线性代数第三章自测题
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第三章
1.初等变换不改变矩阵的秩.
（ ）
2.若向量组B 能由向量组A 线性表示，则()(,)R B R A B =.（ ） 3．()()()R A B R A R B +≤+
（ ）
4.如果线性方程组b x A n n =⨯无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.
5.初等变换不改变矩阵的秩. （ ）
6.若0A ≠，则齐次线性方程组0A x =只有零解. （ ）
7.若A ～B ，则()()R A R B =. （ ）
8.若0A =，则齐次线性方程组0A x =必有非零解.
9.若m n <，则0m n A x ⨯=有非零解. （ ） 10.（√）2．若m n <，则0m n A x ⨯=有非零解. 11.若m n <，则0m n A x ⨯=有非零解.
（ ）
12.已知12,a a ，3a 是四元非齐次线性方程组A x b =的三个解向量，且()3R A =，
1(1,2,3,4)
T
a =，23(0,1,2,3)T a a +=，c 是任意的常数，则A x
b =的通解是x =
（ ）
A. 11213141c ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ B. 10213243c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ C. 12233445c ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ D. 1324
3546c ⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
. 13.设A 是m n ⨯矩阵，且秩()R A m n =<，则（ ）
A.A 的任意m 个列向量必定线性无关
B.A 的任意一个m 阶子式不等于零
C.齐次线性方程组0A x =只有零解
D.非齐次线性方程组A x b =必有无穷多解
14.设A 是4×5矩阵，A 的秩等于3，则齐次线性方程组0A x =的基础解系中所含解向量的个数为（ ）
A. 4
B.5
C.2
D.3
15.设A 是n 阶方阵，B 是A 经过有限次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有（C ）
.A A B
= .B A B ≠
.C 若0A =，则一定有0B = .D 若0A >，则一定有0B >
16.设A 是4×5矩阵，A 的秩等于3，则齐次线性方程组0A x =的基础解系中所含解向量的个数为 （ ） A. 4； B.5 ； C.2 ； D.3.
17.行列式0=A 时，线性方程组0
=AX
（ ）
.A 只有零解；
.B 只有非零解； .C 无解； .D 有非零解.
18．设A 是n 阶方阵，B 是A 经过有限次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则一定有 （ ）
.A A B
= .B A B ≠
.C )()(B R A R = .D )()(B R A R ≠
19．设n 阶方阵不可逆，则必有 （ ）
.A n A R <)(；
.B 1)(-=n A R ；
.C 0=A ； .D 方程组0
=AX 只有零解.
20.n 个方程n 个未知数构成的线性方程组，如果它的系数行列式0≠D ，那么他一定有___________解.
21.线性方程组A x b =有解的充分必要条件是()(,)R A R A b =.
22.设A 为一个三阶矩阵，且2=A ，若将A 按列分块为），，（321ααα=A ，令
），，（21312αααα+=B ，则=B ________.
23.三元齐次线性方程组0
=AX 的基础解系只含一个向量，则
=)(A R _________.
24.设A 为三阶方阵，且其行列式3A =-，若记()123,,A ααα=， 则
1232,2,2αααα-= .
25.已知1001001
470
010*******
01
13
6
9A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
= ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
，则A =6
4766965
8-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝
⎭
26.线性方程组A x b =有解的充分必要条件是()(,)R A R A b =.
27. 解线性方程组：2
1112
10111
13X -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭⎝⎭
. 28. 求齐次线性方程组123412341
234220
2220
430
x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪
+--=⎨⎪---=⎩ 的基础解系.
29.求齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=---=+-+-=-+-0
490
2430
32542143214321x x x x x x x x x x x 的基础解系.
30.k 为何值时,方程组12312312312202x x x x kx x kx x x k
+-=⎧⎪
+-=⎨⎪++=⎩
（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无
穷多解?并求它的通解。
31.问λ取何值时，非齐次线性方程组12312321231
x x x x x x x x x λλλ
λλ
⎧++=⎪
++=⎨⎪++=⎩（1）有唯一解；（2）无
解；（3）有无穷多解,并求其通解。
32.问λ取何值时，非齐次线性方程组()()()1231231
2310
131x x x x x x x x x λλλλ
+++=⎧⎪
+++=⎨⎪+++=⎩（1）有唯一解；（2）
无解；（3）有无穷多解,并求其通解。
32.1231231
230
(1)20
x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪
+-=⎨⎪-+=⎩．1231231232
2
(2)23
x x x x x x x x x λλ++=-⎧⎪
+-=⎨⎪-+=⎩
试求：（1）λ为何值时，上齐次线性方程组⑴有非零解？（2）方程组⑴有非零解时，方程组⑵是否有解？若有，请分别写出其解（通解）。