分学1、计算下列不定积分 (1)⎰-942x dx (2)⎰++dx x x 5212(3)⎰+-245xx dx(4)⎰+dx x 922(5)dx xe x⎰-+)12(2(6)dx xx 2)2cos 2(sin ⎰-(7)dx x x x ⎰-)tan (sec sec (8)dx x x x⎰-sin cos 2cos2、计算下列不定积分 (1)⎰+-dx xx x )1)(12((2)dx x ⎰-)32cos(π(3)dx x ⎰-32)12((4)dx x x ⎰2cos(5)dx x ⎰-232(6)xdx e x cos 2⎰(7)⎰dx x x 2arcsin (8)⎰+22)9(x dx(9)⎰x dx 3sin(10)xdx e x 3sin 2⎰-(11)⎰xdx x 5sin 3sin3、计算下列不定积分 (1)dx x x ⎰++3131(2)dx xx⎰+31(3)dx xx⎰-241(4)dx x x ⎰-229(5)dx x x ⎰+222)1( (6)⎰+dx xx )1(1104、计算下列不定积分 (1)xdx x cos 2⎰(2)⎰dx e x x 32(3)⎰+dx x x )1ln(4(4)xdx x arccos 2⎰(5)dx xxx ⎰-+11ln(6)⎰xdx arc cot(7)dx x x ⎰++)1ln(2(8)dx xx x ⎰-21arcsin5、求下列极限 (1)341limx dt t xx ⎰++∞→(2)2)1ln(limx dt t xx ⎰+→6、计算下列定积分 (1)dx x x⎰--+213(2)dx x x ⎰-+1123)3((3)dx x x ⎰+5231(4)dx xx ⎰-+210211(5)⎰+101xe dx(6)dx x x⎰-743(7)⎰+21ln 1e xx dx(8)dx x )2(cos 02⎰π7、计算下列定积分(1)dx xxe⎰+1ln 1(2)dx e x ⎰-2ln 01(3)dx xx⎰++311 (4)dx ee xx⎰+2ln 021 (5)dx xx ⎰-2121(6)dx x ⎰-1248、计算下列定积分 (1)dx x⎰+12)1ln((2)dx x ⎰31arctan(3)dx ex ⎰-12112(4)xdx x2cos 2⎰-ππ9、求下列图形的面积 (1)曲线xxe y e y -==,与直线1=x 所围成的图形(2)曲线x y 22=与022=-+x y 所围成的图形(3)曲线x y -=1与x 轴、y 轴所围成的图形10、设曲线21x y -=,x 轴与y 轴在第一象限所围成的图形被曲线2ax y =分为面积相等的两部分,其中0>a 为常数,试确定a 的值.11、求下列各组曲线所围成的图形分别绕x 轴和y 轴旋转,所得的旋转体体积 (1)1,12+=+=x y x y(2)e x y x y ===,0,ln(3)1,0,3===x y x y12、在曲线)0(2≥=x x y 上某一点处作一切线,使之与曲线及x 轴所围图形的面积为121, 试求:(1)切点A 的坐标; (2)过切点A 的切线方程(3)由上述所围成平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积13、已知曲线三角形由抛物线x y 22=及直线1,0==y x 所围成,求 (1)曲边三角形的面积;(2)该曲边三角形绕0=y 旋转成所旋转体的体积14、求由曲线xe y -=与直线0,1,0===y x x 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积.习题答案1、(1)C x x +-+942ln 212;(2)C x ++21arctan21;(3)C x x x ++-+-)452ln(2 (4)C x x x x +++++)922ln(42992222;(5)C x e x++arcsin 2;(6)C x x ++cos ;(7)C x x +-sec tan ;(8)C x x +-cos sin 2、 (1)C x x x x +--+21232234(2)C x +-)32sin(21π(3)C x +-35)12(103(4)C x +2sin 21(5)C x x x x +-+--233ln 3323222 (6)C x x e x++)cos 2(sin 512(7)C x xx x +-+-22442arcsin )12( (8)C x x x +++3arctan 541)9(182 (9)C x x x x +-+-cot csc ln 21sin 2cos 2 (10)C x x e x++--)3cos 33sin 2(132 (11)C x x ++-2sin 418sin 161 3、 (1)C x x +++32)13)(2(51;(2)C x x x x +-+-61216567arctan 625676(3)C xx +--242ln21; (4)C xx x x +---+99ln 22(5)C x xx ++⋅-2121arctan 21 (6)C x x ++10101ln101 4、 (1)C x x x x ++-cos 2sin )2(2(2)C e xe e x xx x ++-33322729231 (3)C x x x x ++-+2242arctan )1ln(21 (4)C x x x x +-+-222192arccos 3(5)C xx x x x x +-+-+-+11ln 2111ln 212 (6)C x x xarc +++21ln cot (7)C x x x x ++-++1)1ln(22(8)C x x x ++--arcsin 12 5、 (1)31;(2)21 6、 (1)12ln 3-; (2)2;(3))26ln 25(21- (4)1236+-π(5))1ln(2ln 1e +-+ (6)332 (7))13(2- (8)2π 7、 (1)23 ;(2)22π-;(3)35;(4)42arctan π-;(5)33π-;(6)233+π8、 (1)2ln 22+-π(2)3165-+π(3)1(4)π9、 (1)21-+-e e (2)49(3)32 10、3=a 11、(1)6,157ππ==y x V V ;(2))1(2),2(2+=-=e V e V y x ππ;(3)ππ52,7==y x V V 12、(1))1,1(A ;(2)12-=x y ;(3)30π=x V13、(1)61;(2)4π; 14、)21(21--e π。
第二章一元函数微分学例题练习

第二章、一元函数微分学题型一、导数与微分的计算【例题2.2】设函数f (x )在(0,+∞)内有定义,且对任意的x >0,y >0,都有f (xy )=f (x )+f (y ),又f (1)存在且等于a ,求f ′(x )和f (x )【例题2.4】设函数f (x )=g (x )−cos x x,x =00,x =0其中,g (x )具有二阶连续导数,且g (0)=1,确定a 的值,使得f (x )在点x 0=0处连续,并求出f ′(x ),同时讨论f ′(x )在点x =0处的连续性【例题2.11】(利用Taylor 公式求高阶导数)设函数f (x )=sin 6x +cos 6x ,求f (n )(x )【例题2.13】设函数f (x )=11−x −x2求f (n )(0)题型二、微分中值定理的应用【例题2.21】求极限lim n →∞n n √n +1−n +1√n n √2−1 ln n 【例题2.22】求极限I =limx →0+e (1+x )1x−(1+x )exx 2【例题2.23】设函数f (x ),g (x )均为(0,+∞)上的非常数可导函数,且对任意的x,y ∈(−∞,+∞),恒有f (x +y )=f (x )f (y )−g (x )g (y ),g (x +y )=f (x )g (y )+g (x )f (y )已知f ′(0)=0,证明:对一切x ∈(−∞,+∞),恒有f 2(x )+g 2(x )=1【例题2.25】设n 为正整数,证明:对任意实数λ≥1,有nk =11(1+k )k√λ<λ【例题2.28】设f (x )在区间[−a,a ]上具有二阶连续导数,f (0)=0,(1)写出f (x )的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;(2)证明:在区间[a,a ]上至少存在一点η,使得a 3f ′′(η)=3a−a f(x )dx【例题2.29】设函数y =f (x )((−1,1)内具有二阶连续导数,且f ′′(x )=0,证明:(1)对于(−1,1)内任意x =0,存在唯一的θ(x ),使得f (x )=f (0)+xf ′(θ(x )x )(2)lim x →0θ(x )=12题型三、导数的应用【例题2.30】设在(−∞,+∞)上f ′′(x )>0,f (0)<0,证明:f (x )x分别在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递增【例题2.31】设函数f (x )=(1+x )1x ,x >0确定常数A,B,C ,使得当x →0+时,f (x )=Ax 2+Bx +C +o x 2【例题2.43】设函数f (x )在区间(−π,π)内连续可导,且满足f ′′(x )=sin 2x −[f ′(x )]2=13xg (x ),其中g (x )为连续函数,满足当x =0,g (x )x >0且lim x →0g (x )x =34,证明:(1)点x =0是f (x )在区间(−π,π)内唯一的极值点,且是极小值点;(2)曲线g =f (x )在区间(−π,π)内是向上凹的题型四、介值定理的论证方法【例题2.54】设函数f (x )在[0,1]上连续,(0,1)可导,并且f (0)=f (1)=0,已知对任意的x ∈(0,1),都有f ′′(x )>0,且f (x )在[0,1]上的最小值m <0,求证:(1)对任意正整数n 都存在唯一的x n ∈(0,1),使得f ′(x n )=m n;(2)数列{x n }收敛,且flim n →∞x n=m【例题2.58】设0<a <b,f (x )在[a,b ]上连续,在(a,b )内可导,求证:存在ξ,ηϵ(a,b ),使得f ′(ξ)=a +b 2ηf ′(η)【例题2.60】设函数f (x )在[a,b ]上连续, ba f (x )dx =b a f (x )e x dx =0,求证:f (x )在(a,b )内至少存在两个零点【例题2.61】f (x )在区间[a,b ]上连续,在(0,1)内可导,f ′(x )>0,f (0)=0,f (1)=1,证明:对任意给定的正数λ1,λ2,λ3···λn ,在(0,1)内存在不同的数,x 1,x 2,x 3···x n 使得ni =1λif ′(x i )=ni =1λi【例题2.62】设函数f (x )=x n +x −1,其中n 为正整数,证明:(1)若n 为奇数,则存在唯一的正实数x n ,使得f (x n )=0(2)若n 为奇数,则存在两个实数根x n ,y n ,且x n <0,y n >0(3)极限lim n →∞x n ,lim n →∞y 2n 都存在,并求出它们的值【例题2.63】设实数a,b ,满足b −a >π,函数f (x )在开区间(a,b )内可导,证明:至少存在一点ξ∈(a,b ),使得f 2(ξ)+1>f ′(ξ)。
考研数学二(一元函数微分学)-试卷3

考研数学二(一元函数微分学)-试卷3(总分:62.00,做题时间:90分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________解析:2.设ψ(x)在[a,b]上连续,且ψ(x)>0,则函数y=φ(x)=∫ a b |x一t|ψ(t)dt的图形 ( )(分数:2.00)A.在(a,b)内为凸B.在(a,b)内为凹√C.在(a,b)内有拐点D.在(a,b)内有间断点解析:解析:先将φ(x)利用|x—t|的分段性分解变形,有φ(x)=∫ a x (x一t)ψ(t)dt+∫ x b (t一x)ψ(t)dt=s∫ a xψ(t)dt一∫ a x tψ(t)dt+∫ x b tψ(t)dt—x∫ x bψ(t)dt.因为ψ(t)在[a,b]上连续,所以φ(x)可导,因而答案不可能是(D).为讨论其余三个选项,只需求出φ"(x),讨论φ"(x)在(a,b)内的符号即可.因φ"(x)=∫ a xψ(t)dt一∫ x bψ(t)dt,φ"(x)=2ψ(x)>0,x∈[a,b],故y=φ(x)的图形为凹.直选(B).x f(t)dt,则 ( )-1(分数:2.00)A.F(x)为f(x)的一个原函数B.F(x)在(一∞,+∞)上可微,但不是f(x)的原函数C.F(x)在(一∞,+∞)上不连续D.F(x)在(一∞,+∞)上连续,但不是f(x)的原函数√解析:解析:请看通常的解法:求积分并用连续性确定积分常数,可得F" +(0)≠F" -(0).根据原函数定义,F(x)不是f(x)在(-∞,+∞)上的原函数.请考生看看,我们还有更好的方法解决这个问题吗?事实上,由于f(x)有第一类间断点,所以F(x)必然不是其原函数,而变限积分存在就必连续,所以答案自然选择(D).(一∞,+∞)内,下列正确的是 ( )(分数:2.00)A.f(x)不连续且不可微,F(x)可微,且为f(x)的原函数√B.f(x)不连续,不存在原函数,因而F(x)不是f(x)的原函数C.f(x)和F(x)均为可微函数,且F(x)为f(x)的一个原函数D.f(x)连续,且F’(x)=f(x)解析:解析:可以验证x=0为f(x)的第二类间断点,因为:故x=0为f(x)的第二类振荡间断点,可能存在原函数.故F(x)可微.即F"(x)=f(x),故(A)正确.5.设F(x)=∫ x x+2π e sint sintdt,则F(x) ( )(分数:2.00)A.为正常数√B.为负常数C.恒为零D.不为常数解析:解析:因e sinx sin x是以2π为周期的周期函数,所以 e sinx cos 2x≥0,故选(A).6.设f(x)是以l为周期的周期函数,则∫ a+kl a+(k+l)l f(x)dx之值 ( )(分数:2.00)A.仅与a有关B.仅与a无关C.与a及k都无关√D.与a及k都有关解析:解析:因为f(x)是以l为周期的周期函数,所以∫ a+kl a+(k+1)l f(x)dx=∫ kl(k+1)l f(x)dx=∫ 0l f(x)dx,故此积分与a及k都无关.二、填空题(总题数:9,分数:18.00)7.∫ 0+∞ xe -x dx= 1.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:原积分=一∫ 0+∞ xde -x =xe -x | 0+∞+∫ 0+∞ e -x dx=∫ 0+∞ e -x dx=一e -x | 0+∞ =1.8.设f(x)连续,则0x [sin 2∫ 0t f(u)du]dt)= 1(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:正确答案:sin 2∫ 0x f(u)du)解析:解析:∫ 0x [sin 2∫ 0t f(u)du]dt是形如∫ 0xφ(t)dt形式的变上限积分,由9.设两曲线y=f(x)与y=∫ 0arctanx在点(0,0)处有相同的切线,则(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:由已知条件知f(0)=0,f"(0)==1(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:显然积分难以积出.考虑积分中值定理,其中ξx介于a,a+a之间.所以11.设f(x),则f(7)= 1.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:正确答案:[*])解析:解析:要从变上限积分得到被积函数,可以对变限积分求导.等式两边对x求导得f(x 3一1).3x 2 =1,f(x 3一1)= 令x=2,即得12.设01 f(x)dx= 1.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:正确答案:[*])解析:解析:令3x+1=t,所以13.设-∞a te t dt,则a= 1.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:正确答案:2)解析:解析: e a =(a一1)e a,a=2.14.设f(x)的一个原函数,则∫ 1e xf’(x)dx= 1.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:正确答案:[*])解析:解析:∫ 1e xf’(x)dx=∫ 1e xdf(x)=[xf(x)]| 1e一∫ 1e f(x)dx.(分数:2.00)填空项1:__________________ (正确答案:正确答案:ln 3)三、解答题(总题数:16,分数:32.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
一元函数微分学典型例题

⼀元函数微分学典型例题⼀元函数微分学典型例题1. 有关左右极限题求极限+++→x x sin e e lim x x x 41012 ●根据左右极限求极限,●极限xx e lim 1→,x x sin lim x 0→,x tan lim x 2π→,x cot lim x 0→,x cot arc lim x 0→,x arctan lim x 1 0→都不存在,●A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =?==∞→-∞→+∞→●【 1 】2. 利⽤两个重要极限公式求1∞型极限xsin x )x (lim 2031+→● 0→)x (?,e ))x (lim()x (=+??11●A )x (f lim =0→)x (?,A )x (f )x (e ]))x (lim[(=+??11●【6e 】3. 等价⽆穷⼩量及利⽤等价代换求极限当0x +→(A)1-(B) ln(C) 1.(D) 1-.●等价⽆穷⼩定义:如果1=αβlim,则称β与α失等价⽆穷⼩,记为α∽β,● 0→x 时,(1)nx x ax a xx x x x x x xx e x x x x x nx x ≈-+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈1111121161111123ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα●当0→)x (?时,)x (sin ?∽)x (?,11-+n)x (?∽n)x (?∽∽●【 B 】4. 利⽤单调有界准则求极限设数列{}n x 满⾜n n x sin x ,x =<<+110π。
证明:极限n n x lim ∞→存在,计算1 1nxn n n x x lim+∞→●利⽤单调有界准则球数列或者函数极限的步骤:1。
证明数列或函数单调;2。
证明数列或函数是有界;3。
等式取极限求出极限。
●定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限,或单调递增有上界数列必有极限。
一元函数微分学练习题(答案)

一元函数微分学练习题答案一、计算下列极限:1.9325235lim222-=-+=-+→x x x 2.01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x 3.x x x 11lim--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x xx x x x x x 211011111l i m-=+--=+--=→x x4.0111111lim )1)(1()1(lim 112lim 121221=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5.21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x6.x t x tx t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ))((lim )(lim00220-=--=--+-=--→→→ 7.00010013111lim 13lim 4232242=+-+=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x x x 8.943)3(2)13()31()12(lim )13()31()12(lim1082108210108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9.2)211(lim 2211)211(1lim )21...41211(lim =-=--=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10.212lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x11.01sin lim 20=→xx x (无穷小的性质)12.0arctan 1lim arctan lim ==∞→∞→x x xx x x (无穷小的性质)13.51231121lim3)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim33323=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14.xx x x x x x xx x x x )11)(sin(lim)11)(11()11)(sin(lim11)sin(lim00-+-=-+---+-=---→→→2)011(1)11(lim )sin(lim00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x xx x x15.2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x16.mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n 、m 为正整数) ⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→→mn m n mn x x x x mnx m nx , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17.32)2(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 220231203120-=⋅-=--+=--+→→→x xx x x x x x x (等价替换)18.31301)3(lim )3(sin lim 3sin lim2202030=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19.413)1()(33)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(lim e ee xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20.2121)2()21()2(])211(lim [)211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e xx x x x x x x x 21.1lim )1ln(lim 00==+→→x xx x x x (等价替换)注:也可用洛必达法则22.535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==→→x x x x x x ππ23.)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim2222ππππππ-⋅=--⋅=-→→→x x xx x x x x x x x 812141sin 2)2(cos sin lim412-=-⋅=+-⋅-=→x x x x x ππ 24.nm n m a x nnm m a x a nm nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25.xx x x xx x xx x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→xx x x x x x x x x x 26.1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim 22022022020==+=-+=-+→→→→xx x x x x x x x x x x x x x x 27.a aa xx x x e xa x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim28.2111lim 11lim )1112(lim )1112(lim 12122121-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x二、计算下列函数的导数: 1.531-=x y 2.x x e y x+=13.1004)13(-=x y 4.122-+-=x xe y5.bx e y ax sin =(b a ,为常数) 6.3cos 12e ey x x ++= 7.xxy --+=1111 8.x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=9.)1lg()1(22x e x y x -++=- 10.)1ln(2x x y ++= 11.xy 1tan 2= 12. 322)13(+=x y13.4)sin(=++xy e y x (求y ') 14.4)sin(=++xy e y x (求y ')答案:1.2312121)53(23)53()53(21])53[(------='-⋅--='-='x x x x y2.x e x x x x x e x x e y x xx 23121)1()()(12211+-=⋅++-⋅='+'='3.99434994)13(1200)13()13(100-='-⋅-='x x x x y 4.1221222)22()12(-+--+-+-='-+-⋅='x xx xe x x x e y5.)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='6.x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7.x xx x x x xxy --=-+---=--+=1211111111 22)1(1)1()1()1(212)1(2x x x x x x x x xx y -+-=-'----='--='8.)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x yx x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52422242++-++=⋅++'-+⋅-+=9.])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x10ln )1(2)1(2)1(10ln )1(1))(1()1(222222x x e x xe x x e x e x xx x x --+-='--+'++'+=----10.])1[ln(2'++='x x y2222222211])1(1211[11])1(1[11)1(11x x xx x x x x x x x x +='+⋅++++='++++='++++=11.)1(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2)2(221tan 21tan 1tan1tanxx x x x y x x xx-⋅⋅='='⋅='='12.3122312322)13(4)13()13(32])13[(--+='+⋅+='+='x x x x x y13.4)sin(=++xy e y x解:方程两边同时对x 求导xyxy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-='∴++-=++'='+⋅+'+⋅+='⋅+'+⋅+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(14.(与13同)三、确定下列函数的单调区间: 1.7186223---=x x x y函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增,在]3,1[-内单调递减。
一元函数微分学练习题

一元函数微分学练习题一元函数微分学是微积分学中最重要的一个分支,它研究了一元函数的变化率,即函数在某一点处的斜率,以及函数的极大值和极小值等性质。
通过学习一元函数微分学,我们能够更好地理解函数的变化规律,解决各种实际问题。
下面是一些关于一元函数的微分学练习题,希望通过这些练习题的训练,提高大家对一元函数微分学的理解和运用能力。
1. 求函数f(x) = x^2在点x = 2处的导数。
2. 求函数f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 2x - 5的极值点。
3. 已知函数f(x) = e^x,求f'(1)。
4. 求函数f(x) = ln(x)在点x = 3处的导数。
5. 求函数f(x) = sin(x)在点x = π/2处的导数。
6. 求函数f(x) = cos^2(x)在点x = π/4处的导数。
7. 求函数f(x) = e^x * sin(x)在点x = 0处的导数。
8. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x的极值点。
9. 求函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x的极值点。
10. 求函数f(x) = sqrt(x)在点x = 4处的导数。
以上是一些关于一元函数微分学的练习题,希望大家通过自己的思考和计算,能够熟练掌握一元函数微分学的相关概念和计算方法。
在解答这些问题时,可以利用微分的定义和相关公式,同时也要注意使用函数的基本性质及其图像来推导和解决问题。
在解答题目时,可以采用以下步骤:1. 根据题目中给出的函数形式,求出函数的导数。
2. 使用导数的定义和性质,计算得到题目所要求的导数或导数的值。
3. 对于求函数的极值点,求导后令导数等于零,解得函数极值点的x坐标,再代入函数中求出对应的y坐标。
4. 对于函数的图像和性质,可以根据求导的结果,观察函数的增减性、凸凹性等。
通过不断的练习和掌握一元函数微分学的基本概念和计算方法,我们能够更好地理解函数的变化规律,解决各种实际问题。
高等数学一元函数微积分学题目与答案A

三、一元函数积分学练习题(A)一.选择题1. =+òdx x )1(cos ()Cx x A ++sin .Cx x B ++-s i n .Cx x C ++c o s .Cx xx D ++-cos .2. =òdx x 41()CxA +-331.CxB +331.CxC +31.CxD +-31.3. 已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数,则下列函数中()f x 的原函数是()A 21x -B 21x +C 22x x -D 22x x+4. 已知函数()f x 在(,)-¥+¥内可导,且恒有()f x ¢=0,又有(1)1f -=,则函数()f x = ()A 1 B -1 C 0 D x5. 若函数()f x 的一个原函数为ln x ,则一阶导数()f x ¢=()A 1xB 21x-C ln xD ln x x6.定积分ò1221ln xdx x 值的符号为().A 大于零.B 小于零.C 等于零.D 不能确定7.曲线)2)(1(--=x x x y ,x 轴所围成的图形的面积可表示为().A ò--10)2)(1(dx x x x ;.B ò--20)2)(1(dx x x x ;.C òò-----2110)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x ;.D òò--+--2110)2)(1()2)(1(dxx x x dx x x x 8. 已知dt t x F xò+=21)(,则=)('x F ()212.x x A + 11.2++x B 21.x C + 11.2-+x D 9. =ò-dx x 115( ) 2.-A 1.-B 0.C D .1 10.若()211xx F -=¢,()231p=F ,则()=x F ( ) A.x arcsin B. c x +arcsin C.p +x arccos D. p +x arcsin二.填空题二.填空题1. 1. 写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数 (1) 52x 的原函数为的原函数为 (2) cos x -的原函数为的原函数为(3) 12t 的原函数为的原函数为 (4) 221x--的原函数为的原函数为2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数,使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数,使等式成立 (1)dx = (51)d x -;(2)xdx = 2(2)d x -;(3)3x dx = 4(32)d x +; (4)2xe dx -= 2()xd e-;(5)219dx x=+ (a r c t a n 3d x ;(6)212dx x=+ (a r c t a n 2)d x ; (7)2(32)x dx -= 3(2)d x x -; (8)dx x= (3l n )d x ;(9)21dx x=- (2a r c si n d x -; (10)21xdx x=- 21d x -. 3. 若()1xf e x ¢=+,则()f x = 4. 根据定积分的性质,比较积分值的大小根据定积分的性质,比较积分值的大小(1)120x dx ò13x d x ò(2)10xe dx ò1(1)x dx +ò5. _________3=òdx e x 6. __________1=òdx ex 7. ò+dx x xln 1=_____________ 8. 已知一阶导数已知一阶导数2(())1f x dx x ¢=+ò,则(1)f ¢= 9. 当x = 时,函数()ò-=xt dt te xI 02有极值. 10. 设()ïîïíì>£+=1,211,12x x x x xf ,()ò20dx x f = 11. 已知ò=xdt t xf y0)(,则=dx dy 12. dt t t x x x )1sin (1lim 030-ò®=三.计算题三.计算题 1.不定积分的计算不定积分的计算(1)1x x e dx e +ò (2)12x e dx x ò(3)ln dx x x ò(4)211x dx x --ò (5)3431xdx x -ò(6)12dx x -ò(7)223xdx x-ò(8)3xa dx ò(9)sin tdt tò (10)2cos ()x dx w j +ò(11)2cos ()sin()x x dx w j w j ++ò(12)22(arcsin )1dx x x-ò(13)3tan secx xdxò(14)sec(sec tan)x x x dx-ò(15)11cos2dxx+ò(16)2(4)x x dx-ò(17)32(32)x dx-ò(18)221dxx x-ò(19)1231dxx-+ò(20)sinx xdxò(21)xxe dx-ò(22)arcsin xdxò(23)2tte dt -ò(24)2arcsin 1xdx x-ò(25)sin cos xxe dx ò(26)1cos sin x dx x x++ò(27)dxx 43-ò (28)dx x 122-ò(29)dx xxe e --ò (30)e32x dx +ò(31)()232xx dx+ò (32)1252+òx dx(33)sin5xdxò(34)cos25xdxò(35)()()244522x dxx x+++ò(36)x dxx23412-ò(37)sin cossin cosx xx xdx+-ò3(38)dxx x(arcsin)221-ò(39)dxx x222-+ò(40)sin cossinx xxdx14+ò(41)2x xe dxò(42)23523x xx dx ×-×ò2.定积分的计算定积分的计算(1)1e xx dx-ò(2)e1lnx xdxò(3)41ln xdxxò(4)324sinxdxxppò(5)220e cosxxdxpò(6)221logx xdxò(7)π2(sin)x x dxò(8)e1sin(ln)x dxò(9)121ln(1)x x dx-++ò(10)41xdxò(11)dx xx x )1(241+ò(12)dx xxò+1241 (13)dx x ò+2241 (14)dx x x ò40tansec p(15)xdxò242cotpp(16)ò--112d x x x(17)dx ò2121)-(3x 1 (18)dx ò+3ln 0x xe 1 e(19)dxx xò-123 (20)ò1arctan xdx x3.反常积分的计算反常积分的计算(1)2048dx x x +¥++ò(2)21arctan xdx x +¥ò(3)101(1)dx x x -ò(4)1ln edx x x ò4. 4. 比较下列各对积分的大小:比较下列各对积分的大小:比较下列各对积分的大小:(1)ò4arctan pxdx 与ò402)(arctan pdx x(2)ò43ln xdx 与ò432)(ln dx x(3)dx x ò-+1141与dxx ò-+112)1((4)ò-2)cos 1(pdx x 与ò2221pdx x四.综合题四.综合题 1.求导数求导数(1)201xdt dt dx +ò (2)5ln 2xtdt e dt dx -ò(3)cos 2cos()xd t dt dx p ò (4)sin xd tdt dx tpò (0x >). 2. 验证下列等式验证下列等式(1)2311d 2-=-+òx x C x ; (2)(sin cos )cos sin x x dx x x C+=-++ò. 3. 求被积函数()f x . (1) 2()ln(1)f x dx x x C =+++ò;(2)21()1f x dx C x=++ò. 4 求由下列曲线所围成的平面图形的面积:求由下列曲线所围成的平面图形的面积:(1) 2y x =与22y x =- (2) xy e =与0x =及y e =(3) 24y x =-与0y =(4) 2y x =与y x =及2y x =5.5. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积:求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积: (1) ,1,4,0y x x x y ====,绕x 轴;轴;(2) 3,2,y x x x ==轴,分别绕x 轴与y 轴;轴; (3) 22,y x x y ==,绕y 轴;轴;(4) 22(5)1x y -+=,绕y 轴.轴.(5). 32y x =,x=4 ,绕y 轴.轴.6. 当k 为何值时,反常积分+2(ln )k dxx x ¥ò收敛?当k 为何值时,这反常积分发散? 7. 设1321()()1f x x f x dx x=++ò,求1()f x dx ò.8. 求函数2()(1)xtf x t e dt -=-ò的极值.的极值.9. 设()f x 在[],a b 上连续,且()1b af x dx =ò,求()baf a b x dx +-ò.10. 设曲线通过点(0,1),且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为xe -,求此曲线方程.11. 设3()1xxf e e ¢=+,且(0)1f =,求()f x . 12. 设()ïîïí죣=其它,00,sin 21p x x xf ,求()()ò=x dt t f x 0j . 13. 设()ïïîïïíì<+³+=时当时当0,110,11x ex x x f x ,求()ò-21dxx f . 14. 已知222(sin )cos tan 01f x x x x ¢=+<< ,求()f x . 三、一元函数积分学 练习题( A ) 参考答案 一.选择题一.选择题1. A2. A3. D4. A5. B6. B7. C8. C9. C 9. C 因为因为5x 为奇函数为奇函数 10. D 10. D二.填空题二.填空题1. 1. 写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数(1) 613x (2) sin x - (3) t (4) 2arcsin x -2. 2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数,使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数,使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数,使等式成立 (1)51;(2)21-;(3)121;(4)21-;(5)31;(6)21;(7)1- (8)31;(9)1-;(1010))1- 3. ()(1ln )ln f x x dx x x C=+=+ò4. 4. 根据定积分的性质,比较积分值的大小根据定积分的性质,比较积分值的大小根据定积分的性质,比较积分值的大小 (1)112300x dx x dx>òò;∵ 当[0,1]x Î时,232(1)0x x x x -=-³,即23x x ³,又2x3x ,所以112300x dx x dx >òò(2)110(1)xe dx x dx >+òò;令()1,()1xxf x e x f x e ¢=--=-,因01x ££,所以()0f x ¢>,从而()(0)0f x f ³=,说明1xe x ³+,所以1100(1)xe dx x dx >+òò5. C e x+33 6. C ex+-- 7. c x x ++2ln 21ln 8.229. 0. 10.38 11. )()(0x xf dt t f x +ò 12. 181- 三.计算题三.计算题1.1.不定积分的计算不定积分的计算不定积分的计算(1)1(1)ln(1)11xx xx x e dx d e e C e e =+=++++òò (2)11121xx xedx e d e C x x=-=-+òò (3)ln ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+òò (4)211(1)ln 11(1)(1)1x x d x dx dx x C x x x x --+===++-+-+òòò(5)3444444333(1)3ln 1141414x dx d x dx x C x x x -==-=--+---òòò(6)1(12)1ln 12122122dx d x x C x x -=-=--+--òò (7)22222211(23)123263232323x dx d x dx x C xx x -==-=--+---òòò (8)33311(3)33ln x x xa dx a d x a C a ==+òò(9)sin 2sin 2cos t dt td t t C t ==-+òò(1010))21cos(22)cos ()2x x dxdx w j w j +++=òò 11 cos(22)(22)24x x d x w j w j w =+++ò11sin(22)24x x C w j w=+++ (1111))221cos ()sin()cos ()cos()x x dx x d x w j w j w j w j w ++=-++òò 31cos ()3x C w j w=-++(1212))222arcsin 1(arcsin )arcsin (arcsin )1dxd xC x xx x==-+-òò(1313))32231tan sectan sec (sec 1)sec sec sec 3x xdx xd x x d x x x C ==-=-+òòò (1414))2sec (sec tan )(sec sec tan )tan sec x x x dx x x x dx x x C-=-=-+òò(1515))221111sec tan 1cos 22cos 22dx dx xdx x C x x ===++òòò (1616))515173222222228(4)(4)473x x dx x x dx x dx x dx x x C -=-=-=-+òòòò(1717))33522211(32)(32)(32)(32)25x dx x d x x C -=---=--+òò (1818)令)令sin ()22x t t p p=-<<,则cos dx tdt =,所以,所以22222cos 1csc cot sincos 1dxtdtx tdt t C C t txxx-===-+=-+×-òòò(1919)令)令23x t -=,则23,2t x dx tdt +==,所以所以11(1)ln(1)11231tdt dxdt t t C t t x ==-=-++++-+òòò23ln(231)x x C =---++(2020))sin cos cos cos cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C=-=-+=-++òòò(2121))xxxxxxxe dxxdexee dxxeeC ------=-=-+=--+òòò(2222))222111arcsin arcsin arcsin (1)211xdx x x x dx x x d x xx=-×=+---òòò2arcsin 1x x x C =+-+ (2323))2222221111122224ttttttte dt tdetee dt tee C ------=-=-+=--+òòò(2424))22arcsin 1arcsin arcsin arcsin21x dx xd x x C x ==+-òò(2525))sin sin sin cossinx x x xe dx e dx e C==+òò(2626))1cos (sin )ln sin sin sin x d x x dx x x C x x x x++==++++òò(2727))dx x 43-ò=1(43)1ln 434434d x x C x -=-+-ò。
考研数学一(一元函数微分学)-试卷2

考研数学一(一元函数微分学)-试卷2(总分:62.00,做题时间:90分钟)一、选择题(总题数:13,分数:26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________ 解析:2.设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导且f"(x)<0(x∈(0,1)),则( )(分数:2.00)A.当0<x<1时∫ 0x f(t)dt>∫ 0x xf(t)dt √B.当0<x<时∫ 0x f(t)dt=∫ 0x xf(t)dtC.当0<x<1时∫ 0x f(t)dt<∫ 0x xf(t)dt.D.以上结论均不正确.解析:解析:记F(x)=∫ 0x f(t)dt一∫ 01 xf(t)dt,F(x)在[0,1]连续,则F"(x)=f(x)一∫ 01 f()dt,且F"(x)=f"(x)<0(x∈(0,1)),因此F"(x)在[0,1]上单调下降.又F(0)=F(1)=0,由罗尔定理,则存在ξ∈(0,1),故 F(x)>0(x∈(0,1)),故选A.3.设y=f(x)在(a,b)可微,则下列结论中正确的个数是( ) ①x 0∈(a,b),若f"(x 0)≠0,则△x→0时,与△x是同阶无穷小.②df(x)只与x∈(a,b)有关.③△y=f(x+△x)一f(x),则dy≠△y.④△x→0时,dy一△y是△x的高阶无穷小.(分数:2.00)A.1.B.2.√C.3.D.4.解析:解析:逐一分析.①正确.因为所以△x→0是同阶无穷小.②错误.df(x)=f"(x)△x,df(x)与x∈(a,b)及△x有关.③错误.当y=f(x)为一次函数:f(x)=ax+b,则dy=a△x=△y.④正确.由可微概念,f(x+△x)一f(x)=f"(x)△x+o(△x),(△x—0),即△y—dy=o(△x),(△x→0).故选B.4.设f(x)一1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( )(分数:2.00)A.2.B.一1.D.一2.√解析:解析:将题中极限条件两端同乘2f"(1)=一2,故选D.5.,则( )(分数:2.00)A.f(x)在x=x 0处必可导且f"(x 0 )=a.B.f(x)在x=x 0处连续,但未必可导.C.f(x)在x=x 0处有极限但未必连续.D.以上结论都不对.√解析:解析:本题需将f(x)在x=x 0处的左右导f" — (x 0 ),f" + (x 0 )与在x=x 0处的左右极限区分开.=a,但不能保证f(x)在x 0处可导,以及在x=x 0处连续和极限存在.所以f(x)在x=0处不连续,不可导.故选D.6.设y=f(x)是方程y"一2y"+4y=0的一个解,且f(x 0 )>0,f"(x 0 )=0,则函数f(x)在点x 0处( ) (分数:2.00)A.取得极大值.√B.取得极小值.C.某邻域内单调增加.D.某邻域内单调减少.解析:解析:由f"(x 0)=0,知x=x 0是函数y=f(x)的驻点.将x=x 0代入方程,得y"(x 0)一2y"(x 0)+4y(x 0 )=0.考虑到y"(x 0 )=f"(x 0 )=0,y"(x 0 )=f"(x 0 ),y(x 0 )=f(x 0 )>0,因此有f"(x 0 )=一4f(x 0 )<0,由极值的第二判定理知,f(x)在点x 0处取得极大值,故选A.δ为大于零的常数,又g" —(x 0),h" +(x 0)均存在,则g(x 0)=h(x 0),g" —(x 0)=h" + (x 0 )是f(x)在x 0可导的( )(分数:2.00)A.充分非必要条件.B.必要非充分条件.C.充分必要条件.√D.非充分非必要条件.解析:解析:充分性:设g(x 0 )=h(x 0 ),g" — (x 0 )=h" + (x 0 ),则f(x)可改写为所以f" — (x 0 )=g"(x 0 ),f" + (x 0 )=h" + (x 0 ),即f" — (x 0 )=f" + (x 0 ).必要性:由可导的充要条件得f(x)在x 0处可导.设f(x)在x 0处可导,则f(x)在x 0处连续,所以=f(x 0 ).又g" — (x 0 )与h" + (x 0 )存在,则g(x),h(x)在x 0分别左右连续,所以由此有 f" + (x 0 )=h" + (x 0 ),f" —(x 0 )=g" — (x 0 ),所以h" + (x 0 )=g" — (x 0 ),故选C.8.设f(x)可导,且f"(x 0f(x)在x 0点处的微分dy是( )(分数:2.00)A.与△x等价的无穷小.B.与△x同阶的无穷小.√C.比△x低阶的无穷小.D.比△x高阶的无穷小.解析:解析:由f(x)在x 0点处可导及微分的定义可知时,dy与△x是同阶的无穷小,故选B.9.设f(x)在点x=a处可导,则函数|f(x)|在点x=a处不可导的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.f(a)=0,且f"(a)=0.B.f(a)=0,且f"(a)≠0.√C.f(a)>0,且f"(a)>0.D.f(a)<0,且f"(a)<0.解析:解析:若f(a)≠0,由复合函数求导法则有因此排除C和D.(当f(x)在x=a可导,且f(a)≠0时,|f(x)|在x=a点可导.) 当f(a)=0时,上两式分别是|f(x)|在x=a点的左右导数,因此,当f(a)=0时,|f(x)|在a=a点不可导的充要条件是上两式不相等,即f"(a)≠0时,故选B.10.设函数f(x)与g(x)在区间(一∞,+∞)上均可导,且f(x)<g(x),则必有( )(分数:2.00)A.f(一x)>g(一x).B.f"(x)<g"(x).√D.∫ 0x f(t)dt<∫ 0x g(t)dt解析:解析:取f(x)=1,g(x)=2,显然满足题设条件,而由此例可立即排除选项A、B,且对于选项D,因∫ 0x f(t)dt=∫ 0x 1).dt=x,∫ 0x g(t)dt=∫ 0x 2.dt=2x,当x<0时,选项D显然不正确,故选C.11.设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义,在开区间(a,b)内可导,则( )(分数:2.00)A.当f(a)f(b)<0,存在ξ∈(a,b),使f(ξ)=0.B.对任何ξ∈(a,b)一f(ξ)]=0 √C.当f(a)=f(b)时,存在ξ∈(a,b),使f"(ξ)=0.D.存在ξ∈(a,b),使f(b)一f(a)=f"(ξ)(b一a).解析:解析:因只知f(x)在闭区间[a,b]上有定义,而A、C、D三项均要求f(x)在[a,b]上连续.故选项A、C、D均不一定正确,故选B.12.设f(x)=|(x一1)(x一2) 2 (x一3) 3,则导数f"(x)不存在的点的个数是( )(分数:2.00)A.0.B.1.√C.2.D.3.解析:解析:设φ(x)=(x一1)(x一2) 2 (x一3) 3,则f(x)=|φ(x)|.使φ(x)=0的点x=1,x=2,x=3可能是f(x)的不可导点,还需考虑φ"(x)在这些点的值.φ"(x)=(x—2) 2 (x—3) 3 +2(x一1)(x一2)(x一3) 3 +3(x—1)(x一2) 2 (x一3) 3,显然,φ"(1)≠0,φ"(2)=0,φ"(3)=0,所以只有一个不可导点x=1.故选B.13.已知函数y=f(x)对一切的x满足xf"(x)+3x[f"(x)] 2 =1一e —x,若f"(x 0 )=0(x 0≠0),则( ) (分数:2.00)A.f(x)是f(x)的极大值.B.f(x 0 )是f(x)的极小值.√C.(x 0,f(x 0 ))是曲线y=f(x)的拐点.D.f(x 0 )不是f(x)的极值,(x 0,f(x 0 ))也不是曲线y=f(x)的拐点.解析:解析:由f"(x)=0知,x=x 0是y=f(x)的驻点.将x=x 0代入方程,得x 0 f"(x 0 )+3x 0 [f"(x 0 )]2>0(分x0>0与x 0<0讨论),由极值的第二判定定理可知,f(x)在x 0处取得极小值,故选B.二、填空题(总题数:10,分数:20.00)。
一元函数微分学练习题(答案)

一元函数微分学练习题答案一、计算下列极限:1.9325235lim 222-=-+=-+→x x x2.01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x 3.x x x 11lim--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 211011111l i m-=+--=+--=→x x4.0111111lim )1)(1()1(lim 112lim 121221=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5.21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x 6.x t x tx t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ))((lim )(lim00220-=--=--+-=--→→→ 7.00010013111lim 13lim 4232242=+-+=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x x x 8.943)3(2)13()31()12(lim )13()31()12(lim1082108210108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9.2)211(lim 2211)211(1lim )21...41211(lim =-=--=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10.212lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x11.01sin lim 20=→xx x (无穷小的性质)12.0arctan 1lim arctan lim ==∞→∞→x x xx x x (无穷小的性质)13.51231121lim3)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim33323=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14.xx x x x x x xx x x x )11)(sin(lim)11)(11()11)(sin(lim11)sin(lim00-+-=-+---+-=---→→→2)011(1)11(lim )sin(lim00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x xx x x15.2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x16.mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n 、m 为正整数) ⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→→mn m n mn x x x x mnx m nx , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17.32)2(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 220231203120-=⋅-=--+=--+→→→x xx x x x x x x (等价替换)18.31301)3(lim )3(sin lim 3sin lim2202030=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19.413)1()(33)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(lim e ee xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20.2121)2()21()2(])211(lim [)211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e xx x x x x x x x 21.1lim )1ln(lim 00==+→→x xx x x x (等价替换)注:也可用洛必达法则22.535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==→→x x x x x x ππ23.)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim2222ππππππ-⋅=--⋅=-→→→x x xx x x x x x x x 812141sin 2)2(cos sin lim412-=-⋅=+-⋅-=→x x x x x ππ 24.nm n m a x nn m m a x a nm nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25.xx x x xx x xx x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→xx x x x x x x x x x 26.1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim22022022020==+=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 27.a aa xx x x e xa x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim28.2111lim 11lim )1112(lim )1112(lim 12122121-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x二、计算下列函数的导数: 1.531-=x y 2.x x e y x+=13.1004)13(-=x y 4.122-+-=x xe y5.bx e y ax sin =(b a ,为常数) 6.3cos 12e ey x x ++= 7.xxy --+=1111 8.x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=9.)1lg()1(22x e x y x -++=- 10.)1ln(2x x y ++= 11.xy 1tan 2= 12. 322)13(+=x y13.4)sin(=++xy e y x (求y ') 14.4)sin(=++xy e y x (求y ')答案:1.2312121)53(23)53()53(21])53[(------='-⋅--='-='x x x x y2.x e x x x x x e x x e y x xx 23121)1()()(12211+-=⋅++-⋅='+'='3.99434994)13(1200)13()13(100-='-⋅-='x x x x y 4.1221222)22()12(-+--+-+-='-+-⋅='x xx xe x x x e y5.)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='6.x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7.xxx x x x xxy --=-+---=--+=1211111111 22)1(1)1()1()1(212)1(2x x x x x x x xxx y -+-=-'----='--='8.)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x yx x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52422242++-++=⋅++'-+⋅-+=9.])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x10ln )1(2)1(2)1(10ln )1(1))(1()1(222222x x e x xe x x e x e x xx x x --+-='--+'++'+=----10.])1[ln(2'++='x x y2222222211])1(1211[11])1(1[11)1(11x x xx x x x x x x x x +='+⋅++++='++++='++++=11.)1(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2)2(221tan 21tan 1tan1tanxx x x x y x x xx-⋅⋅='='⋅='='12.3122312322)13(4)13()13(32])13[(--+='+⋅+='+='x x x x x y13.4)sin(=++xy e y x解:方程两边同时对x 求导xyxy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-='∴++-=++'='+⋅+'+⋅+='⋅+'+⋅+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(14.(与13同)三、确定下列函数的单调区间: 1.7186223---=x x x y函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增,在]3,1[-内单调递减。
一元函数微分学练习题

高等数学 ( Ⅰ) 练习 第二章 一元函数微分学系专业 班 姓名 学号习题一导数概念一.填空题f (x 0 x) f ( x 0 ) f (x 0 )1.若 f ( x 0 ) 存在,则 limx=,x 0f (x 0 h)f ( x 0h) 2 f (x 0 )2.若 f ( x 0 ) 存在, limh=h 03.设 f ( x 0 )2 x14, 则 limf (x 0) )x 0f (x 0 2x). limf ( x 0 3 x)f (x 0 ) 3 f ( x 0 )x=.x 04.已知物体的运动规律为s tt 2 (米 ),则物体在 t2 秒时的瞬时速度为 5m/ s1 3 )1 2 3 ( x) 5.曲线 ycos x 在 x处的切线方程为y( x y22 ,法线方程为23 3336.用箭头 或 ? 表示在某一点处函数极限存在、连续、可导之间的关系,极限存在 ?连续?可导。
二、选择题1.设 f ( 0)0 ,且 f (0) 存在,则 limf ( x)=[B]x 0x( A ) f (x)( B) f(0)(C) f (0)1 f ( 0)(D)22. 设 f ( x) 在 x 处可导, a , b 为常数,则f ( x a x)f ( x b x)[ B ]limx=x 0a b( A ) f (x)( B) (ab) f ( x)(C) ( ab) f (x)(D) f ( x)23. 函数在点 x 0 处连续是在该点 x 0 处可导的条件[ B ]( A )充分但不是必要 ( B )必要但不是充分 ( C )充分必要 (D )即非充分也非必要4.设曲线 y x 2x2 在点 M 处的切线斜率为3,则点 M 的坐标为[B]( A )(0,1)( B)(1, 0)(C) ( 0,0)(D) (1,1)5.设函数 f ( x) | sin x | ,则 f ( x) 在 x0 处[B ]( A )不连续。
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1 1 f a n f a n ; 。 (1) lim (2) lim n n 1 f (a) a f n 4.设 f 是偶函数,且 f (0) 存在,求 f (0) 。
7.求由下列参数方程确定的函数的二阶导数
x t sin t , (1) y 1 cos t;
d2y : dx 2 x ln 1 t 2 , (2) y arctan t;
x t (3 t 2 ), (3) 3 y (1 t ) . 8.计算下列函数值的近似值: (1) tan 31 ; (2) cos 29 ; (3) ln 1.01 ; (4) 5 33 。 9.设测量所得圆桌的直径为 d 0 120cm ,其绝对误差限 d 0.2cm ,估计由此
2.已知 f ( x ) 为可微函数,且 f ( x) 0 ,求下列函数的微分:
f ( x) ;
2 2
(3) y f ( x ) ;
(4) y arctan f (2 x) 。 dy 3.求由下列方程确定的隐函数 y = y(x)的导数 : dx (1) x 2 y 2 4 xy 0 ; (2) sin( xy) x y 。 4.求由下列方程确定的隐函数 y = y(x)的二阶导数 (1) y xe y 1 ; (3) x 2 2 xy y 2 2 x ;
d2y : dx 2 (2) y ln( x y ) ;
(4) x y e xy 0 。
x t 2 2t , 5.求曲线 在 ( 1, 2) 处的切线方程。 3 y t 3t dy x 2t t , 6.求由参数方程 所确定的函数 y f ( x) 在 t 0 时的导数 。 2 dx y 5t 4t t
1 x ; 1 x (3) f ( x) 1 x ; 6.求下列函数所指定的阶的导数: (1) f ( x) x 2 cos 2 x ,求 f (8) (0) ;
(1) f ( x) ln
(2) f ( x) cos 2 2 x ; (4) f ( x) e x cos 2 x 。
一元函数微分学练习题
§1 微分与导数的概念
1.半径为 5cm 的圆面,如果半径增加 0.1cm,试用求微分的方法计算圆面积会 增加多少?如果半径再增加 0.1cm,圆面积会比原来增加多少? 2.求微分 dy : (1) y ln( x 1) ; (2) y sin x 。 3.设函数 f 在 x a 处可导,且 f (a) 0 ,计算下列极限
1 x 3.求下列函数的 Maclaurin 公式到所指定的项:
3
;
(4) x 2 cos 2 x 。
x2 2
(1) tan x 到含 x 的项; (2) e cos x 到含 x 4 的项。 4.写出 x ln x 在 x 1处的 3 阶 Taylor 公式。 5.设极限 lim
x 1
x 4 3 ( A B( x 1)) C ,求常数 A, B, C 。 ( x 1) 2
§5 L’Hospital 法则
1.求下列极限: tan 3 x (1) lim ; x 0 sin 2 x ln x (3) lim ; x ln( x 1)
x 2 4 x 14 ; x2 x2 ln x 2 3x 1 (7) lim ; x ln( x 3 2 x 1)(6) lim源自(9) limx0
(e sin x 1) sin 2 x ; 1 cos 2 x
x 1 x
(11) lim x
x 1
;
cos( xe x ) cos( xe x ) ; x0 x3 (12) lim x tan x sec x ; 2 x 2
(b a) 2 ab f (b) 2 f f (c) 。 f (a) 4 2 10. 设 函 数 f 在 [ 2, 2] 上 二 阶 可 导 , f ( x) 1 ( x [2, 2] ), 且
f 2 (0) ( f (0)) 2 4 ,证明:存在 (2, 2) ,使得 f ( ) f ( ) 0 。
* 算得的圆桌面积 A0 的绝对误差 A 和相对误差 A . 10.为了计算出球的体积能够精确到 1%,问测量球半径 R 时所允许产生的相对 误差最多为多少?。
§4 微分学中值定理
1.对函数 f ( x) x 3 2 x 2 x 2 ,在区间 [2, 1] 上验证 Rolle 中值定理的结论。 2.设 p 2 q 0 ,证明:方程 x 3 3 px 2 3qx r 0 有且仅有一个实根。 1 3.设 f 在 [0, 1] 上连续,在 (0, 1) 上可导,且 f (0) f (1) 0 , f 1 ,证明存 2 在 (0, 1) ,使得 f ( ) 1 。 4.设 f 在 [ a , b ] 上连续,在 (a, b) 上可导, f (a ) 0 , f (b) 0 ,且有 c (a, b) , 使 f (c) 0 ,证明:存在 (a, b) ,使得 f ( ) f ( ) 0 。 5.应用微分学中值定理证明下列不等式: (1) e x 1 x ; y tan y (2)当 0 x y 时, ; 2 x tan x (3) (a x) a a a x ( a e, x 0 ) 。 6. 设 f 在 [0, 1] 上连续,在 (0, 1) 上可导,证明:存在 (0, 1) ,使得 f ( ) f (1 ) f ( ) f (1 ) 。 x 7.设 f 在 [0, ) 上可导,且 0 f ( x) ,证明:存在 (a, b) ,使得 1 x2 1 2 f ( ) 。 (1 2 ) 2 8. 设 f 在 [ a , b ] 上可导, 在 (a, b) 上二阶可导, f (a) f (b) 0 , 且 f (a) f (b) 0 , 证明: (1)存在 (a, b) ,使得 f ( ) 0 ; (2)存在 (a, b) ,使得 f ( ) f ( ) 。 9. 设 f 是 [ a , b ] 上的连续可导函数, 且在 (a, b) 内二阶可导, 证明: 存在 c (a, b) , 使下列等式成立
1
§3 微分运算
1.求下列函数的微分: (1) y x 2 tan 2 x ; 1 (3) y ; x2 1 (5) y ln cot x csc x ; (1) y
(2) y e 2 x cos x ; (4) y x 2 ln( 1 x 2 ) ; (6) y arctan x 。 (2) y ln f ( x) ;
(2) f ( x) x ln x ,求 f (10) ( x) 。 7.设 f ( x) cos x cos 2 x cos 3x ,求 f ( n ) ( x) 。 x 0, ax b, 8.设 f ( x) sin x cos x 1 问 a,b 取何值时,函数 f 在 x = 0 处可导? , x 0. x
x 1 5.设 f ( x) 2 ,试计算 f (1) , f (1) ,由此说明 f 在点 x 1 处的可导性。 6.求曲线 y e x 上的点 1, e 处的切线方程和法线方程。
n
n
§2 求导运算
1.求下列函数的导数: (1) f ( x) ln 2 2 ln x 3 tan x ; x (3) f ( x) ; 1 x2 (5) f ( x) xe (7) f ( x) ln
x 1 1 ; ln( x 1) tan x x ;; (4) lim x 0 x sin x
(2) lim
x0
(5) lim
arcsin 3 x 3 arcsin x ; x0 x3 ln( 1 x 3 ) (8) lim ; x 0 sin x tan x
2 x
(2) f ( x) x sin x x 2 e x ; (4) f ( x) ( x 2 1) arctan 2 x ;
1 x (6) f ( x) ; 1 x
2
sin 4 x ;
1 sin x ; 1 sin x
x
(8) f ( x) e x (sin 2 x 2 cos 2 x) 。 (10) f ( x)
4
(9) f ( x) x e ;
x2
( x 1)( x 2) ; ( x 4)( x 5)
1
2 sin x (11) f ( x) (12) f ( x) (cos x) x 。 ; x 2.证明:曲线 x y a 在第一象限任意点上的切线在 x, y 轴上的截距之和 为常数。 3.当参数 a 为何值时,抛物线 y ax 2 与对数曲线 y ln x 相切? 4.求下列函数的二阶导数: (1) f ( x) x ln 2 x ; (2) f ( x) x arctan x ; (3) f ( x) e x cos 2 x ; (4) f ( x) x 3 e 2 x ; 5.求下列函数的 n 阶导数:
(10) lim
x arcsin (14) lim x x 2 1 x2 ;
(13) lim
x ln( x 2e x ) ln( x e x )
1 x
2
x
;
(1 x) e ; x 1 (17) lim 2 cot 2 x ; x0 x
6.利用 1 x 的 2 阶 Maclaurin 公式,计算 62 的近似值,并估计这一近似的误 差。 1 x2 x3 7.估计 e x 1 x , | x | 的绝对误差。 4 2 6 8.利用 Taylor 公式计算极限: