《定积分的简单应用》ppt课件

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第六节-定积分的应用PPT课件

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A(y)2xytan
2tan yR2y2
V 2tan
R
y
R2y2dy
0
y
o
R (x, y) x
-
练习题
1.求ysix,n y0,0x绕 x 轴和 y 轴旋转一周的旋转体 的体积. 解:由公式有 V x 0 si2x nd 2 x 0 (1 co 2 x)d s x 2 2
-
例20. 求由星形线xaco 3t,syasi3tn0t
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为
A(x)1(R2x2)tan(RxR)
2 利用对称性
V20 R1 2(R 2x2)tan dx
2tanR2x1x3R 2R3 tan
3 03
y
ox
R x
-
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思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ? 提示:
方法2 利用椭圆参数方程
x a cost
y
b sin
t

V2 a y2dx 2
2
ab2sin3tdt
0
0
2ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b =
a
时,
就得半径为a
的球体的体积
4 3
a3 .
-
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例2. 求由曲线 y , 直x 线 及 x轴 所1 围x成的平面图形 绕 轴旋转x一周所生成的旋转体的体积.
例1 由曲线
x2 a2
y2 b2
1
所围图形绕
x
轴旋转而
转而成的椭球体的体积.
y

《定积分课件》课件

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03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分,可以计算出由曲线围成的平面图形的面积,例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外,定积分还可以 用于计算三维物体的体积,例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中,压力分布是深度的函数。通过定积分,我们可以计算任意 深度的压力分布,从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度,理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中,场强是位置的函数。通过定 积分,我们可以计算任意位置的场强,从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫,读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理,将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积,特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积,例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理,通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元,使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分,将一个积 分转化为另一个积分,从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。

定积分的简单应用10789-27页PPT精选文档

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1.7定积分的简单应用
一、教学目标
• 1、进一步体会定积分的几何意义。 • 2、能利用定积分的知识解决曲边图形的面
积、做变速运动的路程、变力做功的问题。
二、复习
1.平面图形的面积:
y yf(x)
y
yf2(x)
A
A
yf1(x)
oa
bx
oa
bx
b
Aa f(x)dx
Aa b[f2(x)f1(x)d ] x
b
s a v(t)dt
v
v v(t)
t
Oa
b
例: 一辆汽车的 速 度 时间曲 线 如图 1 .7 3 所 示 .求 汽 车 在 这 1 m in 行 驶 的 路 程 .
v/m/s
30 A
B
20
10
Ct/s o 10 20 30 40 50 60
图1.73
解 由速度时间曲线可: 知v/m/s
类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b)及x轴所
围成平面图形的面积S。下列面积如何计算?
y yf(x)
y y f(x)
oa
bx
oa c b x
(1)
(2)
(3)
b
(1) Sa f(x)dx
b
(2) Sa f(x)dx
c
b
c
b
( 3 )S | af( x ) d | x cf( x ) d x af( x ) d c x f( x ) dx
由 数k是比变 例系数力 . ,得 W 作 lk 功 x d 1 公 kx2x l 式 1k2lJ.

0
2
克服弹力所作的 1kl功 2 J.为

《定积分的简单应用》课件讲解学习

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0
[解析] v=ddxt=(bt3)′=3bt2, 媒质阻力F阻=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4,其中k为比例常
数,k>0.
当x=0时,t=0,当x=a时,t=ab13,
ds=vdt,故阻力做的功为W阻=
t
kv2·vdt=k
t
v3dt=k
t
0
0
0
(3bt2)3dt=277k3 a7b2.
• [点评] 本题常见的错误是在计算所做的功 时,误将W阻=∫t10F阻ds写为∫t10F阻dt.
(1)P从原点出发,当t=6时,求点P离开原点 的路程和位移;
(2)P从原点出发,经过时间t后又返回原点时 的t值.
• [解析] (1)由v(t)=8t-t2≥0得0≤t≤4, • 即当0≤t≤4时,P点向x轴正方向运动, • 当t>4时,P点向x轴负方向运动. • 故t=6时,点P离开原点的路程
对于已知运动规律求做功的问题,首先确定其运动速 度,进而由 ds=vdt 来确定做功的积分式 W=t Fvdt.
0
6.已知自由落体的速率v=gt,则落体从t= 0到tA=.13gt0t20所走的路程为B(.gt20 )
C.12gt20
D.16gt20
[答案] C
[解析] 如果变速直线运动的速度为v=v(t)(v(t)≥0),
那么从时刻t=a到t=b所经过的路程是bv(t)dt, a

=12gt2t00 =12g(t20-0)=12gt02.故应选C.
7.如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉 长6cm,所耗费的功为
()
A.0.18J
B.0.26J
C.0.12J
D.0.28J
[答案] A

定积分及其应用(高数) PPT课件

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定理2 设 u( x),v( x)在区间[a,b]上有连续的导数,

aabbuuddvvu[uvvba]ba
bb
vvdduu
aa
定积分的分部积分公式
由不定积分的分部积分法 及N--L公式.
类似于不定积分的分部积分法:“反、对、幂、指、三”
(3)重要公式
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 三角函数的定积分公式 周期函数的定积分公式
方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积取负号.
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
2.定积分的性质
性质1
b
a [
f
(
x)
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
性质2
b
a kf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
( k 为常数)
性质3 (区间可加性)
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
区间上的定积分都相等.
例1 设
f
(
x)
2 5
x
0
x
1
,

1 x2
2
0
f
( x)dx.

2
0
f
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
1
2xdx
2
5dx
6.
0
1
例2 求

定积分的简单应用 课件

定积分的简单应用   课件

求变力所做功的步骤 1.根据物理学的实际意义,求出变力 F(x)的表达式. 2.由功的物理意义知,物体在变力 F(x)的作用下,沿力的方向做直线运动, 使物体从 x=a 移到 x=b(a<b),因此,求功之前应求出位移的起始位置与终止位 置. 3.根据变力做功公式 W=bF(x)dx,求出变力 F(x)所做的功.
变力作功问题
探究 一物体在变力 F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与
F(x)成 60°方向做直线运动,则由 x=1 m 运动到 x=3 m 时 F(x)做的功为多少 J.
【提示】
W=3F(x)cos
60°dx=312F(x)dx
1
1
=3112(5-x2)dx=125x-13x3| 31=23(J).
【自主解答】 由 v(t)=8t-2t2≥0,得 0≤t≤4,
即当 0≤t≤4 时,P 点向 x 轴正方向运动,
当 t>4 时,P 点向 x 轴负方向运动.
故 t=6 时,点 P 离开原点的路程为
s=4(8t-2t2)dt-6(8t-2t2)dt
0
4
=4t2-23t340 -4t2-23t364 =1238.
a
[再练一题] 3.在弹性限度内,用力把弹簧从平衡位置拉长 10 cm 所用的力是 200 N, 求变力 F 做的功.
【解】 设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为 F(x)=kx(k>0),
当 x=10 cm=0.1 m 时,F(x)=200 N,
即 0.1k=200,得 k=2 000,故 F(x)=2 000x,
定积分在几何中的应用 定积分在物理中的应用
教材整理 1 定积分与平面图形面积的关系

定积分的简单应用ppt课件

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是由图像在上面的函数减去下面的函数)
17
4.求由曲线y=x2和直线y=x及y=2x所围成的平面图
形的面积.
2 y=x , 解:由 得A(1,1), y=x, 2 y=x , 由 得B(2,4),如图所示所求面 y=2x, 1 1 2 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ 积为S= 02xdx- 0xdx+ 12xdx- 1x dx 1 2 =∫0(2x-x)dx+∫1(2x-x2)dx 1 2 =∫0xdx+∫1(2x-x2)dx
5
提示:能,先求由 x=a,x=b 和 y=f(x)围成的 曲边梯形面积 S1=∫b x=b 和 y af(x)dx,再求由 x=a,
b =g(x)围成的曲边梯形面积 S2=∫a g(x)dx,则所求阴
影部分面积为 S1-S2.
6
三、新课讲解
(一)平面图形的面积 一般地,设由曲线 y=f(x),y=g(x) 以及直线 x=a,x=b 所围成的平面图 形的面积为 S,则
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定积分的简单应用
2
教学目标:
应用定积分的思想方法,解决一 些简单的诸如求曲边梯形面积、变速 直线运动的路程、变力作功等实际问 题.
3
一、复习回顾 1、定积分的几何意义
(1)当f(x) ≥0时,a
b
f ( x)dx
13
3、求由曲线xy=1及直线x=y,y=3所围成平面图形 的面积. [思路点拨] 作出直线和曲线的草图,可将所求图
形的面积转化为两个曲边梯形面积的和,通过计算定 积分来求解,注意确定积分的上、下限.
14
[精解详析]
作出曲线xy=1,直线x源自=y,y=3的草图,所求面积为图中阴影 部分的面积.
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A.
������ ������
������ (������)������������
������ ������
B.| C. D.
������ (������)������������|
������ ������ ������ ( ������ ) ������������ + ������ (������)������������ ������ ������ ������ ������ ������ (������)������������- ������ ������ (������)������������ ������
2
2
因此所求图形的面积为 S=S 曲边梯形 OABC—S 曲边梯形
OABD
=
1 0
������������������-
1 0
������ ������������ = �����
3
2
2
3 2
1
0 3
- ������
1
3
1 2 1 1 0 3 3 3
= - =.
.. 导. 学 固思
分割型图形面积的求解
x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲 ������ 边梯形的面积 S= ������ (������)������������ .
������
问题2 当 x∈[a,b]时,若 f(x)<0,由直线
x=a,x=b(a≠b),y=0 ������和曲线 y=f(x)所围成的曲 边梯形的面积 S= ������ (������)������������ .
计算由直线 y=x-4,曲线 y= 2������以及 x 轴所围成图 形的面积 S.
【解析】(法一)作出直线 y=x-4,曲线 y= 2������ 的草图. ������ = 2������ , 解方程组 ������ = ������-4,
得直线 y=x-4 与曲线 y= 2������ 交点的坐标为(8,4), 直线 y=x-4 与 x 轴的交点为(4,0), 因此所求图形的面积为 S=S1+S2= =
2 1 2 -1 3 1 2 ( 2 ������ -1 2 3
+ 4������ + 2)������������=( ������ 3 +
3 16 3
2
= +2+2+ -2+2= .
.. 导. 学 固思
求不分割型图形的面积
计算由曲线 y =x,y=x 所围成平面图形的面积 S.
������ 2 = ������, 【解析】由题意画出草图,由 2 得交点的 ������ = ������ , 横坐标为 x=0 及 x=1.
( +2)=10- = (m).
2 2 2
3
7 13
4
求由曲线 y=2x2,直线 y=-4x-2,直线 x=1 围成的封闭 图形的面积. 2
【解析】联立 ������ = 2 ������ , 解得直线与抛物线的
������ = -4������-2, 交点横坐标为 x=-1, 2 由曲线 y=2x ,直线 y=-4x-2,直线 x=1 围成的封 闭图形的面积为 2������ + 2������)
不同背景的问题统一到一起的巨大作用和实用价值.
.. 导. 学 固思
实际生活中许多变量的变化是非均匀变化的,如非匀
速直线运动在某时间段内位移;变力使物体沿直线方向移
动某位移区间段内所做的功;非均匀线密度的细棒的质量 等.所有这些问题都可以归结为曲边梯形的面积问题.
.. 导. 学 固思
问题1 当 x∈[a,b]时,若 f(x)>0,由直线
【解析】根据定积分的几何意义可知 D 正确.
.. 导. 学 固思
2
由 y=x2,x=0 和 y=1 所围成的平面图形绕 x 轴旋转所 得的旋转体的体积可以表示为( B ).
A.V=π 0 ( ������ ) ������������ B.V=π C.V=π D.V=π
1 2 2 2 [ 1 -(������ ) ]������������ 0 1 2 2 ( ������ ) ������������ 0 1 2 2 ( 1 ������ )������������ 0 1 2
【解析】由旋转体体积的定积分表示可知 B 正确.
.. 导. 学 固思
3
汽车以 v=(3t+2) m/s 作变速直线运动时,在第 1 s 至 13 第 2 s 间的 1 s 内经过的路程是 m.
【解析】s=
2 1
3������
3 + 2)d������=( ������ 2 2
22 3 + 2������) = ×4+41 2
1 2 4 ( ������ 0 2
+ 4- ������ 2 )������������
2 1 6 3 4 40 0 3
第3课时
定积分的简单应用
.. 导. 学 固思
1.会根据定积分的几何意义建立求简单平面图形面积的
数学模型,并能利用积分公式表进行计算.
2.会根据定积分概念形成过程中的基本思想分析求简单 旋转体的体积问题,建立它的数学模型,并能利用积分公式表 进行计算. 3.通过积分方法解决实际问题的过程,体会到微积分把
������
.. 导. 学 固思
问题3
如图,当 x∈[a,b]时,若 f(x)>g(x)>0 时,由直线 x=a,x=b(a≠b)和曲线 y=f(x),y=g(x)所围成的平面 ������ 图形的面积 S= ������ [ ������(������)-������(������)]������������..
2 2 3 4 0
2������������������ + [
3
8 4 2 8
2������������������= .
3 40
8 ( ������-4)������������] 4
������
3 2
4
+
2 2
������
3 2
8
- (������-4)
2
1
.. 导. 学 固思
(法二)把 y 看成积分变量, 则 S=
问题4
旋转体可以看作是由连续曲线 y=f(x)、直线 x=a、 x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的几 何体,则该旋转体的体积为 V= ������������ ������ [������(������)]2 ������������ .
.. 导. 学 固思
1
用 S 表示图中阴影部分的面积,则 S 的值是( D ).
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