不定积分_定积分复习题与答案
不定积分+定积分及其应用习题附带答案
1．设是在上的一个原函数,且为奇函数,则是 ( )()F x ()f x (),-∞+∞()F x ()f x A ．偶函数 B ． 奇函数C ． 非奇非偶函数 D ．不能确定2．已知的一个原函数为,的一个原函数为,则的一个原函数()f x cos x ()g x 2x ()f g x ⎡⎤⎣⎦为 ( )A ．B ． 2x 2cos x C ． D ．2cos x cos x3．设为连续导函数,则下列命题正确的是 ( )()f x A ． ()()1222f x dx f x c '=+⎰B ．()()22f x dx f x c'=+⎰C ． ()()()222f x dx f x ''=⎰D ．()()2f x dx f x c'=+⎰4．设且()22cos sin f x x '= ,则=( )()00f =()f x A ． B ． 212x x -212x -C ． D ．1x -313x x-5．设是的一个原函数,则2xe-()f x ( )()02()limx f x x f x x∆→-∆-=∆A ． B ．22xe -28xe-C ． D ．22xe--24xe-6．设,则=( )()xf x e -=()ln f x dx x'⎰A ．B ． 1x-c +ln x c -+C ．D ． 1c x+ln x c +7．若是的一个原函数,则ln x x ()f x =()f x '8．设的一个原函数为()()tan 2f x k x =,则 2ln cos 23x k =9．若,则()2f x dx x c =+⎰=()231x f x dx -⎰10．()()2cos 2sin 2d θθθ=⎰11．若,则()()f x dx F x c =+⎰()xx ef e dx --=⎰12．若,则()ln cos f x x '=⎡⎤⎣⎦()f x =13．计算()23x xe dx +⎰14．计算()()sin ln cos ln x x dx x⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰15．计算ln(tan )sin cos x dxx x ⎰16．计算21arctan1x dx x +⎰17．计算11sin dx x+⎰18．计算19．计算20．计算21．计算22．计算23. 计算()221tan xex dx+⎰24．已知的一个原函数为,求()f x sin x x()3x f x dx '⎰1、解:可导奇函数的导函数必为偶函数.必为偶函数.选A()()f x F x '∴=2、解:(1),()()cos sin f x x x '==- ()()()22sin 2g x x x f g x x'==∴=-⎡⎤⎣⎦(2)()2cos 2cos (sin )xx x '=- 选B sin 2x =-∴3、解:()()12222f x dx f x d x''=⎰⎰()122f x c =+选A4、解：(1)()22cos 1cos f x x '=- ()1f x x'∴=- (2)()22x f x x c=-+且得()00f =0c =,选A ()22x f x x =-5、解：(1)原式=()()()022limx f x x f x x∆→-∆--⎡⎤⎣⎦-2∆()2f x '=-(2)()2xF x e-= ()()222x xf x e e --'∴==-(3) 原式= 选D222(2)4xx ee ----=6、解：(1)()()ln ln ln f x dx f x d xx''=⎰⎰()ln f x c=+(2)(),xf x e -= ()1lnln 1ln x xf x e ex-∴===(3)原式=选C 1c x+7、解：(1)()ln F x x x= ()()1ln f x F x x'∴==+(2) ()()11ln f x x x''=+=8、解：()2ln cos 23F x x =()()2sin 223cos 2xf x x -∴=-故 ()()4tan 21ln 3x F x x '=-=+43k =-9、解： 原式=()()331113f x d x ---⎰()3113x c =--+10、解：原式=2222cos sin 4sin cos d θθθθθ-⎰221144sin cos d d θθθθ=-⎰⎰11cot tan 44t cθθ=--+或1csc 2c θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭11、解：原式=()()xxx f edeF e c----=-+⎰12、解：()ln cos f x dx xdx'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰()1ln sin f x x c =+()1sin sin c x xf x e c e -==⋅13、解:原式=()22323x xx x e e dx ⎡⎤++⋅⎢⎥⎣⎦⎰()2923xxxe dx dx e dx=++⎰⎰⎰219232ln 91ln 3x x xx e e c ⋅⋅=++++14、解:原式=()()sin ln cos ln ln x x d x⋅⎰()()sin ln sin ln x d x =⎰=()21sin ln 2x c +⎡⎤⎣⎦15、解:原式=()2ln tan tan cosx dxx x⎰()ln tan tan tan x d xx=⎰()()ln tan ln tan x d x =⎰ ()21ln tan 2x c =+⎡⎤⎣⎦16、解:原式=221arctan11x dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰21arctan111x d x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰11arctan arctand x x=-⎰211arctan 2cx ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭17、解:原式=21sin 1sin xdx x --⎰21sin cos cos x dx dx x x=-⎰⎰2cos tan cos d xx x =+⎰1tan cos x cx=-+18、解:2,1,2t x t dx tdt==-=原式=()2221211tdt dt tt t=++⎰⎰=2arctan t c+c+回代19、解:令2tan ,sec x t dx tdt==原式=32tan sec sec ttdtt⎰=2tan sec td t⎰()2sec 1sec t d t=-⎰31sec sec 3t t c =-+()()3122221113x x c +-++回代20、解:令2sin ,2cos x t dx tdt ==原式=2cos 2sin cos t dtt t ⎰1csc 2tdt =⎰()1ln csc cot 2t t c -+公式12c 回代21、解:(倒代换)令211,x dx dt t t-==原式==-11arcsin 333t c =-=-+13arcsin 3c x-+回代13arccos 3c x=+(注:(三角代换)令3sec ,x t =,3sec tan dx t tdt =原式=3sec tan 19sec tan 3t t dt t c t t =+⎰)13arccos 3c x+回代22、解:2,1,xt e t ==+ ()222ln 1,1tx tdx dtt=+=+原式=222211211t t t dt dtt t ⋅+-=++⎰⎰=()2arctan t t c-+2c-+回代23、解： 原式=()221tan2tan xex x dx++⎰2tan 2tan x d x e xdx=+⎰⎰2x e 222tan tan 22tan x x x e x x e dx e xdx =-⋅⋅+⎰⎰22tan 2tan x x e x x e dx =-⋅⎰22tan x xe dx +⎰2tan x e x c=+24、解： ()sin x F x x= ()()2cos sin x x xf x F x x -'∴==原式()3x df x =⎰()()323x f x f x x dx=-⋅⎰2222cos sin cos sin 3x x x x x x x x dx x x --=⋅-⎰2cos sin 3sin 3sin x x x x xd x xdx=--+⎰⎰2cos sin 3sin 3sin 3sin x x x x x x xdx xdx =--++⎰⎰2cos 4sin 6cos x x x x x c=--+1．设初等函数在区间有定义，则在上一定 （ ）()f x [],a b ()f x [],a b A ．可导 B ．可微C ．可积D ．不连续2．若连续，下列各式正确的是 （ ）f A ．()()ba d f x dx f x dx =⎰B ．()()df x dx f x dx dx =⎰C ． ()()bx d f t dt f x dx =⎰D ．()()xad f t dt f x dx =⎰3. 下列关系式中正确的是 （ ）A ．B ．21100x x e dx e dx =⎰⎰211x x e dx e dx≥⎰⎰C ．D ．以上都不对211x x e dx e dx ≤⎰⎰4．下列各式中，正确的是 （ ）A ．B ．2101x e dx ≤≤⎰211x e dx e≤≤⎰C ． D ．以上都不对2120x e e dx e ≤≤⎰5．下列函数在区间上可用牛顿——莱布尼兹公式的是 （ ）[]1,1-AB ．C1x 6．设在上，[],a b ()()()0,'0,''0f x f x f x ><>记，，，则有 （ ）()110S f x dx =⎰()()2S f b b a =⋅-()()32b aS f b f a -=+⎡⎤⎣⎦A ． B ．123S S S <<213S S S <<C ． D ．312S S S<<231S S S <<7．xx →=8．设连续，且，则 ()f x ()()xe xF x f t dt -=⎰()'F x =9．设连续，则 ()'f x 1'2x f dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰10．设则()()120121f x f x dx x=-+⎰ ()1f x dx =⎰11．设连续，且则 ()f x ()21301,(1)x f t dt x x -=+>⎰()8f =12．设，则y 的极小值为()01xy t dt =-⎰13．方程，确定，求cos 0yx t e dt tdt +=⎰⎰()y y x =0x dydx=14．设在连续，且满足，求 ()f x []0,1()()13243f x x x f x dx =-⎰()f x 15．讨论方程在区间内实根的个数4013101xx dt t --=+⎰()0,116．设在连续，且在单调减少，讨论在区间()f x [],a b (),a b ()()1xa F x f t dt x a=-⎰的单调性(),a b 17．求()22220limx t xx t e dt te dt→⎰⎰18．设其中为连续函数，求()()2xa x F x f t dt x a=-⎰f ()lim x a F x →19．设，且可导，，求()()01122xf t dt f x =-⎰()f x ()0f x ≠()f x20．若为连续的奇函数，判别的奇偶性()f x ()0xf t dt ⎰21．1321sin x x x dx-⎡⎤⎣⎦⎰22．已知，求221x t e dt -⎰()1xf x dx⎰23．1⎰24．设连续，证明()f x 并由此计算()()20sin 2sin f x dx f x dx ππ=⎰⎰0π⎰1、解：初等函数在定义区间内必连续，连续必可积。
不定积分习题及答案
不定积分习题及答案第四章 不定积分(A 层次)1．⎰x x dxcos sin ； 2．⎰--dx xx 2112； 3．()()⎰-+21x x dx ； 4．⎰xdx x 7sin 5sin ； 5．()⎰+dx x x x arctg 1； 6．⎰-+21xx dx ；7．⎰arctgxdx x 2； 8．()⎰dx x ln cos ； 9．⎰--+dx xx x x 3458； 10．()⎰+dx x x 2831； 11．⎰xdx x 2cos ； 12．⎰dx e x 3；13．⎰x x x dx ln ln ln ； 14．()⎰+21xe dx； 15．()⎰+dx exe xx21；16．dx x ⎰3sin ； 17．⎰-dx xx1arcsin ； 18．()⎰+dx x x 321ln ； 19．⎰+-dx x x xx sin 2cos 5sin 3cos 7； 20．()⎰++dx x x x 21ln ； 21．⎰xdx x 35cos sin ； 22．⎰dx x x tgx sin cos ln ； 23．dx x x⎰-2arccos 2110； 24．⎰arctgxdx x 2；25．⎰-+dx x xx 1122； 26．dx x a x ⎰+222； 27．()dx tgx e x221⎰+； 28．()()()⎰+++321x x x xdx ； 29．()⎰+x x dx sin cos 2； 30．dx xx x x e x ⎰-23sin cos sin cos 。
(B 层次)1．设()x f 的一个原函数为xxsin ，求()⎰'dx x f x 2。
2．()⎰++dx xe x x x 11； 3．()⎰++dx x x x2ln ln 1； 4．()⎰-dx x x 1ln ； 5．⎰dx x x 32ln ； 6．⎰dx x x 2sin sin ln ； 7．⎰-dx e xe x x2；8．()⎰+dx x x2321ln ； 9．⎰-xdx x arcsin 12； 10．⎰-dx xx x 231arccos ；11．⎰+-323x x dx ； 12．⎰+-+dx x xarctg x 11112； 13．⎰dx x xtg x 32cos ； 14．⎰+dx x x 1ln ； 15．⎰+dx x x 1arcsin； 16．()⎰+dx x x arctgx 221； 17．()⎰--dx x x 2111；18．⎰+2xb x a dx 222sin cos ；19．⎰xdx xtgx 4sec ； 20．⎰++dx xx xcos sin 1sin ；(C 层次)1．设()x F 为()x f 的一个原函数，()10=F ，()0>x F ，且当0≥x 时，有()()()212x xe x F x f x +=，求()x f 。
不定积分专题试题
不定积分专题试题（含答案）一、填空题1、若⎰==__)(sin cos )()('dx x xf u f u F ，则 C x F +)(sin2、设)(x f 的一个原函数为x x tan ，则⎰=___)('dx x xf C x xx +-tan 2sec 2 3、若)1()(ln '2>=x x x f ，则___)(=x f C e x +2214、_____1)2(=--⎰xx dxC x +--1arctan 25、设x x f ln )(=，则____)('=⎰--dx ee f x x C x +6、___sin cos 2222=+⎰xb x a dx C x a bab +)tan arctan(1 7、已知边际收益为x 230-，则收益函数为___ 230x x -8、=-+=⎰⎰dx x xf C x dx x f )1()(22，则若______ C x +--22)121（9、____)2ln 1(12=+⎰dx x x C x +2ln arctan10、若____1)1()()(2=⋅+=⎰⎰dx xxf C u F du u f ，则 C xF +-)1(二、选择题1、函数x x e 3的一个原函数为（ B ）A 、)3ln 1()3(+xe B 、3ln 1)3(+xeC 、3ln 3xe D 、3ln 3xe2、求dx x ⎰-42时，为使被积函数有理化，可作变换（C ）Ａ、t x sin 2= B 、t x tan 2= C 、t x sec = D 、42-=t x3、若x ln 是函数)(x f 的原函数，那么)(x f 的另一个原函数是BA 、ax lnB 、ax a ln 1C 、x a +lnD 、2)ln 21x （4、函数__)(_)()()(2D x F x x x f =+=的一个原函数A 、334xB 、334x xC 、)(3222x x x + D 、)(322x x x +5、__)(_)(cos )1cos 1(2D x d x =-⎰A 、C x x +-tanB 、C x anx +-cos tC 、C x x+--cos 1 D 、C x x +--cos cos 1三、计算题 1、⎰+)1(x x dxC x +arctan 2 2、dx x x ⎰-234 C x x +-+--3)4(443223、dx xx⎰-31 C x x x x x x +-++----666656711ln 3625676 4、dx e x x 23-⎰ C e e x x x +----22212125、dx x x ⎰+241 C x x x ++-arctan 336、dx xx ⎰22cos sin 1C x x +-cot tan 7、dx ex ⎰-12 C x ex +---)112(128、dx x )arcsin (2⎰ C x x x x ar x +--+2arcsin 12)sin c (229、xdx ⎰3tan C x x++cos ln 2tan 210、⎰-dx x x 123 C x x +-+-13)1(232 11、dx x x 23)(ln ⎰ C x x x x x ++-32ln 8)(ln 4442412、⎰dx x )sin(ln C x x x +-)]cos(ln )[sin(ln 213、dx x f x f ⎰)()(' )(2x f +C 14、dx ex ⎰+211C e e x x +++-+1111ln 2122 15、dx x x ⎰sin C x x x x x +-+-sin )2(6cos )6(2 四、证明题：设)(x f 的原函数)(x F 非负，且1)0(=F ，当x x F x f x 2sin )()(02=≥时，有，试证14sin 412sin )(2+-=x x xx f不定积分练习题1基础题 一．填空题 1.不定积分：⎰=_____x x dx22.不定积分：dx x ⎰-2)2(=______3.不定积分： dx x x x)11(2⎰-=_______ 4.不定积分：dx x ⎰-2)2(=__________5.不定积分：dx xe x)32(⎰+=_______ 6.一曲线通过点)3,e (2，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，则该曲线的方程为____________________7.已知一个函数)x (F 的导函数为2x 11-，且当1x =时函数值为π23，则此函数为_______________ 8.=+⎰x d )x 1x ( ________ 9. 设1()f x x=，则()f x dx '=⎰ 10.如果xe -是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰11. 设21()ln(31)6f x dx x c =-+⎰,则()f x = . 12. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 .13. 已知()21f x x '=+,且1x =时2y =,则()f x = .14. (103sin )xx x dx +-=⎰ .15.222()a x dx +=⎰. 16.3321(1)x x dx x-+-=⎰ . 二．选择题 1、，则设x d x1I 4⎰=I =（ ） c x 3 1)D ( c x 3 1)C ( cx 3 1)B ( c x 4)A (3335++-+-+--- 2、的一个原函数为则，设 )x (fx 1 1)x (f 2-=( )()arcsin ()arctan A x B x x 1 x 1 ln 2 1)C (+- x1x 1 ln 2 1)D (-+ 3、函数x 2 cos π的一个原函数为 （ ） (A) x 2 sin 2 ππ (B) x 2 sin 2 ππ- （C ）x 2 sin 2ππ (D) x2 sin 2ππ- 4、设f(x) 的一个原函数为F(x)， 则⎰=dx )x 2(f （ ）(A) F(2x)+ C (B) F( 2 x )+ C (C)C )x 2(F2 1+ (D) 2F( 2 x )+ C 5.设3()lnsin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（ ）。
不定积分,定积分复习题及答案
姓名: 上海第二工业大学不定积分、定积分测验试卷学号: 班级: 成绩: 、选择题：(每小格3分，共30分) 竺仝为f(x)的一个原函数，且 a = 0，贝U x sinax sin ax 3 C ； (B ) 2 C ； ( C ) a x a x e x在(」：， ：：)上不定积分是F(x) C , 1、设(A ) 2、若 (A ) F(xH x_0 ；-e^+oxcO (B ) F(x)二(C ) < xe, xAO . F(x) x [-e +2,x v0 (D ) 3、设 (A ) (B ) (C ) (D ) 匸^dx 应等于( ) a 竺坐C ； ax sin ax (D) — x 则 F(x)二( ■ xe c,_xI e c 2,x ： 0 F (V 0 j —e , x < 01, x 0 f(x)二 0, x =0,F(x) f(t)dt ，则( -1,x ：：0 F(x)在x = 0点不连续; F(x)在内连续，在x = 0点不可导; F(x)在(_：：「：)内可导，且满足 F (x) = f (x)； F(x)在(-：：, =)内可导，但不一定满足 F (x)二f(x)。
4、极限啊 x tsin tdt 」 =( x 2 t 2dt(A)- 1； (D ) 2 b 5、设在区间[a,b]上 f (x) 0, f (x) :: 0, f (x) 0。
令 s 二 f (x)dx , s 2 二 ' a(B ) 0； (C ) 1 ； f(b)(b-a)& =2【f (a ) f (b)](b-a)，则((A ) 3 ：：： s 2::: S 3 ； (B ) s :::3 ：：： S 3；(C )sj::: S 1：：： S 2 ；(D) S 2：：：、填空题：(每小格3分，共30分)1、计算Md X2、计算 xta n 2 xdxX3、设 x _1，求,1 -t)dt1 + x ， x 04、设 f (x )、「x 01设f(x)的一个原函数是e-x ，则它的一个导函数是 ______________________2 1 2、 设］f (x)dx =1, f (2) =2，贝V ［xf (2x)dx = _______________ 。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。
3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。
第五章 不定积分与定积分习题解答
Φ′( x) = xe − x ，令 Φ′( x) = 0 ，得驻点 x = 0
x < 0 时， Φ′( x) < 0 ； x > 0 时， Φ′( x) > 0
x = 0 取极小值， Φ (0) = 0 .
2. 求下列极限：
∫ (1) lim
x →0
x 0
cos t 2 dt x
；
∫ (2) lim
2 0
0
π
∫
π
0
sin n x dx = 2 ∫ 2 sin n x dx
0
π
4．计算下列定积分：
(1) ∫
解
4
1
1 dx ； 1+ x x = t ，则 x = t 2
2 2t 2 1 3 dx = ∫ dt = 2 ⎡ t − ln (1 + t ) ⎤ = 2 − 2 ln ⎣ ⎦ 1 1 1 1+ t 2 1+ x 3 dx 4
1 dx ； x 1 1 1 1 1 解 ∫ 2 sin dx = − ∫ sin d = cos + C x x x x x dx (8) ∫ x − x ； e +e (7)
∫x
1
2
sin
解
e x dx dx x = ∫ e x + e− x ∫ e2 x + 1 = arctan e + C dx (9) ∫ ； (2 − x) 1 − x
1
2
当 1 < x < 2 时， 0 < ln x < ln 2 < 1 ，
ln x > ( ln x )
2
∫
2
1
高等数学100题不定积分及答案
sin
5x
+
1 2
sin
x
+
c
∫ 63、 cos 2x cos 3xdx =
1 10
sin
5x
+
1 2
sin
x
+
c
∫ 64、 tan x sec xdx = sec x + c
∫ 65、
tan2 x sec xdx =
1 2
sec
x
tan
x
−
1 2
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+c
∫ 66、
tan x sec2 xdx =
x)2
+
c
∫ 78、
x
−
1
arctan + x2
x
dx
=
1 2
ln(1
+
x
2
)
3
−
2 3
(arctan
x)
2
+c
∫ 79、 arcsin x dx = (arc sin x )2 + c
x(1− x)
∫ 80、
1
dx = − 1 + c
(arcsin x)2 1− x2
arcsin x
∫ 81、 ex dx = ln(1+ ex ) + c
c
∫ 98、 cos x − sin xdx = ln | sin x + cos x | +c sin x + cos x
∫ 99、 sin x + 2 cos x dx = 3sin x + 4 cos x
不定积分-定积分复习题及答案
（A ） F ( x ) = ⎨ ；（B ） F ( x ) = ⎨ ⎩ -e - x + c , x < 0 ⎩ -e - x + c + 2, x < 03、设 f ( x ) = ⎨0, x = 0 , F ( x ) = ⎰ f (t )dt ，则（）⎪ -1, x < 0 ⎰ t sin tdt⎰ t2dt2上海第二工业大学不定积分、定积分测验试卷姓名：学号：班级：成绩：一、选择题：（每小格 3 分，共 30 分）1、设 sin x f (ax ) 为 f ( x ) 的一个原函数，且 a ≠ 0 ，则 ⎰x adx 应等于（ ）（A ） sin ax sin ax sin ax sin ax+ C ； （B ） + C ； （C ） + C ； （D ） + Ca 3 x a 2 x ax x2、若 e x 在 (-∞, +∞) 上不定积分是 F ( x ) + C ，则 F ( x ) = （）⎧e x + c , x ≥ 0 ⎧e x + c , x ≥ 01 2⎧e x , x ≥ 0 ⎧e x , x ≥ 0（C ） F ( x ) = ⎨ ；（D ） F ( x ) = ⎨⎩ -e - x + 2, x < 0 ⎩ -e - x , x < 0⎧1, x > 0 ⎪ x；⎩（A ） F ( x ) 在 x = 0 点不连续；（B ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内连续，在 x = 0 点不可导；（C ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内可导，且满足 F '( x ) = f ( x ) ；（D ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内可导，但不一定满足 F '( x ) = f ( x ) 。
4、极限 lim x →0x 0x＝（ ）（A ）－1；（B ）0； （C ）1；（D ）25、设在区间[a , b ] 上 f ( x ) > 0, f '( x ) < 0, f ''( x ) > 0 。
复习资料（不定积分定积分）
复习资料（不定积分定积分）第四章不定积分⼀、知识⼩结 1.原函数定义1 如果对任⼀I x ∈，都有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。
原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上⼀定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任⼀I x ∈，有)()(x f x F ='。
注1：设)(x F 是)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。
注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则C x G x F =-)()(（C 为常数）(1) 若f(x)的导函数是sinx,则f(x)有⼀个原函数为 ( )。
A..1Sinx +B..1Sinx -C.Cosx +1D..1Cosx - 2.什么是不定积分？)(x f 的全体原函数。
(2) ?=dx e x( )。
A.2c e x +B.2c e x +C.c e x+ D.ce x 1+3.两者的联系与区别？联系：它们的导数相同，都是 f (x ). 区别：不定积分是函数族；原函数是不定积分中的⼀个函数。
4.由原函数与不定积分的概念可得：1)=)()(x f dx x f dxd2) dx x f dx x f d ?=)()(3)5)+=C x dx5.积分公式1) ?+=C kx kdx (k 为常数)；2) ?++=+C x dx x 11µµµ(1-≠µ)3) ?+=C x x dx ||ln ；4) ?++C x x dx arctan 125)+-C x xdx arcsin 12；6）?+=C x xdx sin cos7）?+-=C x xdx cos sin ；8）??+==C x xdx x dx tan sec cos 229）+-==C x xdx x dx cot csc sin 22；10）?+=C x xdx x sec tan sec11）?+-=C x xdx x csc cot csc ；12）?+=C e dx e xx13）?+=C aa dx a xxln ； 14)C x xdx +-=?|cos |ln tan , 15)C x xdx +=?|sin |ln cot , 16)C x x xdx ++=?|tan sec |ln sec , 17)C x x xdx +-=?|cot csc |ln csc , 18)C a x a dx x a +=+?arctan 1122,19)C a x a x a dx a x ++-=-?||ln 21122,20)C a x dx x a +=-?arcsin 122,21)C a x x a x dx +++=+?)ln(222||ln 2222 6.不定积分的性质性质1．+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([性质2．?=dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数，0≠k ）⼆、要点解析1. 直接积分法通过简单变形, 利⽤基本积分公式和运算法则求不定积分的⽅法 . （1）求dx x mn 。
2023-2024经济数学(2)复习题答案详解
增．
填空题
1．
1
1 4x
2
dx
（
） d arctan2x ．
解：d arctan2x 2 dx ，所以， 1 dx 1 d arctan2x ．
1 4x2
1 4x2
2
2．
x
f
ln x f ln x
dx
解：
x
f
ln x f ln x
dx
f
ln x f ln x
d
ln
x
．
f
1
ln
x
df
(ln
x)
2
解：f xy，x y x2 y 2 xy (x y)2 xy ．令 xy s ，x y t ，则 f s，t t 2 s ，
故， f x，y y 2 x ．
填空题
15．若 z 2x2 3xy y2 ，则 2 z
．
xy
解： z 4x 3y ， 2 z 3．
x
xf
xdx
5
0
xdf
x
xf
5 (x)
0
5
0
f
xdx
5
f
(5)
3
7
．
填空题
5．
1
x
1 x2
2dx
1
．
偶倍奇零
1
解： x
1 x2 2dx
1 x2 2x 1 x2 1 x2 dx
1
2x
1 x2
1 dx
1
1
1
1
1dx 2 ． 1
6．
x2
1 dx 2x 2
xd
ln
x
ln
4不定积分习题与答案
第四章 不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2x dx ２）⎰x x dx 2３）dx x ⎰-2)2( ４）dx x x ⎰+221 ５）⎰⋅-⋅dx xxx 32532 ６）dx x x x ⎰22sin cos 2cos ７）dx x e x)32(⎰+８）dx x x x)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dx x ⎰-3)23( ２）⎰-332xdx３）dt tt ⎰sin ４）⎰)ln(ln ln x x x dx５）⎰x x dx sin cos ６）⎰-+x x e e dx７）dx x x )cos(2⎰ ８）dx xx ⎰-4313 ９）dx x x ⎰3cos sin 10）dx x x⎰--249111）⎰-122x dx 12）dx x ⎰3cos 13)⎰xdx x 3cos 2sin 14)⎰xdx x sec tan 315) dx x x ⎰+239 16)dx x x ⎰+22sin 4cos 31 17)dx x x ⎰-2arccos 2110 18)dx x x x ⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dx xx⎰+211 ２）dx x ⎰sin３）dx x x ⎰-42 ４）⎰>-)0(,222a dx xa x５）⎰+32)1(x dx ６）⎰+xdx 21７）⎰-+21xx dx ８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdx xs ⎰ ２）⎰xdx arcsin３）⎰xdx x ln 2４）dx x e x ⎰-2sin 2５）⎰xdx x arctan 2 ６）⎰xdx x cos 2７）⎰xdx 2ln ８）dx x x 2cos 22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx x x ⎰+33２）⎰-++dx x x x 1033223）⎰+)1(2x x dx（Ｂ） １、一曲线通过点)3,(2e ，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
定积分复习
e
（10）ò -
1022)(1xmdx ；（11）ò
p
lnx dx ；（12）ò 20x cos xdx .
1
e
1
11.已知.. f(0) = 1, f (2) = 3, f ￠(2) = 5 ，试计算ò0
xf ￠
￠￠(2x)dx .
35 6
b
1
15
1
(5) -ln |1+ 3 cos x | +C; (6) -(3 -2x) + C; (7) -3 -2x + C; (8) -ln |1 -10 x | +C;
3 cosxx +
(9) -ln |1 -3e | +C; (10) ln | x -5x + 7| +C; (11) -e + C; (12) 2eC;
211
(arcsin x2)
dx ；（2）ò-
332423sinxx dx .
21-xx + 2x +1
7.计算下列定积分:
（1）ò
p
xdx；（2）ò xdx；（3）òp
2 12 sin
1
dx ；（4）ò
p
-322cos1pxdx；
203cossinx1022(x +1)1 xx
12.设.. f(x) 在区间[a, b] 上具有二阶连续导数，且.. f(a) = f (b) = 0 ，证明：..
1
f ￠￠(x)(x -a)(x -b)dx
ò 2 ò=
babaxdxf()
不定积分练习题及答案（最新）
不定积分练习题及答案（最新）
不定积分公式及练习题
不定积分公式：∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c，其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
在微积分中，一个函数f的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f的函数F，即F′=f。
不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。
其中F是f的不定积分。
求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C 就得到函数f(x)的不定积分。
1。
(整理)§4不定积分习题与答案.
3、 (1) ln csct cot t c
（ 2） 2( x cos x sin x ) c
x2 4
2
（ 3） 2(tan
arccos ) c
2
x
a2
x
(4) (arcsin
2
a
x a2
a2
x2)
c
x
(5)
c
1 x2
(6) 2x ln(1 2x) c
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1 (7) (arcsin x ln x
(3) ln x 1 ln( x 2 1) c 2
(4) ln x
1 ln x 1
1 ln( x2
1)
1 arctanx
c
2
4
2
1 x2 1
3
2x 1
(5) 2 ln x2 x 1
arctan 3
3
c
1、 设曲线 y
(B)
f ( x) ，由导数的几何意义： y
11 ， dx
ln x
c ，点 (e2 ,3) 代入即可。
１） (3 2x) 3dx
dx
２）
3 2 3x
３） sin t dt t
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dx
４）
x ln xln(ln x)
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５）
dx
cos x sin x
７） x cos(x2 ) dx
dx
６）
ex e x ８） 3 x3 dx
1 x4
９）
sin x
3
dx
cos x
10）
1 x dx
9 4x2
dx
x2 )
c
3
不定积分习题及答案
（A层次）
rdx
」sinxcosx
Jsin5xsinIxdx;
7.
Jx^arctgxdx；
10.
13.
rdx
」xln xln Inx
16.
|sin>[xdx；
19.
r7cosx-3sinxfdx;
J 5cosx + 2sinx
22.
」cosxsinx
25.『干三如
-1
28
fxdx
• J(x + lX"2Xx + 3)；
“ r arccosx .
10.
JVl-x2
12.
15.
dx
sinx ,dx；1 + si nx + cosx
arcsin
—dx；
1 + x
dx
13.
—~ dx；
COS~Xtg X
a...；19.| x/gxsec4xdx;
£Z2cos2x + A2sin2xJ
(C层次)
1.设F(x)为/(x)的一个原函数，F(0)=l, F(x)>0,且当尤》0时，有
（B层次）
第四章不定积分
2.
5.
8.
17.
arctg長
Jxcos2xdx；
20.
23.
26.
29. J
3.
6.
9.
dx
15.
\ + ex]
arcsinVxf
|Q2arccojiv
dx
(2 + cosx)sin x
18.
f6/A
rdx
X+yj\-X2
不定积分测验题及答案
不定积分测验题一、 选择题：1、 设)(,)(21x F x F 是区间I 内连续函数)(x f 的两个不同的原函数，且0)(≠x f ,则在区间I 内必有（ ）（A ） C x F x F =+)()(21；（B ） C x F x F =⋅)()(21；（C ） )()(21x CF x F =；（D ） C x F x F =-)()(21.2、若,)()('x f x F =则⎰)(x dF =（ ）（A ）)(x f ； （B ） )(x F ；（C ）C x f +)(； （D ） C x F +)(.3、)(x f 在某区间内具备了条件（ ）就可保证它的原函数一定存在（A ） 有极限存在；（B ） 连续；（C ）有界；（D ）有有限个间断点4、下列结论正确的是（ ）（A ） 初等函数必存在原函数；（B ） 每个不定积分都可以表示为初等函数；（C ） 初等函数的原函数必定是初等函数；（D ） C B A ,,都不对 .5、函数2)()(x x x f +=的一个原函数=)(x F ( ) (A)334x ; (B)234x x ; (C))(3222x x x +; (D))(322x x x + .6、已知一个函数的导数为x y 2='，21==y x 时且,这个函数是（ ）（A ）;2C x y +=（B ）;12+=x y （C ）C x y +=22; （D ）.1+=x y7、下列积分能用初等函数表出的是（ ）（A ）⎰-dx e x 2； （B ）⎰+31xdx ； （C ）⎰dx x ln 1； （D ）⎰dx xx ln . 8、⎰+=,)()(C x F dx x f 且,b at x +=则⎰=dt t f )(（ ）（A ）C x F +)(； （B ）C t F +)(;（C ）C b at F a ++)(1;（D ）C b at F ++)(.9、⎰=dx xx 2ln （ ） （A ）C xx x ++1ln 1; （B ）C xx x ++-1ln 1; （C ）C xx x +-1ln 1； （D ）C xx x +--1ln 1.10、⎰=+10)14(x dx （ ） （A ）C x ++9)14(191； （B ）C x ++9)14(1361； （C ）C x ++-9)14(1361； （D ）C x ++-11)14(1361.二、求下列不定积分：1、⎰dx xx 1cos 12; 2、⎰++522x x dx ; 3、⎰++++dx xx x 2215)1ln(; 4、⎰+)1(2x x e e dx ;测验题答案一、1、D ；2、D ；3、B ；4、D ；5、D ；6、B ；7、D ；8、B ；9、D ； 10、C.二、1、C x+-1sin ； 2、C x ++21arctan 21； 3、C x x ++++322]5)1[ln(32； 4、C e e x x +---)arctan(；。
不定积分与定积分复习与典型复习题解答
不定积分与定积分复习与典型复习题解答(一)内容1.原函数与不定积分：原函数的概念；不定积分的定义、性质，积分基本公式；求不定积分的直接积分法、第一换元积分法和分部积分法。
2.定积分：定积分的定义(用牛顿−莱布尼兹公式作定义)、性质和计算。
3.广义积分（简单的无穷限积分） (二)要求1.理解原函数与不定积分的概念、性质，掌握积分基本公式，掌握用直接积分法、第一换元积分法和分部积分法求不定积分的方法。
2.了解定积分的概念、性质，会计算一些简单的定积分。
（三）典型例题1．填空题（1）若)(x f 的一个原函数为2ln x ，则=)(x f 。
解：因为c x dx x f +=⎰2ln )( 所以=)(x f x xx 222= （2）若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则=)(x f ． 解：=)(x f x 2cos 2（3）若c x x x x f +=⎰ln d )(，则=')(x f ． 解：=)(x f 1ln +x ，=')(x f x1（4）=⎰-x x d e d 2． 解：=⎰-x x d e d 2dx e x 2-（5）='⎰x x d )(sin ． 解：='⎰x x d )(sin c x +sin（6）若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x f d )32( ． 解：⎰=-x x f d )32(c x F x d x f +-=--⎰)32(21)32()32(21 （7）若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x xf d )1(2 ． 解：⎰=-x x xf d )1(2c x F x d x f +--=---⎰)1(21)1()1(21222 （8） .______d )2cos (sin 112=-⎰-x x x x 解：322d )2cos (sin 12112112-=-=-=-⎰⎰⎰--dx x dx x x x x x （9）=+⎰e 12d )1ln(d d x x x . 解：=+⎰e12d )1ln(d d x x x（10）x x d e 02⎰∞-= ．解：x x d e 02⎰∞-21)1(lim 21lim 21lim 20202=-===-∞→-∞→-∞→⎰a a ax a ax a e e dx e 2．单项选择题（1）下列等式成立的是（ ）． A ．)(d )(d dx f x x f x=⎰ B ．)(d )(x f x x f ='⎰ C ．)(d )(d x f x x f =⎰ D ．)()(d x f x f =⎰ 解：应选A（2）若c x x x f x +=⎰22e d )(，则=)(x f （ ）. A. )1(e 22x x x + B. x x 22e 2 C. x x 2e 2 D. x x 2e解：因为c x x x f x +=⎰22e d )(，两边同时对x 求导得： =+=x x e x xe x f 22222)()1(e 22x x x + 应选A（3）以下计算正确的是（ ）A ．3ln 3d d 3xxx = B ．)1(d 1d 22x x x +=+ C ．x xxd d = D ．)1d(d ln x x x =解：应选A（4）=''⎰x x f x d )(（ ）A. c x f x f x +-')()(B. c x f x +')(C. c x f x +')(212 D. c x f x +'+)()1(解：=''⎰x x f x d )(⎰⎰+-'='-'='c x f x f x dx x f x f x x f xd )()()()()( 应选A（5）⎰-x a x d d 2=（ ）．A ．x a 2-B ．x a a x d ln 22--C ．x a x d 2-D ．c x a x +-d 2 答：应选C（6）如果等式⎰+-=--C x x f xx11e d e )(，则=)(x f （ ） A.x 1- B. 21x -C. x 1D. 21x解：由⎰+-=--C x x f x x11e d e )(两边对x 求导，得：)]1([)(211xe ex f xx---=--，=)(x f 21x - 应选B（7）若⎰+10d )2(x k x = 2，则k =（ ）．A ．1B ．-1C ．0D ．21解：因为⎰+10d )2(x k x 21)(102=+=+=k kx x 所以1=k 应选A（8）下列定积分中积分值为0的是（ ）．A ．x xx d 2e e 11⎰--- B ．x xx d 2e e 11⎰--+ C ．x x x d )cos (3⎰-+ππ D ．x x x d )sin (2⎰-+ππ解：令2)(xx e e x f --=则)(2)(x f e e x f xx -=-=-- 所以函数2)(xx e e x f --=是奇函数因此x xx d 2e e 11⎰---=0 应选A （9）设)(x f 是连续的奇函数，则定积分=⎰aa x x f -d )(（ ）A ．⎰0-d )(2a x x fB ．⎰0-d )(a x x fC ．⎰ax x f 0d )( D ． 0 答：应选D（10）下列无穷积分收敛的是（ ）．A ．⎰∞+0d in x x sB ．⎰∞+-02d e x xC ．⎰∞+1d 1x x D ．⎰∞+1d 1x x答：应选B 3．计算题（1）⎰+-x xxx x d sin 33解：⎰+-x xxx x d sin 33⎰⎰⎰+-=xdx dx x dx x sin 13c x x x +--=c o s32ln 323（2）x x d )12(10⎰- 解：x x d )12(10⎰-c x x d x +-+⋅=--=+⎰11010)12(110121)12()12(21 c x +-=11)12(221（3）x x x d 1sin2⎰解：x xx d 1sin2⎰c x x d x +=-=⎰1cos )1(1sin(4)x x x d )e 1(e 22ln 0+⎰ 解：x x x d )e 1(e 22ln 0+⎰319389)1(31)1()1(2ln 0322ln 0=-=+=++=⎰x x x e e d e (5)x x xd ln 51e1⎰+ 解：x x x d ln 51e 1⎰+⎰⎰++=+=ee x d x x d x 11)ln 51()ln 51(51ln )ln 51( 21)16(101)ln 51(215112=-=+⋅=ex(6)x x x d e 10⎰ 解：x xe xd 10⎰1)1(1011010=--=-=-==⎰⎰e e ee dx e xexde x xx x(7)⎰π20d sin x x x解：⎰20d sin πx x x )cos cos (cos 202020⎰⎰--=-=πππxdx x x x xd101sin 20=-==πx4.证明题(1)证明等式⎰⎰+-=-aaa x x f x f x x f 0)]()([)(d d 证明：⎰⎰⎰+=--aa aa dx x f dx x f dx x f 00)()()(考虑积分⎰-0)(a dx x f ，令t x -=，则dt dx -=，从而⎰⎰⎰⎰⎰-=-=--=--=-aaaaadx x f dt t f dt t f dt t f dx x f 0)()()(])[()(所以⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 00)()()(⎰⎰⎰+-=+-=aa adx x f x f dx x f dx x f 0)]()([)()((2)设)(x f ''在],[b a 上连续，证明：)]()([)]()([)(a f a f a b f b f b dx x f x ba -'--'=''⎰ 证明：⎰⎰⎰'-'='=''ba ba ba b a dx x f x f x x f xd dx x f x )()()()()]()([)()()()()(a f b f a f a b f b x f a f a b f b ba '-'-'-'=-'-'=)]()([)]()([a f a f a b f b f b -'--'=。
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上海第二工业大学不定积分、定积分 测验试卷姓名： 学号： 班级： 成绩：一、选择题：（每小格3分，共30分）1、设sin xx为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ⎰应等于（ ）（A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x+2、若xe 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ）（A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -⎧+≥=⎨-+<⎩；（B ）,0()2,0x x e c x F x e c x -⎧+≥=⎨-++<⎩；（C ）,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩；（D ）,0(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩3、设01,0()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⎰，则（ ）（A ）()F x 在0x =点不连续；（B ）()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导； （C ）()F x 在(,)-∞+∞内可导，且满足()()F x f x '=； （D ）()F x 在(,)-∞+∞内可导，但不一定满足()()F x f x '=。
4、极限02sin limxx x t tdtt dt→⎰⎰＝（ ）（A ）－1； （B ）0； （C ）1； （D ）25、设在区间[,]a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>。
令1()ba s f x dx =⎰，2()()s fb b a =-31[()()]()2s f a f b b a =+-，则（ ）（A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s <<二、填空题：（每小格3分，共30分）1、设()f x 的一个原函数是2xe -，则它的一个导函数是___________。
2、设2()1,(2)2f x dx f ==⎰，则1(2)_____________xf x dx '=⎰。
3、已知()xxf e xe -'=，且(1)0f =，则()_________________f x =。
4、函数1()(2(0)xF x dt x =>⎰的单调减少区间为________________。
5、由曲线2y x =与y =___________。
三、计算题 （第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）1、计算22(1)(1)x dx x x ++⎰2、计算2tan x xdx ⎰3、设1x ≥，求1(1)xt dt --⎰4、设21,0(),0x x x f x e x -⎧+≤=⎨>⎩，求31(2)f x dx -⎰5、120ln(1)(2)x dxx +-⎰ 6、计算1+∞⎰7、已知曲线C 的方程为()y f x =，点(3,2)是它的一个拐点，直线12,l l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4)。
设函数()f x 具有三队连续导数，计算定积分320()()x x f x dx '''+⎰。
四、解答题（本题10分）设()f x 连续，10()()x f xt dt ϕ=⎰，且0()lim x f x A x→=（A 为常数），求()x ϕ'，并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性。
五、应用题（本题6分）设曲线方程为(0)xy e x -=≥，把曲线,xy e x -=轴、y 轴和直线x ξ=(0)ξ>所围平面图形绕x 轴旋转一周，得一旋转体。
（1）旋转体体积()V ξ；（2）求满足1()lim ()2V a V ξξ→+∞=的a 值。
六、证明题（6分）设()f x 在[,]a b 上连续且单调增加，证明：不等式()()2bbaa ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰。
不定积分、定积分 测验卷 答案一．选择题：（每小格3分，共30分）1、（A ）3sin axC a x+；2、（C ）,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩；3、（B ）()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导；4、（C ）1；5、（B ）213s s s <<。
二、填空题：（每小格3分，共30分）1、一个导函数是2()4xf x e -'=。
2、13(2)4xf x dx '=⎰。
3、21()(ln )2f x x =。
4、单调减少区间为1(0,)4。
5、13。
三、计算题 （第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）1、解：222(1)12()ln 2arctan (1)1x dx dx x x c x x x x+=+=++++⎰⎰ 2、解：222tan (sec 1)tan tan tan 2x x xdx x x dx xd x xdx x x xdx =-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰2tan ln cos 2x x x x c =+-+3、解：被积函数1,10()1,0t t f t t t +-≤<⎧=⎨-≤<+∞⎩，当10x -≤<时，原式211(1)(1)2xt dt x -=+=+⎰； 当0x ≥时，原式02101(1)(1)1(1)2x t dt t dt x -=++-=--⎰⎰。
4、解：23101211171(2)()(1)3x tt f x dx f t dt t dt e dt e-=----====++=-⎰⎰⎰⎰。
5、解：111102000ln(1)111ln(1)()ln(1)(2)22(1)(2)x dx x d x dx x x x x x +=+=+----+-⎰⎰⎰101111ln 2()ln 23213dx x x =-+=-+⎰。
6、解：因为1lim ()x f x +→=∞，所以1x =为瑕点，因此该广义积分为混合型的。
212112dx I I +∞+∞=+=+⎰⎰⎰212211021122arctan (1)2x t tdtI xt t π-========+⎰⎰2122122arctan 2()(1)24tdt I x t t ππ+∞+∞+∞=====-+⎰⎰；所以121I I π+∞=+=⎰。
7、解：按题意，直接可知(0)0,(3)0,(3)0f f f ''===（拐点的必要条件）。
从图中还可求出()y f x =在点(0,0)与(3,2)处的切线分别为2,28y x y x ==-+。
于是(0)2,(3)2f f ''==-。
所以333222300()()()()()()()(21)x x f x dx x x df x x x f x f x x dx '''''''''+=+=+-+⎰⎰⎰3333000(21)()(21)()2()7(3)(0)2()x df x x f x f x dx f f f x '''''=-+=-++=-++⎰⎰7(2)22(20)20=-⋅-++⋅-=。
四、解答题（本题10分）解：因为0()limx f x A x→=，故0lim ()0x f x →=，而已知()f x 连续，0lim ()(0)0x f x f →==；由于10()()x f xt dt ϕ=⎰，令u xt =，当:01t →时，有:0u x →，du xdt =；当0x ≠时，有10()1()()()x x f u du x f xt dt f u du xxϕ===⎰⎰⎰；当0x =时，有10(0)(0)0f dt ϕ==⎰；所以0(),0()0,0x f u du x x x x ϕ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰。
当0x ≠时，有02()()()xxf x f u dux xϕ-'=⎰；当0x =时，02()()(0)()()limlimlimlim22x x x x x f u du x x f x Ax xx x ϕϕϕ→→→→-====-⎰； 所以02()(),0(),02x xf x f u dux x x A x ϕ⎧-⎪≠⎪'=⎨⎪=⎪⎩⎰。
又因为002200()()()()lim ()limlim()22xxx x x xf x f u duf u du f x A A x A xx x ϕ→→→-'==-=-=⎰⎰， 所以0lim ()(0)2x Ax ϕϕ→''==，即()x ϕ'在0x =处连续。
五、应用题（本题6分）解：（1）2220()()(1)2x V y dx e dx e ξξξπξππ--===-⎰⎰；（2）2()(1)2a V a e π-=-，于是211()lim ()lim (1)2224V a V e ξξξππξ-→+∞→+∞==⋅-=；故211(1)lim ()ln 22242ae V a ξππξ-→+∞-==⇒=。
六、证明题（6分）证：设()()()[,]2xxaa a x F x tf t dt f t dt x ab +=-∈⎰⎰因为()f x 在[,]a b 上连续，所以111()()()()()()[()()]22222x x xa a aa x x a F x xf x f t dt f x f x f t dt f x f t dt ++'=--=-=-⎰⎰⎰因为()f x 在[,]a b 单调增加，0,()()()()0t x f t f x f x f t ≤≤≤⇒-≥，所以()0F x '≥；所以()F x 在[,]a b 单调增加；又()0,F a =所以()()0F b F a ≥=， 即()()02bb aa ab xf x dx f x dx +-≥⎰⎰，所以有()()2b ba a ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰。