工程力学-材料力学-第12章动量矩定理

•2. 选轮2为研究对象
•积分
•
§12-4 质点系相对于质心的动量矩定理 •1．对质心的动量矩 •如图，以质心C为原点，取平移坐标系Cx’y’z’。 •质点系相对质心C为的动量矩为：
•由于 •得 • 质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度计算还是
以绝对速度计算，其结果都相同。
•其中
•
质点系相对于任意定点的动量矩
•
例12-9 续 •其 中 •（1 ）
•根据定轴转动微分方程 •其 中 •（2 ）
•
例12-9 续 •根据平面运动微分方程
•其 中
• 整理 得
• 运动学补充方 程
•（3 ） •（4 •（5 ） ）
•
•
例12-8 •已知：l，m，θ=60°。求：1. αAB；2. FA • 解：绳子刚被剪断，杆AB作平面运
动，受力如图，根据平面运动微分 方程
• 补充运动学方 程
• 在y轴方向 投影
•
例12-9 •已知：如图r，m， m1。求：1. aA；2. FAB ；3. FS2 • 解：分别以A、B、C为研究对象
•注意：内力不能改变质点系的动量矩。
•
例12-3 •已知：m1，r，k ，m2 ，R，
•求：弹簧被拉长s时，重物m2的加速度a2 。 •解 •选系统为研究对象,受力分析如图 •设：塔轮该瞬时的角速度为ω，则
•解得：
•
3．动量矩守恒定律
•若
，则 常矢量；
•若
，则 常量。
•
§12-3 刚体绕定轴转动的微分方程 •主动力： •约束力：
•即： •或
•与
•或 相似
•
例12-5
•已知：
，求 。
•解：
• 由上式可见，只有当定滑轮匀速转动（包括静 止）或虽非匀速转动，但可忽略J 时， F1 、F2才相 等。
•
例12-6
•已知：
，求：1.ω；2. Mf
•解：•1. 选系统为研究对象
• 因为系统外力对z轴的矩为零
，故系统对z轴动量矩守恒。
•提 示
•该定理在形式上与质点系相对于固 定点的动量矩定理完全一样。
•
§12-5 刚体的平面运动微分方程 • 刚体的平面运动选质心为基点，可分为随质 心的平移和相对质心的转动，则刚体平面运动微分 方程是质心运动定理和相对于质心的动量矩定理。
•或
•
刚体的平面运动微分方程 •应用时一般用投影式：
•以上各组均称为刚体平面运动微分方程。
•
例12-1 杆OA由铰链O与地面连接，它对轴O的转动惯量为JO；一高 为h、质量为m1的均质矩形板沿轴x以速度v平移，并推动杆OA 绕轴O转动；一质量为m2的质点E以相对速度vr在板上运动。试 求系统运动到图示位置时对轴O（轴z）的动量矩。
•
例12-1 续 解：1 、 LZ(OA)
用点的合成运动求ω
•
3. 刚体对轴的转动惯量
• 转动惯量
•
教材P213表12－1列出了简单均质物体的转
动惯量 •1) 回转半径（惯性半径）的概
念
•或
•
3. 刚体对轴的转动惯量
•2) 平行轴定 理
• 式中：zC轴为过质心且与z轴平行的轴，d 为z 轴与zC轴之间的距离。 •即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对通过 质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量 与两轴间距离平方的乘积。
工程力学-材料力学-第 12章动量矩定理
2020年5月23日星期六
§12-1 质点和刚体的动量矩 •1．质点和质点系的动量矩(角动量)
•质点Q对点O的动量矩的定义
•
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质点的动量对坐标轴的矩
•质点对z轴的动量矩
是质点的动量在Oxy平
面的投影(mv)xy对O点的矩。
•是代数量，从 z 轴正向看，逆时针为正，顺 时针为负。
•质点系对任一点O的动量矩 ：
•
质点系相对于任意定点的动量矩
••结论
•
质点系对任一点O的动量矩等于集中
于系统质心的动量 对O点的动量矩，
与质点系相对于质心动量矩的矢量和。
•
2 相对质心的动量矩定理 •即 •由于
•
质点系相对于质心的动量矩定理
•质点系相对于质心的动量矩定理：质点系相对于 质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点 系的外力对质心的主矩。
•其中： • (O为定点)
•
质点的动量矩定理
•因此 •称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩 对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。
•投影式：
•
2. 质点系的动量矩定理 •对第i个质点有 ： •对n个质点有：
• 由于
•得
•
2. 质点系的动量矩定理
•称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点O的动量 矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对于 同一点之矩的矢量和。 •投影式：
2、 LZ(板)
•
3、 LZ(E)
例12-1 续
结果：
•
例12-2 钟摆简化如图所示。已知均质细杆和均质圆盘的质量都为m ，圆盘半径R，杆长3R，求摆对通过悬挂点O并垂直于图面的z 轴的转动惯量。
解： 查表得：
根据平行轴定理
•
§12-2 动量矩定理 • 1．质点的动量矩定 理 •设O为定点，有：
• 单位：kg·m2/s
•
质点系的动量矩 • 对点的动量矩 • 对轴的动量矩
•即
•
2. 刚体的动量矩
•(1) 刚体平移的动量矩 •可将全部质量集中于质心，作为一个质点来计算 。
•
2. 刚体的动量矩
•(2)刚体绕定轴转动的动量 矩
• 转动惯 量
• 单位：kg·m2
• 转动惯量是刚体转动时惯性的度量。质量是刚体 移动时惯性的度量。