概率与数理统计 4.5 特征函数.ppt

eihx 1 p(x)dx
eihx 1 p(x)dx
eihx 1 p(x)dx

|x|a
|x|a
eihx 1 p(x)dx 2 p(x)dx
|x|a
|x|a
2sin hx p(x)dx 2 p(x)dx
|x|a
(t) (0) 1 (t) (t) 性质3 (t) 为某随机变量X的特征函数，则Y=c1X+c2
的特征函数为 Y (t) eic2t (c1t)
性质4 X (t),Y (t) 为某随机变量X，Y 的特征函数，
若X，Y 独立，则
X Y (t) X (t) Y (t)
X (t) EeitX


eitx
dFX
(
x)
Remark1: Euler公式为 eix cosx i sin x
Remark2: 特征函数是关于实变量t的复值函数,由于
| eitx || cos(tx) i sin(tx) | 1, 所以特征函数对一切实
数t 均有意义.
性质5 X (t)为某随机变量X 的特征函数，EX l 存在
则
EX
k


(k X
)
(0)
ik
,
k
1,2,,l
三、逆转公式与唯一性定理
引理1 设 x1 x2 ,
g
(T
,
x,
x1,
x2
)

1

T 0

sin
t
(
x t

x1 )

sin
t(x t

x2
)
dt
则
0，x x1 or x x2
e 1 x
I
(x

0)
EX6 正态分布 N (, 2 ) 的特征函数
it 1 2t 2
X (t) e 2
exp{it
1 2t 2}
2
二、性质
性质1 (t) 为某随机变量的特征函数，则
(1) (0) 1
(2) (t) 非负定，即 n N ,t1,t2 , ,tn R,
Remark3: 特征函数只与分布有关,因此亦称为某分布的 特征函数
•若离散型随机变量X的分布律为 P( X xi ) pi ,i 1,2,
则其特征函数为

X (t) EeitX p jeitx j j 1
•若连续型随机变量X的p.d.f.为 pX (x)
则其特征函数为
2
|x|a
0,
先取定a,使
2 p(x)dx / 2 |x|a
对于
x (a, a) , 取

2a
,当 | h |
时，有
2sin hx | ha | / 2
2
从而
(t h) (t)
从而 (t) 是连续函数.且一致连续。
性质2 (t) 为某随机变量的特征函数，则
nn
nn
(tk tl )kl
Eei(tk tl ) X kl
k 1 l 1
k 1 l 1
nn
E{
e e } itk X itl X kl
k 1 l 1
n
n
E{
eitk X k
l eitl X }
k 1
l 1
1, 2 , , n 为复数，则有
nn
(tk tl )kl 0
k 1 l 1
(3) (t) 是连续函数.
注：上述三条性质为特征函数的特征性质， (t )
满足这三条性质，则其必为特征函数。
证明 (1) (t) EeitX 显然有 (0) 1
(2) (t) 非负定，
§ 4.5 特征函数
一、概念
Def. 1. 设X,Y 为(, ℱ,Ｐ)概率空间中的两个实随机变量,
则称Z=X+iY 复随机变量, i2=-1. 性质1 Z=X+iY 为复随机变量,则EZ=EX+iEY
性质2 Z=X+iY为复随机变量，对其进行研究等价于研究
二维r.v. (X, Y) , 有如下性质：

n
E{
eitk X k
k 1
n l 1
l eitl X }
E

k
n 1
k
eit
k
X
n l 1
eitl X l
ຫໍສະໝຸດ Baidu

0

(3)
(t h) (t)

E{ei(th) X
eitX }
E{eitX (eihX 1)}
e itx (eihx 1)p(x)dx eitx (eihx 1) p(x)dx

lim
T
g
(T
,
x,
x1,
x2
)

1/ 2, x 1, x1
x
x1, or x2
x

x2
证明: 根据Dirichlet积分：
1/ 2, 0
D( ) 1

0
s in t
t
dt

0,
1/
0
2,

0
lim
T
g
(T
,
x,
x1,
x2
)

(1) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为复随机变量,则(X1,Y1) 与(X2,Y2)
独立
Z1, Z2 独立
(2) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为复随机变量,则E Z1 Z2=EZ1 E Z2
Def. 2. 设X为为(, ℱ,Ｐ)概率空间中的实随机变量,其特
征函数(c.d.f.)定义为
EX3 二项分布B（n，p)的特征函数
X (t) ( peit q)n
EX4 均匀分布U（a,b)的特征函数
X
(t )

eibt eiat it(b a)
EX5 Gamma分布 (, ) 的特征函数

X
(t
)

1

it


pX
(x)

(
)
x
X (t) EeitX


eitx
pX
(x)dx
即为 pX (x) 的Fourier变换.
重要分布的特征函数:
EX1 退化分布I(x-c)的特征函数
X (t) EeitX eict
EX2 0-1分布B（1，p)的特征函数
X (t) EeitX
X (t) peit q
D(
x

x1
)

D(
x

x2
)
定理1（逆转公式）设分布函数Ｆ(x)的特征函数为 (t)
且 x1 , x2 为 Ｆ(x)的连续点，则
F
(
x2
)

F
(
x1
)

lim
T
1
2
e e T itx1
itx 2
p(x)dx
T
it