同济大学高等数学_第一章_函数极限 (2)

第一篇 函数、极限与连续

第一章 函数、极限与连续

高等数学的主要内容就是微积分,微积分就是以变量为研究对象,以极限方法为基本研究手段的数学学科、本章首先复习函数相关内容,继而介绍极限的概念、性质、运算等知识,最后通过函数的极限引入函数的连续性概念,这些内容就是学习高等数学课程极其重要的基础知识.

第1节 集合与函数

1、1 集合

1、1、1 集合

讨论函数离不开集合的概念、一般地,我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合,组成集合的事物或对象称为该集合的元素、

通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合,用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素、

如果a 就是集合A 的元素,则表示为A a ∈,读作“a 属于A ”;如果a 不就是集合A 的元素,则表示为A a ∉,读作“a 不属于A ”.

一个集合,如果它含有有限个元素,则称为有限集;如果它含有无限个元素,则称为无限集;如果它不含任何元素,则称为空集,记作Φ、

集合的表示方法通常有两种:一种就是列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用“｛｝”括起来表示集合、例如,有1,2,3,４,5组成的集合A ,可表示成

A ＝{1,2,3,4,５};

第二种就是描述法,即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ,则集合M 可表示为

{}P x x M 具有性质|=.

例如,集合A 就是不等式022<--x x 的解集,就可以表示为

{}

02|2<--=x x x A .

由实数组成的集合,称为数集,初等数学中常见的数集有:

(1)全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N ,即 {} ,,,3,2,1,0n N =;

(２)所有正整数组成的集合称为正整数集,记作+

N ,即 {} ,,,3,2,1n N =+;

(3)全体整数组成的集合称为整数集,记作Z ,即

{} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=;

(4)全体有理数组成的集合称为有理数集,记作Q ,即

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=+互质与且q p N q Z p q p Q ,,;

(5)全体实数组成的集合称为实数集,记作R .

1、1.2 区间与邻域

在初等数学中,常见的在数集就是区间、设R b a ∈,,且b a <,则

(1)开区间 {}b x a x b a <<=|),(;

(2)半开半闭区间 {}b x a x b a <≤=|),[,{}b x a x b a ≤<=|],(;

(3)闭区间 {}b x a x b a ≤≤=|],[;

(4)无穷区间 {}a x x a ≥=+∞|),[, {}a x x a >=+∞|),(,{}b x x b ≤=-∞|],(, {}b x x b <=-∞|),(,{}R x x ∈=+∞-∞|),(、

以上四类统称为区间,其中(1)－(4)称为有限区间,(5)－(8)称为无限区间、在数轴上可以表示为(图１-1):

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

图 1－1 在微积分的概念中,有时需要考虑由某点0x 附近的所有点组成的集合,为此引入邻域的概念、

定义1 设δ为某个正数,称开区间),(00δδ+-x x 为点0x 的δ邻域,简称为点0x 的邻

域,记作),(0δx U ,即

{}δδδ+<<-=0000|),(x x x x x U {}δ<-=|||0x x x 、

在此,点0x 称为邻域的中心,δ称为邻域的半径,图形表示为(图1-2):

图1－2

另外,点0x 的邻域去掉中心0x 后,称为点0x 的去心邻域,记作),(0δx U o

,即 {}δδ<-<=||0|),(00x x x x U o

,

图形表示为(图1-3):

图1-3 其中),(00x x δ-称为点0x 的左邻域,),(00δ+x x 称为点0x 的右邻域、

1、2函数的概念

1、2.１函数的定义

定义２ 设x 、y 就是两个变量,D 就是给定的数集,如果对于每个D x ∈,通过对应法则f ,有唯一确定的y 与之对应,则称y 为就是x 的函数,记作)(x f y =.其中x 为自变量,y 为因变量,D 为定义域,函数值)(x f 的全体成为函数f 的值域,记作f R ,即

{}D x x f y y R f ∈==),(|.

函数的记号就是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g ”、“F ”、“ϕ”等表示、 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号、

函数的两要素:函数的定义域与对应关系为确定函数的两要素.

例1 求函数211x x y --=

的定义域、 解 x

1的定义区间满足:0≠x ;21x -的定义区间满足:012≥-x ,解得11≤≤-x 、 这两个函数定义区间的公共部分就是

1001≤<<≤-x x 或、

所以,所求函数定义域为]1,0()0,1[ -、

例２ 判断下列各组函数就是否相同、

(1)x x f lg 2)(=,2lg )(x x g =; (2)334)(x x

x f -=,31)(-=x x x g ;

(3)x x f =)(,2)(x x g =.

解

(1)x x f lg 2)(=的定义域为0>x ,2lg )(x x g =的定义域为0≠x 、两个函数定义

域不同,所以)(x f 与)(x g 不相同.

(２))(x f 与)(x g 的定义域为一切实数、334)(x x x f -=)(13x g x x =-=,所以)(x f 与)(x g 就是相同函数.

(３)x x f =)(,x x x g ==2)(,故两者对应关系不一致,所以)(x f 与)(x g 不相同、 函数的表示法有表格法、图形法、解析法(公式法)三种、常用的就是图形法与公式法两种、在此不再多做说明.

函数举例:

例3 函数⎪⎩

⎪⎨⎧>=<-==0,10,00,1sgn x x x x y ,函数为符号函数,定义域为R ,值域{}1,0,1-、 如

图1-4:

图1-４

例4 函数[]x y =,此函数为取整函数,定义域为R , 设x 为任意实数, y 不超过x 的最大整数,值域Z 、 如图1－5:

图1-5