河南科技大学数值分析(计算方法)期末试卷1及参考答案

7,2]= 8,

2]= 1

[,]()n a b x C +∈,的n 次插值多项式，则其插值

参考答案

一.填空 1. 舍入误差 2. 115,1,0 3.

(1)(1)011()

()

()()()

().(()())(1)!

(1)!

n n n n f f R x x x x x x x orR x w x n n ξξ+++=---=++

4. 1

5.

22

11()()()2()()2k k k k k k k k k k k k

x f x f x x x x orx x x f x f x x ++--=-=-''--

6. 有

7. 1

8. 112121

2213k k

k k

x x x x ++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 二.计算

1.解:构造差商表:

所以,

22()2H x x x =+

证明:设2()()()R x f x H x =-

22

2(0)(0),(0)(0),(1)(1)f H f H f H ''=== (0)(0)(1)0R R R '∴=== 所以,可设2()()(1)R x k x x x =- 构造函数:22()()()()(1)t f t H t k x t t ϕ=

---

显然()(0)(0)(1)0x ϕϕϕϕ'====

因为函数()t ϕ在所给的插值区间至少有4个根且函数()t ϕ'''存在, 所以函数()t ϕ'''在所给的插值区间至少有1个根,即存在一点ξ,满足: ()0ϕξ'''=

又

()()3!()t f t k x ϕ''''''=-

()

()()3!()0()3!

f f k x k x ξϕξξ'''''''''∴=-=⇒=

所以22

()()()(1)(1)3!

f R x k x x x x x ξ'''=-=

-

2.梯形公式为:

(()())2b a

T f a f b -=

+1

120.752

+

==

复化梯形公式为:

1

1

(()2()())2n n i i h

T f a f x f b -==++∑ 具体到本题中,可知0.2,0,1h a b ===

4

61

((0)2()(1))2i i h

T f f x f ==++∑=0.1(1.5 5.456)0.6956⨯+= 3.改进的Euler 公式为:

1111(,)

((,)(,))2

n n n n n n n n n n y y hf x y h

y y f x y f x y ++++=+⎧⎪

⎨=++⎪⎩ 具体到本题中,则为

21222

1()[()()()]2

n n n n n n n n n n n n n n n n y y h x x y h y y x x y x h x h y h x x y ++⎧=++-⎪

⎨=++-++++--+-⎪⎩ 经化简为:

210.820.180.220.024n n n n y y x x +=+++

所以:

(0.2)0.024y ≈0 (0.4)0.0949y ≈

5解(1):A 为对称正定矩阵时, 线性方程组Ax b =可用平方根法求解. 由A A T =可知3,5a b ==.

(2)因为矩阵A 对称正定,所以存在下三角阵L 使得:A LL T =即:

111121312122

22323132

33333350035900591700l l l l A l l l l l l l l ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

可求得

:

112131223233l l l l l l ======

即000L ⎛

⎫

⎪

⎪⎪=⎪

所以,方程组Ax b =就转化为LL x b T =,令L x y T =,解下三角形方程组Ly b =得

(y T =;

解上三角形方程组L x y T =得

(1,1,2)x T =-

所以原方程组的解为:

(1,1,2)x T =-

5.解:Jacibo 迭代公式为:

(1)()()123(1)

()()2

13(1)

()()

3

121223222k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=--⎪=++⎨⎪=+-⎩

Gauss-Seidel 迭代公式为:

(1)()()123(1)

(1)()2

13(1)(1)(1)3121223222k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=--⎪=++⎨⎪=+-⎩

三.证明: 设()1,,(11)2

b a f x b a b a -=-=+=-左=右,左=右 2222(),(),()(),2b a f x x b a b a b a -=-=⨯+=-11

左=右22左=右

33

2

(),b a f x x -=左=

3

,右322322

()()2b a b ba ab a a b -+--=⨯+=2

,左≠右 所以,该公式具有一次代数精度.