圆锥曲线大题练习1(供参考)
圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)
圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)1.抛物线y=10x的焦点到准线的距离是（）2答案：52.若抛物线y=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）。
答案：(7,±14)3.以椭圆x^2/25+y^2/16=1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是（）。
答案：x^2/9 - y^2/16 = 14.F1,F2是椭圆x^2/16+y^2/27=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45，则ΔAF1F2的面积（）。
答案：75.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x^2+y^2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）。
答案：y=3x或y=-3x6.若抛物线y=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（）。
答案：(±1/4.1/8)7.椭圆x^2/48+y^2/27=1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）。
答案：288.若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y=2x的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MF+MA取得最小值的M的坐标为（）。
答案：(2/5.4/5)9.与椭圆4x^2+y^2=1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是（）。
答案：x^2/3 - y^2/4 = 110.若椭圆x/√3 + y/√2 = 1的离心率为2/3，则它的长半轴长为_______________。
答案：√611.双曲线的渐近线方程为x±2y=0，焦距为10，这双曲线的方程为______________。
答案：x^2/4 - y^2/36 = 112.抛物线y=6x的准线方程为y=3，焦点为(0,3)。
13.椭圆5x^2+k^2y^2=5的一个焦点是(0,2)，那么k=____________。
答案：√314.椭圆kx^2+8y^2=9的离心率为2/3，则k的值为____________。
答案：7/315.根据双曲线的定义，其焦点到准线的距离等于其焦距的一半，因此该双曲线的焦距为3.又根据双曲线的标准方程，8kx-ky=8，将焦点代入方程可得8k(0)-3k=8，解得k=-8/3.16.将直线x-y=2代入抛物线y=4x中，得到交点为(2,8)和(-1,-5)。
(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与 的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。
圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。
圆锥曲线大题专项训练系列
圆锥曲线大题专项练习类型一：直接求解1、(2015·湖南文，20)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．2、（离心率）[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 3、（共圆）[2014·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．4、（交点切线）[2014·重庆卷] 如图14所示，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．5、（切线，不对称）[2014·天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．6、[2014·北京卷] 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线 AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．类型二：证明定值1、(理)(2015·洛阳市期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，k OA ·k OB ＝－b 2a 2，判断△AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．2、(理)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A 、B 、D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明：2m －k 为定值．3、[2014·江西卷] 如图17所示，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0xa 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值．4、（多曲线，面积比）[2014·安徽卷] 如图14，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1＞0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2＞0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点，记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值．5、【2012高考江苏19】如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和32e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若1262AF BF -=，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．类型三：求证恒过定点1、(文)(2014·东北三校二模)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝－16，求证：直线AB 恒过定点．2、2013·陕西卷] 已知动圆过定点A(4，0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B(－1，0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．类型四：求最值或者范围1、(理)(2014·山东理，21)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， (ⅰ)证明：直线AE 过定点，并求出定点坐标；(ⅱ)△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．2、(文)(2015·辽宁葫芦岛市一模)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠0)与椭圆C 交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与y 轴交点P ⎝⎛⎭⎫0，－14，求△MON (O 为坐标原点)面积的最大值．3、(理)(2015·浙江理，19)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．4、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．5、[2014·四川卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．6、[2014·浙江卷] 如图16，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；(2)若过原点O 的直线l 1与l l 1的距离的最大值为a －b .7、【2012高考真题浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程．8、已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程；(Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.类型五：证明存在1、(2014·福建理，19)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1、l 2于A ，B 两点(A 、B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．2、【2015广东文理.20.】已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由3、【2015全国新课标1理.20】（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =24x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由。
圆锥曲线练习题
圆锥曲线练习第Ⅰ卷 (选择题共50分)一、选择题(10×5′=50′)1.已知有向线段的起点P（-1，1），终点Q（2，2）,若直线l:x+my+m=0与有向线段的延长线相交，如图所示，则m的取值范围是 ( )A. B.C.(-∞,-3)D.2.若P(x1,y1)是直线l:f (x,y)=0上的一点,Q(x2,y2)是直线l外一点,则方程f (x,y)=f (x1,y1)+f (x2,y2)表示的直线 ( )A.与l重合B.与l相交于点PＣ.过点Ｑ且与l平行Ｄ.过点Q且与l相交3.直线l:y=kx+1(k≠0)，椭圆E：.若直线l被椭圆E所截弦长为d,则下列直线中被椭圆E所截弦长不是d的直线是 ( )A.kx+y+1=0B.kx-y-1=0C.kx+y-1=0D.kx+y=04.若m、n是不大于6的非负整数，则Cx2+Cy2=1表示不同的椭圆的个数为 ( )A.AB.CC.AD.C5.在椭圆上一点A看两焦点F1、F2的视角为直角，设AF1的延长线交椭圆于点B，又|AB|=|AF2|，则椭圆的离心率e可能为 ( )A.2-2B.C.-1D.6.F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，AB为其过点F2且斜率为1的弦，则・的值为 ( )A. B. C. D.57.如果把圆C:x2+y2=1沿向量a=(1,m)平移到C′,且C′与直线3x-4y=0相切,则m的值为 ( )A.2或-B.2或C.-2或D.-2或-8.在圆x2+y2=5x内,过点有n条弦的长度成等差数列,最小弦长为数列的首项a1,最大弦长为an,若公差d∈,那么n的取值集合为 ( )A.{3,4,5}B.{4,5,6}C.{3,4,5,6}D.{4,5,6,7}9.若当p(m,n)为圆x2+(y-1)2=1上任意一点时，不等式m+n+c≥0恒成立，则c的取值范围是 ( )A.-1-≤c≤-1B.-1≤c≤+1C.c≤--1D.c≥-110.过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，使|AF|>|BF|,过点A作与x轴垂直的直线交抛物线于点C,则△BCF的面积是 ( )A.64B.32C.16D.8二、填空题（4×4′=16′）11.一个圆周上有10个点，每两点连成一条弦，这些弦在圆内的交点最多有个.12.设圆C经过点M(-2,0)和点N(9,0),直线l过坐标原点,圆C与直线l相交于点P、Q,当直线l绕原点在坐标平面内旋转时,弦PQ长度的最小值是 .13.函数y=的图象是平面上到两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这个定长是 .14.椭圆(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为 .三、解答题（4×10′+14′=54′）15.对任意的实数λ,直线(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0与点P(-2,2)的距离为d,求d的取值范围.16.已知椭圆E：(a>b>0),以F1（-c,0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0,b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N.(1)若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1(0,-b)时，求此椭圆的离心率;(2)若直线MN的斜率为-1,且原点到直线MN的距离为4（-1）,求此时的椭圆方程；(3)是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间(-)内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由.17.椭圆的焦点在y轴上，中心在原点，P为椭圆上一点，F1、F2为椭圆两焦点，点P到两准线的距离分别为和,且PF1⊥PF2.(1)求椭圆的方程；(2)过点A（3，0）的直线l与椭圆交于M、N两点，试判断线段MN的中点Q与点B（0，2）的连线能否过椭圆的顶点，若能则求出l的方程，若不能则说明理由.18.椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=,过点C(-1,0)的直线l交椭圆于A、B两点，且满足：=λ.(1)若λ为常数,试用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积;(2)若λ为常数，当△OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程;(3)若λ变化，且λ=k2+1,试问：实数λ和直线l的斜率k(k∈R)分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程.19.有一张矩形纸片ABCD，如图(1)所示那样折叠，使每次折叠后，点A都落在DC边上，试确定：是否存在一条曲线，使这条曲线上的每一点都是某条折痕（满足以上条件）与该曲线的切点，且每条折痕与该曲线相切［如图(2)］.圆锥曲线练习参考答案一、选择题1.B 易知kPQ=,直线x+my+m=0过点M（0，-1）.当m=0时，直线化为x=0,一定与PQ相交，所以m≠0.当m≠0时，k1=-.考虑直线l的两个极限位置.(1)l经过点Q，即直线为l1,则k=.(2)l与平行，即直线为l2,则k=kPQ=.∴<-<.∴-3<m<-.故选B.2.C 由题意知f (x1,y1)=0,f (x2,y2)=m(m为非零常数).所以方程f (x,y)=f (x1,y2)+f (x2,y2),即f (x,y)-m=0.所以f (x)表示的直线过点Ｑ,且平行于直线l.3.D 因为A、B、C三个选项分别是直线l关于x轴、原点、y轴的对称直线，又椭圆E关于x轴、原点、y轴都对称，所以A、B、C三个选项所表示的直线被椭圆E所截弦长都是d.故选D.4.C 因为C只有4个不同的值，故选C.5.B 由题意知|AF1|≠|AF2|.∴2(|AF1|2+|AF2|2)>(|AF1|+|AF2|)2.∴2×4c2>4a2.∴e=>≈0.707.对照备选答案，只有B可能.6.C 分析本题可把直线AB与椭圆两方程联立求出A、B坐标后写出、的坐标表示，再按定义进行.也可先求出向量、，利用・=(+)・(+)来做.解法一消去y得5x2-8x+8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2).∴・=(x1+,y1)・(x2+,y2)=(x1+,x1-)・(x2+,x2-)=(x1+)(x2+)+(x1-)(x2-)=2(x1x2+3)=2(+3)=,选C.解法二设直线AB方程为,代入椭圆方程,有5t2+2t-2=0・=(+)・(+)=()2+・(+)+・=(2)2+2・・+=.选C.7.A 平移后圆的方程为(x-1)2+(y-m)2=1.由题意知平移后所得的圆的圆心到直线的距离d==1,解得m=2或-.8.D 如图，⊙C的圆心为C(),半径R=|CB|=,最短弦a1=|AB|=4,最长弦an=|DE|=5.由an=a1+(n-1)d,得d=,已知d∈,∴n-1∈［3,6］,n∈［4,7］,即n=4,5,6,7.选D.9.D 本题是解析几何题型，而又求数的范围,故适合用数形结合思想直观解之.如图，圆C恒在直线y=-x-c上方，至少直线l与圆相切于A点,若l交y轴于B,∵kl=-1,∴△ABC为等腰直角三角形.|AB|=|AC|=1,|BC|=,必有B(-+1,0),即直线的纵截距-c≤-+1时圆恒在直线l上方，∴c≥-1.选D.10.C 分析如图由抛物线关于x轴对称知∠AFC=90°,△BFC为Rt△,只须求FB、FC之长即可.解抛物线顶点为(-2,0),且焦参数p=4,知焦点F(0,0)为原点.∴直线AB的方程为y=x,代入抛物线方程:x2=8(x+2).即(x-4)2=32,∴x=4±4.故有A(4+4,4+4),B(4-4,4-4),C(4+4,-4-4).由条件知∠AFx=∠CFx=45°,∴在△BFC中∠BFC=90°.∴S△BFC=|FB|・|FC|===32-16=16.∴选C.二、填空题11.210 分析本题直接求解较难，可转化为求圆的内接四边形的个数（由于每一个四边形，对应着对角线的一个交点），从而使问题简化.解在圆内相交于一点的两弦，可作为一个四边形的两条对角线，它对应着一个圆内接四边形.反之，每一个圆内接四边形，都对应着对角线的一个交点.这样，圆内接四边形与弦在圆内的交点可建立一一对应的关系.因此，弦在圆内的交点最多有C=210个.12.6 当直线l绕原点O旋转到使OC垂直于l时,｜PQ｜最小.因为O为PQ的中点,所以由相交弦定理得｜OP｜｜OQ｜=｜OM｜｜ON｜=18,即｜OP｜2=18,所以｜OP｜=3.所以｜PQ｜=2｜OP｜=6.13.2 由得A(-1,-1)、B(1,1)，所以2a=|AB|=2.14.-1 设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于点A，则|AF1|=c,|AF2|=c.∴2a=(1+)c.∴e==.三、解答题15.解将原方程化为(2x-y-6)+λ(x-y-4)=0,它表示的是过两直线2x-y-6=0和x-y-4=０交点的直线系方程,但其中不包括直线x-y-4=０.因为没有λ的值使其在直线系中存在.解方程组得所以交点坐标为(2,-2).当所求直线过点Ｐ和交点时,d取最小值为０;当所求直线与过点Ｐ和交点的直线垂直时,d 取最大值,此时有d=.但是此时所求直线方程为x-y-4=0.而这条直线在直线系中不存在.所以d的取值范围是.16.解（1）圆F1的方程是（x+c）2+y2=(a-c)2,因为B2M、B2N与该圆切于M、N点，所以B2、M、F1、N四点共圆，且B2F1为直径，则过此四点的圆的方程是(x+)2+(y-)2=,从而两个圆的公共弦MN的方程为cx+by+c2=(a-c)2,又点B1在MN上,∴a2+b2-2ac=0,∵b2=a2-c2,∴2a2-2ac-c2=0,即e2+2e-2=0,∴e=-1.(负值已舍去)(2)由（1）知，MN的方程为cx+by+c2=(a-c)2,由已知-=-1.∴b=c,而原点到MN的距离为d==|2c-a|=()a,∴a=4,b2=c2=8,所求椭圆方程是;(3)假设这样的椭圆存在，由（2）则有-<-<-,∴<<,∴<<,∴<<.故得2<<3,∴3<<4,求得<e<,即当离心率取值范围是（,）时，直线MN的斜率可以在区间(,-)内取值.17.解（1）设椭圆的方程为(a>b>0),c=,|PF1|=m,|PF2|=n,则由题意和椭圆的性质得m+n=2a,n=2m,m2+n2=4c2,解得a=3,b=2,c=.故所求的椭圆方程为.(2)由（1）知直线l与椭圆相交时斜率一定存在，故设l的方程为y=k(x-3),代入,整理得(9+4k2)x2-24k2x+36k2-36=0由Δ=(-24k2)2-4(9+4k2)(36k2-36)>0,得-.设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0)则x0=,y0=k(x0-3)=-当k=0时，Q为坐标原点，BQ过椭圆顶点（0，3）和（0，-3），此时l的方程为y=0;当k≠0时，x0≠0,则直线BQ的方程为y=x+2,若直线BQ过顶点（2，0），则×2+2=0,即x0+y0=2,所以=24k2-27k-18=0,解得k=或k=(舍去)此时l的方程为y=x+2若直线BQ过顶点(-2,0),则×(-2)+2=0,即x0-y0=-2,所以=-220k2+27k+18=0.方程无实根，直线l不存在18.解设椭圆方程为(a>b>0).由e==及a2=b2+c2得a2=3b2,故椭圆方程为x2+3y2=3b2 ①(1)∵直线l:y=k(x+1)交椭圆于A（x1,y1）,B(x2,y2)两点，并且=λ(λ≥2),∴(x1+1,y1)=λ(-1-x2,-y2)，即②把y=k(x+1)代入椭圆方程，得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2=0,且k2(3b2-1)+b2>0,∴x1+x2=-, ③x1x2=, ④∴S△OAB=×１×|y1-y2|=|λ+1|・|y2|=・|k|・|x2+1|.联立②、③得x2+1=,∴S△OAB=・(k≠0),(2)S△OAB=・≤(λ≥2).当且仅当3|k|=,即k=±时，S△OAB取得最大值，此时，x1+x2=-1,又∵x1+1=-λ(x2+1),∴x1=,x2=,代入④得3b2=故此时椭圆的方程为x2+3y2=(λ≥2).(3)由②、③联立得：x1=,x2=,将x1、x2代入④，得3b2=.由k2=λ-1得3b2==+1.易知，当λ≥2时,3b2是λ的减函数，故当λ=2时，(3b2)max=3.故当λ=2,k=±1时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x2+3y2=3. 19.解以AD 的中点为原点建立直角坐标系（如图），设|AD|=p,则点A的坐标为(0,-).A′是DC上任意一点，EF是A与A′重合时的折痕，易证:EF是AA′的中垂线，过A′作A′T⊥DC,交EF于T，设T的坐标为(x,y),于是有|A′T|=-y,|AT|=,由|TA′|=|AT|,得 (-y)2=x2+(y+)2,整理得y=-x2,由此可知点T的轨迹为一段抛物线，下面证明每一条折痕EF与抛物线y=-x2相切于点T，设AA′的斜率为k,则易得k=, 由于EF是AA′的中垂线，所以EF的方程为y=-.联立直线EF与抛物线的方程：得x2-2xA′・x+x2A′=0,(x-xA′)2=0,解得重根x=xA′,直线EF与抛物线y=-x2相切于点T，故存在一条曲线（抛物线），这条曲线（抛物线）上的每一点都是某条折痕与该曲线的切点，且每条折痕与该曲线相切.。
圆锥曲线训练100题
圆锥曲线典型训练100题1.如图,已知A ,B 是椭圆22143x y +=的长轴顶点,P ,Q 是椭圆上的两点,且满足2AP QB k k =,其中AP k 、QB k 分别为直线AP 、QB 的斜率.（1）求证：直线AP 和BQ 的交点R 在定直线上； （2）求证：直线PQ 过定点； （3）求PQB ∆和PQA ∆面积的比值.2.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 上的点到焦点的最大距离为3，离心率为21.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l ：01=+-my x 与椭圆C 交于不同两点A ，B ，与x 轴交于点D ，且满足DB DA λ=,若3121-<≤-λ，求实数m 的取值范围.3.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率是22，且经过抛物线y x 42=的焦点。
（1）求椭圆C 的标准方程；（2）经过原点作直线l （不与坐标轴重合）交椭圆于A ，B 两点，AD x ⊥轴于点D ，点E 为椭圆C 上的点，且0=⋅AB AE 。
若直线BE ，BD 的斜率均存在，且分别记为BD BE k k ,,求证：BDBEk k 为定值；并求出该值。
4.已知椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为)0,3(1-F ,椭圆C 与直线022=-+y x 交于A ，B 两点，线段AB 中点为)21,1(M . （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 不经过点)1,0(N 且与C 相交于E ，F 两点.若直线NE 与直线NF 的斜率的 和为－1，证明：l 过定点.5.已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F 在y 轴正半轴上，圆心在直线12y x =上的圆E 与x 轴相切，且EF 关于点()1,0M -对称． （Ⅰ）求E 和Γ的标准方程；（Ⅱ）过点M 的直线l 与E 交于A ，B ，与Γ交于C ，D ，求证：CD AB >．6.已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0）的右焦点为F (2,0)，过点F 的直线交椭圆于M 、N 两点且MN 的中点坐标为（1，22) ． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过点P （0，b ）且与C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率的和为1，试判断直线 l 是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由.7.已知(2,0),(2,0)A B -，动点M 满足2AMB θ∠=，24||||cos AM BM θ⋅=uuu r uuu r. （1）求||||AM BM +u u u r u u u r的值，并写出M 的轨迹曲线C 的方程；（2）动直线:l y kx m =+与曲线C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，是否存在圆222x y r +=使得直线l 恰好是该圆的切线，若存在，求出圆的方程；若不存在，说明理由.8.已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，20P -（，）是它的一个顶点，过点P 作圆2222:C x y r +=的切线PT ，T为切点，且PT =(1)求椭圆C 1及圆C 2的方程；(2)过点P 作互相垂直的两条直线l 1，l 2，其中l 1与椭圆的另一交点为D ，l 2与圆交于A ，B 两点，求△ABD 面积的最大值.9.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B，离心率2e =，O 为坐标原点，圆224:5O x y +=与直线AB 相切. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知四边形ABCD 内接于椭圆E ，AB ∥DC .记直线AC ，BD 的斜率分别为12,k k ，试问12k k ⋅是否为定值？证明你的结论.10.已知直线l ：y x =与圆225x y +=相交的弦长等于椭圆C ：22219x y b+=（03b <<）的焦距长． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为原点，椭圆C 与抛物线22y px =（0p >）交于M 、N 两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线PM 、PN 与x 轴分别交于G 、H 两点，求证：||||OG OH ⋅为定值．11.已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作直线l与椭圆C 交于M ，N 两点.（1）已知M ，椭圆C 的离心率为12，直线l 交直线4x =于点P ， 求1F MN ∆的周长及1F MP ∆的面积；（2）当224a b +=且点M 在第一象限时，直线l 交y 轴于点Q ，11F M FQ ⊥， 证明：点M 在定直线上.12.已知离心率为22的椭圆C ： 22a x +22by =1（a ＞b ＞0）过点P （﹣1，22）．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线AB ：y=k （x+1）交椭圆C 于A 、B 两点，交直线l ：x=m 于点M ，设直线PA 、PB 、PM 的斜率依次为k 1、k 2、k 3，问是否存在实数t ，使得k 1+k 2=tk 3？若存在，求出实数t 的值以及直线l 的方程；若不存在，请说明理由．13.在平面直角坐标系xOy 中，设动点M 到坐标原点的距离到x 轴的距离分别为d 1，d 2，且221234d d +=，记动点M 的轨迹为Ω.（1）求Ω的方程；（2）设过点(0,－2)的直线l 与Ω相交于A ，B 两点，当△AOB 的面积最大时，求|AB |.14.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0),F 左顶点为(2,0).A -（1）求椭圆E 的方程；（2）过点A 作两条相互垂直的直线分别与椭圆E 交于（不同于点A 的）M ,N 两点.试判断直线MN 与x 轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.15.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，F 为该椭圆的右焦点，过点F 任作一直线l 交椭圆于,M N 两点，且||MN 的最大值为4. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左顶点为A ，若直线AM ，AN 分别交直线2x a =于P ，Q 两点，求证：FP FQ ⊥.16.已知椭圆Ma＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l：x ky m=+与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．17.已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>，圆Q：()(222=2x y-+的圆心Q在椭圆C上，点P（0C（I）求椭圆C的方程；（II）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．18.设椭圆E 的方程为2221x y a +=（1a >），点O 为坐标原点，点A ，B 的坐标分别为(,0)a ，(0,1)，点M 在线段AB 上，满足||2||BM MA =，直线OM 的斜率为14． （1）求椭圆E 的方程；（2）若斜率为k 的直线l 交椭圆E 于C ，D 两点，交y 轴于点(0,)T t （1t ≠），问是否存在实数t 使得以CD 为直径的圆恒过点B ？若存在，求t 的值，若不存在，说出理由．19.设椭圆22221x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . A的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=. （I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值.20.已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ= ，QN QO μ= ，求证：11λμ+为定值．21.已知离心率为12的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,,F F A 是椭圆C的左顶点，且满足124AF AF +=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上异于A 点的两个动点，且满足AM AN ⊥，问直线MN 是否恒过定点？说明理由．22.已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23， A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点点()1,2-P 满足121=⋅PA PA . (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.23.已知椭圆Γ：22142x y +=，过点(1,1)P 作倾斜角互补的两条不同直线1l ，2l ，设1l 与椭圆Γ交于A 、B 两点，2l 与椭圆Γ交于C ，D 两点. （1）若(1,1)P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程； （2）记AB CDλ=，求λ的取值范围.24.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 的上、下、左、右四个顶点分别为A 、B 、C 、D ，x轴正半轴上的某点G 满足432===GC GA GD ，， （1）求椭圆的方程；（2）设该椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在圆222x y b +=上， 且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于P ,Q 两点， 求证：△PF 2Q 的周长是定值．25.设,,,P Q R S 是椭圆2222:x y M a b+=1(0)a b >>的四个顶点，菱形PQRS 的面积与其内切圆面积分别为367π.椭圆M 的内接ABC ∆的重心(三条中线的交点)为坐标原点O .(I)求椭圆M 的方程；(Ⅱ) ABC ∆的面积是否为定值?若是，求出该定值，若不是，请说明理由.26.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ，且焦距为2，直线l 交椭圆Γ于E 、F 两点（点E 、F 与点A 不重合），且满足AE AF ⊥.（1）求椭圆的标准方程；（2）O 为坐标原点，若点P 满足2OP OE OF =+，求直线AP 的斜率的取值范围.27.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>错误！未找到引用源。
(完整版)职高圆锥曲线练习题
圆锥曲线 练习题、选择题221、已知椭圆方程为 x + y =1, 则它的焦距是 （ ）20 11A 、 6B 、 3C 、 2 31D 、 31222. 椭圆 x y 1 的焦点坐标为（ ）54A ．（-3，0）（3，0） B.（0，-3 ）（0，3） C.（-1，0）（1，0）D.（0，-1 ）（0，1）4. 过抛物线 y 2=8x 的焦点 F 且垂直于对称轴的直线交抛物线于 A ，B 两点， 则 |AB|= （ ）A. 8B.4 C .16 D.2225. 曲线（x 6） （y 2）1的实轴长为（ ）16 25A.8B.16C.10D.56．已知圆 方程（x-1） 2 +（y+1） 2 =4 ，则圆心到直线 y=x-4 的距离是 （ ）A.2 2B. 2C. 2D. 223. 双曲线的两条渐近线方程为 y= x ，则该双曲线的离心率为（A.1B. 2C. 3D.27. 已知点P（1,-4）,Q（3,2）, 那么以PQ 为直径的圆的方程是（）8. 若直线 2x-y+b=0 与圆 x 2+y 2=9 相切，则 b 的值是（ ）9.长轴是短轴的 2 倍，且经过点 P （-2 ，0）的椭圆的方程是（）A. 2xy 21B. 2 x2y21或 x y 2 14164422222C.x y 2 1D. xy1 或 x y2 14164 16 42212. 双曲线 1x 6 y 9 1的焦点坐标是（13 ．抛物线 x 2-5y=0 的准线方程是A.(x-2) 2+(y+1) 2=10 C.(x-2) 2+(y+1) 2=40B. (x+2) 2+(y-1) 2=10 D.(x+2) 2+(y-1) 2=40A.3 5B.-3 5C. 3 5D. 510.方程 3 k 2y2k1表示椭圆,则 k 的取值范围是A.-2<k<3B.k< 12且 k>-2C.k> 12D.-2<k<11或 <k<32211、两椭圆 2x 2 + y25 92=1 2225x k + 9yk =1 (k<9 ) ( )A. 有相同的顶点 B . 有相同的焦点 C . 有相同的离心率D. 有相同的准线A.（0，-5 ）和（ 0， 5） C. （0，- 7 ）和（0， 7 ）B. （-5 ，0）和（5，0） D. （- 7 ，0 ）和（ 7 ，0）5 5 5 5 A.x=- B.x= C.y= D.y=-4244314.若双曲线焦点在 x 轴上,且它的一条渐近线方程是 y= 3 x,则离心率为(4二、填空题1、已知椭圆的两个焦点与其短轴的一个顶点恰好是正三角形的三个顶点，则椭圆的离心率 =A. 54B. 35C. 47 7D.73 715. 顶点在原点，以坐标轴为对称轴， 且过点 2，-3 )的抛物线方程是(94A.y 2= 9 x 或 x 2=- 4 y23C. y 2=- 9x 或 x 2= 4 y2329B. y 2=- x 2 24 D. x 2= y316．过点 M (-2 ，1)的圆 x 2+y 2-2x-6y-5=0 的最短弦所在直线方程为 (A.2x-3y+7=0 C.3x+2y-2=0B.3x+2y+4=0 D.3x-2y+8=017. 两圆 x 2+y 2-2x=0 与 x 2+y 2-4x=0 A.外切 B.内切C. 相交D. 相离18. 设 (022)，方程 si x n2ycos1表示中心在坐标原点且焦点在 x 轴上的椭圆，则 的取值范围是(A.(0, 4 )B. 0,4D.4, 22. 直 线 x-2y+5=0 与 圆 x 2 +y 2 -4x-2y=0 的 位 置 关 系 是223. 已知椭圆 viii ix x + y 1，过其焦点 F 1的直线与椭圆交于 A 、B 两点，则 A 、B16 4 1与另一焦点 F 2 构成的三角形的周长为 ___________________ .224. 双曲线 x y 1 上一点 M 到左焦点 F 1 的距离为 9,16 25则点 M 到右焦点 F 2的距离为 ____________5. __________________________________________________ 过点( 1， 4 )的抛物线的标准方程为 ___________________________________6、 直线 y=x+b 过圆 x 2+y 2-4x+2y-4=0 的圆心 ,则 b= _____________7、 直线 4x-3y=20 被圆 x 2+y 2=25 截得的弦长为 ___________________8、 椭圆 9x 2+25y 2=225 的离心率 e= _______________________9、 椭圆 9x 2+25y 2=225 上一点到椭圆一个焦点的距离是 3,则到另一个焦点 的距离为 __________________ .10、以点 (2,-3) 为 圆心,且 与直线 x+y-1=0 相切的 圆的方程为14、 抛物线(y-2) 2=5x 的焦点坐标是 ______________________22 2 211、 直线 4x-3y=20 被圆 x 2+y 2=25 截得的弦长为 _____________________ 12 、 椭圆 9x 2+25y 2=225 的离心率 e= _________________________x 2 y 213、以双曲线 x y1 的右焦点为顶点 ,左顶点为焦点的抛物线方程是16 915. 椭圆 x y 2 1 与双曲线 x 2 y 1有相同的焦点 ,4 a 2 a 2 2则 a 2= _______________三、解答题1、椭圆的两焦点为 F 1(-4,0),F 2 (4,0).椭圆的弦 AB 过点 F 1 ，且ΔABF 2 的周长为 20 ，那么，求椭圆的方程。
对口升学数学复习《圆锥曲线》练习题
《圆锥曲线》练习题练习1——椭圆1 （一）选择题：1．椭圆的两个焦点分别为F 1 (-4,0), F 2 (4,0)，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 ( )（A ）1362022=+y x （B ）112814422=+y x （C ）1203622=+y x （D ）181222=+y x 2． P 为椭圆192522=+y x 上一点，则△P F 1F 2的周长为 （ ） （A ）16 （B ）18 （C ）20 （D ）不能确定3．若方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值是( ) （A ）-16<m<25 （B ）29<m<25 （C ）-16<m<29 （D ）m>29 4．若方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围( ) （A ）(0,+∞) （B ）(0,2) （C ）(1,+∞) （D ）(0,1)5．椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是 （ ） （A ）(±5，0) （B ）(0，±5) （C ）(0，±12) （D ）(±12，0)6．已知椭圆的方程为22218x y m+=，焦点在x 轴上，则其焦距为 （ ） （A ）228m - （B ）2m -22 （C ）282-m （D ）222-m7．设α∈(0,2π)，方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则α∈( ) （A ）(0,4π] （B ）(4π,2π) （C ）(0,4π) （D ）[4π,)2π8．椭圆2255x ky +=的一个焦点是（0，2），那么k 等于 （ ）（A ）－1（B ）1（C ）5（D ）9．椭圆171622=+y x 的左右焦点为21,F F ，一直线过1F 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 （ ）（A ）32 （B ）16 （C ）8 （D ）410．已椭圆焦点F 1（-1，0）、F 2（1，0），P 是椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆的方程为 （ ）（A ）221169x y += （B ）2211612x y += （C ）22143x y += （D ）22134x y += （二）填空题：1．1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 。
圆锥曲线经典好题目(带答案)
圆锥曲线练习题一、填空题1. 一个动点到两个定点A ，B 的距离的差为定值(小于两个定点A ，B 的距离)，则动点的轨迹为________．2. (2011·海安中学模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点F 分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为________．3. 已知动圆过定点(0，－1)，且与定直线y ＝1相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．4. (2010·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________．5. 已知P 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过P 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若Q 在直线l 上，且满足|AP →|·|QB →|＝|AQ →|·|PB →|，则点Q 总在定直线x ＝－1上．试猜测：如果P 为椭圆x 225＋y 29＝1的左焦点，过P 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，若Q 在直线l 上，且满足|AP →|·|QB →|＝|AQ →|·|PB →|，则点Q 总在定直线________上．6. 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.7. (2010·重庆)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为________．8. 已知过椭圆的左焦点F 1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点，若F 1A ＝2F 1B ，则椭圆的离心率为________．二、解答题9. 抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为⎝⎛⎭⎫32，6.求抛物线与双曲线的方程．10. 如图，已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，求m 6＋m 4的值．O lxyA B F ·M第17题 11. 如图，已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线n ,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==.（Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）若P 为抛物线C 上的动点,求PM PF ⋅的最小值； （Ⅲ）过l 上的动点Q 向⊙M 作切线,切点为,S T ,求证：直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.12. 如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直．直线(2－k )x －(1＋2k )y ＋(1＋2k )＝0(k ∈R )所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率e＝32. (1)求椭圆的标准方程；(2)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP＝PQ ，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点．试求OQ →·NQ →的值，并由此判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．参考答案1. 双曲线的一支 解析：由双曲线的定义可知是双曲线的一支，故填双曲线的一支．2. 255 解析：由题意可知FF 2=38F 1F 2，即c -b 2=38⨯2c ，化简得c =2b ，所以c 2=4(a 2-c 2)，此椭圆的离心率e =c a =255.3. x 2=-4y 解析：圆心到定点(0，-1)的距离与到定直线y =1的距离相等，都等于圆的半径，由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，其方程为x 2=-4y .4. x 24-y 212=1 解析：由渐近线方程可知ba =3，① 因为抛物线的焦点为(4,0)，所以c =4，② 又c 2=a 2+b 2，③联立①②③，解得a 2=4，b 2=12，所以双曲线的方程为x 24-y 212=1.5. x =-254解析：x =-1是抛物线的准线，应用类比推理可知点Q 所在的定直线为椭圆的左准线，其方程为x =-254.6. 2 解析：由题意可知过焦点的直线方程为y =x -p 2，联立有⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2px ，y =x -p 2⇒x 2-3px +p 24=0， 由AB =x 1+x 2+p =8，得4p =8⇒p =2. 7. 83解析：如图，过点A 、B 作准线的垂线交准线于A 1B 1，过B 作BC ⊥AA 1于C ，设BF =m ，由抛物线的定义知AA 1=3m ，BB 1=m ，∴△ABC 中，AC =2m ，AB =4m ，k AB =3，直线AB 方程为y =3(x -1)，与抛物线方程联立消y 得3x 2-10x +3=0，所以AB 中点到准线距离为x 1+x 22+1=53+1=83.8. 23解析：如图，过B 作AC 的垂线，垂足为E ，由题意和椭圆第二定义可知E 为AC 的中点，cos 60︒=AE AB =DB 3BF 1=13e ，故e =23.9. 由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为y 2=2px (p >0)，将交点⎝⎛⎭⎫32，6代入得p =2，故抛物线方程为y 2=4x ，焦点坐标为(1,0)，这也是双曲线的一个焦点，则c =1.又点⎝⎛⎭⎫32，6也在双曲线上，因此有94a 2-6b2=1.又a 2+b 2=1，解得a 2=14，b 2=34，因此，双曲线的方程为4x 2-4y 23=1.10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，p2=-m ，将x =my -m 代入抛物线方程整理得y 2-2pmy +2pm =0，由韦达定理得y 1+y 2=2pm ，y 1y 2=2pm ，∴(y 1-y 2)2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=(2pm )2-8pm =16m 4+16m 2，又△OAB 的面积 S =12⨯p 2|y 1-y 2|=12⨯(-m )⨯4m 4+m 2=22，两边平方即可得m 6+m 4=2. 11．解：（Ⅰ）因为1cos602122p OA =⋅=⨯=,即2p =,所以抛物线C 的方程为24y x = 设⊙M 的半径为r ,则122cos 60OB r =⋅=, 所以M 的方程为22(2)4x y -+=（Ⅱ）设(,)(0)P x y x ≥,则(2,)(1,)PM PF x y x y ⋅=----=222322x x y x x -++=++ 所以当0x =时, PM PF ⋅有最小值为2（Ⅲ）以点Q 为圆心,QS 为半径作⊙Q,则线段ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦设点(1,)Q t -,则22245QS QM t =-=+,所以⊙Q 的方程为222(1)()5x y t t ++-=+ 从而直线TS 的方程为320x ty --=(*)因为230x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩一定是方程(*)的解,所以直线TS 恒过一个定点,且该定点坐标为2(,0)312. (1)将(2-k )x -(1+2k )y +(1+2k )=0整理得 (-x -2y +2)k +2x -y +1=0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧-x -2y +2=0，2x -y +1=0，得直线所经过的定点(0,1)，所以b =1.由离心率e =32得a =2，所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.。
(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。
高考数学圆锥曲线典型例题(必考)
高考数学圆锥曲线典型例题(必考)9.1 椭 圆典例精析题型一 求椭圆的标准方程【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )；(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1，C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y ).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C 1的方程为 . x 212＋y 26＝1.题型二 椭圆的几何性质的运用【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)e 的取值范围是[12，1).(2)21F PF S ＝12mn sin 60°＝33b 2，【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2，|PF 1|≥a －c . 【变式训练2】已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝14和圆(x －4)2＋y 2＝14上的点，则|PQ |＋|PR |的最小值是 .【解析】最小值为9.题型三 有关椭圆的综合问题【例3】(2010全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列.(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程.(1) 22.(2)为x 218＋y 29＝1.【变式训练3】已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2，抛物线以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若|PF 1||PF 2|＝e ，则e 的值是( )A.32B.33C.22D.63【解析】选B 题型思 有关椭圆与直线综合问题【例4】【2012高考浙江理21】如图，椭圆C ：2222+1x y a b =(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程． .【变式训练4】【2012高考广东理20】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e=23，且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． 总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a 、 b 的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )求解.2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.练习1（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF u u u u r=( )A. 2B. 2C.3D. 3 选A.2（2009浙江文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =u u u r u u u r，则椭圆的离心率是（ ） A 32 C ．13 D ．12【答案】D3.（2009江西卷理）过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为 A ．22 B ．33 C ．12D ．13 【答案】B 4.【2012高考新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） ()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C5【2012高考四川理15】椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。
圆锥曲线练习题(抛物线)
圆锥曲线题型总结一、选择题（1）5．已知F 为抛物线x y 82=的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值等于 ( )A ．4 2B ．8C ． 8 2D ．166．在22x y =上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)7．设抛物线x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝ ( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．169.设),(00y x M 为抛物线C ：y x 82=上一 点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)10.抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，交准线于C 点，点A 在x 轴上方，AK ⊥l ，垂足为K ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．811.过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3则此抛物线的方程为 ( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝9xC ．y 2＝92x D ．y 2＝3x 选择题（2）6．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A B ．3 C D ．927．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，， 333()P x y ，在抛物线上，且123,,x x x 成等差数列， 则有（ ） Ａ．123FP FP FP += Ｂ．222123FP FP FP += Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =· 8．过点(2,4)M 作与抛物线28y x =只有一个公共点的直线l 有 （ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条9．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK ，则AFK ∆的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32 10．抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称， 且2121-=⋅x x ，则m 等于（ ） A 23 B 2 C 25 D 3 11．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则q p 11+等于（ ） A ．2a B ． a 21 C ．4a D ． a4 二、填空题1．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．3．已知抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点为F ，那么| FA | ＋| FB | ＝________.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，那么 |AB |等于________5．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ．6．过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AF FB = ． 7.已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ． 8 对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是 。
圆锥曲线大题基础练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)
圆锥曲线大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知抛物线C ：22(0)y px p =>与直线2y x =+相切．(1)求C 的方程；(2)过C 的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，AB 的中垂线与C 的准线交于点P ，若PA =，求l 的方程．2．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长倍，且右焦点为()1,0F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线():2l y k x =+交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为23-．求直线l 的方程．3．（2022秋·海南海口·高三校考期中）椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆C 经过点()0,1且长轴长为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()1,0M 且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求弦长AB .4．（2022·江苏苏州·苏州市第六中学校校考三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．(1)求双曲线C 的方程；(2)设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．5．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）已知1l ，2l 是过点()0,2的两条互相垂直的直线，且1l 与椭圆22:14x y Γ+=相交于A ，B 两点，2l 与椭圆Γ相交于C ，D 两点．(1)求直线1l 的斜率k 的取值范围；(2)若线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明直线MN 经过一个定点，并求出此定点的坐标．6．（2022秋·重庆长寿·高三统考期末）已知曲线22:1C ax by +=过点1,2⎛ ⎝⎭和1,2⎛- ⎝⎭．(1)求曲线C 的方程，并指出曲线类型；(2)若直线2x －y －2＝0与曲线C 的两个交点为A ，B ，求△OAB 的面积（其中O 是坐标原点）．7．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第十中学校考阶段练习）已知椭圆Γ的方程为22184x y +=，圆C 与x 轴相切于点(2,0)T ，与y 轴正半轴相交于,A B 两点，且3AB =，如图．(1)求圆C 的方程；(2)如图，过点(0,1)的直线l 与椭圆Γ相交于,P Q 两点，求证：射线AO 平分PAQ ∠．8．（2022春·河北唐山·高三校考开学考试）如图，抛物线的顶点在原点，圆22(2)4x y -+=的圆心恰是抛物线的焦点.（1）求抛物线的方程；（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A 、B 、C 、D 四点，求||||AB CD +的值.9．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知抛物线C ；()220y px p =>，F 为抛物线的焦点，直线x m =和抛物线交于不同两点A ，B ，直线2p x =-和x 轴交于点N ，直线AF 和直线BN 交于点()00,M x y ．(1)若m p =，求三角形AMN 的面积AMN S （用p 表示）；(2)求证：点M 在抛物线C 上10．（2022·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预测）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点3(1,2P ，离心率12e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）不过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若AB 的中点M 在抛物线E ：24y x =上，求直线l 的斜率k 的取值范围．11．（2022·重庆·统考模拟预测）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，当3AB p =时，点M 的横坐标为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 的准线交于点D ，点D 关于x 轴的对称点为E ，当DME 的面积取最小值时，求直线l 的方程.12．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点F(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点.13．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>两个焦点分别为12,F F ，且过点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)P 是椭圆C 上的点，且123F PF π∠=，求三角形12F PF 的面积.14．（2022秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）如图所示，椭圆221169x y +=的左､右焦点分别为1F ､2F ，一条直线l 经过1F 与椭圆交于A ､B 两点.（1）求2ABF ∆的周长；（2）若直线l 的倾斜角为45 ，求2ABF ∆的面积.15．（2022·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左焦点为()12,0F -，点(在椭圆上．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)若直线()():20=+≠l y k x k 和椭圆交于,A B 两点，设点T 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，求线段OT 长度的取值范围．16．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知焦点在x 轴上的椭圆C ：222210)x y a b a b +=>>（，短轴长为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，已知点2(,0)3P ，点A 是椭圆的右顶点，直线l 与椭圆C 交于不同的两点,E F ，,E F 两点都在x 轴上方，且APE OPF ∠=∠．证明直线l 过定点，并求出该定点坐标．17．（2022·海南海口·统考二模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且经过点3⎫⎪⎪⎭．(1)求C 的方程；(2)动直线l 与圆22:1O x y +=相切，与C 交于M ，N 两点，求O 到线段MN 的中垂线的最大距离．18．（2022·湖南·校联考模拟预测）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，1A ，右焦点为点F ，点P 是椭圆E 上一动点，1APA △面积的最大值为2，当PF x ⊥轴时，12PF =.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，直线l 与直线x =N ，过点F 作x 轴的垂线，交直线l 于点M .求证：FM FN 为定值.19．（2022·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）点()00,N x y 是曲线22:1ax by Γ+=上任一点，已知曲线Γ在点()00,N x y 处的切线方程为001ax x by y +=．如图，点P 是椭圆22:12x C y +=上的动点，过点P 作椭圆C 的切线l 交圆22:4O x y +=于点A 、B ，过A 、B 作圆O 的切线交于点M ．(1)求点M 的轨迹方程；(2)求OPM 面积的最大值．20．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考阶段练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点坐标为()1,0F -，且其离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)若在y 轴上的截距为2的直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且直线OA ，OB 的斜率之和等于12，求ABF △的面积．21．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）已知双曲线：C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)与22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M .（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ､B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值.22．（2022秋·河北承德·高三承德市双滦区实验中学校考期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>2.（1）椭圆C 的方程；（2）设直线l ：12y x m =+交椭圆C 于A ，B两点，且AB =m 的值.23．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知P (1，2)在抛物线C ：y 2＝2px 上．(1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．24．（2022·河北·模拟预测）已知抛物线2:2(0)C x py p =>，点(4,1)A -，P 为抛物线上的动点，直线l 为抛物线的准线，点P 到直线l 的距离为d ，||PA d +的最小值为5．(1)求抛物线C 的方程；(2)直线1y kx =+与抛物线相交于M ，N 两点，与y 轴相交于Q 点，当直线AM ，AN 的斜率存在，设直线AM ，AN ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在实数λ，使得12311k k k λ+=，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．25．（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，左、右顶点分别为,A B ，若T 为椭圆上一点，12FTF ∠的最大值为π3，点P 在直线4x =上，直线PA 与椭圆C 的另一个交点为M ，直线PB 与椭圆C 的另一个交点为N ，其中,M N 不与左右顶点重合.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)从点A 向直线MN 作垂线，垂足为Q ，证明：存在点D ，使得DQ 为定值.26．（2022秋·福建龙岩·高三上杭县第二中学校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，离心率为2，点P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12(1,0),(1,0)F F -，过1F 的直线l 交椭圆C 于M ､N 两点，且直线l 倾斜角为45︒，求2MF N 的面积.27．（2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知双曲线2222C :1x y a b-=(a>0,b>0)(1)求双曲线C 的渐近线方程.(Ⅱ)当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C 交于不同的两点A,B,且线段AB 的中点在圆225x y +=上,求m 的值.28．（2022秋·江苏苏州·高三苏州中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在抛物线21:4C y x =上，圆2222:(2)(02).C x y r r -+=<<(1)若1r =，Q 为圆2C 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；(2)若点P 的纵坐标为4，过P 的直线,m n 与圆2C 相切，分别交抛物线1C 于,A B （异于点P ），求证：直线AB 过定点．29．（2022秋·湖北襄阳·高三期末）若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22163x y +=，A 1，A 2分别为椭圆C 1的左，右顶点．椭圆C 2以线段A 1A 2为短轴且与椭圆C 1为“相似椭圆”．(1)求椭圆2C 的方程；(2)设P 为椭圆C 2上异于A 1，A 2的任意一点，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，线段PQ 交椭圆C 1于点H ．求证：12A H PA ⊥30．（2022·湖北十堰·高三十堰东风高级中学校考阶段练习）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 是抛物线的准线2x =-上的动点．(1)求p 的值和抛物线的焦点坐标；(2)设直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且,MF AB AF MB ⊥⊥，求直线l 在x 轴上截距b 的取值范围．。
圆锥曲线基础大题20道
圆锥曲线基础大题20道一、解答题1．（1）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的焦距为x =±，求椭圆1C 的方程；（2）已知双曲线()22222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，求双曲线2C 的方程. 2．已知椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是1. （1）这组直线何时与椭圆有公共点？（2）当它们与椭圆相交时，求这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程. 3．过原点O 作圆x 2+y 2-8x=0的弦OA ．(1)求弦OA 中点M 的轨迹方程；(2)延长OA 到N ，使|OA|=|AN|，求N 点的轨迹方程.4．已知动圆经过点F (2,0)，并且与直线x ＝－2相切（1）求动圆圆心P 的轨迹M 的方程；（2）经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线l 与轨迹M 相交于A ，B 两点，求|AB | 5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(1,2)P 在抛物线C 上.（1）求点F 的坐标和抛物线C 的准线方程；（2）过点F 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两个不同点，若AB 的中点为(3,2)M -，求OAB 的面积.6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与双曲线22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M .（1）求双曲线C 的方程；（2）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.7．焦点在x 轴上的椭圆的方程为2214x y m +=，点(2,1)P 在椭圆上. （1）求m 的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率. 8．求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2（2）经过23(2,),(2,)A B ---两点 9．如图，若12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点.（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；（2）若P 是双曲线左支上的点，且12·32PF PF =，试求12F PF ∆的面积. 10．已知条件p :空间向量(1,0,)a n =,(1,1,1)b =-,满足0a b ⋅>;条件q :方程2212x y n k -=-表示焦点在x 轴上的双曲线. （1）求使条件p 成立的n 的取值范围;（2）若p 成立是q 成立的充分条件,求实数k 的取值范围.11．已知椭圆的两个焦点坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭. （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线1y x =+与椭圆交于A ､B 两点，求AB 中点的坐标和AB 长度. 12．已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2e =(2,3)P （1）求双曲线的方程；（2）求双曲线的焦点到渐近线的距离13．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>⎛ ⎝⎭，1F ，2F 是椭圆的左､右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆上，且122PF PF -=，求12PF PF ⋅的值. 14．已知双曲线22:12x C y -=. （1）求与双曲线C有共同的渐近线，且过点(（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，且A 、B 的中点坐标为（1，1），求直线l 的斜率.15．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，实轴长为2.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线l：y kx =+C 的左支交于A ､B 两点，求k 的取值范围.16．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为6，离心率为23. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，求AB 的最大值.17．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΩ+=>>的焦距为4，短半轴长为2. （1）求椭圆Ω的方程；（2）若直线l 与椭圆Ω相交于A ，B 两点，点()2,1P -是线段AB 的中点，求直线l 的方程.18．已知双曲线C 的中心是原点，右焦点为F ，一条渐近线方程为0x =，直线:0l x y -+=与双曲线交于点A ， B 两点.记F A ， FB 的斜率分别为12,.k k （1）求双曲线C 的方程;（2）求1211k k +的值. 19．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，下顶点为A ，O 为坐标原点，O 到直线2AF 的距离为3，12AF F △为等边三角形. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若倾斜角为60 的直线经过椭圆C 的右焦点2F ，且与椭圆C 交于M ，N 两点（M 点在N 点的上方）求线段2MF 与2NF 的长度之比.20．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M (2，m )为其上一点，且|MF |＝4.（1）求p 与m 的值；（2）如图，过点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，求直线OA 、OB 的斜率之积.参考答案1．（1）22196x y +=；（2）22145x y -= 【分析】（1）由已知可得c =2a c±=± （2）由已知可得b a =，29c =，计算即可得出结果. 【详解】 （1）焦距为c =x =±，则2a c±=±3a =， 由222a b c =+，可得：26b =，所以椭圆1C 的方程为22196x y +=； （2）由双曲线的一条渐近线方程为2y x =可知，b a =， 且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则29c =， 又因为222a c b =-，即2223c b a a c b =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得：2a =，b =3c =， 所以双曲线2C 的方程为22145x y -=. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及双曲线的标准方程，考查计算能力，属于基础题.2．（1）截距在[范围内；（2）940x y +=.【分析】（1）由已知设直线方程y x b =+结合椭圆方程，根据有公共点即所得方程的判别式2264208(9)0b b ∆=--≥即可知直线截距在[上有交点；（2）结合（1）由中点坐标可得49(,)1313b b -，而其中必有原点即可求直线方程； 【详解】 （1）设平行直线的方程为y x b =+，若直线与椭圆有公共点，则：将y x b =+代入22149x y +=，整理得：221384360x bx b ++-=，∴2264208(9)0b b ∆=--≥解得：b ≤≤；（2）令交点坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，由（1）知：12813b x x +=-，而121218213b y y x x b +=++=， 所以线段中点坐标为49(,)1313b b -，其中必有一个中点为坐标原点，故直线的斜率为94k =-， ∴所在的直线方程：940x y +=；【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，计算确定何时它们会有公共点，以及求交点弦的中点所构成直线的方程.3．(1)x 2+y 2-4x="0;" (2)x 2+y 2-16x=0【解析】试题分析：（1）设M 点坐标为（x ，y ），那么A 点坐标是（2x ，2y ），A 点坐标满足圆x 2+y 2-8x=0的方程，所以， （2x ）2+（2y ）2-16x=0，化简得M 点轨迹方程为x 2+y 2-4x=0．（2）设N 点坐标为（x ，y ），那么A 点坐标是（,22x y ）， A 点坐标满足圆x 2+y 2-8x=0的方程，得到：（2x ）2+（y 2）2-4x=0， N 点轨迹方程为：x 2+y 2-16x=0．考点：轨迹方程点评：中档题，本题利用“相关点法”（“代入法”），较方便的使问题得解．4．（1）28y x =（2）16【分析】（1）设(,)P x y ，根据题目条件列方程可求得结果；（2）联立直线与抛物线方程，根据弦长公式可得结果.【详解】（1）设(,)P x y |(2)|x =--，化简得28y x =，所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为28y x =（2）直线l 的方程为(2)y x =--，即2y x =-+， 联立228y x y x=-+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得21240x x -+=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1212x x +=，124x x =，由弦长公式可得||AB =16==.所以|16|AB =【点睛】本题考查了求动点的轨迹方程，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理和弦长公式，属于基础题.5．（1）()1,0，1x =-；（2）【分析】（1）因为()1,2P 在抛物线C 上，可得2p =，由抛物线的性质即可求出结果；（2）由抛物线的定义可知1226AB x x =++=，根据点斜式可求直线AB 的方程为1y x =-+ ，利用点到直线距离公式求出高，进而求出面积.【详解】（1）∵()1,2P 在抛物线C 上，422p P ∴=∴=，， ∴点F 的坐标为()1,0，抛物线C 的准线方程为1x =-；（2）设,A B 的坐标分别为()()1122,,x y x y ，，则1228AB x x =++=，1MF k =-，∴直线AB 的方程为1y x =-+ ，点O 到直线AB 的距离2d =， 12OAB S AB d ∴=⋅=【点睛】本题主要考查了抛物线的基本概念，直线与抛物线的位置关系，属于基础题.6．（1）2212y x -=；（2）实轴长2 【分析】（1）由共渐近线双曲线方程的求法求解即可；（2）由双曲线方程及点到直线的距离求解即可.【详解】解：（1）解：在双曲线22142-=y x 中，2a '=，b '=，则渐近线方程为a y x b''=±=， ∵双曲线2222:1x y C a b -=与双曲线22142-=y x 有相同的渐近线，b a∴=， ∴方程可化为222212x y a a-=，又双曲线C 经过点M ，代入方程，222212a a∴-=，解得1a =，b = ∴双曲线C 的方程为2212y x -=.（2）解；由（1）知双曲线22:12y C x -=中，1a =，b =c =∴实轴长22a =，离心率为==c e a设双曲线C 的一个焦点为(，一条渐近线方程为y =，d ∴==，.【点睛】本题考查了共渐近线双曲线方程的求法，重点考查了点到直线的距离，属基础题.7．（1）2（2）长轴长4、短轴长2【分析】（1）根据题意，代入点P ，即可求解.（2）由（1），写出椭圆方程，求解,,a b c ，根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义，即可求解.【详解】（1）由题意，点P 在椭圆上，代入，得2114m +=，解得2m =（2）由（1）知，椭圆方程为22142x y +=，则2,a b c ===椭圆的长轴长24a =；’短轴长2b =焦距2c =；离心率c e a ==. 【点睛】 本题考查（1）代入点求椭圆方程（2）求解长轴长、短轴长、焦距、离心率；考查概念辨析，属于基础题.8．（1）22143x y +=（2）2218x y += 【分析】（1）利用已知椭圆可得焦点的坐标，结合椭圆的定义可求a ，从而可得椭圆标准方程： （2）利用待定系数法，设出方程，代入两点的坐标，解方程可求.【详解】（1）椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±， ∵椭圆过点3(1,)2，∴24a ==，∴2,a b ==， ∴椭圆的标准方程为22143x y +=. （2）设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠．把(2,(A B 两点代入， 得：14213241m n m n⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得81m n ==，， ∴椭圆方程为2218x y +=． 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，待定系数法和定义法是常用的求解方法，侧重考查数学运算的核心素养.9．（1）10或22（2）1216F PF S ∆= 【分析】（1）设点M 到另一个焦点的距离为m ，由双曲线定义即可求得m 的值.（2）由双曲线定义及12·32PF PF =，可证明2221212PF PF F F +=，即12F PF ∆为直角三角形，即可求得12F PF ∆的面积. 【详解】（1）12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点，则3,4,5,a b c ===设点M 到另一个焦点的距离为m ， 由抛物线定义可知1626m a -==， 解得10m =或22m =，即点M 到另一个焦点的距离为10或22. （2）P 是双曲线左支上的点，1226PF PF a -==，则2211222·36PF PF PF PF -+=，代入12·32PF PF =， 可得221232321006PF PF +=+⨯=，即2212122100PF PF F F +==，所以12F PF ∆为直角三角形，所以12121·1232162F PF S PF PF ∆⨯===. 【点睛】本题考查了双曲线定义及性质的的简单应用，交点三角形面积求法，属于基础题.10．（1）1n >；（2）1k ≤ 【分析】（1）因为空间向量(1,0,)a n =,(1,1,1)b =-,可得(1,0,)(1,1,1)1a b n n ⋅=⋅-=-,即可求得答案;（2）方程2212x y n k -=-表示焦点在x 轴上的双曲线, 0n k ->,解得n k >,即可求得答案. 【详解】 （1）空间向量(1,0,)a n =,(1,1,1)b =-可得(1,0,)(1,1,1)1a b n n ⋅=⋅-=-,∴要使p 成立,只需1n >（2）方程2212x y n k -=-表示焦点在x 轴上的双曲线,∴0n k ->,解得n k >,若p 成立是q 成立的充分条件,∴k 的取值范围为1k ≤.【点睛】本题主要考查了根据命题成立求参数范围和根据充分条件求参数范围,解题关键是掌握充分条件定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.11．（1）221106x y +=；（2）中点坐标为53,88⎛⎫- ⎪⎝⎭，4AB =. 【分析】（1）由题意设出椭圆方程并求得c ，由椭圆定义求得a ，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得AB 的中点坐标，再由弦长公式求弦长． 【详解】解：（1）由于椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为()222210x ya b a b+=>>，由椭圆定义知2c =，2a ==，所以a =，所以222104b a c =-=-， 所求椭圆标准方程为221106x y +=.（2）设直线与椭圆的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2211061x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2810250x x +-=，得1254x x +=-，12258x x =-. 设AB 的中点坐标为()00,x y ，则120528x x x +==-，038y =， 所以中点坐标为53,88⎛⎫- ⎪⎝⎭.由弦长公式4AB ===. 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．12．（1）221x y -=；（2）1.【分析】（1）由条件得22431caa b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，从而可得方程；（2）分别写出焦点坐标和渐近线方程，再由点到直线距离公式可得解. 【详解】（1）双曲线22221x y a b-=的离心率为e =(2,P ，可得22431caa b⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，解得：2211a b ⎧=⎨=⎩，所以221x y -=；（2）双曲线的焦点为(，渐近线为0x y ±=，1=，13．（1）2214x y +=；（2）1-. 【分析】（1）根据离心率公式，可得c a =222c a b =-，即可求得a ，b 的值，即可求得答案；（2）根据椭圆定义，结合条件，可得12,PF PF 的值，根据余弦定理，可求得12cos F PF ∠的值，带入数量积公式，即可求得答案. 【详解】 （1）依题意有2c a =，221314a b +=，222c a b =-， 解得2a =，1b =，则椭圆的方程为2214x y +=.（2）因为点P 在椭圆上，由椭圆定义得：1224PF PF a +==所以121242PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得13PF = ，21PF =，在12PF F △中，由余弦定理222121212121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠==-，221112co 1s 3113PF PF PF PF F PF ⎛⎫⋅=⋅⋅⋅-=- ⎪⎝∠=⎭.14．（1）2212x y -=；（2）12. 【分析】（1）设所求双曲线方程为22(0)2x y k k -=≠，代入点坐标，求得k ，即可得答案；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，利用点差法，代入A 、B 的中点坐标为（1，1），即可求得斜率. 【详解】（1）因为所求双曲线与双曲线C有共同的渐近线，所以设所求双曲线方程为22(0)2x y k k -=≠，代入(1k =-，所以所求双曲线方程为2212x y -=；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为A 、B 在双曲线上，所以221122221(1)21(2)2x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，（1）-（2）得12121212()()()()2x x x x y y y y -+=-+，因为A 、B 的中点坐标为（1，1），即12122,2x x y y +=+=， 所以1212121212()2l y y x x k x x y y -+===-+.15．（1）2213x y -=；（2）13k <<.【分析】（1）由条件可得a =2c =，然后可得答案；（2）联立直线与双曲线的方程消元，然后可得()22221303610,0,1390,13A B A B k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=->⎪⎪⎪+=<⎨-⎪-⎪=>⎪-⎪⎩，解出即可. 【详解】（1）设双曲线方程为22221x y a b-=(0a >，0b >).由已知得：a =2c =，再由222+=a b c ，∴21b =，∴双曲线方程为2213x y -=.（2）设()A A A x y ，，()B B B x y ，，将y kx =+2213x y -=，得()221390k x ---=，由题意知()22221303610,0,1390,13A B A B k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=->⎪⎪⎪+=<⎨-⎪-⎪=>⎪-⎪⎩解得13k <<.1k <<时，l 与双曲线左支有两个交点. 16．（1）22195x y +=；（2）maxAB =. 【分析】（1）由题意得2623a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，求出,a c ，从而可求出b 的值，进而可得椭圆C 的方程；（2）设()()1122,,A x y B x y ，直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系得1297m x x +=- 21294514m x x -=，再利用弦长公式可得AB==【详解】解：（1）由题意可得2623aca=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3,2a c==，所以2225b a c，所以椭圆C的方程为22195x y+=；（2）设()()1122,,A x yB x y222214189450195y x mx mx mx y=+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩，由22(18)414(945)0m m∆=-⨯⨯->，得2140m-<1297mx x+=-，21294514mx x-=AB∴==≤所以当0m=时，max7AB=．17．（1）22184x y+=；（2）30x y-+=.【分析】（1）直接求出,b c，即可求解；（2）利用点差法，设()11,A x y，()22,B x y，由题意得22112222184184x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，然后，得到斜率()121212122y y x xkx x y y-+==--+，再代入中点，即可出k，进而求出直线l的方程【详解】（1）由题意可知24c =，2b = 所以24b =，24c =，2228a b c =+=所以椭圆Ω的方程为22184x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意得22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减，得22221212084x x y y --+=，即()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=，所以直线l 的斜率()121212122y y x x k x x y y -+==--+.因为点(2,1)P -是线段AB 的中点， 所以124x x +=-，122y y +=，所以1k =所以直线l 的方程为1(2)y x -=+，即30x y -+=. 【点睛】关键点睛：利用点差法和中点求出斜率k 是解题关键，属于基础题18．（1）2212x y -=；（2）10-. 【分析】（1）设双曲线方程，由焦点及渐近线方程运算即可得解；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组，结合韦达定理可得12y y +=-121y y =-，再由斜率公式即可得解. 【详解】（1）设双曲线的方程为()22221,0,0x y a b a b-=>>，由题意，223a b +=，该双曲线的渐近线方程by x a=±，又双曲线的一条渐近线方程为0x +=，所以2b a =， 所以222,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2212x y -=；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由22120x y x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，消去x化简可得210y +-=，0∆>，所以12y y +=-121y y =-，所以12121212121211112x x y y k k y y y y y y ⎛⎫--+=+=+=-+ ⎪⎝⎭121222101y y y y +-=-=-=--. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是联立方程组，结合韦达定理对1211k k +变形.19．（1）22143x y +=；（2）35. 【分析】（1）由椭圆的定义结合平面几何的知识可直接求得a 、b ，即可得解； （2）联立直线方程与椭圆方程，求得点8,55M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,N ，再由22MN MF y NF y =即可得解. 【详解】（1）因为12AF F △为等边三角形，1OA =即b =，又O 到直线2AF的距离d =2b d ==2a =， 则椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）倾斜角为60°的直线经过椭圆C 的右焦点()21,0F ，则直线的方程为)1y x =-，联立)221143y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩85x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为M 点在N点的上方，所以8,55M ⎛ ⎝⎭，(0,N ， 所以2235M N MF y NF y ==. 20．（1）p ＝4，m ＝±4；（2）-4. 【分析】（1）利用抛物线的定义及题干条件，可求得p 的值，将M 点坐标代入，即可求得m 值； （2）当直线l 的斜率不存在时，方程为：x ＝2，代入抛物线方程，求得A 、B 点坐标，即可求得OA OB k k ⋅的值，当直线l 的斜率存在时，设直线为y ＝k (x -2)，与抛物线联立，利用韦达定理，求得12y y ，12x x 的值，即可求得OA OB k k ⋅的值，综合即可得答案. 【详解】（1）抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为(,0)2pF ，准线为2p x =-， 由抛物线定义知：点M (2，m )到F 的距离等于M 到准线的距离， ∴||242pMF =+=，∴p ＝4， 故抛物线C 的方程为y 2＝8x ， ∵点M (2，m )在抛物线C 上，∴m 2＝16，∴m ＝±4，∴p ＝4，m ＝±4；（2）由（1）知：抛物线C 的方程为y 2＝8x ，焦点为F (2，0)，答案第17页，总17页 若直线l 的斜率不存在，则其方程为：x ＝2，代入y 2＝8x ，可得：A (2，4)，B (2，-4)， 从而404042020OA OB k k ---=⨯=---⋅； 若直线l 的斜率存在，设为k (k ≠0)，则其方程可表示为：y ＝k (x -2)，由2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，得：21(2)8y k y =-，即ky 2-8y -16k ＝0(k ≠0)， Δ＝64+64k 2＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则121616k y y k-==-， ∴22221212121111(()(16)4886464)()x x y y y y ===⨯-=⋅， 从而OA k ⋅1212121200164004OB y y y y k x x x x ---=⨯===---， 综上所述：直线OA 、OB 的斜率之积为-4.【点睛】处理抛物线问题，需熟练应用抛物线定义，在联立直线与抛物线方程时，消x 得到关于y 的一元二次方程为常用办法，可简化计算，提高正确率，属基础题.。
圆锥曲线练习题
圆锥曲线练习题一、选择题1．P 是椭圆1121622=+y x 上一点，P 到两焦点1F 、2F 距离之差为2，则△21F PF 是（ ）（A ）锐角三角形 （Ｂ）直角三角形 （C ）钝角三角形 (D) 等腰直角三角形2．椭圆14222=+a y x 与双曲线1222=-y a x 有相同的焦点，则a 的值是（ ）（A ）12 （B ）1或–2 （C ）1或12（D ）13．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，过椭圆的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，若︒=∠90AOB ，则椭圆的离心率为 （ ）（A ）215- （B ）21（C ）213- （D ）234.一动圆与两圆：122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）（A ）抛物线 （B ）圆 （C ）椭圆 （D ）双曲线的一支5．如果双曲线136y 64x 22=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的左准线距离是( )（A ）965 （B ）865 （C ）856 （D ）8366. 双曲线19422=+-y x 的渐近线方程是 ( ) (A) 23y x =± (B) 49y x =± (C) 32y x =± (D) 94y x =±7．已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为 （ ）（A ）23（B ）23 （C ）26（D ）332 8.抛物线)0(2≠=a ax y 的准线方程是 （ ）（A ）4a x -= （B ） 4ax = （C ） 4a x = （D ） 4a x -=9.设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线斜率为 （ ）(A)2± (B)34±(C)21± （D ）43± 10.一个正三角形的两个顶点在抛物线)0(22>=p px y 上，另一个顶点原点，则该三角形的边长是（ ）（A ）p 32 （B ）p 34 （C ）p 36 (D) p 3811.若抛物线)0(2≠-=a ax y 的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 （ ）（A ）-4 （B ）2 （C ）-8 (D)812.曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-m my m x 的 ( ) （A ）焦距相等 （B ）离心率相等 （C ）焦点相同 （D ）准线相同二、填空题 13．已知椭圆)00(122>>=+n m n y m x ，的一个焦点为F(0,2),对应准线为y=4,则=n m14. 已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，抛物线上一点),3(m M -到焦点的距离等于5，则m = 15．在抛物线x y 162=内，通过点(2,1)且被此点平分的弦所在直线的方程是 16..以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）三、解答题17、已知双曲线的渐近线方程为x y 21±=，焦距为10，求双曲线的方程. 18、在椭圆191622=+y x 内，有一内接ABC ∆，它的一边BC 与长轴重合，点A 在椭圆上运动，求ABC ∆的重心P 的轨迹.19、（文做）已知点P 到两点)3,0(、)3,0(-的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ， (1) 写出C 的方程(2) 若一直线与C 相交于A 、B 两点，且AB 中点坐标为)21,21(M ，求直线AB 的方程.19、（理做）已知点P 到两点)3,0(、)3,0(-的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，且直线1+=kx y 与C 交于A 、B 两点.(1) 写出C 的方程(2) 若⊥，求k 的值，并求此时AB 的值.20、已知双曲线)0,0(12222>>=-b a bya x 的斜率大于0的渐近线l 交双曲线的右准线于P ，又)0,(c F 为双曲线的右焦点. (1) 证明：直线PF 与直线l 垂直（2）若3=PF 且l 的方程为x y 43=，求双曲线方程21.设抛物线42)0(22-=>=x y p px y 被直线 截得的弦AB 的长为53.(1)求抛物线方程（2）设直线AB 上有一点Q ，使得A 、Q 、B 到抛物线的准线的距离成等差数列，求Q 的坐标. 22、已知F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点，点)2,4(A 为抛物线内一定点，点P 为抛物线上一动点，且PF PA +的最小值为8.(1) 求抛物线的方程（2）若O 为坐标原点，问是否存在点M ，使过点M 的动直线与抛物线交于C B 、两点，且0=∙OC OB ，若存在，求动点M 的坐标，若不存在，说明理由.设椭圆C : ()222210x y a b a b +=>>过点（0，4），离心率为35．（1）求C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．21．已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>的离心率e =．连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ．已知点A 的坐标为(),0a -．(ⅰ)若AB =,求直线l 的倾斜角;(ⅱ)点()00,Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ⋅=uu r uu u r．求0y 的值．22.已知椭圆222:1x C y m +=（常数1m >），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 上的右顶点，定点A的坐标为(2,0)（1）若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标；（2）若3m =，求PA的最大值与最小值； （3）若PA的最小值为MA，求实数m 的取值范围.20. ))(,(000a x y x P ±≠是双曲线E ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为51.（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A 、B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足→→→+=---------OB OA OC λ，求λ的值.19．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为，右焦点为（），斜率为I 的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （-3,2）. （I ）求椭圆G 的方程；（II ）求PAB ∆的面积.。
(完整版)圆锥曲线基础知识专项练习
..圆锥曲线练习一、选择题(本大题共13小题，共65.0分)1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（）A.k＞1B.k＜-1C.-1＜k＜1D.-1＜k＜0或0＜k＜12.方程表示椭圆的必要不充分条件是（）A.m∈（-1，2）B.m∈（-4，2）C.m∈（-4，-1）∪（-1，2）D.m∈（-1，+∞）3.已知椭圆：+=1，若椭圆的焦距为2，则k为（）A.1或3B.1C.3D.64.已知椭圆的焦点为（-1，0）和（1，0），点P（2，0）在椭圆上，则椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.5.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么( )A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件6.“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件7.方程+=10，化简的结果是（）A.+=1B.+=1C.+=1D.+=18.设椭圆的左焦点为F，P为椭圆上一点，其横坐标为，则|PF|=（）A. B. C. D.9.若点P到点F（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是（）A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=32x10.抛物线y=ax2（a＜0）的准线方程是（）A.y =-B.y =-C.y =D.y =11.设抛物线y2=4x上一点P到直线x=-3的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A.3B.4C.6D.812.已知点P是抛物线x =y2上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（）A.2B.C.-1D.+113.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k=（）A.2B.-1C.2或-1D.1±二、填空题(本大题共2小题，共10.0分)14.在平面直角坐标系x O y中，已知△ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B 在椭圆上，则= ______ ．15.已知椭圆，焦点在y轴上，若焦距等于4，则实数k=____________．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)16.已知三点P （，-）、A（-2，0）、B（2，0）．求以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程．17.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4．椭圆与直线y=x+2相交于A、B两点．（1）求椭圆的方程；（2）求弦长|AB|高中数学试卷第2页，共10页..18.设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，已知点A（1，）（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点A（1，），过点A的直线L交双曲线于M，N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程．19.已知抛物线的标准方程是y2=6x，（1）求它的焦点坐标和准线方程，（2）直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A、B，求AB 的长度．20.已知椭圆的离心率，直线y=bx+2与圆x2+y2=2相切．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21.已知椭圆C：4x2+y2=1及直线L：y=x+m．（1）当直线L和椭圆C有公共点时，求实数m的取值范围；（2）当直线L被椭圆C截得的弦最长时，求直线L所在的直线方程．答案和解析【答案】1.D2.B3.A4.B5.B6.C7.C8.D9.C10.B11.A12.C13.A14.15.816.解：（1）2a =PA+PB=2，所以a =，又c=2，所以b2=a2-c2=6则以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程为：+=1．17.解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，∴，解得a=4，b=2，∴椭圆方程为=1．（2）联立，得5x2+16x=0，解得，，∴A（0，2），B（-，-），∴|AB|==．18.解：（1）设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，∴，c=2∵c2=a2+b2∴a=1，b =∴双曲线的标准方程为；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），代入双曲线方程可得，两式相减，结合点A（1，）为线段MN 的中点，可得∴=∴直线L 方程为，即4x-6y-1=0．高中数学试卷第4页，共10页..19.解：（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，∴=∴焦点为F（，0），准线方程：x=-，（2）∵直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，∴直线L的方程为y=x-，代入抛物线y2=6x化简得x2-9x+=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=9，所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12．故所求的弦长为12．20.解：（1）因为直线l：y=bx+2与圆x2+y2=2相切，∴，∴b=1，∵椭圆的离心率，∴，∴a2=3，∴所求椭圆的方程是．（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0∴△=36k2-36＞0，∴k＞1或k＜-1，设C（x1，y1），D（x2，y2），则有，，若以CD为直径的圆过点E，则EC⊥ED，∵，，∴（x1-1）（x2-1）+y1y2=0∴（1+k2）x1x2+（2k-1）（x1+x2）+5=0∴，解得，所以存在实数使得以CD为直径的圆过定点E．21.解：（1）由方程组，消去y，整理得5x2+2mx+m2-1=0．（2分）∴△=4m2-20（m2-1）=20-16m2（4分）因为直线和椭圆有公共点的条件是△≥0，即20-16m2≥0，解之得-．（5分）（2）设直线L和椭圆C相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得，（8分）∴弦长|AB|===，-，∴当m=0时，|AB|取得最大值，此时直线L方程为y=x．（10分）【解析】1. 解：∵曲线表示椭圆，∴，解得-1＜k＜1，且k≠0．故选：D．曲线表示椭圆，可得，解出即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 解：方程表示椭圆的充要分条件是，即m∈（-4，-1）∪（-1，2）．由题意可得，所求的m的范围包含集合（-4，-1）∪（-1，2），故选：B．由条件根据椭圆的标准方程，求得方程表示椭圆的充要条件所对应的m的范围，则由题意可得所求的m的范围包含所求得的m范围，结合所给的选项，得出结论．本题主要考查椭圆的标准方程，充分条件、必要条件，要条件的定义，属于基础题．3. 解：①椭圆+=1，中a2=2，b2=k，则c =，∴2c =2=2，解得k=1．高中数学试卷第6页，共10页..②椭圆+=1，中a2=k，b2=2，则c=，∴2c=2=2，解得k=3．综上所述，k的值是1或3．故选：A．利用椭圆的简单性质直接求解．本题考查椭圆的简单性质，考查对椭圆的标准方程中各字母的几何意义，属于简单题．4. 解：设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，a=2，b=，即有椭圆方程为+=1．故选：B．设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，a=2，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查椭圆的焦点的运用，属于基础题．5. 解：命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆∵当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，而点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值，∴甲是乙成立的必要不充分条件故选B．6. 解：a＞0，b＞0，方程ax2+by2=1不一定表示椭圆，如a=b=1；反之，若方程ax2+by2=1表示椭圆，则a＞0，b＞0．∴“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要分充分条件．故选：C．直接利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法结合椭圆标准方程得答案．本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了椭圆的标准方程，是基础题．7. 解：由+=10，可得点（x，y）到M（0，-3）、N（0，3）的距离之和正好等于10，再结合椭圆的定义可得点（x，y）的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，且2a=10、c=3，∴a=5，b=4，故要求的椭圆的方程为+=1，故选：C．有条件利用椭圆的定义、标准方程，以及简单性质，求得椭圆的标准方程．本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．8. 解：椭圆的左焦点为F（-，0），右焦点为（，0），∵P 为椭圆上一点，其横坐标为，∴P 到右焦点的距离为∵椭圆的长轴长为4∴P到左焦点的距离|PF|=4-=故选D．确定椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，即可求得P到左焦点的距离．本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的定义，属于中档题．9. 解：∵点P到点（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离少1，∴将直线x+5=0右移1个单位，得直线x+4=0，即x=-4，可得点P到直线x=-4的距离等于它到点（4，0）的距离．根据抛物线的定义，可得点P的轨迹是以点（4，0）为焦点，以直线x=-4为准线的抛物线．设抛物线方程为y2=2px，可得=4，得2p=16，∴抛物线的标准方程为y2=16x，即为P点的轨迹方程．故选：C根据题意，点P到直线x=-4的距离等于它到点（4，0）的距离．由抛物线的定义与标准方程，不难得到P点的轨迹方程．本题给出动点P到定直线的距离比到定点的距离大1，求点P的轨迹方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程和动点轨迹求法等知识，属于基础题．10. 解：抛物线y=ax2（a＜0）可化为，准线方程为．故选B．抛物线y=ax2（a＜0）化为标准方程，即可求出抛物线的准线方程．本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，抛物线方程化为标准方程是关键．11. 解：抛物线y2=4x的准线为x=-1，∵点P到直线x=-3的距离为5，∴点p到准线x=-1的距离是5-2=3，根据抛物线的定义可知，点P到该抛物线焦点的距离是3，故选A．先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到直线x=-3的距离求得点到准线的距离，进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，从而求得答案．本题主要考查了抛物线的定义．充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距高中数学试卷第8页，共10页..离相等这一特性．12. 解：抛物线x=y2，可得：y2=4x，抛物线的焦点坐标（1，0）．依题点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到（0，2）与P到该抛物线准线的距离的和减去1．由抛物线的定义，可得则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，可得：-1=．故选：C．先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义转化求解即可．本小题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．13. 解：联立直线y=kx-2与抛物线y2=8x，消去y，可得k2x2-（4k+8）x+4=0，（k≠0），判别式（4k+8）2-16k2＞0，解得k＞-1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，由AB中点的横坐标为2，即有=4，解得k=2或-1（舍去），故选：A．联立直线y=kx-2与抛物线y2=8x，消去y，可得x的方程，由判别式大于0，运用韦达定理和中点坐标公式，计算即可求得k=2．本题考查抛物线的方程的运用，联立直线和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理和中点坐标公式，注意判别式大于0，属于中档题．14. 解：利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8由正弦定理得=故答案为先利用椭圆的定义求得a+c，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案．本题主要考查了椭圆的定义和正弦定理的应用．考查了学生对椭圆的定义的灵活运用．15. 解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然k-2＞10-k，即k＞6，，解得k=8故答案为：8．16.利用椭圆定义，求出2a，得出a，可求得椭圆的标准方程．本题考查了椭圆方程的求法，是基础题，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用．17.（1）由椭圆的离心率为，短轴长为4，列出方程组，能求出椭圆方程．（2）联立，得5x2+16x=0，由此能求出弦长|AB|．本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．18.（1）设出双曲线的标准方程，利用双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，求出几何量，即可求双曲线的标准方程；（2）利用点差法，求出直线的斜率，即可求直线L方程．本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19.（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程，（2）先根据题意给出直线l的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可．本题考查了直线与抛物线的位置关系中的弦长问题，因为是过焦点的弦长问题，所以利用了焦半径公式．属于基础题．20.（1）利用直线l：y=bx+2与圆x2+y2=2相切，求出b，利用椭圆的离心率求出a，得到椭圆方程．（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则利用韦达定理结合EC⊥ED，求解k ，说明存在实数使得以CD为直径的圆过定点E．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查存在性问题的处理方法，设而不求的应用，考查计算能力．21.（1）由方程组，得5x2+2mx+m2-1=0，由此利用根的判别式能求出实数m的取值范围．（2）设直线L和椭圆C相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理求出弦长|AB|=，由此能求出当m=0时，|AB|取得最大值，此时直线L方程为y=x．本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．高中数学试卷第10页，共10页。
圆锥曲线大题练习1
1.已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆=62,其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得62ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.2.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D. （I ）设12e =，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由3.设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2=上运动，点Q 满足QA BQ λ=，经过Q 点与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=,求点P 的轨迹方程。
4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA •AB = MB •BA ，M 点的轨迹为曲线C 。
（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。
5.在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．6.已知抛物线1C :2x y =，圆2C :22(4)1x y +-=的圆心为点M （Ⅰ）求点M 到抛物线1c 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1c 上一点（异于原点），过点P 作圆2c 的两条切线，交抛物线1c 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程7.如图7，椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的离心率为23，x 轴被曲线b x y C -=22:截得的线段长等于1C 的长半轴长.()I 求1C ，2C 的方程；()II 设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与1C 相交于点D ，E . (ⅰ)证明： ME MD ⊥;(ⅱ)记MAB ∆,MDE ∆的面积分别为21,S S ，问：是否存在直线l ，使得321721=S S ？请说明理由.1.已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆=2其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G，使得2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.【解析】（I ）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以2121,.x x y y ==-因为11(,)P x y 在椭圆上，因此2211132x y += ①又因为OPQ S ∆=所以11||||x y ⋅=②；由①、②得11||| 1.x y == 此时222212123,2,x x y y +=+=（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+由题意知m 0≠，将其代入22132x y +=，得222(23)63(2)0k x kmx m +++-=， 其中22223612(23)(2)0,k m k m ∆=-+->即2232k m +>…………（*）又212122263(2),,2323km m x x x x k k-+=-=++所以||PQ == 因为点O 到直线l的距离为d =所以1||2OPQ S PQ d ∆=⋅223k =+=，又,2OPQ S ∆=整理得22322,k m +=且符合（*）式，此时222221212122263(2)()2()23,2323km m x x x x x x k k-+=+-=--⨯=++ 222222121212222(3)(3)4() 2.333y y x x x x +=-+-=-+=综上所述，222212123;2,x x y y +=+=结论成立。
圆锥曲线专题40大题练习（含答案）
圆锥曲线44道特训221.已知双曲线C：「-仁=1的离心率为心，点（V3,o）是双曲线的一个顶点.a-b'（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点旦作倾斜角为30°直线/，直线/与双曲线交于不同的A,3两点,求A3的长.22[2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆、+与=1（。
〉力〉0）的离心率为一，过椭圆右a2b22焦点F作两条互相垂直的弦A3与CQ.当直线A3斜率为0时，AB+CD=7.（1）求椭圆的方程；（2）求AB+CD的取值范围.3.已知椭圆C：「+「=1（。
〉力〉0）的一个焦点为尸（1,0）,离心率为土.设P是椭圆Zr2C长轴上的一个动点，过点P且斜率为1的直线/交椭圆于A,B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）求|PA|2+|PB|2的最大值.224.已知椭圆C：「+七=1（0〉力〉0）的右焦点为『（L°）,短轴的一个端点B到F的距离a'd等于焦距.（1）求椭圆。
的方程；（2）过点万的直线/与椭圆C交于不同的两点M,N,是否存在直线/,使得△3加与△B月V的面积比值为2?若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由..2,25.已知椭圆C：=■+%■=1（a>b>0）过点p（—1,—1）-c为椭圆的半焦距，且c=姻b.过a"b~点P作两条互相垂直的直线L,L与椭圆C分别交于另两点M,N.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线L的斜率为一1,求APMN的面积；第1页共62页(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.6.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0)，离心率e=—.2(1)求椭圆£*的方程；(2)若直线l:y=kx+m(人主0)与椭圆E交于不同的两点A、B,且线段的垂直平分线过定点P(|,0),求实数女的取值范围.Ji7.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0),离心率e.2(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l-.y=x+m(m^O)与椭圆E交于A、3两点，线段A3的垂直平分线交x 轴于点T,当hi变化时，求面积的最大值.8.已知椭圆错误!未找到引用源。
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1.已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆=62,其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得62ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.2.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D. （I ）设12e =，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由3.设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2=上运动，点Q 满足QA BQ λ=，经过Q 点与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=,求点P 的轨迹方程。
4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA •AB = MB •BA ，M 点的轨迹为曲线C 。
（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。
5.在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．6.已知抛物线1C :2x y =，圆2C :22(4)1x y +-=的圆心为点M （Ⅰ）求点M 到抛物线1c 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1c 上一点（异于原点），过点P 作圆2c 的两条切线，交抛物线1c 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程7.如图7，椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的离心率为23，x 轴被曲线b x y C -=22:截得的线段长等于1C 的长半轴长.()I 求1C ，2C 的方程；()II 设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与1C 相交于点D ，E . (ⅰ)证明： ME MD ⊥;(ⅱ)记MAB ∆,MDE ∆的面积分别为21,S S ，问：是否存在直线l ，使得321721=S S ？请说明理由.1.已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆=2其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G，使得2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.【解析】（I ）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以2121,.x x y y ==-因为11(,)P x y 在椭圆上，因此2211132x y += ①又因为OPQ S ∆=所以11||||x y ⋅=②；由①、②得11||| 1.x y == 此时222212123,2,x x y y +=+=（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+由题意知m 0≠，将其代入22132x y +=，得222(23)63(2)0k x kmx m +++-=， 其中22223612(23)(2)0,k m k m ∆=-+->即2232k m +>…………（*）又212122263(2),,2323km m x x x x k k-+=-=++所以||PQ == 因为点O 到直线l的距离为d =所以1||2OPQ S PQ d ∆=⋅223k =+=，又,2OPQ S ∆=整理得22322,k m +=且符合（*）式，此时222221212122263(2)()2()23,2323km m x x x x x x k k-+=+-=--⨯=++ 222222121212222(3)(3)4() 2.333y y x x x x +=-+-=-+=综上所述，222212123;2,x x y y +=+=结论成立。
（II ）解法一：（1）当直线l 的斜率存在时，由（I）知11|||||2||2,2OM x PQ y ====因此||||22OM PQ ⋅== （2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知123,22x x km+= 22212122222212122222222222222332(),2222916211||()()(3),2244224(32)2(21)1||(1)2(2),(23)y y x x k k m k m m m m mx x y y k m OM m m m m k m m PQ k k m m ++-+1=+=-+==++-=+=+==-+-+=+==++所以2222111||||(3)2(2)2OM PQ m m⋅=⨯-⨯⨯+2211(3)(2)m m=-+222113225()24m m -++≤=所以5||||2OM PQ ⋅≤，当且仅当221132,m m m-=+=即时，等号成立. 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为5.2解法二：因为222222121221214||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+-222212122[()()]10.x x y y =+++=所以224||||102|||| 5.25OM PQ OM PQ +⋅≤== 即5||||,2OM PQ ⋅≤当且仅当2||||5OM PQ ==时等号成立。
因此 |OM|·|PQ|的最大值为5.2（III ）椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得6.ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===证明：假设存在11226(,),(,),(,)2ODE ODG OEG D u v E x y G x y S S S ∆∆∆===满足， 由（I ）得22222222222212121212222222121212123,3,3;2,2,2,3; 1.25,,,,,1,u x u x x x v y v y y y u x x v y y u x x v y y +=+=+=+=+=+=======±±解得因此只能从中选取只能从中选取因此D ，E ，G 只能在6(,1)±±这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点，与62ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===矛盾， 所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G.2.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D. （I ）设12e =，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由 解：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a+=+=>>设直线:(||)l x tt a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得2222(,),(,).a b A t a t B t a t b a-- ………………4分当13,,, 22A Be b a y y==时分别用表示A ，B的纵坐标，可知222||3||:||.2||4BAy bBC ADy a===………………6分（II）t=0时的l不符合题意.0t≠时，BO//AN当且仅当BO的斜率k BO与AN的斜率k AN相等，即2222,b aa t a ta bt t a--=-解得222221.ab et aa b e-=-=---因为2212||,01,1, 1.2et a e ee-<<<<<<又所以解得所以当20e<≤时，不存在直线l，使得BO//AN；当21e<<时，存在直线l使得BO//AN.3.设λ>0，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线y x2=上运动，点Q满足QABQλ=，经过Q点与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足MPQMλ=,求点P的轨迹方程。
【命题意图】：本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。
【解析】：由QM MPλ=知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设(,)P x y，(,)Q x y，(,)M x x2，则()x y y xλ22-=-，即()()y x y x x yλλλ222=--=1+-①再设(,)B x y11,由BQ QAλ=，即(,)(,)x x y y x yλ1010--=1-1-，解得()()x xy yλλλλ110=1+-⎧⎨=1+-⎩②将①代入②式，消去y得()()()x xy x yλλλλλλ1221=1+-⎧⎨=1+-1+-⎩③又点B在抛物线y x2=上，所以y x211=，再将③式代入得()()[()]x y xλλλλλλ2221+-1+-=1+-，即()()()()x y x xλλλλλλλλ222221+-1+-=1+-21++，即()()()x yλλλλλλ21+-1+-+1=0，因为λ>0，等式两边同时约去()λλ1+得x y2--1=0这就是所求的点P的轨迹方程。
【解题指导】：向量与解析几何相结合时，关键是找到表示向量的各点坐标，然后利用相关点代入法或根与系数关系解决问题，此外解析几何中的代数式计算量都是很大的，计算时应细致加耐心。