圆锥曲线大题练习1(供参考)

1.已知动直线l 与椭圆C: 22

132

x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆=

6

2

,其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和22

12y y +均为定值;

（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；

（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得6

2

ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.

2.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D. （I ）设1

2

e =

，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由

3.设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2

=上运动，点Q 满足QA BQ λ=，经过Q 点与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=,求点P 的轨迹方程。

4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA •AB = MB •BA ，M 点的轨迹为曲线C 。 （Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。

5.在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22

221

x y a b

+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；

（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．

6.已知抛物线1C :2

x y =，圆2C :2

2

(4)1x y +-=的圆心为点M （Ⅰ）求点M 到抛物线1c 的准线的距离；

（Ⅱ）已知点P 是抛物线1c 上一点（异于原点），过点P 作圆2c 的两条切线，交抛物线1c 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线

l 的方程

7.如图7，椭圆)0(1:22

221>>=+b a b y a x C 的离心率为23，x 轴被曲线

b x y C -=22:截得的线段长等于1C 的长半轴长.

()I 求1C ，2C 的方程；

()II 设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线

l 与2C 相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与1

C 相交于点

D ，

E . (ⅰ)证明： ME MD ⊥;

(ⅱ)记MAB ∆,MDE ∆的面积分别为21,S S ，问：是否存在直线l ，使得32

17

21=S S ？请说明理由.

1.已知动直线l 与椭圆C: 22

132

x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆

=

2

其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和22

12y y +均为定值;

（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；

（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G

，使得2

ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.

【解析】（I ）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，

所以2121,.x x y y ==-因为11(,)P x y 在椭圆上，因此22

11132

x y += ①

又因为OPQ S ∆=

所以11||||x y ⋅=

②；由①、②得11||| 1.x y == 此时2222

12123,2,x x y y +=+=

（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+

由题意知m 0≠，将其代入22

132

x y +=，得222(23)63(2)0k x kmx m +++-=， 其中2

2

2

2

3612(23)(2)0,k m k m ∆=-+->即22

32k m +>

…………（*）

又2121222

63(2)

,,2323km m x x x x k k

-+=-=++

所以||PQ == 因为点O 到直线l

的距离为d =

所以1

||2

OPQ S PQ d ∆=

⋅

223k =+

=

，

又

,2

OPQ S ∆=

整理得2

2

322,k m +=且符合（*）式，

此时22

22

21

2

121222

63(2)

()2()23,2323km m x x x x x x k k

-+=+-=--⨯=++ 222222

121212222(3)(3)4() 2.333

y y x x x x +=-+-=-+=

综上所述，2222

12123;2,x x y y +=+=结论成立。

（II ）解法一：

（1）当直线l 的斜率存在时，由（I

）知11|||||2||2,2

OM x PQ y ==

==

因此||||22

OM PQ ⋅=

= （2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知

123,22x x k

m

+= 2221212222

2212122222

22

2222222

332(),2222916211||()()(3),2244224(32)2(21)1||(1)2(2),

(23)y y x x k k m k m m m m m

x x y y k m OM m m m m k m m PQ k k m m ++-+1

=+=-+==++-=+=+==-+-+=+==++

所以

2222111||||(3)2(2)2OM PQ m m

⋅=

⨯-⨯⨯+2211

(3)(2)m m

=-

+22211

3225(

)24

m m -++≤=

所以5||||2OM PQ ⋅≤

，当且仅当2211

32,m m m

-=+=即时，等号成立. 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为5

.2

解法二：

因为222222

121221214||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+-

2222

12122[()()]

10.

x x y y =+++=