专题05 乘法公式(原卷版)-2020-2021学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练(人教版)
八年级上册数学乘法公式
八年级上册数学乘法公式一、乘法公式的基本内容。
（一）平方差公式。
1. 公式内容。
- (a + b)(a - b)=a^2-b^2。
2. 公式的几何解释（以人教版教材为例）- 我们可以通过一个边长为a的大正方形，在其中一角去掉一个边长为b的小正方形来理解。
- 大正方形的面积是a^2，小正方形的面积是b^2。
- 剩下的图形可以看作是一个长为(a + b)，宽为(a - b)的长方形，其面积为(a +b)(a - b)，所以(a + b)(a - b)=a^2-b^2。
3. 公式的应用示例。
- 例1：计算(3x+2y)(3x - 2y)。
- 解：这里a = 3x，b=2y，根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，可得(3x+2y)(3x - 2y)=(3x)^2-(2y)^2=9x^2-4y^2。
- 例2：计算( - 5m+4n)( - 5m - 4n)。
- 解：a=-5m，b = 4n，则( - 5m+4n)( - 5m - 4n)=(-5m)^2-(4n)^2=25m^2-16n^2。
（二）完全平方公式。
1. 公式内容。
- (a + b)^2=a^2+2ab + b^2；(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。
2. 公式的几何解释（人教版）- 对于(a + b)^2，可以看作边长为(a + b)的正方形的面积。
- 这个正方形的面积可以分成四部分：边长为a的正方形面积a^2，两个长为a宽为b的长方形面积2ab，边长为b的正方形面积b^2，所以(a + b)^2=a^2+2ab +b^2。
- 对于(a - b)^2，可以看作边长为a的正方形去掉两个长为a宽为b的长方形（这两个长方形有一个边长为b的公共部分）后再加上边长为b的正方形的面积，即(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。
3. 公式的应用示例。
- 例1：计算(2x+3y)^2。
- 解：这里a = 2x，b = 3y，根据(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，可得(2x+3y)^2=(2x)^2+2×(2x)×(3y)+(3y)^2=4x^2+12xy + 9y^2。
专题05 轴对称重难点题型分类(原卷版)—八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题05轴对称重难点题型分类-高分必刷题（原卷版）专题简介：本份资料包含《轴对称》这一章除各类压轴题之外的六种主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：轴对称图形、垂直平分线的性质与判定、尺规作图、最短路径问题、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定。
适合于培训机构的老师给学生作培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一轴对称图形1．（2021·湖南）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2021·辽宁）若点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a、b的值为（）A．a=3，b=－5B．a=－3，b=5C．a=3，b=5D．a=－3，b=13.如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（）A．3：55B．8：05C．3：05D．8：554．（2022·浙江）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N 的位置上，若55∠-∠的值为（）∠=︒，则21EFGA．35︒B．40︒C．45︒D．55︒题型二垂直平分线的性质与判定1.垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．2.垂直平分线的性质垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.．3.垂直平分线的判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．5．（2015·湖北）如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）A．8B．9C．10D．116.（2017·湖北）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为()A．30°B．45°C．50°D．75°7．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．60°8．（2021·宁夏）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，9．（2021·北京）如图所示，AD是ABC∠=∠．连结AF，求证：BAF ACF10．（2021·山东）已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PM⊥AC于点M，PN⊥AB交AB延长线于点N，连接PB，PC．求证：BN=CM．11．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．12．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线D交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM＝CN；（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数．13．（2022·广东）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．14．（2019·广东）如图，点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：（1）∠ECD =∠EDC ；（2）OC =OD ；（3）OE 是线段CD 的垂直平分线．题型三尺规作图15．（2022·辽宁）已知在ABC 中，点D 为线段BC 边上一点，则按照顺序，线段AD 分别是ABC 的（）A ．①中线，②角平分线，③高线B ．①高线，②中线，③角平分线C ．①角平分线，②高线，③中线D ．①高线，②角平分线，③中线16．（2022·山东）如图，在ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若ABC 的周长为12，5AB ，则ADC 的周长为（）A ．10B ．9C ．8D ．717．（2022·福建）如图，已知△ABC ．(1)求作BC边上高AD，交BC于点D，∠BAC的平分线AE，交BC于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．(2)若∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数．18．按要求完成下列作图，不要求写作法，只保留作图痕迹．（1）已知：线段AB，作出线段AB的垂直平分线MN．（2）已知：∠AOB，作出∠AOB的平分线OC．19．（2020·北京）如图，已知∠BAC及两点M、N．求作：点P，使得PM＝PN，且P到∠BAC两边的距离相等．题型四最短路径问题=，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，20.（青竹湖）如图，在△ABC中，AB AC则下列线段的长度等于BP EP+最小值的是（）A.BCB.CEC.ADD.AC21．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（）A．40°B．100°C．140°D．50°22．（2020·北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O(0，0)，A(－1，2)，B(2，1)．(1)在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；(2)在x轴上画出点P，使得PA+PB的值最小．23．（北雅）阅读下列一段文字：已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2、y2），其两点间的距离P1P2＝（1）试求A、B两点的距离；（2）在x轴上找一点P（不求坐标，画出图形即可），使PA+PB的长度最短，求出PA+PB的最短长度．（3）在x轴上有一点M，在y轴上有一点N，连接A、N、M、B得四边形ANMB，若四边形ANMB的周长最短，请找到点M、N（不求坐标，画出图形即可），求出四边形ANMB的最小周长．题型五等腰三角形的性质与判定1.定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。
八年级数学上册综合算式专项练习整式的乘法公式
八年级数学上册综合算式专项练习整式的乘法公式整式的乘法公式是数学中非常重要的一部分，它在解决复杂计算和简化表达式中发挥着关键作用。
本文将介绍八年级数学上册综合算式专项练习整式的乘法公式，让我们一起来学习吧！一、加法公式的复习在学习整式的乘法公式之前，我们先来回顾一下加法公式。
对于两个多项式的和，我们将这两个多项式中相同次幂的项的系数相加即可。
具体而言，若有两个多项式A和B，它们的和记作A+B，那么对于相同次幂的项，我们只需要将它们的系数相加即可。
例如，对于多项式A=3x^2+4x+2和多项式B=2x^2+x+1，将它们相加可以得到和S=(3x^2+4x+2)+(2x^2+x+1)=5x^2+5x+3。
二、整式的乘法在加法公式的基础上，我们进一步学习整式的乘法公式。
对于两个多项式的乘积，我们需要将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，并将结果相加。
具体而言，若有两个多项式A和B，它们的乘积记作A*B，那么对于其中的每一项Ai和Bj，我们将它们相乘并将结果相加即可。
例如，对于多项式A=3x^2+4x+2和多项式B=2x+1，将它们相乘可以得到积P=(3x^2+4x+2)(2x+1)。
我们可以按照分配律展开乘积，即P=3x^2(2x+1)+4x(2x+1)+2(2x+1)。
进一步计算，得到P=6x^3+3x^2+8x^2+4x+4x+2=6x^3+11x^2+8x+2。
三、整式的乘法公式举例接下来，我们通过一些例子来进一步巩固整式的乘法公式。
例1：计算多项式A=(x+2)(2x+1)的乘积。
解：根据整式的乘法公式，我们将A展开得到A=x(2x+1)+2(2x+1)=2x^2+x+4x+2=2x^2+5x+2。
例2：计算多项式B=(3x+2)(4x^2+2x+1)的乘积。
解：根据整式的乘法公式，我们将B展开得到B=3x(4x^2+2x+1)+2(4x^2+2x+1)=12x^3+6x^2+3x+8x^2+4x+2=12x^3+14x^2+7x+2。
专题05化简与求值-备战2022年中考数学母题题源解密(全国通用)(原卷版)
专题05 化简与求值考向1 整式的化简与求值【母题来源】2021年中考长沙卷【母题题文】（2021•长沙）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）+2x（2﹣x），其中x．【试题解析】原式＝x2﹣6x+9+x2﹣9+4x﹣2x2＝﹣2x，当x时，原式＝﹣2×（）＝1．【命题意图】运算能力。
【命题方向】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式是解题关键。
【得分要点】整式化简一般会用到的运算法则:(1)乘法公式:平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2;(2)单项式乘以多项式:用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加;(3)多项式乘以多项式:先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加;(4)合并同类项时,只把系数相加减,字母及字母的指数不变.考向2 分式的化简与求值【母题来源】2021年中考鞍山卷【母题题文】先化简，再求值：（），其中a2．【试题解析】．当a2时，原式1．【命题意图】分式；运算能力【命题方向】考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解决本题的关键【得分要点】分式化简求值的一般步骤:(1)有括号的先算括号内的,如括号内是异分母分式的加减运算,应先通分化为同分母分式,再将分子相加减;(2)将除法转化为乘法运算;(3)分式的分子、分母能因式分解的先因式分解,然后约分化简;(4)将所给数值带入求值时,要注意使原分式及化简过程中出现的分式均有意义.1．（2021•义乌市模拟）先化简，再求值：（2x﹣y）2y（3x﹣2y），其中x＝1，y＝2．2．（2021•襄州区二模）先化简，再求值：已知：（x﹣y）2﹣y（x+y）+x2，其中x＝1，y＝1．3．（2021•石景山区二模）已知2x2+3y2＝1，求代数式（2x+y）2﹣4y（x y）的值．4．（2021•门头沟区一模）已知x2+4x﹣1＝0，求代数式（x+2）2﹣（x+3）（x﹣3）+x2的值．5．（2021•铁岭三模）先化简，再求值：（），其中x＝（）﹣2+（π﹣1）0．6．（2021•辽宁模拟）先化简，再求值：，其中x2tan30°．7．（2021•潍城区二模）先化简，再求值：（）÷（x+2），其中x是不等式组的整数解．8．（2021•老河口市模拟）先化简，再求值（2）÷（），其中a，b．9．（2021•苍溪县模拟）先化简：，再从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入求值．10．（2021•金水区校级四模）先化简，再求值：（a），其中a、b满足式子|a﹣2|+（b+1）2＝0．11．（2021•河南模拟）给出三个分式：，，，请你把三个分式（次序自定）填入下列横线上，（+）÷，并化简，求出当x1时的值．12．（2021•河北模拟）规定一种新运算：a☆b＝2a+b2，例如：2☆1＝2×2+12＝4+1＝5．（1）计算：﹣5☆3；（2）若x☆1，求x的值；（3）先化简，再求值：，其中x的值从（1）（2）的计算结果选取．13．（2021•开封一模）下面是某同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．分式化简：．解：原式第一步第二步第三步第四步第五步任务一：填空：第步开始出现错误，这一步错误的原因是．任务二：请写出本题化简后的正确结果，并从不等式组的解集中选取一个合适的整数作为x的值，代入求值．任务三：请你根据平时的学习经验，就分式的化简时应注意的事项给其他同学提两条建议．。
专题05 多项式乘多项式压轴四大类型(原卷版)
专题05 多项式乘多项式压轴四大类型题型一：多项式乘积不含某项求字母的值题型二：多项式乘多项式化简求值问题题型三：多项式乘多项式与图形面积问题题型四：多项式乘多项式与规律探究问题题型一：多项式乘积不含某项求字母的值【典例1】（2023春•江都区期中）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项．（1）求m与n的值．（2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【变式1-1】（2023秋•黑龙江期末）若（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a的值为（）A．0B．2C．D．﹣2【变式1-2】（2023秋•德惠市校级月考）如果计算（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x的一次项，求m的值．【变式1-3】（2022秋•洮北区期末）已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含x2项和常数项．求a，b的值题型二：多项式乘多项式化简求值问题【典例2】（2023秋•镇赉县校级期末）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣（4x3y﹣8xy3）÷2xy，其中x＝﹣1，y＝．【变式3-1】（2022秋•城关区校级期末）先化简，再求值．（a2b﹣2ab﹣b3）÷b﹣（a+b）（a ﹣b），其中，a＝0.5，b＝﹣1．【变式3-2】（2022秋•万州区校级期中）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x＝﹣．【变式3-3】（2023春•道县期中）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（x﹣2）2﹣3x2，其中x＝﹣．题型三：多项式乘多项式与图形面积问题【典例3】（2022春•江北区期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1和S2．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．（1）当a＝9，b＝3，AD＝30时，长方形ABCD的面积是，S1﹣S2的值为；（2）当AD＝40时，请用含a、b的式子表示S1﹣S2的值；（3）若AB长度保持不变，AD变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，当a、b满足什么关系时，S1﹣S2的值与AD的长度无关？【变式3-1】（2022春•乾县期末）如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道．（1）通道的面积是多少平方米？（2）剩余草坪的面积是多少平方米？【变式3-2】（2022春•中原区校级期中）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B 放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求：（1）正方形A，B的面积之和为．（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形个．（3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积．【变式3-3】（2023春）我们知道多项式的乘法，可以利用图形的面积进行解释，如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图1、图2等图形的面积表示．（1）请你写出图3所表示的一个等式：；（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示为（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；（3）请仿照上述方法另写一个只含有a，b的等式，并画出与之对应的图形．题型四：多项式乘多项式与规律探究问题【典例4】（2023春•渠县校级期末）探究应用：（1）计算：（a﹣2）（a2+2a+4）＝．（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上面的乘法计算结果很简洁，聪明的你又可以发现一个新的乘法公式，可以用含a，b的字母表示为．（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是A、（a﹣3）（a2﹣3a+9）B、（2m﹣n）（2m2+2mn+n2）C、（4﹣x）（16+4x+x2）D、（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）直接用公式计算：（3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）＝．【变式4-1】（2023秋•静安区校级月考）探究应用：（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为：．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．【变式4-2】（2023秋•宁津县期末）（a+b）n（n为非负整数）当n＝0，1，2，3，…时的展开情况如下所示：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了（a+b）n展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为（a+b）9展开式中所有项系数的和应该是（）A．128B．256C．512D．10241．已知一个长方形，若它的长增加6cm，宽减少2cm，则面积保持不变；若它的长减少3cm，宽增加2cm，则面积仍保持不变．这个长方形的面积为（）A．12B．24C．36D．722．暑假，小颖所在的生物小组参观了太原植物园，植物园共收集植物3000多种，来自五大洲的20多个国家．在“热带温室”馆中一块长方形土地被分成6块，种植着不同的花卉，六块地的长和宽如图所示，甲、乙、丙、丁四位同学给出了不同的表示该长方形土地面积的多项式：①（2a+b）（m+n）；②2a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn．你认为正确的有（）A．仅①②B．仅③④C．仅①②③D．①②③④3．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（）A．2，8，5B．3，8，6C．3，7，5D．2，6，74．计算：（3a+2b）（a﹣2b）＝．5．（2023春•滁州期末）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2．（1）S1与S2的大小关系为：S1S2（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）若满足|S2﹣S1|＜n≤2023的整数n有且只有2个，则m的值是．6．（2023秋•博兴县期末）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形来解释二项和（a+b）n的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的各项系数．例如三角形第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项（a+b）5的系数，此三角形称为“杨辉三角”．若根据“杨辉三角”的特征写出（a+b）10的展开式，则其第三项的系数为．7．如果计算（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x的一次项，求m的值．8．（2022秋•秦安县期中）若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的乘积中不含x2项和x3项，求m，n 的值．9．（2023秋•右玉县期末）综合与实践如图1，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图2．长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）E．（1）图1中长方形的面积S1＝；图2中长方形的面积S2＝；比较S1S2（选填“＜”、“＝”或“＞”）；（2）现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．①求正方形的边长；（用含m的代数式表示）②试探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，并求出这个常数．10．（2022春•二七区校级期中）探究应用：（1）计算（a+3）（a2﹣3a+9）＝；（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）＝．（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式：（请用含a，b的字母表示）．（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是．A．（a+3）（a2+3a+9）B．（m+2n）（4m2﹣2mn+n2）C．（5+x）（25﹣5x+x2）D．（m+n）（m2﹣2mn+n2）（4）直接用公式计算：（3x+5y）（9x2﹣15xy+25y2）＝．11．（1）填空：（a﹣b）（a+b）＝；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝；…（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝．（2）猜想：（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1）＝（其中n为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）中猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．12．【阅读理解】在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项．例如：A＝5x2﹣7x+2，A经过程序设置得到B＝2×5x﹣7＝10x﹣7．【知识应用】关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知A＝x2﹣x﹣m，根据上方阅读材料，解决下列问题：（1）若B＝3nx﹣m，求m，n的值；。
2020-2021八年级数学上期末试卷附答案
2020-2021八年级数学上期末试卷附答案一、选择题1．风筝会期间,几名同学租一辆面包车前去观看开幕式,面包车的租价为180元,出发时又增加两名同学,结果每人比原来少摊了3元钱车费，设前去观看开幕式的同学共x人，则所列方程为（）A．18018032x x-=+B．18018032x x-=+C．18018032x x-=-D．18018032x x-=-2．运用图腾解释神话、民俗民风等是人类历史上最早的一种文化现象. 下列图腾中，不是轴对称图形的是（）A．B． C．D．3．下列运算中，结果是a6的是( )A．a2•a3B．a12÷a2C．(a3)3D．(﹣a)64．把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（）A．a=2，b=3B．a=-2，b=-3C．a=-2，b=3D．a=2，b=-35．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，DE平分∠ADB，则∠B=（）A．40°B．30°C．25°D．22.5〫6．如果2x+ax+1 是一个完全平方公式，那么a的值是（）A．2 B．－2 C．±2 D．±17．如图，若x为正整数，则表示()2221441xx x x+-+++的值的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④8．如图，已知∠ACB＝∠DBC，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A ．∠ABC ＝∠DCBB ．∠ABD ＝∠DCAC ．AC ＝DBD ．AB ＝DC 9．若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）A ．6B ．12C ．16D ．18 10．如图， BD 是△ABC 的角平分线， AE ⊥ BD ，垂足为F ，若∠ABC ＝35°，∠ C ＝50°，则∠CDE 的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°11．如果一个多边形的每个内角的度数都是108°，那么这个多边形的边数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．612．如图，AB ∥CD ，BC ∥AD ，AB=CD ，BE=DF ，图中全等的三角形的对数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题13．分解因式：3327a a -=___________________.14．如图，已知AB ∥DE ，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=_____．15．若分式242x x -+的值为0，则x ＝_____．16．若a+b=5，ab=3，则a 2+b 2=_____．17．若m 为实数，分式()22x x x m ++不是最简分式，则m =______.18．已知a +b ＝5，ab ＝3，baa b +＝_____．19．若n 边形内角和为900°，则边数n= ．20．若分式的值为零，则x 的值为________．三、解答题21．(1)分解下列因式，将结果直接写在横线上：x 2+4x+4＝ ，16x 2+24x+9＝ ，9x 2﹣12x+4＝(2)观察以上三个多项式的系数，有42＝4×1×4，242＝4×16×9，(﹣12)2＝4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax 2+bx+c(a ＞0)是完全平方式，则实数系数a 、b 、c 一定存在某种关系．①请你用数学式子表示a 、b 、c 之间的关系；②解决问题：若多项式x 2﹣2(m ﹣3)x+(10﹣6m)是一个完全平方式，求m 的值．22．如图，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，点D 在 AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O ． 求证：△AEC ≌△BED ；23．如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，30A ∠=︒.（1）请在图中用尺规作图的方法作出AB 的垂直平分线交AC 于点D ，并标出D 点；（不写作法，保留作图痕迹）.（2）在（1）的条件下，连接BD ，求证：BD 平分CBA ∠.24．如图是作一个角的角平分线的方法：以的顶点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，大于长为半径作画弧，两条弧交于点，作射线，过点作交于点.（1）若，求的度数； （2）若，垂足为，求证：.25．先化简，再求值：211()22a a a a -+÷++，其中1a =【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】先用x 表示出增加2名同学前和增加后每人分摊的车费钱，再根据增加后每人比原来少摊了3元钱车费列出方程即可.【详解】解：设前去观看开幕式的同学共x 人，根据题意，得：18018032x x-=-. 故选：D.【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是弄清题意、找准等量关系，易错点是容易弄错增加前后的人数. 2．C解析：C【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B 、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C 、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D 、是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．D解析：D【解析】【分析】分别利用幂的乘方运算和合并同类项法则分别化简求出答案．【详解】解：A 、a 2•a 3=a 5，故此选项错误；B 、122a a ÷= a 10，故此选项错误；C 、（a 3）3=a 9，故此选项错误；D 、（-a ）6=a 6，故此选项正确．故选D ．【点睛】此题主要考查了合并同类项法则以及幂的乘方运算等知识，正确运用相关法则是解题关键．4．B解析：B【解析】分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a 、b 即可.详解：（x+1）（x-3）=x 2-3x+x-3=x 2-2x-3所以a=2，b=-3，故选B ．点睛：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键.5．B解析：B【解析】【分析】利用全等直角三角形的判定定理HL 证得Rt △ACD ≌Rt △AED ，则对应角∠ADC=∠ADE ；然后根据已知条件“DE 平分∠ADB”、平角的定义证得∠ADC=∠ADE=∠EDB=60°；最后由直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠B=30°．【详解】∵在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，∴CD=ED,在Rt △ACD 和Rt △AED 中，{AD AD CD ED=＝ ， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴∠ADC=∠ADE （全等三角形的对应角相等）．∵∠ADC+∠ADE+∠EDB=180°，DE 平分∠ADB ，∴∠ADC=∠ADE=∠EDB=60°．∴∠B+∠EDB=90°，∴∠B=30°．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．6．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：根据完全平方公式可得：a=±2×1=±2． 考点：完全平方公式．7．B解析：B【解析】【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x 为正整数，从所给图中可得正确答案．【详解】 解∵2222(2)1(2)1441(2)1x x x x x x x ++-=-=+++++1111x x x -=++． 又∵x 为正整数，∴121x x ≤+＜1，故表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在②． 故选B ．【点睛】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．8．D解析：D【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理 逐个判断即可．【详解】A 、∵在△ABC 和△DCB 中ABC DCB BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△DCB （ASA ），故本选项不符合题意；B 、∵∠ABD ＝∠DCA ，∠DBC ＝∠ACB ，∴∠ABD +∠DBC ＝∠ACD +∠ACB ，即∠ABC ＝∠DCB ，∵在△ABC 和△DCB 中ABC DCB BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△DCB （ASA ），故本选项不符合题意；C 、∵在△ABC 和△DCB 中BC CB ACB DBC AC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DCB （SAS ），故本选项不符合题意；D 、根据∠ACB ＝∠DBC ，BC ＝BC ，AB ＝DC 不能推出△ABC ≌△DCB ，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．9．B解析：B【解析】设多边形的边数为n ，则有（n-2）×180°=n×150°，解得：n=12， 故选B.10．C解析：C【解析】【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=12∠ABC=352︒，∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE ，根据等腰三角形的性质得到AF=EF ，求得AD=ED ，得到∠DAF=∠DEF ，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】∵BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，∴∠ABD=∠EBD=12∠ABC=352︒，∠AFB=∠EFB=90°， ∴∠BAF=∠BEF=90°-17.5°，∴AB=BE ，∴AF=EF ，∴AD=ED ，∴∠DAF=∠DEF，∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，∴∠BED=∠BAD=95°，∴∠CDE=95°-50°=45°，故选C．【点睛】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．11．C解析：C【解析】【分析】首先计算出多边形的外角的度数，再根据外角和÷外角度数=边数可得答案．【详解】解：∵多边形的每个内角都是108°，∴每个外角是180°﹣108°=72°，∴这个多边形的边数是360°÷72°=5，∴这个多边形是五边形，故选C.【点睛】此题主要考查了多边形的外角与内角，关键是掌握多边形的外角与它相邻的内角互补．12．A解析：A【解析】解：∵AB∥CD，BC∥AD，∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD．在△ABD和△CDB中，∵，∴△ABD≌△CDB（ASA），∴AD=BC，AB=CD．在△ABE和△CDF中，∵，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF．∵BE=DF，∴BE+EF=DF+EF，∴BF=DE．在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（SSS），即3对全等三角形．故选A．二、填空题13．【解析】【分析】先提取公因式然后根据平方差公式进行分解即可【详解】解：故答案为【点睛】本题考查了提取公因式平方差公式法分解因式属于基础题解析：()()333a a a +-【解析】【分析】先提取公因式，然后根据平方差公式进行分解即可.【详解】解：()()()3232739333a a a a a a a -=-=+- 故答案为()()333a a a +-.【点睛】本题考查了提取公因式、平方差公式法分解因式，属于基础题．14．40°【解析】试题分析：延长DE 交BC 于F 点根据两直线平行内错角相等可知ABC==80°由此可得然后根据三角形的外角的性质可得=-=40°故答案为：40°解析：40°【解析】试题分析：延长DE 交BC 于F 点，根据两直线平行，内错角相等，可知∠ABC=BFD ∠=80°，由此可得100DFC ∠=︒，然后根据三角形的外角的性质，可得BCD ∠=EDC ∠-FD C ∠=40°. 故答案为：40°.15．x=2【解析】分析:根据分式值为0的条件:分子为0分母不等于0可得即可解得详解:因为分式的值为0所以解得:所以故答案为:点睛:本题主要考查分式值为0的条件解决本题的关键是要熟练运用分式值为0的条件列解析：x=2【解析】分析:根据分式值为0的条件:分子为0,分母不等于0,可得24020x x ⎧-=⎨+≠⎩,即可解得 2x =.详解:因为分式242x x -+的值为0, 所以24020x x ⎧-=⎨+≠⎩,解得:2,2x x =±≠-,所以2x =.故答案为: 2x =.点睛:本题主要考查分式值为0的条件,解决本题的关键是要熟练运用分式值为0的条件列出方程和不等式进行求解.16．19【解析】试题分析：首先把等式a+b=5的等号两边分别平方即得a2+2ab+b 2=25然后根据题意即可得解解：∵a+b=5∴a2+2ab+b2=25∵ab=3∴a2+b2=19故答案为19考点：完解析：19【解析】试题分析：首先把等式a+b=5的等号两边分别平方，即得a 2+2ab+b 2=25，然后根据题意即可得解．解：∵a+b=5，∴a 2+2ab+b 2=25，∵ab=3，∴a 2+b 2=19．故答案为19．考点：完全平方公式．17．0或－4【解析】【分析】由分式不是最简分式可得x 或x+2是x2+m 的一个因式分含x 和x+2两种情况根据多项式乘以多项式的运算法则求出m 的值即可【详解】∵分式不是最简分式∴x 或x+2是x2+m 的一个因解析：0或－4【解析】【分析】由分式()22x x x m ++不是最简分式可得x 或x+2是x 2+m 的一个因式，分含x 和x+2两种情况，根据多项式乘以多项式的运算法则求出m 的值即可.【详解】∵分式()22x x x m ++不是最简分式，∴x 或x+2是x 2+m 的一个因式，当x 是x 2+m 的一个因式x 时，设另一个因式为x+a ，则有x （x+a ）=x 2+ax=x 2+m ，∴m=0，当x 或x+2是x 2+m 的一个因式时，设另一个因式为x+a ，则有(x+2)(x+a)=x 2+(a+2)x+2a=x 2+m ，∴202a m a +=⎧⎨=⎩，解得：24 am=-⎧⎨=-⎩，故答案为：0或-4.【点睛】本题考查最简分式的定义及多项式乘以多项式，根据题意得出x或x+2是x2+m的一个因式是解题关键.18．【解析】【分析】将a+b=5ab=3代入原式=计算可得【详解】当a+b=5ab=3时原式====故答案为【点睛】本题主要考查分式的加减法解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和完全平方公式解析：193．【解析】【分析】将a+b=5、ab=3代入原式=()2222a b abb aab ab+-+=，计算可得．【详解】当a+b=5、ab=3时，原式=22 b a ab+=()22 a b abab+-=25233-⨯=19 3.故答案为193．【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和完全平方公式．19．【解析】【分析】利用多边形内角和公式建立方程求解【详解】根据题意得：180（n﹣2）=900解得：n=7故答案为7【点睛】本题考查多边形内角和公式熟记公式是解题的关键解析：【解析】【分析】利用多边形内角和公式建立方程求解.【详解】根据题意得：180（n﹣2）=900，解得：n=7．故答案为7．【点睛】本题考查多边形内角和公式，熟记公式是解题的关键.20．1【解析】试题分析：根据题意得|x|-1=0且x-1≠0解得x=-1考点：分式的值为零的条件解析：1【解析】试题分析：根据题意，得|x|-1=0，且x-1≠0，解得x=-1．考点：分式的值为零的条件．三、解答题21．(1)（x+2）2，（4x+3）2，（3x﹣2）2；（2）①b2=4ac，②m=±1【解析】【分析】（1）根据完全平方公式分解即可；（2）①根据已知等式得出b2=4ac，即可得出答案；②利用①的规律解题．【详解】（1）x2+4x+4=（x+2）2，16x2+24x+9=（4x+3）2，9x2-12x+4=（3x-2）2，故答案为（x+2）2，（4x+3）2，（3x-2）2；（2）①b2=4ac，故答案为b2=4ac；②∵多项式x2-2（m-3）x+（10-6m）是一个完全平方式，∴[-2（m-3）]2=4×1×（10-6m），m2-6m+9=10-6mm2=1m=±1．【点睛】本题考查了对完全平方公式的理解和应用，能根据完全平方公式得出b2=4ac是解此题的关键．22．见解析【解析】【分析】根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；【详解】∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD=∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO ，∴∠AEC=∠BED ．在△AEC 和△BED 中，A B AE BEAEC BED ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△AEC ≌△BED （ASA ）．23．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）作线段AB 的垂直平分线即可；（2）根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB ，根据等边对等角可得30DBA A ︒∴∠=∠=，进而可得∠CBA =60°，然后可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，点D 就是所求.（2）证明：由（1）可知：AB 的垂直平分线交AC 于点DAD BD ∴=30DBA A ︒∴∠=∠=90BCA ︒∠=且30A ∠=︒90CBA A ︒∴∠+∠=90903060CBA A ︒︒︒︒∴∠=-∠=-=30CBD DBA ︒∴∠=∠=BD ∴平分CBA ∠【点睛】本题考查了基本作图，以及线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．24．(1)35°;(2)见解析.【解析】【分析】（1）首先根据OB ∥FD ，可得∠OFD ＋∠AOB ＝18O °，进而得到∠AOB 的度数，再根据作图可知OP 平分∠AOB ，进而算出∠DOB 的度数即可；（2）首先证明∴∠AOD ＝∠ODF ，再由FM ⊥OD 可得∠OMF ＝∠DMF ，再加上公共边FM ＝FM ，可利用AAS 证明△FMO ≌△FMD ．【详解】（1）解：∵OB ∥FD ，∴∠OFD ＋∠AOB ＝18O °，又∵∠OFD ＝110°，∴∠AOB ＝180°−∠OFD ＝180°−110°＝70°，由作法知，OP 是∠AOB 的平分线，∴∠DOB ＝∠ABO ＝；（2）证明：∵OP 平分∠AOB ，∴∠AOD ＝∠DOB ，∵OB ∥FD ，∴∠DOB ＝∠ODF ，∴∠AOD ＝∠ODF ，又∵FM ⊥OD ，∴∠OMF ＝∠DMF ，在△MFO 和△MFD 中∴△MFO ≌△MFD （AAS ）．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，以及角的计算，关键是正确理解题意，掌握角平分线的作法，以及全等三角形的判定定理． 25．11a a +- 12+ 【解析】【分析】 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得．【详解】211()22a a a a -+÷++ =2221221a a a a a ++++- =11a a +-当1a=时原式1【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键.。
部编数学八年级上册专题05乘法公式与因式分解七大重难考点(期末真题精选)(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题05 乘法公式与因式分解七大重难考点一．平方差公式的灵活运用1．下列运算中，不能用平方差公式运算的是（ ）A ．（﹣b ﹣c ）（﹣b +c ）B ．﹣（x +y ）（﹣x ﹣y ）C ．（x +y ）（x ﹣y ）D ．（x +y ）（2x ﹣2y ）试题分析：能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．答案详解：解：A 、（﹣b ﹣c ）（﹣b +c ）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；B 、﹣（x +y ）（﹣x ﹣y ）＝（x +y ）（x +y ），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意；C 、（x +y ）（x ﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；实战训练D 、（x +y ）（2x ﹣2y ）＝2（x +y ）（x ﹣y ）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意．所以选：B ．2．计算：20192﹣2017×2021＝ 4 ．试题分析：根据平方差公式即可求出答案．答案详解：解：20192﹣2017×2021＝20192﹣（2019﹣2）（2019+2）＝20192﹣20192+22＝4．所以答案是：4．3．利用乘法公式简便计算．（1）2020×2022﹣20212．（2）3.6722+6.3282+6.328×7.344．试题分析：（1）运用平方差公式计算即可；（2）运用完全平方公式计算即可．答案详解：解：（1）原式＝（2021﹣1）×（2021+1）﹣20212．＝20212﹣1﹣20212＝﹣1；（2）原式＝3.6722+6.3282+2×3.672×6.328＝（2.672+6.328）2＝102＝100．4．某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．请借鉴该同学的经验，计算：(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)+1215．试题分析：原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．答案详解：解：原式＝2（1−12）（1+12）（1+122）（1+124）（1+128）+1215＝2（1−1216）+1215＝2．5．阅读下面的材料并填空：①（1−12）（1+12）＝1−122，反过来，得1−122=（1−12）（1+12）=12×32②（1−13）（1+13）＝1−132，反过来，得1−132=（1−13）（1+13）＝ 23 × 43 ③（1−14）（1+14）＝1−142，反过来，得1−142= （1−14）（1+14） =34×54利用上面的材料中的方法和结论计算下题：（1−122）（1−132）（1−142）……（1−120162）（1−120172）（1−120182）试题分析：直接利用平方差公式计算进而结合已知规律得出答案．答案详解：解：①（1−12）（1+12）＝1−122，反过来，得1−122=（1−12）（1+12）=12×32，②（1−13）（1+13）＝1−132，反过来，得1−132=（1−13）（1+13）=23×43，③（1−14）（1+14）＝1−142，反过来，得1−142=（1−14）（1+14）=34×54利用上面的材料中的方法和结论计算下题：（1−122）（1−132）（1−142）……（1−120162）（1−120172）（1−120182）=12×32×23×43×34×⋯×20172018×20192018 =20194036．所以答案是：23，43，（1−14）（1+14）．二．完全平方公式的灵活运用6．在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨．请你阅读例题的解题思路：例：已知a +b ＝4，ab ＝3，求a 2+b 2的值．解：∵a +b ＝4，ab ＝3，∴a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝42﹣2×3＝10．请结合例题解答问题．若a +b ＝7，ab ＝10，求a 2+b 2的值．试题分析：根据完全平方公式即可解答．答案详解：解：∵a +b ＝7，∴（a +b ）2＝72，∴a 2+2ab +b 2＝49，∵ab ＝10，∴a 2+b 2＝49﹣2ab ＝49﹣20＝29，即a 2+b 2的值是29．7．阅读下列解答过程：已知：x ≠0，且满足x 2﹣3x ＝1．求：x 2+1x 2的值．解：∵x 2﹣3x ＝1，∴x 2﹣3x ﹣1＝0∴x −3−1x =0，即x −1x =3．∴x 2+1x 2=(x−1x)2+2=32+2＝11．请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a ≠0，且满足（2a +1）（1﹣2a ）﹣（3﹣2a ）2+9a 2＝14a ﹣7，求：（1）a 2+1a 2的值；（2）a 25a 4a 25的值．试题分析：（1）根据题意可得a −1a=2，再利用完全平方公式计算即可；（2）根据倒数的定义和完全平方公式计算即可．答案详解：解：（1）（2a +1）（1﹣2a ）﹣（3﹣2a ）2+9a 2＝14a ﹣71﹣4a 2﹣（9﹣12a +4a 2）+9a 2﹣14a +7＝0，整理得：a 2﹣2a ﹣1＝0∴a −1a=2，∴a 2+1a 2=(a−1a)2+2=4+2=6；（2）解：a 25a 4a 25的倒数为5a 4a 25a 2，∵5a 4a 25a 2=5a 2+5a 2+1=5(a 2+1a 2)+1=5×6+1=31，∴a 25a 4a 25=131．8．若m +n ＝7，mn ＝12，求m 2﹣mn +n 2的值．试题分析：首先把m 2﹣mn +n 2加上2mn ﹣2mn ，把m 2+2mn +n 2利用完全平方公式因式分解，进一步整体代入计算即可．答案详解：解：m2﹣mn+n2+2mn﹣2mn＝m2+2mn+n2﹣3mn＝（m+n）2﹣3mn；把m+n＝7，mn＝12代入得：原式＝72﹣3×12＝13．9．已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝1，求x2+y2与xy的值．试题分析：已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求式子的值．答案详解：解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1②，∴①+②得：2（x2+y2）＝26，即x2+y2＝13；①﹣②得：4xy＝24，即xy＝6．10．回答下列问题（1）填空：x2+1x2=（x+1x）2﹣ 2 ＝（x−1x）2+ 2 （2）若a+1a=5，则a2+1a2= 23 ；（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+1a2的值．试题分析：（1）根据完全平方公式进行解答即可；（2）根据完全平方公式进行解答；（3）先根据a2﹣3a+1＝0求出a+1a=3，然后根据完全平方公式求解即可．答案详解：解：（1）2、2．（2）23．（3）∵a＝0时方程不成立，∴a≠0，∵a2﹣3a+1＝0两边同除a得：a﹣3+1a=0，移项得：a+1a=3，∴a2+1a2=（a+1a）2﹣2＝7．三．数形结合----多项式与图形的面积的美妙融合11．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝6，ab+bc+ac＝8，求a2+b2+c2的值．试题分析：（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；（2）将a+b+c＝6，ab+bc+ac＝8，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可．答案详解：解：（1）∵正方形的面积＝各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．（2）由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca），∵a+b+c＝6，ab+bc+ac＝8，∴a2+b2+c2＝62﹣2×8＝36﹣16＝20．12．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求a2+b2+c2的值；（3）小明同学打算用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张相邻两边长为分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（5a+8b）（7a+4b）长方形，那么他总共需要多少张纸片？试题分析：（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；（2）将a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；（3）长方形的面积xa2+yb2+zab＝（5a+8b）（7a+4b），然后运算多项式乘多项式法则求得（5a+8b）（7a+4b）的结果，从而得到x、y、z的值，代入即可求解．答案详解：解：（1）∵正方形的面积＝各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．（2）由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝122﹣47×2＝50．（3）∵长方形的面积＝xa2+yb2+zab＝（5a+8b）（7a+4b）＝35a2+76ab+32b2，∴x＝35，y＝32，z＝76，∴x+y+z＝143．答：那么他总共需要143张纸片．13．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分的面积为 （b﹣a）2 ；（2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ；（3）根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y=94，则x﹣y＝ ±4 ；（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？ （a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2 ．试题分析：（1）阴影部分为边长为（b﹣a）的正方形，然后根据正方形的面积公式求解；（2）在图2中，大正方形有小正方形和4个矩形组成，则（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）由（2）的结论得到（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，再把x+y＝5，x•y=94得到（x﹣y）2＝16，然后利用平方根的定义求解；（4）观察图形得到边长为（a+b）与（3a+b）的矩形由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b 的矩形和一个边长为b的正方形组成，则有（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．答案详解：解：（1）阴影部分为边长为（b﹣a）的正方形，所以阴影部分的面积（b﹣a）2；（2）图2中，用边长为a+b的正方形的面积减去边长为b﹣a的正方形等于4个长宽分别a、b 的矩形面积，所以（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）∵（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，而x+y＝5，x•y=9 4，∴52﹣（x﹣y）2＝4×9 4，∴（x﹣y）2＝16，∴x﹣y＝±4；（4）边长为（a+b）与（3a+b）的矩形面积为（a+b）（3a+b），它由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成，∴（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．所以答案是（b﹣a）2；（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；±4；（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．四．因式分解--一提净，二公式，三十字，四分组14．请先观察下列算式，再填空：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2．①72﹣52＝8× 3 ；②92﹣（ 7 ）2＝8×4；③（ 11 ）2﹣92＝8×5；④132﹣（ 11 ）2＝8× 6 ；…（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？试题分析：（1）从上式中可以发现等式左边：两数的平方差，前一个数比后一个数大2；等式右边：前一个因数是8，后一个是等式左边两数的和除4，所以可写成：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（2）运用平方差公式计算此式，证明它成立．答案详解：解：①3；②7；③11；④11，6．（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（2）原式可变为（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝8n．15．因式分解：（1）16x4﹣1．（2）（m﹣n）（x+3y）﹣（n﹣m）（x﹣y）．试题分析：（1）用平方差公式因式分解，注意分解要彻底；（2）用提取公因式法因式分解，注意公因式要提取彻底．答案详解：解：（1）16x4﹣1＝（4x2+1）（4x2﹣1）＝（4x+1）（2x+1）（2x﹣1）；（2）（m﹣n）（x+3y）﹣（n﹣m）（x﹣y）＝（m﹣n）（x+3y）+（m﹣n）（x﹣y）＝（m﹣n）（x+3y+x﹣y）＝（m﹣n）（2x+2y）＝2（m﹣n）（x+y）．16．（1）若3a＝6，9b＝2，求32a+4b的值；（2）已知xy＝8，x﹣y＝2，求代数式12x3y﹣x2y2+12xy3的值．试题分析：（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则化简求出答案；（2）首先提取公因式12xy再利用完全平方公式分解因式，进而将已知代入求出答案．答案详解：解：（1）∵3a＝6，9b＝2，∴32a+4b＝32a×34b＝（3a）2×（32b）2＝36×4＝144；（2）∵xy＝8，x﹣y＝2，∴原式=12xy（x2﹣2xy+y2）=12xy（x﹣y）2=12×8×22＝16．五．阅读类---化归思想17．阅读下列材料：材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．试题分析：（1）利用十字相乘法变形即可得；（2）①根据材料2的整体思想可以对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3分解因式；②根据材料1和材料2可以对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3分解因式．答案详解：解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；（2）①令A＝x﹣y，则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；②令B＝m2+2m，则原式＝B（B﹣2）﹣3＝B2﹣2B﹣3＝（B+1）（B﹣3），所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．18．阅读以下材料材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ （1﹣x+y）2 ；（2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4；（3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．试题分析：（1）将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A，则原式＝12﹣2A+A2＝（1﹣A）2，再将“A”还原，得原式＝（1﹣x+y）2；（2）将“a2﹣4a”看成整体，令a2﹣4a＝A，则原式＝（A+2）（A+6）+4＝A2+8A+12+4＝（A+4）2，再将“A”还原，得：原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4；（3）先由（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17，运用整体思想，再即可得到式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．答案详解：解：（1）将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A，则原式＝12﹣2A+A2＝（1﹣A）2，再将“A”还原，得：原式＝（1﹣x+y）2；所以答案是：（1﹣x+y）2；（2）将“a2﹣4a”看成整体，令a2﹣4a＝A，原式＝（A+2）（A+6）+4＝A2+8A+12+4＝（A+4）2，将“A”还原，得：原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4；（3）令n2﹣2n＝A，则原式＝（A﹣3）（A+5）+17＝A2+2A﹣15+17＝A2+2A+2＝（A+1）2+1，将A＝n2﹣2n还原，原式＝（n2﹣2n+1）2+1＝（n﹣1）4+1，因为无论n为何值（n﹣1）4≥0，所以（n﹣1）4+1≥1，即式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．19．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ （m+1）（m﹣5） ．（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值，并求出这个最小值．试题分析：（1）根据阅读材料，先将m2﹣4m﹣5变形为m2﹣4m+4﹣9，再根据完全平方公式写成（m﹣2）2﹣9，然后利用平方差公式分解即可；（2）利用配方法将多项式a2+b2﹣4a+6b+18转化为（a﹣2）2+（b+3）2+5，然后利用非负数的性质进行解答；（3）利用配方法将多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27转化为（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+17，然后利用非负数的性质进行解答．答案详解：解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣9＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）＝（m+1）（m﹣5）．所以答案是（m+1）（m﹣5）；（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5；（3）∵a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27＝a2﹣2a（b+1）+（b+1）2+（b﹣3）2+17＝（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+17，∴当a＝4，b＝3时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值17．20．【阅读学习】做整式的乘法运算时借助图形，可以由图形直观的获取结论．例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac．例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．借助几何图形，利用几何直观的方法在解决整式运算问题时经常采用．【问题解决】（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形．从中你发现的结论用等式表示为 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； ；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝48．求a2+b2+c2的值．【拓展应用】（3）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．试题分析：（1）先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形的面积，由两个结果相等即可得出结论．（2）利用数形结合思想用等面试法探究因式分解，用因式分解结论反求几何面积答案详解：解：（1）∵正方形面积为（a +b +c ）2，小块四边形面积总和为a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，∴由面积相等可得：（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，故可得结论是：（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ；所以答案是：（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ；（2）由（1）可知a 2+b 2+c 2＝（a +b +c ）2﹣（2ab +abc +2ac ），∵a +b +c ＝12，ab +bc +ac ＝48，∴a 2+b 2+c 2＝（a +b +c ）2﹣2（ab +bc +ac ）＝144﹣2×48＝48，故a 2+b 2+c 2的值为48；（3）∵a +b ＝10，ab ＝20，∴（a +b ）2＝100∴a 2+b 2+2ab ＝100，∴a 2+b 2＝60，∴S 阴影＝S 两正方形﹣S △ABD ﹣S △BFG ，＝a 2+b 2−12a 2−12b （a +b ）=12（a 2+b 2﹣ab ）=12×（60﹣20）＝20．故阴影部分的面积是20．六．规律类----类比思想21．有足够多的长方形和正方形卡片，分别记为1号，2号，3号卡片，如图1所示．（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请你用2种不同的方法表示阴影部分的面积．①方法1： （m﹣n）2 方法2： （m+n）2﹣4mn ②请写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，4mn这三个代数式之间的等量关系： （m+n）2＝（m﹣n）2+4mn ．（2）解决问题：若|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，求（a﹣b）2的值．（3）如果选取1张1号，2张2号，3张3号卡片，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个拼出的长方形，根据图形的面积关系得到的等式是： m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n） ．试题分析：（1）①从“整体”和“部分”两个方面分别表示阴影部分的面积即可；②由①中两种方法所表示的面积相等可得答案；（2）根据非负数的定义可得a+b＝6，ab＝4，再根据（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab进行计算即可；（3）求出所拼成的长方形的长、宽以及总面积即可．答案详解：解：（1）①方法1：图2中阴影部分是边长为（m﹣n），因此面积为（m﹣n）2，方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为（m+n）的正方形减去4个长为m．宽为n的长方形面积，因此有（m+n）2﹣4mn，所以答案是：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；②由①得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，所以答案是：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（2）∵|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，|a+b﹣6|≥0，|ab﹣4|≥0，∵a+b﹣6＝0，ab﹣4＝0，即a+b＝6，ab＝4，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝36﹣16＝20，答：（a﹣b）2的值为20；（3）1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为m2+2n2+3mn，而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为（m+2n），宽为（m+n）的长方形，所以有m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n），所以答案是：m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n）．22．王老师在黑板上写下了四个算式：①32﹣12＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1；②52﹣32＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2；③72﹣52＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3；④92﹣72＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4；…认真观察这些算式，并结合你发现的规律，解答下列问题：（1）112﹣92＝ 40 ；132﹣112＝ 48 ．（2）小华发现上述算式的规律可以用文字语言概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n+1和2n﹣1（n为正整数），请你用含有n的算式验证小华发现的规律．试题分析：（1）根据已知算式写出符合题意的答案；（2）利用平方差公式计算得出答案．答案详解：解：（1）112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝8×5＝40；132﹣112＝（13+11）（13﹣11）＝8×6＝48．所以答案是：40；48；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）＝2×4n＝8n，∵n为正整数，∴两个连续奇数的平方差是8的倍数．23．阅读下面材料，并回答相应的问题：通过学习，我们了解了因式分解的两种基本方法：提公因式法，公式法．下面我们将探索因式分解的其它方法．（1）请运用多项式乘以多项式的法则填空：（x+2）（x+3）＝ x2+5x+6 ，（x+2）（x﹣3）＝ x2﹣x+6 ，（x﹣2）（x+3）＝ x2+x+6 ，（x﹣2）（x﹣3）＝ x2﹣5x+6 ．从特殊到一般，探索规律进行推导，过程如下：（x+p）（x+q）＝ x2+px+qx+pq ＝x2+ （p+q） x+ pq （2）因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用（1）中的规律，我们可以得到一种因式分解的新方法： （x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq （用字母等式表示）．利用这种方法，请将下列各式因式分解：x2+4x+3＝ （x+1）（x+3） ，x2+4x﹣5＝ （x+1）（x﹣5） ，2x2﹣5x+2＝ （2x﹣1）（x﹣2） ，3x2﹣x﹣2＝ （3x+2）（x﹣1） ．试题分析：（1）利用多项式乘多项式的法则进行运算即可；（2）结合（1）进行分析即可求解．答案详解：解：（1）（x+2）（x+3）＝x2+3x+2x+6＝x2+5x+6，（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3x+2x﹣6＝x2﹣x+6，（x﹣2）（x+3）＝x2+3x﹣2x﹣6＝x2+x+6，（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣3x﹣2x+6＝x2﹣5x+6，（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq，所以答案是：x2+5x+6；x2﹣x+6；x2+x+6；x2﹣5x+6；x2+px+qx+pq；（p+q）；pq；（2）（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，x2+4x+3＝（x+1）（x+3），x2+4x﹣5＝（x+1）（x﹣5），2x2﹣5x+2＝（2x﹣1）（x﹣2），3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），所以答案是：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq；（x+1）（x+3）；（x+1）（x﹣5）；（2x﹣1）（x﹣2）；（3x+2）（x﹣1）．24．老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题：请观察以下算式：①32﹣12＝8×1；②52﹣32＝8×2；③72﹣52＝8×3；………试写出符合上述规律的第五个算式；验证：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），并说明它们的平方差是8的倍数；试题分析：仿照已知等式确定出第五个算式即可；列出两个连续奇数的平方差，分解后即可作出判断．答案详解：解：第五个算式为：112﹣92＝8×5；验证：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）＝2×4n＝8n．故两个连续奇数的平方差是8 的倍数．七．乘法公式的综合应用25．你能化简（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝ a2﹣1 ；（a﹣1）（a2+a+1）＝ a3﹣1 ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝ a4﹣1 ；…由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝ a100﹣1 （2）利用这个结论，请你解决下面的问题：①求2199+2198+2197+…+22+2+1 的值；②若a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a等于多少？试题分析：（1）原式利用多项式乘多项式法则计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）各项变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．答案详解：解：（1）：（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1；（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1；…由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝a100﹣1；所以答案是：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；（2）①∵（2﹣1）（2199+2198+2197+…+22+2+1）＝2200﹣1，∴2199+2198+2197+…+22+2+1＝2200﹣1；②∵a8﹣1＝（a﹣1）（a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1）＝0，即a8＝1，∴a＝±1，当a＝1时，a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1＝0不成立，∴a＝﹣1．26．分解因式x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．试题分析：（1）应用分组分解法，把a2﹣4a﹣b2+4分解因式即可．（2）首先应用分组分解法，把a2﹣ab﹣ac+bc＝0分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出△ABC的形状即可．答案详解：解：（1）a2﹣4a﹣b2+4＝a2﹣4a+4﹣b2＝（a﹣2）2﹣b2＝（a+b﹣2）（a﹣b﹣2）（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a﹣b＝0或a﹣c＝0，∴a＝b或a＝c，∴△ABC是等腰三角形．27．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值；（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．试题分析：（1）根据x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，应用因式分解的方法，判断出（x﹣y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值各是多少，再把它们相乘，求出xy的值是多少即可；（2）首先根据a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，求出a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出△ABC的最大边c的值是多少即可；（3）首先根据a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，求出a、c、b的值各是多少；然后把a、b、c的值求和，求出a+b+c的值是多少即可．答案详解：解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，∴x﹣y＝0，y+3＝0，∴x＝﹣3，y＝﹣3，∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，即xy的值是9．（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，∴a＝5，b＝6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．（3）∵a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2＝0，∴（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，∴a﹣4＝0，c﹣8＝0，∴a＝4，c＝8，b＝a﹣8＝4﹣8＝﹣4，∴a+b+c＝4﹣4+8＝8，即a+b+c的值是8．。
八年级数学上册《乘法公式》专项训练带解析,给孩子期末复习!
八年级数学上册《乘法公式》专项训练带解析，给孩子期末复习！专题一乘法公式1．下列各式中运算错误的是（D）A．a²+b²=(a+b)²－2abB．(a－b)²=(a+b)²－4abC．(a+b)(－a+b)=－a²+b²D．(a+b)(－a－b)=－a²－b²解析：A中，由完全平方公式可得(a+b)²－2ab=a+2ab+b²－2ab=a²+b²，故A正确；B中，由完全平方公式可得(a－b)²=a²－2ab+b²，(a+b)²－4ab=a²+2ab+b²－4ab=a²－2ab+b²，故B正确；C中，由平方差公式可得(a+b)(－a+b)=(a+b)(b－a)=b²－a²=－a²+b²，故C正确；D中，(a+b)(－a－b)=－(a+b)²=－a²－2ab－b²，故D错误．2．代数式(x+1)(x－1)(x²+1)的计算结果正确的是（A）A．x4－1 B．x4+1 C．(x－1)4 D．(x+1)4解析：原式=(x²－1)(x²+1)=(x²)²－1=x4－1．3．计算：(2x+y)(2x－y)+(x+y)²－2(2x²－xy)（其中x=2，y=3）．解：原式=4x²－y²+x²+2xy+y²－4x+2xy=x²+4xy，当x=2，y=3时，原式=2²+4×2×3=4+24=28．专题二乘法公式的几何背景4．请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（ B ）A．（a+b）（a－b）=a²－b²B．（a+b）²=a²+2ab+b²C．（a－b）²=a－2ab+b²D．（a+b）²=a²+ab+b²解析：这个图形的整体面积为(a+b)²；各部分的面积的和为a²+2ab+b²；所以得到公式（a+b）²=a²+2ab+b²．故选B．5．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（C）A．a²－b²=（a+b）（a－b）B．（a+b）²=a²+2ab+b²C．（a－b）²=a²－2ab+b²D．a（a+b）=a²+ab解析：从图中可知：阴影部分的面积是（a－b）²和b²，剩余的矩形面积是（a－b）b和（a－b）b，即大阴影部分的面积是（a－b）²，∴（a－b）²=a²－2ab+b²，故选C．6．我们在学习完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立．在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）²”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）²吗？解：（a+b+c）²的几何背景如图，整体的面积为：（a+b+c）²，用各部分的面积之和表示为：（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc．。
2020年人教版 八年级上册14.2《乘法公式》同步练习卷 含答案
人教版2020年八年级上册14.2《乘法公式》同步练习卷一．选择题1．化简（﹣2x﹣3）（3﹣2x）的结果是（）A．4x2﹣9B．9﹣4x2C．﹣4x2﹣9D．4x2﹣6x+92．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（）A．（x﹣y）（x+y）B．（2x﹣y）（x+y）C．（x﹣y）（2x﹣y）D．（x﹣y）（﹣x+y）3．下列计算中正确的是（）A．（x+2）2＝x2+2x+4B．（﹣3﹣x）（3+x）＝9﹣x2C．（﹣3﹣x）（3+x）＝﹣x2﹣9+6xD．（2x﹣3y）2＝4x2+9y2﹣12xy4．若x2+4x+m是完全平方式，则m的值是（）A．1B．2C．4D．165．要使式子25x2+9y2成为一个完全平方式，则需加上（）A．15xy B．±15xy C．30xy D．±30xy6．若m≠n，下列等式中正确的是（）①（m﹣n）2＝（n﹣m）2；②（m﹣n）2＝﹣（n﹣m）3；③（m+n）（m﹣n）＝（﹣m﹣n）（﹣m+n）；④（﹣m﹣n）2＝﹣（m﹣n）2．A．1个B．2个C．3个D．4个7．下列整式的运算可以运用平方差公式计算的有（）①（2m+n）（n﹣2m）；②（a2﹣4b）（4b﹣a2）；③（x+y）（﹣x﹣y）；④（3a+b）（﹣3a+b）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如果a﹣b＝2，a﹣c＝，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc等于（）A．B．C．D．不能确定9．如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab﹣b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab﹣b210．如果1﹣+＝0，那么等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．211．如图，从边长为a+2的正方形纸片中剪去一个边长为a的小正方形，剩余部分可剪拼成一个不重叠、无缝隙的长方形，若拼成的长方形一边长为2，则它另一边的长是（）A．2a﹣2B．2a C．2a+1D．2a+2二．填空题12．计算：（m﹣2n）2＝．13．计算（a+b）（a﹣b）的结果等于．14．（2x+3）（）＝9﹣4x215．若关于x的二次三项式x2+（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为．16．如果x2﹣mx+36是完全平方式，那么常数m的值是．17．计算：1992﹣198×202＝．18．若a2+b2＝16，a﹣b＝6，则ab＝．19．如图，将一个大正方形分割成两个长方形和面积分别为a2和b2的两个小正方形，则大正方形的面积是．20．如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式．三．解答题（共6小题）21．计算：（2a﹣3b）2﹣（3a﹣2b）2．22．（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣2b）2﹣4ab．23．利用乘法公式进行简算：（1）2019×2021﹣20202 （2）972+6×97+9．24．若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．25．如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．（1）图②中画有阴影的小正方形的边长等于多少？（2）观察图②，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2与mn之间的等量关系；（3）根据（2）中的等量关系解决下面的问题：若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值．26．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣y2＝16，x+y＝4，求x﹣y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．参考答案一．选择题1．解：（﹣2x﹣3）（3﹣2x）＝4x2﹣9，故选：A．2．解：A、原式＝x2﹣y2，用了平方差公式，故此选项不符合题意；B、原式＝2x2+xy﹣y2，用了多项式乘法法则，故此选项不符合题意；C、原式＝2x2﹣3xy+y2，用了多项式乘法法则，故此选项不符合题意；D、原式＝﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2，用了完全平方公式，故此选项符合题意；故选：D．3．解：A、应为（x+2）2＝x2+4x+4，故本选项错误；B、应为（﹣3﹣x）（3+x）＝﹣x2﹣6x﹣9，故本选项错误；C、应为（﹣3﹣x）（3+x）＝﹣x2﹣9﹣6x，故本选项错误；D、（2x﹣3y）2＝4x2+9y2﹣12xy，正确．故选：D．4．解：∵x2+4x+m是完全平方式，∴m＝4，故选：C．5．解：∵25x2+9y2＝（5x）2+（3y）2，∴需加上的式子为±2×5x•3y＝±30xy．故选：D．6．解：①（m﹣n）2＝（n﹣m）2左右相等所以成立；②（m﹣n）2＝﹣（n﹣m）3等号左右两边不相等，所以不成立；③（m+n）（m﹣n）＝（﹣m﹣n）（﹣m+n）右边提出负号后可看出左右相等，所以成立；④（﹣m﹣n）2＝﹣（m﹣n）2左右两边不相等，所以不成立．所以①③两个成立．故选：B．7．解：①一个数相同，一个数相反，可以运用平方差公式运算，②两个数相反，不可以运用平方差公式运算，③两个数相反，不可以运用平方差公式运算，④一个数相同，一个数相反，可以运用平方差公式运算．所以可以运用平方差公式计算的有2个，故选：B．8．解：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc，＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc），＝[（a2+b2﹣2ab）+（a2+c2﹣2ac）+（b2+c2﹣2bc）]，＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，∵a﹣b＝2，a﹣c＝，∴b﹣c＝﹣，∴原式＝（4++）＝．故选：A．9．解：计算大正方形的面积：方法一：（a+b）2，方法二：四部分的面积和为a2+2ab+b2，因此：（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选：A．10．解：∵1﹣+＝（1﹣）2，∴（1﹣）2＝0，∴1﹣＝0，解得＝1．故选：C．11．解：由拼图过程可得，长为（a+2）+a＝2a+2，故选：D．二．填空题12．解：原式＝m2﹣4mn+4n2．13．解：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故答案为：a2﹣b2．14．解：（3﹣2x）（3+2x）＝9﹣4x2．所填结果是：﹣2x+3．15．解：∵关于x的二次三项式x2+（m﹣1）x+16是完全平方式，∴m﹣1＝±8，解得：m＝9或m＝﹣7，故答案为：9或﹣7．16．解：∵（x±6）2＝x2±12x+36＝x2﹣mx+36，∴m＝±12．故答案为：±12．17．解：原式＝（200﹣1）2﹣（200﹣2）（200+2）＝2002﹣2×200×1+12﹣2002+22＝﹣400+1+4＝﹣395．故答案为：﹣395．18．解：∵a﹣b＝6，∴（a﹣b）2＝36，∴a2+b2﹣2ab＝36，∵a2+b2＝16，∴16﹣2ab＝36，∴ab＝﹣10，故答案为：﹣10．19．解：∵两小正方形的面积分别是a2和b2，∴两小正方形的边长分别是a和b，∴两个长方形的长是b，宽是a，∴两个长方形的面积为2ab，∴大正方形的面积为：a2+2ab+b2＝（a+b）2．故答案为：（a+b）2．20．解：图1面积为a2﹣b2，图2的面积为（a+b）（a﹣b），因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．三．解答题（共6小题）21．解：原式＝4a2﹣12ab+9b2﹣9a2+12ab﹣4b2＝﹣5a2+5b2．22．解：原式＝a2﹣4b2﹣（a2﹣4ab+4b2）﹣4ab＝a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2﹣4ab＝﹣8b2．23．解：（1）2019×2021﹣20202＝（2020﹣1）（2020+1）﹣20202＝20202﹣1﹣20202＝﹣1；（2）972+6×97+9＝972+2×3×97+32＝（97+3）2＝1002＝10000．24．解：原式＝（x+y）2﹣a（x+y）+52，∵原式为完全平方式，∴﹣a（x+y）＝±2×5•（x+y），解得a＝±10．25．解：（1）图②中画有阴影的小正方形的边长（m﹣n）；（2）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（3）由（2）得：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；∵a+b＝7，ab＝5，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝49﹣20＝29；答：（a﹣b）2的值为29．26．解：（1）由图可知，大正方形的面积＝a2，剪掉的正方形的面积＝b2，∴剩余面积＝a2﹣b2，拼成长方形的长＝（a+b），宽＝（a﹣b），面积＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：A；（2）∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝16，x+y＝4，∴x﹣y＝4；（3）＝＝＝＝．。
2020~2021学年八年级数学上学期期末考点必杀整式与分式计算(人教版)(解析版)
人教八年级数学上期末必考题之专练07 整式与分式计算题（20题）1．（2020·四川八年级期末）因式分解（1）231212x y xy y -+（2）()2x a b b a -+-【答案】（1）23(2)y x -（2）()(1)(1)a b x x -+-（1）231212x y xy y -+=()2344y x x -+=23(2)y x -（2）()2xa b b a -+- =()()2x a b a b ---=()()21a b x -- =()(1)(1)a b x x -+-．【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法与公式法的运用．2．（2020·河南八年级期中）先化简再求值2(23)(23)4(1)(2)x x x x x +---+-，其中1x =-．【答案】25x -，-4解：原式222494444x x x x x =--++-+25x =-．把1x =-代入得原式4=-．【点睛】本题主要考查整式的化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则，是解题的关键．3．（2020·河南八年级月考）因式分解（1）a 2-4ab +4b 2-4；（2）a 2(x －y )＋4b 2(y －x )．【答案】（1）(22)(22)a b a b -+--；（2）()()()22x y a b a b -+-.（1）a 2-4ab +4b 2-4=2(2)4a b --，=(22)(22)a b a b -+--（2）a 2(x －y )＋4b 2(y －x )=22)4()(a x y b x y -－－=()()224x y a b --=()()()22x y a b a b -+-【点睛】本题考查提公因式因式分解与公式法因式分解的综合应用，注意计算时有公因式一定要先提公因式再套用其他方法分解.4．（2020·江西八年级期中）计算：（1）()22()-++a b a ab b（2）()()23422515205m m n m m +-÷-． 【答案】（1）33-a b ；（2）253mn 4m --+解：（1）()22()-++a b a ab b =32222a a b ab a b ab ++--=33a b -．（2）原式=252m ÷(−52m )+153m n ÷(−52m )−204m ÷(−5m 2)=−5−3mn +42m ．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式和多项式除以单项式，能熟记法则的内容是解题的关键．5．（2020·内蒙古八年级月考）先化简，再求值：()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-，其中2a =，1b =-．【答案】原式2ab =-；当2a =，1b =-时，原式=4.原式22222222a ab ab b a ab ab b =-+--+-+2ab =-，当2a =，1b =-时，原式222(1)4ab =-=-⨯⨯-=【点睛】本题考查了整式的混合运算，以及多项式与多项式相乘以及合并同类项的知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键.6．（2020·北京西城·北师大实验中学九年级期中）已知250x x +-=，求代数式()()()2122x x x +++-的值．【答案】7 ()()()()2212223x x x x x +++-=+- 因为250x x +-=所以25x x +=所以()()()21227x x x +++-=【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值，有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数运算顺序相似. 7．（2020·江西八年级期中）（1）分解因式：()()24129x y x y +-+-（2）先化简，再求值：()()()2232a b ab bb a b a b --÷-+-，其中1,12a b ==- 【答案】（1）()2332x y -+；（2）2ab -，1解：（1）()()24129x y x y +-+-=()223x y +-⎡⎤⎣⎦=()2332x y -+；（2）原式=()22222a ab b a b----=22222a ab b a b ---+=2ab -当a=12，b=-1时，原式=()1212-⨯⨯-=1． 【点睛】本题考查了整式的混合运算、化简求值及因式分解的知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8．（2020·福建八年级期中）阅读材料：我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．例如：分解因式：()()()()()222232141412123(1)x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-； 又例如：求代数式2246x x +-的最小值：∵()()222246223218x x x x x +-=+-=+-； 又∵120x +≥（）；当1x =-时，2246x x +-有最小值，最小值是-8．根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：（1）分解因式：245a a --=__________；（2）已知ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2241240a b a b +=+-，求边长c 的最小值； （3）当x 、y 为何值时，多项式222267x xy y y -+-++有最大值？并求出这个最大值．【答案】（1）()()15a a +-；（2）边长c 的最小值是5；（3）3x y ==时，222267x xy y y -+-++取得最大值为16解：（1）a 2-4a-5= a 2-4a+4-9=（a-2）2-9=（a-2+3）（a-2-3）=（a+1）（a-5）．故答案为：（a+1）（a-5）．（2）∵2241240a b a b +=+-，∴22412400a b a b +--+=，∴()()224412360a a b b -++-+=，∴()()22260a b -+-=， ∴2060a b -=⎧⎨-=⎩解得：26a b =⎧⎨=⎩， ∵a 、b 、c 是ABC 的三边长，∴48c <<，又∵c 是整数，5c =，6，7；∴边长c 的最小值是5；（3）222267x xy y y -+-++ 222()()26997x xy y y y =--+--+++()()22316x y y =----+，∵()20x y -≥，()230y -≥；∴()()2231616x y y ----+≤， ∴当030x y y -=⎧⎨-=⎩时，即：3x y ==时，222267x xy y y -+-++取得最大值为16． 【点睛】本题考查配方法和因式分解的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．9．（2020·山东八年级期中）因式分解：（1）2363a a -+（2）432235x x x --（3）()()22m m n n n m -+-【答案】（1）()231a -；（2）()()257xx x +-；（3）()()2m n m n -+ 解：（1）原式()2321a a =-+ ()231a =-；（2）原式()22235x x x =--()()257x x x =+-；（3）原式22()()m m n n m n =--- ()22()m n m n =--()()2m n m n =-+． 【点睛】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底．掌握平方差和完全平方公式是关键． 10．（2020·北京四中八年级期中）计算：（1）()()36x y x --（2）()422682x x y x -÷；（3）()()12x x -+；（4）()()33x y x y +--+．【答案】（1）-6x 2+18xy ；（2）3x 2-4y ；（3）x 2+x-2；（4）x 2-y 2+6y-9．解：（1）（x-3y ）（-6x ）=-6x 2+18xy ；（2）（6x 4-8x 2y ）÷2x 2=3x 2-4y ；（3）（x-1）（x+2）=x 2+2x-x-2=x 2+x-2；（4）（x+y-3）（x-y+3）=[x+（y-3）][x-（y-3）]=x 2-（y-3）2=x 2-y 2+6y-9．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．11．（2019·江西宜春·八年级月考）先化简：524223a a a a-⎛⎫++⋅ ⎪--⎝⎭，然后从03a ≤≤的范围内选取一个合适的整数作为a 的值代入求值．【答案】-2a-6，-6解：524223a a a a-⎛⎫++⋅ ⎪--⎝⎭ ＝()()22524223a a a a a a +-⎡⎤--⋅⎢⎥---⎣⎦ ＝2452423a a a a---⋅-- ＝292423a a a a--⋅-- ＝()()()332223a a a a a+--⋅-- ＝-()23+a＝-2a-6，∵当a=2，或a=3时，分式无意义，∴a 可以取0或1，当a=0时，原式=0-6=-6．【点睛】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．12．（2019·江西宜春·八年级月考）（1）化简：2(21)(21)4(1)a a a +---（2）解分式方程232111x x x+-=-- 【答案】（1）8a-5；（2）x=-2解：（1）2(21)(21)4(1)a a a +---=(2a)2-1-4(a 2-2a+1)=4a 2-1-4a 2+8a-4=8a-5；（2）∵232111x x x+-=--，∴232111x x x ++=--， 两边都乘以x 2-1，得3+(x+2)(x+1)= x 2-1，解得x=-2，当x=-2时，x 2-1≠0，∴x=-2是原分式方程的解．【点睛】本题考查了整式的混合运算，以及分式方程的解法，熟练掌握乘法公式和分式方程的解法是解答本题的关键．13．（2020·四川八年级期末）解分式方程（1）313221x x+=-- （2）2211656x x x x =+++- 【答案】（1）76x =； （2）3x = 解：（1）313221x x +=-- 去分母得，3-2=3（2x-2）去括号得，1=6x-6移项，合并同类项，得：7=6x系数化为1，得：76x =检验：当76x =时，2x-2=13≠0 则方程的解为76x =； （2）2211656x x x x =+++- 去分母得，22566x x x x +-=++整理得：4x=12解得，x=3经检验，x=3是原方程的解，【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．14．（2020·四川八年级期末）解分式方程（1）212x x x+=+（2）2313162 x x-=--【答案】（1）1x=-（2）12 x=（1）212xx x+=+，方程两边都乘以x(x+2)得，2（x+2）+x(x+2)=x2，2x+4+2x=0，x=-1，当x=-1时，x(x+2)=-1≠0，所以x=-1是原方程的解，（2）2313162x x-=--，方程两边都乘以2(3x-1)得4-（6x-2）=3，4-6x+2=3，6x=3，x=12，当x=12时2(3x-1)=-1，所以x=12是原方程的解．【点睛】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法，会找最简公分母，方程两边都乘以最间公分母，把分式方程转化为整式方程是解题关键．15．（2020·湖南八年级期中）先化简，再求值：2211y x y y x xy y⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，其中2x =，1y =-． 【答案】2()x y -+；2- 解：先化简；2211y x y y x xy y⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭ 22()()()y y x y x y x y y --=⋅+- 2()x y -=+ 求值：当2x =，1y =-时22221x y --==-+- 【点睛】本题考查了整式的加减−化简求值问题，解题的关键是原式化简． 16．（2020·湖南八年级期中）解分式方程：（1）33222x x x -+=-- （2）22201x x x+=++ 【答案】（1）43x = （2）无解 解：（1）方程两边同时乘以2x -，则()3223x x -+-=- 解得：43x = 又∵20x -≠，∴此方程的解：4:3x = （2）方程两边同时乘以()1x x +，则220x +=解得：1x =-又∵10x +=，∴1x =-是此方程的增根，此方程无解.【点睛】本题考查分式方程的求解，熟练掌握分式方程的解法和步骤并检验是解题关键．17．（2020·四川成都实外八年级期中）计算：（1）221442x x x x x x x+÷⋅+++． （2）2421422a a a +--+-． 【答案】（1）12x x ++；（2）12a + 解：（1）221442x x x x x x x+÷⋅+++． 22211(2)2x x x x x x x x +++=⋅⋅=++， （2）2421422a a a +--+-． 42(2)2(2)(2)(2)(2)(2)(2)a a a a a a a a -+=+-+-+-+-， ()()4+222(2)(2)a a a a --+=+-． 2(2)(2)a a a -=+-， 12a =+． 【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握通分，约分最简分式，因式分解等知识，会通分进行分式加减运算，会利用因式分解进行约分变为最简分式．18．（2020·北京师大附中八年级期中）当k 为何值时，关于x 的方程123(2)(3)x x x k x x x x ++-=-+-+的解为负数【答案】3k <且12k ≠-解：123(2)(3)x x x k x x x x ++-=-+-+ 去分母，得：()()()132x x x x x k ++--=+，去括号，得：22432x x x x x k ++-+=+，移项、合并同类项，得：53x k =-， 解得：35k x -=， ∴方程的解为负数，且使得分式有意义， ∴305325335k k k -⎧<⎪⎪-⎪≠⎨⎪⎪-≠-⎪⎩，解得3k <且12k ≠-． 【点睛】本题考查解分式方程、分式有意义的条件、解不等式组，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 19．（2020·山西八年级期末）计算（1）因式分解：2232x y xy y -+ （2）化简：2224123a b a b a ab a b（3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：513(1)1123x x x x -<+⎧⎪-⎨≥-⎪⎩ （4）解分式方程：22211x x x-+=-- 【答案】（１）2()y x y -；（２）4a b a +；（３）32x -≤<，数轴见详解；（４）23x = 解：（1）原式=22(2)y x xy y -+=2()y x y -（2）原式=()()3·4(3)a b a b a b a a b a b+-++- =4a b a+（3）513(1)1123x x x x -<+⎧⎪⎨-≥-⎪⎩①②由①得：2x <由②得：3x ≥-∴不等式得解集是32x -≤<，数轴上表示如下：（4）22211x x x-+=-- 方程两边同乘(1)x -可得：22(1)2x x -+-=- 解的：23x =经检验，23x =是原方程得根． 【点睛】（1）观察式子的特点，选择合适的公式是解题的关键；（2）在每一步计算中，要注意乘法公式的应用，以简化计算；（3）解不等式组的解集要根据以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了；（4）解分式方程时要注意验根．20．（2020·山东八年级期中）已知2 3721553x A B x x x x +=++-+-，求,A B 的值 【答案】1,2A B ==． (3)(5)53(5)(3)(5)(3)A B A x B x x x x x x x -++=++-+-+-， 35(5)(3)Ax A Bx B x x -++=+-， 2()35215A B x A B x x +-+=+-， 2237()3521553215x A B A B x A B x x x x x x ++-+=+=+-+-+-，3357A B A B +=⎧∴⎨-+=⎩， 解得12A B =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了分式的加法、解二元一次方程组，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．。
2021-2022学年人教版八年级数学上册《乘法公式》期末综合复习训练(附答案)
2021-2022学年人教版八年级数学上册《乘法公式》期末综合复习训练（附答案）1．下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A．（﹣2x﹣y）（2x+y）B．（﹣2x+y）（﹣2x﹣y）C．（﹣x﹣2y）（x﹣2y）D．（2x+y）（﹣2x+y）2．下列计算中：①（2x）3•（﹣5x2y）＝﹣10x5y；②（2a2﹣b）（2a2+b）＝4a2﹣b2；③（x+3）（3﹣x）＝x2﹣9；④（﹣x+y）（x+y）＝﹣（x﹣y）（x+y）＝﹣x2﹣y2．其中错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．若A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）+1，则A的值是（）A．0B．1C．D．4．已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（）A．0B．1C．5D．125．根据（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，…的规律，则可以得出22021+22020+22019+…+23+22+2+1的结果可以表示为．6．当n取正整数时，（1+x）n的展开式中每一项的系数可以表示成如下形式：（1）观察上面数表的规律，若（1+x）6＝1+6x+15x2+ax3+15x4+6x5+x6，则a＝；（2）（1+x）7的展开式中每一项的系数和为．7．如果4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，则m＝．8．如图所示，如图，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积为．9．若a+b＝5，ab＝3，则2a2+2b2＝．10．已知a+10＝b+12＝c+15，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝．11．若|x+y﹣5|+（xy﹣6）2＝0，则x2+y2的值为．12．已知（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝49，则ab＝．13．若x2﹣16x+m2是一个完全平方式，则m＝；若m﹣＝9，则m2+＝．14．多项式x2+mx+25恰好是另一个多项式的平方，则m＝．15．若4y2﹣my+25是一个完全平方式，则m＝．16．已知（2029﹣a）（2028﹣a）＝2027，那么（2029﹣a）2+（2028﹣a）2＝．17．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2（a﹣b）（a2+ab+b）＝a3﹣b3（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）＝a5﹣b5……（1）根据规律可得（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+a n﹣3b2+…+a2b n﹣3+ab n﹣2+b n﹣1）＝（其中n为正整数）；（2）仿照上面等式分解因式：a6﹣b6＝；（3）根据规律可得（a﹣1）（a n﹣1+a n﹣2+…+a2+a+1）＝（其中n为正整数）；（4）计算：（4﹣1）（410+49+48+…+42+4+1）＝；（5）计算：（﹣2）2021+（﹣2）2020+（﹣2）2019+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1＝．18．乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分的面积是（2）小颗将阴影部分接下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是，宽是，面积是（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到恒等式（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．（5）若49x2﹣y2＝25，7x﹣y＝5，则7x+y的值为19．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如12＝42﹣22，20＝62﹣42，28＝82﹣62，…，因此12，20，28这三个数都是奇巧数．（1）52，72都是奇巧数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？（3）研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证．20．计算：（2x﹣y）（4x2+y2）（2x+y）21．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用字母表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n的值为②计算：（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣1222．已知x2+y2＝25，x+y＝7，求xy和x﹣y的值．23．如图，一个正方形的边长增加了5cm，其面积就增加了125cm2，则这个正方形的边长是多少？24．观察下面各式规律：12+（1×2）2+22＝（1×2+1）2；22+（2×3）2+32＝（2×3+1）2；32+（3×4）2+42＝（3×4+1）2；…（1）请写出第2025行式子．（2）请写出第n行式子，并证明你的结论．（3）求证：n（n+2）2（n+4）+4是整数的完全平方式．参考答案1．解：A、结果是﹣（2x+y）2，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；B、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；C、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；D、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；故选：A．2．解：（2x）3•（﹣5x2y）＝8x3•（﹣5x2y）＝﹣40x5y，所以①错误；（2a2﹣b）（2a2+b）＝4a4﹣b2；，所以②错误；（x+3）（3﹣x）＝9﹣x2，所以③错误；（﹣x+y）（x+y）＝﹣（x﹣y）（x+y）＝﹣（x2﹣y2）＝﹣x2+y2，所以④错误．故选：D．3．解：A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）+1＝﹣（1﹣）+1＝故选：D．4．解：∵x＝3y+5，∴x﹣3y＝5，两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25，又∵x2﹣7xy+9y2＝24，两式相减，可得xy＝1，∴x2y﹣3xy2＝xy（x﹣3y）＝1×5＝5，故选：C．5．解：22021+2220+22019+…+23+22+2+1＝（2﹣1）（22021+22020+22019+…+23+22+2+1）＝22022﹣1．故答案为：22022﹣1．6．解：（1）由题意可得，（1+x）6＝1+6x+15x2+ax3+15x4+6x5+x6，则a＝20；（2）∵当n＝1时，多项式（1+x）1展开式的各项系数之和为：1+1＝2＝21，当n＝2时，多项式（1+x）2展开式的各项系数之和为：1+2+1＝4＝22，当n＝3时，多项式（1+x）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1＝8＝23，当n＝4时，多项式（1+x）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1＝16＝24，…∴多项式（1+x）7展开式的各项系数之和＝27．故答案为：20，27．7．解：∵4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，∴﹣mxy＝±2×2x×3y，∴m＝±12．8．解：∵去掉△DEF，则剩余部分为一个直角梯形∴图中阴影部分的面积为：（a+a+b）b﹣（b﹣a）a﹣（a+b）a＝ab+b2﹣ab+a2﹣a2﹣ab＝b2故答案为：．9．解：原式＝2（a2+b2）＝2[（a+b）2﹣2ab]＝2[52﹣2×3]＝38．故答案为：38．10．解：∵a+10＝b+12＝c+15∴a+10＝b+12⇒a﹣b＝2同理得a﹣c＝5，b﹣c＝3a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]＝（4+25+9）＝19故答案为1911．解：∵|x+y﹣5|≥0，（xy﹣6）2≥0，|x+y﹣5|+（xy﹣6）2＝0，∴x+y﹣5＝0，xy﹣6＝0，∴x+y＝5，xy＝6，∴（x+y）2＝25，即x2+y2+2xy＝25，∵xy＝6，∴x2+y2＝25﹣2×6＝13．12．解：∵（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝49，∴a2+2ab+b2＝1，a2﹣2ab+b2＝49，两式相减，可得4ab＝﹣48，∴ab＝﹣12．故答案为：﹣12．13．解：∵x2﹣16x+m2是完全平方式，∴16x＝2×8•x，∴m2＝82，解得m＝±8；∵m﹣＝9，∴（m﹣）2＝m2﹣2+＝81，解得m2+＝81+2＝83．14．解：∵x2+mx+25恰好是另一个多项式的平方，∴m ＝±2×5＝±10．故答案为：±10．15．解：∵4y 2﹣my +25是一个完全平方式，∴（2y ）2±2•2y •5+52，即﹣my ＝±2•2y •5，∴m ＝±20，故答案为：±20．16．解：（2029﹣a ）2+（2028﹣a ）2，＝（2029﹣a ）2+（2028﹣a ）2﹣2（2029﹣a ）（2028﹣a ）+2（2029﹣a ）（2028﹣a ）， ＝[（2029﹣a ）﹣（2028﹣a ）]2+2（2029﹣a ）（2028﹣a ），＝1+2×2027，＝4055．故填4055．17．解：（1）根据规律可得（a ﹣b ）（a n ﹣1+a n ﹣2b +a n ﹣3b 2+…+a 2b n ﹣3+ab n ﹣2+b n ﹣1）＝a n ﹣b n （其中n 为正整数）；故答案为：a n ﹣b n ．（2）仿照上面等式分解因式得：a 6﹣b 6＝（a ﹣b ）（a 5+a 4b +a 3b 2+a 2b 3+ab 4+b 5）； 故答案为：（a ﹣b ）（a 5+a 4b +a 3b 2+a 2b 3+ab 4+b 5）；（3）根据规律可得（a ﹣1）（a n ﹣1+a n ﹣2+…+a 2+a +1）＝a n ﹣1（其中n 为正整数）； 故答案为：a n ﹣1；（4）计算：（4﹣1）（410+49+48+…+42+4+1）＝411﹣1；故答案为：411﹣1；（5）∵（﹣2﹣1）[（﹣2）2021+（﹣2）2020+（﹣2）2019+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1]＝（﹣2）2022﹣1∴（﹣2）2021+（﹣2）2020+（﹣2）2019+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1＝32-12022故答案为：32-12022． 18．解：（1）阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a 2﹣b 2故答案为：a 2﹣b 2．（2）长方形的长是（a+b），宽是（a﹣b），面积＝长×宽＝（a+b）（a﹣b）故答案为：a+b；a﹣b；（a+b）（a﹣b）．（3）由（1）（2）可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（4）10.3×9.7＝（10+0.3）（10﹣0.3）＝102﹣0.32＝100﹣0.09＝99.91（5）∵49x2﹣y2＝25，∴（7x+y）（7x﹣y）＝25∵7x﹣y＝5∴（7x+y）×5＝25∴7x+y＝5故答案为：5．19．解：（1）∵52＝142﹣122，68＝182﹣162，76＝202﹣182，∴52是奇巧数，72不是奇巧数；（2）∵（2n+2）2﹣（2n）2＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）＝4（2n+1），∴这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数；（3）证明：∵[（2n+2）2﹣（2n）2]﹣[（2n+4）2﹣（2n+2）2]＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）﹣（2n+4+2n+2）（2n+4﹣2n﹣2）＝4（2n+1）﹣4（2n+3）＝8n+4﹣8n﹣12＝﹣8，∴任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数．20．解：原式＝（2x﹣y）（2x+y）（4x2+y2）＝（4x2﹣y2）（4x2+y2）＝16x4﹣y4．21．解：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12＝（1002﹣12）﹣（992﹣22）+（982﹣32）﹣…+（522﹣492）﹣（512﹣502）＝（100+1）（100﹣1）﹣（99+2）（99﹣2）+（98+3）（98﹣3）﹣…+（52+49）（52﹣49）﹣（51+50）（51﹣50）＝101×99﹣101×97+101×95﹣…+101×3﹣101×1＝101×（99﹣97+95﹣…+3﹣1）＝101×（2+2+ (2)＝101×25×2＝5050．22．解：（1）图①按照正方形面积公式可得：a2﹣b2；图②按照长方形面积公式可得：（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）．（2）令（1）中两式相等可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【应用】①∵4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）∴（2m﹣n）＝12÷4＝3故答案为：3．②（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）＝[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]＝4a2﹣（b﹣c）2＝4a2﹣b2+2bc﹣c2【拓展】①原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1＝（216﹣1）…（232+1）+1＝264﹣1+1＝264∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷4＝16故答案为：6．②原式＝（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+…+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝505023．解：∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，∴25＝72﹣2xy，∴xy＝12，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝25﹣2×12＝1，∴x﹣y＝±1．24．解：设原来正方形的边长为xcm，增加后边长为（x+5）cm，根据题意得：（x+5）2﹣x2＝125，解得：x＝10，答：这个正方形原来的边长为10cm．25．解：（1）第2025个式子为20252+（2025×2026）2+20262＝（2025×2026+1）2；（2）以此类推，第n行式子为n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝[n（n+1）+1]2．证明：左边＝n2+（n2+n）2+（n+1）2＝n4+2n3+3 n2+2n+1右边＝（n2+n+1）2＝n4+2n3+3 n2+2n+1所以n2+[n•（n+1）]2+（n+1）2＝[n•（n+1）+1]2；（3）证明：n（n+2）2（n+4）+4＝（n+2﹣2）（n+2）2（n+2+2）+4＝[（n+2）2﹣4]（n+2）2+4＝（n+2）4﹣4（n+2）2+4＝[（n+2）2﹣2]2，故n（n+2）2（n+4）+4是整数的完全平方式．。
2021-2022学年人教版八年级数学上册《乘法公式》期末综合复习训练(附答案)
2021-2022学年人教版八年级数学上册《乘法公式》期末综合复习训练（附答案）1．如图，将图①中大小相同的四个小正方形按图②所示的方式放置变为一个大正方形，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b22．如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．a2+ab＝a（a+b）3．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（）A．总不小于2B．总不小于7C．可为任何实数D．可能为负数4．已知a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，那么代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是（）A．4B．3C．2D．15．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为．6．若4x2﹣mx+49是一个完全平方式，则m的值为．7．若a+b＝2，则代数式a2﹣b2+4b＝．8．若a﹣b＝5，ab＝4，则a2+b2＝，a+b＝．9．已知a2+ab+b2＝7，a2﹣ab+b2＝9，则（a+b）2＝．10．如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为（a﹣1）的正方形．记图1，图2中阴影部分的面积分别为S1，S2，则可化简为．11．已知（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝49，则ab＝．12．计算（2+1）（22+1）（24+1）+（27﹣1）2＝．13．（﹣3﹣2x）（2x﹣3）＝．14．计算（x﹣1）（2+x）﹣（x+3）（x﹣3）的结果是．15．利用乘法公式计算：1012+992＝．16．当m＝时，x2+（m﹣3）x+16是完全平方式；若x2+6x+k2是完全平方式，k ＝．17．已知（x﹣y）2＝4，（x+y）2＝64；求下列代数式的值：（1）x2+y2；（2）xy．18．如图，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板．一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板，一块正方形以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形．问大正方形的面积是多少？19．用简便方法计算（1）0.259×220×259×643（2）20212﹣4042+2．20．如图，两个正方形边长分别为a、b．（1）求阴影部分的面积．（2）如果a+b＝17，ab＝60，求阴影部分的面积．21．已知m，n满足（m+n）2＝169，（m﹣n）2＝9，①求m2+n2的值；②求mn的值．22．（a+2）（a﹣2）（a2+4）（a4+16）23．已知a2+b2+c2＝1且，求ab+bc+ac的值．24．已知x+y＝1，求x2+xy+y2的值．25．已知a+b＝3，ab＝﹣1．求下列代数式的值（1）a2+b2（2）2a2﹣3ab+2b2．26．已知实数a、b满足a+b＝8，ab＝15，且a＞b，试求a﹣b的值．27．已知实数a、b满足（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝25，求a2+b2+ab的值．参考答案1．解：阴影部分的面积是四个阴影小正方形的面积和，由拼图可得四个阴影小正方形可以拼成边长为（a﹣b）的正方形，因此面积为（a﹣b）2，由图2可知，阴影部分的面积等于边长为a的正方形的面积减去之间十字架的面积，即：a2﹣2ab+b2，因此有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选：A．2．解：方法一阴影部分的面积为：（a﹣b）2，方法二阴影部分的面积为：（a+b）2﹣4ab，所以根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．故选：C．3．解：x2+y2+2x﹣4y+7＝（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+2＝（x+1）2+（y﹣2）2+2，∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，∴x2+y2+2x﹣4y+7≥2．故选：A．4．解：法一：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a），又由a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，得（a﹣b）＝x+20﹣x﹣19＝1，同理得：（b﹣c）＝﹣2，（c﹣a）＝1，所以原式＝a﹣2b+c＝x+20﹣2（x+19）+x+21＝3．故选B．法二：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac），＝[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]，＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，＝×（1+1+4）＝3．故选：B．5．解：根据题意可得，四边形ABCD的面积＝（a2+b2）﹣﹣b（a+b）＝（a2+b2﹣ab）＝（a2+b2+2ab﹣3ab）＝[（a+b）2﹣3ab]；代入a+b＝10，ab＝20，可得：四边形ABCD的面积＝（10×10﹣20×3）÷2＝20．故答案为：20．6．解：∵（2x）2±28x+72＝（2x±7）2，∴﹣m＝±28，∴m＝±28，故答案为±28．7．解：∵a+b＝2，∴a2﹣b2+4b＝（a+b）（a﹣b）+4b＝2（a﹣b）+4b＝2a+2b＝2（a+b）＝2×2＝4，故答案为：4．8．解：把a﹣b＝5两边平方得：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝25，将ab＝4代入得：a2+b2＝33，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝33+8＝41，∴a+b＝±，故答案为：33；±9．解：∵a2+ab+b2＝7①，a2﹣ab+b2＝9②，∴①+②得：2（a2+b2）＝16，即a2+b2＝8，①﹣②得：2ab＝﹣2，即ab＝﹣1，则原式＝a2+b2+2ab＝8﹣2＝6，故答案为：610．解：∵S1＝a2﹣1，S2＝（a﹣1）2，∴＝＝＝，故答案为：．11．解：∵（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝49，∴a2+2ab+b2＝1，a2﹣2ab+b2＝49，两式相减，可得4ab＝﹣48，∴ab＝﹣12．故答案为：﹣12．12．解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）+（27﹣1）2＝（22﹣1）（22+1）（24+1）+214﹣2×27×1+12＝（24﹣1）（24+1）+214﹣28+1＝28﹣1+214﹣28+1＝214，故答案为：214．13．解：（﹣3﹣2x）（2x﹣3）＝（﹣3）2﹣（2x）2＝9﹣4x2．故答案为：9﹣4x2．14．解：（x﹣1）（2+x）﹣（x+3）（x﹣3）＝2x﹣2+x2﹣x﹣x2+9＝x+7．故答案为：x+7．15．解：原式＝（101+99）2﹣2×101×99＝2002﹣2×（100+1）×（100﹣1）＝40000﹣2×9999＝40000﹣19998＝20002，故答案为：2000216．解：当m＝11或﹣5时，x2+（m﹣3）x+16是完全平方式；若x2+6x+k2是完全平方式，k＝±3，故答案为：11或﹣5；±317．解：（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4①，（x+y）2＝x2+2xy+y2＝64②，（1）①+②得：x2+y2＝34；（2）②﹣①得：4xy＝60，即xy＝15．18．解：设小正方形的边长为x，依题意得1+x+2＝4+5﹣x，解得x＝3，∴大正方形的边长为6厘米，∴大正方形的面积是36平方厘米，答：大正方形的面积是36平方厘米．19．解：（1）原式＝[0.259×49]•[410×259]＝1×4×1018＝4×1018（2）原式＝20212﹣2×2021+1+1＝（2021﹣1）2+1＝4080401．20．解：（1）阴影部分的面积可表示为：a2+b2﹣a2﹣（a+b）b＝a2+b2﹣a2﹣ab﹣b2＝（a2﹣ab+b2）＝[（a+b）2﹣3ab]（2）当a+b＝17，ab＝60时，原式＝（172﹣3×60）＝54.521．解：（m+n）2＝m2+n2+2mn＝169，i）（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝9，ii）①由i）+ii）得：2（m2+n2）＝178，则m2+n2＝89；②由i）﹣ii）得：4mn＝160，则mn＝40．22．解：原式＝（a2﹣4）（a2+4）（a4+16）＝（a4﹣16）（a4+16）＝a8﹣256．23．解：∵，∴a﹣c＝+＝，∵（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝2（a2+b2+c2）﹣2（ab+ac+bc），∴++＝2﹣2（ab+ac+bc）∴ab+ac+bc＝×（2﹣）＝﹣，即ab+bc+ac的值是﹣．24．解：x2+xy+y2＝（x+y）2＝×1＝．25．解：（1）将a+b＝3平方得：（a+b）2＝9，即a2+2ab+b2＝9，将ab＝﹣1代入得：a2﹣2+b2＝9，即a2+b2＝11；（2）2a2﹣3ab+2b2＝2（a+b）2﹣7ab＝2×9+7＝25．26．解：∵a+b＝8，ab＝15，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝64﹣60＝4，∵a＞b，∴a﹣b＞0，∴a﹣b＝＝＝2．27．解：∵（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝1，a2+b2﹣2ab＝25．∴4ab＝﹣24，ab＝﹣6，∴a2+b2+ab＝（a+b）2﹣ab＝1﹣（﹣6）＝7．。
2021-2022学年人教版八年级数学上册《乘法公式》期末综合复习训练1(附答案)
2021-2022学年人教版八年级数学上册《乘法公式》期末综合复习训练1（附答案）1．下列运算正确的是（）A．x2+x2＝x4B．（xy2）2＝xy4C．y6÷y2＝y3D．﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y22．下列运算正确的是（）A．|﹣（﹣2）|＝﹣2B．3+＝3C．（a2b3）2＝a4b6D．（a﹣2）2＝a2﹣43．下列运算一定正确的是（）A．a2•a＝a3B．（a3）2＝a5C．（a﹣1）2＝a2﹣1D．a5﹣a2＝a34．从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（）A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定5．下列运算正确的是（）A．（a﹣）2＝a2﹣B．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9C．﹣2（3a+1）＝﹣6a﹣1D．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2b26．已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（）A．24B．48C．12D．27．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（）A．3B．3.5C．4D．4.58．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2﹣x＝x（x﹣1）9．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（）A．205B．250C．502D．52010．如图（1）所示在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把拿下的部分剪拼成一个矩形如图（2）所示，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b211．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b212．选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（）A．运用多项式乘多项式法则B．运用平方差公式C．运用单项式乘多项式法则D．运用完全平方公式13．已知a+b＝2，a﹣b＝3．则a2﹣b2的值为．14．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片块．15．若x、y满足，则代数式x2﹣4y2的值为．16．计算：20212﹣20202＝．17．若a＝b+2，则代数式a2﹣2ab+b2的值为．18．若9x2+kxy+y2是完全平方式，则k＝．19．若a+b＝1，则a2﹣b2+2b﹣2＝．20．已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为．21．定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）※x的结果为．22．化简x2﹣（x+2）（x﹣2）的结果是．23．小红在计算a（1+a）﹣（a﹣1）2时，解答过程如下：a（1+a）﹣（a﹣1）2＝a+a2﹣（a2﹣1）……第一步＝a+a2﹣a2﹣1……第二步＝a﹣1……第三步小红的解答从第步开始出错，请写出正确的解答过程．24．计算：（1+a）（1﹣a）+（a+3）2．25．化简：（a﹣5）2+a（2a+8）．26．计算：x（x+2）+（1+x）（1﹣x）．27．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式：．（2）若用图1中的8块C型长方形卡片可以拼成如图3所示的长方形，它的宽为20cm，请你求出每块长方形的面积．（3）选取1张A型卡片，3张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若S＝S2﹣S1，则当a与b满足时，S为定值，且定值为．参考答案1．解：A．由合并同类项的法则，得x2+x2＝2x2，故A不符合题意．B．由积的乘方以及幂的乘方，得（xy2）2＝x2y4，故B不符合题意．C．由同底数幂的除法，得y6÷y2＝y4，故C不符合题意．D．由完全平方公式，得﹣（x﹣y）2＝﹣x2﹣y2+2xy，故D符合题意．故选：D．2．解：A、|﹣（﹣2）|＝2，原计算错误，故本选项不符合题意；B、3与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故本选项不符合题意；C、（a2b3）2＝a4b6，原计算正确，故本选项符合题意；D、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，原计算错误，故本选项不符合题意．故选：C．3．解：A、a2•a＝a3，原计算正确，故此选项符合题意；B、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a5与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A．4．解：矩形的面积为（a+6）（a﹣6）＝a2﹣36，∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米，故选：C．5．解：（a﹣）2＝a2﹣a+，故选项A错误；（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，故选项B正确；﹣2（3a+1）＝﹣6a﹣2，故选项C错误；（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣ab﹣2b2，故选项D错误；故选：B．6．解：（a+b）2＝a2+2ab+b2，将a2+b2＝25，（a+b）2＝49代入，可得2ab+25＝49，则2ab＝24，所以ab＝12，故选：C．7．解：设A的边长为x，B的边长为y，由甲、乙阴影面积分别是、可列方程组，将②化简得2xy＝③，由①得，将③代入可知x2+y2＝3.5．故选：B．8．解：由图可知，图1的面积为：x2﹣12，图2的面积为：（x+1）（x﹣1），所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．故选：B．9．解：设较小的奇数为x，较大的为x+2，根据题意得：（x+2）2﹣x2＝（x+2﹣x）（x+2+x）＝4x+4，若4x+4＝205，即x＝，不为整数，不符合题意；若4x+4＝250，即x＝，不为整数，不符合题意；若4x+4＝502，即x＝，不为整数，不符合题意；若4x+4＝520，即x＝129，符合题意．故选：D．10．解：由题可得：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）．故选：A．11．解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，则面积是（a﹣b）2．故选：C．12．解：选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是：运用平方差公式．故选：B．13．解：当a+b＝2，a﹣b＝3时，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×3＝6．故选：6．14．解：（1）由图可知：一块甲种纸片的面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为a2+b2，故答案为：a2+b2；（2）设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，（x≥0）∴a2+4b2+xab是一个完全平方式，∴x为4，故答案为：4．15．解：∵x﹣2y＝﹣2，x+2y＝3，∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝3×（﹣2）＝﹣6，故答案为：﹣6．16．解：20212﹣20202＝（2021+2020）×（2021﹣2020）＝4041×1＝4041故答案为：4041．17．解：∵a＝b+2，∴a﹣b＝2，∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝22＝4．故答案为：418．解：∵9x2+kxy+y2是完全平方式，∴kxy＝±2×3x×y，解得：k＝±6，故答案为：±6．19．解：∵a+b＝1，∴a2﹣b2+2b﹣2＝（a+b）（a﹣b）+2b﹣2＝a﹣b+2b﹣2＝a+b﹣2＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．20．解：∵a＝7﹣3b，∴a+3b＝7，∴a2+6ab+9b2＝（a+3b）2＝72＝49，故答案为：49．21．解：根据题意得：（x﹣1）※x＝（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1．故答案为：x2﹣1．22．解：x2﹣（x+2）（x﹣2）＝x2﹣x2+4＝4．故答案为：4．23．（1）解：一，解：a（1+a）﹣（a﹣1）2＝a+a2﹣（a2﹣2a+1）＝a+a2﹣a2+2a﹣1＝3a﹣1．故答案为一．24．解：原式＝1﹣a2+a2+6a+9＝6a+10；25．解：原式＝a2﹣10a+25+a2+4a＝2a2﹣6a+25．26．解：原式＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1．27．解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2，方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2，因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）设每块C型卡片的宽为xcm，长为ycm，根据题意得x+y＝20，4x＝20，解得x＝5，y＝15，所以每块长方形材料的面积是：5×15＝75（cm2）．（3）设DG长为x．∵S1＝a[x﹣（a+b）]＝ax﹣a2﹣ab，S2＝2b（x﹣a）＝2bx﹣2ab，∴S＝S2﹣S1＝（2b﹣a）x+a2﹣ab，由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化，可知当2b﹣a＝0时，即a＝2b时，S＝a2﹣ab为定值，故答案为：a＝2b，a2﹣ab．。
14.2 乘法公式(原卷版)-2021-2022学年八年级数学上册精选新题汇编(人教版)
2021-2022学年人教版数学八年级上册精选新题汇编第十四章《整式的乘法与因式分解》14.2 乘法公式一．选择题1．（2021春•埇桥区期末）下列运算中，正确的是（）A．a2+a2＝a4B．a2•a3＝a6C．（a2）4＝a8D．（a+b）2＝a2+b22．（2021春•徐州期末）如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2+2ab﹣b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b23．（2021春•怀宁县期末）下列运算正确的是（）A．（﹣3mn）2＝6m2n2B．（x2y）3＝x5y3C．（xy）2÷（﹣xy）＝﹣xy D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b24．（2021春•南岸区期末）如图，有三种规格的卡片共25张，其中边长为a的正方形卡片9张，边长为b 的正方形卡片4张，长，宽分别为a，b的长方形卡片12张，现使用这25张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）A．9a+4b B．9a+2b C．3a+4b D．3a+2b5．（2021春•怀宁县期末）已知a+b＝5，a2+b2＝19，则ab＝（）A．6B．﹣6C．3D．﹣36．（2021春•浦江县期末）如图是将正方形ABCD和正方形CEFG拼在一起的图形，点B，C，E在同一条直线上，连结BD，BF．若阴影部分△BDF的面积为8，则正方形ABCD的边长为（）A．2B．3C．4D．67．（2021春•龙泉驿区期末）下列乘法公式运用正确的是（）A．（a+b）（b﹣a）＝a2﹣b2B．（m+1）（m﹣1）＝m2﹣1C．（2x﹣1）2＝2x2+4x﹣1D．（a+1）2＝a2+18．（2021春•蚌埠期末）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如8＝32﹣12，16＝52﹣32，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（）A．20B．22C．26D．249．（2021春•桥西区期末）将982变形正确的是（）A．982＝902+82B．982＝902﹣90×8+82C．982＝1002﹣2×100×2+22D．982＝（100+2）（100﹣2）10．（2021春•潜山市期末）已知x2﹣mx+16是一个完全平方式，则m的值为（）A．4B．﹣4C．8或﹣8D．4或﹣4二．填空题11．（2021春•上城区期末）计算（﹣s+t）（﹣s﹣t）＝．12．（2021春•江都区期末）已知（a+b）2＝3，（a﹣b）2＝5，则ab＝．13．（2021春•龙泉驿区期末）关于x的二次多项式x2+6x+m是一个完全平方式，则常数项m＝．14．（2021春•丽水期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虛线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是．（请填上正确的序号）15．（2021春•蚌埠期末）已知（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝18，则（x﹣2021）2的值是．16．（2021春•海淀区校级期末）将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积之和为S2，若S1＝S2，则的值为．17．（2021春•东海县期末）若二次三项式9x2+ax+4是一个完全平方式，则常数a＝．18．（2021春•武侯区期末）若关于x的多项式x2﹣（k﹣2021）x+9是完全平方式，则k的值为．19．（2021春•温江区期末）若a2+b2＝7，a﹣b＝3，则ab的值为．20．（2021春•雁塔区校级期末）若（x﹣4）（5﹣x）＝﹣8，则（x﹣4）2+（5﹣x）2＝．三．解答题21．（2021春•漳州期末）已知x＝a﹣2015，y＝2021﹣a，xy＝5．（1）求x2+y2的值；（2）求（x﹣y）2的值；（3）求a的值．22．（2021春•成都期末）将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2作适当的变形，可以解决很多的数学问题．请你观察、思考并解决下列问题：（1）若m+n＝7，m2+n2＝25，且m＜n，求m﹣n的值；（2）如图，长方形ABCD的周长是160米，以BC、CD为边分别向外作正方形BCMN、正方形DCEF，若这两块正方形的面积和为4000平方米，求长方形ABCD的面积．23．（2021春•南海区期末）在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨．（1）若ab＝30，a+b＝10，则a2+b2的值为．（2）“若y满足（40﹣y）（y﹣20）＝50，求（40﹣y）2+（y﹣20）2的值”．阅读以下解法，并解决相应问题．解：设40﹣y＝a，y﹣20＝b则a+b＝（40﹣y）+（y﹣20）＝20ab＝（40﹣y）（y﹣20）＝50这样就可以利用（1）的方法进行求值了．若x满足（40﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（40﹣x）²+（x﹣20）²的值．（3）若x满足（30+x）（20+x）＝10，求（30+x）²+（20+x）²的值．24．（2021春•长安区期末）两个边长分别为a和b的正方形按图1放置，其未叠合部分（阴影）面积记作S1，若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形，如图2所示，两个小正方形叠合部分（阴影）面积记作S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；（2）若a+b＝15，ab＝5，求S1+S2的值．25．（2021春•郴州期末）如图，将边长为（a+b）的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1：，方法2：；（2）从中你发现什么结论呢？；（3）运用你发现的结论，解决下列问题：①已知x+y＝6，xy＝2，求x2+y2的值；②已知（2021﹣x）2+（x﹣2020）2＝9，求（2021﹣x）（x﹣2020）的值．26．（2021春•丹阳市期末）如图，有长为m，宽为n的长方形卡片A（m＞n），边长为m的正方形卡片B，边长为n的正方形卡片C，将卡片C按如图1放置于卡片A上，其未叠合部分（阴影）面积为S1，将卡片A按如图2放置于卡片B上，其未叠合部分（阴影）面积为S2．（1）S1＝，S2＝；（用含m、n的代数式表示）（2）若S1+S2＝18，则图3中阴影部分的面积S3＝；（3）若m﹣n＝6，mn＝10，求图4中阴影部分的面积S4．27．（2021春•新邵县期末）已知多项式A＝（x+2）2﹣（x﹣1）（2+x）﹣3．（1）化简多项式A；（2）若（x+1）2﹣x2＝﹣3，求A的值．28．（2021春•靖江市校级月考）如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．（1）根据上述过程，写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系：；（2）利用（2）中的结论，若x+y＝4，xy＝，则（x﹣y）2的值是；（3）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式：；（4）如图④，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2…，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为S n时，试求S2021﹣S2020的值．。
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2020-2021学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）
专题05 乘法公式
【典型例题】
1．（2019·东北师大附中明珠学校期中）计算：
（1）2()(2)x y y x y +-+
（2）2(1)(5)(5)a a a -+-+
2．（2019·山西初二月考）已知：2x y +=且3xy =-，试解答下列问题：
（1）求223x xy y ++的值；
（2）求2()x y -
的值．
【专题训练】
一、选择题
1．（2020·辽宁南昌新世界学校期中）下列各式中，不能用平方差公式的是（ ）
A ．（3x ﹣2y ）（3x +2y ）
B ．（a +b +c ）（a ﹣b +c ）
C ．（a ﹣b ）（﹣b ﹣a ）
D ．（﹣x +y ）（x ﹣y ）
2．（2020·西藏达孜县中学期中）已知a =1，b ，则a 2-2ab +b 2的值为（
）
A B ．1-C ．3 D ．3-
3．（2020·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校期中）已知(m +n )2=8，（m -n ）2=12，则m 2+n 2得值为（ ）
A ．10
B ．-10
C ．8
D ．-8
4．（2020·黑龙江佳木斯·期末）若x 2+2(m -1)x +16是完全平方式，则m 的值为（ ）
A ．±8
B ．-3或5
C ．-3
D ．5
5．（2019·河北保定·初一期中）如图，能根据图形中的面积说明的乘法公式是（ ）
A ．22()()a b a b a b +-=-
B ．222()2a b a ab b +=++
C ．222()2a b a ab b -=-+
D ．2()()x p x q x p q x pq ++=+++（）
6．（2020·太原市志达中学校初一月考）设a ，b 是实数，定义*的一种运算如下：a *b ＝（a +b ）2，则下列结论有：①a *b ＝0，则a ＝0且b ＝0;②a *b ＝b *a ;③a *（b +c ）＝a *b +a *c ;④a *b ＝（﹣a ）*（﹣b ）.正确的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
7．（2020·广东佛山·初二月考）计算：_________ 8．（2020·黑龙江期中）已知x 2 + y 2=10，xy =4，求（x +y ）2的值为_______ ．
9．（2019·甘肃省庆阳市宁县和盛初级中学期末）已知：15-=m m ，则221m m -=_______． 10．（2019·山西初二月考）如果2(1)1x m x -++是完全平方式，则m 的值为________
11．（2020·夏津县第二实验中学初三月考）如果2(2a +
=+a 、b 为有理数），则a ＋b ＝_________． 12．对于任意实数，规定的意义是a b c d =ad -bc ．则当x 2-3x +1=0时，1321x x x x +-- =______．
三、解答题
13．（2020·广州市番禺执信中学期中）计算：
（1）(-2x )3-4x (x -2x 2) （2）(a -b )2+b (a -b )
14．（2020·吉林大学附属中学月考）简算
（1）99101⨯
（2）228001600798798-⨯+
15．（2020·广州市番禺执信中学期中）先化简，再求值：[2(x -y )2-2(x -2y )(2y +x )]÷(-2y )，其中x =2，y =-1．
16．（2020·四川树德中学月考）已知：a 2，b 2．
（1）求ab ．
（2）求22a b ab +-
17．（2020·广州市番禺执信中学期中）a 2≥0这个结论在教学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式（配方法）． 例如：x 2+4x +5=x 2+4x +4+1，∵(x +2)2≥0，∴(x +2)2+1≥1，∴x 2+4x +5≥1．
试利用配方法：解决下列问题：
（1）已知x 2-4x +y 2+6y +13=0，求x +y 的值；
（2）比较代数式A =6x 2+8与B =x 2+8x 的大小．
18．（2018·山西月考）如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕如下图虚线所示，其中有两块是边长都为xcm 的大正方形，两块是边长都为ycm 的小正方形，五块是长、宽分别是xcm 、ycm 的全等小矩形，且x >y ．
（1）用含x 、y 的代数式表示切痕总长为 cm ；
（2）若每块小矩形的面积为40cm 2，四个正方形的面积和为232cm 2，试求x ＋y 表示的长度．
19．（2020·黑龙江期中）如图1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积．
方法1： ；
方法2： ；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：22(),(),m n m n mn +-之间的等量关系：
；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决下面的问题：已知a +b =3，ab =2，求2
()a b 的值．
20．（2020·武穴市龙坪镇中学期末）如图①，是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．
（1）图②中画有阴影的小正方形的边长等于多少？
（2）观察图②，写出代数式（m +n ）2，（m ﹣n ）2与mn 之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系解决下面的问题：若a +b =7，ab =5，求（a ﹣b ）2的值．
21．（2020·上蔡县第一初级中学初二月考）()2(1)11x x x -+=-； 23(1)(1)1x x x x -++=-；
324(1)(1)1x x x x x -+++=-；
4325(1)(1)1x x x x x x -++++=-；
．．．．．．
①当x =3时，324(31)(3331)31-+++=-= ；
②试求：5432222221+++++的值；
③计算2018
2017233331+++++的值．
22．（2020·商水县希望中学初二月考）探索题：()()2111x x x -+=-；()()23111x x x x -++=-；()()324111x x x x x -+++=-；()()4325111x x x x x x -++++=-… 根据前面的规律，回答下列问题：
（1）()()4123211n n x x x x x x x ---+++++++=______．
（2）当3x =时，()()20192018201732313333331-+++++++=______．
（3）求：202020192018322222221+++++++的值（请写出解题过程）．。