在均匀引力场中 理想玻色气体的凝聚温度

3　收稿日期:1997年12月8日

在均匀引力场中

理想玻色气体的凝聚温度

刘海英

(桂林地区教育学院　桂林　541001)

摘　要　利用理想玻色气体的状态方程和平均占有粒子数的爱因斯坦分布,研究在均匀引力场中理想玻色气体的凝聚温度

关键词　

均匀引力场　理想玻色气体　凝聚温度分类号　

O41412七十年前,爱因斯坦在印度物理学家玻色工作的基础上,研究了自旋为整数,其波函数是全对称的一类粒子———玻色子的性质,发现它与费米子有着截然不同的行为,即使无相互作用的玻色子气体,在一定温度以下,将突然布居在最低的量子态上,即在同一最低量子态上能聚集尽可能多的玻色子,这就是通常所说的玻色———爱因斯坦凝聚(简称B EC )

对于理想玻色气体的凝聚,温度及其热力学性质,在一般的量子统计力学教科书和文献中,已有详尽的介绍和讨论[1—3]。

在体积V 中具有能谱E p =P 22m

的理想玻色气体的状态方程和粒子数的分布公式分别为: PV K B T =-6

εln (1-Ze -βt )(1) N =

6εn ε=6ε1Z -1e βε-1(2)

其中β=1K B T

,Z 为气体的逸度,Z ≡exp (μ/K B T )(3)从(1)、

(2)、(3)式出发,应用量子统计力学方法,把对能量ε求和变为对能量积分,可以求出非相论理想玻色气体的凝聚温度:

T C

=h 22πm K B N V ζ(3/2)612/3(4)激发态粒子数:

N ε>0=N (T/T C )

3/2=V ・(2πm K B T )3/2h 3ζ(32)(5)基态粒子数:

N ε=0=N 〔1-(T/T C )3/2〕

(6)

第19卷　第1期 广　西　物　理GUAN GXI WUL I

Vol.19No.11998

(4)、(5)式中的ζ为黎曼函数,从(5)式可见,在某个温度T 时激发态能容纳的粒子数是有一定的限度的,当T =0时,将有N ε>0=0此时全部粒子都在能量ε=0的凝聚体中,为了实现B EC ,办法是降低温度T 或增大粒子总数N 。

下面我们讨论在加速度为g 的均匀引力场中的B EC 温度问题。

设在高为L ,底面为S 的容器中的理想玻色气体,考虑重力场的影响,取重力场方向沿x 轴(但方向相反),则(1)式变为:

PV K B T =-2π(2m )3/2

h 3・S ∫L 0∫∞0ε12ln (1-Ze -β(ε+m gx ))d εdx

令Z ′=Ze -βm gx

PV K B T =V L ∫L 0

1λ3・g 5/2(Z ′)dx (7)其中gn (Z ′)为玻色积分,它的级数表示为:g 5/2(Z ′)=

6∞l =1Z ′1l l 5/2=6∞l =1Z l ・e -βm glx l 5/2由此可以求出:∫L 0g 5/2(Z ′)dx =1m g β6l Z l l 7/2-(Ze -βm gL )l

l

7/2/令Ze -βm gL =Z ′最后又可以得到:

PV K T =V m g βL ・1x 3[g 7/2(Z )-g 7/2(Z )](8)

而N ε>0=N -N 0为激发态所能容纳的粒子数,在考虑引力场后,我们有,N -N 0=2π5

3(2m )3/2・S ∫L 0∫∞0ε1/2d εdx Z -1e β(E+m gx )-1仿照上面的做法可以求出:2π5

3(2m )3/2・S ∫∞0ε1/2Z -1e β(t +m gx )-1d ε=1λ3・S g 3/2(Z ′)由此N -N 0=V L ∫L 01λ

3g 3/2(Z ′)dx =V L 1λ3∫L 06∞l =1Z l ・e -βm glx l 3/2

dx =V L ・1

λ3・6∞l =11βm g 2l l 5/2-1Ze -βm gL 1l

l 5/2 =V m g βL ・1λ3[g 52(Z )-g 52(Z ′)](9)

当T =T C 时,体积L ,S 中中总的粒子数:

N =V m gL ・1βλ

3[g 52(Z )-g 52(Z ′)]T =T C ,Z =1N V h 22πm k .3/2=k m gL ・T 5/2C ・[ζ(52

)-g 5/2(α)]其中α=m gL k T C

=-ln Z ′|Z =1,T =T C ,若将不考虑引力场时的理想玻色气体的凝聚温度记为T C °,而(4)式为:

T C °=h 22πm k N V ζ(32

)2/37第1期 在均匀引力场中理想玻色气体的凝聚温度

m gL k T C °ν1,m gL k T C

ν1,即αν1,我们有:g 5/2(α)=ζ(52)+432α3/2-ζ(32

)α。可以得到:T C °32ζ(32)=12T 3/2C [ζ(32)α-432α32]所以(T C T C °)3/2=ζ(32)(ζ(32)-43

πα1/2)=1[1-43π・α12ζ(32)]≈1+

43・πζ(32)・α1/2因此可以求得:

T C T C °=1+23・43・πζ(32

)・α12=1+89・πζ(32)m gL k T C (e

12可将右边的T C 用零级近似T C °代替,这样我们就得到了在均匀引力场中理想玻色气体的凝聚温度的近似结果: T C =T C °1+8

91ζ(32)π・m gL k T C °)]12=N

(10)比较(4)与(10)式可以看出,当考虑引力场效应后,凝聚温度有适当的提高。其提高值为

891

ζ(3/2)πm gL k T C °ε1

12。进一步还可以求出在均匀引力场的理想玻色气体的热力学性质:

V =52V m gL ・1β2λ3[g 7/2(Z )-g 7/2(Z ′)]-V βλ

3g 52(Z ′)而在T

V =

52V m gL ・1β2λ3[g 72(Z )-g 72(α)]-V βλ3・g 52(α)N =V m gL

・1βλ

3[g 52(Z )-g 52(Z ′)]比热的不连续性:

ΔC v /T C =-98πζ(32)N k (πm gL k T C °

)12,可见考虑引力场后,与理想玻色气体的结果是有一定的差异的。

七十多年来,经过众多的物理学家的努力,于1995年6月5日,由美国国家标准和技术研究所及科罗拉多大学物理系联系研究所的物理学家怀曼和康耐尔等人,采用激光冷却和蒸发冷却技术,首先在原子(87Rb )的蒸汽中产生了BEC ,8月底休斯顿市的Ricc 大学在(下转第5页)8

广　西　物　理 第19卷