高中数学 向量 板块二 平面向量基本定理与坐标表示完整讲义(学生版)

学而思高中完整讲义：向量.板块二.平面向量基本定理与坐标表示.

学生版

题型一： 平面向量基本定理

【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是

( )

A ．1e 与—2e

B ．31e 与22e

C ．1e ＋2e 与1e —2e

D ．1e 与21e

【例2】 在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =( )

A ．2

133+b c B ．5233-

c b C ．2133

-b c D ．1

233

+

b c

【例3】 如图,线段AB 与CD 互相平分,则BD 可以表示为 ( )

A . A

B CD - B . 11

22

AB CD -

+ C.

1

()2

AB CD - D. ()AB CD --

【例4】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）

A ．21

33

b c +

B ．52

33c b -

C ．21

33b c -

D ．12

33

b c +

【例5】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向

典例分析

量BD ，AO ．

【例6】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设对角线AC =a ，BD =b ，用a ，

b 表示BC ，AB ．

A

C

【例7】 在△ABC 中,已知 AM ︰AB =1︰3, AN ︰AC =1︰4，BN 与CM 交于点P ,且

, AC AB a b ==,试 用, a b 表示AP .

【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点,

若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．

F C

B

A

【例9】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、

B

A C

P

N

M

OC 、OD

O

．

【例10】 如图，在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，

M 为AH 的中点，若AM AB BC λμ=+，则λμ+= .

【例11】 已知向量a ，b 不共线，()c ka b k =+∈R ，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）

A ．1k =且c 与d 同向

B ．1k =且c 与d 反向

C ．1k =-且c 与d 同向

D ．1k =-且c 与d 反向

【例12】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等

于（ ）

B '

D '

D

C

B

A P

A ．()A

B AD λ+，(01)λ∈，

B ．()AB B

C λ+

，0λ⎛∈

⎝⎭

C ．()AB A

D λ+

，0λ⎛∈ ⎝⎭ D ．()AB BC λ-

，0λ⎛∈ ⎝⎭

【例13】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += ．

A

B

C

H

∙M

【例14】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，

其中λ，μ∈R ，则λμ+= ．

【例15】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的点．且

1BF a

FC a

=

-，1DE b

EC b

=

-，若AC AE AF λμ=+，其中λ，μ∈R ，则λμ+= ．

F

B

【例16】 证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式

1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．

O

C

A

【例17】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不

同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为

．

O

N

M

C

B

A

【例18】 在△OAB 中，11

,42

OC OA OD OB ==，AD 与BC 交于点M ，设OA =a ，OB =b ，用

a ,

b 表示OM .

【例19】 如图所示，OM AB ∥，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影

区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+，则x 的取值范围是 ；当1

2

x =-时，y 的取值范围是 ．

【例20】 已知P 是ABC ∆所在平面内一点,AP 的中点为Q ,BQ 的中点为R ,CR 的中点

为S .证明:只有唯一的一点P 使得S 与P 重合.

【例21】 点M 、N 、S 分别是OAB ∆的边OA 、OB 、AB 上的点，OA a =，OB b =，

⑴若M 、N 分别是OA 、OB 的中点，线段AN 与BM 的交点为P ，求OP ； ⑵若OS 是AOB ∠的角平分线，求OS ．

⑶若:1:3OM OA =，:1:4ON OB =，线段AN 与BM 交于点Q ，求OQ ．

【例22】 如图，设P 、Q 为△AB C 内的两点，且2155AP AB AC =

+， AQ ＝23AB ＋1

4

AC ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( )