MATLAB之小波包变换

U U U
0 0 0 1 0 2
0 3
V U
3
0 3
U U
1 1
1 2
U
U
3 1
1 2
U
3 4 0 0
2 1
U
7 0
1 1
小波正交基：
0 3
U U U U U U U U
0 0 0 0
1
2
5
6
U
0 0
U
1 0
U U U
0 0 0 1 0 2
0 3
V U
3
U U
1 1
1 2
U
3 4 0 0
2 1
U
5 6 0 0
3 1
U U U U U U U U
0 0
1
2
7 0
U U U
0 0 0 1 0 2
0 3
U U U U U U U U V U
0 0 0 0 0 0 0
0
1
2
3
4
5
6
7 0
0
3
3
U U
1 1
1 2
U
3 4 0 0
2 1
U
5 6 0 0
3 1
U
7 0
1 1
U U U
0 4 5 0
3 1
2 1
U U U U U U U U
0 0 0 0
1
2
5
6
7 0
U U U U
0 0 0
4
5
6
7 0
最佳小波包基的选取
信息代价函数 把信号 f t 在一个正交小波包基下展开，使得它与一个小波包系数 序列 u uk 对应, 我们在该序列上定义一个信息代价函数 M,它满足
如下两个条件：
代价函数的基本要求： 1.单调性。 2.可加性（次可加性）
“最优基”的搜索方法：
在一般情况下，具有最小代价函数值的序列不易计算出来。所幸的是， 在实际应用中我们通常考虑的是 L2(R)的一个子空间的小波包分解，这种 分解可以用一个小波包二叉树表示，我们可以采取自底向顶的快速搜索法 发现最佳小波包基。
kZ
2 2
u k
0log 0 0
M u uk log uk ,log 0 0
kZ
常用的一些信息代价函数： 1、数列中大于给定门限的系数的个数。即预先给定一门限值 并计数数列中绝对值大于 的元素的个数。

0
，
2、范数。
M ({xk }) {xk } 通常选， xk }＝ x kp ) { (
一个逼近空间的小波分解及小波包分解
0 VL U L
L3
U
0 3
V
V
V
0
1
3
2
W2
U U
0 0 0 1
0 2
U U
1 1
1 2
W1
0
U
3 4 0 0
2 1
U
5 6 0 0
3 1
V W
U U U U U U U U
0 0
1
2
7 0
小波分解
小波包分解
小波变换的多分辨分析仅将光滑分量（低频信号）逐级进行分解， 而细节分量（高频信号）却没有进行逐级分解。随着分解级数增加， 相应的小波基函数的频域分辨率变好，而时域分辨率变差。 小波包变换在多分辩分解的基础上将各尺度下的细节分量作进一步 分解，从而实现对随尺度变小而变宽的频率窗口再划分，提高信号 高频部分频率的分辨率，使故障特征提取能够在更加细化的频带内 进行 。
以2阶小波包分解为例，将信号分解后，对每个节点系数分别设 定不同的阈值后得到保留的有用系数，最后再重构回原信号。小波包 的分解和重构利用了改进的快速算法，大大减少了计算量。
信号小波包分析的基本实现步骤如下：
1、选择适当的小波滤波器，对给定的采样信号进行小波包变换， 获得树形结构的小波包系数。 2、选择信息代价函数，利用最佳小波包基选取算法选取最佳基。 3、对最佳正交小波包基对应的小波包系数进行处理。 4、对处理后的小波包系数采用小波包重构算法得到重构信号。
小波包的定义
设 ( x)和 ( x)分别是尺度函数和小波 函数 令 0 ( x)＝ ( x)
1 ( x)＝ ( x)
k l
2l ( x)
k
h （2 x k )
k

2l 1 ( x)
g （2 x k )
k l

定义的函数 n }称为关于尺度函数 ( x)的小波包。 {
k 1 p
p0
（范数愈小，能量愈集 中。）
3、熵。
M ({xk }) | xk |2 log | xk |2
k
(与均方意义下恢复原始 信号所需的系数个数成 正比。）
常用的一些信息代价函数： 4、能量对数。
M ({xk }) log | xk |2
k
(表征信号的系数间的相 关性。）
2
kZ
常用的一些信息代价函数： （1）幅值大于某阈值的系数个数 （2） l p 范数的集中度（concentration） （3）对数熵
M u log uk ，约定 log 0 0
2 kZ
（4）信息熵
H u pk log pk
kZ
2 2
pk
u k
M1
M2
选择准则：
M3
若M 1 M 2 M 3 , 则选 M 2 M 3； ＋ 否则，选 M 1。
例：
x s
0
x s
h
1
x s
2
x s
3
x d
4
h
0 1 2 3 0
g
x
5
x d
6
x d
7
50
g
d
h
1
2
3
20
22
g
dd 0
dd 1
11
ss0
ss1
ds 0
ds1
sd 0
sd 1
12
13
14
h
sss
小波与小波包消噪方法比较
原 始 信 号 小波分解与小波包分解都能去除 振动信号中的噪声，而小波包去 噪明显优于小波去噪的结果： 1、小波包去噪时对信号在低频 段和高频段同时进行正交分解， 能保留更多的高频分量在逼近信 号中,无冗余、无泄漏、信息量 更完整； 2、小波包分析去噪时可以得到 任意频段的频率成分，比小波去 噪具有更为精确的局部分析能力， 大大提高了信号的信噪比，为爆 破振动信号的研究获得更加准确 的信息。
U U U U U U U U
0 0
1
2
U U
0
0
1 0
U U U
0 0 0 1 0 2
0 3
V U
3
0 3
在上图的二分树 上取一组子空间 集合，如果其直 和恰能将 V3空间 覆盖，相互间又 不重叠，则这组 空间集合的正交 规范基便组成一 个小波包正交基。
U U
1 1
1 2
U
U
3 1
0 2
U
3 4 0 0
（1）可加性条件 M uk M uk , M 0 0
（2）代价函数M的取值应该反映系数的集中程度。 最佳小波包基 对于一个给定信息代价函数M,小波包基 B称为信号f(t)相对于该代价函数 的最佳基，如果在 L ( R) 的所有小波包基中，f(t)在小波包基 B下对应的 小波包系数序列具有最小的信息代价值。
U
10(20)
0 3
U
1 2
3(11)
1 2
3
7(12)
4
5
11(13)
U
0 0
Uቤተ መጻሕፍቲ ባይዱU
0
1
2 0
U
(4)
3 0
(3)
如果原信号的长度为 N ，则最佳基算法的计算复杂度为 O N log N
小波包的压缩和重构方法
由于小波包对信号进行了更细致的频率划分，将不同的频率分量分解到 相应的频段上，这些分量具有不同的频率特性，其小波包分解系数间的关系 也不一样，对每个节点上的分解系数分别设定阈值，将更有利于保留有用信 息，舍弃噪声点，因此比直接小波分解进行压缩和采用统一的阈值进行压缩 的效果更好。
g
h
g
h
g
h
g
1
2
3
4
5
6
7
8
dss sds dds
ssd dsd
sdd ddd
50
32(50)
22
14
6 7 8
20
22
10(20)
11
12
2
3
13
14
6 7 8
3(11)
1 2
3
7(12)
4
5
11(13)
1
4
5
(1)
32(50)
22
14
6 7 8
(2)
科学技术的迅速发展使人类进入了信息时代。在信息社会中人们在 各种领域中都会涉及各种信号（语音、音乐、医学信号、图像……）的 分析、加工、识别、传输和压缩、存储等问题。
Fourier变换：使用的是一种全局的变换，无法表述非平稳信号最根 本和最关键的时—频局域性质。 加窗Fourier变换：把时域和频域分解为大小相等的小窗口，对信号 的任何部分都采用相同的时间和频率分辨率，不能在时间和频率两个 空间同时以任意精度逼近被测信号。 小波变换：是一种窗口大小（即窗口面积）固定但形状可以改变，时 间窗和频率窗都可以改变的时—频局部化分析方法，在高频段频率分 辨率较差，而在低频段时间分辨率较差。 小波包变换：将频带部分多层次划分，对多分辨率分析没有细分的高 频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相 应的频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时频分辨率。
小 波 去 噪
小 波 包 去 噪
Fourier变换
1、处理稳定 和渐变信号。 2、实时信号 处理。
加窗Fourier变换
1、处理渐变信号。 2、实时信号处理。
小波变换
1、处理突 变信号或 具有孤立 奇异性的 函数。 2、自适应 信号处理。