河南科技大学数值分析(计算方法)期末试卷1及参考答案
(完整word版)数值分析(计算方法)期末试卷3及参考答案
[][][]0010012001,,()()n n f x x x x x x -+--参考答案一． 填空(每空3分，共30分)1. 截断误差2. )2(--x x ，2)1(-x x ， 10 3. 14.)(2)(21k k k k k k x f x x f x x x '---=+ 5. 6，5，26，9二． 计算1. 构造重节点的差商表：所以，要求的Newton 插值为：3()5(1)2(1)(2)(1)(2)(3)N x x x x x x x =--+--+---3243x x =-+插值余项是：2()()(1)(2)3!f R x x x ξ'''=--或：()[,1,2,3,4](1)(2)(3)(4)R x f x x x x x =----2.（1）解：()1f x =时，左10()1f x dx ==⎰，右01A A =+，左＝右得：011A A +=()f x x =时，左101()2f x dx ==⎰，右01B A =+，左＝右得：0112B A += 2()f x x =时，左101()3f x dx ==⎰，右1A =，左＝右得：113A =联立上述三个方程，解得：001211,,363A B A ===3()f x x =时，左101()4f x dx ==⎰，右113A ==，左≠右 所以，该求积公式的代数精度是2（2）解：过点0，1构造()f x 的Hermite 插值2()H x ，因为该求积公式代数精度为2，所以有：'212021200010(0)(0)(0)(0)(1()))(0H A H B H f A f B f H x dx A A ++++==⎰其求积余项为：1'1000()[(0)(1)(0)]()f x dx f A f f B f R A -++=⎰112201()()!))((13f H x dx x x dx f x dx η'''--==⎰⎰⎰ 120()(1)3!f x x dx ζ'''=-⎰ ()72f ζ'''=-所以，172k =-3.解：改进的Euler 公式是：1111(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y hf x y hy y f x y f x y ++++=+⎧⎪⎨=++⎪⎩具体到本题中，求解的公式是：11110.2(32) 1.40.60.1[3232](0)1n n n n n n n n n n n n y y x y y x y y x y x y y ++++=++=+⎧⎪=++++⎨⎪=⎩代入求解得：1 1.4y =,1 1.54y =222.276, 2.4832y y ==4．解：设3()25,f x x x =+-则2()32,f x x '=+ 牛顿迭代公式为：1()()k k k k f x x x f x +=-'322532k k k k x x x x +-=-+ 322532k k x x +=+将0 1.5x =代入上式，得1 1.34286x =，2 1.37012x =，3 1.32920x =,4 1.32827x =,5 1.32826x =4540.0000110x x --=<所以，方程的近似根5 1.32826x =5．解，Jacobi 迭代公式是：11231211131521333324k k k k k k k x x x x x x x ++++⎧=--⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩Gauss-Seidel 迭代公式是：112311211131521333324k k k k k k k x x x x x x x +++++⎧=--⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩(2) 设其系数矩阵是A ，将A 分解为：A D L U =--，其中300020001D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，000021200,000100000L U --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭Jacobi 迭代矩阵是：11030211()0020********J B D L U -⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+=-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭21033100100--⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪- ⎪⎝⎭Gauss-Seidel 迭代矩阵是：11300021()220000101000J B D L U ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20002112300006206000--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭021********--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭二． 证明证明：00x >且11()2k k kax x x +=+0k x ⇒> 所以有：111()222k k k k ka a x x x a x x +=+≥=即：数列k x 有下界；2111()()22k k k k k k kx a x x x x x x +=+≤+=所以，迭代序列k x 是单调递减的，由单调递减且有下界的数列极限存在可知序列k x 极限存在。
数值分析期末考试题
数值分析期末考试题一、选择题1. 在数值分析中，用于求解线性方程组的雅可比方法属于以下哪种迭代法？A. 直接迭代法B. 间接迭代法C. 外推法D. 松弛法2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的主要特点是？A. 适用于多项式插值B. 适用于函数值已知的情况C. 只适用于单点插值D. 适用于分段插值3. 在数值积分中，辛普森法则是一种？A. 单区间求积公式B. 双区间求积公式C. 三区间求积公式D. 多区间求积公式4. 误差分析中，截断误差通常与以下哪个概念相关？A. 舍入误差B. 舍入误差的补偿C. 条件数D. 病态条件5. 非线性方程求解中，牛顿法的收敛速度通常？A. 较慢B. 较快C. 与初始值有关D. 与方程的性质有关二、填空题1. 在求解三对角线性方程组时，托马斯算法是一种________方法。
2. 多项式插值中，牛顿插值多项式可以通过________法来构建。
3. 数值积分中，高斯求积法是一种________方法。
4. 误差传递的估计通常通过________公式来进行。
5. 非线性方程的求解中，二分法是一种________方法。
三、简答题1. 请简述数值分析中的条件数概念及其在解方程中的应用。
2. 描述线性方程组迭代法中的收敛性判断方法，并给出收敛域的计算公式。
3. 解释插值和拟合的区别，并举例说明各自的应用场景。
4. 阐述数值积分中梯形法则的原理及其误差估计方法。
5. 讨论非线性方程求解中不动点理论和收敛性的关系。
四、计算题1. 给定线性方程组如下，请使用高斯消元法求解未知数x、y、z的值： \[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 3y + 2z = 11 \\3x + y + 4z = 17\end{cases}\]2. 假设有一个函数f(x) = sin(x)，给定插值节点如下，请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式，并计算在x=π/4处的插值误差。
数值计算期末试题及答案
数值计算期末试题及答案1. 题目：求方程 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0 在区间 [0, 2] 上的根。
解答：为了求解方程 f(x) = 0 在给定区间上的根，可以使用二分法或者牛顿法等数值方法。
这里我将采用二分法进行求解。
首先，观察方程在区间 [0, 2] 上的图像，可以发现 f(0) = -1，f(2) = 1，即方程在区间 [0, 2] 上存在根。
接下来，我们可以通过二分法逼近此根的位置。
二分法的基本思路是不断将给定区间一分为二，并判断根的位置在前半部分还是后半部分，然后继续在包含根的那一半区间内进行二分，直到达到所需的精确度为止。
具体的二分法迭代过程如下：1. 初始化区间左边界 a = 0，右边界 b = 2，以及精确度 eps。
2. 当 (b - a) > eps 时，执行以下步骤：a. 计算区间中点 c = (a + b) / 2。
b. 如果 f(c) 等于 0 或者在所需的精确度 eps 内，返回 c。
c. 否则，根据 f(c) 和 f(a) 的符号判断根的位置：- 如果 f(c) 和 f(a) 的符号相同，说明根在区间 [c, b] 中，更新 a = c。
- 否则，根在区间 [a, c] 中，更新 b = c。
3. 返回最终得到的近似根 c。
根据上述算法，我们可以得到方程 f(x) = 0 在区间 [0, 2] 上的近似根为c ≈ 1.521。
2. 题目：使用梯形法则计算定积分∫[0, π] sin(x) dx。
解答：定积分的数值计算可以通过数值积分方法来实现。
其中，梯形法则是一种常用的数值积分方法。
梯形法则的基本思路是将定积分区间划分成多个小梯形，然后计算各个小梯形的面积之和作为近似解。
具体的步骤如下：1. 初始化定积分区间的左边界 a = 0，右边界b = π，以及划分的小梯形数量 n。
2. 计算每个小梯形的宽度 h = (b - a) / n。
数值分析期末试卷
数值分析2006 — 2007学年第学期考试课程名称：计算方法A卷考试方式：开卷[] 闭卷[V ] 半开卷[]IV 类充要条件是a 满足二、（18分）已知函数表如下1•设 f(0) = 0,f (1) =16 , f( 2) =46，则 f [0,1]= ,f[0,1,2]二2 •设 AJ<2-3-1，则X，A :=A 11 j —3 •计算积分xdx ，取4位有效数字。
用梯形公式求得的近似值为"0.5（辛普森）公式求得的近似值为，用 Spsn4•设f （x ）二xe x -3，求方程f （x ） =0近似根的牛顿迭代公式是 ，它的收敛阶是5 •要使求积公式 11[f (x)dx 拓一(0) + A , f (x 1)具有2次代数精度，则 捲= _________________ ,0 46 •求解线性方程组x 1 ax 2 = 4 , 12_3 （其中a 为实数）的高斯一赛德尔迭代格式收敛的1011 12 13 In x2.30262.39792.48492.5649三、(20分)构造如下插值型求积公式，确定其中的待定系数，使其代数精度尽可能高, 并指出所得公式的代数精度。
2f (x)dx ： A o f (0) A f (1) A2f(2)oX2 4 6 8y2 11 2840五、（14分）为求方程X ’ -X 2 -1 =0在X o =1.5附近的一个根，将方程改写为下列等价 形式，并建立相应的迭代公式:试问上述两种迭代公式在 x 0 =1.5附近都收敛吗？为什么？说明理由。
（1）X =1 •丄，迭代公式X1Xk 1= 1-X k（2） X 2二1 ，迭代公式X —12（X k ）；X k 1六、（8分）给定线性方程组■12们253X2 =| 7_2-23一M3.丿（1）分别写出用Jacobi迭代法和Gauss-Siedel迭代法解此方程组的迭代公式的分量形式；（2）考查用Jacobi迭代法和Gauss-Siedel迭代法解此方程组的收敛性。
数值计算方法试题和答案解析
数值计算方法试题和答案解析(总22页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x x k k n k k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
数值计算方法期末考试题精选版
数值计算方法期末考试题Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x =B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。
5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 184.()()120f f <5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1. 解[]0,1x ∈，()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=--- []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2） 对于初始值()()0,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩ 雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X = 用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根，精确到.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分101dx x +⎰.计算题4.答案确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商 ()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。
河南科技大学数值分析(计算方法)期末试卷1及参考答案
7,2]= ,2]=8--参考答案一.填空 1. 舍入误差 2. 115,1,0 3.(1)(1)011()()()()()().(()())(1)!(1)!n n n n f f R x x x x x x x orR x w x n n ξξ+++=---=++4. 15.2211()()()2()()2k k k k k k k k k k k kx f x f x x x x orx x x f x f x x ++--=-=-''--6. 有7. 18. 1121212213k kk kx x x x ++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 二.计算1.解:构造差商表:--所以,22()2H x x x =+证明:设2()()()R x f x H x =-222(0)(0),(0)(0),(1)(1)f H f H f H ''=== (0)(0)(1)0R R R '∴=== 所以,可设2()()(1)R x k x x x =- 构造函数:22()()()()(1)t f t H t k x t t ϕ=---显然()(0)(0)(1)0x ϕϕϕϕ'====因为函数()t ϕ在所给的插值区间至少有4个根且函数()t ϕ'''存在, 所以函数()t ϕ'''在所给的插值区间至少有1个根,即存在一点ξ,满足: ()0ϕξ'''=又()()3!()t f t k x ϕ''''''=-()()()3!()0()3!f f k x k x ξϕξξ'''''''''∴=-=⇒=--所以22()()()(1)(1)3!f R x k x x x x x ξ'''=-=- 2.梯形公式为:(()())2b aT f a f b -=+1120.752+==复化梯形公式为:11(()2()())2n n i i hT f a f x f b -==++∑ 具体到本题中,可知0.2,0,1h a b ===461((0)2()(1))2i i hT f f x f ==++∑=0.1(1.5 5.456)0.6956⨯+= 3.改进的Euler 公式为:1111(,)((,)(,))2n n n n n n n n n n y y hf x y hy y f x y f x y ++++=+⎧⎪⎨=++⎪⎩ 具体到本题中,则为212221()[()()()]2n n n n n n n n n n n n n n n n y y h x x y h y y x x y x h x h y h x x y ++⎧=++-⎪⎨=++-++++--+-⎪⎩--经化简为:210.820.180.220.024n n n n y y x x +=+++所以:(0.2)0.024y ≈0 (0.4)0.0949y ≈5解(1):A 为对称正定矩阵时, 线性方程组Ax b =可用平方根法求解. 由A A T =可知3,5a b ==.(2)因为矩阵A 对称正定,所以存在下三角阵L 使得:A LL T =即:1111213121222232313233333350035900591700l l l l A l l l l l l l l ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可求得:112131223233l l l l l l ======即00L⎛⎫⎪⎪⎪=⎪所以,方程组Ax b=就转化为LL x bT=,令L x yT=,解下三角形方程组Ly b=得(y T=;解上三角形方程组L x yT=得(1,1,2)x T=-所以原方程组的解为: (1,1,2)x T=-5.解:Jacibo迭代公式为:(1)()()123(1)()()213(1)()()3121223222k k kk k kk k kx x xx x xx x x+++⎧=--⎪=++⎨⎪=+-⎩Gauss-Seidel迭代公式为:----(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3121223222k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=--⎪=++⎨⎪=+-⎩三.证明: 设()1,,(11)2b a f x b a b a -=-=+=-左=右,左=右 2222(),(),()(),2b a f x x b a b a b a -=-=⨯+=-11左=右22左=右332(),b a f x x -=左=3,右322322()()2b a b ba ab a a b -+--=⨯+=2,左≠右 所以,该公式具有一次代数精度.。
河南科技大学数值分析(计算方法)期末复习画题资料 (1)
1. 数值积分公式形如（15）1'0100()(0)(1)(0)f x dx A f A f B f =++⎰(1) 试确定求积公式中的参数010,,A A B ，使其代数精度尽可能高.并求出其代数精度。
(2) 已知该求积公式余项'''[](),(0,1),R f kf ξξ=∈试求出余项中的参数k 。
（1）解：()1f x =时，左1()1f x dx ==⎰，右01A A =+，左＝右得：011A A +=()f x x =时，左101()2f x dx ==⎰，右01B A =+，左＝右得：0112B A +=2()f x x =时，左101()3f x dx ==⎰，右1A =，左＝右得：113A =联立上述三个方程，解得：001211,,363A B A ===3()f x x =时，左101()4f x dx ==⎰，右113A ==，左≠右所以，该求积公式的代数精度是2 （2）解：过点0，1构造()f x 的Hermite 插值2()H x ，因为该求积公式代数精度为2，所以有：'212021200010(0)(0)(0)(0)(1()))(0H A H B H f A f B f H x dx A A ++++==⎰其求积余项为：1'1000()[(0)(1)(0)]()f x dx f A f f B f R A -++=⎰112201()()!))((13f H x dx x x dx f x dx η'''--==⎰⎰⎰ 120()(1)3!f x x dx ζ'''=-⎰ ()72f ζ'''=- 所以，172k =-2. 设初值问题 101)0(23<<⎩⎨⎧=+='x y yx y .写出用改进的Euler 法解上述初值问题数值解的公式，若0.2h =，求解21,y y ，保留两位小数。
《数值计算方法》试题集及答案资料(可打印修改) (2)
19、为求方程 x3―x2―1=0 在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建
立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。
x2
1 ,迭代公式 : x 1
xk 1
(A)
1 xk 1
(B)
x
1
1 x2
,迭代公式 :
xk 1
1
1
x
2 k
(C) x3 1 x 2 , 迭代公式 : xk1 (1 xk2 )1/ 3
f (xn ) (xn )
6、对 f (x) x3 x 1,差商 f [0,1,2,3] ( 1 ), f [0,1,2,3,4] ( 0 )；
7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；
8、用二分法求非线性方程 f
(x)=0 在区间(a,b)内的根时，二分 n 次后的误差限为(
()
四、计算题：
1、用高斯-塞德尔方法解方程组 (要求按五位有效数字计算)。
4x1x142x2x22
x3 x3
11 18
2x1 x2 5x3 22 ，取 x (0) (0,0,0)T ，迭代四次
答案：迭代格式
6
x1(k
1)
1 4
(11
2
x2(k
)
x(k) 3
)
x
(k 2
1)
1 4
(18
()
x2 2、用 1- 2 近似表示 cosx 产生舍入误差。
()
( x x0 )( x x2 ) 3、 (x1 x0 )( x1 x2 ) 表示在节点 x1 的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( )
4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案**注意：以下是一份数值分析试卷及答案，试卷和答案分别按照题目和解答的格式排版，以确保整洁美观，语句通顺。
**---数值分析试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 数值分析是研究如何用计算机处理数值计算问题的一门学科。
以下哪个选项不是数值分析的应用领域？A. 金融风险评估B. 天气预测C. 数据挖掘D. 图像处理2. 在数值计算中，稳定性是指算法对于输入数据的微小扰动具有较好的性质。
以下哪个算法是稳定的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 不动点迭代法D. 雅可比迭代法二、填空题（每题3分，共30分）1. 下面关于插值多项式的说法中，不正确的是：一般情况下，插值多项式的次数等于插值点的个数减1。
2. 线性方程组中，如果系数矩阵A是奇异的，则该方程组可能无解或有无穷多解。
......三、解答题（共50分）1. 请给出用割线法求解非线性方程 f(x) = 0 的迭代格式，并选择合适的初始值进行计算。
解：割线法的迭代公式为：x_(k+1) = x_k - f(x_k) * (x_k - x_(k-1)) / (f(x_k) - f(x_(k-1)))选择初始值 x0 = 1，x1 = 2 进行计算：迭代1次得到：x2 = x1 - f(x1) * (x1 - x0) / (f(x1) - f(x0))迭代2次得到：x3 = x2 - f(x2) * (x2 - x1) / (f(x2) - f(x1))继续迭代直至满足精度要求。
2. 对于一个给定的线性方程组，高斯消元法可以用来求解其解空间中的向量。
请简要描述高斯消元法的基本思想并给出求解步骤。
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为上三角形式，然后再通过回代求解方程组的未知数。
求解步骤如下：步骤1：将方程组表示为增广矩阵形式，即将系数矩阵和常数向量连接在一起。
步骤2：从第一行开始，选取第一个非零元素作为主元，然后通过行变换将其它行的该列元素消去。
数值分析计算方法期末考试(一) +答案
4. 计算积分 1 x dx , 取 4 位有效数字, 用梯形公式计算求得的值为_______,用辛普森 0.5 公式计算求得的值为_____________.
5. 设 f (x) 可微, 求方程 x f (x) 根的牛顿迭代格式是______________________.
=
2
x
3 k
+1 ,
(k
3xk2 − 3
= 0,
1,
2,) ,
计算得
x0 = 2, x1 = 1.8889, x2 = 1.8795, 由 | x2 − x* |≈ 1.148 ×10−4 < 5 ×10−5 ,
所以 x ≈ 1.8795
(2) 用弦截法:
xk +1
= xk
−
f
(
xk
f )
(xk −f
1 x2 式,并用它分别计算 x 1 处的值.
3 2. 求三个不同的节点 x0 , x1, x2 和常数 c ,使求积公式
1
1 f (x) dx c[ f (x0 ) f (x1) f (x2 ) ]
具有尽可能高的代数精确度.
3. 用最小二乘法求下列数据的线性拟合函数 y ax b
xi -2
Lagrange 插值多项式为
f (−1) = 1 , f (0) = 1, f (1) = 1 . 由 此 确 定 的 二 次
2
2
L2 (x)
=
x(x −1) (−1)(−1 −1)
f
(−1) +
(x + 1)(x −1) (0 + 1)(0 −1)
数值分析报告期末考试复习题及其问题详解
数值分析期末考试复习题及其答案1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。
（4分）解：由已知可知,n=65.01021,0,6,10325413.0016*1=⨯==-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ （6分） 解：{},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 ()A A A T max 2λ= 1分⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T 420 ⎥⎥⎥⎦⎤-420⎢⎢⎢⎣⎡001 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440=⎢⎢⎢⎣⎡001 080 ⎥⎥⎥⎦⎤3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式② 当a 为何值时，)(1k k x x ϕ=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2解：①Newton 迭代格式为：xa x x x ax a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(22321+=+=---=-=+ϕ 3分②时迭代收敛即当222,11210)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：⎢⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收敛（8分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦⎤--⎢⎣⎡--=-=ααααα21231A I B 2分其特征方程为 0)21(2)31(=----=-αλαααλλB I 2分即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(<B ρ，当且仅当5.00<<α 2分5. 设方程Ax=b ，其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收敛性，并建立Gauss-Seidel 迭代格式 （9分）解：U D L A ++=⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-210)(1U L D B J 202-- ⎥⎥⎥⎦⎤-012 3分0,03213=====-λλλλλJ B I 2分即10)(<=J B ρ，由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式：⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x （k=0,1,2,3……） 3分6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i=1,2,3）其中⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421，23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= （12分）解：①11b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211=LU 3分 由Ly=b1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分 由Ux1=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分 ②22b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 由Ly=b2=x1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 1分 由Ux2=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分 ③33b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0由Ly=b3=x2，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分 由Ux3=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分7. 已知函数y=f(x)有关数据如下：要求一次数不超过3的H 插值多项式，使'11'33)(,)(y x H y x H i i == （6分）解：作重点的差分表，如下：3分21021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)=232x x + 3分8. 有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式 （7分）解：由已知条件可作差分表，3分i ih x x i =+=0 （i=0,1,2,3）为等距插值节点，则Newton 向前插值公式为： 033210022100003!3))()((!2))((!1)()(f h x x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+==4+5x+x(x-1)=442++x x 4分9. 求f(x)=x 在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ，并求出平方误差 （8分）解：令22102)(x a x a a x P ++= 2分取m=1, n=x, k=2x ,计算得： (m,m)=dx ⎰-111=0 (m,n)=dx x ⎰-11=1 (m,k)= dx x ⎰-112=0(n,k)= dx x ⎰-113=0.5 (k,k)= dx x ⎰-114=0 (m,y)= dx x ⎰-11=1(n,y)=dx x⎰-112=0 (k,y)= dx x ⎰-113=0.5得方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==+=5.05.005.011201a a a a 3分解之得c a a c a 2,1,210-=== （c 为任意实数，且不为零）即二次最佳平方逼近多项式222)(cx x c x P -+= 1分 平方误差：32),(22222222=-=-=∑=i i i y a fp f ϕδ 2分10. 已知如下数据：用复合梯形公式，复合Simpson 公式计算⎰+=10214dx x π的近似值（保留小数点后三位） （8分）解：用复合梯形公式：)}1()]87()43()85()21()83()41()81([2)0({1618f f f f f f f f f T ++++++++==3.139 4分用复合Simpson 公式： )}1()]43()21()41([2)]87()85()83()81([4)0({2414f f f f f f f f f S ++++++++==3.142 4分11. 计算积分⎰=20sin πxdx I ，若用复合Simpson 公式要使误差不超过51021-⨯，问区间]2,0[π要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间]2,0[π应分为多少等分? （10分）解： ①由Simpson 公式余项及x x f x x f sin )(,sin )()4(==得544)4(2041021)1()4(360)(max )4(1802)(-≤≤⨯≤=≤n x f n f R x n πππππ 2分即08.5,6654≥≥n n ，取n=6 2分即区间]2,0[π分为12等分可使误差不超过51021-⨯ 1分②对梯形公式同样1)(''max 20≤≤≤x f x π，由余项公式得51021)2(122)(-⨯≤≤n f R n ππ2分即255,2.254=≥n n 取 2分即区间]2,0[π分为510等分可使误差不超过51021-⨯ 1分12. 用改进Euler 格式求解初值问题：⎩⎨⎧==++1)1(0sin 2'y x y y y 要求取步长h 为0.1，计算y（1.1）的近似值 （保留小数点后三位）[提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89] （6分）解：改进Euler 格式为：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+-++-+)],(),([2),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f hy y y x hf y y 2分 于是有⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-=+-++-+-+)sin sin (05.0)sin (1.012112121n n n n n n n n n n n n n x y y x y y y y x y y y y （n=0,1,2……） 2分 由y(1)=0y =1，计算得⎪⎩⎪⎨⎧=≈=+-=-838.0)1.1(816.0)1sin 11(1.01121y y y 2分 即y(1.1)的近似值为0.83813. ][],[],,[lim ],[),,(],,[)(0'000000'x f x x f x x f x x f b a x b a C x f x x ==∈∈→证明：定义：设（4分）证明：]['],[],[],[lim ][][lim]['00000000000x f x x f x x f x x f x x x f x f x f x x x x ===--=→→故可证出 4分14. 证明：设nn RA ⨯∈，⋅为任意矩阵范数，则A A ≤)(ρ （6分）证明：设λ为A 的按模最大特征值，x 为相对应的特征向量，则有Ax=λx 1分 且λρ=)(A ，若λ是实数，则x 也是实数，得Ax x =λ 1分而x x ⋅=λλ x A x ,⋅≤⋅⋅≤λ故x A Ax 2分由于A x 0x ≤≠λ得到，两边除以 1分故A A ≤)(ρ 1分 当λ是复数时，一般来说x 也是复数，上述结论依旧成立。
(完整)数值分析学期期末考试试题与答案(A),推荐文档
期末考试试卷( A 卷)2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业100011. 用计算机求11000时，应按照 n 从小到大的顺序相加。
n1n2. 为了减少误差 ,应将表达式 2001 1999 改写为 2进行计算。
( )2001 19993. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
( )4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时， 公式阶数越高，数值解越精确。
( )5. 用迭代法解线性方程组时， 迭代能否收敛与初始向量的选择、 系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
( ) 二、填空每空 2 分，共 36 分)1. 已知数 a 的有效数为 0.01 ，则它的绝对误差限为 _______ ，相对误差限为 _1 0 1 02. 设 A0 2 1 ,x 5 ,则 A 1____________________________ _， x 2 ______ ，Ax1 3 0 13. 已知 f (x) 2x 54x 35x,则 f[ 1,1,0] , f[ 3, 2, 1,1,2,3] .14. 为使求积公式 f (x)dx A 1f ( 3) A 2f (0) A 3f ( 3)的代数精度尽量高，应使13 3A 1 ， A 2 ， A 3，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵 A 的谱半径 ( A)与它的任意一种范数 A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组 AX B 时，使迭代公式 X (k 1)MX (k)N (k 0,1,2,K )产 生的向量序列X (k)收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即A LU. 若采用高斯消元法解AX B，其中A 4 2，则21L ___________ ，U ____________ ；若使用克劳特消元法解AX B ，则u11 _______ ；若使用平方根方法解AX B，则l11与u11的大小关系为（选填：＞，＜，=，不一定）。
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相对误差限.
解：设长方形水池的长为 L，宽为 W,深为 H，则该水池的面积为 V=LWH
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
数值分析、计算方法试题库及答案
5、已知单调连续函数y=f(x)的如下数据：
xi
-0.11
0.00
1.50
1.80
f(xi)
-1.23
-0.10
1.17
1.58
若用插值法计算，x约为多少时f(x)=1。(计算时小数点后保留5位)。
《 计算方法》课程试卷A参考答案及评分标准 第2页 共3页
七（8分）、证： 的元素为 ，
因此 为对称矩阵。
记 ，则
对任意n-1维非零向量 ，作 ，记 ，则 ，
而 ，从而 为正定矩阵。
《 计算方法》课程试卷A参考答案及评分标准 第3页 共3页
课程编号：12000044北京理工大学2010-2011学年第一学期
2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。
xi
0
1
2
f(xi)
1
-1
3
f’(xi)
1
5
3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。
四、填空题（2 0×2′）
15.设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有2位有效数字。
16.设 ，‖A‖∞＝___5____，‖X‖∞＝__3_____，
‖AX‖∞≤_15___。
17.非线性方程f(x)=0的迭代函数x=(x)在有解区间满足|’(x)| <1，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
数值分析期末考试复习题及其答案
《计篥方法P 实验报告1. 已知X ； =325413, X ； =0.325413都有6位有效数字，求绝对误差限。
(4 分)解：由已知可知，n 二6X ： =0.325413x1()6* =6北一n = 0,绝对误差限^ =丄 xl0° =0.522X ； =0・325413xl0°,k=(U—〃 = —6,绝对误差限& =-xl0"62・ -2分心（"刃=皿{1,8,32} = 32 1分|H|2 =732=4^23. 设/(x) = (x 2-«)3(6 分)① 写岀f (x)二0解的Newton 迭代格式②当a 为何值时，仏|=卩(忑)(k 二0,1……)产生的序列伉｝收敛于、伍【值分析期末考试复习题及其答案1 02.已知4= 02 0 -2解：”州=max{l,4,8} = &分4求IKMJK （6分） 4||^||x =max{l,6,6} = 6,分皿讥如)分_1 0 0 ■ '1A TA = 0 2-20 4 40 0■ 24 二 08 0 -2 4.0 32_w ：①Newton 迭代格式为：丿（忑）0（戈）=竺+丄6 6%(屛-°)' _ 5x k a , ・・ , ,6忑(X ；_G )26 6x©⑴三一曲曲以血）卜10—6/~vF<1,即-2<“ <22时迭代收敛 4・给定线性方程组Ax 二b,其中：A =3 -1用迭代公式牙=才「+a(b- Ax (k}) (k=0,1 ........... )求解 Ax 二b, 问取什么实数Q ，可使迭代收敛 （8分）-a 1 一2a.其特征方程为|刀-=八° 一3a}2（X=02分aA-(l -2<z)即，解得=l-a,22 =l-4a2分 要使其满足题意，须使p （B ） < 1,当且仅当0 vav0・52分'12 -2"丁111,b = 6 2 2 1.7.迭代法的收敛性，并建立Gauss-Seidel 迭代格式 （9分）解：A=L+D+UB, =-D~\L + U)= -1-2 -2 0 -22 -1 0|/1/ — By | = A 3= 0,/lj = = Aj = 0即p （B y ） = 0<l,由此可知Jacobi 迭代收敛1一 3a-la所给迭代公式的迭代矩阵为B = I — aA =2分试讨论解此方程的Jacobi5. 设方程Ax 二b,其中A =Gauss-Seidel 迭代格式：X 严=5-2垮）+2宅） ＜垮+—6-尤严—才 兀严）=7 — 2#申一 2卅Z用Doolittle 分解汁算下列3个线性代数方程组：Ax f =b, (i=l,2,3)其中"2 1 r4' A = 2 3 2 ,s = 7 2 3 4 96. 解: 上2 =兀］上3 =X2 （12分） ① Ax l =b 、x\ =A=由 Ly=bl,由 lxl=y, ②虹=b 2=LU 即y= 4791 10 0 11 12 得xl 二12 0'2 1 rT 2 32 x2= 12 3 4.11 0 o'TT1 1 oy= 1得y= 01 1 11由 Ly=b2=xl,即 (k=0,1,2, 3……)"2 1r丁「OS由Ux2=y,即 02 1 x2= 0得x2二 00 0 2③山3 =仏"2 1r'0.5'2 3 2 x3= 023 4.)0 0"'0.5 '由 Ly=b3=x2,即 1 10 y= 0得y 二 -0.51 110 .0 .'2 1r0.5 ''0.375 -由Ux3二y,即2 1 x3= -0.5得x3二 -0.250 2要求一次数不超过3的H 插值多项式，使 H 3(x /) = y r ,/73(x 1) = y I解：作重点的差分表，如下:H 3(X)= f[x {)] + /[x^x^ ](x-x Q ) + f[x 0,x^x { ](x-x ())(x-x I ) + /[xD ,x p x p x 2](x-x 0)(x-x I )2 二T+(x+l)-x(x+l)+2x. x(x+l)二2x 3 + x 27•已知 函 数 8.有如下函数表:关 数 据(6分)试讣算此列表函数的差分表，并利用Newton前插公式给出它的插值多项式(7分) 解：由已知条件可作差分表，x f = x0 + ih = i (i=0, 1, 2, 3 )为等距插值节点,则Newton向前插值公式为:N3 = f0 + 气評农 + +(—。
数值分析计算方法试题集及答案
数值分析复习试题第一章绪论一.填空题1.为精确值的近似值；为一元函数的近似值；*xx ()**x f y =()x f y =1为二元函数的近似值，请写出下面的公式：：()**,*y x f y =()y x f y ,2=**e x x =-***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂2、计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫舍入误差。
3、分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和7（三位有效数字）。
1.73≈-211.73 10 2-≤⨯4、设均具有3位有效数字，则的相对误差限为 0.0055 。
121.216, 3.654x x ==12x x 5、设均具有3位有效数字，则的误差限为 0.01 。
121.216, 3.654x x ==12x x +6、已知近似值是由真值经四舍五入得到,则相对误差限为0.0000204 .2.4560A x =T x 7、递推公式如果取作计算,则计算到时,误差为,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,0 1.41y =≈10y ;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 .8110 2⨯8、精确值，则近似值和分别有 3 位和14159265.3*=π141.3*1=π1415.3*2=π4 位有效数字。
9、若,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5 。
*2.71828x e x =≈=10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差0.02n11、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；13、为了使计算 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式()()2334610111y x x x =++----改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。
河南科技学院数学分析试题
河南科技学院数学分析试题
一、单项选择题（）
（１）设为单调数列，若存在一收敛子列，这时有．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．；Ｂ．不一定收敛；Ｃ．不一定有界；
Ｄ．当且仅当预先假设了为有界数列时，才有Ａ成立．
（２）设在R上为一连续函数，则有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．当为开区间时必为开区间；Ｂ．当为闭区间时必为闭区间；
Ｃ．当为开区间时必为开区间；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（３）设在某去心邻域内可导．这时有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．若存在，则；Ｂ．若在连续，则A成立；
Ｃ．若存在，则；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（４）设在上可积，则有．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．在上必定连续；Ｂ．在上至多只有有限个间断点；
Ｃ．的间断点不能处处稠密；Ｄ．在上的连续点必定处处稠密．
（５）设为一正项级数．这时有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]
Ａ．若,则收敛；Ｂ．若收敛，则；
C．若收敛，则；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．二、计算题（）
（１）试求下列极限：
①；②．
（２）设
．
试求．
（３）试求由曲线，直线，以及二坐标轴所围曲
边梯形的面积．
（４）用条件极值方法（Lagrange乘数法）导出从固定点到直线
的距离计算公式．
三、证明题（）
（１）设在上都连续．试证：若
，
则必存在，满足．
（２）证明在其定义域上为一严格凸函数，并导出不等式：
,
其中均为正数．( 提示：利用詹森不等式．)
（３）证明：
．。
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7,2]= 8,
2]= 1
[,]()n a b x C +∈,的n 次插值多项式，则其插值
参考答案
一.填空 1. 舍入误差 2. 115,1,0 3.
(1)(1)011()
()
()()()
().(()())(1)!
(1)!
n n n n f f R x x x x x x x orR x w x n n ξξ+++=---=++
4. 1
5.
22
11()()()2()()2k k k k k k k k k k k k
x f x f x x x x orx x x f x f x x ++--=-=-''--
6. 有
7. 1
8. 112121
2213k k
k k
x x x x ++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 二.计算
1.解:构造差商表:
所以,
22()2H x x x =+
证明:设2()()()R x f x H x =-
22
2(0)(0),(0)(0),(1)(1)f H f H f H ''=== (0)(0)(1)0R R R '∴=== 所以,可设2()()(1)R x k x x x =- 构造函数:22()()()()(1)t f t H t k x t t ϕ=
---
显然()(0)(0)(1)0x ϕϕϕϕ'====
因为函数()t ϕ在所给的插值区间至少有4个根且函数()t ϕ'''存在, 所以函数()t ϕ'''在所给的插值区间至少有1个根,即存在一点ξ,满足: ()0ϕξ'''=
又
()()3!()t f t k x ϕ''''''=-
()
()()3!()0()3!
f f k x k x ξϕξξ'''''''''∴=-=⇒=
所以22
()()()(1)(1)3!
f R x k x x x x x ξ'''=-=
-
2.梯形公式为:
(()())2b a
T f a f b -=
+1
120.752
+
==
复化梯形公式为:
1
1
(()2()())2n n i i h
T f a f x f b -==++∑ 具体到本题中,可知0.2,0,1h a b ===
4
61
((0)2()(1))2i i h
T f f x f ==++∑=0.1(1.5 5.456)0.6956⨯+= 3.改进的Euler 公式为:
1111(,)
((,)(,))2
n n n n n n n n n n y y hf x y h
y y f x y f x y ++++=+⎧⎪
⎨=++⎪⎩ 具体到本题中,则为
21222
1()[()()()]2
n n n n n n n n n n n n n n n n y y h x x y h y y x x y x h x h y h x x y ++⎧=++-⎪
⎨=++-++++--+-⎪⎩ 经化简为:
210.820.180.220.024n n n n y y x x +=+++
所以:
(0.2)0.024y ≈0 (0.4)0.0949y ≈
5解(1):A 为对称正定矩阵时, 线性方程组Ax b =可用平方根法求解. 由A A T =可知3,5a b ==.
(2)因为矩阵A 对称正定,所以存在下三角阵L 使得:A LL T =即:
111121312122
22323132
33333350035900591700l l l l A l l l l l l l l ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
可求得
:
112131223233l l l l l l ======
即000L ⎛
⎫
⎪
⎪⎪=⎪
所以,方程组Ax b =就转化为LL x b T =,令L x y T =,解下三角形方程组Ly b =得
(y T =;
解上三角形方程组L x y T =得
(1,1,2)x T =-
所以原方程组的解为:
(1,1,2)x T =-
5.解:Jacibo 迭代公式为:
(1)()()123(1)
()()2
13(1)
()()
3
121223222k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=--⎪=++⎨⎪=+-⎩
Gauss-Seidel 迭代公式为:
(1)()()123(1)
(1)()2
13(1)(1)(1)3121223222k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=--⎪=++⎨⎪=+-⎩
三.证明: 设()1,,(11)2
b a f x b a b a -=-=+=-左=右,左=右 2222(),(),()(),2b a f x x b a b a b a -=-=⨯+=-11
左=右22左=右
33
2
(),b a f x x -=左=
3
,右322322
()()2b a b ba ab a a b -+--=⨯+=2
,左≠右 所以,该公式具有一次代数精度.。