2020年中考数学必考34个考点专题13：反比例函数

专题13 反比例函数

1．反比例函数：形如y＝

x

k

（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k、1-

=kx

y。2．图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和y=-x。对称中心是：原点。它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3．性质:（1）当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；（2）当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。5．反比例函数解析式的确定

由于在反比例函数

x

k

y=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

【例题1】（2019山东枣庄）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x轴、y 轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（）

A．1 B．C．D．2

【答案】A

【解析】根据题意可以求得OA和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本题得以解决．专题知识回顾

专题典型题考法及解析

∵等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，AB＝1，

∴∠BAC＝∠BAO＝45°，

∴OA＝OB＝，AC＝，

∴点C的坐标为（，），

∵点C在函数y＝（x＞0）的图象上，

∴k＝＝1

故选：A．

【例题2】（2019湖南郴州）如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y的图象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为．

【答案】8

【解析】∵A、C是两函数图象的交点，

∴A、C关于原点对称，

∵CD⊥x轴，AB⊥x轴，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD，

又∵反比例函数y的图象上，

∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD4＝2，

∴S四边形ABCD＝4S△AOB＝4×2＝8，

故答案为：8．

【例题3】（2019江苏镇江）如图，点A(2，n)和点D是反比例函数y＝m

x

（m＞0，x＞0）图像上的两点，

一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接OA、OD．已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB﹕S△ODE＝3﹕4．

（1）S△OAB＝________，m＝________；

（2）已知点P(6，0)在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标．

【答案】见解析。

【解析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质等，解题的关键是利用反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质．先求出B点纵坐标和A点的横坐标，利用利用三角形面积公式可得△OBA的面积，再根据面积的比较关系求出△ODE的面积，最后根据反比例函数的比例系数的几何意义求出m的值；先由点A在双曲线上，求出A点坐标；再先求出直线AB 的解析式；连接DP，通过条件∠PDE＝∠CBO，∠PED＝∠COB＝90°，得PD∥AB，于是可令直线PD

的解析式为y＝1

2

x＋t，则0＝

1

2

×6＋t，求出PD的解析式；

最后由

1

3

2

8

y x

y

x

⎧

=-

⎪⎪

⎨

⎪=

⎪⎩

解得1

1

8

1

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

，2

2

2

4

x

y

=-

⎧

⎨

=-

⎩

．从而锁定D点的坐标．

（1）∵一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点A，与y轴交于点B，∴B(0，3)，OB＝3．

∵点A(2，n)，

∴

A

y＝2．

∴S△AOB＝1

2

•OB•

A

y＝

1

2

×3×2＝3．

∵S△OAB﹕S△ODE＝3﹕4，∴S△DOE＝4．

∵DE⊥x轴，且点D在双曲线y＝m

x

上，

∴1

2

m＝4．

∵m＞0，

∴m＝8．

（2）如答图，连接PD，

∵点A(2，n)在双曲线y＝8

x

上，

∴2n＝8，n＝4，A(2，4)．

∵一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点A，与y轴交于点B，∴4＝2k＋3．

∴k＝1

2

，直线AB的解析式为y＝

1

2

x＋3．

∵∠PDE＝∠CBO，∠PED＝∠COB＝90°，∴∠DPE＝∠BCO．

∴PD∥AB．

∴令直线PD的解析式为y＝1

2

x＋t，则0＝

1

2

×6＋t．

∴t＝－3，直线PD的解析式为y＝1

2

x－3．

由

1

3

2

8

y x

y

x

⎧

=-

⎪⎪

⎨

⎪=

⎪⎩

解得1

1

8

1

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

，2

2

2

4

x

y

=-

⎧

⎨

=-

⎩

．

∵点D在第一象限，∴D(8，1)．