整数与整除的基本性质一
数论与整数的基本性质与应用
数论与整数的基本性质与应用数论是数学的一个重要分支，研究整数的性质与应用。
整数是自然数、负整数和0的集合，数论主要考察整数的奇偶性、因数分解、模运算等基本性质。
本文将介绍数论中的基本概念和定理，并探讨其在密码学、组合数学、代数学等领域的应用。
1. 整数的基本性质与整除关系整数具有奇偶性的性质。
一个整数如果可以被2整除，则被称为偶数；否则，被称为奇数。
任意整数都可以用偶数和奇数来表示。
整除关系是数论中的一个重要概念。
对于两个非零整数a和b，如果存在整数c使得a=bc，我们称b整除a，记作b|a。
例如，4能够整除12，记作4|12。
2. 质数与素数分解质数是指大于1的整数，除了1和它自身外，没有其他的因数。
如果一个整数能够被大于1和小于它自身的整数整除，那么就称其为合数。
素数分解是数论中的一个重要定理。
它表明任意一个大于1的整数都可以唯一地表示为若干个质数的乘积。
例如，120可以表示为2 * 2 *2 *3 * 5。
3. 同余关系与模运算同余关系是数论中的一个重要概念，用来描述两个整数除以同一个正整数得到的余数相等的性质。
如果两个整数a和b除以正整数m所得的余数相等，即(a-b) mod m = 0，我们称a与b关于模m同余，记作a ≡ b (mod m)。
同余关系具有传递性、对称性和反对称性等基本性质。
模运算是一种对整数进行计算的方法，它将运算的结果限制在一个有限的范围内。
例如，25 mod 7 = 4，表示25除以7的余数是4。
4. 数论在密码学中的应用数论在密码学中具有重要的应用价值。
其中，最著名的是RSA加密算法，它是一种公钥密码体制。
RSA算法的关键在于选择两个大素数p和q，并计算它们的乘积n=p*q。
由于质因子分解是一个困难的数学问题，因此，找到p和q是容易的，但将n分解为p和q却是非常困难的。
5. 数论在组合数学中的应用组合数学是研究离散结构和离散对象的数学分支，数论在其中发挥着重要的作用。
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除是数论中的一个重要概念，它描述了一个整数能够被另一个整数整除，也就是除法运算的结果是整数。
整除有着许多重要的性质和特征，下面将详细介绍。
1.定义：整数a能够被整数b整除，即b是a的因数，记作b，a，当且仅当存在一个整数c，使得a=b·c。
其中，c称为a除以b的商，b称为a的约数，a称为b的倍数。
2.可加性：如果c是a的一个约数，那么c也是a的倍数。
换句话说，如果一个整数能够整除a，那么它也能够整除a的倍数。
3.可乘性：如果b，a且c，a，那么b·c也，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a与b的乘积。
4.整除的传递性：如果b，a且c，b，那么c，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a。
5.算术基本定理：任意一个大于1的整数，都可以表达为多个质数的积。
这意味着，如果一个整数可以整除另一个整数，那么它必然可以整除这个整数的所有质因数。
6. 两个非零整数的最大公约数和最小公倍数：两个非零整数a和b的最大公约数（记作gcd(a,b)）是能够同时整除a和b的最大正整数。
两个非零整数a和b的最小公倍数（记作lcm(a,b)）是能够同时被a和b整除的最小正整数。
于是有gcd(a,b)·lcm(a,b)=a·b。
7.唯一分解定理：任何一个整数都能够唯一地分解为几个质数的乘积。
这个定理也说明了一个数的因数有限，不会无限增多。
8. 整除与除法的关系：一个整数a能够被b整除，相当于a除以b 的余数为0。
对于任意的整数a和b，总能够找到唯一的两个整数商q和余数r，使得a=bq+r，其中r满足0≤r<，b。
9. 整除与模运算的关系：一个整数a能够被b整除，等价于a除以b的余数为0，即a mod b = 0。
在模运算中，a mod b表示a除以b的余数。
10. 除法的消去律：如果一个整数a能够被b整除，那么对于任意的整数c，ac也能够被bc整除。
整数整除的概念和性质
综合创新
24．重排任一个三位数三个位上的数字，得到 一个最大的数和一个最小的数，它们的差构 成另一个三位数(允许百位数字为0)，再重复 以上的过程，问重复2003次后所得的数是多 少?证明你的结论． (2 0 0 4年武汉市选拔赛试题)
一.求被除数类
1. 同余加余，同差减差 例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少？ 解：因为"被5除余3，被3除余3"中余数相同，即都是3（同余），所以要先求满足5和 3的最小数，[5、3]=15， 15+3=18， 18÷7=2……4不余6，（不对） 15×2=30 （30+3）÷7=4……5不余6（不对） （15×3+3）÷7=6……6（对） 所以满足条件的最小数是48。
能力拓展
21．将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8， 9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个 能被11整除的最大的九位数。请你写出这九 张卡片的排列顺序，并简述推理过程。 22．将糖果300粒、饼干210块和苹果163个平 均分给某班同学，余下的糖果、饼干和苹果 的数量之比是1：3：2．问该班有多少名同学? 23．已知质数p、q使得表达式(2p+1)/q及(2q3)/p都是自然数，试确定p2q的值。
练习题：
1. 一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？ 2. 已知整数n除以3余2，求n除以12的余数？ 3. 某数除以13余5，除以17余8，除以21余4，求此数最小是多少？ 4. 号码分别为101，126，173，193的四个运动员进行乒乓球比赛，规定每 两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数。那么，打球盘数最多的运动 员打了多少盘？ 5. 求21000除以13的余数是多少？ 6. 当n是1到1992之间的一个自然数时，把它的各位数字相加，如果它的和 不是一个一位数，那么把它的各位数再相加，如此继续下去，直到得到一个从1 到9的一位数为止（例如：468→18→9）。问在1到1992这1992个自然数经过上 述方法处理后所得的1992个一位数中，3多还是4多？多几个？ 7. 由2000个2组成的数除以13，所得的余数是几？
整除规则（原理，性质）
整除规则（原理，性质）各种被整除的数的特征（放在这里以备以后查阅方便）（1）被2整除的数的特征：一个整数的末位是偶数（0、2、4、6、8）的数能被2整除。
（2）被3整除的数的特征：一个整数的数字和能被3整除，则这个数能被3整除。
（3）被4整除的数的特征：一个整数的末尾两位数能被4整除则这个数能被4整除。
可以这样快速判断：最后两位数，要是十位是单数，个位就是2或6，要是十位是双数，个位就是0、4、8。
（4）被5整除的数的特征：一个整数的末位是0或者5的数能被5整除。
（5）被6整除的数的特征：一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（6）被7整除的数的特征：“割减法”。
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，这样，一次次下去，直到能清楚判断为止，如果差是7的倍数（包括0），则这个数能被7整除。
过程为：截尾、倍大、相减、验差。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（7）被8整除的数的特征：一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（8）被9整除的数的特征：一个整数的数字和能被9整除，则这个数能被9整除。
（9）被10整除的数的特征：一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（10）被11整除的数的特征：“奇偶位差法”。
一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差是11的倍数（包括0），则这个数能被11整除。
（隔位和相减）例如，判断491678能不能被11整除的过程如下：奇位数字的和9+6+8=23，偶位数位的和4+1+7=12。
23-12=11。
因此491678能被11整除。
（11）被12整除的数的特征：一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（12）被13整除的数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，这样，一次次下去，直到能清楚判断为止，如果是13的倍数（包括0），则这个数能被13整除。
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结数的整除是数论中的一个基本概念，也是初等数学中的重要内容。
它与因数、倍数和约数等概念密切相关，对于解题和推理都有着重要的作用。
下面将对数的整除进行详细总结。
一、定义：如果整数a能够被整数b整除，即a/b是整数，那么称a是b的倍数，b是a的因数。
可以用数学表达式a=b*k来表示，其中k是整数。
二、性质：1.任何一个整数都是它自身的倍数，也是它自身的因数，即a是a的倍数，a是a的因数。
2.任何一个正整数都是1的倍数，即对于任何整数a，都有a是1的倍数。
3.任何一个整数都是它自身的因数，即对于任何整数a，都有a是a的因数。
4.如果a是b的倍数，b是c的倍数，那么a也是c的倍数，即若a是b的倍数且b是c的倍数，则a是c的倍数。
5.如果a是b的倍数，b是a的倍数，那么a和b是互为倍数，即a是b的倍数且b是a的倍数，则a和b互为倍数。
6.如果a是b的因数，b是c的因数，那么a也是c的因数，即若a是b的因数且b是c的因数，则a是c的因数。
三、判断一个数能否整除另一个数的方法：1.因式分解法：将被除数和除数都分解成质因数的乘积形式，然后进行比较。
如果被除数的质因数包含除数的质因数，并且对应质因数的指数均大于等于相应的质因数的指数，则被除数能够整除除数。
2.试商法：用除数去除被除数，如果商是整数且余数为0，则被除数能够整除除数，否则不能整除。
四、整除的性质：1.整除关系具有传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，则a 能够整除c。
2.整除关系具有反对称性，即如果a能够整除b，b能够整除a，则a 和b相等或互为相反数。
3.整除关系具有自反性，即任何一个数都能整除它本身。
4.整除关系具有非传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，但a 不能整除c。
例如：2能整除4，4能整除8，但2不能整除8五、整数的混合运算与整除的关系：1.若a整除b，b整除c，则a整除c。
2. 若a整除b，b整除c，则a整除bc。
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题。
理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。
一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。
整除属于除尽的一种特殊情况。
二、整除的五条基赋性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。
三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基赋性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。
（1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。
①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。
【推理过程】：2、5都是10的因数，根据整除的基赋性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。
任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基赋性质（1），则这个数能被2或5整除。
又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基赋性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。
第一讲：整除与整数的性质
第一讲 整除与整数的性质【知识点金】一．整数的基本性质1.整数集关于加、减、乘运算的封闭性，即整数的和、差、积仍为整数（两个整数的商不一定是整数）。
2.奇数和偶数的简单性质能被2整除的整数称为偶数，可表示为2n ()n Z ∈形式；不能被2整除的整数称之为奇数，可表示为21n -()n Z ∈形式。
对于奇数和偶数有以下性质：（1）任意多个偶数的和、差、积仍为偶数； （2）奇数个奇数的和、差仍为奇数； （3）偶数个奇数的和、差为偶数； （4）奇数与偶数的和为奇数，其积为偶数；（5）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；3.整数集的离散性两个连续整数之间不再有其他整数，两个连续整数的完全平方数之间不存在 完全平方数。
任一个整数有限集中必有最大数和最小数。
二．整除的定义和基本性质1．定义：设a 、b 是整数(0)b ≠，若存在整数q ，0q ≠，使a bq =，则称b 整除a ，或a 能被b 整除，记为b a ，这时b 叫做a 的因数或约数，a 叫做b 的倍数。
2.整除的基本性质（1）若b a ，则()b a -，b a -，()()b a --，b a ； （2）若a b ，b c ，则a c ；（3）若,,,a b c m Z ∈，且a b ，a c ，则()a b c ±，a mb ，a mc ，()a m b c ±。
事实上可推广到一般情形：若,,i i a b x Z ∈(1,2,,)i n =，且i a b ，则1ni i i a b x =∑；（4）设,a b Z ∈，且a b ，则对于任何m Z ∈，都有am bm ；反之，若am bm ，则a b 。
（5）若a b <，且b a ，则0a =； （6）若a 、b 互素，且a bc ，则a c ；（7）若p 是素数，且1ni i p a =∏，则至少有一个i a ，使得i p a (1)i n ≤≤；（8）若12,,,n a a a 两两互素，且i a A ，1,2,,i n =，则1ni i a A =∏；例1.求证：如果P 和2P +都是大于3的素数，那么6是1P +的因数。
初等数论的性质与定理总结
初等数论的性质与定理总结初等数论是数论中的一个基础分支，研究整数的性质和整数运算规律。
本文将总结初等数论中的一些重要性质与定理。
一、整数的整除性质1. 整数的除法基本性质：对于任意整数a、b和非零整数c，存在唯一的整数q使得a = bq + c。
2. 整除关系的传递性：如果a能整除b，且b能整除c，则a能整除c。
3. 整除关系的辗转相除法：对于任意整数a和非零整数b，存在唯一的整数q和r使得a = bq + r（其中0 ≤ r < |b|）。
二、质数与合数1. 质数的定义：质数是指大于1且只能被1和自身整除的整数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
2. 质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地表示为若干个质数的乘积。
3. 最大公约数与最小公倍数的性质：对于任意整数a和b，记a和b 的最大公约数为gcd(a, b)，最小公倍数为lcm(a, b)，则有以下性质： - gcd(a, b) = gcd(b, a)- gcd(a, 0) = |a|- lcm(a, b) = |ab| / gcd(a, b)三、模运算与同余1. 模运算的基本性质：对于任意整数a、b和正整数n，有以下性质：- (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n- (a - b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n- (a * b) mod n = (a mod n * b mod n) mod n2. 同余关系的性质：对于任意整数a、b和正整数n，如果a与b模n同余（记作a ≡ b (mod n)），则有以下性质：- a + c ≡ b + c (mod n)- ac ≡ bc (mod n)- 如果a ≡ b (mod n)，则a^k ≡ b^k (mod n)对于任意正整数k四、费马小定理与欧拉定理1. 费马小定理：如果p是质数，a是任意正整数且p不整除a，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
数的整除性质与应用
数的整除性质与应用数的整除性质是数学中的重要概念之一，它描述了一个数能够整除另一个数的性质。
在日常生活和数学应用中，我们经常用到数的整除性质来解决问题。
本文将对数的整除性质进行详细介绍，并探讨它在实际应用中的作用。
一、整数的除法定义与整除性质在数学中，我们将一个整数a除以另一个非零的整数b，如果能够得到一个整数q，使得a = bq，我们就称a能够被b整除，或者说b能够整除a，记作b|a。
整除性质主要包括以下几个方面：1. 传递性: 如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a也能够被c整除。
2. 常数倍数性质: 如果a能够被b整除，那么对于任意非零常数k，ka也能够被kb整除。
3. 相等性: 一个数能够被自身整除，即对于任意非零整数a，a能够被a整除。
4. 整除的基本性质: 如果a能够被b整除，那么a的所有倍数也能够被b整除。
二、整除的应用数的整除性质在实际应用中起着重要的作用，以下是一些常见的应用场景：1. 分数化简在分数的运算中，我们经常需要对分数进行化简。
利用整除性质可以帮助我们快速找到最大公约数，从而将分数化简为最简形式。
例如，对于分数12/18，我们可以通过求12和18的最大公约数来进行化简。
由于18能够整除12，所以12/18可化简为2/3。
2. 整数的因数与倍数在数的因数和倍数问题中，整除性质是一个重要的工具。
我们可以利用整除性质判断一个数是否是另一个数的因数，或者判断两个数是否互为倍数。
例如，判断一个数是否是另一个数的因数时，我们只需要通过整除性质将这两个数相除，如果余数为0，则该数是另一个数的因数。
3. 素数与合数素数是指只有1和自身两个因数的数，而合数是指除了1和自身之外还有其他因数的数。
利用整除性质，我们可以判断一个数是否为素数。
例如，判断一个数n是否为素数时，我们只需要将n与2到√n之间的所有整数相除，如果都无法整除，则n为素数。
因为如果n能够被大于√n的数整除，那么一定能够被小于√n的数整除。
小学数学点知识归纳数的整除性质与判断方法
小学数学点知识归纳数的整除性质与判断方法数的整除是数学中的一个重要概念，它是指一个数能够被另一个数整除，即能够整除的数称为因数，而被整除的数称为倍数。
在小学数学中，学生需要掌握数的整除性质与判断方法，以便能够正确地解决与整除相关的问题。
本文将对小学数学中数的整除性质与判断方法进行归纳，帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、整除性质1. 整除定义：如果一个数a能被另一个数b整除，即a÷b的结果是一个整数，那么我们说a能被b整除，记作b|a。
反之，如果a不能被b整除，则记作b∤a。
2. 整除传递性：如果a能被b整除，并且b能被c整除，那么a能被c整除。
例如，如果2能够整除6，6能够整除12，那么2也能够整除12。
3. 整除对称性：如果a能被b整除，那么b也能被a整除。
例如，如果4能够整除8，那么8也能够整除4。
4. 0的整除性：任何一个非零数与0做除法时都不能整除0，但0除以任何一个非零数都等于0。
5. 1的整除性：任何一个整数都能被1整除。
二、判断整除的方法1. 除法法：判断整数a能否整除整数b，可以直接进行除法运算，即计算a÷b的结果。
如果结果是一个整数，那么a能被b整除；反之，如果结果不是整数，则a不能被b整除。
2. 因数法：如果一个数是另一个数的因数，那么它能整除这个数。
可以通过列举出一个数的所有因数，然后判断这些因数是否能整除给定的数。
3. 整除性质法：利用数的整除性质来判断整除关系。
例如，能被2整除的数必定是偶数，能被3整除的数的各位数字之和能被3整除，能被5整除的数的个位数字只能是0或5等。
三、应用示例下面通过一些具体的示例来说明数的整除性质与判断方法的应用。
1. 判断一个数是否能被2整除：如果一个数的个位数字是0、2、4、6或8，则它能被2整除；反之，如果个位数字是1、3、5、7或9，则不能被2整除。
2. 判断一个数是否能被3整除：将这个数的各位数字相加，如果所得和能被3整除，则这个数也能被3整除；反之，如果所得和不能被3整除，则这个数不能被3整除。
1.3整除及其性质
1.3 整除及其性质
一、数的整除性
1、定义： 设a,b是两个整数，其中b 0, 若存在一个整数 q，使q满足a=bq，则称b整除a（或a被b整除）. 也称b为a的约数，a为b的倍数。 记：b a （ b a ） 例如：
1 a (a z);
5 12
a a(a z, a 0)
若存在奇数m,使f(m)为奇数，则方程 f(x)=0无奇数根。
三、整数的奇偶性
性质 7 设a为整数，n为正整数，则 a 与a 奇偶性相同。 例 10 求证：任意两个奇数的平方和不是完全 平方数。
n
作业
• P 12-13 习题1.3 1,2,3,4，6， 7,8，,9,10，11，12,13Βιβλιοθήκη 2三、整数的奇偶性
定义 2 能被2整除的整数叫做偶数；不能被2整除 的整数叫做奇数。 性质 5 偶数±偶数=偶数；偶数±奇数=奇数； 奇数±奇数=偶数。 证明：一个偶数与一个奇数之和为奇数。 推论 若干个偶数之和为偶数；正偶数个奇数之和 为偶数；正奇数个奇数之和为奇数。
三、整数的奇偶性
例 7 7个茶杯，杯口全朝上，每次同时翻转4 个茶杯称为一次运动。可否经若干次运动， 使杯口全朝下？
三、整数的奇偶性
性质 6 奇数×奇数=奇数；整数×偶数=偶数。 推论 若干个奇数之积为奇数；若干个偶数之积 为偶数。
三、整数的奇偶性
例 8 设 a1, a2 , an是1, 2， ，n的任一排列，n为正奇数， 求证：(a1 1)(a 2 2) (an n)为偶数。
三、整数的奇偶性
2 f ( x ) ax bx c, a, b为整数，c为奇数。 例9设
二、整除的基本性质
例5 设9 62ab427,11 62ab427, 求62ab427.
整数的运算和性质
整数的运算和性质整数是数学中的基础概念之一，其运算规则和性质在数学中有着重要的地位。
本文将围绕整数的运算和性质展开论述，包括整数的四则运算、整数的质数与合数性质、整数的奇偶性质以及整数的整除性质等。
通过深入探讨，我们将更好地理解和应用整数的运算和性质。
一、整数的四则运算整数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
具体规则如下：1. 加法：整数相加遵循“正+正为正，负+负为负”的原则。
例如，2+3=5，(-2)+(-3)=-5。
2. 减法：整数相减可以转化为加法运算。
当减数为正整数，被减数为负整数时，减法可以转化为整数的加法。
例如，7-(-2)=7+2=9。
3. 乘法：整数相乘遵循“异号相乘得负，同号相乘得正”的原则。
例如，(-3)×(-4)=12，2×3=6。
4. 除法：整数之间的除法需要注意取整规则。
当除数和被除数同号时，商为正整数；当除数和被除数异号时，商为负整数。
例如，8÷(-2)=-4，(-6)÷2=-3。
二、整数的质数与合数性质质数是只能被1和自身整除的正整数，而合数是能够被其他正整数整除的正整数。
我们可以根据这一定义来判断一个整数是质数还是合数。
1. 质数：质数只有两个正因数，即1和自身。
例如，2、3、5、7等都是质数。
2. 合数：合数可以分解为两个以上的正整数相乘的形式。
例如，4=2×2，6=2×3，8=2×2×2等都是合数。
三、整数的奇偶性质整数可以分为奇数和偶数两类。
1. 奇数：奇数是不能被2整除的整数，其个位数字只能是1、3、5、7或9。
例如，1、3、5、7等都是奇数。
2. 偶数：偶数是能够被2整除的整数，其个位数字只能是0、2、4、6或8。
例如，2、4、6、8等都是偶数。
奇数和偶数之间有一些特殊的性质。
例如，两个奇数相加的结果是偶数，奇数与偶数相乘的结果是偶数，偶数与偶数相乘的结果是偶数等。
四、整数的整除性质整数的整除性质是指一个整数能否被另一个整数整除的规律。
整数的性质和运算法则
整数的性质和运算法则整数是自然数、0和负整数的总称，是数学中最基本的数的概念之一。
整数具有一系列特殊的性质和运算法则，这些性质和法则在数学运算和解决实际问题时起着重要的作用。
本文将探讨整数的性质以及整数运算法则，并说明其应用。
一、整数的性质1. 整数的定义整数是自然数、0和负整数的总称。
整数可以有无限个，用符号Z表示。
自然数是从1开始的正整数，符号为N。
当然这是对负一般整数，也就是整数;零是唯一的数，符号为0。
2. 整数的大小比较整数可以进行大小比较。
对于两个整数a和b，如果a大于b，则表示为a>b；如果a小于b，则表示为a<b；如果a等于b，则表示为a=b。
通过对整数的大小比较可以进行排序和排名。
3. 整数的绝对值整数的绝对值是指一个整数的非负值。
对于整数a，其绝对值用符号|a|表示。
绝对值的性质是，若a≥0，则|a|=a；若a<0，则|a|=-a。
通过绝对值可以得到整数的非负数值，并忽略其正负性。
4. 整数的相反数整数a的相反数是指与a相加的结果为0的整数，记作-a。
例如，整数3的相反数为-3，整数-5的相反数为5。
整数的相反数的性质是a+(-a)=0，其中0是整数的单位元素。
二、整数的运算法则1. 整数的加法整数的加法是指对两个整数的求和操作。
对于两个整数a和b，它们的和记作a＋b，其中a和b称为加数，a＋b称为和。
整数的加法具有以下性质：（1）交换律：对于任意的整数a和b，a＋b=b＋a。
（2）结合律：对于任意的整数a、b和c，(a＋b)＋c=a＋(b＋c)。
（3）零元素：对于任意的整数a，a＋0=a。
（4）相反数法则：对于任意的整数a，a＋(-a)=0。
2. 整数的减法整数的减法是指对两个整数的求差操作。
对于两个整数a和b，它们的差记作a－b，其中a称为被减数，b称为减数，a－b称为差。
整数的减法可以转化为加法运算，即a－b=a+(-b)。
整数的减法具有以下性质：（1）a－0=a，其中0是整数的单位元素。
整数的除法运算
整数的除法运算整数的除法运算在数学和计算机科学中都是非常基础和常见的运算。
在本文中，我们将探讨整数的除法运算的基本概念、性质以及使用场景。
一、整数的除法概述整数的除法是指将一个整数除以另一个整数，得到一个商和余数的过程。
其中商是整除结果的整数部分，余数是被除数除以除数后剩下的不足一个除数的部分。
二、整数的除法性质1. 整数的除法运算满足封闭性：任意两个整数的除法结果仍然是一个整数。
2. 整数的除法运算满足除法法则：对于任意三个整数a、b和c，如果a除以b等于c，则a等于b乘以c。
3. 整数的除法运算满足交换律和结合律：对于任意两个整数a和b，a除以b等于b除以a，且a除以(b除以c)等于(a除以b)除以c。
三、整数的除法使用场景整数的除法运算在日常生活和各个领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的使用场景：1. 商业应用：在商业运作过程中，经常需要进行整数的除法运算，如计算销售额、利润率等。
2. 编程语言中的整数除法：在计算机编程中，很多编程语言都支持整数的除法运算，常用于处理整数计算和循环等。
3. 数学问题求解：许多数学问题求解过程中需要进行整数的除法运算，如找出最大公约数、最小公倍数等。
四、整数除法运算的注意事项在进行整数的除法运算时，需要注意以下几个问题：1. 除数不能为0：除数为0是非法的，因为任何数除以0都无法得到有意义的结果。
2. 正负数除法的规则：整数除法的结果符号由被除数和除数的符号决定，具体规则如下：- 两个整数同号时，商为正数，余数为正数或0。
- 两个整数异号时，商为负数，余数为负数或0。
3. 取整问题：在进行整数的除法运算时，商通常为“向下取整”，即向负无穷方向取整数部分。
五、整数的除法算法以下是一种基本的整数除法算法，可以帮助我们理解整数的除法运算的过程。
1. 判断被除数和除数的符号，并取绝对值。
- 如果符号相同，则结果的符号为正，否则为负。
2. 将绝对值较大的数作为被除数，较小的数作为除数。
整除的特征和性质一
第一讲整除的特征和性质㈠〈精讲〉【知识要点】数的整除的几个重要的性质性质1 如果数a、b都能被数c整除，那么(a＋b)与(a－b)也能被c整除。
性质2 如果数a能被数b整除，c是整数，那么积ac也能被b整除。
性质3 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除。
性质4 如果数a能同时被数b、c整除，而且b、c互质，那么a一定能被积bc整除。
本讲我们重点掌握五组数的整除特征。
1. 如果一个自然数数的个位数字能被2或5整除，则这个数就能被2或5整除。
2. 如果一个自然数的末两位数能被4或25整除，那么这个自然数就能被4或25整除。
3. 如果一个自然数的末三位能被8（或125）整除，那么这个自然数就能被8（或125）整除。
4. 如果一个自然数的各个数位上的数字和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除。
5. 如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就能被11整除。
否则这个数便不能被11整除。
6. 学会把一个自然数分解为数码与1，10，100，1000，……乘积的形式。
如372=3×100+7×10+2×1【例1】一个五位数8□35□，既有约数2，又是3的倍数，同时又能被5整除，请你写出该五位数。
【例2】在□内填上适当的数，使六位数32787□能被4或25整除。
要点提示：任意一个多位数，ab…cde，可以写成ab…c×100+de，由于100能被4和25整除，所以只要这个数的末两位数de能被4或25整除，那么该数就能被4或25整除【例3】在□内填上适当的数，使五位数37□26能被3或9整除。
填完之后请你仔细观察能被9整除的数一定能被3整除吗，反之能被3整除的数一定能被9整除吗？请牢记这个规律！【例4】在568的后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3，4，5整除。
符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？提示：要求能同时被两个或三个数整除时，应该逐个考虑被每个数整除的特征，但考虑时应注意顺序：一般是，首先考虑被2或5整除，因为只需考虑个位数字；其次考虑被4或25整除，因为此时只看末两位数字；再其次，考虑被8或125整除，因为此时只要看末三位数字；最后考虑被3或9整除，因为被3或9整除时要考虑各位数字之和，考虑的范围最广。
数的整除性及性质
数的整除性及性质数的整除性是指一个整数能够被另一个整数整除，即没有余数的除法运算。
整除性是数学中的一个重要概念，它有一些基本的性质。
性质1：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它也能够被这个整数的因子整除。
性质2：如果一个整数能够被两个整数整除，那么它也能够被这两个整数的公倍数整除。
性质3：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倍数也能够被这个整数整除。
性质4：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数也能够被这个整数整除。
性质5：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍也能够被这个整数整除。
性质6：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数也能够被这个整数整除。
性质7：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数也能够被这个整数整除。
性质8：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数也能够被这个整数整除。
性质9：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方也能够被这个整数整除。
性质10：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倒数也能够被这个整数整除。
性质11：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的倒数也能够被这个整数整除。
性质12：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍数的倒数也能够被这个整数整除。
性质13：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质14：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质15：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质16：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方的倒数也能够被这个整数整除。
性质17：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的次方也能够被这个整数整除。
第一讲整数与整除的基本性质(一)
第一讲 整数与整除的基本性质（一）一、整数基本知识：关于自然数：1、有最小的自然数1；2、自然数的个数是无限的，不存在最大的自然数；3、两个自然数的和与积仍是自然数；4、两个自然数的差与商不一定是自然数。
关于整数：1整数的个数是无限的，既没有最小的整数，也没有最大的整数；2、两个整数的和、差、积仍是整数，两个整数的商不一定是整数。
十进制整数的表示方法正整数可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中的一个或若干个组成一个排列表示，如67表示7106+⨯,四位数1254可以写成410510210123+⨯+⨯+⨯,同样地用字母表示的两位数ab b a +⨯=10,三位数f e d def +⨯+⨯=10102, n 位整数表示为121a a a a n n n --，（其中a i 是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某个数字，i= n , n – 1,…,2,1,其中a n 0≠）并且.10101211121a a a a a a a n n n n n n n ++⋅+⋅=-----经典例题：例1、用0、1、2、...、9这10个数字组成两个三位数和一个四位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地小，那么这两个三位数及这个四位数的和是（ ）)A 1995 )B 1683 )C 1579 )D 1401解：为使和最小，四位数的千位应该是1，百位上的数为0，两个三位数上的百位应分别为2和3；若三个数十位上的数分别是4、5、6，则个位上的数分别是7、8、9，但7+8+9=18是个偶数，这与其和为奇数矛盾，故应调整为三个十位上的数应安排为4、5、7，个位分别为6、8、9，6+8+9为奇数，1046+258+379=1683，选 )B例2、一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2-，仍得原数，这个两位数是（ ）)A 26 )B 28 )C 36 )D 38解：设这个两位数为ab ，由题意，得b a b a +=++102)(3，227+=∴b a 即 )1(27+=b a 由于)1(2+b 为偶数，∴a 必须为偶数，排除)),D C 又由于)1(+b 是7的倍数，故选)A（此题也可以直接来解)1(+b 是7的倍数，故有6=b 返回有2=a ）例3、一个两位数，加上2以后和的各数字之和只有原数字和的一半，这个两位数是_____________。
1.1 整除的概念与基本性质
整除任意两个整数的和、差或积都是整数，但是两个整数做除法时所得的结果不一定是整数，因此，数论中的许多问题都是在研究整数之间的除法．1．1 整除的概念与基本性质定义1 对任给的两个整数a 、b （a ≠0），如果存在整数q ，使得b ＝aq ，那么称b 能被a 整除（或称a 能整除b ），记作a ｜b ．否则，称b 不能被a 整除，记作a b /∣． 如果a ｜b ，那么称a 为b 的因数，b 为a 的倍数．利用整除的定义，可以非常容易地推导出下面一些经常被用到的性质．性质1 如果a ｜b ，那么()a b -｜，反过来也成立；进一步，如果a ｜b ，那么()a b -｜，反过来也成立． 因此，我们经常只讨论正整数之间的整除关系．性质2 如果a ｜b ，b ｜c ，那么a ｜c ．这表明整除具有传递性．性质3 若a ｜b ，a ｜c ，则对任意整数x 、y ，都有a ｜bx ＋cy ．（即a 能整除b 、c 的任意一个“线性组合”）例1 若a ｜n ，b ｜n ，且存在整数x 、y ，使得ax ＋by ＝1，证明：ab ｜n ．证明：由条件，可设n ＝au ，n ＝bv ，u 、v 为整数．于是n ＝n （ax ＋by ）＝nax ＋nby＝abvx ＋abuy＝ab （vx ＋uy ）因此 ab ｜n ．说明 一般地，由a ｜n ，b ｜n ，并不能推出ab ｜n ，例如2｜6，6｜6，但126/∣．题中给出的条件实质上表明a 、b 的最大公因数（见1．3节）为1，即a 与b 互素，在此条件下可能推出ab ｜n ．例2 证明：无论在数12008的两个0之间添加多少个3，所得的数都是19的倍数．证明：记012008a ＝，31203308n n a 个＝…，n ＝1，2，…． 首先，因为 019632a ⨯＝，故19｜0a ．其次，设19｜n a ，则由1228n n a a +⨯－10＝＝1912，可知 19｜+1n a ．所以，对一切整数n ，数n a 都是19的倍数．说明 此题的处理过程中运用了递推的思想，其基本思路是将+1n a 表示为n a 与19的一个线性组合．例3 已知一个1000位正整数的任意连续10个数码形成的10位数是102的倍数．证明：该正整数为10002的倍数．证明：设该正整数121000x a a a ＝…， 其中i a 是十进位数码．由条件，可知991101000|2a a … ，990109992|a a …，因此 990991092|10a a ⨯…．记991999y a a ＝…，则有 1099010|10120a y ⨯＋，故 102|10y ．结合991101000|2a a …，可知 010100|102y a ＋，于是 010100|2a ，这要求 10000a ＝．类似地，朝前倒推，可得111000a a ＝…＝＝0，即 99911010x a a ⨯＝…．再结合条件110102|a a …，即可得10002|x ．说明 这里先证明111000a a ＝…＝＝0是非常关键的，在证明中利用991m a a …来过渡也是比较巧妙的．例4 设m 是一个大于2的正整数，证明：对任意正整数n ，都有1221m n －＋． 证明：如果存在正整数n ，使得|2121m n －＋，那么取其中最小的那个n ．由于m ＞2，知n ＞1，进一步，应有1221n m ＋≥－，知n m ≥，而n ＝m 时，将导致2|21m －（因为2＝（21n ＋）－（21m -）， 右边每一项都是21m -的倍数），矛盾，故n ＞m ． 现在，设21n ＋＝（21m -）q ，这里q 为正整数，则22n m ＋＝（21n ＋）＋（21m -）＝（21m -）（q ＋1）， 即 22121m n m m -（＋）＝（－）（q ＋1）． 于是 --212121211n m m n m m q +（＋）＋（－）（＋）＝（－）（），得21n m -＋＝（21m -）（2n m q -－ ），因此，|2211n m m -－＋，与n 的最小性矛盾． 所以，命题成立．说明 这里用到了两个结论：一个是“若a ｜b ，b ≠0，则｜a ｜≤｜b ｜”，它由整除的定义可直接证出．另一个是“任意多个正整数中必有最小元”，这是著名的“最小数原理”．。
三位数的整除规律
三位数的整除规律整除是指一个数能被另一个数整除，即没有余数。
在数学中，整除规律是一种有趣且有用的数学现象。
本文将探讨三位数的整除规律，即以三位数为被除数和除数进行整除的规律和特点。
一、整除规律的定义与性质在进行整除规律的讨论之前，我们先来回顾一下整除的定义和相关的性质。
整除定义：对于两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a=c*b，则称a能够整除b，记作a|b。
性质1：任何一个整数都能够整除0，即对于任意整数a，有a|0。
性质2：对于任何一个整数a，有a|a，即任何一个整数都能够整除自身。
性质3：如果a|b，且b|c，那么a|c。
即如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。
性质4：如果a|b，且a|c，那么a|(bx+cy)，其中x、y为任意整数。
即如果a能够同时整除b和c，那么a也能够整除它们的线性组合。
二、三位数的整除规律三位数是指由三个数字组成的整数，范围从100到999。
我们将以三位数为被除数，以从1到999的整数为除数进行整除操作，来观察整数规律和特点。
1. 整除结果为整数首先需要注意的是，当被除数为三位数时，若除数是能够整除被除数的整数，整除结果将会是一个整数。
这是整除的基本性质。
例如，当被除数为236时，若除数为4，则 236/4 = 59，结果为一个整数。
2. 整除结果为小数当被除数不能被除数整除时，整除结果将会是一个小数，即带有小数部分的数。
例如，当被除数为236时，若除数为5，则 236/5 = 47.2，结果为一个小数。
3. 整除结果为0当被除数为三位数时，如果除数大于被除数，整除的结果将为0。
例如，当被除数为236时，若除数为1000，则 236/1000 = 0。
4. 整除结果的范围对于三位数的整除，整除结果的范围为0到9之间的整数。
例如，当被除数为236时，除数为1时，商为236，除数为2时，商为118，除数为3时，商为78，...，除数为9时，商为26。
数的整除认识整除概念
数的整除认识整除概念整数是我们日常生活中经常接触到的一种数，而整除也是我们在学习数学时常常遇到的一个概念。
整除是指一个数能够整除另一个数，也就是说被除数除以除数得到的商是整数，没有余数。
在本文中，我们将详细介绍整除的概念和相关性质。
一、整除的定义在数学中，如果一个整数a可以被另一个整数b整除，那么我们称a是b的倍数，b是a的约数，同时也可以说b整除a，记作b|a。
如果一个整数a不是b的倍数，那么我们称a不能被b整除，记作b∤a。
二、整除的基本性质1. 任何整数a都可以整除自身，即a|a。
2. 对于任何整数a，0都可以整除它，即0|a。
3. 任何整数a都可以整除0，即a|0，但除数不能为0。
4. 如果a|b，且b|c，那么a|c。
即如果a能整除b，b能整除c，那么a一定能整除c。
5. 如果a|b，且a|c，那么a|(bx+cy)，其中x和y是任意整数。
即如果a能整除b和c，那么a一定能整除它们的线性组合。
三、整除的性质证明对于整除的性质，我们可以通过数学推理和举例来进行证明。
以下是两个具体的例子。
例1：证明：如果a|b，且a|c，那么a|(bx+cy)，其中x和y是任意整数。
解：根据整除的定义，a|b表示存在整数k，使得b=ak；a|c表示存在整数m，使得c=am。
那么bx+cy=(ak)x+(am)y=a(kx+my)，其中kx+my也是一个整数。
因此a能整除bx+cy，即a|(bx+cy)。
例2：证明：如果a|b，且b|c，那么a|c。
解：根据整除的定义，a|b表示存在整数k，使得b=ak；b|c表示存在整数m，使得c=bm。
将b代入第二个等式中，得到c=(ak)m=a(km)，其中km也是一个整数。
因此a能整除c，即a|c。
由例子的证明可以看出，整除的相关性质是可以通过严格的数学推理进行证明的，这些性质在解决数学问题和数学推理中起着重要的作用。
四、整除的应用整除的概念在数学中是非常重要的，它在整数的因子和倍数、整数的性质分析以及数的约简等方面都有广泛的应用。
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第一讲 整数与整除的基本性质（一）
一、整数
基本知识：
关于自然数：1、有最小的自然数1；2、自然数的个数是无限的，不存在最大的自然数；3、两个自然数的和与积仍是自然数；4、两个自然数的差与商不一定是自然数。
关于整数：1整数的个数是无限的，既没有最小的整数，也没有最大的整数；2、两个整数的和、差、积仍是整数，两个整数的商不一定是整数。
十进制整数的表示方法
正整数可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中的一个或若干个组成一个排列表示，如67表示7106+⨯,四位数1254可以写成41051021012
3+⨯+⨯+⨯,同样地用字母表示的两位数ab b a +⨯=10,三位数f e d def +⨯+⨯=10102, n 位整数表示为121a a a a n n n --，（其中a i 是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某个数字，i= n , n – 1,…,2,1,其中a n 0≠）并且.1010
1211121a a a a a a a n n n n n n n ++⋅+⋅=-----
经典例题：
例1、用0、1、2、...、9这10个数字组成两个三位数和一个四位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地小，那么这两个三位数及这个四位数的和是（ ） )A 1995 )B 1683 )C 1579 )D 1401
解：为使和最小，四位数的千位应该是1，百位上的数为0，两个三位数上的百位应分别为2和3；若三个数十位上的数分别是4、5、6，则个位上的数分别是7、8、9，但7+8+9=18是个偶数，这与其和为奇数矛盾，故应调整为三个十位上的数应安排为4、5、7，个位分别为6、8、9，6+8+9为奇数，1046+258+379=1683，选 )B
例2、一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2-，仍得原数，这个两位数是（ ）
)A 26 )B 28 )C 36 )D 38
解：设这个两位数为ab ，由题意，得b a b a +=++102)(3，
227+=∴b a 即 )1(27+=b a 由于)1(2+b 为偶数，∴a 必须为偶数，排
除)),D C 又由于)1(+b 是7的倍数，故选)A
（此题也可以直接来解)1(+b 是7的倍数，故有6=b 返回有2=a ）
例3、一个两位数，加上2以后和的各数字之和只有原数字和的一半，这个两位数是
_____________。
（91年“缙云杯”初中数学邀请赛） 解：设这个两位数为ab ，由于原数加上2后和的各数字之和比原数各数之和小，所以加上2后发生了进位，由题意，得)(2
110)2(1b a b a +=-+++，14=+∴b a ，又由于2+b 后有进位，98==∴b b 或同时对应的a 分别为6与5，∴这两个数为68或59。
例4、一个四位数与它的四个数字之和等于1991，这个四位数是_____________。
（91年南昌市初中数学竞赛题）
解： 四个数位上的数字之和最多不会超过36，∴这个四位数的千位和百位数字分别是1和9，故设这个四位数为n m ++101900，∴199191101900=++++++n m n m ，整理得81211=+n m ，又90,90≤≤≤≤n m 且为整数，.2,7==∴n m ∴这个四位数为1972。
例5、若三位数与组成该三位数的各位数字之和的比值为M （如三位数234，则4
32234++=M ），求M 的最大值和最小值。
解：设这个三位数c b a abc ++=10100，c b a c b c b a c b a M +++-=++++=
999010010100， 显然09990≥+++c
b a
c b ，当其值为0时，即0==c b 时，M 最大，其值为1000100=-=M ，当c
b a
c b +++9990最大时，M 最小，即1,9===a c b 时，M 最小为19
199191790100=- 二、能被一个数整除的数的特征
基础知识：1、能被2或5整除的数，它的末位数字能被2或5整除
2、能被4或25整除的数，它的最后两位数能被4或25整除。
3、能被8或125整除的数，它的最后三位数能被8或125整除。
4、能被3或9整除的数，它的各数位上的数字之和能被3或9整除。
5、能被11整除的数，它的奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差是11的倍数。
6、0能被任何非零整数整数，1±能整除任何整数。
要判断某数能否被一个合数整除，只须将这个合数分解成两个互质的约数的乘积，若这个整数能分别被这两个约数整除，则这个数能被这个合数整除。
经典例题：
例6、能被11整除的最小九位数是多少？
解：若某数可被11整除，则其奇数位数字之和与偶数位数字之和的差位11的倍数，要这样的数最小，首先取1，十位取1，其余数位取0，即所求数为100000010。
例7、一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数恰是4的倍数，求这样的四位数中最大的一个。
解：要求这样的四位数中最大的一个，因而设这个四位数为cd 99，要使c 99为4的倍数，且要最大，故6=c 。
cd 99 要能被9整除，d d c +=+∴6能被9整除，故3=d 例8、两个三位,abc def 的和def abc +能被37整除，证明：六位数abcdef 也能被37整除。
（第八届“祖冲之杯”数学邀请赛试题） 证明：)(|37def abc + ，m bcd abc 37=+∴ )(为整数m
又def abc abcdef +⨯=1000
而3739999⨯⨯=，
例9、已知一个七位自然数42762xy 是99的倍数（其中y x ,是0到9中的某个数字），试求124950++y x 的值，简写出求解过程。
（第八届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题） 题难：分析42762xy 是99的倍数，而99119⨯=，故42762xy 分别是9和11的倍数 由被9，11数整除的数的特点而解此题。
解：42762|99xy ，且42752|9xy ∴42762|11xy
y x y x +++=++++++∴31872426是9的倍数，
即m y x 93=++（m 为自然数） 90,90≤≤≤≤y x ，
2133≤++≤∴y x 。
93=++∴y x ，或183=++y x
6=+∴y x 或15=+y x
42762|11xy ，)]22()746[(|11++-+++∴y x
即 )13(|11y x -+ 故y x -+2是11的倍数
又99≤-≤-y x ，即1127≤-+≤-y x
92=--=-∴y x y x 或 y x y x -+∴与同奇偶，
⎩
⎨⎧==∴42y x 或 ⎩
⎨⎧==312y x （不合题意，舍去） 备选题：
A 类： 1、 设六位数b a 1527是4的倍数，且它被11除的余数是5，求a+b 的值. （六位数b a 1527是4的倍数，有|4b 7，故2=b 或6；又 它被11除的余数是5 易得1）、当6=b ，|1115271a ，812175+=---++a a 是11的倍数，故3=a
2）、当2=b ，11|15267a ，172165+=---++a a 是11的倍数，无解。
）
2、 如果个六位数y 19x 19能被33整除，这样的六位数共有多少个？
（易得)1991(|11y x ---++，及)(|11y x - y x =
)1991(|3y x +++++，及)2(|3++y x 易得解
2==y x 或5==y x 或8==y x 故有3组，分别为192192、195195、198198。
3、 求一个四位数，它等于抹去它的首位数字后剩下的三位数的3倍减去42。
（423-⨯=bcd abcd 整理得2110100500-++=d c b a 得1=d 代入得1,5,2===a b c ）
4、d c b a ，，，是数0到9的数字，1989=+++a ab abc abcd ，______,=a
.___________________,,__________===d c b （
“缙云杯”初中数学邀请赛试题） 5、一个五位数x x 974能被3整除，它的最末两位数字组成的数x 7能被6整除，求这个五位数。
B 类：
1、 如果十位数59911995xy 能被99整除，其中y x 、是未知数，则
________________,==y x 。
（第七届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题）。