高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第
2.1.1数列的概念与简单表示法(一)
(2)会用观察法由数列的前几项 求数列的通项公式。
1.选择题
补充练习
(1)下面数列是有穷数列的是(
)
A.1,0,1,0, C.2,22,222,
B.1, 1 , 1 , 1 ; 234
D.0,0,0,0,
(2)以下四个数中是数列{n(n 1)}中的一项是(
子放2颗麦粒
?
64个格子
8 7
你认为国王有
6 能力满足上述
5 4
要求吗?
3
8 76
543
2
2 1 1
每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的 2倍 且共有 64 格子
210 21 22 23 263
18446744073709551615
传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：
观察下列图形：
① ② ③ ④ ……
例如 : 1，2，22，23，263
1.数列的一般形式可以写成：
a1，a2，a3，，an ， 简记为an
1.辨析数列的概念:
(1) “1, 2, 3, 4, 5”与“5, 4, 3, 2, 1”是同一个 数列吗？与“1, 3, 2, 4, 5”呢？ (2) 数列中的数可以重复吗？ (3) ｛ 1, 2, 3, 4, 5 ｝是数列吗？若不是，那么 数列与集合有什么区别？ (4) -3，-1，1，x，5，7，y，11是一个项数 为8的数列吗？
（2）
53 50
是这个数列的第几项？
（3）这个数列有多少个整数项？
（4）有否等于序号的
1 3
的项？如果有，求出
这些项；如果没有，试说明理由。
例5. 已知函数 f (x) x 1 ，设 an f (n), n N
2.1数列的概念与简单表示法(二)
§2.1数列的概念与简单表示法(二)学习目标 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列；2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项(重、难点).预习教材P30－31完成下列问题：知识点一数列的函数性质1.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2.在数列{a n}中，若a n＋1>a n，则{a n}是递增数列；若a n＋1<a n，则{a n}为递减数列；＝a n，则{a n}为常数列.若a n＋1【预习评价】1.从定义上看，数列是特殊的函数，因此，表示数列除可以用通项公式外，还可以有哪些方法？提示还可以用列表法，图象法.2.数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么？提示联系：若函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列f(n)也单调.反之不正确，例如f(x)＝(x－52，数列f(n)单调递增，但函数f(x)在(1，＋∞)上不是单调递增.4)区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设D⊇I，对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，若f(x1)>f(x2)，则f(x)在I上单调递减，若f(x1)<f(x2)，则f(x)在I上单调递增，定义中的x1，x2不能用有限个数值来代替.数列单调性的定义：只需比较相邻的a n与a n＋1的大小来确定单调性.知识点二数列的表示方法1.数列的递推公式：如果数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.2.数列的表示方法：数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.【预习评价】1.已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则数列的第5项a 5＝________，由此归纳出{a n }的一个通项公式为________，可以求得a 8＝________.解析 ∵a 1＝3，∴a 2＝2a 1＋1＝7，a 3＝2a 2＋1＝15，a 4＝2a 3＋1＝31，a 5＝2a 4＋1＝63，∴a 5＝63.可以看出a n ＝2n ＋1－1， ∴a 8＝29－1＝511.答案 63 a n ＝2n ＋1－1 5112.数列的通项公式与递推公式有什么区别？ 提示 不同点相同点通项公式 要根据某项的序号，直接用代入法求出该项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项递推公式可根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值逐项求出数列的项，直至求出所需的项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项题型一 数列的函数特性【例1】 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.解 法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n＝（9－n ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n11，当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n . 则a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 9＝a 10＞a 11＞a 12＞…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.法二 根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a na n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≤（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n （n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.规律方法 1.由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n }这一条件.2.可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项.【训练】 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2＋9(n ∈N *)，写出其前5项，并判断数列{a n }的单调性.解 当n ＝1，2，3，4，5时，a n 依次为110，213，16，425，534，a n ＋1－a n ＝n ＋1（n ＋1）2＋9－nn 2＋9＝－n 2－n ＋9[（n ＋1）2＋9][n 2＋9]. ∵函数f (x )＝－x 2－x ＋9＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋374在[1，＋∞)上单调递减，又f (1)＝7>0，f (2)＝3>0，f (3)<0，∴当n ＝1，2时，a n ＋1>a n ，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＋1<a n ， 即a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>….∴数列{a n }的前3项是递增的，从第3项往后是递减的.方向1 由递推公式写出数列的项【例2－1】 已知数列{a n }的第一项a 1＝1，以后的各项由递推公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项. 解 ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23， a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13. 方向2 由数列的递推公式求通项公式【例2－2】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式. 解 ∵a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，∴a 2＝a 1＋12×1＝1＋12＝32，a 3＝a 2＋13×2＝32＋16＝53，a 4＝a 3＋14×3＝53＋112＝74，a 5＝a 4＋15×4＝74＋120＝95.故数列的前5项分别为1，32，53，74，95.由于1＝2×1－11，32＝2×2－12，53＝2×3－13，74＝2×4－14，95＝2×5－15，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2n －1n ＝2－1n . 方向3 构造数列法求通项公式【例2－3】 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.解析 法一 (累乘法)：把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ＞0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， ∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ，∴a n a 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n . 法二 (迭代法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n ＋1＝nn ＋1a n ，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n .法三 (构造特殊数列法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ， ∴数列{na n }是常数列， ∴na n ＝1·a 1＝1， ∴a n ＝1n . 答案 1n规律方法 1.由递推公式写出通项公式的步骤 (1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式. (3)写出一个通项公式并证明.2.递推公式的常见类型及通项公式的求法(1)求形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的通项公式.将原来的递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1). (2)求形如a n ＋1＝f (n )a n 的通项公式.将原递推公式转化为a n ＋1a n ＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a na n －1＝ f (n －1)，累乘可得a na 1＝f (1)f (2)…f (n －1).课堂达标1.下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项； ②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 只有③正确.①中，如已知a n ＋2＝a n ＋1＋a n ， a 1＝1，无法写出除首项外的其他项.②中a n ＝n ＋1n ＋2，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列. 答案 A2.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A.a n ＝a n －1＋2(n ≥2)B.a n ＝2a n －1(n ≥2)C.a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)解析 A ，B 中没有说明某一项，无法递推，D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意. 答案 C3.数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2 017等于( )A.－1B.－12 C.12 D.1解析 ∵x 1＝1，∴x 2＝－12，∴x 3＝1， ∴数列{x n }的周期为2，∴x 2 017＝x 1＝1. 答案 D4.已知数列{a n }，对于任意的p ，q ∈N *，都有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.解析 由已知得a 1＋a 1＝a 1＋1＝a 2，∴a 2＝29， 同理a 4＝49，a 8＝89，∴a 9＝a 8＋1＝a 8＋a 1＝89＋19＝1， ∴a 36＝2a 18＝4a 9＝4. 答案 45.求数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项. 解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2942＋10818.由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108， ∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为a 7＝108.课堂小结1.{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式.而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系.2.数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法； ④递推公式法.3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n 直接得出a n .基础过关1.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项a n 等于( ) A.n 2＋1 B.n ＋1 C.1－nD.3－n解析 a n ＋1－a n ＝－1，利用累加法可以求得a n ＝3－n .选D. 答案 D2.已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，此数列的第3项是( ) A.1 B.12 C.34D.58解析 a 1＝1，a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋12×2＝34.答案 C3.数列{a n }中，a n ＝n － 2 011n － 2 012，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( ) A.a 1，a 50 B.a 1，a 44 C.a 45，a 44D.a 45，a 50解析 a n ＝n － 2 011n － 2 012＝1＋2 012－ 2 011n － 2 012.∴当n ∈[1，44]且n ∈N *时，{a n }单调递减， 当n ∈[45，＋∞)且n ∈N *时，{a n }单调递减， 结合函数f (x )＝2 012－ 2 011x － 2 012的图象，可知(a n )max ＝a 45，(a n )min ＝a 44. 答案 C4.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n ＋1－3，则14是{a n }的第________项.解析 a 1＝2，a 2＝a 1＋3＝5，a 3＝a 2＋3＝8，a 4＝a 3＋3＝11，a 5＝a 4＋3＝14. 答案 55.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *，2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项为________.解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1， ∴a n ≠0，∴a na n －1＝2>1，∴a n >a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝4a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024. 答案 1 0246.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.解 由a 1＝1，a 2＝23且1a n －2＋1a n ＝2a n －1，知当n ＝3时，1a 1＋1a 3＝2a 2，∴1a 3＝2a 2－1a 1＝3－1＝2，∴a 3＝12.当n ＝4时，1a 2＋1a 4＝2a 3，∴1a 4＝2a 3－1a 2＝4－32＝52，∴a 4＝25.7.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式.(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1(n ∈N *)； (3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）(n ∈N *). 解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9.猜想a n ＝(n －1)2(n ∈N *).(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42＝2，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12(n ∈N *).(3)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14.猜想a n ＝－1n (n ∈N *).能力提升8.已知数列{x n }满足x 1＝a ，x 2＝b ，x n ＋1＝x n －x n －1(n ≥2)，设S n ＝x 1＋x 2＋…＋x n ，则下列结论正确的是( )A.x 100＝－a ，S 100＝2b －aB.x 100＝－b ，S 100＝2b －aC.x 100＝－b ，S 100＝b －aD.x 100＝－a ，S 100＝b －a解析 x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝x 2－x 1＝b －a ，x 4＝x 3－x 2＝－a ，x 5＝x 4－x 3＝－b ，x 6＝x 5－x 4＝a －b ，x 7＝x 6－x 5＝a ＝x 1，x 8＝x 7－x 6＝b ＝x 2，∴{x n }是周期数列，周期为6，∴x 100＝x 4＝－a ，∵x 1＋x 2＋…＋x 6＝0，∴S 100＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2b －a .答案 A9.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则其前6项之和是( ) A.16B.20C.33D.120解析 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴前6项之和为33.答案 C10.已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 010＝________，a 2 015＝________.解析 依题意，得a 2 010＝a 2×1 005＝a 1 005＝a 4×252－3＝1，a 2 015＝a 4×504－1＝0.答案 1 011.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n (n ∈N *)，试归纳出这个数列的通项公式a n ＝________.解析 由a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n得a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，…，所以可归纳出a n ＝1n . 答案 1n12.已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式.解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1. ∴故n ≥2时，1a n ＝1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝2＋＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a n ＝1n ＋1.a 1＝12也适合上式，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *). 13.(选做题)设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝f (x ＋1)－f (x )，对数列f (n )(n ∈N *)，若f (1)＝lg 32，f (2)＝lg 15，求f (2 016).解 f (3)＝f (2)－f (1)＝lg 15－lg 32＝lg 10＝1，f (4)＝f (3)－f (2)＝1－lg 15＝lg 23，f (5)＝f (4)－f (3)＝lg 23－1＝lg 115，f (6)＝f (5)－f (4)＝lg 115－lg 23＝lg 110＝－1，f (7)＝f (6)－f (5)＝－1－lg 115＝－1＋lg 15＝lg 32＝f (1)，f (8)＝f (7)－f (6)＝lg 32＋1＝lg 15＝f (2).∴f (n )是周期为6的周期数列.∴f (2 016)＝f (336×6)＝f (6)＝－1.。
高中数学课件：第二章 2.1 数列的概念与简单表示法 第一课时 数列的概念与通项公式
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[研一题] [例 1] 项公式： 4 1 4 2 (1)5，2，11，7，…； 1 9 25 (2)2，2，2，8， 2 ，…； (3)7,77,777，…； 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通
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(4)0,3,8,15,24，…； 1 3 7 15 31 (5)2，4，8，16，32，…； 2 10 17 26 37 (6)3，－1， 7 ，－ 9 ， 11，－13，….
＋
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[悟一法] 1．根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一 般的认识事物的规律．解决这类问题一定要注意观察项与序 号的关系和相邻项间的关系．具体地可参考以下几个思路
(1)统一项的结构，如都化成分数、根式等．
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(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变 化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式，如例1.(1) 中可把分子、分母分别处理． (3)对于符号交替出现的情况，可观察其绝对值，再以 (－1)n(n∈N*)处理符号，如例1.(6)．
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[巧思] 求出数列{an}的通项公式是解决本题的关键．由
a1·2·3·…·an＝n2可得a1·2·3·…·an－1＝(n－1)2，故可求an. a a a a
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[妙解]
∵a1·2·3· an＝n2(n∈N*)，① a a …·
∴当 n≥2 时，a1·2·3· an－1＝(n－1)2.② a a …· ① n2 由 ，得 an＝ 2(n≥2) ② n－1 n2 9 25 61 (1)∵an＝ (n≥2)，∴a3＋a5＝4＋16＝16. n－12
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(4)数列 2,4,6,8，…的通项公式是 an＝2n； (5)数列 1,2,4,8，…的通项公式是 an＝2n 1； (6)数列 1,4,9,16，…的通项公式是 an＝n2； 1 1 1 1 1 (7)数列1，2，3，4，…的通项公式是 an＝n.
2.1数列的概念与简单表示法
第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法一、 知识点 （一）数列的定义1、按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项）排在第二位的数称为这个数列的第2项，…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。
2、数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4,3，是不同的数列。
3、在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此 ，同一个数在数列中可以重复出现4、数列的一般形式可以写成12,,...,,...n a a a 此数列可简记为{}n a 例如;把数列1111,,,...,,...23n 简记作1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭5、数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号、我们还应注意到这里{}n a 与n a 是不同的：{}n a 表示数列12,,...,n a a a ；而n a 只表示这个数列的第n 项，这里{}n a 是数列的简记符号，并不表示一个集合。
（二）数列的分类根据数列的项数可以对数列进行分类 1、 项数有限的数列叫有穷数列 2、 项数无限的数列叫无穷数列补充说明：按照项与项之间的大小关系、数列的增减性，可以分为以下几类1、 递增数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项（即1n n a a +>），这样的数列叫做递增数列。
2、 递减数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项（即1n n a a +<）， 这样的数列叫做递减数列。
3、 摆动数列：一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做摆动数列。
4、 常数列：一个数列，如果它的每一项都相等，这个数列叫做常数列。
高中数学 第2章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第2课时 数列的性质和递推公式练习 新人教A
第2课时 数列的性质和递推公式1.已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列D.不能确定解析a n ＋1－a n ＝3>0，故数列{a n }为递增数列. 答案A2.数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，则a 6＝ A.3B.5C.8D.13解析 由条件知a 3＝2，a 4＝3，a 5＝5，a 6＝8. 答案C3.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }的通项公式是 A.a n ＝2n B.a n ＝12nC.a n ＝12n －1D.a n ＝1n2解析a 1＝1，a 2＝12，a 3＝14，a 4＝18，观察得a n ＝12n －1.答案C4.若数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －1，且a 8＝16，则a 6＝________. 解析 由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＝12(a n ＋1＋1)，∴a 7＝12(a 8＋1)＝172，a 6＝12(a 7＋1)＝194.答案1945.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，则a 2 018＝________.解析a 1＝2，由a n ＋1＝1＋a n1－a n，得a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，∴数列{a n }的周期为4， ∴a 2 018＝a 4×504＋2＝a 2＝－3. 答案 －3[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是A.1B.12C.34D.58解析 由a 1＝1，∴a 2＝12a 1＋12＝1，依此类推a 4＝12.答案B2.在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值X 围是 A.RB.(0，＋∞)C.(－∞，0)D.(－∞，0]解析 ∵{a n }是递减数列， ∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k ＜0. 答案C3.数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是 A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项解析a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎪⎫n －1432－1963，故当n ＝5时，a n 的最小值为a 5＝－65. 答案B4.数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于 A.259B.2516C.6116D.3115解析 由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，(n ≥2)得a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，(n ≥3)，∴a n ＝n 2（n －1）2，(n ≥3)，∴a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.答案C5.已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于 A.－165B.－33C.－30D.－21解析 由已知得a 2＝a 1＋a 1＝2a 1＝－6，∴a 1＝－3.∴a 10＝2a 5＝2(a 2＋a 3)＝2a 2＋2(a 1＋a 2)＝4a 2＋2a 1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30. 答案C6.(能力提升)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝A.2＋lg nB.2＋(n －1)lg nC.2＋n lg nD.1＋n ＋lg n解析 由a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ⇒a n ＋1－a n ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，那么a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋lg 2＋lg 32＋lg 43＋…＋lg n n －1＝2＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32×43×…×n n －1＝2＋lg n .答案A二、填空题(每小题5分，共15分)7.若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第7项的值为________.解析由数列{a n }的首项和递推公式可以求出a 2＝14，a 3＝17，…，观察得到通项公式a n ＝13n －2，所以a 7＝119.答案1198.已知函数f (x )的部分对应值如表所示.数列{a n }满足a 1＝1，且对任意n ∈N *，点(a n ，a n ＋1)都在函数f (x )的图象上，则a 2 017的值为________.解析 由题知，a n ＋1＝f (a n )，a 1＝1.∴a 2＝f (1)＝3，a 3＝f (a 2)＝f (3)＝2，a 4＝f (a 3)＝f (2)＝1，…，依次类推，可得{a n }是周期为3的周期数列，∴a 2 017＝a 672×3＋1＝a 1＝1.答案 19.(能力提升)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0，则a n ＝________.解析 (n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0， ∵a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝n n ＋1. 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12·1＝1n. 答案1n三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)给出. (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式b n ＝a na n ＋1构造一个新的数列{b n }，写出数列{b n }的前4项. 解析 (1)因为a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)， 且a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝3＋2＝5，a 5＝a 4＋a 3＝5＋3＝8. 故数列{a n }的前5项依次为a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8.(2)因为b n ＝a na n ＋1， 且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8，所以b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58.11.(12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n . (1)写出数列{a n }的前5项； (2)猜想数列{a n }的通项公式； (3)画出数列{a n }的图象.解析 (1)a 1＝1，a 2＝11＋1×1＝12，a 3＝21＋2×12＝13，a 4＝31＋3×13＝14，a 5＝41＋4×14＝15.(2)猜想：a n ＝1n.(3)图象如图所示：12.(12分)已知函数f (x )＝1－2x x ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *). (1)求证：a n ＞－2；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？解析 (1)证明 因为f (x )＝1－2x x ＋1＝3－2（x ＋1）x ＋1＝－2＋3x ＋1，所以a n ＝－2＋3n ＋1.因为n ∈N *，所以a n ＞－2. (2)数列{a n }为递减数列.因为a n ＝－2＋3n ＋1， 所以a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2＋3n ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3n ＋1＝3n ＋2－3n ＋1＝－3（n ＋2）（n ＋1）＜0， 即a n ＋1＜a n ，所以数列{a n }为递减数列.。
2.1数列的概念与简单表示法 第一课时
2.1数列的概念与简单表示法 第一课时一、学习目标：1、理解数列及数列的通项公式的相关概念，明白数列和函数之间的关系；2、对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.二、自学探究：阅读课本2830P P -页，完成下列问题：1. 数列及其有关概念：① 数列的概念：②数列的一般形式可以写成：③说出{}n a 与n a 的区别：④ 数列的分类：2. 数列的表示方法：① 讨论下列数列中的每一项与序号的关系：1，12，14，18，、、、；136,10，、、、；1,4,9,16，、、、.（数列的每一项都与序号有关，即数列可以看成是项数与项之间的函数.）② 数列的通项公式：（作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.）③ 数列的表示方法：___________,___________,__________3、数列与函数之间的关系：4、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：①0.5，0.5，0.5，、、、②1，－1,1，－1，、、、（可用分段函数表示）③－1，12，－14，18，、、、思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？三、合作探究1、根据数列的前几项写出数列一个通项公式（1）2,5,8,11,14,---（2）4,0,4,0,4,0(4) (1)9,99,999,9999,(2)1,11,111,1111,(3)7,77,777,7777,⎧⎪⎨⎪⎩（5）1925,2,,8,,222（6）246810,,,,315356399--- 2、已知数列{}n a 的通项公式为2328n a n n =-。
（1）写出数列的第4项和第6项；（2）问-49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？四、课堂检测：1、课本31页练习题4题2、课本33也A 组2题，3题，5题五、反思与小结六、课后作业根据数列的前几项写出数列一个通项公式（1）1,3,7,15,31,（2）0.9,0.99.0.999.0.9999,（3）222221324354,,,,;1357---- （4）414242,,,,,,5211717---。
数列的概念与简单表示法教案
数列的概念与简单表示法教案第一章：数列的概念1.1 数列的定义引导学生理解数列是由按照一定顺序排列的一列数。
举例说明数列的组成，如自然数数列、等差数列等。
1.2 数列的项解释数列中的每一个数称为数列的项。
强调数列项的顺序和重复性质。
1.3 数列的通项公式引导学生了解通项公式的概念，即用公式表示数列中任意一项的方法。
举例讲解如何写出简单数列的通项公式。
第二章：数列的表示法2.1 列举法讲解如何用列举法表示数列，即直接写出数列的所有项。
练习写出几个给定数列的列举表示。
2.2 公式法解释公式法表示数列的方法，即用公式来表示数列的任意一项。
举例说明如何用公式法表示等差数列和等比数列。
2.3 图像法介绍图像法表示数列的方法，即用图形来表示数列的项。
引导学生通过观察图形来理解数列的特点。
第三章：数列的性质3.1 数列的项数解释数列的项数是指数列中项的数量。
举例说明如何确定一个数列的项数。
3.2 数列的单调性引导学生理解数列的单调性，即数列项的增减规律。
举例说明如何判断一个数列的单调性。
3.3 数列的周期性解释数列的周期性是指数列中项按照一定规律重复出现。
举例说明如何判断一个数列的周期性。
第四章：数列的通项公式4.1 等差数列的通项公式讲解等差数列的定义和性质。
推导等差数列的通项公式。
4.2 等比数列的通项公式讲解等比数列的定义和性质。
推导等比数列的通项公式。
4.3 其他类型数列的通项公式引导学生了解其他类型数列的通项公式。
举例讲解如何求解其他类型数列的通项公式。
第五章：数列的前n项和5.1 等差数列的前n项和讲解等差数列的前n项和的定义和性质。
推导等差数列的前n项和的公式。
5.2 等比数列的前n项和讲解等比数列的前n项和的定义和性质。
推导等比数列的前n项和的公式。
5.3 其他类型数列的前n项和引导学生了解其他类型数列的前n项和的求法。
举例讲解如何求解其他类型数列的前n项和。
第六章：数列的求和公式6.1 数列求和的定义解释数列求和是指将数列中的所有项相加得到一个数值。
高中数学：第2章 数列 §2.1-第1课时
第二章 数列§2.1 数列的概念与简单表示法第1课时 数列的概念与通项公式1.下列说法中正确的是A.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B.数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列C.数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k D.数列0，2，4，6，…可记为{2n }解析 {1，3，5，7}是一个集合，故选项A 错；数虽相同，但顺序不同，不是相同的数列，故选项B 错；数列0，2，4，6，…可记为{2n －2}，故选项D 错，故选C. ★答案★ C2.已知数列{a n }为1，0，1，0，…，则下列各式可作为数列{a n }的通项公式的有 (1)a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]；(2)a n ＝sin 2n π2；(3)a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]＋(n －1)(n －2)；(4)a n ＝1－cos n π2；(5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1（n 为奇数），0（n 为偶数）.A.1个B.2个C.3个D.4个解析 对于(3)，将n ＝3代入，则a 3＝3≠1，易知(3)不是通项公式.根据三角中的半角公式可知(2)和(4)实质是一样的，都可作为数列{a n }的一个通项公式.数列1，0，1，0，…的通项公式可猜想为a n ＝12＋12×(－1)n ＋1，即为(1)的形式.(5)是分段表示的，也为数列的一个通项公式.故选D.★答案★ D3.在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 等于 A.11B.12C.13D.14解析 观察数列可知，后一项是前两项的和， 故x ＝5＋8＝13. ★答案★ C4.数列1，2，7，10，13，…中的第26项为________.解析 ∵a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，∴a n ＝3n －2， ∴a 26＝3×26－2＝76＝219. ★答案★ 2195.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n，那么110是它的第________项.解析 令2n 2＋n ＝110，解得n ＝4或n ＝－5(舍去)，所以110是该数列的第4项.★答案★ 4[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.下列有四个结论，其中叙述正确的有①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④每个数列都有通项公式.A.①②B.②③C.③④D.①④解析数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确.★答案★ B2.数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是A.a n＝n－2n B.a n＝n－1nC.a n＝n－1n＋1D.a n＝n－2n＋2解析已知数列可化为：0，13，24，35，46，…，故a n＝n－1n＋1.★答案★ C3.已知数列12，23，34，…，nn＋1，则0.96是该数列的A.第20项B.第22项C.第24项D.第26项解析由nn＋1＝0.96，解得n＝24.★答案★ C4.已知数列{a n}的通项公式a n＝nn＋1，则a n·a n＋1·a n＋2等于A.n n ＋2B.n n ＋3C.n ＋1n ＋2D.n ＋1n ＋3解析 a n ·a n ＋1·a n ＋2＝n n ＋1·n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋3＝n n ＋3.故选B. ★答案★ B5.已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是 A.15 B.5C.6D.log 23＋log 31325解析 a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132 ＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5. ★答案★ B6.(能力提升)图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第n 个图形中，火柴棒的根数为 A.3n －1B.3nC.3n ＋1D.3(n ＋1)解析 通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；第5个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝3，…，a n －a n －1＝3(n ≥2)，把上面的式子累加，则可得第n 个图形中，a n ＝4＋3(n －1)＝3n ＋1(根).★答案★ C二、填空题(每小题5分，共15分)7.在数列－1，0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项.解析 令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10⎝⎛⎭⎫n ＝52舍去，即为第10项. ★答案★ 108.若数列{a n }的通项公式是a n ＝3－2n ，则a 2n ＝________，a 2a 3＝________.解析 根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项. 因为a n ＝3－2n ，所以a 2n ＝3－22n ＝3－4n ， a 2a 3＝3－223－23＝15. ★答案★ 3－4n159.(能力提升)如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME 7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.解析 因为OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…，所以a n ＝n . ★答案★n三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，( )，512，13，…； (2)53，( )，1715，2624，3735，…； (3)2，1，( )，12，…；(4)32，94，( )，6516，…. 解析 (1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓912 812 712 ( ) 512 412于是括号内填612，而分子恰为10减序号，故括号内填12，通项公式为a n ＝10－n 12.(2)53＝4＋14－1， 1715＝16＋116－1， 2624＝25＋125－1， 3735＝36＋136－1. 只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差.故括号内填108， 通项公式为a n ＝（n ＋1）2＋1（n ＋1）2－1.(3)因为2＝21，1＝22，12＝24，所以数列缺少部分为23，数列的通项公式为a n ＝2n .(4)先将原数列变形为112，214，( )，4116，…，所以括号内应填318，数列的通项公式为a n ＝n ＋12n .11.(12分)在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2 017；(3)2 018是否为数列{a n }中的项？解析 (1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得k ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2. (2)a 2 017＝4×2 017－2＝8 066.(3)令2 018＝4n －2，解得n ＝505∈N *， ∴2 018是数列{a n }的第505项.12.(12分)(能力提升)数列{a n }中，a n ＝n 2n 2＋1.(1)求数列的第7项；(2)求证：此数列的各项都在区间(0，1)内； (3)区间⎝⎛⎭⎫13，23内有无数列的项？若有，有几项？ 解析 (1)a 7＝7272＋1＝4950.(2)证明 ∵a n ＝n 2n 2＋1＝1－1n 2＋1，∴0<a n <1，故数列的各项都在区间(0，1)内.(3)因为13<n 2n 2＋1<23，所以12<n 2<2，又n ∈N *，所以n ＝1，即在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有且只有一项a 1.。
2.1数列的概念与简单表示法
情景导入
1. 一尺之棰,日取其半,万世不竭. (单位：尺)
22 23
↑↑ ↑ ↑ ↑
1，2， 3， 4，…,n,…
n(1 n) 2
1，22，32，42…,n2…
1.
2. 三角形数 1，3，6，10，···
3. 正方形数 1，4，9，16，···
这些数有什么有什么共同特点？
三、数列的对应性
数列可以看成以正整数集N*（或它的 有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数 an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次 取值时所对应的一列函数值。
反过来，对于函数y=f(x),如果f(i) (i=1,2,3,…) 有意义那么我们可以得到一个 数列
f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…
1.正负号的循环性。 乘以符号因子-1的幂，3个一循环指数为3n+某 数，某数为0，1，2，3，按3的余数0，1，2分 类讨论. 2.分子分母分开看。 3.幂形式，统底看指、统指看底。 4.等差数列比与自然数列1，2，3，…对应。 f(n)=公差乘以n+某数. 5.把项数写在下方找感觉。
例2. 根据下面数列{an}的通项公式，写出 前五项：
1
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
785
3
52
4
23
5
66
6
986
定义域 解析式
图象
函数
数列 (特殊的函数)
定义域 解析式
图象
函数
R或R的子集 y＝f(x)
连续的线条
数列 (特殊的函数)
N*或它的子集
an＝f(n) 一些离散的点 的集合
辨析数列的概念: (1) “1, 2, 3, 4, 5”与“5, 4, 3, 2, 1”是同一 个数列吗？与“1, 3, 2, 4, 5”呢？
2.1 数列的概念与简单表示法(一)
反思与感悟
在通项公式an＝f(n)中，an相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于 已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是 正整数，则y是该数列的项，否则不是．
1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质： 规律与方法
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的. (2)可重复性：数列中的数可以重复. (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排 列次序也有关. 2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似值，依据精 确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式.根据 所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特 征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征； ④各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳. 3.如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式.
熟记一些基本数列的通项公式，如： ①数列－1,1，－1,1 , …的通项公式是 an＝(－1)n. ②数列1,2,3,4，…的通项公式是 an＝n. ③数列1,3,5,7，…的通项公式是 an＝2n－1. ④数列2,4,6,8，…的通项公式是 an＝2n. ⑤数列1,2,4,8，…的通项公式是 an＝2n－1. ⑥数列1,4,9,16，…的通项公式是 an＝n2.
类型二 数列的通项公式的应用 例2 已知数列{an}的通项公式an＝2n－－11nn2＋n＋11，n∈N*. (1)写出它的第10项；
a10＝－119×10×2111＝31919.
(2)判断323是不是该数列中的项． 令2n－n1＋21n＋1＝323，化简得 8n2－33n－35＝0， 解得 n＝5(n＝－78舍去)． 当 n＝5 时，a5＝－323≠323.所以323不是该数列中的项．
2.1.1数列的概念与简单表示法
已知下列数列： 例 1 已知下列数列： (1)2,22,222,2222； ； n－1 － 1 2 (2)0， ， ，…， n ，…； ，2 3 1 1 1 (3)1， ， ，…， n－1，…； ， 3 9 3 (－1)n－1 ) (4)－1,0，－ ，…， － ，－1,0， ，…； ，－ 2 (5)a，a，a，a，…. ， ， ， ，
写出下面数列的一个通项公式， 例 2 写出下面数列的一个通项公式， 使它的前 4 项分别 是下列各数： 是下列各数： 1 1 1 1 (1) ，－ ， ，－ ； 1×2 2×3 3×4 4×5 × × × × 22－1 32－1 42－1 52－1 (2) 2 ， 3 ， 4 ， 5 ； 1 1 1 1 (3)1 ，2 ，3 ，4 ； 2 4 8 16 (4)9,99,999,9999. [分析 细心寻找每一项 an 与序号 n 之间的变化规律即 分析] 分析 可．
ห้องสมุดไป่ตู้
3.由数列的前几项归纳其通项公式的方法 由数列的前几项归纳其通项公式的方法 据所给数列的前几项求其通项公式时， 据所给数列的前几项求其通项公式时 ， 需仔细观察分 抓住其几方面的特征： 析，抓住其几方面的特征： (1)分式中分子、分母的特征； 分式中分子、 分式中分子 分母的特征； (2)相邻项的变化特征； 相邻项的变化特征； 相邻项的变化特征 (3)拆项后的特征； 拆项后的特征； 拆项后的特征 (4)各项的符号特征和绝对值特征． 各项的符号特征和绝对值特征． 并对此进行联想、 各项的符号特征和绝对值特征 并对此进行联想、 转 归纳． 化、归纳．
1 1 [解] (1)是无穷递减数列 > 是无穷递减数列( )． 解 是无穷递减数列 n ． n＋1 ＋ (2)是有穷递增数列 项随着序号的增加而增大 ． 是有穷递增数列(项随着序号的增加而增大 是有穷递增数列 项随着序号的增加而增大)． (3)是无穷数列，由于奇数项为正，偶数项为负，故为摆 是无穷数列， 是无穷数列 由于奇数项为正，偶数项为负， 动数列． 动数列． (4)是有穷递增数列． 是有穷递增数列． 是有穷递增数列 (5)是无穷数列，也是摆动数列． 是无穷数列， 是无穷数列 也是摆动数列． (6)是无穷数列，且是常数列. 是无穷数列，且是常数列 是无穷数列
2.1数列的概念与简单表示法
（2）1,3,5,7；
an=2n-1
（3）1,
3 4
,
1 2
,
5 16
;
变式：-3，-1,1,3；
aபைடு நூலகம்=2n-5
an
n 1 2n
（4）9,99,999,9999. an=10n-1
变式：5，55,555,5555；
an
5 9
(10n
1)
拓展： 试写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项 分别是下列各数:
2.1数列的概念与简单表示法
古希腊毕达哥拉斯学派数学家曾研究过三 角形数
1
3
6
10
类似地，1，4，9，16，25，······ 被称为正方形数。
1
4
9
16
童谣： 一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿； 两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿； 三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿； 四只青蛙四张嘴，八只眼睛十六条腿
如：数列{n2}的第11项是__1_2_1. （2）一些数列的通项公式不是唯一的；
如：数列1，-1,1，-1，… （3）不是每一个数列都能写出它的通项公式.
如：数列1，24,8,3,19
例1、试写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项 分别是下列各数:
(1)2, 4, 6, 8; an=2n
变式：4, 6, 8, 10； an=2n+2
(1)-2, 2, -2, 2;
an=(-1)n2
（2）1, 1 , 1 , 1 ;
23 4
an
(1)n1
1 n
（4）2,0,2,0.
an (1)n1 1
小结： 观察法求通项公式
（1）常见数列：正整数数列，奇数列，偶数列， 平方数列，三角形数列； （2）分数数列：观察分子分母的特点； （3）指数数列：观察底数、指数的特点； （4）各项符号一正一负：（-1）n或（-1）n+1
§2.1数列的概念与简单表示法(第2课时)
像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，其中 an=2an-1+1(n>1)称为递推公式。递推公式也是数 列的一种表示方法。
例2. 设数列 an ,满足
a1 1 1 an 1 (n 1). an1
写出这个数列的前五项。
例3. 已知 a1 2, an1 2an 写出前5项，并猜想 an
例4. 根据各个数列的首项和递推公式， 写出它的前五项，并归纳出通项公式 (1) a1＝0, a n 1= an ＋(2n－1) (n∈N)；
(2) (3)
a1＝1, a n1 =
2a n an 2
(n∈N)；
a1＝3, a n1 ＝3 an (n∈N)业本B 2.1数列的概念与简单表示法（二）
2) 1,11,111,1111,…
4) 2 , 4 , 6 , 8 ,
3 15 35 63
二、数列的表示： ４．递推公式 问题6：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二项起每 一项等于它的前一项的2倍再加1， 即 an = 2 an-1 + 1（n∈N，n>1），（※） 你能写出这个数列的前三项吗？
§2.1数列的概念与简单表示法 （第２课时）
知识回顾：
一、数列的概念：
1、数列的定义； 2、数列的记法； 3、数列的分类．
二、数列的表示方法：
列表法，通项公式法，图象法，
例1. 根据数列的前几项， 写出下列各数列的一个通项公式：
1 2 3 4 1) , , , , 2 3 4 5 3) 4 , 1 , 4 , 2 5 2 11 7
2.1数列的概念与简单表示法
第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法【学习目标】1. 理解数列概念，了解数列的分类；理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；2. 理解数列的通项公式的概念，并会用通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出它的一个通项公式；提高观察、抽象的能力． 【知识梳理】1．数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为叫做数列(sequence of number).【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 思考:简述数列与数集的区别_________________________________________________________________2．数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3．数列的分类：按项数分类：_______________ _______________按项与项间的大小关系 4．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与 序号n 之间的关系可以用一个公式来表 示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term ）.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41， 1.414，…；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ， 也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：① 求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项5. 数列的图像都是一群孤立的点.从映射、函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象． 6.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N *(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列． 7．数列的表示形式：_________ __________ __________ 8.a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1 ，S n －S n －1， n ≥2 .【典例精析】：【例1】下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）0，1，2，3，…。
2.1数列的概念与简单表示法
题型二
由数列的递推公式求通项公式 (1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an； (2)已知a1＝2，an＋1＝an＋n，求an.
与an＋1＝2an＋1比较可知a＝1， 又a1＝1，∴a1＋a＝2. 故{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴an＋1＝2·2n－1＝2n，故an＝2n－1.
数列讲究：（不一定是数）有序性，可重复性，确定性
2.数列的分类
分类原则 类型 有穷数列 按项数分类 无穷数列 递增数列 递减数列 单调性 常数列 满足条件 项数_______ 有限
无限 项数_______
an＋1———————— ＞ an
＜ an an＋1————————
an＋1＝an
其中n∈N*
Hale Waihona Puke 2123
63 ? 2
传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：
三角形数
1,
3,
6,
10,
.…..
正方形数 1, 4, 9, 16, …… 提问：这些数有什么规律吗？
上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：
1 ， 2， 2 ， 2 ， 2
2 3
63
三角形数：1，3，6，10，· · · 正方形数：1，4，9，16，· · ·
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它 的前一项的数列
∀n∈N*，存在正整数常数k，an＋k＝an
周期性
3.通项公式
如果数列{ an }中的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来 表示，则称此公式为数列的通项公式。
1 1 20 , 21 , 22 , , 2n, , 263 2n1 ( n N * , n 64) an 2n1 1 1 1 1 , , , , , 1 1 2 3
高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第二课时数列的性质和递推公式课件新人教A版必修5
当 an1 >1 时,数列{an}是递减数列. an
对于任意 n(n∈N*),若 an≠0,则当 an1 =1 时,数列{an}是常数列. an
(2)利用数列的图象直观地判断.
5.周期数列的概念 对于摆动数列-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,…,我们视察后可以发现,数列的项1,1 重 复 出 现 , 用 公 式 表 示 为 an=an+2. 若 记 f(n)=an, 则 可 以 表 示 为 f(n)= f(n+2),即数列中的项循环出现,我们称此类数列为周期数列. 周期数列的递推公式的一般情势为an+k=an(n∈N*,k∈N*,k≥2),如数列1,2, 3,1,2,3,1,2,3,…是周期为3的周期数列,满足an+3=an(n∈N*). 6.判断周期数列的方法 要判断一个数列是否具有周期性或求解一个周期数列,主要方法是通过递推 公式求出数列的若干项,视察得到规律或由递推公式直接发现规律.
解:(1)因为 an+1-an= 1 = 1 - 1 ,所以 a2-a1= 1 =1- 1 ;
n(n 1) n n 1
1 2 2
a3-a2= 1 = 1 - 1 ;a4-a3= 1 = 1 - 1 ;
23 2 3
34 3 4
…
an-an-1= 1 = 1 - 1 ; (n 1)n n 1 n
以上各式累加得,an-a1=1- 1 + 1 - 1 +…+ 1 - 1 =1- 1 .所以 an+1=1- 1 ,所以 an=- 1 .
②作商法:即作商 an1 (务必要确定 an 的符号)后与 1 比较对于任意 n(n∈N*),若 an>0, an
则当 an1 >1 时,数列{an}是递增数列; an
高中数学必修五第二章数列
设等差数列
的前n项和为sn,已知a3=12,s12>0,s13<0,
（1）求公差d的取值范围
（2）指出s1,s2,s3……,s12中哪一个的值最大，并说明理由
2.4等比数列
定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前 一项的比等于同意常数，那么这个数列叫做等比数列，这个 常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+……+【an-(n-1)d】 两式相加得 2sn=n(a1+an) 由此可得 sn=n(a1+an)/2 带入通项公式得 sn=na1+n(n-1)d/2
例题一
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通 知》。
某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间在全 市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程 的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上 一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程 中的总投入是多少？
（1）求AB，BC，CD的长
（2）已AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第十项为边长的正方形 面积为多少？
AB C
D
2.3等差数列的前n项和
定义：一般的，我们称a1+a2+a3+……+an 为数列 表示，即sn=a1+a2+……+an
的前n项和，用Sn
推理过程： 因为 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+……+【a1+(n-1)d】
2.1.1 数列的概念与简单表示法
奇数项都为负，且分子都是1，偶数项都为正，且分子
都是3，分母依次是1，2，3，4，…正负号可以用
(-1)n调整.
an
3
n
1 (n n (n
2k 1)， 2k)，其中k
N
. *
由于1=2-1，3=2+1，所以数列的通项公式可合写成
an= (1)n 2 (1)n .
2.(1)这个数列各项的整数部分分别为1，2，3，4，
…，恰好是序号n；分数部分分别为 1，2，3，4，…，与序
2345
号n的关系是
n
n
1
，所以这个数列的一个通项公式是an=
n n n2 2n . n 1 n 1
(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的
正奇数；考虑(-1)n具有转换符号的作用，所以数列的一
5，那么可以叫做数列的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.按照数列定义得出四种形式均为数列.
3.已知数列 3， 5 ， 7 ， 9 ， a b ，…，根据前三项给
2 4 6 a b 10
出的规律，则实数对(a，b)可能是( )
A.(19，3) C.( 19，3 )
22
B.(19，-3) D.( 19， 3 )
个通项公式为an=(-1)n(2n-1).
(3)数列1，0，1，0，…的通项公式为 (1)n1 1，数列
2
0，1，0，1…的通项公式为 (1)n 1 ，因此数列a，0，
2
a，0…的通项公式为 (1)n1 1a ，数列0，b，0，b，…
2
的通项公式为 (1)n 1b ，所以数列a，b，a，b，a，b，
高中二年级数学 第二章 数 列§2.1 数列的概念与简单表示法(一)
第二章 数 列§2.1 数列的概念与简单表示法(一) 课时目标1．理解数列及其有关概念；2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3．对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式．1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．2．数列的一般形式可以写成a 1，a 2，…，a n ，…，简记为{a n }．3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．一、选择题1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n ＋1C ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝2n答案 B2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0 答案 A3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )A ．a n ＝12[1＋(－1)n －1] B ．a n ＝12[1－cos(n ·180°)] C ．a n ＝sin 2(n ·90°)D ．a n ＝(n －1)(n －2)＋12[1＋(－1)n －1] 答案 D解析 令n ＝1,2,3,4代入验证即可．4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．非任何一项答案 C解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)．5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n 2＋1 答案 C解析 令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C.6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n 等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2答案 D解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为正奇数)4n －1(n 为正偶数) .则它的前4项依次为____________．答案 4,7,10,158．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项． 答案 10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120， ∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.9．用火柴棒按下图的方法搭三角形： 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．答案 55解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.三、解答题11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…(2)0.8,0.88,0.888，…(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…(4)32，1，710，917，… (5)0,1,0,1，…解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)(n ∈N *)．(2)数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)， 89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n (n ∈N *)． (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…， ∴a n ＝(－1)n ·2n －32n (n ∈N *)． (4)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1(n ∈N *)． (5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (n 为奇数)1 (n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n 2(n ∈N *) 或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N *)． 12．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1； (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．(1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)解 令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1. ∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，则⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2，即⎩⎨⎧ n >76n <83.∴76<n <83. 又∵n ∈N *，∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝⎛⎭⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47. 能力提升13．数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式是______________________．答案 a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫a －b 2解析 a ＝a ＋b 2＋a －b 2，b ＝a ＋b 2－a －b 2， 故a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫a －b 2.14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝(－1)n ＋2，还可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 (n ＝2k －1)，1 (n ＝2k )，其中k ∈N *.。
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2.1 数列的概念与简单表示法第一课时 数列的概念与通项公式数列的概念[提出问题]观察下列示例，回答后面问题(1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是1，12，13，14，15，16.(2)－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2,4，－8,16.(3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740,1823,1906,1989,2072，….(4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为：12，14，18，116，132，….问题：观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？ 提示：按照一定的顺序排列． [导入新知] 数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }． [化解疑难]1．数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置．2．项a n 与序号n 是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次．3．{a n }与a n 是不同概念：{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…；而a n 表示数列{a n }中的第n 项.数列的分类[提出问题]问题：观察“知识点一”中的4个例子中对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数列中从第2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？提示：数列(1)中有6项，数列(2)中有4项，数列(3)(4)中有无穷多项；数列(1)中每一项都小于它的前一项，数列(2)中的项大小不确定，数列(3)中每一项都大于它的前一项，数列(4)中每一项都小于它的前一项．[导入新知]数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列[化解疑难]在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出．例如，数列1,2,3,4，…，100.表示有穷数列．但是如果把数列写成1,2,3,4，…，100，…就表示无穷数列．数列的通项公式[提出问题]问题：仍然观察“知识点一”中的4个例子，你能否发现这些数列中，每一项与这一项的项数之间存在着某种关系？这种关系是否可以表示为一个公式？提示：每一项与这一项的项数间存在一定的关系，有些可用公式表示，有些不能用公式表示．[导入新知]数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么就把这个公式叫做这个数列的通项公式．[化解疑难]1．数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．2．同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．数列的概念及分类[例1] (1)0,0,0,0,0,0；(2)0，－1,2，－3,4，－5，…； (3)0，12，23，…，n －1n ，…；(4)1,0.2,0.22,0.23，…； (5)0，－1,0，…，cos n2π，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号)[解析] (1)是常数列且是有穷数列； (2)是无穷摆动数列； (3)是无穷递增数列⎝⎛⎭⎪⎫因为n －1n ＝1－1n ； (4)是无穷递减数列； (5)是无穷摆动数列．[答案] (1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5) [类题通法]判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足a n <a n ＋1，则是递增数列；若满足a n >a n ＋1，则是递减数列；若满足a n ＝a n ＋1，则是常数列；若a n 与a n ＋1的大小不确定时，则是摆动数列．[活学活用] 给出下列数列：(1)2009～2016年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.(2)无穷多个3构成数列3，3，3，3，….(3)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，5次幂……构成数列－2,4，－8,16，－32，…. (4)2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值与过剩近似值分别构成数列 1,1.4,1.41,1.414，…； 2,1.5,1.42,1.415，….分别指出其中哪些是有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列． 解：有穷数列：82,93,105,119,129,130,132,135.无穷数列：3，3，3，3，…； －2,4，－8,16，－32，…； 1,1.4,1.41,1.414，…； 2,1.5,1.42,1.415，….递增数列：82,93,105,119,129,130,132,135； 1,1.4,1.41,1.414，….递减数列：2,1.5,1.42,1.415，…. 常数列：3，3，3，3，…. 摆动数列有：－2,4，－8,16，－32，….由数列的前几项求通项公式[例2] (1)12，2，92，8，252，…； (2)9,99,999,9 999，…； (3)112，245，3910，41617，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，….[解] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22(n ∈N *)． (2)各项加1后，变为10,100,1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为a n ＝10n－1.(3)因为112＝1＋1212＋1，245＝2＋2222＋1，3910＝3＋3232＋1，41617＝4＋4242＋1，…，所以该数列的一个通项公式为a n ＝n ＋n 2n 2＋1.(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n1nn ＋1.[类题通法]此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．这些方法的具体对象为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．[活学活用]写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)0，22－25，32－310，42－417，…；(4)1,11,111,1 111，….解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1，15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(3)因为5＝22＋1,10＝32＋1,17＝42＋1，所以数列的一个通项公式为a n ＝n 2－n n 2＋1(n ∈N *)．(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9,99,999,9999，…的一个通项公式为a n ＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为a n ＝19(10n －1).通项公式的简单应用[例3] 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n 2＋1.(1)写出该数列的第4项和第7项；(2)试判断910和110是否是该数列中的项，若是，求出它是第几项；若不是，说明理由．[解] (1)由通项公式a n ＝n 2n 2＋1可得a 4＝4242＋1＝1617，a 7＝7272＋1＝4950.(2)令n 2n 2＋1＝910，得n 2＝9， 所以n ＝3(n ＝－3舍去)，故910是该数列中的项，并且是第3项； 令n 2n 2＋1＝110，得n 2＝19，所以n ＝±13，由于±13都不是正整数，因此110不是数列中的项．[类题通法]1．数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．2．判断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项，列方程求解．若方程的解为正整数，则该数值是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项．[活学活用]已知数列{a n }的通项公式为a n ＝q n，且a 4－a 2＝72. (1)求实数q 的值；(2)判断－81是否为此数列中的项． 解：(1)由题意知q 4－q 2＝72⇒q 2＝9 或q 2＝－8(舍去)， ∴q ＝±3.(2)当q ＝3时，a n ＝3n，显然－81不是此数列中的项； 当q ＝－3时，a n ＝(－3)n， 令(－3)n＝－81＝－34，也无解． ∴－81不是此数列中的项.2.牢记数列中n ∈N *[典例] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，求n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．[解] ∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，∴可知对称轴为n ＝52＝2.5.又n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值， 其最小值为a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝－2. [易错防范]1．忽视了借助二次函数求最值，而认为当n ＝1时取得最小值． 2．由a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94知n ＝52时取最小值，忽视n ∈N *.3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })这一约束条件．[成功破障]求数列{－2n 2＋9n ＋3}中的最大项．解：已知－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －942＋1058，由于n 为正整数，故当n ＝2时，取得最大值为13，所以数列{－2n 2＋9n ＋3}中的最大项为第2项，值为13.[随堂即时演练]1．将正整数的前5个数排列如下：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.那么可以称为数列的有( ) A ．① B ．①② C ．①②③D ．①②③④解析：选D 数列是按“一定顺序”排列的一列数．因此选D.注意此题易错选B. 2．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的( )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项解析：选C ∵a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08， 解得n ＝10或n ＝52(舍去)．3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝3－2n，则a 2n ＝________，a 2a 3＝________. 解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．∵a n ＝3－2n，∴a 2n ＝3－22n＝3－4n，a 2a 3＝3－223－23＝15.答案：3－4n154．若数列{a n }的通项满足a n n＝n －2，那么15是这个数列的第________项． 解析：由a n n＝n －2可知，a n ＝n 2－2n ， 令n 2－2n ＝15，得n ＝5(n ＝－3舍去)． 答案：55．已知a n ＝2n3n ＋2.(1)求a 3；(2)若a n ＝813，求n .解：(1)将n ＝3代入a n ＝2n3n ＋2， 得a 3＝2×33×3＋2＝611.(2)将a n ＝813代入a n ＝2n3n ＋2，得813＝2n3n ＋2，解得n ＝8. [课时达标检测]一、选择题1．下面有四个结论： ①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式． 其中叙述正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析：选B 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确．2．数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于( )A ．70B ．28C ．20D ．8解析：选C 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20.3．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( ) A ．a n ＝(－1)n·(2n－1) B ．a n ＝(－1)n ·(2n －1) C ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n－1) D ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)解析：选A 数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为a n ＝(－1)n ·(2n－1)．4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列解析：选A a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，∴n 越大，2n ＋1越小，则a n 越大，故该数列是递增数列．5．下列命题： ①已知数列{a n }，a n ＝1nn ＋2(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第10项，且最大项为第1项；②数列2，5，22，11，…的一个通项公式是a n ＝3n －1； ③已知数列{a n }，a n ＝kn －5，且a 8＝11，则a 17＝29； ④已知a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }是递增数列． 其中正确命题的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A 对于①，令a n ＝1n n ＋2＝1120⇒n ＝10，易知最大项为第1项．①正确．对于②，数列2，5，22，11，…变为2，5，8，11，…⇒3×1－1，3×2－1，3×3－1，3×4－1，…⇒a n ＝3n －1.②正确．对于③，a n ＝kn －5，且a 8＝11⇒k ＝2⇒a n ＝2n －5⇒a 17＝29. ③正确．对于④，由a n ＋1－a n ＝3＞0，易知④正确． 二、填空题6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n ，那么110是它的第________项．解析：令2n 2＋n ＝110，解得n ＝4(n ＝－5舍去)，所以110是第4项． 答案：47．已知数列{a n }的前4项为11,102,1 003,10 004，…，则它的一个通项公式为________． 解析：由于11＝10＋1,102＝102＋2，1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是a n ＝10n＋n .答案：a n ＝10n＋n8．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－8n ＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项．解析：令a n ＝n 2－8n ＋12＜0， 解得2＜n ＜6， 又因为n ∈N *，所以n ＝3,4,5，一共有3项． 答案：3 三、解答题9．求下列数列的一个可能的通项公式： (1)1，－1,1，－1，…； (2)1,10,2,11,3,12，…；(3)1＋12，1－324，1＋526，1－728，….解：(1)a n ＝(－1)n ＋1或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，－1，n 为偶数.(2)a n＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12，n 为奇数，n2＋9，n 为偶数或a n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋192＋－1n×172. (3)a n ＝1＋(－1)n ＋12n －122n.10．数列{a n }中，已知a n ＝n 2＋n －13(n ∈N *)．(1)写出a 10，a n ＋1，a 2n ；(2)7923是不是该数列中的项？若是，是第几项．解：(1)a 10＝102＋10－13＝1093，a n ＋1＝n ＋12＋n ＋1－13＝n 2＋3n ＋13， a n 2＝n 22＋n 2－13＝n 4＋n 2－13.(2)假设7923是该数列的第n 项，则7923＝n 2＋n－13，∴n 2＋n －240＝0.解之，得n ＝15或n ＝－16(舍去)． 故7923是该数列的第15项．11．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2 015；(3)2 016是否为数列{a n }中的项？解：(1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得k ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2.(2)a 2 015＝4×2 015－2＝8 058.(3)令2 016＝4n －2，解得n ＝504.5∉N *， ∴2 016不是数列{a n }中的项．12．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2.(1)求a 3＋a 5；(2)探究256225是否为此数列中的项；(3)试比较a n 与a n ＋1(n ≥2)的大小．解：∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2(n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2.②由①②，得a n ＝n2n －12(n ≥2)．(1)∵a n ＝n 2n －12(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝94＋2516＝6116.(2)∵256225＝162152＝a 16，∴256225是数列中的第16项． (3)n ≥2时，a n －a n ＋1＝n 2n －12－n ＋12n 2＝n 4－n 2－12n －12n 2＝2n 2－1n 2n －12>0，∴a n >a n ＋1.。