《运筹学》第三章 运输问题讲解学习
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管理运筹学讲义 第3章 运输问题(6学时)
【定理 3】m+n － 1 个变量组构成基变量的充要条件 是它不包含任何闭回路。
定理 3 告诉了一个求基变量的简单方法，同时 也可以判断一组变量是否可以作为某个运输问题的 基变量。这种方法是直接在运价表中进行的，不需 要在系数矩阵 A 中去寻找，从而给运输问题求初始 基可行解带来极大的方便。
例 3-3 ： m=3,n=4 ，在运价表 Cij 的格子的右上 方填上相应的xij，如表3-5所示。
表3－4 B1 B2 x12 B3
A1
A2 A3 A4
x11
x11 , x41 , x43 , x33 , x32 , x12
例如变量组 A x21 , x22 , x33 , x31 , x11 , x12 ;
x32
x33 x43
x41
A不能组成一条闭回路，但A中包含有闭回路
B的变量数是奇数，显然不是闭回路，也不含有闭回路；
Ai
Bj
表 3－ 5
B1 x11 C11 x21
B2 x12 C12 x22 C22 x31 x32 C32 b2
…
B1 x11 x21 c11 c21
B2 x12 x22
…
Bn x1n x2n c1n c2n
产量 a1 a2
…
c12
c22
Am 销量
xm1 b1
cm1
xm2 b2
cm2 …
xmn bn
cmn
am
设xij(i=1,2,…，m；j=1,2,…,n)为第i个产地到 第j个销地的运量，产销平衡运输问题的数学模型为：
（2）所有结构约束条件都是等式约束 （3）各产地产量之和等于各销地销量之和
（4)运输问题约束条件的系数矩阵特点
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
广工管理运筹学第三章运输问题
闭合回路法的优点是能够找到全局最 优解，适用于大型复杂运输问题。但 该方法的计算复杂度较高，需要较长 的计算时间。
商位法
01
商位法是一种基于商位划分的优化算法，用于解决运输问题。该方法通过将供 应点和需求点划分为不同的商位，并最小化总运输成本。
02
商位法的计算步骤包括：根据地理位置和货物需求量，将供应点和需求点划分 为不同的商位；根据商位的地理位置和货物需求量，计算总运输成本；通过比 较不同商位的总运输成本，确定最优的配送路线。
80%
线性规划法
通过建立线性规划模型，利用数 学软件求解最优解，得到最小化 总成本的运输方案。
100%
启发式算法
采用启发式规则逐步逼近最优解 ，常用的算法包括节约算法、扫 描算法等。
80%
遗传算法
基于生物进化原理的优化算法， 通过模拟自然选择和遗传机制来 寻找最优解。
02
运输问题的数学模型
变量与参数
约束条件
供需平衡
每个供应点的供应量等于对应 需求点的需求量，这是运输问 题的基本约束条件。
非负约束
运输量不能为负数，即每个供 应点对每个需求点的运输量都 应大于等于零。
其他约束条件
根据实际情况，可能还有其他 约束条件，如运输能力的限制 、运输路线的限制等。
03
运输问题的求解算法
表上作业法
总结词
直到达到最优解。这两种方法都可以通过构建线性规划模型来求解最优解。
04
运输问题的优化策略
节约法
节约法是一种基于节约里程的优化算法，用于解决 运输问题。该方法通过比较不同配送路线的距离和 货物需求量，以最小化总运输距离为目标，确定最 优的配送路线。
节约法的计算步骤包括：计算各供应点到需求点的 距离，找出最短路径；根据最短路径和货物需求量 ，计算节约里程；按照节约里程排序，确定最优配 送路线。
运筹学课件 第三章 运输问题----数学模型及其解法
例3.2.1
销地 1 运费 产地 1 2 3 销量 bj 产量 2 3 4
ai
20 11 3 6 5 5 9 10 2 10 18 7 4 1 15 3 3 12 12
4
例3.2.1 西北角法
销地 运量
产量 1 2 3 4
ai
产地 1 2 3 销量 b j
mn 7
3
3Байду номын сангаас
x2 5 12 x1 x9 10 22 23 x3 x 33 15 33 12 3 12 12
©管理与人文学院
1999，4
忻展红
第三章 运输问题 — 数学模型及其解法
顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。 假舆马者，非利足也，而致千里；假舟 楫者，非能水也，而绝江河。君子生非 异也，善假于物也。 荀子《劝学》
3.1 运输问题的一般数学模型
• 有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资 • 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各销 地的销量，ai=bj 称为产销平衡 • 设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，wij表示对应的单 位运费，则我们有运输问题的数学模型如下：
2 1 2
0/6
2 0 1
ui
分配表{x ij }
5 3 3 4+ 3 x 32 7 8 3 12 12
分配表{x ij }
5 10 15
OBJ=101
运费表{ z ij / w ij }
3 / 20 6 / 11
5
4 / 18
8 / 9 5 / 10
4
7 7
2 1 1
1 1 0
5 3 3 3 3 7 7 5 12 12
销地 1 运费 产地 1 2 3 销量 bj 产量 2 3 4
ai
20 11 3 6 5 5 9 10 2 10 18 7 4 1 15 3 3 12 12
4
例3.2.1 西北角法
销地 运量
产量 1 2 3 4
ai
产地 1 2 3 销量 b j
mn 7
3
3Байду номын сангаас
x2 5 12 x1 x9 10 22 23 x3 x 33 15 33 12 3 12 12
©管理与人文学院
1999，4
忻展红
第三章 运输问题 — 数学模型及其解法
顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。 假舆马者，非利足也，而致千里；假舟 楫者，非能水也，而绝江河。君子生非 异也，善假于物也。 荀子《劝学》
3.1 运输问题的一般数学模型
• 有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资 • 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各销 地的销量，ai=bj 称为产销平衡 • 设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，wij表示对应的单 位运费，则我们有运输问题的数学模型如下：
2 1 2
0/6
2 0 1
ui
分配表{x ij }
5 3 3 4+ 3 x 32 7 8 3 12 12
分配表{x ij }
5 10 15
OBJ=101
运费表{ z ij / w ij }
3 / 20 6 / 11
5
4 / 18
8 / 9 5 / 10
4
7 7
2 1 1
1 1 0
5 3 3 3 3 7 7 5 12 12
《运筹学》第三章：运输问题培训课件
确定初始可行解方法一：西北角 法
门市部 工厂
1
2
3
4 供应总计
9
12
9
6
1
50
7
3
7
7
2
60
6
5
9
11
3
50
需求总计 40 40 60 20
确定初始可行解方法一：西北角 法
门市部 工厂
1
2
3
4 供应总计
9
12
9
6
1
50
40 10
7
3
7
7
2
30 30
60
6
5
9
11
3
30 20
50
需求总计 40 40 60 20
2
34
9 12 9 6
1
40
10
U1
7
3
7
7
2
★
40
20
U2
3
6
5
9
11
40
10
U3
V1 V2 V3 V4
21 (7 6 9) (9 11 7) 5
继续求检验数
门市部
工厂
1
2
3
4
供应总 计
9 12 9 6
1
40 （12） （5）
10
50
7
3
7
7
2
(-5) 40
20 （-2） 60
3
6
计算检验数方法一：闭合回 路法
门市部 工厂
1
9 1
40
7 2
6 3
需求总计 40
2
3
运筹学--第三章 运输问题
示）；这n个销地的需要量（通称为销量）分别为b1，b2，…， bn（通写为bj）；
从第i个产地到第j个销地的单位物资运价为cij。
怎样调运这些物品才能使总运费最小？ 上面这些数据通常用产销平衡表5-3和单位运价表5-4来表示。
表3-3 产销平衡表
销地
1
2
…
n
产量 a1 a2 … am
产地
1 2 … m 销量 b1 b2 … bn
运筹学
第三章
运输问题
引入
我们已经讨论了线性规划的一般形式以及求解的方 法。 但是在实际工作中，常常碰到很多线性规划问题，
由于它们的约束条件变量的系数矩阵具有特殊的结
构，有可能找到比单纯形法更为简便的方法求解， 从而可大量节约计算的时间和费用。
运输问题
一、运输问题的实例和数学模型
1、运输问题的实例
x11 x21 x31 5 x x x 7 12 22 32 x13 x23 x33 8 x14 x24 x34 3
xij 0, i 1,2,3；j 1,2,3,4
请大家试着写出约束条件的系数矩阵
运输问题
一、运输问题的实例和数学模型
来看看它的系数矩阵、系数矩阵的秩等有什么特点。
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
n xij ai j 1 m s.t. xij b j i 1 xij 0
(i 1,...,m) ( j 1,...,n)
这就是运输问题的数学模 型，包含： m×n个变量 m+n个约束条件 约束条件的系数矩阵A有 m+n行m×n列:
m行
n行
从第i个产地到第j个销地的单位物资运价为cij。
怎样调运这些物品才能使总运费最小？ 上面这些数据通常用产销平衡表5-3和单位运价表5-4来表示。
表3-3 产销平衡表
销地
1
2
…
n
产量 a1 a2 … am
产地
1 2 … m 销量 b1 b2 … bn
运筹学
第三章
运输问题
引入
我们已经讨论了线性规划的一般形式以及求解的方 法。 但是在实际工作中，常常碰到很多线性规划问题，
由于它们的约束条件变量的系数矩阵具有特殊的结
构，有可能找到比单纯形法更为简便的方法求解， 从而可大量节约计算的时间和费用。
运输问题
一、运输问题的实例和数学模型
1、运输问题的实例
x11 x21 x31 5 x x x 7 12 22 32 x13 x23 x33 8 x14 x24 x34 3
xij 0, i 1,2,3；j 1,2,3,4
请大家试着写出约束条件的系数矩阵
运输问题
一、运输问题的实例和数学模型
来看看它的系数矩阵、系数矩阵的秩等有什么特点。
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
n xij ai j 1 m s.t. xij b j i 1 xij 0
(i 1,...,m) ( j 1,...,n)
这就是运输问题的数学模 型，包含： m×n个变量 m+n个约束条件 约束条件的系数矩阵A有 m+n行m×n列:
m行
n行
运筹学第3章：运输问题
收点 发点 B1 10 B2 5 7 10 12 7 15 15 3 5 8
5
B3
B4
产量
B1
B2
B3
B4
A1
A2 A3 销量
15 5
25 18 3 5 45
20
22 12
11
17 24
30
19 16
21
30 28
对应的目标函数值为： z＝10×20＋5×11+7×17+15×19＋30×3+5×28＝889(元) 3、伏格尔法 ⑴在运价表中分别增加一行(列差额)和一列(行差额)，并分 别计算出各行和各列次最小运价和最小运价的差额。 ⑵从行差额或列差额中选出最大者，选择它所在的行或列中 的最小运价优先安排运量。
第三章 运输问题
(Transportation Problem)
运输问题及其数学模型 表上作业法 运输问题的进一步讨论
WinQSB软件应用
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
【例1】已知某产品有A1、A2、A3三个生产地，其可供应的产量分别为15、 25、5吨；有B1、B2、B3、B4四个销售地可以销售该产品，其对该产品的需求 量分别为10、12、15、8吨。从Ai运往Bj单位产品的运价如下表所示。
⑴在运价表中找到最小运价cLk； ⑵将AL的产品给B k；
①若aL>b k，则将aL改写为aL-bk，划掉bk，同时将运价表中 K列的运价划掉； ②若aL<b k，则将bk改写为bk-aL，划掉aL，同时将运价表中 L行的运价划掉。
如此重复⑴、⑵，直到分配完毕。
【例3-2】以例3-1为例进行说明。
二、运输问题的特点
1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n-1个基变量。
5
B3
B4
产量
B1
B2
B3
B4
A1
A2 A3 销量
15 5
25 18 3 5 45
20
22 12
11
17 24
30
19 16
21
30 28
对应的目标函数值为： z＝10×20＋5×11+7×17+15×19＋30×3+5×28＝889(元) 3、伏格尔法 ⑴在运价表中分别增加一行(列差额)和一列(行差额)，并分 别计算出各行和各列次最小运价和最小运价的差额。 ⑵从行差额或列差额中选出最大者，选择它所在的行或列中 的最小运价优先安排运量。
第三章 运输问题
(Transportation Problem)
运输问题及其数学模型 表上作业法 运输问题的进一步讨论
WinQSB软件应用
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
【例1】已知某产品有A1、A2、A3三个生产地，其可供应的产量分别为15、 25、5吨；有B1、B2、B3、B4四个销售地可以销售该产品，其对该产品的需求 量分别为10、12、15、8吨。从Ai运往Bj单位产品的运价如下表所示。
⑴在运价表中找到最小运价cLk； ⑵将AL的产品给B k；
①若aL>b k，则将aL改写为aL-bk，划掉bk，同时将运价表中 K列的运价划掉； ②若aL<b k，则将bk改写为bk-aL，划掉aL，同时将运价表中 L行的运价划掉。
如此重复⑴、⑵，直到分配完毕。
【例3-2】以例3-1为例进行说明。
二、运输问题的特点
1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n-1个基变量。
运筹学之运输问题
§3.2 运输问题的数学模型
例：某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、 B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运 往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 产量 6 200 5 300 200 总产量=总销量
-------1 2 50 100
销点
2 ----150 0 3 ----0 200
-----
此运输问题的成本或收益为: 2500
§3.3运输问题的基本特点
◆一般运输问题的基本特点： （1）有多个产地和多个销地； （2）每个产地的产量不同，每个销地的销量也不同； （3）各产销两地之间的运价不同； （4）如何组织调运，在满足供应和需求的前提下使总运输费 用（或里程、时间等）最小。 ◆运输问题的数学模型的系数矩阵的基本特点： （1）共有m+n行，分别表示各产地和销地；m，n列，分别表 示各决策变量； （2）每列只有两个 1，其余为 0，分别表示只有一个产地和 一个销地被使用。
运输问题的数学模型
Min f = 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23
S . t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 最优解如下 x12 + x22 = 150 起 至 x13 + x23 = 200 发点 1 xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）
运输问题模型的应用
（1）产销平衡的运输问题； （2）产销不平衡的运输问题； （3）有条件的产销不平衡的运输问题； （4）生产与库存应用问题； （5）货物转运问题； （6）航运调度问题； „„
运筹学 第3章 运输问题
第三章运输问题在生产实际中，经常需要将某种物资从一些产地运往一些销地，因而存在如何调运使总的运费最小的问题.这类问题一般可用线性规划模型来描述,当然可以用单纯形法求解。
但由于其模型结构特殊，学者们提供了更为简便和直观的解法-—表上作业法.此外，有些线性规划问题从实际意义上看,并非运输问题,但其模型结构类似运输问题，也可以化作运输问题进行求解。
第一节运输问题及其数学模型首先来分析下面的问题。
例3。
1农产品经销公司有三个棉花收购站，向三个纺织厂供应棉花。
三个收购站A1、A2、A3的供应量分别为50kt、45kt和65kt，三个纺织厂B1、B2、B3的需求量分别为20kt、70kt和70kt。
已知各收购站到各纺织厂的单位运价如表3—1所示（单位：千元/kt）,问如何安排运输方案，使得经销公司的总运费最少?设x ij表示从A i运往B j的棉花数量，则其运输量表如下表所示。
表3-2由于总供应量等于总需求量，因此，一方面从某收购站运往各纺织厂的总棉花数量等该收购站的供应量，即x11+x12+x13 = 50x21+x22+x23 = 45x31+x32+x33 = 65另一方面从各收购站运往某纺织厂的总棉花数量等该纺织厂的需要量,即x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70因此有该问题的数学模型为min f= 4x 11+8x 12+5x 13+6x 21+3x 22+6x 23+2x 31+5x 32+7x 33x 11+x 12+x 13 = 50 x 21+x 22+x 23 = 45 x 31+x 32+x 33 = 65 x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70x ij ≥0,i=1,2，3；j=1,2,3生产实际中的一般的运输问题可用以下数学语言描述。
运筹学第三章 运输问题
则称该运输问题为产销平衡问题；否则，称 产销不平衡。首先讨论产销平衡问题。
8
1.运输问题模型及有关概念
表4-3 运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
cm2 … cmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2
┇
am
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运
式（4-8）中的变量称为这个闭回路的顶点。
22
1.运输问题模型及有关概念
例如，x13, x16, x36, x34, x24, x23 ； x23, x53, x55, x45, x41, x21 ； x11, x14, x34, x31等都是闭回路。
若把闭回路的各变量格看作节点， 在表中可以画出如下形式的闭回路：
得到下列运输量表：
4
1.运输问题模型及有关概念
Min Z s.t.
= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300
x11 + x21 = 150
x12 + x22 = 150
x13 + x23 = 200
2.每列只有两个 1，其余为 0，分别 表示只有一个产地和一个销地被使用。
7
1.运输问题模型及有关概念
一般运输问题的线性规划模型及求解思路
一般运输问题的提法：
假设 A1, A2,…,Am 表示某物资的m个 产地；B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地； ai表示产地 Ai 的产量；bj 表示销地 Bj 的 销量；cij 表示把物资从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价（表4-3）。如果 a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn
8
1.运输问题模型及有关概念
表4-3 运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
cm2 … cmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2
┇
am
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运
式（4-8）中的变量称为这个闭回路的顶点。
22
1.运输问题模型及有关概念
例如，x13, x16, x36, x34, x24, x23 ； x23, x53, x55, x45, x41, x21 ； x11, x14, x34, x31等都是闭回路。
若把闭回路的各变量格看作节点， 在表中可以画出如下形式的闭回路：
得到下列运输量表：
4
1.运输问题模型及有关概念
Min Z s.t.
= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300
x11 + x21 = 150
x12 + x22 = 150
x13 + x23 = 200
2.每列只有两个 1，其余为 0，分别 表示只有一个产地和一个销地被使用。
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1.运输问题模型及有关概念
一般运输问题的线性规划模型及求解思路
一般运输问题的提法：
假设 A1, A2,…,Am 表示某物资的m个 产地；B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地； ai表示产地 Ai 的产量；bj 表示销地 Bj 的 销量；cij 表示把物资从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价（表4-3）。如果 a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn
《运筹学》第三章 运输问题
一、典例
某食品公司经营糖果业务，公司下设三个工厂A1、A2、 A3，四个销售门市部B1、B2、B3、B4。已知每天各自的生产 量、销售量及调运时的单位运输费用情况。问：如何调运可 使总费用最小？
生产量：A1——7吨， A2 —— 4吨， A3 —— 9吨
销售量：B1 —— 3吨，B2 —— 6吨，B3 —— 5吨，B4 —— 6吨
销地
产地
B1
B2
A1
3
11
A2
1
9
A3
7
4
B3
B4
3
10
2
8
10
5
精品课件
4
7吨 A1
产 4吨 A2 地
调运示意图
x11
B1 3吨
B2 6吨
销
B3 5吨
地
9吨 A3
x34
B4 6吨
精品课件
5
二、建立模型
设 xij——第i产地到第j销地之间的调运量，则有
34
Min z =
cij· xij i=1 j=1
销量 3 6 5 6
单位运价表
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
△z=c11-c13+c23-c21=1=11 △z=c12-c14+c34-c32=2=12
ห้องสมุดไป่ตู้
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (0) (2) 5 2 7 A2 3 (2) (1) 1 4 A3 (9) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
j=1 0 ······ 0
·· ·· ···· ·· ··
·· ·· ··
运筹学(第三章)课件
i =1
例1：
某市有三个造纸厂A1,A2和A3，其纸的产量分别为 8，5和9个单位。由各造纸厂到各用户的单位运价 如表所示，请确定总运费最少的调运方案。
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 3 11 6
4
B2 12 2 7
3
B3 3 5 1
5
B4
产量
4 8
9 5
5 9
6
运筹学(第三章)
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 4
8
2
8
8
B2
12
8
10
6
5
14
B3
4
3
4
11
8
12
B4
产量
11
16 ②
9
10 ④
6
14
22 ⑥
14
48
①
③
⑤
⑥
8×4+8×12 +6×10+4×3+8×11+14×6= 372（元）
运筹学(第三章)
最小元素法——每次找最小元素
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 4
2
8
8
8
B2 12
价为 cij (i = 1,2,..., m; n = 1,2,..., n) ，又假设产销是平衡的，即：
m
n
ai = b j ，问应如何安排运输可使总运费最小？
i =1
j =1
运筹学(第三章)
二、运输问题的数学模型
假定 xij 表示由 Ai 到 B j 的运输量，则平衡条件下的运输问题可写出
用表上作业法求解运输问题
运筹学课件第三章运输问题
运筹学课件第三章运输问题第三章运输问题一、学习目的与要求1、掌握表上作业法及其在产销平衡运输问题求解中的应用2、掌握产销不平衡运输问题求解方法二、课时 6学时第一节运输问题及其数学模型一、运输问题的数学模型单一品种运输问题的典型情况：设某种物品有m 个产地A 1,A 2,…,A m ，各产地的产量分别是a 1,a 2,…,a m ；有N 个销地B 1,B 2,…,B n ，各销地地销量分别为b 1,b 2,…,b n 。
假定从产地A i (i =1,2, …,m )向销地B j (j =1,2,…,n )运输单位物品的运价是c ij ，问怎样调运这些物品才能使总运费最小？表中x ij i j ij i j如果运输问题的总产量等于其总销量，即有∑∑===nj jm i i ba 11则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称为产销不平衡运输问题。
产销平衡运输问题的数学模型如下：≥=====∑∑∑∑===+=0,...,2,1,...,2,1..min 11111ij m i jij nj iij m i n j ijij x nj b x mi a x t s x c z这就是运输问题的数学模型，它包含m ×n 个变量，(n 十m)个约束方程．其系数矩阵的结构比较松散，且特殊。
二、运输问题数学模型的特点1、运输问题有有限最优解，即必有最优基本可行解2、运输问题约束条件的系数矩阵A 的秩为(m+n-1)该系数矩陈中对应于变量x ij 的系数向量p ij ，其分量中除第i 个和第m 十j 个为1以外，其余的都为零．即 A ij ＝(0…1…1…0)’=e i +e m+j对产销平衡的运输问题具有以下特点：(1)约束条件系数矩阵的元素等于0或1(2)约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，对应于每一个变量在前m 个约束方程中出现一次，在后n 个约束方程中也出现一次。
此外，对于产销平衡问题，还有以下特点(3)所有结构约束条件都是等式约束 (4)各产地产量之和等于各销地销量之和第二节用表上作业法求解运输问题解题步骤第1步：确定初始基本可行解。
管理运筹学讲义第3章运输问题
为水平的，或为垂直的； • ② 闭回路的每一条边（水平的或垂直的）均有 且仅有两个顶点（基变量格）。
• 可以证明，如果对闭回路的方向不加区别， 对每一个非基变量可以找到而且只能找到唯一的 一个闭回路。
•38
•所谓闭回路法，就是对于代表非基变量的 空格（其调运量为零），把它的调运量调 整为1，由于产销平衡的要求,我们必须对 这个空格的闭回路的顶点的调运量加上或 减少1。最后我们计算出由这些变化给整个 运输方案的总运输费带来的变化。如果所 有代表非基变量的空格的检验数也即非基 变量的检验数都大于等于零，则已求得最 优解，否则继续迭代找出最优解。
•39
•方法：对每个非基变量 xij 其检验数为 • ij = (闭回路上的奇数次顶点单位运费之和
) - (闭回路上的偶数次顶点单位运费之和)
销
产
B1 B2 B3 B4 产量 B1 B2 B3 B4
A1
4 3 7 3 11 3 10
A2 3
1
4 19 2 8
A3
6
3 9 7 4 10 5
需求 3 6 5 6 20
•
xij ≥ 0 ( i = 1、2、3；j = 1、2、3
•6
•其系数矩阵为 ：
•共有 m+n 行，分别表示产地和销地；有 mn 列分别 表示各变量；每列只有两个 1，其余为 0 。
•7
运输问题的一般提法是：设某种物资有m个产地和n个
销地。产地Ai的产量为
；
销地Bj的销量为
。从第i个产地向
第j个销地运输每单位物资的运价为Cij，这就是由多个
上从一个代表非基变量的空格出发，沿水平或垂 直方向前进，只有遇到代表基变量的填入数字的 格才能向左或右转90度（当然也可以不改变方向 ）继续前进，这样继续下去，直至回到出发的那 个空格，由此形成的封闭折线叫做闭回路。一个 空格存在唯一的闭回路。
• 可以证明，如果对闭回路的方向不加区别， 对每一个非基变量可以找到而且只能找到唯一的 一个闭回路。
•38
•所谓闭回路法，就是对于代表非基变量的 空格（其调运量为零），把它的调运量调 整为1，由于产销平衡的要求,我们必须对 这个空格的闭回路的顶点的调运量加上或 减少1。最后我们计算出由这些变化给整个 运输方案的总运输费带来的变化。如果所 有代表非基变量的空格的检验数也即非基 变量的检验数都大于等于零，则已求得最 优解，否则继续迭代找出最优解。
•39
•方法：对每个非基变量 xij 其检验数为 • ij = (闭回路上的奇数次顶点单位运费之和
) - (闭回路上的偶数次顶点单位运费之和)
销
产
B1 B2 B3 B4 产量 B1 B2 B3 B4
A1
4 3 7 3 11 3 10
A2 3
1
4 19 2 8
A3
6
3 9 7 4 10 5
需求 3 6 5 6 20
•
xij ≥ 0 ( i = 1、2、3；j = 1、2、3
•6
•其系数矩阵为 ：
•共有 m+n 行，分别表示产地和销地；有 mn 列分别 表示各变量；每列只有两个 1，其余为 0 。
•7
运输问题的一般提法是：设某种物资有m个产地和n个
销地。产地Ai的产量为
；
销地Bj的销量为
。从第i个产地向
第j个销地运输每单位物资的运价为Cij，这就是由多个
上从一个代表非基变量的空格出发，沿水平或垂 直方向前进，只有遇到代表基变量的填入数字的 格才能向左或右转90度（当然也可以不改变方向 ）继续前进，这样继续下去，直至回到出发的那 个空格，由此形成的封闭折线叫做闭回路。一个 空格存在唯一的闭回路。
运筹学课件 第三章 运输问题
2、确定初始方案的步骤： （1）选择一个xij，令xij= min{ai，bj}=
a 第 i 个产地的产量全部运到 i b 满足第 j 个销地需求 j 第 j 个销地
将具体数值填入xij在表中的位置；
运筹学教程
（2）调整产销剩余数量：从ai 和bj 中分别减去xij 的值， 若ai-xij=0，则划去产地Ai 所在的行，即该产地产量已 全部运出无剩余，而销地Bj尚有需求缺口bj-ai；若bj-xij =0，则划去销地Bj 所在的列，说明该销地需求已得到 满足，而产地Ai尚有存余量ai-bj； （3）当作业表中所有的行或列均被划去，说明所有的 产量均已运到各个销地，需求全部满足，xij 的取值构 成初始方案。否则，在作业表剩余的格子中选择下一 个决策变量，返回步骤（2）。
作业3的截止日期：第9周
前m行相加之和减去后n行相加之和结果是零向量，说明m+n 个行向量线性相关，因此
的秩小于m+n； ？
由 的第二至m+n行和前n列及 x 21 , x 31 , , x m对 A 1 应的列交叉处元素构成m+n-1阶方阵D 非奇 异； ？
因此 A 的秩恰好等于m+n-1，又D本身就含于 A中，故A的秩也等于m+n-1
作业2的截止日期：第8周
运筹学教程
作业3:将作业2做成ppt，数量不小于15幅，将形成的文件以附 件形式发到下列邮箱： 1+0501：yunchouxue1_0501@ 1+0502： yunchouxue1_0502@
要求： 1、数学模型用数学公式编辑器写。 2、主题：学号姓名3（052820528刘学菊3） 3、附件文件名称：学号姓名3 （052820528刘学菊3）
《运筹学》第三章运输问题
Vogel近似法
考虑运输成本差异， 进行逼近最优解。
运输问题的扩展和变体
1
生产产能约束
考虑生产能力限制，同时优化货物的运输方案。
2
供需不平衡
存在供需不平衡时如何有效分配货物，避免浪费和延误。
3
多目标运输问题
同时考虑多个目标，如最小化成本和最大化利润。
运输问题的应用实例和案例分析
物流领域的应用
通过运输问题的优化，提升物流效率，降低成本。
运输问题的基本模型
运输方案的表示
常用的表示方法包括运输矩阵和网络图。
目标函数和约束条件
目标函数通常是最小化运输成本，约束条件包 括供需平衡和容量限制。
运输问题的解决方法
最小成本法
逐步分配货物，直至 达到最小总成本。
北北角法
按照最小单位运输成 本进行分配，直至l's Approximation Method）法为基础， 逐步分配货物。
《运筹学》第三章运输问 题
运输问题是运筹学中重要的问题之一，涉及到各种场景下的货物运输优化。 本章将介绍运输问题的定义、基本模型、解决方法，以及其在物流和生产调 度中的应用实例。
运输问题的概念和应用领域
• 运输问题是一种优化问题，旨在找到使运输成本最小的货物运输方案。 • 运输问题广泛应用于物流管理、供应链优化以及交通规划等领域。
生产调度中的应用
合理安排生产计划，提高生产线的利用率。
总结和展望
运输问题是优化领域的重要研究方向，未来随着物流技术的发展将有更多的应用场景和解决方法出现。
运筹学运输问题笔记
运筹学运输问题笔记
运筹学运输问题是指在运输中寻找最优方案的问题，主要包括供应商到销售点、工厂到市场、仓库到经销商等物流过程。
常见的运输问题有：
1. 指派问题：将n个工作任务分配给m个工作人员，每个工作任务有一个工作量和时间上的限制，目标是在满足约束条件的前提下，最小化总代价或最大化总利润。
2. 运输问题：用最少的代价将一批货物从若干个供应商运送到若干个销售点，满足供求平衡条件。
可以使用线性规划方法，将供应商和销售点之间的运输路线看作一个网络，利用线性规划的方法求解最小代价或最大收益。
3. 配给问题：采购部门需要为生产线提供原材料，同时工厂需要将成品配给销售部门。
目标是在满足约束条件的前提下，最小化总代价或最大化总利润。
4. 路径问题：给定一个网络，寻找两个点之间的最短路径。
可以采用广度优先搜索等方法解决。
5. 负载平衡问题：当多个任务需要在多个工作站上完成时，如何平衡各个工作站的负载。
可以采用贪心算法、动态规划等方法解决。
在实际应用中，以上问题常常彼此关联，可以采用综合算法或求解器进行求解。
运筹学第三章运输问题课件分解
销平衡的运输问题
2018年10月27日星期六
7
当销大于产时，即
i 1
ai
m
<
j 1
b j
n
可以在产销平衡表中增加一虚拟行，表示增加一 个假想的产地i=m+1，该地产量为
bj - a j
j 1 i 1
n
m
在单位运价表上令从该假想产地到各销地的运价， cm'1, j 0 ，同样可以转化为一个产销平衡的运输问题.。
30
20
70
30
10
50
需求地区 化工厂
Ⅰ’ 16 14 19 M
Ⅰ’’ 16 14 19 0
Ⅱ 13 13 20 M
Ⅲ 22 19 23 0
Ⅳ’ 17 15 M M
Ⅳ’’ 17 15 M 0
12
A B C D
2018年10月27日星期六
第二步见表3-6，3-7
需求地区 化工厂
Ⅰ’ Ⅰ’’
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ’
Ⅳ’’
A B C D 销量(万吨)
cij xij
i 1 j 1
2018年10月27日星期六
5
满足：
n 1 xij ai j 1 m xij b j i 1 xij 0
m n n 1 j 1
由于这个模型中
i 1
ai b j bn 1 b j
j 1
所以这是一个产销平衡的运输问题。
2018年10月27日星期六 6
若当产大于销时， 只要增加一个假想的销地j=n+1(实际上是储存)， 该销地总需要量为
i 1
ai - b j
《运筹学》第三章 运输问题祥解
· · · · · · · · · · · · 1 1 · · · · · · 1
1 0 · · · · · · 0
0 1
· · · · · ·
1 0 · · · · · ·0
0 1
· · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · · · 1 0 · · · · · · 0
· · · · · · · · · · · · 0 0 · · · · · · 1
10
关于运输模型的几个结论：
(1)设有m个产地，n个销地且产销平衡的运输问题，则基变 量数是m+n-1； (2)若变量组B包含有闭回路，则B中变量对应的列向量线性 相关； (3)m+n-1个变量组构成基变量的充要条件是它不包含任何闭 回路。
最小元素法：z=8×10+2×5+1×15=105
Vogel法：z=10×5+15×2+5×1=85
15
Vogel法
产销平衡表
B1 B2 B3 B4 产量 A1 A2 A3 销量 5 3 2 1 3 5 6 7 4 9 A1 A2 A3 列两 最小 元素 之差 B1 B2 B3 B4 行两最小元素之差 3 1 7 2 11 3 10 9 2 8 4 10 5 5 1 3 0 0 07 1 1 16 1 2 --
· · · · · · · · · · · ·
i=1
i=2
1 1
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · 1
· · · · · ·
· · · · · ·0
· · · · · ·
· · · · · · · · · · · · 0 0 · · · · · · 0
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生产量：A1——7吨， A2 —— 4吨， A3 —— 9吨
销售量：B1 —— 3吨，B2 —— 6吨，B3 —— 5吨，B4 —— 6吨
销地
产地
B1
B2
A1
3
11
A2
1
9
A3
7
4
B3
B4
3
10
2
8
10
5
3
7吨 A1
产 4吨 A2 地
调运示意图
x11
B1 3吨
B2 6吨
销
B3 5吨
地
9吨 A3
x34
1 ——第m+j个分量 0
8
…… …
x11 x12 ······ x1n x21 x22 ······ x2n ,············, xm1 i=1 1xm21············xmn 1 0
i=2
0 ······ 0 0 ······ 0
············ 0
· · · · ··· ··· ··
39
销量 3 6 5 6
单位运价表
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
13
Vogel法
例
B1 B2 产量
A1 8 5 10 A2 2 1 20
销量 15 15
最小元素法：z=8×10+2×5+1×15=105 Vogel法：z=10×5+15×2+5×1=85
格系数最小元素对应的）空格，填上数字0作为特殊的数字 格（即基变量）。
16
例
产销平衡表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 20 A2
0 20
10
10
A3 10 25
15 50
销量 30 25 10 15
单位运价表
B1 B2 B3 B4 A1 2 7 3 11 A2 8 4 6 9 A3 4 3 10 5
B1 B2 B3 B4 产量 A1 (0) (2) 5 2 7 A2 3 (2) (1) 1 4 A3 (9) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
18
注: 只要求的基变量是正确的，并且数目为m+n-1个，那么 每个非基变量的闭回路存在且唯一，因此，检验数唯一。
19
位势法
位势表:
B1 B1 B3 B4 行位势ui A1 (2) (9) 3 10 1 A2 1 (8) 2 (9) 0 A3 (-3) 4 (-2) 5 -4 列位势vj 1 8 2 9
《运筹学》第三章 运输问题
运输问题： 根据已有的交通网，如何制定运输 方案，使得这些物资被运送到各个销售地，并保 证某个指标最优(例如总运费最小)。
2
3.1 运输问题的典例和数学模型
一、典例
某食品公司经营糖果业务，公司下设三个工厂A1、A2、 A3，四个销售门市部B1、B2、B3、B4。已知每天各自的生产 量、销售量及调运时的单位运输费用情况。问：如何调运可 使总费用最小？
17
产销平衡表
闭
B1 B2 B3 B4 产量
回 A1 (1) (2) 4 3 7 路 A2 3 (1) 1 (-1) 4 法 A3 (10) 6 (12) 3 9
销量 3 6 5 6
单位运价表
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
△z=c11-c13+c23-c21=1=11 △z=c12-c14+c34-c32=2=12
--12
15
针对最小元素法和vogel法，需要说明的几点：
(1) 任何运输问题都有基可行解，且有最优解；
(2) 如果供应量和需求量都是整数，那么一定可以得到整数 形式的最优解;
(3) 用最小元素法和vogel法得到的是运输问题的一个基可行 解，数字格对应基变量；
(4) 若在中途同时有行列要求得到满足，将同时划掉一行一 列，最后数字格个数将少于m+n-1个。为使数字格的个数恰 好等于m+n-1，在同时划去的行列中，任选（或选其价
14
Vogel法
产销平衡表
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4 产量
3 6
5 27 14 39
3656
B1 B2 B3 B4 行两最小元素之差
A1 3 11 3 10 0 0 0 7 A2 1 9 2 8 1 1 1 6 A3 7 4 10 5 1 2 - -
列两 2 5 1 3 最小 2 - 1 3 元素 2 - 1 2 之差
B4 6吨
4
二、建立模型
设 xij——第i产地到第j销地之间的调运量，则有
34
Min z = cij·xij
i=1 j=1
产 量 限 制
x11+x12+x13+x14=7
销
x21+x22+x23+x24=4
量 限
x31+x32+x33+x34=9
制
xij0,(i=1,2,┄,3；j=1,2,┄,4)
·· ·· ··
·· ·· ··
·· ·· ··
············
·· ·· ··
·· ·· ··
0 0 ······ 0 1 i=m 1 ······ 1 ············ 0
j=1 0 ······ 0
·· ·· ··
·· ·· ··
·· ·· ··
·· ·· ··
·· ·· ··
x11+x21+x31=3 x12+x22+x32=6 x13+x23+x33=5 x14+x24+x34=6
5
产 销 平 衡 表
单 位 运 价 表
6
一般模 型表示 (ai=bj)
7
三、模型的特点
1.变量数：mn个 2.约束方程数：m+n个
最大独立方程数：m+n-1 3.系数列向量结构：
0
Pij= 1 ——ຫໍສະໝຸດ i个分量STOP求
解
思
N
路
新的基可行解
11
表上作业法步骤: 初始运输方案最优性检验改进运输方案
一、初始方案的确定
1.最小元素法 2.Vogel法 二、最优性检验 1.闭回路法 2.位势法 三、方案改进方法 在闭回路内改进。
12
最小元素法
产销平衡表
B1 B2 B3 B4 产量
A1
43 7
A2 3
1
4
A3
6
············
·· ·· ··
·· ·· ··
j=2
0 0 ······ 0 0 0 ······ 0 ············ 1 j=n 1 ······ 1
1 0 ······ 0 1 0 ······ 0 ············ 1 0 ······ 0
9
0 1 ······ 0 0
关于运输模型的几个结论：
(1)设有m个产地，n个销地且产销平衡的运输问题，则基变 量数是m+n-1；
(2)若变量组B包含有闭回路，则B中变量对应的列向量线性 相关；
(3)m+n-1个变量组构成基变量的充要条件是它不包含任何闭 回路。
10
3.2 运输问题的求解方法：表上作业法
初始基可行解
单
纯
形
法
最优否？ Y
销售量：B1 —— 3吨，B2 —— 6吨，B3 —— 5吨，B4 —— 6吨
销地
产地
B1
B2
A1
3
11
A2
1
9
A3
7
4
B3
B4
3
10
2
8
10
5
3
7吨 A1
产 4吨 A2 地
调运示意图
x11
B1 3吨
B2 6吨
销
B3 5吨
地
9吨 A3
x34
1 ——第m+j个分量 0
8
…… …
x11 x12 ······ x1n x21 x22 ······ x2n ,············, xm1 i=1 1xm21············xmn 1 0
i=2
0 ······ 0 0 ······ 0
············ 0
· · · · ··· ··· ··
39
销量 3 6 5 6
单位运价表
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
13
Vogel法
例
B1 B2 产量
A1 8 5 10 A2 2 1 20
销量 15 15
最小元素法：z=8×10+2×5+1×15=105 Vogel法：z=10×5+15×2+5×1=85
格系数最小元素对应的）空格，填上数字0作为特殊的数字 格（即基变量）。
16
例
产销平衡表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 20 A2
0 20
10
10
A3 10 25
15 50
销量 30 25 10 15
单位运价表
B1 B2 B3 B4 A1 2 7 3 11 A2 8 4 6 9 A3 4 3 10 5
B1 B2 B3 B4 产量 A1 (0) (2) 5 2 7 A2 3 (2) (1) 1 4 A3 (9) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
18
注: 只要求的基变量是正确的，并且数目为m+n-1个，那么 每个非基变量的闭回路存在且唯一，因此，检验数唯一。
19
位势法
位势表:
B1 B1 B3 B4 行位势ui A1 (2) (9) 3 10 1 A2 1 (8) 2 (9) 0 A3 (-3) 4 (-2) 5 -4 列位势vj 1 8 2 9
《运筹学》第三章 运输问题
运输问题： 根据已有的交通网，如何制定运输 方案，使得这些物资被运送到各个销售地，并保 证某个指标最优(例如总运费最小)。
2
3.1 运输问题的典例和数学模型
一、典例
某食品公司经营糖果业务，公司下设三个工厂A1、A2、 A3，四个销售门市部B1、B2、B3、B4。已知每天各自的生产 量、销售量及调运时的单位运输费用情况。问：如何调运可 使总费用最小？
17
产销平衡表
闭
B1 B2 B3 B4 产量
回 A1 (1) (2) 4 3 7 路 A2 3 (1) 1 (-1) 4 法 A3 (10) 6 (12) 3 9
销量 3 6 5 6
单位运价表
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
△z=c11-c13+c23-c21=1=11 △z=c12-c14+c34-c32=2=12
--12
15
针对最小元素法和vogel法，需要说明的几点：
(1) 任何运输问题都有基可行解，且有最优解；
(2) 如果供应量和需求量都是整数，那么一定可以得到整数 形式的最优解;
(3) 用最小元素法和vogel法得到的是运输问题的一个基可行 解，数字格对应基变量；
(4) 若在中途同时有行列要求得到满足，将同时划掉一行一 列，最后数字格个数将少于m+n-1个。为使数字格的个数恰 好等于m+n-1，在同时划去的行列中，任选（或选其价
14
Vogel法
产销平衡表
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4 产量
3 6
5 27 14 39
3656
B1 B2 B3 B4 行两最小元素之差
A1 3 11 3 10 0 0 0 7 A2 1 9 2 8 1 1 1 6 A3 7 4 10 5 1 2 - -
列两 2 5 1 3 最小 2 - 1 3 元素 2 - 1 2 之差
B4 6吨
4
二、建立模型
设 xij——第i产地到第j销地之间的调运量，则有
34
Min z = cij·xij
i=1 j=1
产 量 限 制
x11+x12+x13+x14=7
销
x21+x22+x23+x24=4
量 限
x31+x32+x33+x34=9
制
xij0,(i=1,2,┄,3；j=1,2,┄,4)
·· ·· ··
·· ·· ··
·· ·· ··
············
·· ·· ··
·· ·· ··
0 0 ······ 0 1 i=m 1 ······ 1 ············ 0
j=1 0 ······ 0
·· ·· ··
·· ·· ··
·· ·· ··
·· ·· ··
·· ·· ··
x11+x21+x31=3 x12+x22+x32=6 x13+x23+x33=5 x14+x24+x34=6
5
产 销 平 衡 表
单 位 运 价 表
6
一般模 型表示 (ai=bj)
7
三、模型的特点
1.变量数：mn个 2.约束方程数：m+n个
最大独立方程数：m+n-1 3.系数列向量结构：
0
Pij= 1 ——ຫໍສະໝຸດ i个分量STOP求
解
思
N
路
新的基可行解
11
表上作业法步骤: 初始运输方案最优性检验改进运输方案
一、初始方案的确定
1.最小元素法 2.Vogel法 二、最优性检验 1.闭回路法 2.位势法 三、方案改进方法 在闭回路内改进。
12
最小元素法
产销平衡表
B1 B2 B3 B4 产量
A1
43 7
A2 3
1
4
A3
6
············
·· ·· ··
·· ·· ··
j=2
0 0 ······ 0 0 0 ······ 0 ············ 1 j=n 1 ······ 1
1 0 ······ 0 1 0 ······ 0 ············ 1 0 ······ 0
9
0 1 ······ 0 0
关于运输模型的几个结论：
(1)设有m个产地，n个销地且产销平衡的运输问题，则基变 量数是m+n-1；
(2)若变量组B包含有闭回路，则B中变量对应的列向量线性 相关；
(3)m+n-1个变量组构成基变量的充要条件是它不包含任何闭 回路。
10
3.2 运输问题的求解方法：表上作业法
初始基可行解
单
纯
形
法
最优否？ Y