物理化学 傅献彩 第一章 气体

第一章 热力学基础知识习题1-1.在压强为1atm 、温度为0℃条件下，把空气视为分子量为29的相同分子组成的气体，分子的有效直径d = 3.7×1010-m 。

请你估算.：（a ）一个一般房间的空气分子数目；(b) 单位时间内碰撞单位墙壁面的空气分子数； (c) 空气分子的平均速率；(d) 空气分子的碰撞频率；(e) 空气分子的平均自由程。

解：假设一般房间体积为150m 2（此处面积之类的可自己自行设定）（a ）527230 1.01325101504101.3810273.15PV V N kT V -⨯⨯====⨯⨯⨯ （b ）2527107.2150104⨯=⨯==V N n 27251017.2485107.26161⨯=⨯⨯⨯==Γv n 或者12720113() 2.171066A P nv N V μΓ===⨯(利用公式112233()()PV P v nm μ==) （c ）s m Mm RT v 485102927331.8333=⨯⨯⨯==- （d）()22251092.710 3.14 3.7104857.910Z nv d π-==⨯⨯⨯⨯⨯=⨯（e ）m Zv81013.6-⨯==λ 相似题型： 一封闭容器内贮有水和饱和蒸汽，水的温度为100℃，压强为1.0 atm ，已知在这种状态下每克水汽所占的体积为1670cm 3，水的汽化热为2250J/g.（1）每立方厘米水汽中含有多少水分子？ （2）每秒有多少个水汽分子碰到单位面积水面上？（3）设所有碰到水面上的水汽分子都凝聚为水，则每秒有多少个分子从单位面积水面逸出？（4）试将水汽分子的平均动能与每个水汽分子逸出所需要的能量相比较。

解：（1）31923cm 1021816701002.61个⨯=⨯⨯⨯==VM mN N A （2）11/()64nv nv Γ==21233191039.2101815.37331.8310261361---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==cm s M RT n m（3）根据题意可知，水和蒸汽动态平衡，所以每秒从单位面积上逸出的分子数与碰到单位面积水面上的分子个数相等，为231039.2⨯。

（4）J kT 21231072.715.3731038.12323--⨯=⨯⨯⨯==εJ N ME E A 202311073.61002.618122501-⨯=⨯⨯==所以E <ε，即水汽分子的平均动能比每个水汽分子逸出所需要的能量小。

补充证明 14nv Γ=只有在以d A 为底、v x d t 为高，其母线与BO 直线平行的斜柱体中的所有速度V 到V+d V 的分子，在d t 时间内均会与d A 碰撞. 这些碰撞分子的总数等于单位体积内速度矢量在V 到V+d V 范围内的分子数与斜柱体体积的乘积'd (,,)()()()d d d d d x y z x y x x y z x N v v v nf v f v f v v v v v t A =⋅改成积分可得d '()()d ()d ()d d x x x x y y z z N v nf v v v f v v f v v Adt ∞∞-∞-∞=⋅⋅⋅⎰⎰()x x x nf v v dv dAdt =将v 从0积分到无穷大，0'()d d d x x x N n f v v v A t ∞=⋅⎰ 21/2()exp()d d d 22x x x mv m n v v A t kT kTπ∞=⋅-⋅⋅⎰1d d d 4A t nv A t =='1d d 4N nv A t Γ== v = 麦克斯韦分布平均速率Γ==将1164nv nv Γ=Γ=和式比较后可发现，虽然16nv Γ=式较为简略，但并未产生数量级的偏差。

这种采用近似模型的处理方法突出了物理思想，揭示了事物的主要特征，而无需作较繁杂的数学计算，是可取的。

另法：直接采用书上后来所教公式代入用也可，分子与器壁碰撞频率，Γ=。

麦克斯韦平均速率为v =，平均自由程为20.707v Z d nλπ=== 1-2. 容积为2500cm 3的烧瓶内有1.0×1015个氧分子,有4.0×1015个氮分子和3.3×10-7g 的氩气。

设混合气体的温度为150℃,求混合气体的压强。

解：根据混合气体的压强公式有 PV=（N 氧+N 氮+N 氩）KT 其中的氩的分子个数： N 氩=15231001097.410023.640103.3⨯=⨯⨯⨯=-N M 氩氩μ（个）∴ P=（1.0+4.0+4.97）10152231033.225004231038.1--⨯=⨯⨯⋅Pa 41075.1-⨯≅mmHg利用定理：道尔顿分压或分体积定律，但根本原理仍然为理想气体状态方程。

1-3.一容积为11.2L 的真空系统已被抽到1.0×10-5mmHg 的真空。

为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使器壁释放出吸附的气体。

若烘烤后压强增为1.0×10-2mmHg ，问器壁原来吸附了多少个气体分子。

解：设烘烤前容器内分子数为N 。

，烘烤后的分子数为N 。

根据上题导出的公式PV = NKT 则有：)(0110011101T P T P K V KT V P KT V P N N N -=-=-=∆ 因为P 0与P 1相比差103数量，而烘烤前后温度差与压强差相比可以忽略，因此00T P 与 11T P相比可以忽略 1823223111088.1)300273(1038.11033.1100.1102.11⨯≅+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅=∆---T P K N N 个 1-4．在质子回旋加速器中，要使质子在105km 的路径上不和空气分子相撞，真空室内的压强应多大？设温度为300K ，质子的有效直径比起空气分子的有效直径小的多，可以忽略不计，空气分子可认为静止不动。

解：因为质子有效直径<<空气分子有效直径d ，故质子可以看作质点。

以质子运动轨迹为轴，以d 为直径作曲折圆柱体，凡中心在这个圆柱体内的分子都可与质子相碰。

设质子运动速度为v ，在轴长为v ，直径为d 的柱体内的空气分子数为24d vn π，平均碰撞频率为24d z vn π=，则24v z d nλπ==，p nkT =，则24kT d pλπ=，1024 5.5810a kT p p d πλ-∴==⨯（错误率较高的地方为公式24v z d nλπ==，注意已知条件中已经给明空气分子视为静止不动）。

1-5. 设N 个粒子系统的速率分布函数为 v dN Kdv =- （00,v v >>为常量）0=v dN （0v v >）（1）画出分布函数图；（2）用N 和V 定出常量K ；（3）用V 表示出算术平均速率和方均根速率. 解：（1）设分布函数()f v ，应有()dNv f v dv N =，则()/dNvf v K N Ndv==（00,v v >>）()0dNvf v Ndv==（0v v >）(2) 根据归一化条件可知000()1v v K f v dv N==⎰⎰，得归一化常数0N K v =，所以分布函数为01()f v v =-（00,v v >>）()0f v =（0v v >） (3) 算术平均速率为00001()2v v v vf v dv v dv v ∞===⎰⎰=== 此题第一问错误较多，没有正确理解速率分布的意义？记住公式算术平均速率0()v vf v dv ∞=⎰，方均根速率=，最概然速率()0pv v df v dv==取极值。

类似题目：导体中自由电子的运动可看作类似于气体分子的运动(故称电子气). 设导体中共有 N 个自由电子, 其中电子的最大速率为F v (称为费米速率), 电子在速率v dv +之间的概率。

其中24dN A v dv N Nπ= (,)F v v o A ≥≥常数，0dNN=()F v v >，试求 (1)画出分布函数的示意图. (2)用N , F v 定常数A (3)求 p v ,v(4)求速率区间1132FF v v 的电子数. 解：(1) 根据已知条件可得 ()dN f v Ndv ==24A v N π,(,)F v v o A ≥≥常数，()dNf v Ndv==0，()F v v >(2) 与上例一样，利用归一化条件2004()1FFv v A f v dv v dv Nπ==⎰⎰，334F NA v π⇒= (3) 将(2)结果代入可知，22343()F dN A v f v v Ndv N v π===，(,)F v v o A ≥≥常数，()dNf v Ndv==0，()F v v >，与()f v 对应的最可几速率即是F v ，则可知22033()4FFv v F F v v v vf v dv v dv v ==⋅=⎰⎰，2222220033()5F F v v F F v v v f v dv v dv v v==⋅=⎰⎰F=(4) 根据22343()FdN A vf v vNdv N vπ===，(,)Fv v o A≥≥常数，()dNf vNdv==0，()Fv v>，可知11222112333()F FF Fv vv vFvN N f v dv N dvv∆==⎰⎰19216N=1-6.试求温度为T，分子质量为m的气体中分子速率倒数的平均值，解：由统计函数平均值概念，分子速率倒数的平均值为0011()()11()()dN Nf df dN N∞∞∞===⎰⎰⎰v vv vv vv v代入麦克斯韦速率分布函数()f v，可得23221()4()2nkTme dkTππ∞-=⎰v v vv，令12mbkT=，利用积分公式212bukTe udub m∞-==⎰可知321()4()2m kTkT mππ==v=v，将上式改写为141()()π==v v，11∴≠v v1-7.遵从麦克斯韦速率分布气体分子，其平动能的最概然值是否有关系212kp pmvε=，这里pv是指最概然速率。

解：首先将麦克斯韦速率分布律改为按动能的分布律()()k kdN f v dv h dεε==，22322()()4()2mvvkTkk kdv m dh f v ed mkT dεπεε-==324()2k kTm e mkT επ-=1(k kT kTε-=， ()0k k d h d εε=，即 1122102kp kp kT εε--=，解得12kp kT ε=,但是21122p mv kT ==，即知212kp p mv ε≠上面几例可知要熟悉几种速率及其他相关的物理意义和计算过程如()21v v Nf v dv ⎰表示表示速率分布在v 1→v 2区间内的分子数N ∆，()()2211v v v v vNf v dv vf v dv N=⎰⎰表示表示速率分布在v 1→v 2区间内的分子对平均速率的贡献，()21v v Nf v dv N∆=⎰表示表示速率分布在v 1→v 2区间内的分子数占总分子的百分比。