第3章3-01高斯消元法,列住元法

m21
a21 a11
1 2
0.5 ， m31
a31 a11
1 2
0.5 ，则有
2x1 x2 x3 4 (2) m21 (1) 0x1 2.5x2 1.5x3 4 ，第 2 次消元，a22 2.5 0 ， (3) m31 (1) 0x1 1.5x2 1.5x3 3
确定乘数 m32
M
b(k ) n
A(k ) x b(k ) ， (k 1, 2,L , n)
消元过程
设
主元
a (1) 11
0,
a(2) 22
0,L
,
a(n) nn
0
消元过程
mik ai(jk 1)
a(k) ik
a(k) kk
(k
1,
a(k) ij
mik
2,L a(k)
kj
, n 1) (i,
j
k
det A≠0，方程组有唯一解”，也不能实现高斯消去法求
解。 例
A
0 1
1 1 ， A 非奇异，det A≠0，方程组有
唯一解，但
第3章 线性代数方程组的数值解法
3.1 高斯消去法 3.2 矩阵三角分解法 3.3 平方根法 3.4 向量和矩阵的范数 3.5 方程组的形态和误差分析 3.6 迭代法 3.7 迭代法的收敛性
n个未知量n个方程的线性代数方程组
矩阵形式 Ax=b,其中
或写成
n
aij x j bi
j 1
i 1, 2,L , n
a32 a22
1.5 2.5
0.6 ，有
2x1 x2 x3 4 0 2.5x2 1.5x3 4 (3) m32 (2) 0 0 0.6x3 0.6
回代
x3 1, x2 1, x1 1
系数行列式的计算：
例
消元过程
主元为2，2.5，0.6 det A=2×2.5×0.6=3
若矩阵A 非奇异，方程组有惟一解，可用克莱姆（Cra mer ）
法则求解
xk
Dk D
，（ k
1, 2,L
,n）
其中 D det A ， Dk 是用向量b 代替A 的第k 列后所得矩阵的行
列式。
克莱姆法则解线性方程组的计算量（乘法次数）
Sn (n 1) n! (n 1) (n 1) !(n 1)
顺序高斯消去法消元过程: 依从左到右、自上而下的次序将主对角元下方的
元素化为零。 1 不作行交换。 2 用不等于零的数乘某行，加至另一行。
用高斯消去法解下列线性方程组
2x1 x2 x3 4
x1
3x2
2x3
6
x1 2x2 2x3 5
解 对 线 性 方 程 组 第 1 次 消 元 ， a11 2 0 ， 确 定 乘 数
引进记号
a(1) 11
A(k )
ຫໍສະໝຸດ Baidu
矩阵形式
a(1) 12
L
a(2) 22
L
O
LL LL
a(k) kk
L
LL
a(k) kn
L
a(1) 1n
a(2) 2n M
a(k) kn
，
b(k
)
b(1) 1
b(2) 2
M bk (k )
，(k 1, 2,L
, n)
L a(k)
nn
使用条件之二
n阶矩阵A为严格对角占优矩阵是指其每个主对 角元的绝对值大于同一行其他元素绝对值之和，即
一阶严格对角占优矩阵指一个非零数。
18 2 4 3
A
3
22
6
3
2 2 34 2
3
4
5
20
引理：严格对角占优矩阵非奇异。
定理 方程组系数矩阵A为严格对角占优矩阵则可实现用 顺序高斯消去法求解。
例如 n 20 ，乘法次数为1021 。计算量很大！
两类数值解法： 直接解法:假定计算过程没有舍入误差的情况下，
经过有限步算术运算后能求得线性方程组精确解的 方法。经过有限步运算就能求得精确解的方法，但 实际计算中由于舍入误差的影响，这类方法也只能 求得近似解；例如：高斯消去法、三角分解法等。
迭代解法:构造适当的向量序列，用某种极限过 程去逐步逼近精确解。例如：雅可比迭代法、高斯赛德尔迭代法等。
12x3 y3
x1 1 / 2 x2 1 / 2 x3 3 / 2
下三角形方程组
7
7
2 3
2
4 5 6 10
顺代可求得
y1
1
2 y1 y2
7
3 y1 2 y2 y3 3
y1 1 y2 9 y3 18
上二对角方程组 回代求解，得
4 5
2
0 4
3
顺序高斯消去法的计算量
消元中各步需乘除法次数
第i 步
1 2
乘法次数 (n 1)2
(n 2)2
M n 1
合计
M
M
1
n (n 1)(2 n 1) 6
除法次数
n 1 n2
1
n (n 1) 2
3.1.2 列主元高斯消去法
为什么列选主：数值不稳定
当高斯消去法的主元
a(k) kk
0时
,
尽管“当
A
非奇异时，
定理 线性方程组系数矩阵A的顺序主子 矩阵Ak (k=1,2,…,n)非奇异 ，则顺序高斯消去 法能实现方程组的求解。
即方程组能用顺序高斯消去法求解的充 要条件是系数行列式的顺序主子式非零。
高斯消去法能按顺序进行到底的充要条件是
在原方程组的系数矩阵中如何反映出这个条件呢? A的k阶顺序主子矩阵Ak的行列式
1, k
2,L
, n)
bi(k`) bi(k ) mikbk(k )
回代过程
上三角形方程组 A(n) x b(n) 求解过程
xn
b(n) n
a(n) nn
b(i) i
n
，（i n 1, n 2,L ,1 ）
a(i ij
)
x
j
xi
j i 1
a(i) ii
顺序高斯消去法的使用条件 使用条件之一
3
7 7
下二对角方程组 顺代可求得
7 4 6 0 2
7
0
4
3 3
3.1 高斯消去法
3.1.1 顺序高斯消去法
(按方程和未知量的自然顺序进行) 基本思想：用逐次消去未知数的方法把原方 程组化为上三角形方程组进行求解 。求解 分成 两步： 1.消元过程：用初等行变换将原方程组的系 数矩阵化为上三角形矩阵（简称上三角阵）。 2.回代过程：对上三角形方程组的最后一个 方程求解，将求得的解逐步往上一个方程代入求 解。
上三 角形方程组
4x1 5x2 6x3 10
2x2
3x3
3
7x3 7
回代求解，得
4 5
2
6 10
3
3
7 7
u11 x1 u12 x2 u1n xn y1
u22 x2 u2n xn y2
unn xn yn
2 x1 x2 x3 y1
3x2 5x3 y2