圆锥曲线的经典求法-设而不求

圆锥曲线

设而不求法典型试题

在求解直线与圆锥曲线相交问题，特别是涉及到相交弦问题,最值问题,定值问题的时候，采用“设点代入”(即“设而不求”)法可以避免求交点坐标所带来的繁琐计算，同时还要与韦达定理,中点公式结合起来,使得对问题的处理变得简单而自然,因而在

做圆锥曲线题时注意多加训练与积累.

1.通常情况下如果只有一条直线，设斜率相对容易想一些，或

者多条直线但是直线斜率之间存在垂直，互为相反数之类也可以设斜率需要注意的是设斜率的时候需要考虑：

（1）斜率是否存在

（2）直线与曲线必须有交点也就是判别式必须大于等于0 这种设斜率最后利用韦达定理来计算并且最终消参法，思路清晰，计算量大，特别需要仔细，但是大多也是可以消去高次项，故不要怕大胆计算，最终一定能得到所需要的结果。

2.设点比较难思考在于参数多，计算起来容易信心不足，但是在对于定点定值问题上，只要按题目要求计算，将相应的参数互

带，，然后把点的坐标带入曲线方程最终必定能约分，消去参数。这种方法灵活性强，思考难度大，但是计算简单。

例1：已知双曲线x2-y2/2=1，过点M(1,1)作直线L，使L与已知双曲线交于Q1、Q2两点，且点M是线段Q1Q2的中点，问：这样的直线是否存在？若存在，求出L的方程；若不存在，说明理由。

解：假设存在满足题意的直线L，设Q1(X1,Y1)，Q2(X2,Y2)

代人已知双曲线的方程，得x12-y12/2=1 ①， x22-y22/2=1 ②

②-①，得(x

2-x

1

)(x

2

+x

1

)-(y

2

-y

1

)(y

2

+y

1

)/2=0。

当x1=x2时，直线L的方程为x=1，此时L与双曲线只有一个交点(1,0)不满足题意；

当x1≠x2时，有(y2-y1)/(x2-x1)=2(x2+x1)/(y2+y1)=2.

故直线L的方程为y-1=2(x-1)

检验：由y-1=2(x-1)，x2-y2/2=1，得2x2-4x+3=0,其判别式

⊿=-8 ﹤0，此时L与双曲线无交点。

综上，不存在满足题意的直线

1、设1F 、2F 分别是椭圆22

154

x y +

=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得

|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

2、已知平面上一定点C （4，0）和一定直线P x l ,1:=为该平面上一动点，作l PQ ⊥，垂足为Q ，且0)2)(2(=-+→

--→

--→

--→

--PQ PC PQ PC .

（1）问点P 在什么曲线上？并求出该曲线的方程；

（2）设直线1:+=kx y l 与（1）中的曲线交于不同的两点A 、B ，是否存在实

数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过点D （0，－2）？若存在，求出k

的值，若不存在，说明理由.

3、已知椭圆C 1的方程为14

22

=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；

（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且

l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅（其中O 为原点），求k 的取值范围.

4、已知圆M P N y x M 为圆点定点),0,5(,36)5(:22=++上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足0,2=⋅=.

（I ）求点G 的轨迹C 的方程；

（II ）过点（2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设

,+= 是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.

练习5,已知，椭圆C以过点A（1，3

2

），两个焦点为（－1，0）（1，0）。

（1）求椭圆C的方程；

（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

练习6,已知直线220

x y

-+=经过椭圆

22

22

:1(0)

x y

C a b

a b

+=>>的左顶点

A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S和椭圆C上位于x轴上方的动点，直

线，,

AS BS与直线

10 :

3 l x=

分别交于,

M N两点

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；

练习7．已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两

个动点,O 是坐标原点,向量OA u u u r ,OB uuu r 满足OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r

.设圆C 的方程为 221212()()0x y x x x y y y +-+-+=

(I) 证明线段AB 是圆C 的直径;

(II)当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为25

5

时，求p 的值