动力学的临界和极值问题

动力学的临界和极值问题

教学目标：

教学重点、难点：

新课引入：

教学过程：

一、临界和极值

在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界现象。此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。

在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。这类问题称为临界问题。在解决临界问题时，进行正确的受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。

1、相互接触的物体，它们分离的临界条件是：它们之间的弹力0 N ，而且此时它们的速度相等，加速度相同。

【例】如图，在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板，将薄板上放一重物，并用手将重物往下压，然后突然将手撤去，重物即被弹射出去，则在弹射过程中，（即重物与弹簧脱离之前），重物的运动情况是（ ）

A 、一直加速

B 、先减速，后加速

C 、先加速、后减速

D 、匀加速

【例】如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为0m 的托盘，托盘上有一个质量为m 的木块。用竖直向下的力将原长为0l 的弹簧压缩后突然撤去外力，则m 即将脱离0m 时的弹簧长度为（ ）

A 、0l

B 、()k g m m l +-00

C 、k

mg

l -0 D

、k g m l 00-

【例】如图所示，一细线的一端固定于倾角为︒45的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球。当滑块至少以加速度______=a 向的

左运动时，小球对滑块的压力等于零。当滑块以g

a 2=加速度向左运动时，线的拉力大小______=F 。

答案：g 、mg 5

【例】一个质量为kg 2.0的小球用细线吊在倾角︒=53θ的斜面顶端，如图，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以2/10s m 的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力。

答案：N 83.2、0

【例】如图所示，在倾角为 的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A 、B 。它们的质量分别为A m 、B m ，弹簧的劲度系数为k , C 为一固定挡板。系统

处于静止状态。现开始用一恒力F 沿斜面方向拉物块A 使之向上运动，求物块B 刚要离开C 时物块A 的加速度a 和从开始到此时物块A 的位移d ，重力加速度为g 。

答案：①()A

B A m g m m F a θsin +-=； ②()k

g m m d B A θsin +=

。 【例】如图所示，一根劲度系数为k 质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m 的物体A 。手持一质量为M 的木板B ，向上托A ，使弹簧处于自然长度。现让木板由静止开始以加速度a （g a <）匀加速向下运动，求：

（1）经过多长时间A 、B 分离。

（2）手作用在板上作用力的最大值和最小值。

答案：①()ka

a g m t -=2； ②最大：()()a g m M F -+=；最小：()a g m F -

=。

解：①分离时弹力为0，而且加速度为a ；

②开始运动时力最大：

对系统：()()a m M F g m M +=-+；

AB 分离时力最小：

对B ：ma F mg =-

【例】如图所示，木块A 、B 的质量分别为1m 、2m ，紧挨着并排放在光

滑的水平面上，A 与B 间的接触面垂直于图中纸面且与水平面成θ角，A 与B 间的接触面光滑。现施加一个水平力F 作用于A ，使A 、B 一起向右运动且A 、B 一不发生相对运动，求F 的最大值。

答案：()2

211tan m g m m m F θ+= 【例】如图所示，一质量为m 的物块A 与直立轻弹簧的上端连接，弹簧的下端固定在地面上，一质量也为m 的物块B 叠放在A 的上面，A 、B 处于静止状态。若A 、B 粘连在一起，用一竖直向上的拉力缓慢上提B ，当拉力的大小为mg 5.0时，A 物块上升的高度为L ，此过程中，该拉力做功为W ；若A 、B 不粘连，用一竖直向上的恒力F 作用在B 上，当A 物块上升的高度也为L 时，A 与B 恰好分离。重力加速度为g ，不计空气阻力，求恒力F 的大小。

答案：mg 5.1

解：静止时，对AB ：k

mg x 2=∆； 粘连时，缓慢地提：

对AB ：()mg L x k F 2=-∆+；

又 mg F 5.0=

不粘连，分离时：0=N ；

对B ：ma mg F =-；

对A ：()ma mg L x k =--∆；

由以上各式可得：mg F 5.1=。

【例】如图所示，质量kg m 10=的小球挂在倾角为︒=37α的光滑斜面的固定铁杆上，当小球与斜面一起向右以：（重力加速度为2/10s m g =）

（1）g a 5.01=时，绳子拉力和斜面的弹力大小；

（2）g a 22=时，绳子拉力和斜面的弹力大小。

答案：①N 100 N 50；②N 5100 0

2、绳子的张紧和松驰也会存在着临界问题，此时绳子的张力：0=T 。

【例】如下图所示，两绳系一个质量为kg m 1.0=的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A 、B 两处，上面绳长m L 2=,两绳都拉直时与轴夹角分别为︒30和︒45。问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？