二元一次方程组的解有三种不同情况唯一解,无解,无穷多解,
二元一次方程的有关概念
二元一次方程的有关概念
二元一次方程是形如ax + by = c的方程，其中a、b、c是已知常数，x、y是待求变量。
以下是有关二元一次方程的一些概念解释：
1. 解：解是指满足方程的变量值，即x和y的值。
对于二元一次方程，通常有唯一解、无解或无穷多解三种情况。
2. 消元法：消元法是求解二元一次方程的一种常用方法。
通过消去其中一个变量，得到一个只含有另一个变量的一元一次方程，从而求出该变量的值。
3. 图形解法：二元一次方程可以表示平面上的一条直线，在坐标系中画出该直线可以帮助我们理解和解决方程。
方程的解对应于直线与坐标轴的交点。
4. 应用：二元一次方程可以用于描述各种实际问题，如两个变量之间的关系、经济分析中的成本与收益、几何问题中的直线和线段等。
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧.docx
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧一、基本定义：二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是 1 的整式方程，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
二、解的情况：二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组 x+y=5 ①6x+13y=89 ②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组 x+y=6①2x+2y=12 ②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解如方程组 x+y=4 ①2x+2y=10 ②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
三、二元一次方程的解法：1、一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：1、代入消元法2、加减消元法3、教科书中没有的几种解法(一 )加减 -代入混合使用的方法.例： 13x+14y=41(1)14x+13y=40(2)解:(2)-(1)得x-y=-1x=y-1(3)把(3) 代入 (1) 得 13(y-1)+14y=41y=2把 y=2 代入 (3) 得 x=1所以 :x=1,y=2特点 :两方程相加减,单个 x 或单个 y,这样就适用接下来的代入消元.(二 )换元法例 3： x:y=1:45x+6y=29令 x=t,y=4t则方程2可写为：5t+6× 4t=2929t=29t=1所以 x=1,y=4四、列方程（组）解应用题（一）、其具体步骤是：⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。
①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法∙二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，叫做方程组的解，即其解是一对数。
∙∙二元一次方程组解的情况：一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程，叫做解方程组。
一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况：1、有一组解。
如方程组:x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2、有无数组解。
如方程组：x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。
3、无解。
如方程组：x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：ax+by=cdx+ey=f当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。
当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。
当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。
∙∙二元一次方程组的解法：解方程的依据—等式性质1．a=b←→a+c=b+c2．a=b←→ac=bc (c>0)一、消元法1）代入消元法用代入消元法的一般步骤是：①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y = ax +b 或x = ay + b的形式；②将y = ax + b 或x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x 或y 值；④将已求出的x 或y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或x = ay + b），求出另一个未知数；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。
例：解方程组：x+y=5①｛6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89即y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7即x=-24/7∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。
二元一次方程组有唯一解,无解,无穷解的条件
二元一次方程组有唯一解,无解,无穷解的条件1. 当二元一次方程组中两个方程的斜率不同时，那肯定就有唯一解啦！就像两个人走不同的路，肯定只会在一个特定的点相遇呀，比如方程组 x + y = 5，2x - y = 1。
2. 要是二元一次方程组中两个方程实际上是同一个方程，那不就有无穷解了嘛！这就好像你在同一条路上一直走呀走，有无数个点都符合呀，像 x + y = 2，2x + 2y = 4 不就是这样嘛。
3. 嘿，当二元一次方程组中两个方程表示的直线是平行的，那可就无解啦！这就如同两条平行线，永远不会相交呀，例如 x + y = 3，x + y = 5。
4. 你想想看，如果两个方程能准确地指向一个唯一的解，那不是很神奇吗？就像在茫茫人海中一下子就找到了那个对的人，像 2x + 3y = 8，3x - y = 1 就是这样呀。
5. 要是方程组怎么都找不到一个确定的解，那就是无解呀，这多让人无奈呀！好比一直在黑暗中摸索却找不到出口，比如 x - y = 1，x - y = 2。
6. 哇塞，无穷解就像是拥有了无尽的可能，那感觉多棒呀！就像进入了一个充满宝藏的世界可以随便探索，像 2x + 4y = 6，x + 2y = 3 就是这种呢。
7. 你说，当看到一个方程组能明确地得出一个唯一解，是不是很有成就感呀？就像解开了一个超级难的谜题，像 3x + 2y = 7，x - y = 1 就是例子呀。
8. 哎呀，要是遇到无解的方程组，真的会让人有点小失落呢！就像努力了半天却发现没有结果，像 2x + 2y = 5，x + y = 3 这样的。
9. 当发现方程组有无穷解的时候，是不是会觉得很惊喜呀！好像打开了一扇通往奇妙世界的大门，例如 2x + 2y = 4，x + y = 2 呀。
10. 所以说呀，了解二元一次方程组有唯一解、无解、无穷解的条件真的很重要呢！这能让我们更好地理解数学的奇妙呀！我的观点结论就是：掌握这些条件对于学好二元一次方程组至关重要，能让我们更深入地理解数学的奥秘和乐趣。
二元一次方程的解定义(一)
二元一次方程的解定义(一)二元一次方程的解1. 定义二元一次方程是一个包含两个未知数的一次方程。
一般形式为：ax + by = c，其中 a、b 和 c 分别表示已知系数，x 和 y 表示未知数。
求解二元一次方程即求出使方程成立的 x 和 y 的值。
2. 解的分类根据二元一次方程的解的情况，可以分为以下三种分类：无解的情况当二元一次方程无解时，表示方程所表示的两条直线平行，不会有交点。
这种情况发生的条件是斜率相同但截距不同。
唯一解的情况当二元一次方程有唯一解时，表示方程所表示的两条直线相交于一点，有且只有一个交点。
这种情况发生的条件是斜率不同。
无穷多解的情况当二元一次方程有无穷多解时，表示方程所表示的两条直线重合，有无数个交点。
这种情况发生的条件是斜率相同且截距相同。
3. 解的求解方法求解二元一次方程的一种常见方法是联立消元法，即通过将两个方程联立起来，逐步消去一个未知数，从而得到另一个未知数的值。
另外，还可以使用代入法、加减消元法等方法，根据具体情况选择合适的求解方法。
4. 书籍简介•《高等数学》（作者：郭凯），这是一本经典的数学教材，其中包括了二元一次方程的解的相关内容。
本书详细介绍了解的分类、求解方法以及示例题目，通过理论和实践相结合的方式，帮助读者更好地理解和掌握二元一次方程的解的知识。
•《线性代数与解析几何》（作者：李尚志），这是一本系统介绍线性代数和解析几何的教材。
其中涉及了二元一次方程的解的相关概念和求解方法，通过丰富的例题和习题，帮助读者培养解题能力和理解能力，深入掌握二元一次方程的解的知识。
以上书籍都是经典的数学教材，对于学习二元一次方程的解的相关知识非常有帮助。
如果你对二元一次方程的解感兴趣，不妨阅读这些书籍，深入学习和掌握相关知识。
二元一次方程组唯一解 无解 无数解
二元一次方程组唯一解无解无数解《二元一次方程组的解：唯一、无解和无数解》我今天可太想跟你们聊聊数学里的二元一次方程组啦。
你们知道吗，这二元一次方程组就像一个神秘的宝藏世界，有着不同的情况，就像宝藏有的是独一无二的，有的根本不存在，还有的多到数不清呢。
咱们先来说说二元一次方程组有唯一解的情况吧。
我给你们举个例子，就像我和我的小伙伴去买文具。
我买了一支铅笔和一个本子，铅笔的价格是x元，本子的价格是y 元，我一共花了5元钱，那就是x + y = 5。
我的小伙伴呢，他买了两支铅笔和一个本子，一共花了7元钱，那就是2x + y = 7。
这就组成了一个二元一次方程组。
那怎么找到这个唯一的解呢？就像我们在找宝藏的钥匙一样。
我们可以用消元法，把第二个方程减去第一个方程，就得到了x = 2。
然后把x = 2代入第一个方程，就能算出y = 3啦。
这就像我们找到了那个唯一能打开宝藏箱子的钥匙，这个方程组的解就是x = 2，y = 3，是唯一的哦。
这时候的二元一次方程组就像是一个只有一把锁的宝箱，那把钥匙就是唯一的解。
你们想啊，如果我们去商店买东西，价格都是确定的，就像这个方程组的解是确定的一样，不会有第二种情况。
再说说二元一次方程组无解的情况。
我在想啊，就好像我做了一个梦，我在一个奇怪的市场里。
这里说买一个超级大的气球加上一个小风筝要10元钱，就是x + y = 10。
然后又说买一个超级大的气球加上一个小风筝要15元钱，这就是x + y = 15。
这怎么可能呢？一个东西加上另一个东西，不可能一会儿是10元，一会儿是15元啊。
这就像你要找一个根本不存在的宝藏，你按照地图找啊找，结果发现这个地图是骗人的，根本就没有这个宝藏。
在数学里，这两个方程代表的直线是平行的，就像两条永远不会相交的铁轨，没有交点就意味着没有解。
我当时在梦里就觉得好困惑啊，我就想这怎么回事呢？就像你满心期待地去找宝藏，结果发现是一场空，这种感觉可真不好。
七年级数学培优(十三)——二元一次方程组解法
十三 二元一次方程组能力提升知识提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解.（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时,方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行.3． 求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数）,再解含待定系数的不等式或加以讨论。
(见例2、3）例题① 例1. 选择一组a ，c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 1.有无数多解， 2。
无解， 3.有唯一的解例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数?例3. m 取何整数值时,方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？二元一次方程组的特殊解法1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法.这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元"转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想. 2、灵活消元（1）整体代入法 （2)先消常数法1. 解方程组y x x y +=+-=⎧⎨⎪⎩⎪14232312。
解方程组433132152x y x y +=<>-=<>⎧⎨⎩ （3）设参代入法 (4)换元法3. 解方程组x y x y -=<>=<>⎧⎨⎩321432::4. 解方程组()()x y x y x y x y +--=+=-⎧⎨⎪⎩⎪23634(5)简化系数法5. 解方程组43313442x y x y -=<>-=<>⎧⎨⎩课堂练习1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况：① ⎩⎨⎧=-=-96332y x y x ②⎩⎨⎧=-=-32432y x y x ③⎩⎨⎧=-=+153153y x y x 2． a 取哪些正整数值,方程组⎩⎨⎧=--=+a y x a y x 24352的解x 和y 都是正整数？3． 要使方程组⎩⎨⎧=-=+12y x k ky x 的解都是整数, k 应取哪些整数值?4． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三,鸡雏三,值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母,鸡雏都买，可各买多少？5． 小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和是242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和是341，正确的结果是多少？。
二元一次方程组的解法3种
二元一次方程组的解法3种一、图解法图解法主要是通过绘制方程的直线图来求解方程组的解。
1.如果方程组的两个方程相交于一点，则该点就是方程组的解。
2.如果两个直线平行，则方程组无解。
3.如果两个直线重合，则方程组有无穷多解。
对于二元一次方程组，有以下三种情况的图解法：1.两直线相交于一点例如，解方程组：2x+3y=74x-y=31.1首先将两个方程转化成一般式：2x+3y-7=04x-y-3=01.2然后绘制两个方程的直线图。
在坐标系上选取适当的尺度和范围，选择一些点，计算方程的值，然后连接这些点，画出两条直线。
1.3观察两条直线是否相交于一点。
如果相交于一点，则该点即为方程组的解。
2.两直线平行例如，解方程组：2x+3y=74x+6y=142.1将两个方程转化成一般式：2x+3y-7=04x+6y-14=02.2绘制两个方程的直线图。
2.3观察两条直线是否平行。
如果平行，则说明方程组无解。
3.两直线重合例如，解方程组：2x+3y=74x+6y=143.1将两个方程转化成一般式：2x+3y-7=04x+6y-14=03.2绘制两个方程的直线图。
3.3观察两条直线是否重合。
如果重合，则说明方程组有无穷多解。
二、代入法代入法是通过将一个方程的解代入另一个方程，得到一个只含有一个未知数的方程，从而解出另一个未知数的值，从而求解方程组。
例如，解方程组：2x+y=54x+3y=131.选择一个方程，假设解方程为x=a。
2.将x=a代入另一个方程中，得到只含有一个未知数y的方程。
3.解出y的值。
4.将解得的y值代入已知的其中一个方程中，解出x的值。
代入法的优点是简单易懂，但在一些复杂的方程组中，会比较繁琐。
三、消元法消元法是通过构造一个等价的方程组，通过消除一个未知数，从而求解方程组。
例如，解方程组：2x+3y=74x-y=31.构造等价的方程组：2x+3y=7(1)8x-2y=12(2)2.通过线性组合将方程(2)消除一个未知数。
二元一次方程组的解有三种不同情况唯一解,无解,无穷多解,
A1x+B1y+C1=0 （1）
A2x+B2y+C2=0
当A1，A2，B1，B2全不为零时
（2）
（1）×B2－（2）×B1得（A1B2－A2B1）x=B1C2－B2C1
讨论：⒈当A1B2－A2B1≠0时，方程组有唯一解
B1C2－B2C1 x = —————— A1B2－A2B1 C1A2－C2A1 y= —————— A1B2－A2B1
⒉当A1B2－A2B1=0， B1C2－B2C1≠0 时，方程组无解 ⒊当A1B2－A2B1=0， B1C2－B2C1＝0 时，方程组有无 穷多解。
上述方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的 什么位置关系？
A1 B1 时，两条直线相交，交点坐标为 当——≠ —— A2 B2 B1C2－B2C1 C1A2－C2A1 （ , ） A1B2－A2B1 A1B2－A2B1
独立 作业
2.两条直线y=kx+2k+1和x+2y-4=0,的交点 在第四象限，则的取值范围是
小结
拓展
方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系？
l1 , l2相交 唯一解 直线l1 , l2解方程组无穷多解 l1 , l2重合 l , l 无解 1 2平行
练一练
④直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0重合，则必 有 （A）A1=A2，B1=B2，C1=C2
A 1 B1 C1 （B） A 2 B2 C2
（C）两条直线的斜率相等截距也相等 （D）A1=mA2，B1=mB2，C1=mC2，（m∈R，且m≠0）
独立 作业
1.求经过原点及两条直线: L1:x-2y+2=0, L2:2x-y-2=0的交点的直线的 方程.
二元一次方程组的解法解析
考点名称：二元一次方程组的解法∙(一)二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，叫做方程组的解，即其解是一对数。
∙∙（二）二元一次方程组解的情况：一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程，叫做解方程组。
一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况：1、有一组解。
如方程组:x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2、有无数组解。
如方程组：x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。
3、无解。
如方程组：x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：ax+by=cdx+ey=f当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。
当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。
当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。
∙∙（三）二元一次方程组的解法：解方程的依据—等式性质1．a=b←→a+c=b+c2．a=b←→ac=bc (c>0)一、消元法：1）代入消元法用代入消元法的一般步骤是：①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y = ax +b 或x = ay + b的形式；②将y = ax + b 或x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x 或y 值；④将已求出的x 或y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或x = ay + b），求出另一个未知数；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。
例：解方程组：x+y=5①｛6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89即y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7即x=-24/7∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。
二元一次方程解的三种情况
二元一次方程解的三种情况大家好！今天我们来聊聊二元一次方程的三种解法。
别担心，这不是数学课上的枯燥内容，而是个有趣的小知识，保证让你眼前一亮！1. 二元一次方程的基本概念首先，咱们得搞清楚什么是二元一次方程。
简单说，就是含有两个变量（通常是x 和y）的方程，其中每个变量的次数都是1。
它的基本形式就是：。
[ ax + by = c ]这里的a、b、c是常数，而x和y就是变量。
1.1 解决方程的方法要解决这个方程，最常用的方法就是代入法和消元法。
代入法就是把一个变量用另一个变量表示出来，然后代入到另一个方程中去解。
而消元法则是通过加减方程，把一个变量“消掉”，留下另一个变量进行求解。
听起来是不是有点像魔法？1.2 方程的解的三种情况好了，我们进入正题，二元一次方程的解有三种情况。
每一种情况都有它自己的“特色”，让我们一个个来看：2. 解的情况2.1 唯一解这就是最常见的一种情况。
假如你有两个方程，它们的交点只有一个，那么这两个方程就有一个唯一解。
这就像两条直线在平面上交汇，交点就是唯一的。
这种情况最简单也最直接，算出来的解就是x和y的具体值。
2.2 无解有时候，你会发现这两个方程就像两条平行线，无论你怎么计算，它们都不会相交。
这就是所谓的“无解”情况。
就像你和朋友在对面玩接力赛，不管你怎么跑，也永远无法碰到一起。
无解的方程就是没有任何满足这两个方程的x和y值。
2.3 无限解还有一种情况是“无限解”，也就是说这两个方程其实是同一条直线，只是换了不同的表达方式。
你可以把这看作是一条直线上的无数个点，都是解。
这种情况下，你可以得到无数对x和y的值，它们都能满足这两个方程。
就像一条笔直的公路，你沿着它走，可以走到任何地方。
3. 实际应用了解了这三种情况，我们来看看它们在实际生活中怎么用。
比如说，你和朋友一起去买水果，买了x公斤苹果和y公斤香蕉，总花费为c元。
如果你知道苹果和香蕉的价格，你就可以利用这些方程来计算每种水果的实际重量。
两条直线的交点坐标
x+2y－1=0， 2x－y－7=0
得
x=3 y= －1
∴这两条直线的交点坐标为（3，-1） 又∵直线x+2y－5=0的斜率是－1/3 ∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
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例1、求经过原点及两条直线L1:x-2y+2=0, L2:2x-y-2=0的交点的直线的方程.
两条直线的交点坐标
(一）新课引入： 二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一
解，无解,无穷多解），同时在直角坐标系中两条 直线的位置关系也有三种情况（相交，平行，重 合），下面我们通过二元一次方程组解的情况来 讨论直角坐标系中两直线的位置关系。
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（二）讲解新课：
①两条直线的交点：
如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0 相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定
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例2、两条直线y=kx+1和7
巩固：
①两条直线x+my+2=0和2x-y+m=0的交点在x轴上，则m
的值是
（A）0 （B）4 （C）±4 （D）以上都不对
②若直线x－y+1=0和x－ky = 0相交，且交点在第二象限，
则k的取值范围是
（A）（-∞，0）
（B）（-∞，0]
（C）（0，1）
（D）（1，＋∞）
③若两直线（3－a）x+4y=4+3a与2x+（5－a）y=7平行，
则a的值是
（A）1或7 （B）7 （C）1 （D）以上都错
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解：解方程组
二元一次方程组的解的唯一性
二元一次方程组的解的唯一性在数学中，方程组是由一组方程组成的集合。
当方程组中的所有方程均满足同时成立时，我们称此方程组有解。
而对于二元一次方程组来说，即由两个二次方程所构成的方程组，其解的唯一性是一个值得探讨的问题。
设二元一次方程组为：\[\begin{align*}a_1x + b_1y &= c_1 \\a_2x + b_2y &= c_2\end{align*}\]其中，$a_1, b_1, c_1, a_2, b_2$和$c_2$是已知的实数系数。
要判断二元一次方程组的解的唯一性，需要考虑以下三种情况：无解、有唯一解、有无穷多解。
首先，我们来探讨二元一次方程组无解的情况。
当两个方程所表示的直线在平面上平行且不重合时，方程组无解。
这意味着两个方程的斜率相等但截距不相等。
换句话说，$a_1 / b_1 = a_2 / b_2$，且$c_1 / b_1 \neq c_2 / b_2$。
图形上可以理解为两条平行线永远不会相交，因此方程组无解。
其次，我们来探讨二元一次方程组有唯一解的情况。
当两个方程所表示的直线在平面上相交于唯一一点时，方程组有唯一解。
即两个方程的斜率不相等，或者斜率相等但截距也相等。
这可以用如下的条件来表示：$a_1 / b_1 \neq a_2 / b_2$，或者$a_1 / b_1 = a_2 / b_2$ 且 $c_1 / b_1 = c_2 / b_2$。
图形上可以理解为两条直线在平面上相交于一个点，因此方程组有唯一解。
最后，我们来探讨二元一次方程组有无穷多解的情况。
当两个方程所表示的直线在平面上重合，即完全重合时，方程组有无穷多解。
这意味着两个方程的斜率相等且截距也相等。
可用以下条件来表示：$a_1 / b_1 = a_2 / b_2$ 且 $c_1 / b_1 = c_2 / b_2$。
图形上可以理解为两条完全相同的直线，因此方程组有无穷多解。
综上所述，二元一次方程组的解的唯一性可以总结为以下几点：- 当两个方程的斜率和截距均不相等时，方程组无解。
二元一次方程解的三种情况
二元一次方程解的三种情况大家好，今天我们来聊聊二元一次方程。
这是数学里的一块基础石头，学好了这部分，后面的内容就会顺畅得多。
别担心，我会用简单的语言和一些生动的例子，让你轻松搞懂。
咱们一起来看看二元一次方程的解有哪三种情况吧！1. 二元一次方程的基本概念在深入之前，咱们先复习一下什么是二元一次方程。
二元一次方程是含有两个变量的方程，并且这两个变量的最高次数是1。
比如这样的方程：( ax + by = c )。
这儿的 (x) 和 (y) 就是变量，而 (a)、(b) 和 (c) 是常数。
1.1. 方程组的定义当我们说“二元一次方程组”时，指的是由两个这样的方程组成的方程组。
形如：[ begin{cases}ax + by = cdx + ey = fend{cases} ]这时候，我们要找的是同时满足这两个方程的 (x) 和 (y) 的值。
1.2. 解的意义这两个方程的解就是 (x) 和 (y) 的值，它们使得两个方程同时成立。
其实，就像找一个恰到好处的钥匙，既能打开第一个锁，也能打开第二个锁。
2. 解的三种情况接下来，我们看看这二元一次方程组的解会有哪三种情况吧。
别急，我会一个一个讲清楚。
2.1. 唯一解首先是唯一解的情况。
想象一下你有两个方程，它们在平面上交于一个点。
这个点就是我们说的“唯一解”。
在这种情况下，方程组中这两个方程是相互独立的，它们有一个交点，这个交点就是我们要求的(x) 和(y) 的值。
简单来说，就是只有一个解决方案，像是找到了一张单独的地图去到达目的地。
举个例子，假设有方程组：[ begin{cases}2x + 3y = 6x y = 1end{cases} ]这两个方程的图像在坐标平面上会交于一个点，这个点的坐标就是唯一解。
2.2. 无解接下来是无解的情况。
这就像你试图用两把不同的钥匙打开两扇不同的门，但结果发现那两扇门根本不会相交，永远无法找到共同的解。
这里的方程组在图上是两条平行线，它们永远不会相交。
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧一、基本定义：二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
二、解的情况：二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
三、二元一次方程的解法：1、一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：1、代入消元法2、加减消元法3、教科书中没有的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例：13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=41y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例3：x:y=1:45x+6y=29令x=t, y=4t 则方程2可写为：5t+6×4t=2929t=29t=1 所以x=1,y=4四、列方程（组）解应用题（一）、其具体步骤是：⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。
①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。
一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
交点坐标与距离公式
问题1：方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系？
l1 , l2相交 唯一解 直线l1 , l2解方程组无穷多解 l1 , l2重合 l , l 无解 1 2平行
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3.3.2
两点间的距离
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两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? (1) x1≠x2, y1=y2 (2) x1 = x2, y1 ≠ y2 (3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
2 2、求过点A（－1,2），且与原点的距离等于 2
的直线方程 .
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小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0
的距离公式是
d=
Ax0 + By0 + C A 2 + B2
当A=0或B=0时,公式仍然成立.
2.两条平行线Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0的距离是
d= C1 - C2 A 2 + B2
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交点
直线P 的方程 0Q
点P 的坐标 0 点P 、Q 之间的距离
0
点Q 的坐标
两点间距离公式
P0Q （P 到 l 的距离） 0
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点到直线的距离
回忆建立两点间的距离公式的过程． 首先求出两条与坐标轴平行的线段的长度，然后利 用勾股定理求出这两点间的距离（斜边长）． y
P2
M2
N2
O
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M1
N1 P 1
x
Q