概率与数理统计 4.5 特征函数.ppt
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概率与数理统计 4.5 特征函数.ppt
类似地有下列若干性质
（1）(t1, t2 , , tn )在 Rn 中一致连续，且
(0, ,0) 1, (t1,t2, ,tn) 1 (t1, t2, , tn) (t1,t2, ,tn)
（2）若 (t1, t2 , , tn ) 为 (X1, X 2, , X n ) 的特征函数，则
Y c1X1 cn X n 的特征函数为
Y (t) (c1t1, c2t2 , , cntn )
（3）若矩
E
(
X
k1 1
X
kn n
)
存在，则
E
(
X k1 1
n
kn
kj
j1
k1 kn f (t1 ,t2 ,
X ) i [ n
t1k1 tnkn
] ,tn ) t1
1, 2 , , n 为复数，则有
nn
(tk tl )kl 0
k 1 l 1
(3) (t) 是连续函数.
注：上述三条性质为特征函数的特征性质， (t )
满足这三条性质，则其必为特征函数。
证明 (1) (t) EeitX 显然有 (0) 1
(2) (t) 非负定，
(1) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为复随机变量,则(X1,Y1) 与(X2,Y2)
独立
Z1, Z2 独立
(2) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为复随机变量,则E Z1 Z2=EZ1 E Z2
Def. 2. 设X为为(, ℱ,Ｐ)概率空间中的实随机变量,其特
征函数(c.d.f.)定义为
1 2
lim lim
y T
随机变量的数字特征与特征函数(课堂PPT)
性4： 质X 若 与 Y独立 EX且 ,EY存在X， 的 Y 则 数学期望
EXY EXEY
注：性质3和4可推广到任意有限个随机变量的场合。
7
性质5，6为不等式→
性5质 ：如 EX 果 2,EY2存在且0,则 不有 等
EXY2 EX2 EY2
柯西-许瓦兹不不等式
性质 6： 若X0，EX存在，则对b任 ，何 有实数 PXbEX
性质4可由契比雪夫不等式推出,见p151
契比雪夫不等式
10
矩→
三、矩
随机变量的矩是常见的数字特征。 数学期望和方差是它的特例。
定义：设X为随机变量，对任意正整数k，分别称
E X k
E X k
E X E X k
K阶原点矩 K阶原点绝对矩 K阶中心矩
EX E X k
K阶中心绝对矩
11
N维随机变量也可以定义其数学期望和方差。 以二维为例,有协方差、相关系数。→
量纲化)的，XDE X X ,YDE Y Y
问：后者能用前者的线性函数 表示吗？近似程度如何？
讨论：设后者能用前者的线性变换表示，其形式为
YD E Y Y tX D E X X 其中t为常数
用所产生的均方差来衡量近似程度。所产生的均方差为
E Y D E Y Y tX D E X X 2 ，定 t,义 则为
三、随机变量函数的数学期望 定理4.1.1
要确定Y=g(X)的数学期望，因Y也是随 机变量，可先确定Y的分布再求Y的均 值，但Y的分布确定比较复杂。可否直 接用X的分布来求Y=g(X)的均值？
(1)设离散型随机变量X的分布律为 P X x p ,k 1 , 2 ,
k
k
又 YgX,若 gxp收敛，则
2019年概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征第一节数学期望.ppt
一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概 率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦 我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把 E[g(X)]计算出来.
三、随机变量函数的数学期望
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的 分布，一般是比较复杂的 . 那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的 分布求得E[g(X)]呢？
于是
1 1 (1 n)n n 1 E(X) k n 2 n 2 k 1
n
二、连续型随机变量的数学期望
定义2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，如
果积分
绝对收敛，则称该积分的值
为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即
如果积分
发散，则称X的数学期
望不存在。
二、连续型随机变量的数学期望
随机变量的数字特征
第一节 数学期望
在第二章中，我们讨论了随机变量及其分布， 如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概 率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确 定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随 机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特 征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字 特征是重要的 . 常用的数字特征：数学期望，方差.
E (5 X ) 5 E ( X ) 5 0.45 2.25 (元).
设寿命 X 服从指数分布, 概率密度为 1 x 10 , x 0, e f ( x ) 10 x 0. 0, 试求该商店一台家用电 器收费 Y 的数学期望.
二、连续型随机变量的数学期望
1 x 10 0.1 1 e 0.0952, dx 解： P{ X 1} e 0 10 2 1 x 10 P{1 X 2} e dx 1 10 e 0.1 e 0.2 0.0861,
三、随机变量函数的数学期望
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的 分布，一般是比较复杂的 . 那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的 分布求得E[g(X)]呢？
于是
1 1 (1 n)n n 1 E(X) k n 2 n 2 k 1
n
二、连续型随机变量的数学期望
定义2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，如
果积分
绝对收敛，则称该积分的值
为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即
如果积分
发散，则称X的数学期
望不存在。
二、连续型随机变量的数学期望
随机变量的数字特征
第一节 数学期望
在第二章中，我们讨论了随机变量及其分布， 如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概 率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确 定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随 机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特 征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字 特征是重要的 . 常用的数字特征：数学期望，方差.
E (5 X ) 5 E ( X ) 5 0.45 2.25 (元).
设寿命 X 服从指数分布, 概率密度为 1 x 10 , x 0, e f ( x ) 10 x 0. 0, 试求该商店一台家用电 器收费 Y 的数学期望.
二、连续型随机变量的数学期望
1 x 10 0.1 1 e 0.0952, dx 解： P{ X 1} e 0 10 2 1 x 10 P{1 X 2} e dx 1 10 e 0.1 e 0.2 0.0861,
概率论课件 特征函数
e jtX cos(tX ) j sin(tX )
(t ) E(e jtX )
cos(tx)dF( x) j sin(tx)dF( x)
e jtX dF ( x)
一、定义及例 1. 特征函数的定义 定义4.1.1 设X 是定义在概率空间(, F , P)上的随机变量, 它 的分布函数为F ( x), 称 e jtX 的数学期望 E(e jtX ) 为X 的特征函数. 有时也称为分布函数 F ( x) 的特征函数, 其中 j 1, t R.
( t ) E( e jtX ) e jtxk pk
k
( t
)
e itk
k0
ke
k!
e
（e it ）k
k0 k!
e e eit
e（eit -1）
例4.1.5 设随机变量X 服从 [a,a]的均匀分布, 求其特征函数.
(t) E(e jtX )
记X 的特征函数为X (t), 在不会引起混乱的情况下简写为 (t).
e jtX cos tX j sintX
(t) E(e jtX ) E(cos Xt )+jE(sin Xt )
3. 特征函数的计算 e jtX cos(tX ) j sin(tX )
(t ) E(e jtX )
X的特征函数就是x的函数的期望，此时的函数是 由X 构造出来的复值随机变量的期望。
例4.1.1 设随机变量X 服从退化分布, 即
求X 的特征函数.
P{X c} 1
( t ) E( e jtX ) e jtxk k
特征函数讲解.ppt
| eitx || (eihx 1) | dF ( x)
| (eihx 1) | dF( x) | eihx -1|dF( x) A | (eihx 1) | dF( x)
| x| A
A
2 dF( x) A | (eihx 1) | dF( x)
复随机变量函数的数学期望，设=g(),
E(eit ) E(eitg( ) )
eitg
(
x
)
dF
(
x
)
由此可以引出：
定义4.5.2 若随机变量的分布函数为F ( x),则称
f (t ) E(eit )
eitx
dF
(
x
)
为的特征函数(characteristic function)
| x| A
A
2
dF( x) 2
A hx | sin |dF( x)
| x| A
A
2
由此可以看到，A足够大时，第一部分可以任意
小，h的绝对值足够小时，第二部分也可以任意小.
(3) 性质3 对于任意的正整数n以及任意实数t1, t2 , , tn ,
nn
以及复数1, 2 , n ,成立
eix d x |
|
eix
|d
x
0
0
因而 | ei 1 || |
因此
|
e e i tx1
i tx2
it
ei tx
|
x2
x1
经过交换积分次序我们可以得到
IT
1 2π
高中数学精选概率与统计PPT课件
众数：描述分类变量的中心位置，容易计 算。
23
1. 均值、中位数、众数的特点
b) 综合利用均值和中位数获取样本信 息
如果样本均值大于样本中位数，说明数据 中可能存在较大的极端值。
反之，说明说明数据中存在可能较小的极 端值。
c) 误导：有意仅选取使用中位数或平 均值来描述数据的中心位置。
24
2.
样本标准差的意义和作用。
1. 均值、中位数、众数的特点。 2. 样本标准差的意义和作用。
22
1. 均值、中位数、众数的特点
a) 都用于描述样本的中心位置，有随 机性，随样本容量的增加而稳定于 总体相应的总体特征。
平均数：描述数值变量的中心位置，受样 本中的每一个数据的影响。
中位数：描述数值变量的中心位置，抗 “坏”数据能力强，容易计算。
3
一、与大纲教材的区别
➢ 先讲统计后讲概率 ➢ 先讲古典概型后学排列组合 ➢ 通过案例理解概率统计概念 ➢ 用概率观点解释统计原理 ➢ 增加了随机模拟、几何概型等方面的内容
4
➢ 先讲统计后讲概率
1. 考虑到统计与概率学科发展的历是先有统计，为了研究统计 结论的可信程度问题，概率得到了发展。
2. 考虑到学生的学习心理，统计在前，使得学生在学习统计的 过程中体会随机性，为学习概率知识做铺垫。
•
回归方程：
•
经验回归方程：
由样本数据所估计的回归方程，简称为回归方程。
•
经验回归方程由样本数据所决定。
•
由随机样本数据所得到的经验回归方程具有随机性。
31
这里给出了线性回归中最小二乘 方法的原理，没有给出评价模 型好坏的方法。
向同学们指出选修中将讨论评价 模型的一种方法，为进一步的 学习指明方向。
23
1. 均值、中位数、众数的特点
b) 综合利用均值和中位数获取样本信 息
如果样本均值大于样本中位数，说明数据 中可能存在较大的极端值。
反之，说明说明数据中存在可能较小的极 端值。
c) 误导：有意仅选取使用中位数或平 均值来描述数据的中心位置。
24
2.
样本标准差的意义和作用。
1. 均值、中位数、众数的特点。 2. 样本标准差的意义和作用。
22
1. 均值、中位数、众数的特点
a) 都用于描述样本的中心位置，有随 机性，随样本容量的增加而稳定于 总体相应的总体特征。
平均数：描述数值变量的中心位置，受样 本中的每一个数据的影响。
中位数：描述数值变量的中心位置，抗 “坏”数据能力强，容易计算。
3
一、与大纲教材的区别
➢ 先讲统计后讲概率 ➢ 先讲古典概型后学排列组合 ➢ 通过案例理解概率统计概念 ➢ 用概率观点解释统计原理 ➢ 增加了随机模拟、几何概型等方面的内容
4
➢ 先讲统计后讲概率
1. 考虑到统计与概率学科发展的历是先有统计，为了研究统计 结论的可信程度问题，概率得到了发展。
2. 考虑到学生的学习心理，统计在前，使得学生在学习统计的 过程中体会随机性，为学习概率知识做铺垫。
•
回归方程：
•
经验回归方程：
由样本数据所估计的回归方程，简称为回归方程。
•
经验回归方程由样本数据所决定。
•
由随机样本数据所得到的经验回归方程具有随机性。
31
这里给出了线性回归中最小二乘 方法的原理，没有给出评价模 型好坏的方法。
向同学们指出选修中将讨论评价 模型的一种方法，为进一步的 学习指明方向。
概率论与数理统计第四章 数字特征
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .
0.2 0.1
0.1 0 0.3 0.1 0.1 0.1
二、连续型随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在 数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …,则X落在小区 间[xi, xi+1)的概率是
xi 1
xi
f ( x )dx
阴影面积近似为
f ( xi )xi
f ( xi )( xi 1 xi )
f ( xi )xi
小区间[xi, xi+1)
由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi, xi+1)中的值
可以用xi来近似代替.
因此X与以概率 f ( xi )xi 取值xi的离散型r.v 近似, 该离散型r.v 的数学 期望是 阴影面积近似为 f ( xi )xi
x f ( x )x
3 E ( XY ) 0.2 0.1 ( 0.2) 0.2 0.3 0.2 0.3 0.1 0
0.2 0.1 0.1 0.1 0 0.1
解二：E( X )
i
x p
i j
ij
1 (0.2 0.1 0.1) 2 (0.1 0 0.1) 3 (0 0.3 0.1) 2
请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .
0.2 0.1
0.1 0 0.3 0.1 0.1 0.1
二、连续型随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在 数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …,则X落在小区 间[xi, xi+1)的概率是
xi 1
xi
f ( x )dx
阴影面积近似为
f ( xi )xi
f ( xi )( xi 1 xi )
f ( xi )xi
小区间[xi, xi+1)
由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi, xi+1)中的值
可以用xi来近似代替.
因此X与以概率 f ( xi )xi 取值xi的离散型r.v 近似, 该离散型r.v 的数学 期望是 阴影面积近似为 f ( xi )xi
x f ( x )x
3 E ( XY ) 0.2 0.1 ( 0.2) 0.2 0.3 0.2 0.3 0.1 0
0.2 0.1 0.1 0.1 0 0.1
解二：E( X )
i
x p
i j
ij
1 (0.2 0.1 0.1) 2 (0.1 0 0.1) 3 (0 0.3 0.1) 2
请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立
概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征
k
到最小值．此时得到最好的分组方法．
若 N 1000 ，此时以 k 4 分组，则按第二种方案平均只 需化验
1 4 1000 1 0.9 594 (次 )， 4
这样平均来说，可以减少 40%的工作量．
2014年8月30日星期六
13 / 102
§4.1 数学期望
解 : E ( X ) 1 p 0 (1 p ) p ．
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7 / 102
§4.1 数学期望
[ 例 1-3] 设 随 机 变 量 X ~ B (n, p ) ， 求 E ( X ) ．
解 由于随机变量 X 只取有限个值，所以 E ( X ) 一定存 在．而
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10 / 102
§4.1 数学期望
解 各人的血呈阴性反应的概率为 q 1 p ．因而 k 个人的混合血
k k q 1 q 呈阴性反应的概率为 ，而呈阳性反应的概率为 ．
设以 k 个人为一组时，组内每人化验的次数为 X ，则 X 是 一个随机变量，其分布律为
X
pk
1 x k p k ( 1) ln 2 虽然有 ，但是随机变量 X 的数学期 k k 1 k 1
k
望是不存在的．因为
| x k p k |
k 1
1 ． k 1 k
[例 1-1] 常数 C 数学期望等于它本身，即随机变量 X 是单点分 布， X C 的概率为 1，则 E (C ) C ． [ 例 1-2] 设 随 机 变 量 X 服 从 (0-1) 分 布 ， 求 E ( X ) ．
b
[ 例 1-7]
设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，求 E(X ) ．
到最小值．此时得到最好的分组方法．
若 N 1000 ，此时以 k 4 分组，则按第二种方案平均只 需化验
1 4 1000 1 0.9 594 (次 )， 4
这样平均来说，可以减少 40%的工作量．
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§4.1 数学期望
解 : E ( X ) 1 p 0 (1 p ) p ．
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§4.1 数学期望
[ 例 1-3] 设 随 机 变 量 X ~ B (n, p ) ， 求 E ( X ) ．
解 由于随机变量 X 只取有限个值，所以 E ( X ) 一定存 在．而
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§4.1 数学期望
解 各人的血呈阴性反应的概率为 q 1 p ．因而 k 个人的混合血
k k q 1 q 呈阴性反应的概率为 ，而呈阳性反应的概率为 ．
设以 k 个人为一组时，组内每人化验的次数为 X ，则 X 是 一个随机变量，其分布律为
X
pk
1 x k p k ( 1) ln 2 虽然有 ，但是随机变量 X 的数学期 k k 1 k 1
k
望是不存在的．因为
| x k p k |
k 1
1 ． k 1 k
[例 1-1] 常数 C 数学期望等于它本身，即随机变量 X 是单点分 布， X C 的概率为 1，则 E (C ) C ． [ 例 1-2] 设 随 机 变 量 X 服 从 (0-1) 分 布 ， 求 E ( X ) ．
b
[ 例 1-7]
设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，求 E(X ) ．
概率论与数理统计随机变量的数字特征课件
03
通过数值模拟方法可以直观地 展示随机变量的分布情况，帮 助理解概率论与数理统计中的 概念和理论。
06
总结与展望
主要内容回顾
随机变量的概念与分类
常见随机变量的性质与 分布
01
02
03
随机变量的数字特征： 均值、方差、协方差等
04
大数定律和中心极限定 理的应用
存在的问题与不足之处
学生对概念的理解不够深入 ，容易混淆不同概念之间的
掷骰子
假设掷一个六面体的骰子，每个数字出现的概率为1/6。通过数值模拟方法计算在掷n次骰子时，每个 数字出现的次数。
结果解释与讨论
01
对于投掷硬币的实例，当n逐 渐增大时，正面和反面出现的 次数逐渐接近，符合理论上的 期望值。
02
对于掷骰子的实例，当n逐渐 增大时，每个数字出现的次数 也逐渐接近理论上的期望值。
相关系数
相关系数是协方差与两个随机变量方差的比值， 用于衡量两个随机变量的线性相关程度。
意义
协方差和相关系数可以反映两个随机变量之间的 线性相关程度，正值表示正相关，负值表示负相 关，值为0表示无关。
03
随机变量的矩与特征
矩的定义
01
矩：对于实随机变量X，其k阶原点矩定义为E[X^k]
，k为非负整数。
概率论与数理统计随机变量 的数字特征课件
目 录
• 随机变量的基本概念 • 随机变量的期望值与方差 • 随机变量的矩与特征 • 随机变量的函数与变换 • 随机变量的数值模拟与实例分析 • 总结与展望
01
随机变量的基本概念
随机变量的定义
定义
设E是随机试验，S是样本空 间，对于E的每一个样本点e ，都有唯一的实数X(e)与之对 应，则称X(e)为随机变量。
大学《概率论与数理统计》课件-第四章随机变量的数字特征
几何分布： ~ () ，() =
.
7
一、随机变量的数学期望——连续型
设连续型随机变量X的概率密度为()，则X的数
学期望(均值)E(X)为
=
+∞
−∞
.
注意：
+∞
要求积分−∞ ||
+∞
若−∞ ||
收敛.
不收敛，则称随机变量X的数学期望不存在.
21
数学期望公式
离散型
连续型
∞
() =
=
+∞
() = න
−∞
∞
() =
+∞
() = න
−∞
=
∞ ∞
(, ) = , (, ) = න
= =
∞ ∞
=
其他.
=
+∞
=න
−∞
= න ∙ = .
13
三、二维随机变量(X, Y)的函数Z=g(X, Y)的
数学期望
设(, ) 是二维随机变量， = , .
(1) 当(, )为离散型时，其联合分布律为
= , = = , , = , , ⋯，
= (, ) =
+∞ +∞
−∞ −∞
, , .
14
二维随机变量(X, Y)的边缘分布的数学期望
设(, ) 是二维随机变量.
(1) 当(, )为离散型时，其联合分布律为
.
7
一、随机变量的数学期望——连续型
设连续型随机变量X的概率密度为()，则X的数
学期望(均值)E(X)为
=
+∞
−∞
.
注意：
+∞
要求积分−∞ ||
+∞
若−∞ ||
收敛.
不收敛，则称随机变量X的数学期望不存在.
21
数学期望公式
离散型
连续型
∞
() =
=
+∞
() = න
−∞
∞
() =
+∞
() = න
−∞
=
∞ ∞
(, ) = , (, ) = න
= =
∞ ∞
=
其他.
=
+∞
=න
−∞
= න ∙ = .
13
三、二维随机变量(X, Y)的函数Z=g(X, Y)的
数学期望
设(, ) 是二维随机变量， = , .
(1) 当(, )为离散型时，其联合分布律为
= , = = , , = , , ⋯，
= (, ) =
+∞ +∞
−∞ −∞
, , .
14
二维随机变量(X, Y)的边缘分布的数学期望
设(, ) 是二维随机变量.
(1) 当(, )为离散型时，其联合分布律为
《概率论与数理统计课件》 特征函数
n n it k 1
k
it n
．
20
k 1
例 如果我们已知 X ~ N 0, 1 的特征函数是 t e 令Y ~ N
t2 2
，
,
2 ，则 Y X ，因此，
Y t X t e X t
it
eit X t eit e
所以其特征函数
x0 ， x0
x ixt ixt x x t e f x dx e e dx e costxdx i e sin txdx 0 0 0
t it 2 2 i 2 2 1 ． t t
e ihx 1 e
i hx 2 hx i i hx hx hx 2 2 e e 2 sin 2 2 2 ha 2 ．
24
所以，对于所有的 t ,
，有
t h t
x a
e
ihx
2 2
dx
e
it
i t
2t 2
2
1 2
it
it
dz e
i t
2t 2
2
．
在计算积分
it
e
z2 2
dz 中，我们用到了复变函数中的围道积分．
12
二．特征函数的性质
13
性质 1 证明：
t 0 1 ．
我们只就 X 是连续型随机变量的情形予以证明． X 是 设 连续型随机变量，其密度函数为 f x ．
t
e ixt f x dx
k
it n
．
20
k 1
例 如果我们已知 X ~ N 0, 1 的特征函数是 t e 令Y ~ N
t2 2
，
,
2 ，则 Y X ，因此，
Y t X t e X t
it
eit X t eit e
所以其特征函数
x0 ， x0
x ixt ixt x x t e f x dx e e dx e costxdx i e sin txdx 0 0 0
t it 2 2 i 2 2 1 ． t t
e ihx 1 e
i hx 2 hx i i hx hx hx 2 2 e e 2 sin 2 2 2 ha 2 ．
24
所以，对于所有的 t ,
，有
t h t
x a
e
ihx
2 2
dx
e
it
i t
2t 2
2
1 2
it
it
dz e
i t
2t 2
2
．
在计算积分
it
e
z2 2
dz 中，我们用到了复变函数中的围道积分．
12
二．特征函数的性质
13
性质 1 证明：
t 0 1 ．
我们只就 X 是连续型随机变量的情形予以证明． X 是 设 连续型随机变量，其密度函数为 f x ．
t
e ixt f x dx
最新文档-概率与数理统计课件-PPT精品文档
x y
已知条件 及检验法
2 x
,
2 y
已知
U 检验法
所用统计量 及其 H 0 成立时的分布
U X Y
2 x
2 y
nx ny
~ N(0, 1)
2 x
,
2 y
未知
但
2 x
2 y
已知
T
检验法
T X Y
S
11 nx ny
~t(nxny2)
备择假设 H1
x y x y x y x y x y x y
2 x
2 y
FF (nx1,ny1)
例题
[例1] 机器包装食盐，每袋净重量 X（单位： g）服从正态分布，
规定每袋净重量为500（g），标准差不能超过10（ g）。某天开工
后，为检验机器工作是否正常，从包装好的食盐中随机抽取9袋，测
得其净重量为：
497 507 510 475 484 488 524 491 515
2 02
2 12(n)
2 02 2 02 2 02
2 2(n)
2 1 2 /2(n1) 或 2 2/2(n1)
212 (n1)
2 02
2 2(n1)
（3）两个正态总体均值假设检验的方法：
原假设 H0
（1） 设 H 0 ： 5； 0H 0 1 ： 500
由于 2 未知，选统计量 t X 0
S/ n
，在 H 0 成立时，t~t(n1)t(8).
对显著性水平 0.05，查表得 t(n1)t0.02 (85 )2.3.1 2
已知条件 及检验法
2 x
,
2 y
已知
U 检验法
所用统计量 及其 H 0 成立时的分布
U X Y
2 x
2 y
nx ny
~ N(0, 1)
2 x
,
2 y
未知
但
2 x
2 y
已知
T
检验法
T X Y
S
11 nx ny
~t(nxny2)
备择假设 H1
x y x y x y x y x y x y
2 x
2 y
FF (nx1,ny1)
例题
[例1] 机器包装食盐，每袋净重量 X（单位： g）服从正态分布，
规定每袋净重量为500（g），标准差不能超过10（ g）。某天开工
后，为检验机器工作是否正常，从包装好的食盐中随机抽取9袋，测
得其净重量为：
497 507 510 475 484 488 524 491 515
2 02
2 12(n)
2 02 2 02 2 02
2 2(n)
2 1 2 /2(n1) 或 2 2/2(n1)
212 (n1)
2 02
2 2(n1)
（3）两个正态总体均值假设检验的方法：
原假设 H0
（1） 设 H 0 ： 5； 0H 0 1 ： 500
由于 2 未知，选统计量 t X 0
S/ n
，在 H 0 成立时，t~t(n1)t(8).
对显著性水平 0.05，查表得 t(n1)t0.02 (85 )2.3.1 2
概率论与数理统计教程第四章优秀PPT
k1
0.5 npq
np
注 意 点 (2)
中心极限定理的应用有三大类： i) 已知 n 和 y，求概率； ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n .
一、给定 n 和 y，求概率
例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
n
n
p
1
4.2.2 常用的几个大数定律
大数定律一般形式：
若随机变量序列{Xn}满足：
nlim
P
1 n
n
i 1
Xi
1 n
n
E(Xi)
i 1
1
则称{Xn} 服从大数定律.
切比雪夫大数定律
定理4.2.2
{Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共 同的上界，则 {Xn}服从大数定律. 证明用到切比雪夫不等式.
依概率收敛的性质
定理4.3.1 若 Xn P a, Yn P b
则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.
4.3.2 按分布收敛、弱收敛
对分布函数列 {Fn(x)}而言，点点收敛要求太高.
定义4.3.2 若在 F(x) 的连续点上都有
nlim Fn(x) F(x) 则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ，记为
§4.3 随机变量序列的两种收敛性
两种收敛性： i) 依概率收敛：用于大数定律； ii) 按分布收敛：用于中心极限定理.
4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1 (依概率收敛)
若对任意的
>0，有
nlim
P
Yn
Y
1
则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为
大学课件概率论与数理统计第4章随机变量的数字特征
(3) Ef (X) g(X) E[f (X)] E[g(X)]
特别地 E[X Y] E[X] E[Y]
E[aX bY c] aE[X] bE[Y] c
(4) 若X, Y相互独立，则E[XY] E[X] E[Y]
(5) 若a X b,则E[X]存在，且a E[X] b
注：这些性质可以推广到多个随机变量上。
E[X] (1) 125 75 2 15 3 1 17 216 216 216 216 216
由于平均赢利小于0，故这一游戏规则对下注 者是不利的。
离散型随机变量函数的数学期望
已知P( X xk ) pk，当 g( xk ) pk 时，
k
g(X)的数学期望为
E[g(X)] g(xk )P(X xk )
E[ X ] 1 0.910 11（1 - 0.910） 7.513 10
结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数
二、连续型随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在
数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …,则X落在小区
间[xi, xi+1)的概率是
阴影面积近似为
9 P(X 9) 10 P(X 10)
由于打出环数的概率不同，所以不 是1到10的算术平均.
1.离散型随机变量的数学期望
设随机变量X的分布律为 P( X xk ) pk ,
若当 xk pk 时，则称 xk pk 为随机
k
k
变量X的数学期望或均值，记作 E[ X ] ，即有
E[ X ] xk pk xk P(X xk )
均匀分布的期望
例7 设X服从均匀分布，其分布密度为
x
b
[考研数学]概率论和数理统计第四章 随机变量的数字特征课件全面版
![[考研数学]概率论和数理统计第四章 随机变量的数字特征课件全面版](https://img.taocdn.com/s3/m/60b65256fd0a79563d1e7266.png)
为随机变量X的数学期望，简称期望，记为E(X)，即
E(X) xk pk
k1
设 连 续 型 随 X具机 有变 概量 率 f(x)， 密 度
若xf(x)d绝 x 对 收 ,则敛 称 积 x分 f(x)d为 xX的
数
学
期
望E(， X)， 记即 E为 (X)
xf(x)dx
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E(X)是一个实数，形式上是X的可能值的加权 平均数，实质上它体现了X取值的真正平均。又称 E(X)为X的平均值，简称均值。它完全由X的分布 所决定，又称为分布的均值.
上一页 下一页 返回
例1: 某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件 产品有60%的把握按定价售出，20%的把握打折售出 及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品 的利润分别为5元，2元和-4元。问厂家对每件产品可 期望获利多少？
解: 设X表示一件产品的利润(单位：元),X的分布
率为
X 5 2 -4
E (X ) k e ee 2 -4
k ! (k 1 )! 随机变量函数的数学期k 望 ：0
k 1
k 0
设n维随机变量(X1,X2,···Xn) 的1+1阶混合中心矩
6第元四，E 章还(是随X 有机利变2可量)图的的 数。字E 特征[X(X1)X]E[X(X1)]E(X)
例7： 设圆的直径X～U(a,b)，求圆的面积的期望。
P X k 2 -4
第四节 矩、协方差矩阵 随机变量数学期望的性质：
k !
k0 ,1 ,2 , ,0
若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为
设n维随机变量(X1,X2,·· ·Xn) 的1+1阶k 混合 中心矩
《概率论与数理统计》45 特征函数(37P)
E(eit ) E(eitg( ) )
e itg (
x)
dF
(
x)
由此可以引出：
定义4.5.2 若随机变量的分布函数为F ( x),则称
f (t ) E(eit )
eitx
dF
(
x
)
为的特征函数(characteristic function)
由于 | eitx || cos tx i sin tx | 1,因而此积分是绝 对收敛的，因而对一切t都有意义.
k 1 j1
n
n
{
ei(tk
t
j
)
x
d
F
(
x)}k
j
k 1 j1
n
n
{ei(tk t j ) x k j }d F ( x)
k 1 j1
n
(
n
eitk x k )(
eit j x j ) d F ( x)
k 1
j 1
n
2
eitk x k
d F(x) 0
k 1
此性质为特征函数的非负定性.
2. 定义
定义 4.5.1 如果与都是概率空间 (,F,P)上的 实值随机变量，则称=+i的复随机变量.
复随机变量=+i的数学期望为E()=E()+iE()
复随机变量 1, 2 ,
,
相互独立，则
n
E( 1 2 n ) E( 1 )E( 2 ) E( n )
复随机变量函数的数学期望，设=g(),
x2
sin tx e 2
1
x2
t cos tx e 2 d x tf (t)
4. 常见分布的特征函数
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(1) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为复随机变量,则(X1,Y1) 与(X2,Y2)
独立
Z1, Z2 独立
(2) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为复随机变量,则E Z1 Z2=EZ1 E Z2
Def. 2. 设X为为(, ℱ,Ｐ)概率空间中的实随机变量,其特
征函数(c.d.f.)定义为
1, 2 , , n 为复数，则有
nn
(tk tl )kl 0
k 1 l 1
(3) (t) 是连续函数.
注：上述三条性质为特征函数的特征性质， (t )
满足这三条性质，则其必为特征函数。
证明 (1) (t) EeitX 显然有 (0) 1
(2) (t) 非负定，
X (t) EeitX
eitx
dFX
(
x)
Remark1: Euler公式为 eix cosx i sin x
Remark2: 特征函数是关于实变量t的复值函数,由于
| eitx || cos(tx) i sin(tx) | 1, 所以特征函数对一切实
数t 均有意义.
n
பைடு நூலகம்E{
eitk X k
k 1
n l 1
l eitl X }
E
k
n 1
k
eit
k
X
n l 1
eitl X l
0
(3)
(t h) (t)
E{ei(th) X
eitX }
E{eitX (eihX 1)}
e itx (eihx 1)p(x)dx eitx (eihx 1) p(x)dx
D(
x
x1
)
D(
x
x2
)
定理1（逆转公式）设分布函数Ｆ(x)的特征函数为 (t)
且 x1 , x2 为 Ｆ(x)的连续点，则
F
(
x2
)
F
(
x1
)
lim
T
1
2
e e T itx1
itx 2
p(x)dx
T
it
性质5 X (t)为某随机变量X 的特征函数，EX l 存在
则
EX
k
(k X
)
(0)
ik
,
k
1,2,,l
三、逆转公式与唯一性定理
引理1 设 x1 x2 ,
g
(T
,
x,
x1,
x2
)
1
T 0
sin
t
(
x t
x1 )
sin
t(x t
x2
)
dt
则
0，x x1 or x x2
eihx 1 p(x)dx
eihx 1 p(x)dx
eihx 1 p(x)dx
|x|a
|x|a
eihx 1 p(x)dx 2 p(x)dx
|x|a
|x|a
2sin hx p(x)dx 2 p(x)dx
|x|a
2
|x|a
0,
先取定a,使
2 p(x)dx / 2 |x|a
对于
x (a, a) , 取
2a
,当 | h |
时，有
2sin hx | ha | / 2
2
从而
(t h) (t)
从而 (t) 是连续函数.且一致连续。
性质2 (t) 为某随机变量的特征函数，则
nn
nn
(tk tl )kl
Eei(tk tl ) X kl
k 1 l 1
k 1 l 1
nn
E{
e e } itk X itl X kl
k 1 l 1
n
n
E{
eitk X k
l eitl X }
k 1
l 1
EX3 二项分布B（n，p)的特征函数
X (t) ( peit q)n
EX4 均匀分布U（a,b)的特征函数
X
(t )
eibt eiat it(b a)
EX5 Gamma分布 (, ) 的特征函数
X
(t
)
1
it
pX
(x)
(
)
x
lim
T
g
(T
,
x,
x1,
x2
)
1/ 2, x 1, x1
x
x1, or x2
x
x2
证明: 根据Dirichlet积分：
1/ 2, 0
D( ) 1
0
s in t
t
dt
0,
1/
0
2,
0
lim
T
g
(T
,
x,
x1,
x2
)
§ 4.5 特征函数
一、概念
Def. 1. 设X,Y 为(, ℱ,Ｐ)概率空间中的两个实随机变量,
则称Z=X+iY 复随机变量, i2=-1. 性质1 Z=X+iY 为复随机变量,则EZ=EX+iEY
性质2 Z=X+iY为复随机变量，对其进行研究等价于研究
二维r.v. (X, Y) , 有如下性质：
(t) (0) 1 (t) (t) 性质3 (t) 为某随机变量X的特征函数，则Y=c1X+c2
的特征函数为 Y (t) eic2t (c1t)
性质4 X (t),Y (t) 为某随机变量X，Y 的特征函数，
若X，Y 独立，则
X Y (t) X (t) Y (t)
X (t) EeitX
eitx
pX
(x)dx
即为 pX (x) 的Fourier变换.
重要分布的特征函数:
EX1 退化分布I(x-c)的特征函数
X (t) EeitX eict
EX2 0-1分布B（1，p)的特征函数
X (t) EeitX
X (t) peit q
e 1 x
I
(x
0)
EX6 正态分布 N (, 2 ) 的特征函数
it 1 2t 2
X (t) e 2
exp{it
1 2t 2}
2
二、性质
性质1 (t) 为某随机变量的特征函数，则
(1) (0) 1
(2) (t) 非负定，即 n N ,t1,t2 , ,tn R,
Remark3: 特征函数只与分布有关,因此亦称为某分布的 特征函数
•若离散型随机变量X的分布律为 P( X xi ) pi ,i 1,2,
则其特征函数为
X (t) EeitX p jeitx j j 1
•若连续型随机变量X的p.d.f.为 pX (x)
则其特征函数为