高等数学数试题(含解答)

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08-09-3
高数A （期中）试卷参考答案
09.4.17
一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．交换积分次序
20242
42
2
d (,)d d (,)d d (,)d y x x y f x y x y f x y x x f x y y +---+=⎰
⎰
⎰⎰⎰
；
2．
设e 10z -=，则Re ln 2z =，Im 2,0,1,2,3
z k k π
π=-
+=±± ；
3．设(,)z z x y =是由方程22()y z xf y z +=-所确定的隐函数，其中f 可微，则全微分
21
d d d 1212f xyf z x y xzf xzf '-=
+''
++；
4．设C 为由x y π+=与x 轴,y 轴围成的三角形的边界,e
d x y
C
s +=⎰
e 2)2π+-
5．设(,)f x y 连续，{
}2
(,)01,0D x y x y x
=≤≤≤≤，且(,)(,)d d D
f x y x y f x y x y
=+⎰⎰
则
1
(,)d d 8
D
f x y x y =
⎰⎰
． 二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）
6．函数22
,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xy
x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩
在点(0,0)处 [ C ]
(A)连续且偏导数存在 (B) 连续但偏导数不存在
(C)不连续但偏导数存在 (D) 不连续且偏导数不存在
7设{
}
22
(,)1D x y x y =+≤,1D 为D 在第一象限部分,则下列各式中不成立的是[ B ] （A
）
1
d 4d D
D x y x y = （B ）1
d d 4d d D
D xy x y xy x y =⎰⎰⎰⎰
（C ）
32()d d 0D
x x y x y +=⎰⎰ （D ）2332
d d d d D
D
x y x y x y x y =⎰⎰⎰⎰ 8设()[0,)f t C ∈+∞,2222
222()()d x y z R I R f x y z v ++≤=
++⎰⎰⎰
,则当0R +→时,()I R [ D ]
（A ）是R 的一阶无穷小 （B ）是R 的二阶无穷小
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（C ）是R 的三阶无穷小 （D ）至少是R 的三阶无穷小 9．设(,)f x y 在原点的某邻域内连续，且2200
(,)(0,0)
lim
01sin cos x y f x y f a x x y y →→-=>+--，则 [ B]
（A ）(,)f x y 在原点处取得极大值 （B ）(,)f x y 在原点处取得极小值 （C ）不能断定(,)f x y 在原点处是否取得极值 （D ）原点一定不是(,)f x y 的极值点 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分) 10．计算二重积分
2223d D
x y x y σ++⎰⎰，其中{}
22
(,)1,1D x y x y x y =+≤+≥. 解 12122220cos sin 23555d d d (cos sin )d 5224D
D x y x y x y x y πσσϕϕϕρπ+++==+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 11．计算曲面积分()d z y A ∑
+⎰⎰
，其中∑是由0,1z z ==与2
221z x y +=+所围成的立体
的表面.
解 2211:0x y z ⎧+≤∑⎨=⎩，2222:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩，22231:01x y z z ⎧+=+∑⎨≤≤⎩，2212
:0
x y D z ⎧≤+≤⎨=⎩
1
2
3
()d d d d d 2d D
z y A z A z A z A z A x y π∑
∑
∑∑∑+==++=+⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
522d 3ππρπ⎫=+=⎪⎭
12．求
2222
d d d d x y z y z x x y z
∑
∧+∧++⎰⎰
，其中∑为圆柱体222
y z R +≤， (0)x R R ≤>的表面，取外侧.
解 2221:y z R x R ⎧+≤∑⎨=-⎩取后侧，2222:y z R x R ⎧+≤∑⎨=⎩取前侧，2223:y z R
x R
⎧+=⎪∑⎨≤⎪⎩取外侧，
{}
(,),zx D z x z R x R =≤≤，
123
22222222222222d d d d d d d d d d x y z y z x R y z R y z y z x
x y z R y z R y z x R ∑
∑∑∑∧+∧∧∧∧=+++++++++⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
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2
2202d 2
zx
D R z x x R π=+=+⎰⎰
13．求由曲面221,1x z y z +=+=和0z =所围成的质量均匀分布的立体的质心坐标. 解 由对称性知0x y ==， 质量120
08d (1)d 2x
m x x y μ
μ=-=⎰
⎰，
对xOy 平面的静力矩2
110
28d d d 3x
x xy M x y z z μ
μ-==
⎰
⎰⎰
， 1
3
xy M z m == 另解 0x y ==，
用切片法(
(2
1
02
1
d 13
d xy z z
M z m
z
μμ=
=
=⎰⎰ 14．已知解析函数()f z 的实部22
(,)2x
u x y xy x y =++,求()f z 的表达式（用变量z 表示）
和(i)f '．
解 ()222222122v u y y y x x y x y ∂∂==-+∂∂++，2
22()y v y x x y ϕ=-++， ()()22222222()2v xy u xy x x x y x y x y ϕ∂∂'=+=-=-+∂∂++，2
()x x C ϕ=--， ()21
()i f z z C z
=
-+， (i)3f '= 另解：因为解析，所以))
(22())(2()(2
2222222y x xy
x i y x x y y iu u z f y x +--+-+=-=' 从而z i z
z f 21)(2
--
='C iz z z f +-=⇒21
)( 四（15）（本题满分8分）求函数2
2
2
23u x y z =++在球面2
2
2
1x y z ++=和平面
0x y +=的交线上的最大值与最小值.
解 首先根据条件得2
2
2
2
2
2
2332333u x y z y x x =++=--=-≤，且在点(0,0,1)±
处，max 3u =，继续由条件得()()22
2
22133
33122
2z u x z z z ⎛⎫-=+=+=+≥ ⎪⎝⎭，且在点
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⎛⎫ ⎪⎝
⎭处，min 32u = 五（16）（本题满分8分）试求过直线20
530
x y x y z +-=⎧⎨---=⎩，且与曲面22z x y =+相切的平
面方程.
解 设过直线20
530x y x y z +-=⎧⎨
---=⎩
的平面方程为(1)(15)230x y z λλλλ++----=，
设切点为000(,,)x y z ，则0000022
000
(1)(15)230(1)
221(2)
115(3)x y z x
y z x y λλλλλλλ
++----=⎧⎪
⎪==⎨+-⎪⎪=+⎩ 由（2），（3）解得00115,22x y λλλλ+-==，22
02(1)(15)4z λλλ
++-=， 代入（1）得2
7810λλ-+=，解得121
1,7
λλ==
，从而两切平面方程分别为 2450x y z ---=和82170x y z +--=。

六（17）（本题满分8分）设0ab ≠,(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且22
2
222
0f f a b x y ∂∂+=∂∂ ,(,)f ax bx ax =，2(,)x f ax bx bx =，求(,)xx f ax bx ，(,)xy f ax bx ，(,)yy f ax bx . 解 对(,)f ax bx ax =的等号两端关于x 求导，得x y af bf a +=，（1） 对2(,)x f ax bx bx =的等号两端关于x 求导，得2xx xy af bf bx +=，（2） 对（1）式的等号两端关于x 求导，得22
20xx xy yy a f abf b f ++=，（3）
从（2），（3）及条件22
2
2220f f a b x y
∂∂+=∂∂解得 (,)0xy f ax bx =，2(,)xx b f ax bx x a =
，2(,)yy a
f ax bx x b
=-
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