上海市杨浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析(Word版)
2020年12月上海市杨浦区普通高中2021届高三上学期期末模拟考质量调研(一模)数学试题(解析版)
绝密★启用前上海市杨浦区普通高中2021届高三毕业班上学期期末模拟考质量调研(一模)数学试题(解析版)2020年12月考生注意：1．答题前,务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚,并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写,超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题,满分150分,考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.设全集,(,2)U A==-∞R,则UC A=__________.【答案】[)2,+∞2.设复数12iz=-（i是虚数单位）,则z= __________.【解析】|||12|z i=-=3.若关于,x y的方程组2438x yx ay+=⎧⎨-=⎩无解,则实数a=__________.【解析】由题意得212303D aa==--=-,解得32a=-,经检验满足题意,所以32a =-.4. 已知球的半径为2,则它的体积为__________. 【解析】343233V πR π==.5.若直线1:210l x my ++=和2:310l x y --=互相垂直,则实数m =__________.【解析】因为直线1:210l x my ++=和2:310l x y --=互相垂直, 所以23(1)0m ⨯+⨯-=,所以6m =.6.已知sin ,22ππαα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭,则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ __________.【解析】因为,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,所以sin cos 2παα⎛⎫+=== ⎪⎝⎭. 7.已知的二项式2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中,所有二项式系数的和为256,则展开式的常数项为__________.（结果用数值表示）.【解析】由题意得2256n =,所以8n =,故2n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为444821120C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 8. ()f x 为偶函数,当0x ≥时, ()21x f x =-,则不等式()1f x >的解集为__________.【解析】由题意得()f x 为偶函数,在()0,+∞上单调递增,(1)1f =, 则()1f x >可化为()(1)f x f >,故解集为()(),11,-∞-+∞.。
2019-2020学年上海市杨浦区高三年级一模考试数学试卷
2019-2020学年上海市杨浦区高三一模考试数学试卷2019.12 一．填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.函数12()f x x -=的定义域为 【答案】(0,)x ∈+∞ 【解析】12()f x x-==(0,)x ∈+∞ 2. 关于x ，y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为【答案】211130-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据增广矩阵的含义，所以是211130-⎛⎫⎪⎝⎭3.已知函数()f x 的反函数12()log f x x -=，则(1)f -=【答案】12【解析】因为21log 12=-，所以1(1)2f -= 4.设a R ∈，2(1)a a a a i --++为纯虚数（i 为虚数单位），则a = 【答案】02a =或【解析】因为2(1)a a a a i --++为纯虚数，所以2010a a a a ⎧--=⎨+≠⎩，所以02a =或5.已知圆锥曲线的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为【答案】3π【解析】2clS =(c 为底面圆周长，l 为母线长)，因为2c π=所以2l =，所以母线与底面所成角的大小为3π6.已知7(1)ax +二项展开式中的3x 系数为280，则实数a = 【答案】2【解析】3334735280T C a a =⋅==，所以2a = 7.椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c =，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅ 8.已知数列{}n a 的通项公式为*1(2)()1()(3)2n n n n a n N n -≤⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →∞=【答案】72【解析】因为1112+48n S =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅，所以174lim 3+=121-2n n S →∞=9.在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=，22222cos 2sin PAPB θθθθ⋅=++， 22)PA PBθθθϕ⋅=+-=+，(22PA PB ⋅∈-+10.已知六个函数（1）21y x=；（2）cos y x =；（3）12y x =；（4）arcsin y x =；（5）1lg()1xy x+=-；（6）1y x =+，从中任选三个函数，则其中弃既有奇函数又有偶函数的选法有 种。
上海市2020届高三数学各区(16区已全)一模考试汇编：解析几何(解析版)
2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----， 所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。
上海市杨浦区2020学年度第一学期高三数学测试试卷
上海市杨浦区2020学年度第一学期高三学科测试数学试卷2020.1.21★考生注意：1、试卷中使用向量的符号{}() a x,y a x,y==rr与 表示意义相同．2、本试卷共有22道题，满分150分，考试时间120分钟．3、本试卷为文、理合卷，题首标有文科考生做、理科考生做的题目，没有标记的是“文”、“理”考生共同做的题目．一. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．直线103x y -+=的倾斜角为 ．2．方程1340x x 9++-=的解是 ．3．命题“若m ＞0，则12m m+≥”的逆命题是 ． 4．计算：2n 2C lim n 1n →∞=+ ．5．函数()()2f x sin x cos x =+的最小正周期为 ．6．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是 ． 7．(文科考生做)设函数()()()1f x x x a =-+为偶函数，则实数a 的值是 ． （理科考生做）函数()11f x x x =+-(x ＞1)的值域是 ． 8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中恰有1名是女生的概率 为 ．9．若直角三角形ABC 的顶点是()1A , 0 -、()1B , 0，则直角顶点()C x,y 的轨迹方程为．10．已知()()()()2111x a x , x f x a , x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩ （a ＞0 ，1a ≠）是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 ．11．已知函数()1x y a 1 a>0 ,a 1-=-≠的反函数图像恒过定点A ，过点A 的直线l 与圆221x y +=相切，则直线l 的方程是 ．12．设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数k 0>，使()2010kf x ≤x 对一切实数x 均成立，则称()f x 为“海宝”函数。
给出下列函数： ①()2f x x = ②()f x sin x cos x =+ ③()21x f x x x =++④()31xf x =+ 其中()f x 是“海宝”函数的序号为 ． 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出 四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的 代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.{},B x x t =<，若A B=∅I ，则实数t 的取值范围是（ ） ()1A t <- ()1B t ≤- ()5C t > ()5D t ≥ 14．在锐角三角形ABC 中，若,53sin =A 则()cosBC + 的值是 （ ） ()4A 5- ()3B 5- ()3C 5 ()4D 515．已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，则()8f 的值为（ ）()A 1-()B 0 ()C 1 ()D 216．在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC ∆顶点()1A , 0-和()C 1 ,0，顶点B 在椭圆22143x y +=上，则sin A sinCsin B+的值是 （ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 不确定三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分12分) 已知z 为虚数，且z =22z z + 为实数，(文科考生做) 求复数z ．（理科考生做）若z ai ω=+(i 为虚数单位，a R ∈) 且z 虚部为正数 ，01a ≤≤，求ω的取值范围．解18. (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分， 第2小题满分6分. 已知向量 1(sin , ) , (cos , 1).2a xb x ==-rr（1）当a b ⊥时， 求x 的值．（2）(文科考生做) 求()()f x a b =+r r·b r 的最大值与最小值．（理科考生做）求()()f x a b =+r r ·b r ， 在, 02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．[解](本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分， 第2小题满分8分. 1⎫-⎪⎝⎭的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．（1） (文科考生做) 当1a =时，求集合B ．（理科考生做）判定函数()f x 的奇偶性，并说明理由．（2）问：2a ≥是A B ⋂=Φ的什么条件（充分非必要条件 、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？ 并证明你的结论． [解]20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分， 第2小题满分8分. 2020年奥运会吉祥物“福娃”所需成本费用为P 元，且10，而每套售出的价格为Q 元，其中xQ=a+b()a , b R ∈， （1）问：该玩具厂生产多少套“福娃”时，使得每套“福娃”所需成本费用最少？（2）若生产出的“福娃”能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a , b 的值．（利润 = 销售收入 — 成本） [解]21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.d 0≠，且56a =， （1）求46a a +的值．（2）当33a =时，在数列{}n a 中是否存在一项m a （m 正整数），使得 3a ，5a ，m a 成等比数列，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由． （3）若自然数123t n , n , n , , n , , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(t 为正整数)满足5< 1n <2n < ⋅⋅⋅ < t n <⋅⋅⋅， 使得31t 5n n a , a ,a , ,a , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列，(文科考生做)当32a=时，用t表示tn．（理科考生做）求3a的所有可能值．[解]22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设抛物线）（022>=ppxy的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A 、B两点，且A 、B两点坐标分别为0212211<>yyyxyx，），，）、（，（，M是抛物线的准线上的一点，O是坐标原点．若直线MA、MF、MB的斜率分别记为：MAK a=、MFK b=、MBK c=，（如图）（1）若124y y=-，求抛物线的方程．（2）当2b=时，求a c+的值．（3）如果取MAK2=，12MBK=-时，(文科考生做)判定AMF BMF∠-∠和MFO∠的值大小关系．并说明理由．（理科考生做）判定AMF BMF∠-∠和MFO∠的值大小关系．并说明理由．通过你对以上问题的研究，请概括出在怎样的更一般的条件下，使得你研究的结果（即AMF BMF∠-∠和MFO∠的值大小关系）不变，并证明你的结论．[解]得分评卷人杨浦区2020学年度第一学期高三学科测试数学试卷 2020.1.21参考答案及评分标准说明1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位. 一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1.arctan3；2.. 0x =；3. 若12,m m +≥则m>0； 4. 125. π；6. 14- ； 7. (文) 1（理）[3,)+∞； 8. 35；9．221(0)x y y +=≠ ； 10. 3[,2)2； 11. y=1 12. ③.二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三．（第17至22题）17. （文）[解一]设z=a+bi （a 、b ∈R ，0b ≠） ----------------------------------------2分 由_22z z + =22(2)(22)a b a ab b i -++- ∵_22z z R +∈， ∴2200ab b b -=≠，又，∴a=1， ---------------------------------------------8分又 即225a b +=， ∴b=2±， ∴z=12i ±.=======---------------------------------12分[解二] 设z=a+bi （a 、b ∈R ，0b ≠）则 225a b += ∵_22z z R +∈，()()22222212z z z z , z z z z =0z z , z z ,a=1, b= 2 z i∴+=+⇒+--≠∴+=±∴=±Q（参考解法一评分标准给分）（理） [解一]设z=a+bi （a 、b ∈R ，0b ≠） ----------------------------------------------2分 由_22z z + =22(2)(22)a b a ab b i -++-∵_22z z R +∈， ∴2200ab b b -=≠，又，∴a=1， -----------------------------------------------8分又即225a b +=， ∴b=2±， ∴z=12i ±.∵ z 虚部为正数， ∴b=2， ∴z=12i +，∴w=1+2i+ai -------------------------------10分∴， a ∈[0，1] ∴|w|∈------------------------------------------------12分 [解二] （同文科，参考上评分标准给分） 18. [解]（1）∵a b →→⊥， ∴0a b →→⋅=，-------------------------------------------------2分 ∴sinxcosx -12=0， Sin2x=1， ------------------------------------------------4分 ∴2x=2k π+2π， ∴x=k π+,4k z π∈. -----------------------------------------6分（2）（文）1(sin cos cos 12a b x x b x →→→+=+-=-，），（，）f （x ）=1()cos (sin cos )2a b b x x x →→→+•=++-------------------------------------------8分=sinxcosx+cos 2x+12=12sin2x+1cos 22x ++12=2sin （2x+4π）+1 -----------------------------------------10分∴f （x ）max =2+1，f （x ）max =1-2.------------------------------------------12分（理）1(sin cos cos 12a b x x b x →→→+=+-=-，），（，）f （x ）=1()cos (sin cos )2a b b x x x →→→+•=++--------------------------------------------8分=sinxcosx+cos 2x+12=12sin2x+1cos 22x ++12=2sin （2x+4π）+1 ----------------------------------------------9分-34π≤2x+4π≤4π,-----------------------------------------------10分∴f （x ）max =32， f （x ）max =1—2.--------------------------------------------------12分19. [解] （1）（文）|1|111120x x x +≤⇔-≤+≤⇔-≤≤[] B=-2 , 0∴ --------------------------------------------------6分（理）A={x|210}1x ->+ 21100(1)(1)011x x x x x -->⇔<⇔+-<++ ∴ -1<x<1∴A=（-1，1），定义域关于原点对称----------------------------------------------------3分f （x ）= lg11xx -+， 则 f （-x ）=lg 11x x +-+= lg 11()1x x --+=- lg11xx -+， ∴f （x ）是奇函数. ----------------------------------------------------6分（2）B={x|1||0}x a -+≥||11111x a x a a x a+≤⇔-≤+≤⇔--≤≤-B=[-1-a ，1-a] ----------------------------------------------------8分当a ≥2时， -1-a ≤-3， 1-a ≤-1，由A=（-1，1）， B=[-1-a ，1-a]， 有A B =∅I----------------------------------------------------11分反之，若A B =∅I ，可取-a-1=2，则a=-3，a 小于2. （注：反例不唯一） -------------------------------------------------------13分所以，a ≥2是A B =∅I 的充分非必要条件。
2020杨浦区2020学年度第一学期高三年级模拟质量调研附答案
1杨浦区2020学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2020.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1. 设全集U =R , (,2)A =-∞, 则=UA ___________.2. 设复数12i =-z , (i 是虚数单位)，则||z =__________.3. 若关于x,y 的方程组⎩⎨⎧=-=+8342ay x y x 无解，则实数=a __________.4. 已知球的半径为2, 则它的体积为____________.5. 若直线1:210l x my ++=与2:31l y x =-互相垂直，则实数m =___________.6.已知sin ,522⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭ππαα，则sin 2⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα.7. 已知2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中, 所有二项式系数的和为256, 则展开式中的常数项为2__________(结果用数值表示).8. ()f x 是偶函数, 当0x ≥时, ()21x f x =-, 则不等式()1f x >的解集为____________.9. 方程2221log log (3)x x +=-的解为____________.10. 平面直角坐标系中, 满足到1(1,0)-F 的距离比到2(1,0)F 的距离大1的点的轨迹为曲线T ，点(,)n n P n y (其中0n y >, n *∈N )是曲线T 上的点, 原点O 到直线2n P F 的距离为n d , 则lim →∞=n n d ____________.11. 如图所示矩形ABCD 中, 2,1AB AD ==, 分别将边BC 与DC 等分成8份, 并将等分点自下而上依次记作127, , , E E E ,自左到右依次记作127, ,, F F F , 满足i AE ⋅2j AF ≤,(其中,i j, 1,7i j *∈≤≤N )的有序数对()j i ,共有_______对.12. 已知函数()y f x =在定义域R 上是单调函数, 值域为(,0)-∞, 满足1(1)3f -=-, 且对于任意,x y ∈R , 都有()()()f x y f x f y +=-. ()y f x =的反函数为1()y f x -=, 若将()y kf x =(其中常数0k >)的反函数的图像向上平移1个单位, 将得到函数1()y f x -=的图像, 则实数k 的值为________.3二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 设0a b >>, 0c ≠, 则下列不等式中, 恒成立的是 （）A.11a b>B. 22ac bc >C. ac bc >D.c c a b <14. 下列函数中，值域为()0 ,+∞的是（）A 、2=y xB 、2=y xC 、2x y =D 、2log =y x 15. 从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点, 可得到四面体的个数为（）A. 4812-CB. 488-CC. 486-CD. 484-C16. 设集合{|, 0}x A y y a x ==>(其中常数0, 1a a >≠), {|, }k B y y x x A ==∈(其中常数Q k ∈), 则“0<k ”是“A B ⋂=∅”的 （）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必4DCBD 1C 1B 1A 1A要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示, 在直三棱柱111ABC A B C -中, 底面是等腰直角三角形, 90ACB ︒∠=,12CA CB CC ===. 点1,D D 分别是棱11,AC AC 的中点.(1) 求证: 11,,,D B B D 四点共面；(2) 求直线1BC 与平面11DBB D 所成角的大小.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数k ∈R, 2()cos cos f x k x x x =+, x ∈R .（1）若()f x 是奇函数, 求实数k 的值;（2）设1k =, ABC △中, 内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,. 若()1f A =, a 3b =, 求ABC △的面积S .5x19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某校运会上无人机飞行表演，在水平距离[]24 , 10∈x （单位：米）内的飞行轨迹如图所示，y 表示飞行高度（单位：米）.其中当[]02 , 01∈x 时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为Q M 、），当[]24 , 02∈x 时，轨迹为线段QN ，经测量，起点()42 , 01M ，终点()24 , 42N ，最低点()8 , 41P .（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）在()42 , 0A 处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角θ的最小值.(精确到︒1.0）6x20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设12, A A 分别是椭圆222: 1(1)x y a aΓ+=>的左、右顶点, 点B 为椭圆的上顶点.（1）若124A B A B ⋅=-,求椭圆Γ的方程;（2）设a 2F 是椭圆的右焦点, 点Q 是椭圆第二象限部分上一点, 若线段2F Q 的中点M 在y 轴上, 求2F BQ △的面积.（3）设3a =, 点P 是直线6x =上的动点, 点C 和D 是椭圆上异于左右顶点的两点, 且C ,D 分别在直线1PA 和2PA 上, 求证: 直线CD721．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设数列{}n a 与{}n b 满足: {}n a 的各项均为正数, cos , n n b a n *=∈N . （1）设233ππ, 43a a ==, 若{}n b 是无穷等比数列, 求数列{}n b 的通项公式; （2）设1π02<≤a . 求证: 不存在递减的数列{}n a , 使得{}nb 是无穷等比数列; （3）当121≤≤+n m 时, {}n b 为公差不为0的等差数列且其前21m +的和为0; 若对任意满足条件06π (121)<≤≤≤+n a n m 的数列{}n a , 其前21m +项的和21m S +均不超过100π, 求正整数m 的最大值.8杨浦区2020学年高三年级第一次质量调研测试数学试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.设全集,(,2)U A ==-∞R ，则U C A =__________. 【答案】[)2,+∞2.设复数12i z =-（i 是虚数单位），则z =__________.【解析】|||12|z i =-=93.若关于,x y 的方程组2438x y x ay +=⎧⎨-=⎩无解，则实数a =__________.【解析】由题意得212303D a a ==--=-，解得32a =-，经检验满足题意，所以32a =-. 4. 已知球的半径为2，则它的体积为__________.【解析】343233V πR π==. 5.若直线1:210l x my ++=和2:310l x y --=互相垂直，则实数m =__________. 【解析】因为直线1:210l x my ++=和2:310l x y --=互相垂直， 所以23(1)0m ⨯+⨯-=，所以6m =.6.已知sin ,22ππαα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 【解析】因为,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以sin cos 2παα⎛⎫+=== ⎪⎝⎭7.已知的二项式2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式的常数项为__________.（结果用数值表示）.10【解析】由题意得2256n=，所以8n =，故2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为444821120C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 8.()f x 为偶函数，当0x ≥时, ()21x f x =-，则不等式()1f x >的解集为__________. 【解析】由题意得()f x 为偶函数，在()0,+∞上单调递增，(1)1f =， 则()1f x >可化为()(1)f x f >，故解集为()(),11,-∞-+∞.9.方程()2221log log 3x x +=-的解为【解析】由()2221log log 3x x +=-得223x x =-，解得3x =或1x =-，其中1x =-不满足真数大于0，舍去，故3x =.10.平面直角坐标系中，满足到1(1,0)F -的距离比2(1,0)F 到的距离大1的点的轨迹为曲线T ，点(),n n P n y （其中*0,n y n >∈N ）是曲线T 上的点，原点O 到直线2n P F 的距离为，则lim n n d →∞=__________.【解析】法一：由题意得曲线T 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的双曲线的右支，且21a =， 所以22213,1,24a cbc a ===-=，故曲线T 的方程为11224141()32y x x -=≥，故曲线T的渐近线方程为y =，不妨取第一象限的渐近线， 当n →∞时，点(),n n P n y趋向于渐近线上的()n Q n ，直线2n Q F的方程为(1)1y x n =--趋向于直线1)y x =-，原点到直线1)y x =-的距离d =由极限思想，lim n n d →∞=法二：（硬算）直线2n P F 的方程为(1)1n n y y x x =--，其中224413n n y -= 即()10n n n y y x y --+=， 所以原点到直线2n P F 的距离00n y d -+===∣，12E 1E 27F F F F所以lim n n d →∞=11.如图所示矩形ABCD 中，2,1AB AD ==，分别将边BC 与DC 等分成8份，并将等分点自下而上依次记作127,,,E E E ，自左到右依次记作127,,,F F F ，满足2i j AE AF ⋅≤（其中*,,1,7i j i j ∈≤≤N ）的有序数对(,)i j 共有__________.对.【解析】以A 为原点建系，则(2,),(,1)84i j i j E F ，由2i j AE AF ⋅≤得282i j+≤，即416i j +≤， 当1,2j =时，1,2,,7i =，共2714⨯=种，当3j =，1,2,3,4,i =共4种， 故有序数对(,)i j 共有18对.12.已知函数()y f x =在定义域R 上是单调函数，值域为(,0)-∞，满足1(1)3f -=-，且对任意,x y ∈R ，都有()()(),()f x y f x f y y f x +=-=的反函数为1()y f x -=，若将()y kf x =（其中常数0k >）的反函数的图像向上平移1个单位，将得到函数1()f x -的图像，则实数k 的值为__________.【解析】因为对任意,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=-，13不妨令()x f x a =-，满足值域为(,0)-∞，所以11(1)3f a -=-=-，解得3a =，所以()3x f x =-，所以13()log ()f x x -=-， 对函数()3x y kf x k ==-⋅而言，其反函数为31log ()y x k=-， 由题意得331log ()1log ()x x k -+=-，所以3x x k-=-，所以3k =.二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.设0,0a b c >>≠，则下列不等式中，恒成立的是（）2211....c cA B ac bc C ac bc D a b a b>>>< 【答案】B【解析】由不等式性质易得，当0,0a b c >>≠时，恒成立的是22ac bc >14.下列函数中，值域为(0,)+∞的是（）222..2o ..l g x A y x B y C y D y x x====14【答案】C【解析】2y x =的值域为[)0,+∞；2y x=的值域为()(),00,-∞+∞；2x y =的值域为(0,)+∞；2log y x =的值域为[)0,+∞；故选C.15. 从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（）【答案】A【解析】从正方体的8个顶点中选取4个，构成四面体，除去正方体的6个面和6个对角面，一共能构成4812C -个四面体，故选A.16.设集合{},0x A y y a x ==>∣（其中常数0,1a a >≠），{},k B y y x x A ==∈∣（其中常数k Q ∈），则“0k <”是“AB =∅”的（）A.充分非必要条件B. 必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A15【解析】若01a <<，则(0,1)A =；若1a >，则(1,)A =+∞； 当0k <时，若(0,1)A =，则(1,)B =+∞，满足A B =∅，若(1,)A =+∞，则(0,1)B =，满足A B =∅；而当AB =∅，显然0k =满足A B =∅，故“0k <”是“AB =∅”的充分非必要条件，故选A.16D CBD 1C 1B 1A 1A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ︒∠=，12CA CB CC ===，点1,D D 分别是棱11,AC AC 的中点.（1）求证：11,,,D B B D 四点共面；（2）求直线1BC 与平面11DBB D 所成角的大小。
【精校】2020年上海市杨浦区高考一模数学
2020年上海市杨浦区高考一模数学一、填空题(本大题满分54分)共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分1.若“a＞b”，则“a 3＞b 3”是____命题(填：真、假)解析：函数f(x)=x 3在R 是单调增函数，∴当a ＞b ，一定有a 3＞b 3，故是真命题. 答案：真.2.已知A=(﹣∞，0]，B=(a ，+∞)，若A ∪B=R ，则a 的取值范围是____. 解析：若A ∪B=R ，A=(﹣∞，0]，B=(a ，+∞)， 必有a ≤0. 答案：a ≤0.3.z+2z =9+4i(i 为虚数单位)，则|z|=____.解析：设z=x+yi(x ，y ∈R)，∵z+2z =9+4i ，∴x+yi+2(x ﹣yi)=9+4i ，化为：3x ﹣yi=9+4i ，∴3x=9，﹣y=4，解得x=3，y=﹣4. ∴223(4)5z =+-=.答案：5.4.若△ABC 中，a+b=4，∠C=30°，则△ABC 面积的最大值是____. 解析：在△ABC 中，∵C=30°，a+b=4， ∴△ABC 的面积211111sin sin 30412244)4(2S ab C ab b ab a =⋅=⋅︒==+≤⨯⨯=，当且仅当a=b=2时取等号.答案：1.5.若函数()2g 1lo x f x ax -+=的反函数的图象经过点(﹣2，3)，则a=____. 解析：∵函数()2g 1lo x f x ax -+=的反函数的图象经过点(﹣2，3)，∴函数()2g 1lo x f x ax -+=的图象经过点(3，﹣2)，∴232log 31a-=-+，∴a=2. 答案：2.6.过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是____.解析：设截面的圆心为Q ，由题意得：∠OAQ=60°，QA=1，∴S=π·12=π. 答案：π.7.抛掷一枚均匀的骰子(刻有1，2，3，4，5，6)三次，得到的数字依次记作a ，b ，c ，则a+bi(i 为虚数单位)是方程x 2﹣2x+c=0的根的概率是____.解析：抛掷一枚均匀的骰子(刻有1，2，3，4，5，6)三次，得到的数字依次记作a ，b ，c ，基本事件总数n=6×6×6=216，∵a+bi(i 为虚数单位)是方程x 2﹣2x+c=0的根，∴(a+bi)2﹣2(a+bi)+c=0，即222022a b c a ab b⎧-+-=⎨=⎩，∴a=1，c=b 2+1， ∴a+bi(i 为虚数单位)是方程x 2﹣2x+c=0的根包含的基本事件为： (1，1，2)，(1，2，5)，∴a+bi(i 为虚数单位)是方程x 2﹣2x+c=0的根的概率是21216108p ==. 答案：1108.8.设常数a ＞0，9(x 展开式中x 6的系数为4，则()2lim n n a a a →∞++⋯+=____.解析：∵常数a ＞0，9(x +展开式中x 6的系数为4， ∴183922199r r r rrrr r T C x a xa C x---+==，当18362r-=时，r=2， ∴2294a C =，解得13a =，∴2211(1)1111133(1)13332313n n n na a a -+++==⋯-+-++=L ， ∴()2111lim lim[(1)]232n n n n a a a →∞→∞++-==⋯+. 答案：12.9.已知直线l 经过点(0)且方向向量为(2，﹣1)，则原点O 到直线l 的距离为____. 解析：直线的方向向量为(2，﹣1)，所以直线的斜率为：﹣12，直线方程为：=0，1=；答案：1.10.若双曲线的一条渐近线为x+2y=0，且双曲线与抛物线y=x 2的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为____. 解析：抛物线y=x 2的准线：14y =-， 双曲线与抛物线y=x 2的准线仅有一个公共点，可得双曲线实半轴长为14a =，焦点在y 轴上.双曲线的一条渐近线为x+2y=0，∴12a b =， 可得12b =， 则此双曲线的标准方程为：22111164y x -=. 答案：22111164y x -=.11.平面直角坐标系中，给出点A(1，0)，B(4，0)，若直线x+my ﹣1=0存在点P ，使得|PA|=2|PB|，则实数m 的取值范围是____. 解析：设P(1﹣my ，y)， ∵|PA|=2|PB|，∴|PA|2=4|PB|2，∴(1﹣my ﹣1)2+y 2=4(1﹣my ﹣4)2+y 2，化简得(m 2+1)y 2+8my+12=0则△=64m 2﹣48m 2﹣48≥0， 解得m或m，即实数m 的取值范围是m或m.答案：mm.12.函数y=f(x)是最小正周期为4的偶函数，且在x ∈[﹣2，0]时，f(x)=2x+1，若存在x 1，x 2，…x n 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x n ，且|f(x 1)﹣f(x 2)|+|f(x 2)﹣f(x 1)|+…+|f(x n ﹣1﹣f(x n ))|=2016，则n+x n 的最小值为____.解析：∵函数y=f(x)是最小正周期为4的偶函数，且在x ∈[﹣2，0]时，f(x)=2x+1， ∴函数的值域为[﹣3，1]，对任意x i ，x j (i ，j=1，2，3，…，m)，都有|f(x i )﹣f(x j )|≤f(x)max ﹣f(x)min =4，要使n+x n 取得最小值，尽可能多让x i (i=1，2，3，…，m)取得最高点，且f(0)=1，f(2)=﹣3，∵0≤x 1＜x 2＜…＜x m ，|f(x 1)﹣f(x 2)|+|f(x 2)﹣f(x 3)|+…+|f(x n ﹣1)﹣f(x n )|=2016， ∴n 的最小值为201615054+=，相应的x n 最小值为1008，则n+x n 的最小值为1513. 答案：1513.二、选择题(本大题共4题，满分20分) 13.若a r 与b c -r r 都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅r r r r ”是“()a b c ⊥-r r r”的( )A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件解析：“a b a c ⋅=⋅r r r r ”⇔“0a b a c ⋅-⋅=r r r r ”⇔“()0a b c ⋅-=r r r ”⇔“()a b c ⊥-r r r”，故“a b a c ⋅=⋅r r r r ”是“()a b c ⊥-r r r”的充要条件.答案：C14.行列式147258369中，元素7的代数余子式的值为( ) A.﹣15 B.﹣3 C.3 D.12解析：∵行列式147258369， ∴元素7的代数余子式为： D 13=(﹣1)42536=2×6﹣5×3=﹣3. 答案：B.15.一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是( ) A.5800 B.6000 C.6200 D.6400解析：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时，中位数为5300550054002+=，当另外两名员工的工资都大于6500时，中位数为6100650063002+=，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400，6300]， ∴8位员工月工资的中位数不可能是6400. 答案：D. 16.若直线1x ya b+=通过点P(cos θ，sin θ)，则下列不等式正确的是( ) A.a 2+b 2≤1 B.a 2+b 2≥1C.22111a b +≤ D.22111a b+≥ 解析：直线1x ya b+=通过点P(cos θ，sin θ)，∴bcos θ+asin θ=ab ，)ab θφ+=，其中tan b aφ=，ab ≥， ∴a +b ≥a b ，∴22111a b +≥， 答案：D三、解答题(满分76分)共5题17.某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为55毫米线段AB 和88毫米的线段AC 以及圆心为P ，半径为PB 的一段圆弧BC 构成，其中∠BAC=60°. (1)求半径PB 的长度；(2)现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量(每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克).V 柱=S 底·h.解析：(1)在△ABP 中，由余弦定理建立方程，即可求半径PB 的长度； (2)求出V 柱=S 底·h ，即可求该零件的重量.答案：(1)∵AB=55，AC=88，BP=R ，∠BAC=60°.AP=88﹣R ，∴在△ABP 中，由余弦定理可得：BP 2=AB 2+AP 2﹣2AB ·AP ·cos ∠BAC ，可得：R 2=552+(88﹣R)2﹣2×55×(88﹣R)×cos60°， ∴解得：R=49mm.(2)在△ABP 中，AP=88﹣49=39mm ，AB=55，BP=49，222394955897cos 0.2347239493822BPA +-∠==≈⨯⨯，∴sin ∠BPA ≈0.972.∴∠BPA=arcsin0.972.V 柱=S 底·h=(S △ABP +S 扇形BPC ) ·h=21(arcsin 0.972)49(5539)32360π⋅⨯⨯⋅ 该零件的重量=213(arcsin 0.972)49(5539)322360π⋅⨯⨯⨯+⋅÷1000×8.9≈82.7.18.如图所示，l 1，l 2是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A ，B 在直线l 1上，且位于M 点的两侧，C 在l 2上，AM=BM=NM=CN (1)求证：异面直线AC 与BN 垂直；(2)若四面体ABCN 的体积V ABCN =9，求异面直线l 1，l 2之间的距离.解析：(1)欲证AC ⊥NB ，可先证BN ⊥面ACN ，根据线面垂直的判定定理只需证AN ⊥BN ，CN ⊥BN 即可；(2)判断异面直线的距离，利用体积公式求解即可.答案：(1)证明：由已知l 2⊥MN ，l 2⊥l 1，MN ∩l 1=M ，可得l 2⊥平面ABN.由已知MN ⊥l 1，AM=MB=MN ， 可知AN=NB 且AN ⊥NB.又AN 为AC 在平面ABN 内的射影. ∴AC ⊥NB(2)∵AM=BM=NM=CN ，MN 是它们的公垂线段， 就是异面直线l 1，l 2之间的距离，由中垂线的性质可得AN=BN ，四面体ABCN 的体积V ABCN =9， 可得：31119323ABCN V AB MN CN MN ==⨯⨯⨯=， ∴MN=3.异面直线l 1，l 2之间的距离为3.19.如图所示，椭圆C ：2241x y +=，左右焦点分别记作F 1，F 2，过F 1，F 2分别作直线l 1，l 2交椭圆AB ，CD ，且l 1∥l 2.(1)当直线l 1的斜率k 1与直线BC 的斜率k 2都存在时，求证：k 1·k 2为定值； (2)求四边形ABCD 面积的最大值.解析：(1)由椭圆方程求出焦点坐标，得到直线AB 、CD 的方程，与椭圆方程联立求得A 、D 的坐标，求出AD 所在直线斜率得答案；(2)由(1)结合弦长公式求得|AB|，再由两平行线间的距离公式求出边AB 、CD 的距离，代入平行四边形面积公式，利用换元法求得最值.答案：(1)证明：由椭圆C ：2241x y +=，得a 2=4，b 2=1，∴c ==设k 1=k ，则AB 所在直线方程为k ，CD 所在直线方程为y=kx，联立2241y kx y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得(1+4k 2)x 22x+12k 2﹣4=0.解得x =B x，则B y同理求得C x =C y .则214k k ==-，则1211·()44k k k k =⋅-=-；(2)解：由(1)知，＝A B x x +-，2212414＝A B k x x k -+()224114k AB k +===+. AB 、CD的距离d =(224114四边形＝ABCD k S k +=+令1+4k 2=t(t ≥1)，则2311118316816＝S t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-+，∴当t=3时，S max =4.20.数列{a n }，定义{△a n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中△a n =a n+1﹣a n (n ∈N *)(1)若a n =n 2﹣n ，试判断{△a n }是否是等差数列，并说明理由；(2)若a 1=1，△a n ﹣a n =2n，求数列{a n }的通项公式；(3)对(b)中的数列{a n }，是否存在等差数列{b n }，使得1212nn n n n n b C b C b C a ++⋯+=，对一切n ∈N *都成立，若存在，求出数列{b n }的通项公式，若不存在，请说明理由.解析：(1)根据数列{a n }的通项公式a n =n 2﹣n ，结合新定义，可判定{△a n }是首项为4，公差为2的等差数列；(2)由△a n ﹣a n =2n入手能够求出数列{a n }的通项公式；(3)结合组合数的性质：1C n 1+2C n 2+3C n 3+…+nC n n =n(C n ﹣10+C n ﹣11+C n ﹣12+…+C n ﹣1n ﹣1)=n·2n ﹣1进行求解.答案：(1)若a n =n 2﹣n ，试判断{△a n }是等差数列，理由如下：∵a n =n 2﹣n ，∴△a n =a n+1﹣a n =(n+1)2﹣(n+1)﹣(n 2﹣n)=2n ， ∵△a n+1﹣△a n =2，且△a 1=4，∴{△a n }是首项为4，公差为2的等差数列；(2)∵△a n ﹣a n =2n.△a n =a n+1﹣a n ，∴a n+1﹣2a n =2n，∴111222n n n n a a ++-=， ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以12为首项，12为公差的等差数列， 即1222﹣n n n na n a n =⇒=⋅； (3)b 1C n 1+b 2C n 2+…+b n C n n=a n ，即b 1C n 1+b 2C n 2+…+b n C n n=n·2n ﹣1， ∵1C n 1+2C n 2+3C n 3+…+nC n n =n(C n ﹣10+C n ﹣11+C n ﹣12+…+C n ﹣1n ﹣1)=n ·2n ﹣1，∴存在等差数列{b n }，b n =n ，使得b 1C n 1+b 2C n 2+…+b n C n n=a n 对一切自然n ∈N 都成立.21.对于函数f(x)(x ∈D)，若存在正常数T ，使得对任意的x ∈D ，都有f(x+T)≥f(x)成立，我们称函数f(x)为“T 同比不减函数”.(1)求证：对任意正常数T ，f(x)=x 2都不是“T 同比不减函数”； (2)若函数f(x)=kx+sinx 是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围； (3)是否存在正常数T ，使得函数f(x)=x+|x ﹣1|﹣|x+1|为“T 同比不减函数”；若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由.解析：(1)根据T 同比不减函数的定义即可证明，(2)根据T 同比不减函数的定义，分离参数得到)4﹣k x ππ≥，根据三角形函数的性质即可求出k 的范围，(3)画出函数f(x)的图象，根据图象的平移即可求出T 的范围.答案：(1)∵f(x)=x 2，∴f(x+T)﹣f(x)=(x+T)2﹣x 2=2xT+T 2=T(2x+T)， 由于2x+T 与0的小无法比较， ∴f(x+T)≥f(x)不一定成立，∴对任意正常数T ，f(x)=x 2都不是“T 同比不减函数，(2)∵函数f(x)=kx+sinx 是“2π同比不减函数， ∴sin sin 222（）（）（）（）f x f x k x x kx x πππ+-=+++--=cos sin 0224（）k k x x x πππ+-=-≥恒成立，∴4（）k x π≥-， ∵﹣1≤sin(x ﹣4π)≤1，∴k π≥，(3)f(x)=x+|x ﹣1|﹣|x+1|图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移4个单位，即对任意的x ∈D ，都有f(x+T)≥f(x)成立， ∴T ≥4.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2020年上海市杨浦高级中学高三数学理模拟试题含解析
2020年上海市杨浦高级中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的值域是A． B．C．D．参考答案：C略2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（）A. B. C. D.参考答案：B3. 双曲线的一条渐近线与直线X+2y +1 =0垂直，则双曲线C的离心率为(A) (B) ( C) (D)参考答案：【知识点】双曲线的简单性质 H6C解析：∵双曲线的焦点在x轴上，∴其渐近线方程为y=x，∵渐近线与直线x+2y+1=0垂直，渐近线的斜率为2，∴=2, 即双曲线的离心率故答案为C【思路点拨】由双曲线的渐近线斜率即可计算该双曲线的离心率，本题中已知渐近线与直线x+2y+1=0垂直，而双曲线的渐近线斜率为，故=2，再利用c2=a2+b2，e=即可得双曲线的离心率4. 已知a为实数，函数，若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，则a的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：D5. 已知全集集合则（）A. B. C. D.参考答案：B略6. 设函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且，则4f（x）＞f'（x）的解集为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】压轴题；转化思想；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】把已知等式变形，可得3f（x）=f′（x）﹣3，则f′（x）=3f（x）+3，令f（x）=ae bx+c，由f（0）=1，得a+c=1，再由3f（x）=f′（x）﹣3，得到3ae bx+3c=abe bx﹣3，则，求得a，b，c的值，可得函数解析式，把4f（x）＞f'（x）转化为关于x的不等式求解．【解答】解：由，得3f（x）=f′（x）﹣3，∴f′（x）=3f（x）+3，令f（x）=ae bx+c，∵f（0）=1，∴a+c=1，∵3f（x）=f′（x）﹣3，∴3ae bx+3c=abe bx﹣3，∴，解得a=2，b=3，c=﹣1．∴f（x）=2e3x﹣1，∵4f（x）＞f'（x），∴8e3x﹣4＞6e3x，则e3x＞2，即x＞．∴4f（x）＞f'（x）的解集为．故选：B．【点评】本题考查导数的运算及应用，考查了推理能力与计算能力，是压轴题．7. 设函数则导函数的展开式项的系数为A．1440 B．-1440 C．-2880 D．2880参考答案：答案：C8. 已知，那么（）A．B．C．D．参考答案：C 9. 根据如下样本数据得到的回归方程为，则A．，B．，C．，D．，参考答案：A10. 若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心可以为（）A．B．C．D．参考答案：A【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质即可得解对称中心．【解答】解：向左平移个单位长度后得到的图象，由2x+=kπ+，k∈Z，解得：x=+，k∈Z，则其对称中心为．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知=（cos，sin），=（，1），x∈R，则|﹣|的最大值是．参考答案：3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的坐标运算和向量的模以及三角函数的化简，以及正弦函数的性质即可求出．【解答】解：∵=（cos，sin），=（﹣，1），∴﹣=（cos+，sin﹣1），∴|﹣|2=（cos+）2+（sin﹣1）2=5+2（cos﹣sin）=5+4sin（﹣）≤5+4=9，∴|﹣|的最大值是3，故答案为：312. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E ．若∠BAC=80°，则∠BED=．参考答案：60°【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由弦切角定理可得∠EBC=∠A，再由圆的圆周角定理，可得∠BCE=∠A，在△BCE 中，运用三角形的内角和定理，计算即可得到所求值．【解答】解：由BE 为圆的切线，由弦切角定理可得∠EBC=∠A=80°，由D 是劣弧的中点，可得∠BCE=∠A=40°，在△BCE 中，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠BCE=180°﹣80°﹣40°=60°．故答案为：60°．13. 在等比数列中，首项，则公比为。
上海市杨浦区2019-2020学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学试卷(含答案)
杨浦区2019学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2019.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1．函数12()f x x-= 的定义域为 .2．关于,x y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为 .3．已知函数()f x 的反函数12()log -=fx x ，则(1)-=f .4．设R ∈a ，22(1)i --++a a a 为纯虚数（i 为虚数单位），则a = . 5．已知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为 .6．已知7(1)ax +的二项展开式中3x 的系数为280，则实数a = .7．椭圆22194x y +=的焦点为12 ,F F ，P 为椭圆上一点，若1||5PF =，则 12cos F PF ∠= .8．已知数列{}n a 的通项公式为1(2)1(3)2-≤⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩n n nn a n （*N ∈n ），n S 是数列{}n a 的前n 项和.则lim n n S →+∞= .9. 在直角坐标平面xOy 中，(2,0),(0,1)-A B ，动点P 在圆22:2C x y +=上，则PA PB ⋅ 的取值范围为 .10．已知六个函数：①21y x=；②c o s y x =；③12y x =；④a r c s i n y x =；⑤1l g ()1xy x+=-；⑥1y x =+.从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有 种.11．已知函数1()1f x x=-（0x >），若关于x 的方程2[()]()230+++=f x m f x m 有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为 .12 ．向量集合(){},,R ==∈ 、S a a x y xy ．对于任意,S αβ∈，以及任意()1,0∈λ，都有()1S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”．现有四个命题：① 若S 为“C 类集”，则集合{}M a a S μ=∈（μ为实常数）也是“C 类集”； ② 若,S T 都是“C 类集”，则集合{},=+∈∈M a b a S b T 也是“C 类集”；③ 若12A ,A 都是“C 类集”，则1A 2A 也是“C 类集”；④ 若12A ,A 都是“C 类集”，且交集非空，则1A 2A 也是“C 类集”．其中正确的命题有_________.（填所有正确命题的序号）二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．已知实数,a b 满足>a b ，则下列不等式中恒成立的是 （ ）()A 22>a b ()B11<a b()C >a b ()D 22>a b 14．要得到函数2sin(2)3y x π=+的图象，只要将2sin 2y x =的图象 （ ）()A 向左平移6π个单位 ()B 向右平移6π个单位 ()C 向左平移3π个单位 ()D 向右平移3π个单位15．设12、z z 为复数,则下列命题中一定成立的是 ( )()A 如果120->z z ,那么12>z z ()B 如果12||||=z z ,那么12=±z z ()C 如果121>z z ,那么12>z z ()D 如果22120+=z z ,那么120==z z 16．对于全集R 的子集A ，定义函数1()()0()∈⎧=⎨∈⎩A Rx A f x x A ð为A 的特征函数.设,A B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是 （ ）()A 若A B ⊆，则()()A B f x f x ≤ ()B ()1()=-R A A f x f x ð()C ()()()A B A B f x f x f x =⋅ ()D ()()()A B A B f x f x f x =+三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD .1AB PA ==，AD =,E F 分别为棱,PD PA 的中点.⑴ 求证：B C E F 、、、四点共面； ⑵ 求异面直线PB 与AE 所成的角．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数()22xxaf x =+，其中a 为实常数. ⑴ 若(0)7f =，解关于x 的方程()5f x =； ⑵ 判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）东西向的铁路上有两个道口A B 、，铁路两侧的公路分布如图，C 位于A 的南偏西15︒，且位于B 的南偏东15︒方向，D 位于A 的正北方向，2AC AD km ==，C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人，发现北偏东45︒方向的E 处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60/km h . ⑴ 判断救护车通过道口A 是否会受火车影响，并说明理由；⑵ 为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A B 、中的哪个道口？通过计算说明．DECA B20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 如图,在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 是第一象限内抛物线C 上的一点,点D 的坐标为(,0)t (0>t ).⑴ 若||OA =A 的坐标；⑵ 若AFD ∆为等腰直角三角形，且90∠=︒FAD ，求点D 的坐标；⑶ 弦AB 经过点D ，过弦AB 上一点P 作直线x t =-的垂线，垂足为点Q ，求证：“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，均有2120,0n n S S -≥≤，则称数列{}n a 具有性质P .⑴ 判断首项为1，公比为2-的无穷等比数列{}n a 是否具有性质P ，并说明理由； ⑵ 已知无穷数列{}n a 具有性质P ，且任意相邻四项之和都相等，求证：40S =；⑶ 已知21n b n =-（*N n ∈），数列{}n c 是等差数列，122()()n n n b n a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，若无穷数列{}n a 具有性质P ，求2019c 的取值范围．杨浦区2019学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷评分标准 2019.12.一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1． (0,)+∞； 2． 211130-⎛⎫ ⎪⎝⎭； 3． 12； 4. 2； 5.3π； 6. 2； 7. 35； 8. 72；9.[2-+ ； 10. 12； 11. 34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦； 12. ①②④二、 选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分） 13. D ； 14. A ； 15. C ； 16. D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）连接EF ，因为E F 、分别为PD PA 、的中点. 所以EF ∥AD （2分）又因为BC ∥AD ，可得：EF ∥BC （4分） 所以B C E F 、、、四点共面 （6分） （2）设AC 与BD 交于点Q ，连接EQ 由,E Q 分别为,DP DB 的中点，可得EQ ∥PB所以AEQ ∠或其补角为异面直线PB 与AE 所成的角 （8分） 由PA ⊥平面ABCD 可得：,PA AB PA AD ⊥⊥ 因为1AB AP ==，AD =PB =2PD = （10分）12EQ PB == 112AE PD == 112==AQ AC （12分）（给在12的关系上）222111cos24+-+-∠===⋅AE EQ AQAEQAE EQ．arccos(0,)42AEQπ∠=∈异面直线PB与AE所成角的大小为arccos4（14分）说明：第⑵题也可以用空间向量求解⑵【解】：建立如图空间直角坐标系，(1,0,0)B，D，(0,0,1)P，1(0,)22E(1,0,1)PB=-，1(0,,)22AE=（12分）PB与AE所成的角θ满足||2cos4||||PB AEPB AEθ⋅==⋅∴异面直线PB与AE所成角的大小为．（14分）18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由(0)17f a=+=，所以6a=，（2分）方程6252xx+=即2(2)5260x x-⋅+=，可得：22x=或23x=（4分）解得1x=或2log3x=（6分）（2）函数的定义域为R（8分）当1a=时，1()22xxf x=+，对任意R x ∈，均有11()22()22xx x x f x f x ---=+=+= 所以1()22xxf x =+为偶函数； （10分） 当1a =-时，1()22xx f x =-，对任意R x ∈，均有11()22()22x xx x f x f x ---=-=-=-所以1()22xx f x =+为奇函数； （12分）当1a ≠ 且1a ≠-时，()22xx a f x =+，由(1)22a f =+，1(1)22f a -=+55(1)(1)022f f a +-=+≠，33(1)(1)022f f a --=-≠所以()22xx a f x =+为非奇非偶函数。
【KS5U解析】上海市杨浦区2020届高三第一次模拟(期末考试)数学试题 Word版含解析
解得:
在 中,
故母线与底面所成角的大小为: .
故答案为: .
【点睛】本题主要考查了求母线和底面夹角,解题关键是掌握圆锥的特征,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.
6.已知 的展开式中，含 项的系数等于280，则实数 ________.
【答案】2
【解析】
【分析】
先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的含x3项的系数，再根据含x3项的系数等于280，求得实数a的值．
若方程 一个根为 ,
,另一根为 ,不满足条件.
故方程 有两个根,其中一个在区间 上,一个在区间
令
①当 时
则
解得:
②当 时
即 ,故 ,
将 代入
可得: ,
解得:
满足方程 两个根中,一个在区间 上,一个在区间
综上所述,实数 的取值范围为: .
故答案为: .
【点睛】本题主要考查了根据零点个数求参数范围,解题关键是掌握函数零点的定义,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
12.向量集合 ,对于任意 ,以及任意 ,都有 ,则称 为“ 类集”,现有四个命题:
①若 为“ 类集”,则集合 也是“ 类集”;
②若 , 都是“ 类集”,则集合 也是“ 类集”;
③若 都是“ 类集”,则 也是“ 类集”;
④若 都是“ 类集”,且交集非空,则 也是“ 类集”.
其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)
【答案】
【解析】
【分析】
根据椭圆定义可得: , ,在三角形 中由余弦定理,即可求得答案.
【详解】 椭圆
可得: , , .
根据椭圆定义可得: , ,
上海市杨浦区2020年第二学期高三学科测试数学(文理科)试题
上海市杨浦区2020年第二学期高三学科测试数学文科试卷（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：本试卷包括试题纸和答题纸两部分．在本试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，每题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果．1．直线013=+-y x 的倾斜角为 ．2．已知全集R U =，集合{}0542>--=x x x M ，{}1≥=x x N ，则)(N C M U ⋂= ．3．若复数z 满足iiz +=3(其中i 是虚数单位)，则z = ．4．二项式6)21(x -展开式中3x 系数的值是 ．5．高三（1）班班委会由3名男生和2名女生组成，现从中任选 2人参加上海世博会的志愿者工作，则选出的人中至少有一名女 生的概率是 ．6．如果某音叉发出的声波可以用函数t t f π00.001sin40)(= 描述，那么音叉声波的频率是 赫兹．7．若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则实数p 的值是 ． 8．方程33tan -=x 的解是 ． 9．如图是输出某个数列前10项的框图，则该数列第 3项的值是 ．10. 若经过点P （－1，0）的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则此直线的方程是 . 11．计算：)11211(lim 222+++++++∞→n nn n n Λ= .第9题12．在△ABC 中，5=AB ，7=AC ，D 是BC 边的中点，则⋅的值是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题4分．每题只有一个正确答案，选择正确答案的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置．13．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++78615304z y x z y x z y x 的增广矩阵是………………………………………………（ ）．A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛786115130411B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--786115130411 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛861513411 D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛85461113114．在直角坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点)01(，-A 和)01(，C ，顶点B 在椭圆13422=+y x上，则BCA sin sin sin +的值是…………………………………………………………………（ ）．A ．23B ．3C ．2D ．415．以c b a 、、依次表示方程232212=+=+=+x x x x x x 、、的根，则c b a 、、的大小顺 序为…………………………………………………………………………………………（ ）．A ．c b a <<B ．c b a >>C ．b c a <<D ．c a b >>16．如图，下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、侧视图、俯视图）有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是……………………………………………………………（ ）．A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（4）三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域写出必要的步骤. 17．(本题满分12分)动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室（如图所示）．如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽x 为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 已知某圆锥的体积是π12cm 3，底面半径等于3cm ． （1）求该圆锥的高； （2）求该圆锥的侧面积．19．(本题满分15分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的通项公式分别为)1(2-=n a n 、nn b )21(=，（其中*N n ∈）．（1）求数列{}n a 前n 项的和；（2）底面直径和高均为2的圆柱（1）棱长为2的正方体 （3）底面直径和高均为2的圆锥（4）底面边长为2、高为3的正四棱柱（2）求数列{}n b 各项的和； （3）设数列{}n c 满足⎩⎨⎧=)(.)(为偶数时当为奇数时当，n a n b c n n n ，求数列{}n c 前n 项的和．20．(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分.已知a 为实数，函数3sin )(++=a f θθ，1sin )1(3)(+-=θθa g （R ∈θ）．（1）若θθcos )(=f ，试求a 的取值范围； （2）若1>a ，求函数)()(θθg f +的最小值．21．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分.已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．（1）设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B 且斜率1的直线2l 相交于点P(4，4)，求直线AB 的斜率；（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A 、B 所作的两条直线21l l 、相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB 的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；（3）线段AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点)0(0，x Q ．若20>x ，试用0x 表示线段AB 中点的横坐标．上海市杨浦区2020学年度第二学期高三学科测试数学理科试卷（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：本试卷包括试题纸和答题纸两部分．在本试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，每题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果．1．直线013=+-y x 的倾斜角为 ．2．已知全集R U =，集合{}0542>--=x x x M ，{}1≥=x x N ， 则)(N C M U ⋂= ．3．若复数z 满足iiz +=3 (其中i 是虚数单位)，则z = ．4．二项式6)21(x -展开式中3x 系数的值是 ． 5．市场上有一种“双色球”福利彩票，每注售价为2元，中奖 概率为6.71%，一注彩票的平均奖金额为14.9元．如果小王购 买了10注彩票，那么他的期望收益是 元． 6．把αα5cos 3cos +化为积的形式，其结果为 ． 7．已知)(y x P ，是椭圆191622=+y x 上的一个动点，则y x +的最大值是 ．8．已知21tan 1tan 2=-x x （]0[π，∈x ），则x 的值是 ． 9．如图是输出某个数列前10项的框图，则该数列第3项 的值是 ．10. 在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ．11．如图，用一平面去截球所得截面的面积为π2cm 2，已知第9题理第11题球心到该截面的距离为1 cm ，则该球的体积是 cm 3. 12．在△ABC 中，5=AB ，7=AC ，D 是BC 边的中点，则⋅的值 是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题4分．每题只有一个正确答案，选择正确答案的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置．13．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++78615304z y x z y x z y x 的增广矩阵是………………………………………………（ ）．A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛786115130411B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--786115130411 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛861513411 D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛854611131 14．在直角坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点)01(，-A 和)01(，C ，顶点B 在椭圆13422=+y x 上，则BCA sin sin sin +的值是…………………………………………………………………（ ）．A ．23B ．3C ．2D ．415. 以c b a 、、依次表示方程232212=+=+=+x x x x x x 、、的根，则c b a 、、的大小顺 序为…………………………………………………………………………………………（ ）．A ．c b a <<B ．c b a >>C ．b c a <<D ．c a b >>16．已知数列{}n a ，对于任意的正整数n ，⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅-≤≤=-)2010(.)31(2)20091(12009n n a n n ，，设n S 表示数列{}n a 的前n 项和．下列关于n n S +∞→lim 的结论，正确的是……………………………………（ ）．A ．1lim -=+∞→n n SB ．2008lim =+∞→n n SC ．⎩⎨⎧≥-≤≤=+∞→)2010(.1)20091(2009lim n n S n n ，（*N n ∈） D ．以上结论都不对三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域写出必要的步骤.17．(本题满分12分)动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室（如图所 示）．如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽x 为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 在长方体D C B A ABCD ''''-中，2=AB ，1=AD ，1='A A ．求： （1）顶点D '到平面AC B '的距离；（2）二面角B AC B '--的大小．（结果用反三角函数值表示）19．(本题满分15分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.设数列{}n a 的前n 和为n S ，已知311=S ，3132=S ，3163=S ，3644=S ， 一般地，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-++=-)().12(3412)(),12(3412)1(212为偶数时当为奇数时当n n n n S n n n （*N n ∈）．（1）求4a ； （2）求n a 2；（3）求和：n n a a a a a a a a 212654321-++++Λ．A 'D ' B 'C 'BCD A20．(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分.已知a 为实数，函数3sin )(++=a f θθ，1sin )1(3)(+-=θθa g （R ∈θ）． （1）若θθcos )(=f ，试求a 的取值范围； （2）若1>a ，求函数)()(θθg f +的最小值．21．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分.已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．（1）设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B 且斜率1的直线2l 相交于点P(4，4)，求直线AB 的斜率；（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A 、B 所作的两条直线21l l 、相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB 的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；（3）线段AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点)0(0，x Q ．若50=x ，试用线段AB 中点的纵坐标表示线段AB 的长度，并求出中点的纵坐标的取值范围．上海市杨浦区2020年第二学期高三学科测试数学文理科试卷参考答案与评分标准说明1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第17题至第21题中右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准1．3π； 2．{}1-<x x ； 3．10； 4．160-； 5．（理）66.8-元；（文）0.7； 6．（理）ααcos cos42⋅； （文）200赫兹； 7．（理）5； （文）p=4． 8．（理）858ππ==x x 或； （文）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ 9．2113； 10．（理）cos 3ρθ=； （文）方程为01=+-y x ． 11．（理）π34； （文）21； 12．12．13——16：A ； C ； C ； 理B 文A17．设熊猫居室的总面积为y 平方米，由题意得：)100()330(<<-=x x x y ．… 6分解法1：75)5(32+--=x y ，因为)10,0(5∈，而当5=x 时，y 取得最大值75． 10分 所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． …… 12分 解法2：2]2)330(3[31)]330(3[31)330(x x x x x x y -+≤-=-==75，当且仅当x x 3303-=，即5=x 时，y 取得最大值75． …… 10分所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． …… 12分18．理：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为)0,0,1(A 、)0,0,0(D 、)0,2,0(C 、)1,0,1(A '、)1,2,1(B '、)1,0,0(D '． ……2分设平面AC B '的法向量为),,(w v u n =，则B n '⊥，B '⊥．因为)1,2,0(--='B ，)1,0,1(--='B ， ……3分0='⋅B ，0='⋅B ，所以⎩⎨⎧=+=+.0,02w u w v 解得v w v u 2,2-==，取1=v ，得平面AC B '一个法向量)2,1,2(-=，3=． ……5分 （1）在平面AC B '取一点A ，可得)1,0,1(-=D A ，于是顶点D '到平面AC B '的距离34==d ，所以顶点D '到平面AC B '的距离为34， ……8分 （2）因为平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(1=n ，设n 与1n 的夹角为α，则32cos -==α， ……12分结合图形可判断得二面角B AC B '--是一个锐角，它的大小为32arccos ．……14分文：（1）圆锥底面积为π9 cm 2， ……1分 设圆锥高为h cm ，由体积h V ⋅⋅=π931， ……5分 由π12=V cm 3得4=h cm ； ……8分 （2）母线长5=l cm ， ……9分 设底面周长为c ，则该圆锥的侧面积=cl 21， ……12分 所以该圆锥的侧面积=π15cm 2． ……14分19．（理）（1）164=a ； ……3分 （2）当k n 2=时，（*N k ∈）k k k k k k k k S S a 22222212222)]12(3412)2([)12(3412)2(=-+--+=-=--， ……6分所以，nn a 42=（*N n ∈）． ……8分（3）与（2）同理可求得：)12(3112-=-n a n ， ……10分 设n n a a a a a a a a 212654321-++++Λ=n T ， 则]4)12(45434[3132n n n T ⨯-++⨯+⨯+=Λ，（用等比数列前n 项和公式的推导方法）]4)12(45434[3141432+⨯-++⨯+⨯+=n n n T Λ，相减得]4)12()444(24[313132+⨯--++++=-n n n n T Λ，所以94)14(2732491211--⨯-⨯-=-+n n n n T ． ……14分（文）（1）设数列前n 项和为n S ，则n n n n S n -=-+=22)220(． ……3分（2）公比121<=q ，所以由无穷等比数列各项的和公式得： 数列{}n b 各项的和为21121-=1． ……7分（3）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，当n 为奇数时，n n n b a b a b T +++++=-1321Λ=2)1())41(1(32221-+-+n n ； ……11分当n 为偶数时，n n n a b b a b T +++++=-1321Λ=2))41(1(3222n n+-． ……14分即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+-+-=+为偶数时当，为奇数时当n n n n T n n n 322)21(32,322)1()21(3222)1(． ……15分20．（1）θθcos )(=f 即a --=-3cos sin θθ，又)4sin(2cos sin πθθθ-=-，2分所以232≤+≤-a ，从而a 的取值范围是]23,23[+---． ……5分（2）21sin )1(3)1(sin )()(+++-++=+a a g f θθθθ，令x =+1sin θ，则20≤<x ，因为1>a ，所以)1(32)1(3-≥-+a xa x ，当且仅当)1(3-=a x 时，等号成立，8分 由2)1(3≤-a 解得37≤a ，所以当371≤<a 时，函数)()(θθg f +的最小值是2)1(32++-a a ； ……11分 下面求当37>a 时，函数)()(θθg f +的最小值． 当37>a 时，2)1(3>-a ，函数xa x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数．所以函数)()(θθg f +的最小值为2)1(522)1(32+=++-+a a a ． [当37>a 时，函数xa x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数的证明：任取2021≤<<x x ，])1(31)[()()(121212x x a x x x h x h ---=-，因为4012≤<x x ，4)1(3>-a ，所以0)1(3112<--x x a ，0)()(12<-x h x h ，由单调性的定义函数xa x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数．]于是，当371≤<a 时，函数)()(θθg f +的最小值是2)1(32++-a a ；当37>a 时，函数)()(θθg f +的最小值2)1(5+a ． ……15分21．（1）由⎩⎨⎧==-+.4,082x y y x 解得)8,16(-A ；由⎩⎨⎧==+.4,02x y y x 解得)0,0(B ．由点斜式写出两条直线21l l 、的方程，0:;08:21=-=-+y x l y x l ，所以直线AB 的斜率为21-． ……4分 （2）推广的评分要求分三层一层:点P 到一般或斜率到一般,或抛物线到一般（3分，问题1分、解答2分）例：1．已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B 且斜率为1的直线2l 相交于抛物线x y 42=上的一定点P ),4(2t t ，求直线AB 的斜率；2．已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．设过点A 且斜率为-k 1的直线1l ，与过点B 且斜率为k 的直线2l 相交于抛物线x y 42=上的一点P （4，4），求直线AB 的斜率； 3．已知B A 、是抛物线)0(22>=p px y 上的相异两点．设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B 且斜率为1的直线2l 相交于抛物线)0(22>=p px y 上的一定点P ),2(2t pt ，求直线AB 的斜率； AB 的斜率的值．二层:两个一般或推广到其它曲线（4分，问题与解答各占2分）例：4．已知点P 是抛物线x y 42=上的定点．过点P 作斜率分别为k 、k -的两条直线21l l 、，分别交抛物线于A 、B 两点，试计算直线AB 的斜率．三层:满分（对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法．）（7分，问题3分、解答4分）例如：5.已知抛物线px y 22=上有一定点P ，过点P 作斜率分别为k 、k -的两条直线21l l 、，分别交抛物线于A 、B 两点，试计算直线AB 的斜率．过点P （00,y x ），斜率互为相反数的直线可设为00)(y x x k y +-=，00)(y x x k y +-=，其中0202px y =。
2020年上海杨浦区高三一模数学试卷
2020年上海杨浦区高三一模数学试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每小题4分，7-12题每小题5分，共54分）1.函数的定义域为 ．2.关于、的方程组的增广矩阵为 ．3.已知函数的反函数，则 ．4.设，为纯虚数（为虚数单位），则 ．5.已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为 ．6.已知二项展开式中的系数为，则实数 ．7.椭圆焦点为、，为椭圆上一点，若，则 ．8.8.已知数列是通项公式为，是数列的前项和．则 ．9.在直角坐标平面中，，，动点在圆：上，则的取值范围为 ．10.已知六个函数：①；②；③；④；⑤；⑥．从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有 种．11.已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为 ．12.向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称为“类集”．现有四个命题：①若为“类集”，则集合也是“类集”；②若、都是“类集”，则集合也是“类集”；③若、都是“类集”，则也是“类集”；④若、都是“类集”，且交集非空，则也是“类集”．其中正确的命题有 ．二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.已知实数，满足，则下列不等式中恒成立的是（ ）．A.B.C.D.14.要得到函数的图象，只要将的图象（ ）．A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位15.设、为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）．A.如果，那么B.如果，那么C.如果，那么D.如果，那么16.对于全集的子集，定义函数为的特征函数．设、为全集的子集，下列结论中错误的是（ ）．A.若，则B.C.D.三、解答题（本大题共5题，共76分）（1）（2）17.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，、分别为棱、的中点．求证：、、、四点共面．求异面直线与所成的角．（1）（2）18.已知函数，其中为实常数．若，解关于的方程．判断函数的奇偶性，并说明理由．（1）（2）19.东西向的铁路上有两个道口、，铁路两侧的公路分布如图，位于的南偏西，且位于的南偏东方向，位于的正北方向，，处一辆救护车欲通过道口前往处的医院送病人，发现北偏东方向的处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要分钟，救护车和火车的速度均为．北东判断救护车通过道口是否会受到火车影响，并说明理由．为了尽快将病人送到医院，救护车应选择、中的哪个道口？通过计算说明．【答案】解析:因为函数，要使有意义，则需，所以的定义域为．解析:∵，（1）（2）（3）20.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，点是第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，．若，求点的坐标．若为等腰直角三角形，且，求点的坐标．弦经过点，过弦上一点作直线的垂线，垂足为点，求证：“直线与抛物线相切”的一个充要条件是“为弦的中点”．（1）（2）（3）21.已知无穷数列的前项和为，若对于任意的正整数，均有，，则称数列具有性质．判断首项为，公比为的无穷等比数列是否具有性质，并说明理由．已知无穷数列具有性质，且任意相邻四项之和都相等，求证：．已知，，数列是等差数列，，若无穷数列具有性质，求的取值范围．为奇数为偶数1.2.∴其增广矩阵为．解析:因为函数的反函数为，则，．故答案为．解析:因为为纯虚数，所以需满足，解得或．解析:如图，由圆锥底面半径，则底面周长为，∵侧面积为，∴，则，则母线长为，，母线与底面所成角为，，所以，故母线与底面所成角大小为．3.或4.5.6.解析:二项展开式，通项，，令，则，，∵二项展开式的系数为，∴，，∴，故实数．7.解析:椭圆，焦点为，，∵为椭圆上一点，，由椭圆定义，知，，，，，．∴．8.解析:数列的通项公式，前几项和，，所以．9.解析:令，且，，，，其中，∴的取值范围为．故答案为：．10.解析:①，定义域为，∵，∴为偶函数；②，定义域为，∵，∴为偶函数；③，定义域为，由定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数；④，定义域，∵，∴为奇函数；⑤，∵，，∴函数定义域为，由，则函数为奇函数；⑥，定义域为，∵，，∴函数为非奇非偶函数，所以①②为偶函数，④⑤为奇函数，③⑥为非奇非偶函数，则从中任选三个函数，则其中即有奇函数又有偶函数的选法有①②④、①②⑤、①④⑤、②④⑤．故答案为：．解析:，设，∴，数形结合两种情况：①，,代入，此时，，，不符；②，，二次函数如图所示，设，∴，，得．解析:11.①②④12.理解题意等价转化为点集问题，即“平面中有点集，若对于中的任意两点、，线段上的点均属于，则称点集为类集”．举两个例子，左图区域内任选两点所连线段依然在区域内，符合类集定义，而右图并不符合，不妨称符合类集的这种图形为“凸形”．命题①，相当于将“凸形”放大或缩小，变化后还是“凸形”，故①正确；命题②，可以进一步将“凸形”简化为圆，即在圆内，在圆内，的中点轨迹为“凸形”，结合命题①，乘以仍为“凸形”，故②正确；命题③，两个“凸形”的并集不一定为“凸形”，故③错误；命题④，两个“凸形”的交集还是“凸形”，故④ 正确．解析:因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位．故选．解析:由，知：．∵，分类讨论：①当，则，此时，②当，且，即，此时，D 13.A 14.C 15.D 16.（1）（2）③当，且，即时，，，此时，综合有，故正确；．，故正确；．，故成立；．当时，，，故错误；故选．解析:∵，分别为、的中点，∴，在矩形中，，∴，∴、、、四点共面．连结，∵平面，，∴以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示，空间直角坐标系，∴，，，，（1）证明见解析．（2）．17.（1）（2），∴，,∴设与成角为，则，∴，∴．解析:函数，∵,∴，∴．解关于的方程，，则，，解得或，即或．所以，，或．∵函数，①若函数为奇函数，∵，∴，（1），或．（2），为奇函数；时，为偶函数；时，为非奇非偶函数．18.（1）（2）解得．所以当时，为奇函数．②若函数为偶函数，∵，，解得．所以当时，为偶函数．故，为奇函数；时，为偶函数；时，为非奇非偶函数．解析:依据题意：在中，正弦定理：，即，解得，∴救护车到达处需要时间：，火车到达处需要时间：，火车影响道口时间为，，，∴救护车经过会受影响．若选择道口：一共需要花费时间为：，若选择道口：∵，通过道口不受火车影响；一共花费时间为：，由余弦定理求长：，即，∴，，∴选择过道．解析:（1）会受影响，证明见解析．（2）选择过道，证明见解析．19.（1）．（2）．（3）证明见解析．20.（1）（2）（3）抛物线的焦点为，点是第一象限内抛物线上的一点，可设，即，，，又，可得，解得，，即．设，由，，，①，由为等腰三角形，可得在轴上的投影为的中点，即有，且，代入①解得，由，可得．先证由“为弦的中点”可得“直线与抛物线相切”，设直线的方程为，联立抛物线方程，可得，设，，可得，的中点，，直线的斜率为，又，可得，又两边对求导，可得，即，则在处的切线的斜率为，由，可得为抛物线的切线，再证由“直线与抛物线相切”可得“为弦的中点”，设，即的纵坐标为，可得切线的方程为，联立抛物线方程可得，由，整理可得，②，由为的根，可得，③，（1）（2）（3）由②③为同一方程，可得，即，可得为的中点，综上可得“直线与抛物线相切”的一个充要条件是“为弦的中点”．解析:，，，则数列具有性质．证明：由题意可得具有周期性，，则，由具有性质，可得，，运用反证法，若，则，令，则（当时，，则当，则），与矛盾，可得，又，具有成立．由题意，可设的前项和为，的前项和为，无穷数列具有性质，可得，，其中含有项奇数项，项偶数项，有，其中含有项奇数项，项偶数项，有，（1）具有性质，证明见解析．（2）证明见解析．（3）．21.由性质可得对任意成立，则，满足，即，可得．。
2020杨浦高三一模
学霸推荐学习十法一、听视并用法二、听思并用法三、五到听课法四、符号助记法五、要点记取法六、主动参与法七、听懂新知识法八、目标听课法九、质疑听课法十、存疑听课法2020杨浦高三一模一、填空题1、函数21)(-=x x f 的定义域为 。
2、关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=-0312y x y x 的增广矩阵为 。
3、已知函数)(x f 的反函数x x f 21log )(=-，则=-)1(f 。
4、设R a ∈，i a a a )1(22++--为纯虚数（i 为虚数单位），则a= 。
5、已知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为 。
6、已知7)1(+ax 二项展开式中3x 的系数为280，则实数a= 。
7、椭圆14922=+y x 的焦点为21F F 、，P 为椭圆上一点，若5||1=PF ，则=∠21cos PF F 。
8、已知数列}{n a 的通项公式为)()3(21)2(1*-∈⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=N n n n n a n n ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，则=∞→n n S lim 。
9、在直角坐标平面xOy 中，A （-2,0），B （0,1），动点P 在圆C ：222=+y x 上，则PB PA ⋅的取值范围为 。
10、已知六个函数：①21xy =；②x y cos =；③21x y =；④x y arcsin =；⑤)11lg(x x y -+=；⑥1+=x y 。
从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有 种。
11、已知函数)0(|11|)(>-=x xx f ，若关于x 的方程032)()]([2=+++m x mf x f 有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为 。
12、向量集合}),,(|{R y x y x a a S ∈==、，对于任意S ∈、，以及任意)1,0(∈λ，都有S a ∈-+λλ)1(，则称S 为“C 类集”，现有四个命题：①若S 为“C 类集”，则集合},|{R S a a M ∈∈=μμ也是“C 类集”；②若S ，T 都是“C 类集”，则集合},|{T S M ∈∈+=也是“C 类集”；③若21,A A 都是“C 类集”，则集合21A A Y 也是“C 类集”；④若21,A A 都是“C 类集”，且交集非空，则集合21A A I 也是“C 类集”；其中正确的命题有 （填所有正确命题的序号）。
上海市杨浦区2020届高三数学上学期学科测试试题 文 沪教版
杨浦区2020学年度高三学科测试数学试卷（文科）考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．计算：=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→321n n lim n ． 2．不等式01<-x x的解集是 ．3．若全集U R =，函数xy 3=的值域为集合A ，则=A C U .4．若圆锥的母线长=l )(5cm ，高)(4cm h =，则这个圆锥的体积等于()3cm . 5．在4)1(x x +的二项展开式中，2x 的系数是 （结果用数字作答）.6．若()x f y =是R 上的奇函数，且满足()()x f x f =+4，当()2,0∈x 时，()22x x f =则()=7f .7．若行列式11212=-x x ，则=x ．8．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．恰含1件二等品的概率是 ．（结果精确到0.01）9．某学校对学生进行该校大型活动的知晓情况分层抽样调查．若该校的高一学生、高二学 生和高三学生分别有800人、1600人、1400人．若在高三学生中的抽样人数是70，则在高二学生中的抽样人数应该是 ．10.根据如图所示的某算法程序框图，则输出量y 与输入量x 之间满足的关系式是 ．11.若直线1:=+by ax l 与圆1:22=+y x C 相切， 则=+22b a ．12.若点P 是椭圆2219x y +=上的动点，定点A 的坐标为(2,0)，则||PA 的取值范围是 ．13.已知0,0>>y x 且112=+y x ,若m m y x 222+>+恒成立,则实数m 的 取值范围是 ． 14.设函数()2()log 21x f x =+的反函数为=y 1()-f x ，若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，则实数m 的取值范围是 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．下列函数中，既是偶函数，又是在区间()∞+,0上单调递减的函数为 ( )．()A ()x x f 10=. ()B ()3x x f =.()C ()xx f 1lg=.()D ()x x f cos =.16．若等比数列{}n a 前n 项和为aS nn +-=2，则复数i a iz +=在复平面上对应的点位于( )．()A 第一象限 . ()B 第二象限 . ()C 第三象限 . ()D 第四象限 .17．“1-=a ”是“函数()ax x f +=在[)∞+,3上单调增函数”的 ( )．()A 充分非必要条件. ()B 必要非充分条件. ()C 充要条件.()D 既非充分也非必要条件.18．若21,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A 在双曲线C 上，点M 的坐标为(2，0)，AM 为21AF F ∠的平分线．则2AF 的值为 ( )．()A 3 . ()B 6. ()C 9. ()D 27.三．解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分） 已知在正四棱锥P －ABCD 中（如图），高为1 )(cm ，其ABCPD体积为4)(3cm ， 求异面直线PA 与CD 所成角的大小.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分， 第2小题满分7分 ．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()0cos cos 2=--C a A c b . 1. 求角A 的大小；2. 若3=a ，ABC ∆面积为433，试判断ABC ∆的形状，并说明理由.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 若函数()x f y =，如果存在给定的实数对()b a ,，使得()()b x a f x a f =-⋅+恒成立，则称()x f y =为“Ω函数” .1. 判断下列函数，是否为“Ω函数”，并说明理由；①()x x f = ② ()xx f 2=2. 已知函数()x x f tan =是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对()b a ,.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.已知ABC ∆的三个顶点在抛物线Γ:y x =2上运动， 1.求Γ的准线方程；2.已知点P 的坐标为()6,2，F 为抛物线Γ的焦点,求AFAP +的最小值，并求此时A 点的坐标；3.若点A 在坐标原点，BC 边过定点()1,0N , 点M 在BC 上，且 0=⋅， 求点M 的轨迹方程.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知函数()323+=x xx f ，数列{}n a 满足11=a ，()*+∈=N n a f a n n ,1,1. 求2a ，3a ，4a 的值；2. 求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a1是等差数列；3. 设数列{}n b 满足()21≥⋅=-n a a b n n n ，n n b b b S b +⋅⋅⋅++==211,3，若22011-<m S n 对一切*∈N n 成立，求最小正整数m 的值.杨浦区2020学年度高三学科测试参考答案及评分标准一．填空题（本大题满分56分） 2020.12.31 1. 1-；2. 理()1,2-，文()1,0； 3. 理(]1,-∞-，文(]0,∞-；4. π12；5. 理14-，文4；6.2-；7.理0，文1；8.理0.35，文0.30； 9. 80；10.()⎩⎨⎧≤>-=1,21,2x x x x f x； 11.理 P 在圆外，文1；12. 理()2,4-，文⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,22；13. 理⎥⎦⎤⎢⎣⎡53log ,31log 22 ，文()2,4-； 14. 理49，文⎥⎦⎤⎢⎣⎡53log ,31log 22二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. C ； 16. A ； 17. A ； 18.B ；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题19. 【解】 设异面直线PA 与CD 所成角的大小θ， 底边长为a ,则依题意得 41312=⋅⋅a ……4分 故32=a ，62=∴AC()76122==+=∴PA ……7分CD Θ∥AB ，故直线PA 与AB 所成角的大小θ为所求 ……9分721cos =∴θ721arccos=θ ． ……12分（其他解法,可根据上述【解】的评分标准给分） 20.理: （1）【解1】.由⊥ 得 0=⋅ ，故()0cos cos 2=--C a A c b , ……2分 由正弦定理得()0cos sin cos sin sin 2=--C A A C B ……4分()0sin cos sin 2=+-∴C A A B ……5分3,21cos ,0sin ,0ππ=∴=≠<<A A B A Θ ……7分【解2】. 由()0cos cos 2=--C a A c b ，余弦定理得()0222222222=-+--+-ab c b a a bc a c b c b 整理得bc a c b =-+222，212cos 222=-+=∴bc a c b A3,21cos ,0ππ=∴=<<A A A Θ．（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）（2）433sin 21==∆A bc S ABC Θ即34333sin 21=∴=bc bc π ……10分又A bc c b a cos 2222-+=, 622=+∴c b ……12分故()302==∴=-c b c b 所以，ABC ∆为等边三角形． ……14分文:【解1】. 由 ()0cos cos 2=--C a A c b ,由正弦定理得()0cos sin cos sin sin 2=--C A A C B ……4分()0sin cos sin 2=+-∴C A A B ……5分3,21cos ,0sin ,0ππ=∴=≠<<A A B A Θ． ……7分【解2】. 由()0cos cos 2=--C a A c b ，余弦定理得()0222222222=-+--+-ab c b a a bc a c b c b 整理得bc a c b =-+222，212cos 222=-+=∴bc a c b A3,21cos ,0ππ=∴=<<A A A Θ．（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）21. （1）【解】①（理）若()3x x f =是“Ω函数”，则存在实数对()b a ,，使得()()b x a f x a f =-⋅+，即()b x a=-322时，对R x ∈恒成立 ……2分而322b a x -=最多有两个解，矛盾，因此()3x x f =不是“Ω函数” (3)（文）若()x x f =是“Ω函数”，则存在实数对()b a ,，使得()()b x a f x a f =-⋅+，即()b x a=-22时，对R x ∈恒成立 ……2分而b a x -=22最多有两个解，矛盾， 因此()x x f =不是“Ω函数” ……3分② 答案不唯一：如取1,0==b a ，恒有12200=-+x x对一切x 都成立， ……5分即存在实数对()1,0，使之成立，所以，()xx f 2=是“Ω函数”．……6分一般地：若()x x f 2=是“Ω函数”，则存在实数对()b a ,，使得b a x a x a ==⋅-+2222 即存在常数对()aa 22,满足()()b x a f x a f =-⋅+，故()xx f 2=是“Ω函数”．（2）解 函数()x x f tan =是一个“Ω函数”设有序实数对()b a ,满足，则()()b x a x a =+⋅-tan tan 恒成立当Zk k a ∈+=,2ππ时，()()x x a x a 2cot tan tan -=+⋅-，不是常数； ……8分 因此Zk k a ∈+≠,2ππ，当Zm m x ∈+≠,2ππ时，则有b x a xa x a x a x a x a =--=-+⨯+-2222tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan ， ……10分即()0)(tan tan 1tan222=-+-b a x a b 恒成立，所以Zk b k a b a b a a b ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±=⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅1411tan 0tan 01tan 222ππ ……13分当4,,2ππππ±=∈+=k a Z m m x 时，()()()1cot tan tan =-=+⋅-a x a x a满足()x x f tan =是一个“Ω函数”的实数对()Z k k b a ∈⎪⎭⎫⎝⎛±=,1,4,ππ……14分22. 理:（1）【解】由11=a ，()3231+==+n n n n a a a f a 得31,73,53432===a a a ……3分（2）【解】由3231+=+n n n a a a 得 32111=-+n n a a ……8分所以，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a1是首项为1，公差为32的等差数列 ……9分（3）【解】由（2）得()123,31213211+=+=-+=n a n n a n n (10)当2≥n 时 ，⎪⎭⎫⎝⎛+--==-121121291n n a a b n n n ，当1=n 时，上式同样成立， ……12分所以⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=12112912112151313112921n n n b b b S n n 因为22012-<m S n ，所以22012121129-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m n 对一切*∈N n 成立， ……14分又⎪⎭⎫ ⎝⎛+-121129n 随n 递增，且291211lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→n n ，所以2201229-≤m ，所以2021≥m ，2021min =∴m ……16分 文:(1) 【解】. 由y x =2得12=p 所以 准线为41-=y ……3分(2) 【解】. 由y x =2得12=p 所以,焦点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 ……4分 由A 作准线41-=y 的垂线,垂足为Q ,当且仅当三点Q A P ,,共线时,AFAP +的最小值，为425416=+, ……7分此时A 点的坐标为()4,2 ……9分 (3)【解1】设点M 的坐标为()y x ,,BC 边所在的方程为1+=kx y (k 显然存在的), ① ……10分又AM 的斜率为x y ,则有1-=⋅k x y ,既y x k -=代入① ……14分 故M 点轨迹为)0(022≠=-+x y x y (注:没写0≠x 扣1分) ……16分【解2】设点M 的坐标为()y x ,,由BC 边所在的方程过定点)1,0(N , ……10分)1,(,),(y x y x --==Θ ……12分 0=⋅Θ 0=⋅∴,所以, 0)1(=-+⋅-y y x x , 既)0(022≠=-+x y x y ……16分 (注:没写0≠x 扣1分)23. 理:(1) 【解】. 由y x =2得12=p 所以,焦点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 ……3分(2) 【解1】设点M 的坐标为()y x ,,BC 边所在的方程为b kx y +=(k 显然存在的),与抛物线y x =2交于()()2211,,,y x C y x B 则⎩⎨⎧=+=2x y b kx y 得02=--b kx x ,,21k x x =+b x x -=21 ……5分又点C B ,在抛物线Γ上,故有222211,x y x y ==, 2222121b x x y y ==∴022121=+-=+=⋅∴b b y y x x 1=b 或0=b (舍)1+=∴kx y -------① ……7分 又AM 的斜率为x y ,则有1-=⋅k x y ,既y x k -=代入① 故M 点轨迹为)0(022≠=-+x y x y (注:没写0≠x 扣1分) ……9分 另解:由上式①过定点)1,0(P ,)1,(,),(y x y x --==Θ 0=⋅∴,所以, 0)1(=-+⋅-y y x x , 既)0(022≠=-+x y x y 【解2】设点M 的坐标为()y x ,,AB 方程为kx y =,由2π=∠BAC 得AC 方程为x k y 1-=,则⎩⎨⎧==2x y kx y 得()2,k k B , 同理可得⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1k k C∴BC 方程为))(11(222k x k k k k k y -+-=-恒过定点)1,0(P ,)1,(,),(y x y x --==Θ 0=⋅∴,所以, 0)1(=-+⋅-y y x x , 既)0(022≠=-+x y x y (注:没写0≠x 扣1分)（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）(3) 【解1】若存在AB 边所在直线的斜率为2的正三角形ABC ,设),(,),(22q q B p p A , (其中不妨设q p <), 则222=--p q p q , 2=+∴q p ------① ……11分令a AB =,则()()22222a p q p q =-+-,即()()()2222a p q p q p q =-++- 将①代入得,()223a p q =-,()q p a p q <=-∴Θ3 -----------------② ……13分线段AB 的中点为M ,由①, ②得M 的横坐标为222=+q p , M 的纵坐标为()()12214222222a p q p q q p +=-++=+ ……15分 又设()2,1= 由⊥得)23(,2,223123a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±⋅=Θμ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∴21212,22222,221221,2222a a a a a a μμ点C 在抛物线y x =2上,则()()2212166121a a a ±=+μ,即01852=±a a , 又因为0>a ,518=∴a ……18分【解2】 设),(,),(22q q B p p A ,),(2r r C ABC ∆的三边所在直线CA BC AB ,,的斜率分别是p r p r p r r q r q r q q p q p q p +=--+=--+=--222222,, ------① ……12分若AB 边所在直线的斜率为2,AB 边所在直线和x 轴的正方向所成角为()0900,<<x α,则2tan =α,所以()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=+0060tan 60tan ααp r r q ……14分 即536,613260tan tan 160tan tan 613260tan tan 160tan tan 0000=-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=++-=+-=+p q p r r q αααα-----② 又2tan ==+αq p --------------③ ……16分 所以, ()()()()[]2222221p q p q p q p q AB ++-=-+-=将②, ③代入上式得边长518=AB ……18分 （其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）文:（1）【解】由11=a ，()3231+==+n n n n a a a f a 得31,73,53432===a a a ……3分（2）【解】由3231+=+n n n a a a 得 32111=-+n n a a ……8分所以，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项为1，公差为32的等差数列 ……9分 （3）【解】由（2）得()123,31213211+=+=-+=n a n n a n n……11分 当2≥n 时 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==-121121291n n a a b n n n ，当1=n 时，上式同样成立， ……13分 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=12112912112151313112921n n n b b b S n n 因为22012-<m S n ，所以22012121129-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m n 对一切*∈N n 成立， ……16分又⎪⎭⎫ ⎝⎛+-121129n 随n 递增，且291211lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→n n ，所以2201129-≤m ，所以2020≥m ， 2020min =∴m ……18分。
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上海市杨浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析
2019. 12
一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分,共54分)
1. 函数2()f x x =的定义域为______
2. 关于x 、y 的方程组2130
x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为______ 3. 已知函数()f x 的反函数12()log f x x -=，则(1)f -=______
4. 设a ∈R ，2(1)i a a a a --++为纯虚数（i 为虚数单位），则a =______
5. 己知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为______
6. 已知7(1)ax+二项展开式中3x 的系数为280，则实数a =______
7. 椭圆22
194
x y +=焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，若PF =15，则12cos F PF ∠=______
8. 已知数列{n a }的通项公式为1(2)1()32n n n n a n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩(n ∈N *)，n S 是数列{n a }的前
n 项和.则lim n x S →∞
=______ 9. 在直角坐标平面xOy 中，A (-2,0)，B (0,1)，动点P 在圆C ：222x y +=上，则 PA PB ⋅的取值范围为______
10. 已知六个函数：①21y x
=；②cos y x =；③12y x =；④arcsin y x =；⑤1lg()1x y x
+=-；⑥1y x =+.从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的
选法有______种
11. 已知函数1|1()|x
f x =-，（0x >），若关于x 的方程[]2()()230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为______
12. 向量集合S ={(),|,,a a x y x y =∈R }，对于任意α、S β∈,以及任意λ∈(0,1)，都有()12S λαβ+-∈，则称S 为“C 类集”.现有四个命题：
①若S 为“C 类集”，则集合M ={,|a a S R μμ∈∈}也是“C 类集”； ②若S 、T 都是“C 类集”，则集合M ={|,a b a S b T +∈∈}也是“C 类集”； ③若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A 也是“C 类集”；
④若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则1
2A A 也是“C 类集”. 其中正确的命题有______
二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)
13. 已知实数a 、b 满足a b >，则下列不等式中恒成立的是( )
A. 22a b >
B. 11a b
< C. |a ||b |> D. 22a b > 14. 要得到函数2sin(2)3y x π
=+的图象，只要将2sin2y x =的图象( )
A. 向左平移6π个单位
B. 向右平移6
π个单位 C. 向左平移
3π个单位 D. 向右平移3π个单位 15. 设1z 、2z 为复数，则下列命题中一定成立的是( )
A. 如果120z z ->，那么12z z >
B. 如果12z z =，那么12z z =±,
C. 如果12||1z z >，那么12z z >
D. 如果22120z z +=,那么120z z == 16. 对于全集R 的子集A ，定义函数1(()0())A x f x x A A ⎧=∈⎨⎩∈R
为A 的特征函数.设A 、B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是( )
A. 若A B ∈，则()()A B f x f x ≤
B. ()1()A A f x f x =-R
C. ()()()A A B B f x f x f x =⋅
D. ()()()A A B B f x f x f x =+
三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)
17. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，AB =P A =1，AD =3，E 、F 分别为棱PD 、P A 的中点.
(1)求证：B 、C 、E 、F 四点共面；
(2)求异面直线PB 与AE 所成的角.
18. 已知函数()22x x
a f x =+，其中a 为实常数. (1) (0)7f =，解关于x 的方程()5f x =；
(2) 判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.
19. 东西向的铁路上有两个道口A 、B ，铁路两侧的公路分布如图，C 位于A 的南偏西15°，且位于B 的南偏东15°方向，D 位于A 的正北方向，AC =AD =2km ，C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人，发现北偏东45°方向的E 处
(火车头位置)有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60 km /h .
(1) 判断救护车通过道口A 是否会受到火车影响，并说明理由；
(2) 为了尽快将病人送到医院，救护车应选择
A 、
B 中的哪个道口?通过计算说明.
20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，己知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点A 是第一象限内抛物线C 上的一点，点D 的坐标为(,0t )，0t >,
(1)若||5OA =，求点A 的坐标；
(2)若△AFD 为等腰直角三角形，且FAD ∠=90o ，求
点D 的坐标；
(3)弦AB 经过点D ，过弦AB 上一点P 作直线x t =-
的垂线，垂足为点Q ，求证：“直线QA 与抛物线相切” 的一个充要条件是“p 为弦AB 的中点”.
21. 已知无穷数列{n a }的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，均有210n S -≥，20n S ≤,则称数列{n a }具有性质P .
(1) 判断首项为1，公比为2-的无穷等比数列{n a }是否具有性质P ，并说明理由；
(2) 已知无穷数列{n a }具有性质P ，且任意相邻四项之和都相等，求证：40S =；
(3) 已知21n b n =-，n ∈N *,数列{n c }是等差数列，12
2n n n b n a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，若无穷
数列{n a }具有性质P ，求2019c 的取值范围.
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