最优化方法及其应用课后答案

1 2

( ( ⎨

最优化方法部分课后习题解答

1.一直优化问题的数学模型为：

习题一

min f (x ) = (x − 3)2 + (x − 4)2

⎧

g (x ) = x − x − 5 ≥ 0 ⎪ 1

1 2 2 ⎪

试用图解法求出：

s .t . ⎨g 2 (x ) = −x 1 − x 2 + 5 ≥ 0 ⎪g (x ) = x ≥ 0 ⎪ 3 1 ⎪⎩g 4 (x ) = x 2 ≥ 0

（1） 无约束最优点，并求出最优值。 （2） 约束最优点，并求出其最优值。

（3） 如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 −

x 2 = 0 ，其约束最优解是什么？ *

解 ：（1）在无约束条件下， f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上，不难看出，当 x =（3，4） 时， f (x ) 取最小值，即，最优点为 x * =（3，4）：且最优值为： f (x * ) =0

（2）在约束条件下， f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是

在约束集合即可行域中找一点 (x 1 ,

x 2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可

以看出，当 x *

=

15 , 5 ) 时， f (x ) 所在的圆的半径最小。

4 4

⎧

g (x ) = x −

x − 5 = 0

⎧ 15 ⎪x 1 = 其中：点为 g 1 (x

) 和 g 2 (x ) 的交点，令 ⎪ 1 1 2 ⎨

2 求解得到： ⎨ 4

5

即最优点为 x *

= ⎪⎩g 2 (x ) = −x 1 −

x 2 + 5 = 0

15 , 5 ) ：最优值为： f

(x * ) = 65 ⎪x =

⎪⎩ 2 4

4 4

8

（3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。 2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优

化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题. 解：列出这个优化问题的数学模型为：

max f (x ) = x 1x 2 x 3

⎧x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S ⎪ s .t . ⎪x 1 > 0

⎪x 2 > 0 ⎪⎩x 3 > 0

该优化问题属于三维的优化问题。

⎝⎠

i j n×n 1 2 n 1 2 n

n

⎝⎠

⎪

1 x=y=z=v=

s

3

=

=1⎛=s⎞2

18 2

⎪

3

⎪

习题二

3.计算一般二次函数f(x) =

1

X T A X +b T X +c的梯度。

2

解：设：A=(a ) ,b=(b,b ,...b )T, X = (x ,x,...x )T 则：

f(x) =

1n n n

a xx +bx +c，将它对变量x(i=1, 2,...n) 球偏导数得：

∑∑i j i j∑i i i

2 i=1j=1i=1

⎡1n 1 n⎤⎡n⎤⎡n ⎤⎡∂f(x) ⎤⎪∑a1 j x j +∑a i1x i +b1 ⎪⎪∑a1j x j ⎪⎪∑a i1x i⎪

⎪⎪⎪2 j=1 2 i=1⎪⎪j=1⎪⎪i=1⎪

⎪∂x1 ⎪⎪1n 1 n⎪⎪n⎪⎪n⎪⎡b ⎤

⎪∂f (x) ⎪⎪∑a2 j x j +∑a i2x i+b2⎪∑a j x j ⎪∑a i2x i⎪⎪⎪∇f(x) = ⎪⎪= ⎪2

j=1

2 i=1

1 ⎪2

⎪=

⎪

+

1

+ b

⎪j=1⎪⎪i=1⎪⎪ 2 ⎪

⎪∂x2 ⎪⎪⋮⎪ 2 ⎪⋮⎪ 2 ⎪⋮⎪⎪b⎪

⎪∂f(x) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎣ 3 ⎦

⎪⎪⎪1n 1 n⎪⎪n⎪⎪⎪

⎣∂x3 ⎦⎪∑a nj x j +∑a i n x i +b n ⎪⎪∑a nj x j⎪⎪∑a i n x i⎪

⎣2 j=1

1 T

2 i=1⎦⎣j=1⎦⎣i=1⎦

= (A X + A X) +b

2

5.求下列函数的梯度和Hesse 矩阵

（1）f(x) = x2 +2x 2 +3x 2 −4xx

⎛2 0 -4 ⎞

解：∇2f (x) =

⎪

0 4 0

⎪

1 2 3 1 3

⎛x2e x1x2

⎪⎪

⎪−4 0 6 ⎪

6x +e x1x2 +xx e x1x2 ⎞（2）f(x) =3xx 2 +e x1x2解：∇2f (x) =

⎪

2 2 1 2

1 2 1 2 1 2 ⎪

1 2 6x +e x x +xx e x x6x+x2e x x

⎝ 2 1 2 1 1 ⎠

6.判断下列函数是凸函数，凹函数，还是既不凸也不凹函数：

1 2 1 2 1 2

1 2 1 1 2 2 1 （1） f (x , x ) = −x 2

+

2x 2 + 3xx 解： ∇2 f (x ) 不是半正定，即 f (x ) 非凸，然后判断- f (x ) ，经验证： ∇2 (− f (x )) 不是半 正定，由此可知： f (x ) 非凸非凹。

（2） f (x , x ) = 2x 2 − 4xx + 3x 2 − 5x −

6 解： ∇2 f (x ) 半正定，故 f (x ) 为凸函数。